CONJUNTOS- CLASES Y OPERACIONES

- Se entiende como una colección,
agrupación o reunión de integrantes u
objetos
Ejemplos:
NOTACIÓN DE CONJUNTO
- Se denota por letras mayúsculas: A, B, C, ...,Z
- Se escribe entre llaves
{
}
- Los elementos se separan por comas o punto y
coma.
- Los elementos no deben repetirse
Ejemplos:
El conjunto de las letras del alfabeto: a, b,....,z se
puede escribir así:
A = { a, b, c,...., x, y, z}
B = { a; b; c; ...; x; y; z}
Para indicar que un elemento pertenece
a un conjunto se usa el símbolo: 
Si un elemento no pertenece a un
conjunto se usa el símbolo: 
Ejemplo:
Sea: M = {2;4;6;8;10}
2  M ...se lee 2 pertenece al conjunto M
5  M ...se lee 5 NO pertenece al conjunto M
Existen 2 formas:
I) POR EXTENSIÓN: se nombra a todos y cada uno de los
elementos
Ejemplos:
A = { Revolver, Pistola, Fusil}
B = { Perú, Panamá, Pakistán, Portugal}
II. POR COMPRENSIÓN: se nombra una propiedad o
característica en común de los elementos
Ejemplos:
C = { Países cuyo nombre empieza con la «P»}
D = { x/x es un tipo de arma } Se lee: D es el conjunto
formado por los elementos x tal que x es un tipo de arma
CARDINAL DE UN CONJUNTO
- Número de elementos que tiene un
conjunto
- Se representa por :
n(A)
- Se lee: Cardinal del Conjunto A
Ejemplo:
A= {a,b,c,d,e} su cardinal es
n(A)= 5
B= {x,x,x,y,y,z} su cardinal es
n(B)= 3
-
Se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883)
-
Representan conjuntos mediante figuras geométricas
B
A
o
e
a
i
u
C
7
1
9
4 8
1
3
7
6
7
5
8
2
4
6
2
A = { a, e, i, o, u}
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
C = { x/x es un número par natural menor que 10}
I. CONJUNTO VACÍO O NULO
-
No tiene elementos
-
Representación:

Ej.: A =
o

o { }
A={ }
se lee: “A es el conjunto vacío” o
“A es el conjunto nulo“
Ej.:
B = {Los alumnos PNP que son altos y bajos}
C = {números mayor que 7 y menor que 3}
D = {números naturales que sumados a 4 da 2}
E = {x/x es un habitante del sol}
II. CONJUNTO UNITARIO
- Tiene un solo elemento.
Ejs.: F = { x / 2x + 6 = 0 }
G = x / x 2  4  x  0
H = { x / x es una vocal de la palabra VOZ
III. CONJUNTO FINITO
- Tiene limitado número de elementos
Ejs.: I = {x/x es un número impar positivo menor que 10 }
J = {Números pares menor que 20}
K= {x/x es un alumno PNP del aula 1}
IV. CONJUNTO INFINITO
- Ilimitado número de elementos
Ejs.: R = { x / x < 6 }
S = { x / x es un número par }
T = { Número de estrellas en el universo}
V. CONJUNTO UNIVERSAL
- Conjunto referencial contiene a todos los
elementos de una situación particular
- Representación: Letra
U
Ejs.: U = { Todos los números naturales
U = { x/x es una lera del Alfabeto}
I. INCLUSIÓN:
- Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí y sólo
sí, todo elemento de A es también elemento de B
NOTACIÓN : A  B
Simbólicamente: A  B  x  A  x  B
Se lee :
A esta incluido en B
A es subconjunto de B
A esta contenido en B
A es parte de B.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
B
A
PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN:
I ) Todo conjunto está incluido en si mismo: A  A
II ) El conjunto vacío se considera incluido en
cualquier conjunto:   A
III ) A está incluido en B ( A  B ) equivale a decir
que B incluye a A ( B  A )
IV ) Si A no está incluido en B o A no es
subconjunto de B significa que por lo menos
un elemento de A no pertenece a B: A  B
II. IGUALDAD DE CONJUNTOS
- Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos
elementos.
Simbólicamente :
A  B  (A  B)  (B  A)
Ej.
A = { 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6 }
y B = { 6, 4, 3, 5, 2}
Observamos que ambos conjuntos tienen sus
elementos iguales, A = B
A  B  (A  B)  (B  A)
III. CONJUNTOS DISJUNTOS
Dos conjuntos son disjuntos cuando no
tienen elementos comunes.
Ej.:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA :
A
B
7
5
4
9
1
3
6
2
8



Como puedes
observar los
conjuntos A y B no
tienen elementos
comunes, por lo
tanto son
CONJUNTOS
DISJUNTOS
IV. CONJUNTO POTENCIA
-
Conjunto formado por todos los subconjuntos de otro
conjunto (A), incluido el conjunto vacío.
-
Notación:
P(A) o
Pot(A)
Ej.: Sea A = { m;n;p }
n(A) = 3
Los subconjuntos de A son:
{m},{n},{p}, {m;n}, {m;p}, {n;p}, {m;n;p}, Φ
Entonces el conjunto potencia de A tendrá 8 elementos:
P(A) = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p};Φ }
NÚMERO DE ELEMENTOS DEL CONJUNTO POTENCIA
Si conjunto A tiene «n» elementos entonces el
número de elementos de su conjunto potencia
es: 2n
Del Ej.: 23 = 8 elementos
Números Naturales ( N )
N={1;2;3;4;5;....}
Números Enteros ( Z )
Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q)
1
Q={...;-2;-1; ;0; 1 ; 1 ; 1;
2
5
2
4
3
;2;....}
Números Irracionales ( I )
I={...; 2; 3;  ;....}
Números Reales ( R )
R={...;-2;-1;0;1; 2; 3 ;2;3;....}
Números Complejos ( C )
1

C={...;-2; 2;0;1; 2; 3 ;2+3i;3;....}
C
R
Z
N
Q
I
P={3}
Ejs.:
Expresar por extensión los siguientes conjuntos:
Q={-3;3}
1 ) P  x  N / x 2  9  0
F={}
2 ) Q  x  Z / x  9  0
3 ) F  x  R / x 2  9  0
2

B  x  I /(3x  4)(x 
4) T  x  Q /(3x  4)(x  2)  0
5)
2)  0
4
T 

3
B
2 
I. Unión o Reunión de Conjuntos
II. Intersección de Conjuntos
III. Diferencia de Conjuntos
IV. Diferencia Simétrica de Conjuntos
V. Complemento de Conjuntos
- Conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen al A, al B o a ambos conjuntos.
- “A unión B” se representa : A  B
Ej.: A  1; 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9
A
1
3
2
4
7
5
8 B
6
9
A  B  1; 2; 3; 4; 5;6;7;8; 9
A  B  x / x  A  x  B
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA
UNIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son conjuntos
Si A y B son conjuntos
U
U
B
A
B
A
AUB
AUB
U
Si A y B son
conjuntos disjuntos
A
AUB
B
PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE
CONJUNTOS
1. A U A = A
2. A U B = B U A
3. A U Φ = A
4. A U U = U
5. (AUB) UC =AU(BUC)
6. Si AUB=Φ entonces A=Φ y B=Φ
- Conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen al A y pertenecen al B.
A B
- “A intersección B” , se representa por:
Ej.:
A  1; 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9
A
1
3
2
4
7
8
B
6
5
9
A  B  5;6;7
A  B  x / x  A  x  B
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son conjuntos
Si A y B son conjuntos
U
U
B
A
B
A
A∩B=B
A∩B
Si A y B son
conjuntos disjuntos
A∩B=Φ
U
A
B
PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN
DE CONJUNTOS
1. A ∩ A = A
2. A ∩ B = B ∩ A
3. A ∩ Φ = Φ
4. A ∩ U = A
5. (A ∩ B) ∩ C =A ∩(B ∩ C)
6. A ∩(B ∩ C) =(A ∩ B) ∩(A ∩ C)
- Conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen al A y NO pertenecen al B.
- El conjunto “A menos B” que se representa : A  B
Ej.: A  1; 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9
A
1
3
2
4
7
5
8
B
6
9
A  B  1; 2; 3; 4
A  B  x / x  A  x  B
El conjunto “B menos A” que se representa B  A :
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen al B y NO pertenecen al A.
Ejemplo:
A  1; 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9
A
1
3
2
7
8
6
5
4
B
9
B  A  x / x  B  x  A
B  A  8; 9
A  B  1; 2; 3; 4 A  B  x / x  A  x  B
A–B
≠
B-A
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Si A y B son conjuntos
Si A y B son conjuntos
U
U
B
A
B
A
A-B
A-B
U
Si A y B son
conjuntos disjuntos
A–B=A
A
B
- Conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a (A-B) o (B-A).
A B
- “A diferencia simétrica B ” :
Ej.:
A  1; 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9
A
1
3
2
4
7
5
8
B
6
9
AB  1; 2; 3; 4  8; 9
AB  x / x  (A  B)  x  (B  A)
DIFERENCIA SIMÉTRICA - Propiedades
AB  (A  B)  (B  A)
A
B
A-B
B-A
AB  (A  B)  (A  B)
B
A
A∩B
- Todos los elementos del universo que no
pertenecen al conjunto A.
Si: U Conjunto Universal
Notación: A’ o AC
Simbólicamente: A '  x / x  U  x  A
A’ = U - A
Ej.:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} y A ={1;3; 5; 7; 9}
Sol.:
A
U
2
A’={2;4;6,8}
6
1 3 7
5 9
8
4
PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO
1. (A’)’=A
2. A U A’= U
3. A ∩ A’=Φ
4. U’=Φ
5. Φ’=U
EJERCICIOS:
1) A = { 2,4,6,...,26}
a)
B = { 3, 7, 11, 15,...,31}
a) Calcular: n(A) y n(B)
b) Hallar: A ∩ B , B – A
Sol.:
Los elementos de A:
tt2tt tt4tt tt6tt tt8tt
2x1
2x2
2x3
2x4
..
.
tt 26tt
2x13
Los elementos de B son:
tt3tt tt7tt tt11tttt15tt .. tt31tt
3 4x0 3 4x1 3  4x2 3 4x3
n(A) = 13
b)
A∩B={ }
B – A = {3, 7, 11, 15. …., 31}
n(B)= 8
.
3  4x7
2) Hallar: A ∩ B , C – A
A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34}
B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}
C = {3;7;11;15;19;23;27;31}
Sol.:
Se Sabe: A ∩ B esta formado por los elementos
comunes de A y B, entonces:
A ∩ B = { 4;10;16;22 }
Como: C - A esta formado por los elementos de
C que no pertenecen a A, entonces:
C – A = { 3;11;15;23;27 }
3)
De un grupo de la Promoción «HONESTIDAD» se
observó que 54 son atletas, 49 son nadadores y 14
practican ambas disciplina, ¿Cuántos alumnos
existen en el grupo?, si se sabe que los que no
practican ninguna disciplina son la quinta parte de
los que practican solo un tipo de disciplina.
Sol.:
U
A=54
N=49
40
14
35
ND= (40+35)/5=15
N = Nadador
A = Atleta
ND= Ninguna disciplina
Num.Alum.= 54+35+15
Num.Alum.= 104