Una Introducción a la Teoría y Complejidad de la Computabilidad

Una Introducción a la Teoría y
Complejidad de la Computabilidad
Te has preguntado alguna vez: ¿Cuál es exactamente el dispositivo en el que estás leyendo
este artículo? ¿Qué es una computadora? La ciencia de la computación se remonta a un
tiempo mucho antes de que se pensara en estos modernos dispositivos informáticos. En una
industria donde las preguntas más frecuentes giran en torno a los lenguajes de programación,
marcos y bibliotecas, a menudo damos por sentado los conceptos fundamentales que hacen
funcionar una computadora.
Pero estas computadoras, que parecen poseer un potencial infinito— ¿tienen alguna
limitación? ¿Hay problemas que las computadoras no pueden resolver?
En este artículo, abordaremos estas preguntas alejándonos de los detalles de los lenguajes de
programación y las arquitecturas de la computadora. Al comprender el poder y las
limitaciones de las computadoras y los algoritmos, podemos mejorar la forma en que
pensamos y razonar mejor sobre las diferentes estrategias.
La visión abstracta de la informática produce resultados que han resistido la prueba del
tiempo, siendo tan valiosos para nosotros hoy como lo fueron cuando se desarrollaron
inicialmente en la década de 1970.
Computabilidad
¿Qué es una computadora? ¿Qué es un problema?
En la escuela, a menudo se nos enseña un modelo mental de problemas y funciones que dice
algo como esto:
Una función es un procedimiento que aplica a una entrada x para encontrar una salida f(x).
Una función es un conjunto de pares ordenados de modo que el primer elemento de cada par
proviene de un conjunto X (llamado el dominio), el segundo elemento de cada par proviene de un
conjunto Y (llamado co-dominio o rango) y cada elemento del dominio está emparejado con
exactamente un elemento del rango.
Eso fue bastante. Pero, ¿qué significa eso exactamente?
Esta definición nos dice que una computadora es una máquina para funciones informáticas.
¿Por qué?
Porque las computadoras transforman la entrada arbitraria a alguna salida. En otras palabras,
resuelven problemas. Las dos definiciones de funciones, la que conocemos muy bien y la
formal, coinciden para muchos propósitos prácticos.
Sin embargo, la definición matemática nos permite llegar a conclusiones interesantes tales
como la existencia de funciones no procesables (es decir, problemas sin solución):
Por qué no todas las funciones se pueden describir como un algoritmo.
Reglas del Juego
Para ayudar con nuestros argumentos, imaginemos a las computadoras como máquinas que
tienen una entrada, desarrollan una secuencia de operaciones y después de un tiempo, dan
una salida.
Vamos a llamar a la entrada alfabeto de la máquina, que es un set de secuencia de caracteres
de algún conjunto finito. Por ejemplo, el alfabeto de la máquina puede ser binario (0s y 1s) o
podría ser el juego de caracteres ASCII. Cualquier secuencia finita de caracteres es una
cadena—por ejemplo “0110.”
Además, representaremos el resultado de una máquina como una decisión binaria de
aceptación y rechazo que se entrega una vez que la máquina (con suerte) finaliza su cálculo.
Esta abstracción se ajusta bien a la definición matemática de funciones anteriores.
Dados estos parámetros, es importante caracterizar un tipo más: una colección de cadenas de
caracteres. Tal vez nos preocupamos por el conjunto de cadenas de caracteres que acepta una
máquina, o tal vez estamos construyendo una máquina que acepta cadenas de caracteres en
un determinado conjunto y no en otros, o tal vez estamos preguntando si es posible diseñar
una máquina que acepte todo en algún conjunto particular y no en otros.
En todos estos casos, un conjunto de cadenas de caracteres se denomina lenguaje—por
ejemplo, el conjunto de todas las cadenas binarias que representan números pares o el
conjunto de cadenas que tienen un número par de caracteres. Resulta que los idiomas, como
los números, pueden ser operados con los operadores como concatenación, unión,
intersección y otros similares.
Un operador importante es el operador estrella Kleene que también se usa con expresiones
regulares. Esto se puede considerar como la unión de todos los poderes posibles del lenguaje.
Por ejemplo, si nuestro idioma A es el conjunto de cadenas de caracteres { ‘01’, ‘1’ },
entonces un miembro de A* es la cadena de caracteres ‘0101111’.
Contabilidad
La última pieza del rompecabezas antes de demostrar nuestra afirmación de que no todas las
funciones son computables es el concepto de contabilización. Intuitivamente, nuestra prueba
mostrará que hay más idiomas; es decir, más problemas que posibles programas para
resolverlos. Esto funciona porque el tema de si una cadena de caracteres pertenece a un
idioma (Sí/No) es en sí misma un problema.
Más precisamente, nuestra prueba afirma que el conjunto de posibles programas es
infinitamente contable, mientras que el conjunto de idiomas sobre un alfabeto es
infinitamente incontable.
En este punto, puedes estar pensando “La infinidad es una idea bastante extraña en sí misma,
¡ahora tengo que lidiar con dos de ellos!”
Bueno, no es tan malo. Un conjunto contablemente infinito es uno que se puede enumerar.
Es posible decir: este es el primer elemento, este es el segundo elemento y así sucesivamente,
eventualmente asignando un número a cada elemento del conjunto. Toma el conjunto de
números pares, por ejemplo. Podemos decir que 2 es el primero, 4 el segundo, 6 el tercero y
así sucesivamente. Tales conjuntos son contablemente infinitos o contables.
Sin embargo, con algunos conjuntos como los números reales, no importa cuán inteligente
seas; simplemente no hay enumeración. Estos conjuntos son incontablemente infinitos o
incontables.
Muchos Programas de Manera Contable
Primero queremos mostrar que el conjunto de programas de computadora es contable. Para
nuestros propósitos, hacemos esto al observar que el conjunto de todas las cadenas de
caracteres sobre un alfabeto finito es contable. Esto funciona porque los programas de
computadora son cadenas de caracteres finitas.
La prueba es sencilla y no cubrimos los detalles aquí. El punto clave es que hay tantos
programas de computadora como, por ejemplo, números naturales.
Para reiterar:
El conjunto de todas las cadenas de caracteres sobre cualquier alfabeto (Ej., Conjunto de
todos los programas informáticos) es contable.
Incontablemente, Muchos Idiomas
Dada esta conclusión, ¿qué pasa con los subconjuntos de estas cadenas de caracteres?
Preguntado de otra manera, ¿qué pasa con el conjunto de todos los idiomas? Resulta que este
conjunto es incontable.
El conjunto de todos los idiomas sobre cualquier alfabeto es incontable.
Consecuencias
Aunque pueden no ser inmediatamente aparentes, las consecuencias de la incontabilidad de
los idiomas y la contabilización del conjunto de todos los programas informáticos son
profundas.
¿Por qué?
Supongamos que A es el conjunto de caracteres ASCII; los caracteres ASCII son solo los
necesarios para componer un programa de computadora. Podemos ver que el conjunto de
cadenas de caracteres que representan, por ejemplo, los programas de JavaScript son un
subconjunto de A* (aquí, * es el operador estrella de Kleene). La elección de JavaScript es
arbitraria. Dado que este conjunto de programas es un subconjunto de un conjunto contable,
tenemos que el conjunto de programas de JavaScript es contable.
Además, consideremos que para cualquier idioma L podemos definir alguna función f que
evalúe a 1 si alguna cadena x está en L y 0 en caso contrario. Todas esas funciones son
distintas. Debido a que existe una correspondencia 1:1 con el conjunto de todos los idiomas
y porque el conjunto de todos los idiomas es incontable, tenemos que el conjunto de todas
esas funciones es incontable.
Aquí está el punto en profundidad:
Como el conjunto de todos los programas válidos es contable pero el conjunto de funciones
no lo es, entonces debe haber algunas funciones para las cuales simplemente no podemos
escribir programas.
Todavía no sabemos cómo son estas funciones o problemas, pero sabemos que existen. Ésta
es una realización humillante porque hay algunos problemas por los cuales no hay solución.
Consideramos que las computadoras son extremadamente poderosas y capaces, sin embargo,
algunas cosas están fuera de su alcance.
Ahora la pregunta es: “¿Cómo son estos problemas?” Antes de continuar describiendo estos
problemas, primero debemos modelar la computación de forma generalizada.
Máquinas de Turing
Uno de los primeros modelos matemáticos de una computadora fue desarrollado por Alan
Turing. Este modelo, llamado máquina de Turing, es un dispositivo extremadamente simple
que captura por completo nuestra noción de computabilidad.
La entrada a la máquina es una cinta sobre la cual se ha escrito la entrada. Usando un cabezal
de lectura/escritura, la máquina convierte la entrada en salida a través de una serie de pasos.
En cada paso, se toma una decisión sobre si y qué escribir en la cinta y si se debe mover hacia
la derecha o hacia la izquierda. Esta decisión se basa exactamente en dos cosas:
•
•
El símbolo actual debajo del cabezal y
El estado interno de la máquina, que también se actualiza cuando se escribe el símbolo
Eso es todo.
Universalidad
En 1926, Alan Turing no solo desarrolló la máquina de Turing sino que también tuvo varias
ideas importantes sobre la naturaleza de la computación cuando escribió su famoso artículo,
“Sobre números computables”. Se dio cuenta de que un programa de computadora en sí
podría considerarse como entrada a una computadora. Con este punto de vista, tuvo la
hermosa idea de que una máquina de Turing podría simular o ejecutar esa entrada.
Si bien damos por sentadas estas ideas hoy, en la época de Turing la idea de una máquina tan
universal fue el gran avance que permitió a Turing desarrollar problemas sin solución.
Tesis de Church-Turing
Antes de continuar, examinemos un punto importante: sabemos que la máquina de Turing es
un modelo de computación, pero ¿es lo suficientemente general? Para responder a esta
pregunta, pasamos a la Tesis de Church-Turing, lo que da credibilidad a la siguiente
declaración:
Todo lo computable es computable por una máquina de Turing.
Mientras Turing desarrolló la máquina de Turing como un modelo de computación, Alonzo
Church también desarrolló un modelo de cálculo conocido como lambda-cálculo. Estos
modelos son potentes ya que ambos describen la computación y lo hacen de una manera igual
a cualquiera de las computadoras de hoy o para cualquier computadora. Esto significa que
podemos usar una máquina de Turing para describir los problemas irresolubles que
buscamos, sabiendo que nuestros hallazgos se aplicarán a todas las computadoras posibles.
Reconocimiento y Decidibilidad
Tenemos que cubrir un poco más de fondo antes de describir concretamente un problema sin
solución, a saber, los conceptos de reconocedores de lenguaje y factores decisivos de
lenguaje.
Un idioma es reconocible si hay una máquina de Turing que lo reconoce.
y
Un lenguaje es decidible si hay una máquina de Turing que lo decide.
Para ser un reconocedor de un idioma, una máquina de Turing debe aceptar cada cadena de
caracteres en el idioma y no debe aceptar nada que no esté en el idioma. Puede rechazar o
repetir esas cadenas. Para ser un factor de decisión, una máquina de Turing siempre debe
detener su entrada aceptando o rechazando.
Aquí, la idea de detener la entrada es crítica. De hecho, vemos que los factores de decisión
son más poderosos que los reconocedores. Además, un problema se puede resolver, o dicho
de otra manera, una función es decidible solo si existe una máquina de Turing que decide el
lenguaje descrito por la función.
Indecibilidad
Si alguna vez has escrito un programa de computadora, seguramente debes saber la sensación
de estar sentado allí, solo mirando la computadora girar las ruedas cuando se ejecuta el
programa. No se sabe si el programa tarda mucho o si hay algún error en el código que causa
un ciclo infinito. Es posible que incluso te hayas preguntado por qué el compilador no verifica
el código para ver si se detendría o se repetirá para siempre cuando se ejecute.
El compilador no tiene dicho control porque simplemente no se puede hacer. No es que los
ingenieros de compilación no sean lo suficientemente inteligentes o carezcan de los recursos,
es simplemente imposible verificar un programa de computadora arbitrario para determinar
si se detiene.
Podemos probar esto usando la máquina de Turing. Las máquinas de Turing se pueden
describir como cadenas de caracteres, por lo que hay un número contable de ellas.
Supongamos que M1, M2, y así sucesivamente conforman el conjunto de todas las máquinas
de Turing. Vamos a definir la siguiente función:
f(i, j) = 1 si Mi acepta <Mj>, 0 al contrario
Aquí, <M> es la sintaxis para la “codificación de cadena de M” y esta función representa el
problema de producir 1 si Mi se detiene al aceptar Mj como entrada y salida 0 al contrario.
Ten en cuenta que Mi debe detener (es decir, ser un factor decisivo). Esto es necesario ya que
deseamos describir una función indecidible (es decir, problema sin solución).
Ahora, definamos también un lenguaje L que consiste en codificaciones de cadenas de
máquinas de Turing que NO aceptan sus propias descripciones:
L = { <M> | M no acepta <M> }
Por ejemplo, alguna máquina M1 puede dar en la salida 0 para la entrada <M1&gt, mientras
que otra máquina M2 puede dar en la salida 1 para la entrada <M2>. Para probar que este
lenguaje es indecidible, preguntamos qué hace ML, la máquina que decide el lenguaje L,
cuando se le da su propia descripción <ML> como entrada. Hay dos oportunidades:
ML acepta <ML>
o
ML rechaza <ML>
Si ML acepta su propia codificación, entonces eso significa que <ML> no está en el idioma
L. Sin embargo, si ese fuera el caso, entonces ML no debería haber aceptado su codificación
en primer lugar. Por otro lado, si ML no acepta su propia codificación, entonces <ML> está
en el lenguaje L, entonces ML debería haber aceptado su codificación de cadena de caracteres.
En ambos casos, tenemos una paradoja o, en términos matemáticos, una contradicción, que
demuestra que el lenguaje L es indecidible; por lo tanto, hemos descrito nuestro primer
problema sin solución.
Deteniendo el Problema
Si bien el problema que acabamos de describir puede no parecer relevante, puede reducirse
a problemas adicionales irresolubles de importancia práctica, sobre todo el problema de
detención:
El lenguaje de las codificaciones de las máquinas de Turing que se detienen en la cadena
vacía.
El problema de detención se aplica a la pregunta de por qué los compiladores no pueden
detectar nudos infinitos desde antes. Si no podemos determinar si un programa termina en la
cadena vacía, entonces ¿cómo podríamos determinar si su ejecución daría como resultado un
nudo infinito? En este punto podría parecer que agitamos nuestras manos para llegar a una
conclusión simple sin embargo, nos dimos cuenta de que ninguna máquina de Turing puede
decir si un programa de computadora se detendrá o permanecerá en un nudo para siempre.
Este es un problema importante con aplicaciones prácticas y no se puede resolver en una
máquina de Turing o cualquier otro tipo de computadora. Un iPhone no puede resolver este
problema. Un escritorio con muchos núcleos no puede resolver este problema. La nube no
puede resolver este problema. Incluso si alguien quisiera inventar una computadora cuántica,
aún no sería capaz de resolver el problema de detención.
Resumen
En nuestro examen de la teoría de computabilidad hemos visto cómo hay muchas funciones
que no son computables en ningún sentido ordinario de la palabra mediante un argumento de
conteo. Definimos con precisión lo que queremos decir con computación, remontándonos a
la inspiración de Turing a partir de su propia experiencia con lápiz y papel para formalizar la
máquina de Turing. Hemos visto cómo este modelo puede calcular cualquier cosa que
cualquier computadora actual o prevista para mañana pueda y nos dimos cuenta de una clase
de problemas que no son computables en absoluto.
Aun así, la computabilidad tiene una desventaja. El hecho de que podamos resolver un
problema no significa que podamos resolverlo rápidamente. Después de todo, ¿de qué sirve
una computadora si su cálculo no va a terminar antes de que el sol se vuelva nova sobre
nosotros decenas de millones de años en el futuro?
Dejando las funciones computables y los lenguajes atrás, ahora discutimos la complejidad de
cómputo, examinando el cálculo eficiente y el famoso problema P vs. NP.
Complejidad
Lento vs. Rápido
Los científicos informáticos reconocen una variedad de clases de problemas y dos clases que
nos importan incluyen problemas que las computadoras pueden resolver rápida o
eficientemente, conocidos como P y problemas cuyas soluciones se pueden verificar
rápidamente pero no se pueden obtener rápidamente, conocidas como NP.
Por ejemplo, supongamos que eres responsable de desarrollar algoritmos para un servicio de
citas en línea y alguien plantea la pregunta: “¿Todos pueden obtener una cita?” La respuesta
se reduce a emparejar individuos compatibles para que todos estén emparejados. Resulta que
hay algoritmos eficientes para resolver este problema. Este problema está en el conjunto P.
Bueno, ¿y si quisiéramos identificar la hermandad más grande entre nuestros usuarios? Por
hermandad, nos referimos a la red más grande de individuos que son compatibles entre sí.
Cuando el recuento de usuarios es bajo, este problema se puede resolver rápidamente.
Podemos identificar fácilmente, por ejemplo, una hermandad con 3 usuarios. Sin embargo, a
medida que empezamos a buscar hermandades más grandes, el problema se vuelve cada vez
más difícil de resolver. Este problema está en el conjunto NP.
Definiciones Formales
P es el conjunto de problemas que se pueden resolver en tiempo polinomial. Es decir, el
número de pasos computacionales está limitado por una función polinómica con respecto al
tamaño del problema. Sabemos que la pregunta “¿Todos pueden tener una cita?”, también
conocida como problema de coincidencia bipartita, está en P.
NP es el conjunto de problemas que son verificables en tiempo polinomial. Esto incluye
todos los problemas en P, por supuesto; sin embargo, no sabemos si esta contención es
estricta. Conocemos problemas que son verificables de manera eficiente pero que no se
pueden resolver de manera eficiente, pero no sabemos si el problema es verdaderamente
insoluble. El problema de la hermandad es uno de esos problemas. Sabemos que podemos
verificar la solución de manera eficiente pero no sabemos con certeza si podemos resolver el
problema de manera eficiente.
Por último, NP-complete es el conjunto de problemas que son los problemas más difíciles
en NP. Se les conoce como los más difíciles porque cualquier problema en NP se puede
transformar eficientemente en NPC. Como resultado, si alguien identificara una solución
eficiente a un problema en NPC, toda la clase de NP sería absorbida por P. El problema de
la hermandad también está en NPC.
Resumen
En este examen de complejidad, definimos las clases de problemas P y NP. P informalmente
representa problemas que pueden ser resueltos eficientemente por una computadora, mientras
que NP representa aquellos que son verificables de manera eficiente.
Nadie ha podido demostrar que P no es igual a NP. Si estas dos clases de problemas son
equivalentes, es lo que se conoce como el problema P vs. NP y es el problema abierto más
importante en la informática teórica actual, si no en todas las matemáticas. De hecho, en el
año 2000, el Clay Math Institute denominó al problema P vs. NP como una de las siete
preguntas abiertas más importantes en matemáticas y ha ofrecido una recompensa de un
millón de dólares por una prueba que determina la solución a este problema.
Conclusión
En este artículo nos adentramos en los ámbitos de la computabilidad y la complejidad,
respondiendo grandes preguntas como “¿Qué es una computadora?”. Si bien los detalles
pueden ser abrumadores, hay una serie de aprendizajes profundos que vale la pena recordar:
•
•
Hay algunas cosas que simplemente no se pueden calcular, como el problema de
detención.
Hay algunas cosas que no se pueden calcular de manera eficiente, como los
problemas en NPC.
Más importantes que los detalles son las formas de pensar sobre computación y problemas
computacionales. En nuestra vida profesional e incluso en nuestro día a día, podemos
encontrarnos con problemas nunca antes vistos y podemos usar herramientas y técnicas
probadas para determinar el mejor curso de acción.
Bibliografía
Bajin, M. Introducción a la teoría de la complejidad y computabilidad. Developers. Recuperado: 07
/09/2020.