Espacio -Tiempo
El espacio-tiempo (también: espaciotiempo) es
el modelo
matemático que
combina
el espacio y el tiempo en un solo objeto
continuo
de
cuatro
dimensiones.
En
este espacio-tiempo es en donde ocurren todos
los sucesos físicos del Universo, de acuerdo
con la teoría de la relatividad de Einstein.
La teoría de la relatividad de Einstein se basa en dos postulados. El primero sostiene
que las leyes de la física son idénticas para todos los observadores en sistemas de
referencia inerciales, mientras que el segundo afirma que la velocidad de la luz en
el vacío es una constante. Como consecuencia directa el espacio y el tiempo no pueden
ser independientes. Esto se puede apreciar, por ejemplo, en las transformaciones de
Lorentz y lleva a efectos interesantes como la contracción de Lorentz.
Contrario a la creencia popular, Einstein no llegó a la
conclusión de que el espacio y el tiempo debieran
considerarse como una sola entidad1; sino que
fue Hermann Minkowski (el profesor de matemáticas
de Einstein), quien introdujo el concepto en un célebre
coloquio en 1908 titulado "Espacio y tiempo" mediante
la frase:
"A partir de ahora, el espacio por sí mismo y el tiempo
por sí mismo están condenados a desvanecerse en
meras sombras, y sólo una especie de unión de ambos preservará una realidad
independiente".
La reacción inicial de Einstein ante esta visión del espacio-tiempo no fue del todo
favorable, acusándo al trabajo de Minkowski como superfluo2. Pese a esto, Einstein
terminó por adoptar la física del espacio-tiempo de Minkowski3, siendo esta un elemento
crucial para la revolucionaria teoría de la relatividad general de Einstein, donde el
espacio-tiempo se vuelve dinámico y adquiere curvatura.
El trabajo de Minkowski demostró la utilidad de considerar al espacio y al tiempo como
un ente matemático único y continuo, considerando al Universo como un espacio de
cuatro dimensiones, formado por tres dimensiones espaciales físicas y por una "cuarta
dimensión" temporal; dicho de manera más precisa: como una variedad lorentziana de
cuatro dimensiones. El ejemplo más simple de una variedad de este tipo es el espaciotiempo de Minkowski, usado en relatividad especial.
En general, un suceso puede ser descrito por una o más coordenadas espaciales y una
temporal. Por ejemplo, para identificar de manera única un accidente automovilístico, se
pueden dar el punto kilométrico donde ocurrió (una coordenada espacial), y cuándo
ocurrió (una coordenada temporal). En el espacio tridimensional, se requieren tres
coordenadas espaciales. Así un modelo simple de espacio tiempo es el espacio-tiempo
de Minkowski:
�={(�,�,�,�)|(�,�,�,�)∈�4}
donde t es la coordenada temporal medida por un cierto observador, y x, y, z las
coordenadas cartesianas espaciales medidas por el mismo observador.
En la visión tradicional en la cual se basa la mecánica clásica, cuyos principios
fundamentales fueron establecidos por Newton, el tiempo es una coordenada
independiente de las coordenadas espaciales y es una magnitud idéntica para cualquier
observador. Esto difiere del tratamiento de Minkowski, donde las coordenadas medidas
por un segundo observador (�′,�′,�′,�′)
difieren de las medidas por el primer
observador (�,�,�,�)
, de una manera tal que en general �≠�′
(las
transformaciones que permiten relacionar las coordenadas de dos observadores
diferentes en el espacio de Minkowski se llaman transformaciones de Lorentz).
Resultados obtenidos tanto en el experimento de Michelson y Morley como en
las ecuaciones de Maxwell para la electrodinámica sugerían, a principios del siglo xx,
que la velocidad de la luz es constante e independiente de la velocidad del emisor
u observador, en contradicción con lo postulado por la mecánica clásica. Esto es una
consecuencia del carácter relativo de la distancia y el tiempo, de tal manera que dos
observadores medirán tiempos diferentes entre dos eventos si uno está moviéndose
respecto al otro (usualmente esa diferencia es muy pequeña, imperceptible con medios
convencionales, pero detectable mediante relojes atómicos de alta precisión).
Einstein propuso como solución a este y otros problemas de la mecánica
clásica considerar como postulado la constancia de la velocidad de la luz, y prescindir
de la noción del tiempo como una coordenada independiente del observador. En
la Teoría de la Relatividad, espacio y tiempo tienen carácter relativo o convencional,
dependiendo del estado de movimiento del observador. Eso se refleja, por ejemplo, en
que las transformaciones de coordenadas entre observadores inerciales
(las Transformaciones de Lorentz) involucran una combinación de las coordenadas
espaciales y temporal. El mismo hecho se aprecia en la medición de un campo
electromagnético, que está formado por una parte eléctrica y otra magnética, pues
dependiendo del estado de movimiento del observador el campo es visto de forma
distinta.
La expresión espacio-tiempo recoge entonces la noción de que el espacio y el tiempo
ya no pueden ser considerados entidades independientes o absolutas.
Las consecuencias de esta relatividad del tiempo han tenido diversas comprobaciones
experimentales. Una de ellas se realizó utilizando dos relojes atómicos de elevada
precisión, inicialmente sincronizados, uno de los cuales se mantuvo fijo mientras que el
otro fue transportado en un avión. Al regresar del viaje se constató que mostraban una
leve diferencia de 184 nanosegundos, habiendo transcurrido el tiempo "más lentamente"
para el reloj en movimiento.4
En la teoría de la relatividad general el espacio-tiempo se modela como un par (M, g)
donde M es una variedad diferenciable semiriemanniana también conocida banda
lorentziana y g es un tensor métrico de signatura (3,1). Fijado un sistema de
coordenadas (x0, x1, x2, x3, ) para una región del espacio-tiempo el tensor métrico se
puede expresar como:
�=∑�,�=1���� ���⊗���
Y para todo punto del espacio-tiempo existe un observador galileano tal que en ese
punto el tensor métrico tiene las siguientes componentes:
(���)�,�=03=(�00�01�02�03�10�11�12�13�20�21�22�23�30�31�
32�33)=(−1+1+1+1)
En ausencia de campo gravitatorio existe un sistema de coordenadas tal que el tensor
tiene la forma anterior para todos los puntos del espacio tiempo simultáneamente. Pero
si existe un campo gravitatorio eso no es posible y fijado cualquier sistema de
coordenadas natural el tensor inevitablemente diferirá de un punto a otro, y el tensor de
curvatura asociado a la métrica será no nulo, lo cual es percibido como un campo
gravitatorio por el observador.
El contenido material de dicho universo viene dado por el tensor energía-impulso que
puede ser calculado directamente a partir de magnitudes geométricas derivadas del
tensor métrico. Las ecuaciones escritas componente a componente relacionan el tensor
energía impulso con el tensor de curvatura de Ricci y las componentes del propio tensor
métrico:
���=�48��[���−(����2)+Λ���]
La ecuación anterior expresa que el contenido material determina la curvatura del
espacio-tiempo.
El espacio-tiempo es un modelo matemático que combina el espacio y el tiempo en un
único continuo como dos conceptos inseparablemente relacionados.5 En este continuo
espacio-temporal se representan todos los sucesos físicos del Universo, de acuerdo con
la teoría de la relatividad y otras teorías físicas. La expresión espacio-tiempo ha
devenido de uso corriente a partir de la teoría de la relatividad especial formulada por
Einstein en 1905, siendo esta concepción del espacio y el tiempo uno de los avances
más importantes del siglo xx en el campo de la física.
De acuerdo con las teorías de la relatividad de Einstein, el tiempo no puede estar
separado de las tres dimensiones espaciales, sino que al igual que ellas, este depende
del estado de movimiento del observador. En esencia, dos observadores medirán
tiempos diferentes para el intervalo entre dos sucesos, la diferencia entre los tiempos
medidos depende de la velocidad relativa entre los observadores. Si además existe un
campo gravitatorio también dependerá la diferencia de intensidades de dicho campo
gravitatorio para los dos observadores. El trabajo de Minkowski probó la utilidad de
considerar el tiempo como un ente matemático único y continuo se puede entender
desde una perspectiva pseudoeuclidiana, la cual considera al Universo como un
"espacio de cuatro dimensiones" formado por tres dimensiones espaciales físicas
observables y por una "cuarta dimensión" temporal (más exactamente una variedad
lorentziana de cuatro dimensiones). Un caso simple es el espacio-tiempo usado en
relatividad especial, donde al combinar espacio y tiempo en un espacio
tetradimensional, se obtiene el espacio-tiempo de Minkowski.
�2����2+∑�,�Γ�������������=0
Donde los símbolos de Christoffel Γ se calculan a partir de las derivadas del tensor
métrico g y el tensor inverso del tensor métrico:
Γ�,��:=(∂���∂��+∂���∂��−∂���∂��)Γ���:=∑�=1����Γ�,�
�
������=������=���
Si además existiese alguna fuerza debida a la acción del campo electromagnético, la
trayectoria de la partícula vendría dada por:
�2����2+∑�,�Γ�������������=���������
Donde:
�:
���:
carga
eléctrica de
la
partícula.
el tensor de campo electromagnético:
�=�1−�2/�2:
el tiempo propio de la partícula.
Intervalo, principio de invarianza del intervalo
Homogeneidad, isotropía y grupos de simetrías[editar]
Ciertos espacios-tiempos admiten grupos
el espacio-tiempo de Minkowski, usado en
isometría llamado grupo de Poincaré que
Normalmente los espacios-tiempos tienen
decir, de dimensionalidad menor.
de isometría no triviales. Por ejemplo
la relatividad especial, tiene un grupo de
es un grupo de Lie de dimensión diez.
grupos de isometría mucho menores, es
Una propiedad interesante es que si un espacio-tiempo admite un grupo de isometrías
continuo, formado por un grupo de Lie de dimensión n entonces existen n campos
vectoriales, llamados campo vectorial de Killing �(�)
propiedades:
que satisfacen las siguientes
∇���(�)+∇���(�)=0��(�)���
Donde ∇�
representa la derivada covariante y ��(�)
según uno de esos vectores de Killing.
la derivada de Lie
Relacionado con lo anterior están las relaciones de isotropía y homogeneidad. Un
espacio tiempo presenta isotropía general en alguno de sus puntos si existe un
subgrupo de su grupo de isometría, que es homeomorfo a SO(3) y deja invariante dicho
punto. Otra propiedad interesante es cuando el grupo de simetría incluye un subgrupo
homeomorfo a �3
que afecta a las coordenadas espaciales, en ese caso el
espacio-tiempo resulta ser homogéneo.
Véanse también: Singularidad espaciotemporal, Principio de causalidad, Viaje a través
del tiempo, Estructura causal y Globalmente hiperbólico.
La topología en el espacio tiempo tiene que ver con la estructura causal del mismo. Por
ejemplo es interesante conocer SI en un espacio-tiempo:
Existe la curva temporal cerrada; ese tipo de ocurrencia permitiría que a una partícula
pueda influir en su propio pasado. Algunas soluciones exactas de las ecuaciones de
Einstein como el Universo de Gödel, que describe un universo lleno de un fluido perfecto
en rotación, permiten dichas curvas temporales cerradas (véase curva cerrada de tipo
tiempo).
Existen hipersuperficies de Cauchy, lo cual permite, en principio, conocido el estado del
sistema sobre una de estas superficies, conocer el estado en un instante futuro. Siempre
y cuando los efectos cuánticos tengan efectos limitados, la existencia de hipersuperficies
comporta la evolución determinista.
Existen geodésicas incompletas, lo cual
de singularidades espaciotemporales.
está
relacionado
con
la
ocurrencia
Véase también: Espacio-tiempo de Minkowski
El espacio-tiempo de Minkowski es el caso más sencillo de espacio-tiempo relativista.
Físicamente es un espacio de cuatro dimensiones plano, en que las líneas de curvatura
mínima o geodésicas son líneas rectas. Por lo que una partícula sobre la que no actúe
ninguna fuerza se moverá a lo largo de una de estas líneas rectas geodésicas. El
espacio de Minkowski sirve de base para descripción de todos los fenómenos físicos
según la descripción que de ellos da la teoría especial de la relatividad. Además cuando
se consideran pequeñas regiones de un espacio-tiempo general, donde las variaciones
de curvatura son pequeñas, se hace servir el modelo de espacio-tiempo de Minkowski
para hacer algunos de los cálculos, sin que se cometan errores grandes.
Matemáticamente está formado por una variedad de cuatro dimensiones que
es homeomorfa, es decir, identificable topológicamente con �4
. Sobre esta
variedad se define una métrica pseudoriemanniana de signatura (1,3) que la convierte
en un espacio pseudoeuclídeo de curvatura idénticamente nula. En esta variedad el de
isometrias maximal coincide con el grupo de Poincaré.
La aproximación de Einstein al tema de la gravitación se apoya en varias intuiciones y
en diversas sugerencias que se desprenden no solo de su propia construcción de la
teoría de la relatividad especial sino de la forma en que la interpretaron otros físicos y
muy en particular Minkowski.
En primer lugar la constatación de que resulta imposible distinguir entre un sistema de
referencia acelerado y un sistema de referencia sometido a una fuerza gravitacional. En
segundo lugar que de esta indistinguibilidad, y de las consecuencias de todo tipo que
ello comporta, se infiere la igualdad entre inercia y gravitación. En tercer lugar que, de
acuerdo con su interpretación de las transformaciones de Lorentz, espacio y tiempo
dejan de ser entidades separadas para aparecer interconectados. En cuarto lugar que
esta interconexión obligará a abandonar, como escenario en el que los fenómenos
físicos se despliegan, el espacio y el tiempo como entidades separadas para sustituirlos
por una entidad única a la que se denominará espacio-tiempo. Cobran, así, toda su
validez las palabras de Minkowski: "Las visiones del espacio y el tiempo que quiero
presentarles han emergido del sustrato de la física experimental, y en ello reside su
fuerza. Son radicales. A partir de ahora el espacio por sí mismo, y el tiempo por sí mismo
están condenados a desaparecer como meras sombras y sólo una cierta unión de
ambos preservará una realidad independiente". En quinto lugar que la gravitación afecta
al espacio-tiempo de cada “lugar” y le dicta como curvarse. Por último que, al ser el
movimiento bajo la acción de un campo gravitacional independiente de la masa del
objeto móvil, es lícito pensar que ese movimiento viene ligado al “lugar” y que las
trayectorias líneas geodésicas vienen marcadas por la estructura del tejido espaciotemporal en el que deslizan.[1]
La fuerza gravitacional acabaría, así, convirtiéndose en una manifestación de
la curvatura del espacio-tiempo del que habla Minkowski. De ahí se deduce que en este
esquema no hay acción a distancia ni misteriosas tendencias a moverse hacia extraños
centros, tampoco espacios absolutos que contienen a, o tiempos absolutos que
discurran al margen de, la materia.[2]
La masa le dice al espacio-tiempo como curvarse y este le dicta a la masa cómo
moverse. Es el contenido material quien crea el espacio y el tiempo.
Un espacio-tiempo curvo es una variedad lorentziana cuyo tensor de curvatura de Ricci
es relacionable en una solución de las ecuaciones de campo de Einstein para un tensor
de energía-impulso físicamente razonable. Se conocen centenares de soluciones de
ese tipo. Algunos de los ejemplos más conocidos, son los más interesantes físicamente
y también son las primeras soluciones obtenidas, representan espacios-tiempos con un
alto grado de simetría como:
Espacio tiempo de Schwarszchild, que viene dado por la llamada métrica de
Schwarzschild representa la forma del espacio tiempo alrededor de un cuerpo esférico,
y puede ser una buena aproximación al campo solar de una estrella que gira muy
lentamente alrededor de sí misma.
Modelos de Big-Bang, que vienen dados en general por métricas de tipo FriedmanLemaître-Robertson-Walker y que describen un universo en expansión, que según su
densidad inicial puede llegar a recolapsar.
El matemático Roger Penrose basándose en las propiedades básicas y supuestos
teóricos de diversas teorías físicas prerrelativistas ha propuesto que para cada una de
ellas puede definirse un marco geométrico adecuado que da cuenta de como se produce
el movimiento de partículas según estas teorías.6 Así tanto los supuestos habituales de
la física aristotélica, como el principio de relatividad de Galileo implicarían
implícitamente en sí mismos una determinada estructura geométrica para el conjunto de
sucesos. Las estructuras que Penrose propone para estas diversas teorías
prerrelativistas son:
Espacio-tiempo de la física aristotélica, donde el supuesto de que tanto el tiempo como
la velocidad son absolutos conduce a que los sucesos tienen estructura intuitiva de
espacio producto �1�3
.
Espacio-tiempo galileano, aunque el tiempo sigue siendo absoluto en la física galileana
se impone el principio de relatividad según el cual dos observadores que se mueven
alejan uno de otro a velocidad uniforme no podrían determinar sin verse si se están
alejando uno de otro. Penrose explica que esta característica puede representarse
geométricamente de nuevo por un espacio-tiempo fibrado, aunque el principio de
relatividad implica que la velocidad no es absoluta y, por tanto, no pueden identificarse
simplemente los puntos de diferentes fibras. Es decir, el espacio-tiempo galileano,
designado como �
sería un fibrado no trivial �=�1×�3
base sería el espacio euclídeo �1
espacio tridimensional convencional �3
, donde el espacio
que representa el tiempo y cada fibra es un
.
Espacio-tiempo newtoniano, en esta construcción propuesta originalmente por Élie
Cartan a principios del siglo xx, el espacio-tiempo adecuado para describir la mecánica
newtoniana incluyendo la descripción del campo gravitatorio, sigue siendo un fibrado no
trivial con espacio base �1
para representar el tiempo y fibra dada por un espacio
euclídeo tridimensional. La diferencia está en que ahora algunas trayectorias curvas
representan movimientos inerciales de acuerdo con el principio de equivalencia, y por
tanto se requiere algún tipo de estructura diferenciable para decidir qué líneas curvas
corresponden a esos movimientos inerciales. La conexión que define esta estructura
diferenciable debe escogerse de tal manera que la traza del tensor de Ricci coincida con
la constante 4���
. Cuando el campo gravitatorio es constante entonces el
espacio-tiempo Newtoniano es homeomorfo al espacio-tiempo galileano.
La teoría general de la relatividad introdujo una interpretación geométrica del fenómeno
físico de la gravedad, introduciendo una nueva dimensión física temporal y considerando
curvaturas que afectaban a esta y las demás dimensiones temporales.
Esta idea interesante ha sido utilizada en diversas teorías físicas prometedoras que han
recurrido formalmente a la introducción de nuevas dimensiones formales para dar
cuenta de fenómenos físicos. Así Kaluza y Klein trataron de crear una teoría unificada
(clásica) de la gravedad y del electromagnetismo, introduciendo una dimensión
adicional. En esta teoría la carga podía relacionarse con la quinta componente de la
"pentavelocidad" de la partícula, y otra serie de cuestiones interesantes. El enfoque de
varias teorías de supercuerdas es aún más ambicioso y se han empleado esquemas
inspirados remotamente en las ideas de Einstein, Kaluza y Klein que llegan a emplear
hasta diez y once dimensiones, de las cuales seis o siete estarían compactificadas y no
serían detectables más que indirectamente.
La cultura incaica no parece separar el espacio y el tiempo; el espacio-tiempo es
llamado pacha en quechua y en aimara.7 Según Catherine J. Allen, “La palabra
quechua pacha puede referirse al cosmos entero o en un momento particular de su
tiempo, su interpretación depende del contexto”. Pues escoge traducir pacha por worldmoment (“momento-mundo”).8 El Dr. Atuq Eusebio Manga Qespi, un hablante nativo de
quechua, ha sugerido que pacha debería traducirse al español como espacio-tiempo.7
