ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA CÓDIGO: 301301 Tarea - Unidad 1 – Álgebra. Presentado al tutor: Manuel Hamet Fontalvo Entregado por el (la) estudiante: Daniel Andrés Cortés Cifuentes 1.013.620.521 Grupo: 301301_121 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 17 DE ABRIL DE 2022 BOGOTÁ D.C INTRODUCCIÓN En nuestro diario vivir se presentan diversas situaciones naturales a las cuales restamos la importancia matemática que estas presentan sin que el individuo se dé cuenta. El álgebra como extensión de la aritmética nos permite encontrar una respuesta matemática de manera acertada a estas situaciones que diariamente se pueden presentar. “El álgebra es generosa; a menudo da más de lo que se le pide” (Jean Baptiste le Rond D’Alembert 1717 -1783). En este trabajo encontraremos a continuación cinco (5) ejercicios que abordan las siguientes temáticas: Ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado, inecuaciones, sumatorias y productorias. Tabla enlace video explicativo Nombre del estudiante Daniel Andrés Cifuentes Digito seleccionado y publicado Enlace video Explicativo en el foro de la tarea 1 https://www.youtube.com/watch Cortés 5. ?v=3zJcZj-oEkg Desarrollo de los ejercicios Ejercicio 1. Ecuaciones de primer grado (solución de sistemas de ecuaciones) Compro 2 kg de manzanas más 8kg peras y pagué un total de USD 75. Luego otro día fui a la tienda, compré 3 kg de manzanas y me hicieron un descuento del valor de 5 kg peras para un total de USD 45. ¿Cuál es el valor de un kg de manzanas y un kg de peras? Desarrollo del ejercicio 1: Ecuaciones de primer grado (solución de sistemas de ecuaciones) 𝑀𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 (𝑘𝑔) = 𝑋 𝑃𝑒𝑟𝑎 (𝑘𝑔) = 𝑌 𝑎. 2𝑥 + 8𝑦 = 75 𝑏. 3𝑥 − 5𝑦 = 45 Despejamos X en la ecuación A: 2𝑥 + 8𝑦 = 75 2𝑥 = 75 − 8𝑦 75 − 8𝑦 𝑥= 2 75 𝑥= − 4𝑦 2 Reemplazamos X en la ecuación B: 3𝑥 − 5𝑦 = 45 75 3∗ − 4𝑦 − 5𝑦 = 45 2 112.5 − 12𝑦 − 5𝑦 = 45 −17𝑦 = 45 − 112.5 −17𝑦 = −67.5 −67.5 𝑦= −17 𝑦 = 3.97 Reemplazamos Y en la ecuación A: 2𝑥 + 8𝑦 = 75 2𝑥 + 31.76 = 75 2𝑥 = 75 − 31.76 2𝑥 = 43.24 43.24 𝑥= 2 𝑥 = 21.62 Probamos los resultados en las ecuaciones: 2𝑥 + 8𝑦 = 75 2(21.62) + 8(3.97) = 75 43.24 + 31.76 = 75 75 = 75 3𝑥 − 5𝑦 = 45 3(21.62) − 5(3.97) = 45 64.86 − 19.85 = 45 45 = 45 Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en GeoGebra: Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del ejercicio 1: Ecuaciones de primer grado (solución de sistemas de ecuaciones) El valor de 1 kg de manzanas es de 21.62 USD. El valor de 1kg de peras es de 3.97 USD Ejercicio 2. Ecuaciones de segundo grado. Un balón se lanza hacia arriba describiendo un movimiento parabólico. El movimiento es dado por 𝑦 = −(𝑥 − 2)2 + 35. Donde “y” es la altura en metros y “x” el tiempo en segundos. Calcular el tiempo en que la pelota toca el piso. Desarrollo del ejercicio 2: Ecuaciones de segundo grado. 𝑋 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑌 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 Se usan los productos notables para iniciar: 𝑌 = −(𝑥 − 2)2 + 35 𝑌 = −(𝑥 2 − 2(−2𝑥) + (−2)2 ) + 35 𝑌 = −𝑥 2 + 4𝑥 + 4 + 35 𝑌 = −𝑥 2 + 4𝑥 + 39 Se utiliza la ecuación general: 𝑎. −1 𝑏. 4 𝑐. 39 𝑌= 𝑌= −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 −4 + √42 − 4(−1)(39) 2(−1) 𝑌= −4 + √16 + 156 −2 𝑌= −4 + √172 −2 𝑌= −4 + 13.11 −2 𝑌= 9.11 −2 𝑌 = −4.55 𝑌= −4 − √42 − 4(−1)(39) 2(−1) 𝑌= −4 − √16 + 4(39) −2 𝑌= −4 − √16 + 156 −2 𝑌= −4 − √172 −2 𝑌= −4 − 13.11 −2 𝑌= −17.11 −2 𝑌 = 8.55 Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en GeoGebra: Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del ejercicio 2: Ecuaciones de segundo grado. La pelota empieza a ascender en el intervalo de tiempo -4.55 y finalmente toca el piso en el intervalo 8.55. La duración del tiempo desde que empezó a ascender hasta que toca el piso es de 13.1 Segundos. Ejercicio 3: Inecuaciones. La variación en la venta de productos textiles se describe con la inecuación |4x+7|≤75, donde “x” representa la cantidad de textiles. ¿Para qué intervalo de textiles se cumple la anterior inecuación? Desarrollo del Ejercicio 3: Inecuaciones. Escriba aquí la solución del Ejercicio 3: Inecuaciones (Recuerde que debe utilizar el editor de ecuaciones de WORD para presentar el desarrollo del ejercicio) | 4𝑥 + 7 | ≤ 75 −75 ≤ 4𝑥 + 7 ≤ 75 −75 − 7 ≤ 4𝑥 + 7 − 7 ≤ 75 − 7 −82 ≤ 4𝑥 ≤ 68 82 4𝑥 68 − ≤ ≤ 4 4 4 −20.5 ≤ 𝑥 ≤ 17 Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en GeoGebra: Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del Ejercicio 3: Inecuaciones. El intervalo de textiles que cumple −20.5 ≤ 𝑥 ≤ 17 la inecuación es: Ejercicio 4: Sumatorias Se tiene una progresión {3𝐽2 + 2} y se desea sumar los dígitos desde -1 hasta 5, Como se indica a continuación: ∑5𝑗=−1(3𝐽2 + 2) Calcular el valor de la suma. Desarrollo del Ejercicio 4: Sumatorias. ∑5𝑗=−1(3𝐽2 + 2) = {(3(−1)2 + 2) + (3(0)2 + 2) + (3(1)2 + 2) + (3(2)2 + 2) + (3(3)2 + 2) + (3(4)2 + 2) + (3(5)2 + 2)} 5 ∑ (3𝐽2 + 2) = 5 + 2 + 5 + 14 + 29 + 50 + 77 𝑗=−1 5 ∑ (3𝐽2 + 2) = 182 𝑗=−1 Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en GeoGebra: Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del Ejercicio 4: Sumatorias El valor de la suma es de 182 Ejercicio 5: Productorias Se tiene la siguiente cantidad 1, 2, 3, …, 15. Calculo el valor de multiplicar los últimos nueve términos de esa lista utilizando la productoria. 15 ∏ 𝑎𝑖 i=15−9 Desarrollo del Ejercicio 5: Productorias. 15 ∏ 𝑎𝑖 i=15−9 15 ∏ 𝑎𝑖 = 6 ∗ 7 ∗ 8 ∗ 9 ∗ 10 ∗ 11 ∗ 12 ∗ 13 ∗ 14 ∗ 15 i=6 15 ∏ 𝑎𝑖 = 10.897.286.400 i=6 Teniendo en cuenta el enunciado que indica calcular el valor de multiplicar los últimos nueve términos de la lista el resultado sería el siguiente: 15 ∏ 𝑎𝑖 = 15 ∗ 14 ∗ 13 ∗ 12 ∗ 11 ∗ 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 i=6 15 ∏ 𝑎𝑖 = 1.816.214.400 i=6 Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en GeoGebra: Teniendo en cuenta el enunciado que indica calcular el valor de multiplicar los últimos nueve términos de la lista el resultado sería el siguiente: Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del Ejercicio 5: Productorias El valor de los últimos nueve términos de la productoria es 1.816.214.400 Conclusiones Terminados los ejercicios podemos apreciar como gracias al Álgebra y a sus temas trabajados pudimos brindar una solución matemática a cada una de las problemáticas planteadas en cada una de las situaciones, que podemos tener presentes en el diario vivir y valorar la importancia de esta rama de las matemáticas. Referencias bibliográficas Escobar, J. (2018) Objeto virtual de información No. 1. Sumatorias y Productorias. http://hdl.handle.net/10596/19183 Martínez, B. C. (2011) Estadística básica aplicada (4a.ed.). Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. (pp 33–38) https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69216 Mesa, O. J., & González, P. L. (2009) Propiedades de las sumatorias. Córdoba, AR: El Cid Editor | apuntes. (pp. 1–9) https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/29596 Ramírez, V. A. P., & Cárdenas, A. J. C. (2001) Matemática universitaria: conceptos y aplicaciones generales. Vol. 1. San José, CR: Editorial Cyrano. (pp. 1– 8) https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/79123 Riquenes, R. M., Hernández, F. R., & Celorrio, S. A. (2012) Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior. La Habana, CU: Editorial Universitaria. (pp. 1–30) https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/71517 Rondón, J. (2017) Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. (pp. 7–79, 81-118, 122129) http://hdl.handle.net/10596/11583