U1 FUNCIONES 2023

UNIDAD
1
FUNCIONES REALES
Contenidos
Conceptos Afines
Funciones Crecientes y decrecientes
Función biunívoca
Funciones Algebraicas
Funciones Trascendentes y Especiales
Función Inversa
Algebra de funciones
Función Compuesta
Anexo
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Página 17
MAPA CONCEPTUAL
y = f(x)
es una
Se representa
En la que para cada
se asocia
un
de un
descripción de
pertenece a un
es una
se la conoce
como
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
se la
llama
como
como
como
mediante
es una
que puede tener
puede ser
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CONTENIDOS TEÓRICOS
2.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f , de A en B denotada por
𝑓: 𝐴 → 𝐵 es una correspondencia que cumple con las siguientes condiciones:
Condición de existencia: Todos los elementos de A están relacionados con
elementos de B,
 aA
 b  B / (a,b)  f
Condición de unicidad: Cada elemento de A esta relacionado con un único
elemento de B,
(a , b1 )  f ^
(a , b2 )  f  b1 = b2
Si a las componentes del conjunto A las designamos con la letra x y a las componentes del
conjunto B las designamos con la letra y, tendremos:
f
B
A
 xi
De esta forma todo punto P f se denota:
 y=f(xi)
P x, f(x)
En nuestro estudio consideraremos funciones en las que las componentes de los pares ordenados, son
números reales. Este tipo de funciones se llaman Funciones Reales de variable real o simplemente Funciones
Reales.
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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2.2.- CONCEPTOS BÁSICOS
Dominio
Es el conjunto de todos los valores reales de la variable independiente, generalmente x, para los
cuáles está definida la función*.
𝑑𝑜𝑚𝑓 = {𝑥/∀𝑥 ∈ 𝑅 , 𝑓(𝑥) ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ℛ 𝑓(𝑥)}
*Recordar las “Reglas Sagradas” del Cálculo
Una función esté definida si se cumplen las siguientes reglas:
2
0
-
La división por cero no está permitida
-
El radicando de una raíz de índice par debe ser siempre positivo
-
El argumento de un logaritmo debe ser siempre mayor que cero
0
log  0
Ejemplos:
1).-
f(x)  3x 4  2x  5

La función dada no tiene denominador que pueda hacerse 0. Cumple la primera ley.

La función dada no contiene raíces, por lo tanto cumple la segunda ley.

La función dada no contiene logaritmos, por lo tanto cumple la tercera ley.
Entonces la función dada no tiene problemas en su dominio. Para cualquier valor dado a la variable
independiente x, la función y está definida. Esto se expresa:
domf   , 
;
domf  
2).- Determine analíticamente el dominio de la siguiente función:
𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4
a)
Como es una función de índice par, el radicando debe ser positivo (2° regla):
2x ≥ 4
;
2x − 4 ≥ 0
entonces 𝐝𝐨𝐦𝐟 = [𝟐; ∞)
x≥2
Codominio/rango
Es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función
Son los valores de la variable dependiente designadas generalmente con
y ó f(x).
𝑟𝑔𝑜 𝑓 = {𝑦/∀𝑦 ∈ 𝑅 , 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ℛ 𝑓(𝑥)}
Ejemplo:
determine analíticamente la imagen de la siguiente función 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4
Desarrollo
𝑦 = √2𝑥 − 4
(𝑦)2 = (√2𝑥 − 4)
Lo que nos indica que la imagen de la función
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
2
;
𝑦 2 = 2𝑥 − 4 → 𝑥 =
f(x)  2x  4 es:
𝑦2 + 4
2
𝒓𝒈𝒐𝒇 = ℝ+ = [𝟎, ∞)
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Gráfica de función
Durante el curso graficaremos las funciones en el SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.
Como la función es un conjunto de pares ordenados,
se pueden asociar uno a uno con puntos sobre el plano
y
P ( x, y)
cartesiano. A ese conjunto de puntos del plano lo llamamos
“gráfica de la función”, así
𝑔𝑟𝑎𝑓 (𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ⁄
𝑦 = 𝑓(𝑥)}
y normalmente permite ver a f como un trazo sobre el plano.
x
Simetría
La gráfica de una función puede:
Respecto al eje de ordenadas (simetría
FUNCIÒN PAR
axial)
- TENER SIMETRÌA
Respecto al origen de coordenadas
FUNCIÒN IMPAR
(Simetría Central)
-NO TENER SIMETRÌA
SI NO ES PAR NI IMPAR
Definición de función par
Se dice que la función f es PAR si:
𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑒𝑠 𝑃𝐴𝑅 ⇔ ∀ 𝑥 𝑑𝑜𝑚𝑓
𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)
Las gráficas resultan simétricas respecto al eje de las
ordenadas (simetría axial)
El eje de simetría de la parábola coincide con el eje de las
ordenadas
Definición de función impar
Se dice que la función f es IMPAR si:
𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑒𝑠 𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅 ⇔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ,
𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥)
Las gráficas resultan simétricas respecto al origen de
coordenadas (simetría central)
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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Definición de función no simétrica
Se dice que la función f
NO ES SIMETRICA si no es Par ni
Impar.
f: R → R
NO ES SIMETRICA ⇔ ∀ x ∈ domf ,
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥)
∧
𝑓(𝑥) ≠ −𝑓(−𝑥)
El eje de simetría de la parábola no coincide con el eje de las
ordenadas
Intersección de la gráfica con los ejes coordenados
En distintas circunstancias se hace necesario conocer la
intersección de la gráfica de f con los ejes coordenados, por
ejemplo determinar
“para qué precio de venta de un producto no se obtienen
ganancias”.
Antes de explicar cómo se obtienen los valores, vamos a definir los siguientes términos:
2.2.5.1 Intersección con el eje de las abscisas: es el punto P(x ; 0) de la gráfica para el que
la ordenada es nula.
La abscisa del punto, en este caso x, es el CERO DE LA FUNCIÓN f
2.2.5.2 Intersección con el eje de las ordenadas: es el punto Q(0 ; y) de la gráfica para el
que la abscisa es nula. La ordenada del punto, en este caso y, es f (0).
QY (0; y)
f (0)
INTERSECCIONES de
f CON LOS EJES
COORDENADOS
P1 (x1:0)
P2 (x2:0)
x
CEROS de f
Analíticamente:

 
int ersección con el eje x   x   f(x)  0





y  f(x)


 int ersección con el eje y   y   f(0)






FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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2.3.- FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Definición de función creciente
Una función f se dice creciente en un intervalo si para todo
par de puntos x1 y x2 del intervalo se cumple que:
Si
x1  x2  𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )
Definición de función decreciente
Una función f se dice decreciente en un intervalo si para
todo par de puntos x1 y x2 del intervalo se cumple que:
Si
x1  x2  𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )
LAS FUNCIONES CRECIENTES o DECRECIENTES EN UN INTERVALO SE LLAMAN ESTRICTAMENTE MONÓTONAS EN
EL INTERVALO
2.4.- FUNCIÓN BIUNÍVOCA, FUNCIÓN INYECTIVA O FUNCIÓN UNO A UNO
Definición de función biunívoca
Una función f es biunívoca (inyectiva o uno a uno) si para todo par de elementos x 1 y x2 del
dominio de f con
𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐
𝒚
x1  x 2 , se cumple que f(x1)  f(x 2 )
𝒇(𝒙𝟏 ) ≠ 𝒇(𝒙𝟐 )
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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Para aclarar el concepto, se grafica a continuación una función NO BIUNÍVOCA
; 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 )
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥1 ≠ 𝑥2
o
𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 )
y
𝑥1 ≠ 𝑥2
Criterios gráficos y analíticos
Criterio Gráfico
Criterio Analítico
(Criterio de la recta horizontal)
se usan las condiciones de la definición

Se trazan rectas horizontales que intersecten a la
gráfica de f. Si lo hace en un solo punto, la función
-

f(x)  ln 1  x 2
Sea
Se forman f(x1) y f(x2) :



f(x 2 )  ln 1  x 2

graficada es biunívoca.
f(x1 )  ln 1  x1
Caso contrario se trata de una función no biunívoca
- Se analizan como son x1 y x2 cuando f(x1)=f(x2)
f NO ES biunívoca
2
;
2
ln1  x12   ln1  x2 2 




según propiedades : 1  x12  1  x12
x12  x2 2 ;
x12 
x2 2  x1  x 2
O sea que f(x1) = f(x2) si: x1 = x2 ; -x1= -x2
pero también si:
x1 = - x2 ; -x1 = x2
Entonces f NO es biunívoca.
Sea
f(x)  x  1  1
3
x1  13  1 x 2  13  1
x1  13  x 2  13
x1  1  x 2  1
Para
x1  x 2
; fx1   fx 2 
ES BIUNÍVOCA
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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2.5.- CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Las funciones que se estudiarán durante el dictado de la materia son: Explicitas e Implícitas
Funciones explicitas
Son aquellas funciones donde la variable independiente y la variable dependiente están
claramente diferenciadas. Se expresan de la forma
Ej
y = f (x)
y = 3x2 – ex + ln (x-1)
Funciones implícitas
Son aquellas funciones expresadas en términos de las dos (o más) variables. Es decir son funciones
de la forma
F(x,y) = 0
Ej:
sen(x - y) + 3x2 y3 – 3x + 5y = 0
Clasificación de funciones Explicitas
Entera
RACIONAL
(polinomial)
Función constante :
y= K con kR
Función lineal
y = mx + b
Función cuadrática
Función cúbica
ALGEBRAICAS
y = ax2 +b x + c
y = ax3 +b x2 + cx +d
Función bicuadrada
y = ax4 +b x3 + cx2 +dx+e
Fraccionaria
IRRACIONAL
y  n P(x)
f(x)  a x
LOGARÍTMICA
y  f(x)  log (x)
Circulares :
TRIGONOMETRICAS
VALOR ABSOLUTO
SIGNO
PARTE ENTERA
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
P(x)
Q(x)
EXPONENCIAL
TRASCENDENTES
ESPECIALES
y  f(x) 
con a  0 y a  1
;
y  ln x
y = sen x … ; y = tg x
Hiperbólicas : y = Sh x …; y = Th x
y x
y  sgn P(x)
y x
Página 25
2.5.1.FUNCIONES ALGEBRAICAS
Son funciones que vienen expresadas mediante un numero finito de operaciones algebraicas
elementales: suma, diferencia, producto, cociente, potencia radicación.
2.5.1.1 FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Las funciones algebraicas racionales se clasifican en Enteras y Fraccionarias
 Funciones Algebraicas Enteras o Polinomiales
Están definidas por :
f(x)  a0 .x n  a1.x n1  a2 .x n 2  ...  an
donde a0 , a1 , a2 ,.... constantes reales ;
el dominio de estas funciones es :
(1)
n = entero positivo
domf = reales
a) Función constante
Si en (1) se hace n = 0 y como el exponente debe ser un número entero positivo se tiene:
f(x)  a0  an  k , f(x)  k
Características:
 dom f = reales
 rgo f = {k}
 gráfica es una recta horizontal
paralela o coincidente con el eje de
las abscisas
b) Función lineal
Si en (1) se hace n = 1 y como el exponente debe ser un número entero positivo se tiene:
f(x)  a0 .x  a1
haciendo a1 = b
y
ao = m tenemos :
f(x)  m.x  b
Características:

dom f = reales

rgo f = reales

gráfica: es una recta no vertical
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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Parámetros
b es la ordenada al origen de la recta
m es la pendiente de la recta. Se la define como la tangente trigonométrica del ángulo de
m  tg 
inclinación:
y

x
Mide la variación de la variable dependiente y,
respecto a la variación de la variable
independiente x.

Si m > 0 la función es creciente
y = 2x – 1
En este caso b = -1
2
1

si m < 0
la función es decreciente
y = (- 3/2) x + 2 en este caso b = 2
b) Función Cuadrática
Si en (1) se hace n = 2 y como el exponente debe ser un número entero positivo se tiene:
f(x)  a0 .x 2  a1.x  a2
Haciendo :
a0 = a ; a 1 = b ;
a2 = c
f(x)  a x 2  b.x  c
con a  0
Características

dom f = reales

rgof= (- , k] ò

la gráfica es una parábola de eje vertical

si

si a < 0 la curva es cóncava hacia abajo
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
a>0
[k, + )
la curva es cóncava hacia arriba ;
Página 27
-
Si b = 0
c 0

y = a x2 + c
el vértice de la parábola está ubicado sobre el eje y
Ejemplo: y = - x2 + 5
Si b = 0
c= 0 :
y = a x2
el vértice de la parábola está ubicado en el origen de
coordenadas
Ejemplo: y = x2
Si b  0 ; c 0 :
y = a x2 + bx + c
el vértice se encuentra “desplazado horizontalmente”
Ejemplo: y = 0.25 x2 -2x + 1
Para determinar las coordenadas (h, k) del vértice empleamos la fórmula:
h
b
2a
y haciendo y  f (h) obtenemos el valor de k
encontrando los ceros de la función o haciendo tabla de valores determinamos otros puntos
pertenecientes a la parábola y podremos graficar.
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 Funciones Algebraicas Racionales Fraccionarias
Presentan la forma:
f(x) 
P(x)
Q(x)
con P y Q polinomios de la variable x
domf  R   xi / Q(xi)  0
Asíntota Vertical
La recta x = a con a constante real
es asíntota vertical de la gráfica de f si se
presenta
al
menos
una
de
las
siguientes
situaciones:
x  a
f(a)  
x  a
f(a)  
x  a
f(a)  
x  a
f(a)  
Asíntota Horizontal
La recta y = k con k constante real es
asíntota horizontal de la gráfica de f si se
presenta
al
menos
una
de
las
siguientes
situaciones:
x  
x  
f(x)   k
f(x)   k
Método para determinar asíntotas Horizontales en funciones racionales fraccionarias
Una función algebraica racional fraccionaria puede expresarse:
f(x) 
P(x) a0 .xn

Q(x) b .xm
o
i) si n > m
n  grado del polinomio numerador ; m  grado polinomio denominador
la gráfica de f no tiene A.H
a
y o
bo
iii) si n < m la gráfica de f tiene A.H en y  0 ( eje x )
ii) si n = m
la gráfica de f tiene A.H en
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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2.5.1.2 FUNCIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES
Presentan la forma:
f / f(x) n x
si n es par
f(x)  n x 
f(x)  - n x
si x  0
f(x)  n x 
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domf   x  0
f(x)  - x - a
domf  a,  
rgof  -  , 0
f(x)  x - a
domf  a,  
rgof  0,  
si n es impar

f(x)  - n x
x    domf  R
Página 30
2.5.2 FUNCIONES TRASCENDENTES
Función Exponencial
La función exponencial presenta la forma:
f(x)  ax donde a  0
y a1
* domf = reales
* Si
0<a<1
f es decreciente
Si a > 1 f es creciente

f presenta asíntota horizontal

f no tiene asíntota vertical

f es biunívoca

su f-1 es la función logarítmica
Función Logarítmica
La función logarítmica presenta la forma:
f(x)  loga x donde

𝑑𝑜𝑚𝑓 = (0, ∞)

rgof = reales

Si

Si a > 1 f es creciente
;
a0
y a1
0 < a < 1 f es decreciente

f presenta asíntota vertical

f no tiene asíntota horizontal

f es biunívoca

su f-1 es la función exponencial
Función Trigonométrica Circular
Las funciones trigonométricas circulares son las funciones trigonométricas referenciadas en la
circunferencia y que se definen por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos
valores de la variable independiente.
Las funciones trigonométricas circulares son periódicas es decir tienen la propiedad de tomar el
mismo valor a intervalos iguales.
Una función f es periódica, con período p  0 , si para todo x perteneciente a su dominio, se
verifica que :
f(x)  f(x  p)
A continuación repasaremos características de las funciones trigonométricas circulares:
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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FUNCIÓN
DOMINIO
RANGO
SIMETRÍA
CEROS
f0)
p
y = sen x
(-, )
[-1,1]
Impar
x  nπ
nZ
0
2
(-, )
[-1,1]
Par
n.π
2
n  Z(impar)
1
2
0

y = cos x
y = tg x
n.π
2
n  Z(impar)
x 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Impar
(-, )
x 
x  nπ
nZ
GRAFICA
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y = cosec x
y = sec x
y = cotg x
x  nπ
nZ
n.π
2
n  Z(impar)
x 
x  nπ
nZ
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
(-, )
Impar
n.π
2
n  Z(impar)
Par

Re(-1,1)
Re(-1,1)
Impar
x 



1
2

2
Página 33
2.5.3 FUNCIONES ESPECIALES
Función Valor Absoluto
Presenta la forma:
f  (x, y)/y  x 

domf = (-, )

rgo f = [0, )
según la definición de Valor Absoluto tenemos:
 x si x  0

f(x)  x  
 x si x  0

Función Parte Entera o Función del mayor entero
Está definida de la siguiente forma:
f  ( x, y ) / y  x 
se define como el mayor entero que no supera a x .
domf= (-. )
rgof= {Z}
f ( x)  x
x
y
-2,1
2
-1,8
-3
-2
-2
-1,5
-1,1
-0,2
-2
-2
-1
0
0,2
0,6
0
0
0
1
1,2
1.4
1
1
1
1.8
2
2,3
1
2
2
Ejemplo vida cotidiana:
En un país cualquiera…
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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Función Signo
Está definida por:
 1 si x  0

f(x)  sgn( x)   0 si x  0
 1 si x  0

domf= (-. ) ;
rgof= {-1, 0 , 1}
Función Parte Decimal o Función Mantisa
La función parte decimal o función mantisa M(x) = x -E(x) hace corresponder a cada número real
x el mismo número menos su parte entera.
Esta función tiene aplicaciones en la electrónica
x
[|E|]
x-[|E|]
-2,1
2
-1,8
-1
-1,1
-0,2
0
0,2
0,6
1
1,2
1.4
1.8
2
2,3
3
3,1
-3
-2
-2
-1
-2
-1
0
0
0
1
1
1
1
2
2
3
3
0,9
0
0,2
0
0,9
0,8
0
0,2
0,6
0
0,2
0,4
0,8
0
0,3
0
0,1
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Página
- 35 -
2.6.- FUNCIÓN INVERSA
Sea una función biunívoca f:
𝑓 = {(1,2); (2 ,4); (3, −1); (4, −2)}
la nueva función g , obtenida al intercambiar los pares ordenados de f:
𝑔 = {(2, 1); (4, 2); (−1, 3); (−2, 4)}
es la FUNCIÓN INVERSA de f.
Definición de función inversa
Si f es una función biunívoca, el conjunto de pares ordenados obtenido al intercambiar el orden
de las componentes de cada uno de los pares ordenados de f, se llama función inversa de f y la
designamos por f-1
Definición rigurosa
Sea la función biunívoca f está definida por la ecuación y = f(x) , es decir:
𝑓 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥)}
La función inversa de f será:
𝑓 −1 (𝑦) = {(𝑦, 𝑥)/ 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦)}
donde “y” es la variable independiente y “x” es la variable dependiente.
Para poder graficar ambas funciones, f y f-1, en un mismo sistema de ejes coordenados y como
las letras que se usan para designar las variables de una función pueden ser cualesquiera,
escribimos la expresión (1) de la siguiente forma:
𝑓 −1 (𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥)}
donde “y” es la variable independiente y “x” es la variable dependiente.
Si f no es biunívoca, se restringe
el dominio para poder formar f-1.
Características de f y f-1:
i)
Si f es creciente/decreciente, su inversa f-1 también será creciente/decreciente
ii)
𝑑𝑜𝑚 𝑓 −1 = 𝑖𝑚𝑔 𝑓
iii)
las gráficas de f y f-1 resultan simétricas respecto
y
𝑖𝑚𝑔 𝑓 −1 = 𝑑𝑜𝑚 𝑓
a la recta y = x (1° bisectriz)
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Página
- 36 -
2.7.- ALGEBRA DE FUNCIONES
Dadas dos funciones definidas por y = f(x) , y = g(x) es posible formar, bajo ciertas condiciones,
una nueva función resultante de sumarlas, restarlas, multiplicarlas o dividirlas.
Es así que :
𝑖)
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)  𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 }
𝑖𝑖)
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)  𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 }
𝑖𝑖𝑖)

𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)  𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 }
𝑖𝑣)
𝑓(𝑥)/ 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)  𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 ∧ 𝑔(𝑥) ≠ 0}
𝑣)
𝑔(𝑥)/ 𝑓(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑔(𝑥)/𝑓(𝑥)  𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 ∧ 𝑓(𝑥) ≠ 0}
Como vemos las operaciones : suma, diferencia y producto sólo podrán efectuarse si
domf domg  

la operación cociente sólo podrá efectuarse si :
domf domg  
y g(x)  0
Para comprender el condicionamiento que solo pueden formarse las operaciones entre funciones
solo para los valores de x domf domg   observamos las graficas de f y g.
En esta
región sólo
está
definida la
función f
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I
En esta
región sólo
está
definida la
función g.
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2. 8.- FUNCIÓN COMPUESTA
Introducción
Además de las operaciones definidas anteriormente podemos definir otra operación
llamada composición de funciones o función compuesta .
Función compuesta gof
Frecuentemente dos funciones definidas por y = f(x) ; y = g(x), que de ahora en adelante
llamaremos f y g, están relacionadas de forma tal que el rango de una de una de ellas coincide
con el dominio de la otra.
Ejemplo :
f = { (-1,3) ; ( 2,4) ; (0,8 ) ; (8,6) }
;
g = { (4,0) ; (3,-1) ; (6,5) }
f

-1

2

0

8
g

3

0

4

-1

8

5

6
i formamos una función F cuyos pares ordenados (x,y) estén formados por sólo aquellos valores de
x cuyas imágenes sean a la vez parte del domino de g
y su correspondientes imágenes,
tendremos:
F={(x,y) / (-1, -1); (2,0) ; (8,5) }
Generalizando
Si escogemos un x del domf tal que f(x) pertenezca al domg, entonces el elemento de la
imagen de g correspondiente a f(x) de su dominio es g[f(x)], al cuál para simplificar lo llamamos
y . Queda formado así el par (x,y) donde x pertenece al domf e y pertenece a Img.
El conjunto de todos los pares ordenados (x,y) así formados recibe el nombre de FUNCIÓN
COMPUESTA g de f, que se simboliza por g(f)
ó gof.
g
f
* xi
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* f(xi)
g[f (x)]
* gf(xi)
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Definición de gof
Si f y g son funciones tales que Imf  domg  , la función g(f) definida por
𝑔(𝑓) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑔[𝑓(𝑥)]}
se llama función compuesta g de f.
Dominio de gof
dom g(f)  x domf / f(x)domg
El dominio de g(f) será:
Representación funcional de gof
Podemos representar la función compuesta
como una máquina, tal como se muestra a
continuación. En este caso se representó g[f(x)].
x
f
f(x)
g
gf (x)
Ejemplo:
f(x) 
Sean
x
y
g(x) 
La composición
En este ejemplo
-1  x
g f  es posible si el rango de f coincide con el dominio de g
rgof  0,  y domg   , -1
g
g [f(x)]
No podemos realizar la composición ya que las imágenes de dominio de f no pertenecen al dominio de g
x
rgof=[0, ∞)
ff
gf
¿
domg=(-∞,-1]
La condición para que pueda definirse la composición gof es que la imagen de f esté incluida en el dominio
de g.
rgof  domg
ACTIVIDAD
-
representación funcional de fog
-
definición de fog
-
dominio de fog
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