Matemáticas financieras con aplicaciones en Excel Humberto Bedoya Valencia M AT E M ÁT I C A S FINANCIERAS CO N A P L I C AC I O N E S E N E XC E L H u m b e r t o B e d o ya V a l e n c i a Catalogación en la publicación - Biblioteca Nacional de Colombia Bedoya Valencia, Humberto Matemáticas financieras con aplicaciones en excel / Humberto Bedoya Valencia. -- 1a. ed. – Bogotá : Ecoe Ediciones, 2019. 166 p. -- (Ciencias empresariales. Contabilidad y finanzas) Incluye datos biográficos del autor en la cubierta. -- Contiene bibliografía. ISBN 978-958-771-844-7 -- 978-958-771-845-4 (e-book) 1. Matemáticas financieras - Procesamiento electrónico de datos 2. Excel (Programa para computador) - Aplicaciones I. Título II. Serie CDD: 650.01513 ed. 23 CO-BoBN– a1047476 Colección: Ciencias empresariales Área: Contabilidad y finanzas ▶ Humberto Bedoya Valencia Primera edición: Bogotá, septiembre de 2019 © Ecoe Ediciones Limitada [email protected] www.ecoeediciones.com Carrera 19 # 63C 32, Tel.: 248 14 49 Bogotá, Colombia ISBN: 978-958-771-844-7 e-ISBN: 978-958-771-845-4 Coordinación editorial: Angélica García Reyes Corrección de estilo: Catina del Mar Diagramación: Magda Barrero Carátula: Wilson Marulanda Muñoz Impresión: DGP Editores Calle 63 # 70 D -34 Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales. Impreso y hecho en Colombia - Todos los derechos reservados Dedicatoria A Dios padre todo poderoso por darme la sabiduría para culminar esta obra. A mis padres, hermanos y hermanas. A mi hijo Julián David. CO N T E N I D O Prólogo ................................................................................................................ XIII Unidad I. Concepto general sobre el interés....................................... Introducción....................................................................................................... Definición de Matemáticas Financieras.......................................................... 1 1 2 Capítulo 1. Interés............................................................................................ 1.1 Definición..................................................................................................... Ejemplo 1.1.................................................................................................. 1.2 Diagramas económicos............................................................................... Ejemplo 1.2.................................................................................................. Ejemplo 1.3.................................................................................................. 1.3 Interés simple............................................................................................... Ejemplo 1.4.................................................................................................. Ejemplo 1.5.................................................................................................. Ejemplo 1.6.................................................................................................. Ejemplo 1.7.................................................................................................. Ejemplo 1.8.................................................................................................. 1.4 Valor Futuro de una serie de cuotas iguales............................................ Ejemplo 1.9.................................................................................................. 1.5 Cálculo de una serie de cuotas iguales con Valor Futuro...................... Ejemplo 1.10................................................................................................ 3 3 3 5 6 6 7 7 9 9 10 11 11 11 12 12 VIII Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel 1.6 Valor Presente de una serie de cuotas iguales.......................................... Ejemplo 1.11................................................................................................ 1.7 Ecuaciones de valor a interés simple......................................................... Ejemplo 1.12................................................................................................ 1.8 Aplicaciones del interés simple.................................................................. Ejemplo 1.13................................................................................................ Ejemplo 1.14................................................................................................ Problemas Propuestos No. 1............................................................................. 13 13 13 14 15 15 16 17 Capítulo 2. Interés compuesto.................................................................... Ejemplo 2.1.................................................................................................. 2.2 Cálculo del valor futuro.............................................................................. Ejemplo 2.2.................................................................................................. Desarrollo mediante Excel......................................................................... 2.3 Cálculo del valor presente.......................................................................... Ejemplo 2.3.................................................................................................. Desarrollo mediante Excel......................................................................... 2.4 Cálculo del tiempo...................................................................................... Ejemplo 2.4.................................................................................................. Desarrollo mediante Excel......................................................................... 2.5 Cálculo de la tasa de interés....................................................................... Ejemplo 2.5.................................................................................................. Desarrollo mediante Excel......................................................................... Problemas Propuestos No. 2............................................................................. 19 19 20 20 21 26 26 27 30 30 31 33 33 34 38 Capítulo 3. Conversión de tasas................................................................. 3.1 Tasa Nominal............................................................................................... 3.2 Tasa periódica.............................................................................................. Ejemplo 3.1.................................................................................................. 3.3 Tasa Efectiva................................................................................................. Ejemplo 3.2.................................................................................................. Desarrollo mediante el Excel..................................................................... Ejemplo 3.3.................................................................................................. Cálculo mediante Excel.............................................................................. Ejemplo 3.4.................................................................................................. 3.4 Tasas equivalentes........................................................................................ Ejemplo 3.5.................................................................................................. 3.5 Conversión de tasas..................................................................................... 3.5.1 Caso 1: Periódica Efectiva......................................................... Desarrollo mediante Excel......................................................................... 3.5.2 Caso 2: Periódica Periódica...................................................... Desarrollo mediante Excel......................................................................... 41 41 42 42 43 43 44 49 49 52 52 52 53 54 54 56 57 IX Contenido 3.5.3 Caso 3: Periódica Nominal....................................................... Desarrollo mediante Excel......................................................................... 3.5.4 Caso 4: Efectiva Periódica......................................................... Desarrollo mediante Excel......................................................................... 3.5.5 Caso 5: Efectiva Nominal.......................................................... Desarrollo mediante Excel......................................................................... 3.5.6 Caso 6: Nominal Efectiva.......................................................... Desarrollo mediante Excel......................................................................... 3.5.7 Caso 7: Nominal Nominal........................................................ Solución mediante Excel............................................................................ 3.5.8 Caso 8: Nominal Periódica....................................................... Desarrollo mediante Excel......................................................................... 3.6 Aplicación del interés efectivo bajo NIIF.......................................... Desarrollo mediante Excel......................................................................... Ejemplo 3.6.................................................................................................. Problemas Propuestos No. 3............................................................................. 62 63 67 67 69 70 71 72 73 74 76 77 80 81 83 85 Capítulo 4. Anualidades................................................................................. 4.1 Definición..................................................................................................... 4.2 Anualidad vencida....................................................................................... Ejemplo 4.1.................................................................................................. Ejemplo 4.2.................................................................................................. Ejemplo 4.3.................................................................................................. Ejemplo 4.4.................................................................................................. Ejemplo 4.5.................................................................................................. 4.3 Anualidad anticipada.................................................................................. Ejemplo 4.6.................................................................................................. 4.4 Anualidad diferida...................................................................................... Ejemplo 4.7.................................................................................................. 4.5 Anualidad perpetua.................................................................................... Ejemplo 4.8.................................................................................................. Ejemplo 4.9.................................................................................................. Ejemplo 4.10................................................................................................ Problemas Propuestos No. 4............................................................................. 87 87 87 88 90 92 93 95 97 98 99 100 101 101 101 102 103 Capítulo 5. Amortizaciones.......................................................................... 5.1 Definición..................................................................................................... 5.2 Tabla de amortización................................................................................. Ejemplo 5.1.................................................................................................. Ejemplo 5.2.................................................................................................. 5.3 Saldo de una deuda..................................................................................... Ejemplo 5.3.................................................................................................. 107 107 108 108 110 110 111 X Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Ejemplo 5.4.................................................................................................. 5.4 Composición de los pagos.......................................................................... Ejemplo 5.5.................................................................................................. Desarrollo mediante Excel......................................................................... 5.5 Cuotas extras................................................................................................ 5.5.1 Cuota extra pactada.......................................................................... Ejemplo 5.6.................................................................................................. 5.5.2 Cuota extra no pactada..................................................................... Ejemplo 5.7.................................................................................................. 5.6 Contabilización de préstamo bajo NIIF................................................... Ejemplo 5.8.................................................................................................. Desarrollo mediante Excel......................................................................... Problemas Propuestos No. 5...................................................................... 112 113 113 114 117 117 117 118 118 120 120 120 121 Capítulo 6. Gradientes................................................................................... 6.1 Definición..................................................................................................... 6.2 Gradiente aritmético (lineal)..................................................................... 6.2.1 Gradiente aritmético creciente........................................................ Ejemplo 6.1.................................................................................................. Ejemplo 6.2.................................................................................................. Ejemplo 6.3.................................................................................................. 6.2.2 Gradiente aritmético decreciente.................................................... Ejemplo 6.4.................................................................................................. Ejemplo 6.5.................................................................................................. 6.3 Gradiente geométrico................................................................................. 6.3.1 Gradiente geométrico creciente....................................................... Ejemplo 6.6.................................................................................................. Ejemplo 6.7.................................................................................................. Ejemplo 6.8.................................................................................................. 6.3.2 Gradiente geométrico decreciente.................................................. Ejemplo 6.9.................................................................................................. 6.3.3 Gradiente geométrico infinito......................................................... Ejemplo 6.10................................................................................................ 6.4 Aplicaciones de los gradientes .................................................................. Ejemplo 6.11................................................................................................ Problemas Propuestos No. 6...................................................................... 123 123 124 124 124 125 125 126 126 127 128 128 128 128 129 130 130 131 131 131 132 133 Unidad II. Evaluación de proyectos de inversión............................... 135 Capítulo 7. Valor presente neto................................................................. 137 7.1 Introducción................................................................................................. 137 7.2 Métodos para evaluar proyectos de inversión......................................... 138 XI Contenido 7.2.1 Valor Presente Neto (VPN).............................................................. Ejemplo 7.1.................................................................................................. Desarrollo mediante Excel......................................................................... Ejemplo 7.2.................................................................................................. Desarrollo mediante Excel......................................................................... Ejemplo 7.3 ................................................................................................. Desarrollo mediante Excel......................................................................... 7.3 Aplicaciones del VPN bajo NIIF............................................................... 7.3.1 Deterioro de cartera.......................................................................... Ejemplo 7.4.................................................................................................. 7.4 Aplicaciones del VPN en valuación de acciones..................................... Ejemplo 7.5.................................................................................................. Problemas Propuestos No. 7............................................................................. 138 138 139 141 142 144 145 147 147 148 149 149 150 Capítulo 8. Tasa Interna de Retorno....................................................... 8.1 Definición..................................................................................................... Ejemplo 8.1.................................................................................................. Desarrollo mediante Excel......................................................................... Ejemplo 8.2.................................................................................................. 8.2 Aplicación de la TIR bajo NIIF.................................................................. Ejemplo 8.3.................................................................................................. Problemas Propuestos No. 8............................................................................. 151 151 151 152 154 155 156 159 Capítulo 9. Período de Recuperación de la Inversión..................... 9.1 Definición..................................................................................................... Ejemplo 9.1.................................................................................................. Problemas Propuestos No. 9...................................................................... 161 161 162 164 Bibliografía......................................................................................................... 167 XII Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Í N D I C E D E TA B L A S Tabla 1. Tabla de amortización............................................................................. Tabla 2. Tabla inicial............................................................................................... Tabla 3. Tabla modificada...................................................................................... Tabla 4. Tabla modificada...................................................................................... Tabla 5. Histórico de dividendos.......................................................................... 108 119 119 119 149 P R Ó LO G O Tras cerca de veinte años de experiencia en temáticas financieras he ido adquiriendo las herramientas fundamentales para el dominio de este apasionante tema, por lo cual he decidido poner a consideración de toda la comunidad académica y público en general interesado en las temáticas financieras, esta obra como apoyo en el desarrollo de las diferentes disciplinas vinculadas a las problemáticas financieras. El presente libro se ha dividido en dos unidades para responder al sistema de créditos académicos asociados a la educación superior, bien sea presencial o virtual. La primera unidad trata sobre la conceptualización del interés general, en donde se relacionan: interés simple y compuesto, tasas equivalentes, anualidades, amortizaciones y gradientes. La segunda unidad, se vincula con la evaluación de las alternativas financieras al utilizar el VPN, TIR y el Payback descontado, herramientas indispensables para determinar la viabilidad de realizar un proyecto de inversión privada. Un aspecto importante de este libro, es la utilización del programa Excel, sin duda una vital y poderosa herramienta que deben conocer, no sólo los estudiantes y profesionales relacionados con las temáticas financieras, sino también profesionales de cualquier rama del conocimiento en el desarrollo de su quehacer diario. XIV Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Otra ventaja adicional es la vinculación de ejemplos bajo los estándares de las Normas Internacionales de Información Financiera-NIIF. Por medio de ejercicios prácticos se incluyen algunas situaciones que requieren de dichos estándares, sin embargo, los ejercicios se abordan de manera enunciativa, ya que la principal naturaleza de este texto es su aplicación a Excel. Como autor agradezco cualquier comentario o sugerencia referente a la obra, los cuales pueden hacer llegar al correo: [email protected] Hbvor UNIDAD I CO N C E P TO G E N E R A L SOBRE EL INTERÉS Introducción Cada instante de nuestras vidas debemos tomar decisiones que de una u otra forma van a incidir sobre nuestro futuro, organización, familia, etc. Por ejemplo, necesitamos adquirir un computador nuevo, para lo que tenemos la opción de comprarlo de contado o escoger las diferentes alternativas de financiación que ofrece el mercado financiero. Las empresas se enfrentan al dilema de si es mejor conseguir recursos de terceros u obtenerlos de los dueños de la empresa para financiar capital de trabajo, modernización tecnológica, incursión en nuevos mercados, etc. Es así como agentes económicos tales como familias, empresas y gobierno, se enfrentan permanentemente a la toma de decisiones financieras que implican el uso de escasos recursos como lo es el dinero, al cual se le debe dar el mejor uso posible en cumplimiento con el objetivo básico financiero, como lo es maximizar el valor de la empresa (García, 1999). 2 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Definición de Matemáticas Financieras Las Matemáticas Financieras se conciben como herramienta fundamental de las finanzas, se utilizan para tomar decisiones financieras en materia de inversión y financiación. Tradicionalmente las decisiones financieras se clasifican en tres grandes grupos: decisiones de inversión, financiación y distribución de utilidades. Las decisiones de inversión se relacionan con el lado izquierdo del Balance General de las empresas, es decir, con los Activos (García, 1999). Como se ilustra en la figura las decisiones de financiación se refieren a la estructura financiera de la empresa relacionada con el lado derecho del Balance General (Pasivos y Patrimonio). Las decisiones en cuanto a distribución de utilidades se refieren a la forma en que la empresa puede utilizar dichas utilidades para capitalizar la empresa o atender los compromisos con los accionistas de la organización. BALANCE GENERAL Decisiones de Inversión Decisiones de Financiación PASIVOS Recursos externos PATRIMONIO Recursos propios ACTIVOS C APÍTULO 1 INTERÉS 1.1 Definición El interés es el costo por la utilización del dinero, es decir, quien necesite disponer de él tendrá que pagar por su utilización, mientras que para quien lo suministre representa un beneficio, ya que recibe el dinero por su préstamo en un período de tiempo. El dinero, al igual que cualquier bien o servicio, tiene un valor (costo) para quien no lo posee, por tanto, su uso no es gratuito ya que si una persona o empresa necesita de él, debe acudir a diferentes fuentes pagando por su utilización, dicho costo será el “interés” para poder disponer de él. Ejemplo 1.1 Una persona deposita la suma de $1.000 en el banco, el cual le devolverá al cabo de un tiempo el capital prestado junto con los intereses respectivos. Al cabo de seis meses, la persona recibe del banco la suma de $1.090. En consecuencia, la persona se ganó $90 por tener depositados los $1.000 en el banco durante seis meses. Esto indica que los intereses recibidos por $90, se representan en una ganancia de $15 mensuales para la persona que prestó $1.000 al banco por seis meses. 4 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Del problema planteado puede deducirse que: a. $1.000 Es el capital invertido, capital inicial, valor presente. Representa la inversión inicial del depósito en el Banco. Este valor se expresa con la letra mayúscula P: P = 1.000 b. $1.090 Equivale al valor en el cual se transforman los $1.000 durante seis meses, es el valor inicial más los intereses; se denominará valor futuro y se denotará con la letra F, definiéndose como el valor en el cual se convierte una suma de dinero durante un tiempo determinado a una tasa de interés definida: F = 1.090 F= P + I c. $ 90 Equivale al valor de los intereses generados por la suma de $1.000 depositados durante seis meses. Este valor se indica con la letra mayúscula I y se define como la diferencia entre el valor futuro y el valor presente, lo cual corresponde a cualquiera de las definiciones dadas anteriormente. I=F–P d. 6 Es el tiempo que dura la operación financiera. n=6 Para nuestro ejemplo, los intereses totales serán de: I= 1.090 – 1.000 = 90, que corresponden a un período de seis meses, el cual se expresa con la letra minúscula n, en donde n = 6 meses. Se tiene que los intereses fueron de $90 durante seis meses, por tanto, en un mes serán de $15, es decir, que el interés será de $15 por los $1.000 depositados en un mes. En conclusión, para el cálculo en porcentaje se tiene que 15/1.000 = 0,015; el cual corresponde a un índice porcentual que expresa el valor de los intereses obtenidos sobre la inversión inicial, se denomina tasa de interés y se expresa con la letra mi­ núscula i. La tasa de interés siempre es la relación entre los intereses generados en cada período frente al valor de la inversión inicial. 5 Capítulo 1. Interés i= 15 = 0,015 1.000 i = 1.5% 1.2 Diagramas económicos Son la representación gráfica de un problema financiero, permiten revisar la problemática financiera, facilitando su análisis e interpretación para la correcta ejecución de su solución (Álvarez, 1999). El diagrama económico, llamado también diagrama de flujo, se compone de las siguientes partes: 1. Línea 0 horizontal, indica el tiempo de la operación financiera, eln cual debe estar dividido en períodos y deben ir en concordancia con la tasa de interés. 0 0 2. 1 2 3 …………. 1 2 3 …………. 1 2 3 …………. n n Flechas hacia arriba (ingresos – entradas - efectivo) y flechas hacia abajo Ingresos (Entradas) Egresos (Salidas) (salidas-egresos). Ingresos (Entradas) Egresos (Salidas) Ingresos (Entradas) Egresos (Salidas) Para nuestro ejemplo, el diagrama de flujo de caja, quedará de la siguiente forma: 1.090 0 0 0 1 2 3 …………. 1 2 3 …………. 1 2 3 …………. 1.090 1.090 6 6 6 1.000 1.000 1.000 6 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Nota: No es necesario graficar todos los períodos de tiempo, basta simplemente con indicar mediante puntos suspensivos que hay más períodos de tiempo, sin embargo, siempre deberá ir el período inicial (0) y el período final de la operación financiera. Ejemplo 1.2 Una persona recibe un préstamo de $1.000 en una entidad financiera, la cual le cobra el 4% trimestral. Si el crédito se hace a un año ¿cuál es el diagrama económico? Primero es importante definir cada una de las variables que intervienen en la operación financiera, luego realizar la gráfica respectiva. P = $1.000 i = 0,04 n = 1 Año = 4 Trimestres $ 1.000 2 1 3 4 0 $ 40 $ 40 $ 40 $ 40 $ 1.000 Ejemplo 1.3 Una persona invierte en un CDT1 a 6 meses de plazo el valor de $1.000, en donde se reciben los intereses mensuales del 1%. Elaborar el diagrama de flujo de caja respectivo. P = $1.000 i = 0,01 n=6 1 CDT: Certificado de Depósito a Término. 7 Capítulo 1. Interés 1.000 10 10 10 0 10 ………………. 6 1 2 3 1.000 1.3 Interés simple Es el interés que se aplica únicamente sobre el capital inicial, por tanto, este capital permanece constante durante todo el tiempo de la transacción económica, en donde los intereses por cada período siempre serán los mismos, es decir, que los intereses no varían de un período a otro. Ejemplo 1.4 El Banco Industrial concede un préstamo de $1.000.000 al 2% mensual durante 6 meses. La representación gráfica será: P = $1.000.000 i = 2% n=6 $ 1.000.000 $ 20.000 $ 20.000 ……………… $ 20.000 1 2 ……………… 6 0 $ 1.000.000 8 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Los intereses generados en cada período serán de: i1 = $1’000.000 x 0.02 = $20.000 i2 = $1’000.000 x 0.02 = $20.000 i3 = $1’000.000 x 0.02 = $20.000 i4 = $1’000.000 x 0.02 = $20.000 i5 = $1’000.000 x 0.02 = $20.000 i6 = $1’000.000 x 0.02 = $20.000 --------------- it = $120.000 è Intereses totales generados durante los 6 meses Como se puede apreciar, los intereses siempre son los mismos en cada período de $20.000, ya que el capital inicial tampoco varía. Si se desea saber la cantidad total que debe cancelar al banco, se utiliza la siguiente expresión: F=P+I F = $1’000.000 + $120.000 F = $1’120.000 è Si se quiere conocer el interés total que cobra el banco se utiliza: I= I= F –1 P 1.200.00 – 1 = 1.12 – 1 = 12% durante 6 meses o 2% mensual. 1.000 Se puede resumir lo anterior, utilizando la siguiente expresión: F = P (1 + in) F = $1’000.000 1 + (0,02) (6) F = $1’000.000 (1.12) Fórmula No. 1 F = $1’000.000 1 + (0,12) F = $1’120.000 De la fórmula No. 1 se pueden despejar las otras variables: P= F (1 + in) Fórmula No. 2 9 Capítulo 1. Interés i= 1 F –1 n P Fórmula No. 3 n= 1 F –1 i P Fórmula No. 4 Ejemplo 1.5 Omayra invierte en una Financiera la suma de $1.000 a año y medio, la cual le reconoce el 0,45% mensual simple. ¿Cuál es el valor a recibir? P = $1.000 i = 0,45% Mensual n =18 meses F=? F=? 0 1 2 3 ……………… 18 $ 1.000 F = P (1 + in) Fórmula No. 1 F = 1.000 (1 + 0,0045 (18)) F = 1.000 (1 + 0,081) F = 1.000 (1,081) P = $1.081 Ejemplo 1.6 Una persona tiene que cancelar en dos años y medio la suma de $ 5.175, si la tasa de interés que se le cobra es del 1,25% trimestral simple, ¿cuál es el valor inicial de la obligación? F = $5.175 i = 1,25% Trimestral n = 10 Trimestres 10 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel P=? i= 1 0 2 1,25% 3 4 ………………. 10 $ 5.175 P= F (1 + in) Fórmula No. 2 P= 5.175 ( 1+0,0125x 10 ) P = $4.600 Ejemplo 1.7 Un inversionista deposita hoy la suma de $800 en una entidad bancaria, después de 6 meses retira $818, se debe calcular la tasa de interés simple generada. P = $800 n=6 F = $818 i=? $ 818 0 1 2 3 ………………… 6 i = ? $ 800 i= 1 F –1 n P Fórmula No. 3 i= 1 6 818 –1 800 i = 0,375% Mensual 11 Capítulo 1. Interés Ejemplo 1.8 ¿Cuánto tiempo debe esperar una persona si invierte $100 para poder disponer de $150, si le ofrecen una tasa del 2,5% mensual simple? P = $100 i = 2,5% Mensual F = $150 n =? $ 150 0 1 2 3 …………….. i= n 2,5% $ 100 n= 1 F –1 i P Fórmula No. 4 n= 1 0,025 150 –1 100 n = 20 Meses 1.4 Valor Futuro de una serie de cuotas iguales F=A 2n+ni (n-1) 2 Fórmula No. 5 Ejemplo 1.9 ¿Cuál será el valor acumulado al final del año, si cada mes se depositan $10.000 en una cuenta de ahorros que reconoce un interés del 1% mensual de interés simple? 12 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel F=? 0 1 i= 1,0% 2 3 A= ............. 12 $ 10.000 A = $10.000 i = 1% mensual n = 12 Meses F=? F = 10.000 2 (12)+12 (0,01) (12-1) 2 F = $126.600 1.5 Cálculo de una serie de cuotas iguales con Valor Futuro Ejemplo 1.10 Un estudiante necesita disponer del valor de su matrícula para el próximo semestre, el cual será de $1’537.500. ¿Cuánto deberá ahorrar mensualmente en una financiera que le reconoce un interés del 1.26% mensual simple? F = $1’537.500 i = 0,0126 n=6 A=? $ 1.537.500 i = 1,26% 0 1 2 3 4 A=? 5 6 13 Capítulo 1. Interés A= 2F (2n+ni(n-1)) A= Fórmula No. 6 2 (1’537.500) (2 (6)+(6) (0,0126)(5)) A = $248.424,62 1.6 Valor Presente de una serie de cuotas iguales 2n+ni (n-1) 2 (1+in) P= Fórmula No. 7 Ejemplo 1.11 Si una persona ahorra mensualmente $645 durante un semestre, ¿a cuánto equivale hoy dichos valores, si una cooperativa le reconoce el 0,3% mensual de interés simple? A = $645 i = 0,3% Mensual n=6 P=? P= ? 0 1 i= 3 2 A= P= 0,003 4 5 6 $645 2 (6)+6(0,003) (5) 2 (1+0,003 (6)) P = $3.830,08 1.7 Ecuaciones de valor a interés simple En las transacciones comerciales es frecuente que se presenten diferentes alternativas de inversión y pago de obligaciones que inicialmente se habían estipulado bajo ciertas circunstancias, pero con el tiempo, se presentan nuevas 14 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel circunstancias que implican replantear los pagos futuros, para lo cual se recurre a plantear ecuaciones de valor para calcular los nuevos valores futuros. Ejemplo 1.12 El señor Ospina desea adquirir una motocicleta por valor de $8’500.000 para cancelarla en dos cuotas iguales, una dentro de 3 meses y la otra dentro de un semestre. Si la concesionaria le financia la operación al 2,35% mensual, hallar el valor de las cuotas. $ 8.500.000 1 2 3 4 5 6 0 X X Como se puede apreciar en la gráfica, el valor de la motocicleta hoy es de $8’500.000, es equivalente a dos pagos iguales en los meses 3 y 6. Por el concepto del valor de dinero en el tiempo no podemos igualar estos valores, ya que están ubicados en períodos de tiempo diferentes (0, 3, 6), por lo tanto debemos llevar los valores a un período común, en este caso es el período 0 llamado fecha focal y allí podemos igualar los valores: $ 8.500.000 1 2 3 0 X 4 5 6 X Al estar el valor de X en los períodos 3 y 6, representarán un valor futuro respecto al valor de $8’500.000 que están en el período 0, por lo que la ecuación de valor quedará de la siguiente forma: X X 8’500.000 = + (1+0,0235 (3)) (1+0,0235 (6)) X X 8’500.000 = + 1,0705 1,141 15 Capítulo 1. Interés $ 8’500.000 = 0,93414292X + 0,87642419 X $ 8’500.000 = 1,81056711X X= $ 8’500.000 1,81056711 X = $4’694.661,65 1.8 Aplicaciones del interés simple Los títulos con descuento son los que no tienen en cuenta el pago de intereses por lo que su rentabilidad se obtiene de la diferencia entre el precio de compra y el valor en su momento de redención. (Delgado, 2006). Ejemplo 1.13 Un título comercial con valor nominal de $1’000.000 al que le faltan 30 días para su vencimiento se vende con descuento a una tasa del 2,45% mensual. ¿Cuál es el valor pagado por dicho título? F = $1’000.000 i = 0,0245 n = 30 = 1 P=? 1’000.000 P=? 1 0 P= P= F (1 + in) 1’000.000 ( 1+0,0245 x 1 ) P= 1’000.000 ( 1,0245) P = $976.085,90 16 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Ejemplo 1.14 Se compra un CDT a tres meses por valor de $20’000.000, si se adquiere al 95% de su valor nominal, ¿cuál es la rentabilidad del CDT? P = $20´000.000 x 0,95 = $19’000.000 i=1.75% Mensual o 5.26% Trimestral $ 20’000.000 0 1 2 i=? $ 19.000.000 P= F (1 + in) 19’000.000 = 20’000.000 ( 1+ i3 ) i = 5,26% 3 Capítulo 1. Interés Problemas Propuestos No. 1 Interés simple 1. Un banco concede un crédito a una empresa por $10’000.000 a una tasa de interés del 5% Trimestral. Si el préstamo se concede a un año: a. ¿Cuál es el valor de los intereses periódicos? b. ¿Cuál es el valor de los intereses totales? c. ¿Cuánto se paga en total? d. Elaborar el diagrama de flujo de caja. 2. ¿Cuánto tiempo es necesario para que un capital de $1’200.000 se convierta en $1’308.000 a una tasa del 1.5% mensual? Respuesta: n = 6 meses 3. ¿Cuál tasa de interés bimestral convierte $750.000 en $908.625 después de año y medio? Respuesta: 2,35% 4. Un vehículo tiene un valor de contado de $15’850.000, se paga una cuota inicial del 40% y el saldo a un único pago dentro de un año por valor de $10’632.180. Hallar la tasa de interés trimestral que se cobra por la financiación. Respuesta: 2,95% 5. ¿Qué valor futuro se tendrá al final de un trimestre, si cada mes se depositan $50.000 en una corporación que reconoce el 1.25% de interés simple mensual? Respuesta: $151.875 6. Un estudiante debe pagar la matrícula del próximo semestre, para lo cual abre una cuenta de ahorros en un banco, si el semestre vale $786.495, ¿cuánto deberá depositar mensualmente en el banco si se le reconoce una tasa del 0.75% mensual de interés simple? Respuesta: $128.670 17 18 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel 7. Se compra un título valor al 96% de su valor nominal, al cual le faltan tres meses para su vencimiento, si la rentabilidad es del 4.17% trimestral y se pagó $ 4’800.000, ¿cuál es el valor nominal del título? Respuesta: $5’400.480 8. La señora Melva Valencia piensa comprar un televisor dentro de 6 meses, el cual valdrá $850.000, ¿cuánto deberá ahorrar mensualmente en una entidad que le paga el 1.15% de interés mensual simple? Respuesta: $410.628,02 9. Un artículo vale de contado $1’799.000 y se financia a 4 cuatro años mediante cuotas mensuales iguales. Si la comercializadora cobra una tasa del 2,58% mensual, hallar el valor de las cuotas. Respuesta: $215.675,66 10. Una familia planea irse de viaje el próximo año a la zona costera, si decide ahorrar $400.000 al final de cada mes durante un año para tener al final de dicho período $5’200.000, ¿qué tasa le deberá ofrecer una cooperativa de ahorros para alcanzar dicha suma? Respuesta: i = 1,52% C APÍTULO 2 I N T E R É S CO M P U E S TO El interés compuesto es aquel donde los intereses generados en cada período se acumulan al capital inicial, lo cual se conoce con el nombre de capitalización de intereses, por tanto, los intereses en cada período no son iguales, puesto que el capital inicial va aumentando al acumularse los intereses generados en cada período. Ejemplo 2.1 Se depositan $1’000.000 en el Banco Nacional que reconoce un interés del 1% trimestral durante un año. ¿Cuál será el valor acumulado al final del período? Períodos 1 2 3 4 Intereses $ 1’000.000 x 1% = $10.000 $ 1’010.000 x 1% = $10.100 $ 1’020.000 x 1% = $10.201 $ 1’030.301 x 1% = $10.303 Saldo Total $ 1’000.000 + $10.000 = $1’010.000 $ 1’010.000 + $10.100 = $1’020.100 $ 1’020.100 + $10.201 = $1’030.301 $ 1’030.301 + $10.303 = $1’040.604 Podemos apreciar entonces, en la anterior tabla que los intereses no son iguales en cada período, ya que el capital inicial de $1’000.000 va aumentando con los intereses generados en cada período, con lo cual se da la capitalización de intereses. 20 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel La anterior tabla se puede resumir mediante la siguiente expresión: F =P ( 1+i )n Fórmula No. 8 F =1’000.000 ( 1+0,01 )4 F =1’000.000 ( 1,01 )4 F =1’000.000 ( 1,040604 ) F = $1’040.604 Se aprecia que es el mismo valor de la tabla manual 2.2 Cálculo del valor futuro Ejemplo 2.2 Una persona deposita hoy la suma de $320.000 en una cuenta de ahorros que paga un interés del 1.26% trimestral. Hallar la suma acumulada al final de 2 años. i= 0 1 2 1,26% 3 ............. F=? 8 P = $ 320.000 Nota: En los problemas de matemáticas financieras, la tasa de interés debe estar expresada en los mismos términos de los períodos, de tal forma que si no son iguales, se deben equiparar. En el ejemplo anterior, como la tasa de interés está dada trimestralmente, y el plazo es de 2 años, debemos igualarlos a trimestres, con lo que se obtienen 8 trimestres (4x2). P = $320.000 i = 1.26% trimestral n = 2 años = 8 trimestres F=? 21 Capítulo 2. Interés compuesto 0 1 2 3 i= 1,26% 4 5 F=? 6 7 8 $ 320.000 F =P ( 1+i )n F =320.000 ( 1,0126 )8 F = $353.714, 91 Desarrollo mediante Excel Es importante tener en cuenta que Excel sólo trabaja por interés compuesto. Se debe tener la información en celdas independientes de la siguiente forma: 22 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Entramos por el comando Fórmulas, Financieras: Se escoge valor futuro que en Excel es la función VF: Capítulo 2. Interés compuesto Aparece el cuadro de diálogo y se selecciona cada uno de los valores: 23 24 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Se debe tener en cuenta que el valor presente en Excel es VA (valor actual). No se selecciona la opción PAGO que es para anualidades. Se escoge la opción <Aceptar> cuando se ha finalizado de introducir los valores: Capítulo 2. Interés compuesto Aparece inmediatamente la respuesta: Nota: Aparace la respuesta en rojo, porque Excel asume que el valor presente es una salida de efectivo, por lo que deberá ir en negativo, para lo cual sólo debemos editar la celda del valor presente, colocando el signo de (-) y obtendremos el valor presente positivo: 25 26 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel 2.3 Cálculo del valor presente Ejemplo 2.3 Se tiene una deuda por $653.670 para cancelar dentro de año y medio, a una tasa de interés del 1.5% mensual. Si se desea cancelar la obligación hoy, ¿cuánto deberá pagar? i= 0 1 2 3 1,5% F = $ 653.670 ............. 18 P=? P=? F = $653.670 i = 1.5% Mensual n = 1.5 años = 18 Meses P= F ( 1+i )n Fórmula No.9 P= 653.670 ( 1+0,015 )18 P = $500.000 Capítulo 2. Interés compuesto Desarrollo mediante Excel Una vez que se dispone de toda la información en celdas independientes, se procede a hallar el valor presente, el cual se debe ubicar en una celda vacía: Cuando ya se han realizado varias operaciones mediante Excel, no es necesario entrar por Fórmulas-Financieras, ya que es sólo la primera vez, después se puede entrar directamente por la barra de fórmulas con la función fx: 27 28 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Se busca la función VA (valor presente) y se selecciona <Aceptar> Aparece el cuadro de diálogo, se selecciona cada una de las variables y luego se hace clic en <Aceptar>: Capítulo 2. Interés compuesto De esta forma se obtiene el resultado final: 29 30 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel El resultado aparece en color rojo, porque como se explicaba anteriormente, Excel asume que el valor presente es una salida de efectivo y se toma como valor negativo. Igualmente, se puede aproximar el resultado al quitar los decimales mediante el comando Disminuir Decimales: 2.4 Cálculo del tiempo Ejemplo 2.4 ¿Cuántos años serán necesarios para invertir hoy $450.000 y disponer de $ 605.200, si la tasa de interés es del 2.5% trimestral? i= 2,5% F = $ 605.200 0 1 P = $ 450.000 P = $450.000 F = $605.200 i = 2.5% Trimestral n=? 2 3 ............. n Capítulo 2. Interés compuesto F =P ( 1+i )n 605.200 =450.000 ( 1,025 )n 605.200 = ( 1,025 )n 450.000 1,34489 = ( 1,025 )n Para despejar a n, aplicamos las propiedades de los logaritmos naturales a ambos lados: log n (1,34489)= log n ( 1,025 )n Aplicando las propiedades de los logaritmos se tiene: log n (1,34489)= n log n ( 1,025 ) 0,2963114 = n (0,0024692613) 0,2963114 n= 0,0024692613 n = 12 Trimestres = 3 Años Desarrollo mediante Excel Una vez que se tiene la información en celdas independientes, se procede a seleccionar de la barra de fórmulas fx para funciones financieras: 31 32 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Una vez que aparece el cuadro de diálogo, se busca la función <NPER> que es la función para hallar n y se selecciona <Aceptar>: Al seleccionar <Aceptar> aparece el cuadro de diálogo, se selecciona cada una de las variables y luego se presiona <Aceptar>. Aparece entonces el resultado final: En esta situación, aparece un mensaje de error, el cual se debe a que, como se explicó anteriormente, el valor presente debe ser negativo: 33 Capítulo 2. Interés compuesto 2.5 Cálculo de la tasa de interés Ejemplo 2.5 El señor Pérez obtiene un crédito por $5’000.000, para pagar en tres años, si al final del plazo cancela la suma de $6’605.325, ¿cuál fue la tasa de interés semestral del préstamo? P = $ 5.000.000 i=? 0 1 2 3 ………………. 6 F = $ 6.605.325 P = $5’000.000 F = $6’605.325 n = 3 años = 6 Semestres i=? 34 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel F =P ( 1+i )n 6’605.325 = 5’000.000 ( 1+i )6 6’605.325 = ( 1+i )6 5’000.000 1,3210650 = ( 1+i )6 Aplicamos raíz 6 a ambos lados, lo cual queda: 6 1,3210650 = 6 ( 1+i )6 1,0475 = 1 + i i = 1,0475 –1 i = 4,75 Semestral Desarrollo mediante Excel Al tener los datos en celdas independientes, se procede a seleccionar en la barra de fórmulas la función fx para funciones financieras: Capítulo 2. Interés compuesto Se busca la función Tasa, la cual permite hallar la tasa de interés, y seleccionamos <Aceptar> Al aparecer el cuadro de diálogo, se selecciona cada una de las variables y luego se hace clic en <Aceptar> para que aparezca el resultado final. Nuevamente hay que tener en cuenta que si aparece el mensaje de error, hay que colocar el valor presente como negativo (-): 35 36 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Hay que tener mucho cuidado con este tipo de respuestas, ya que no es la correcta porque no tiene en cuenta los decimales. Para ello se debe seleccionar en los comandos de moneda, aumentar decimales: Capítulo 2. Interés compuesto De esta forma se obtiene la respuesta correcta: 37 38 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Problemas Propuestos No. 2 1. Si hoy se depositan $1’250.000 en una corporación que reconoce un interés del 8% semestral, ¿cuánto se tendrá acumulado en 4 años? Respuesta: $2’313.662,76 2. ¿En cuánto tiempo se duplica una inversión en un banco, si la tasa de interés es del 1.5% mensual? Respuesta: n = 46,56 meses 3. Se abre un Certificado de Depósito a Término Fijo por $25’000.000 a un año, si la tasa de interés es del 12% nominal trimestral, calcular el valor recibido a la redención del título. Respuesta: $28’137.720,25 4. ¿Qué suma se debe depositar en una entidad bancaria para poder retirar $ 5’000.000 dentro de 2 años si reconoce una tasa de interés del 18% anual semestral? Respuesta: $3’542.126,06 5. Un electrodoméstico tiene un valor de contado de $1’585.000 o se puede adquirir de la siguiente forma: una cuota inicial del 40% del valor de contado y una sola cuota dentro de un año por valor de $1’404.056. ¿Cuál es la tasa de financiación que se está cobrando? Respuesta: i= 3,30% Mensual 6. El señor Jesús Arboleda planea comprar un apartamento dentro de 3 años. El cual tendrá un precio en esa fecha de $40’500.000, por lo que se propone el siguiente plan de ahorros: hoy $5’000.000; dentro de 3 bimestres $2’000.000; dentro de 12 meses $5’000.000; dentro de 8 trimestres $ 6’000.000, dentro de 2 años y medio $10’000.00. Si el Banco Cafetero le ofrece el 24,80% capitalizable semestralmente, el Banco del Comercio el 6% trimestral, el Banco Comunal el 23,94% capitalizable bimestral y el Banco Nacional el 1,96% mensual, ¿en dónde debe realizar los ahorros para cumplir su meta? Capítulo 2. Interés compuesto 7. La señora Floralba recibe un préstamo de un familiar hace año y medio, si hoy paga $2’500.000 y la tasa estipulada fue del 16% anual mensual, determinar el valor del préstamo recibido. Respuesta: $1’969.690,95 8. ¿Cuánto tendrá acumulado una persona al final del año si dentro de un trimestre ahorra $135.000, $248.000 dentro de un semestre y $326.000 dentro de 9 meses, si una financiera le ofrece el 1,27% mensual por sus ahorros? Respuesta: $757.324,91 9. Una persona debe la suma de $22’500.000 dentro de 3 años y $18’400.00 para dentro de 4 años, si se pacta con el acreedor realizar un único pago dentro de 2 años. Si la tasa de interés es del 3,45% trimestral, encontrar el valor del único pago. Respuesta: $33’672.677,54 10. Un artículo tiene un valor de contado de $1’500.000 y se financia mediante 3 pagos, uno por valor de $500.000 dentro de un trimestre y el saldo en dos pagos iguales en los meses 8 y 12. Hallar el valor de dichos pagos, sabiendo que la tasa de interés es del 1,42% mensual. Respuesta: $587.401,96 39 C APÍTULO 3 CO N V E R S I Ó N D E TA S A S 3.1 Tasa Nominal Es aquella tasa que sirve de referencia para expresar el tipo de interés en las operaciones financieras. Se relaciona con el interés simple, ya que no refleja el interés real de las transacciones financieras. Ejemplo, se va a abrir un CDT en el banco del Comercio, el cual ofrece una tasa del 12% anual capitalizable mensualmente; se obtiene un crédito cobrando una tasa del 30% nominal trimestral. En términos generales, la tasa nominal, indica cuántas veces se están capitalizando (liquidando) los intereses al año, es decir, con qué frecuencia. Las tasas nominales se pueden expresar de la siguiente forma: El 14% Nominal anual capitalizable mensualmente. El 14% Nominal capitalizable semestralmente. El 14% Nominal semestral. El 14% Capitalizable semestralmente. El 14% Anual liquidable semestre vencido. El 14% SV (Semestre vencido). 42 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel 3.2 Tasa periódica Es la tasa con la cual se realizan todos los cálculos, es decir, aquella tasa correspondiente a cada uno de los períodos en los cuales se van a liquidar los intereses correspondientes. Para obtenerla, basta con dividir la tasa nominal entre el número de capitalizaciones que hay en el año: Continuando con el ejemplo anterior, se tiene que una tasa nominal del 14% capitalizable semestralmente, la tasa del período será igual a: ip = Tasa Nominal (J) No.Capitalizaciones anuales (n) ip = 0,14 2 ip = 0,07 ip = 7 % Semestral Nota: Si se tiene la tasa periódica, bastará con multiplicar por el número de capitalizaciones al año para obtener la tasa nominal (J): Ejemplo 3.1 Una tasa del 1,25% mensual corresponde a una tasa nominal del: J = ip x No. Capitalizaciones al año. J = 0,0125 x 12 J = 18% Capitalizable mensual. Se puede utilizar cualquiera de las expresiones vistas anteriormente para expresar la tasa nominal: 18% Nominal mensual. 18% AMV (Anual Mes Vencido). 18% MV. Capítulo 3. Conversión de tasas Las partes de la tasa de interés se describen a continuación: 2 4 18% A M V 1 3 1= Tasa de interés. Se expresa en porcentaje. 2= Anual (nominal). 3= Frecuencia de liquidación de intereses. 4= Modalidad (Anticipada / Vencida). 3.3 Tasa Efectiva Es la tasa de interés que realmente se está liquidando en una operación financiera, es decir, indica efectivamente cuál es la verdadera rentabilidad de una inversión o el costo real de un crédito. Se relaciona entonces con el interés compuesto, ya que implica la capitalización de intereses. En la mayoría de las veces, la tasa efectiva hace referencia al período de tiempo de un año. Ejemplo 3.2 El señor Luis Becerra obtiene un crédito del Banco Internacional, el cual le ofrece una tasa del 12% anual liquidable mensualmente. Para hallar la tasa efectiva, utilizamos la siguiente expresión: ie = ( 1+i )n-1 Fórmula No.10 ie = Interés efectivo ip = Interés periódico n = Número de veces que se capitalizan los intereses al año J = Tasa nominal Lo primero que siempre se debe hacer es convertir la tasa nominal en la tasa del período, en este caso el 12% anual en la tasa mensual (periódica): ip = r n ip = 0,12 12 ip = 1 % Mensual 43 44 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Nota: Es importante tener presente que el número de capitalizaciones es respecto al año, es decir, se debe hacer siempre la siguiente pregunta: ¿cuántas capitalizaciones se dan al año?, independiente del tiempo de la operación. Así, por ejemplo, si una operación financiera es a 18 meses con una tasa de interés mensual y la tasa nominal es del 18% nominal mensual, para hallar la tasa del período, no se debe dividir entre 18. ie = ( 1+ ip )n - 1 ie = ( 1+ 0 01)12 - 1 ie = ( 1,01)12 - 1 ie = 0,1268 ie = 12,68 Efectivo Anual Desarrollo mediante el Excel Hay que tener presente que para desarrollar el tema de tasas equivalentes, el Excel presenta un limitante, solo permite trabajar tasas nominales y efectivas, de tal forma, que si se necesita hallar la tasa del período, se debe realizar el cálculo manual. Una vez que se tiene la información en celdas independientes de la siguiente forma: Capítulo 3. Conversión de tasas Luego, se procede a seleccionar en la barra de fórmulas fx, la función Int. Efectivo, que es la función para hallar la tasa efectiva: Luego de seleccionar <Aceptar>, aparece el cuadro de diálogo: 45 46 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Se selecciona la tasa nominal y el número de capitalizaciones que están en las celdas respectivas, seleccionando <Aceptar> y arroja el resultado: Capítulo 3. Conversión de tasas Al obtener el resultado final, simpre la tasa de interés se debe expresar en forma decimal con dos decimales, para lo cual se selecciona en la parte superior el comando Estilo Porcentual: 47 48 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Al aparecer el resultado como se aprecia en la pantalla, se procede a aumentar dos decimales, como se indicó anteriormente: Nota: Al expresar la tasa del 12,68% se puede utilizar en forma abreviada: 12,68% E.A. (efectiva anual). Nunca se deberá expresar 12,68 E.A. capitalizable mensualmente, ya que las tasas efectivas no se capitalizan, son el resultado de capitalizar las nominales. Igualmente, las tasas efectivas no se pueden dividir, multiplicar, simplemente se pueden hallar sus equivalentes como se indicará más adelante. Capítulo 3. Conversión de tasas Ejemplo 3.3 Se desea abrir una cuenta de ahorros en el Banco Andino, el cual ofrece una tasa de interés del 36% nominal con capitalización trimestral. La tasa efectiva será de: ip = ip = j n 0,36 4 ip = 0,09 ie = ( 1 + ip )n - 1 ie = ( 1 ,09 )4 - 1 ie = 1,4116 - 1 ie = 0,4116 ie = 41,16% Efectivo anual Cálculo mediante Excel Una vez que se tiene toda la información en celdas independientes de la siguiente forma: 49 50 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Se busca por las funciones financieras fx y se selecciona Int.Efectivo y luego <Aceptar>: Se seleccionan cada una de las variables respectivas y luego <Aceptar>: Capítulo 3. Conversión de tasas Se procede a expresar el resultado en forma porcentual, para lo cual se seleccionan los comandos de porcentaje en la parte superior, luego aumentar decimales para que el resultado se exprese con dos decimales: 51 52 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Ejemplo 3.4 La Financiera de Desarrollo otorga un préstamo a una tasa del 14% anual semestre vencido, la tasa efectiva será de: ip = ip = j n 0,14 2 ip = 7 % Semestral ie = ( 1 + ip )n - 1 ie = ( 1 + 0 07 )2 - 1 i = 14,49% Efectivo anual 3.4 Tasas equivalentes El concepto de tasas equivalentes hace referencia a las tasas con períodos de capitalización diferentes que tienen la misma tasa efectiva, por lo que será indiferente escoger alguna de ellas. En muchas oportunidades las entidades financieras ofrecen diferentes tasas de interés por los productos financieros que poseen, pero en el fondo se está ofreciendo una misma tasa efectiva capitalizable en diferentes períodos. Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo 3.5 Una persona se ha ganado la Lotería Comunal, para lo cual se le presentan las siguientes alternativas de inversión: El Banco Mercantil le ofrece el 1,28% Mensual, el Banco Laboral el 15,86% NSV y el Banco Central el 16,49% E.A, ¿dónde deberá invertir? Capítulo 3. Conversión de tasas Como tenemos tres tasas con períodos de capitalización diferentes, no se pueden comparar entre sí, por lo que se debe buscar una tasa estándar para poder realizar la comparación, esta tasa es la tasa efectiva para los tres bancos, de esta forma se pueden comparar entre sí: Banco Mercantil: ip = 0,0128 ie = ( 1 + ip )n - 1 ie = ( 1,0128 )12 - 1 i = 16,49% E.A. Banco Laboral: J = 15,86% NSV 0,1586 2 ip = 0,07930 ip = ie = ( 1 + ip )n - 1 ie = ( 1 + 0,07930 )2 - 1 i = 16,49% E.A. Banco Central: 16,49% E.A. Como puede apreciarse, será indiferente para el inversionista escoger cualquiera de las alternativas de inversión, puesto que al final con cualquiera de ellas siempre va a obtener la misma tasa efectiva del 16,49% (al año). 3.5 Conversión de tasas Sin duda alguna, el tema más complejo, y por ende el más importante de toda la concepción de las matemáticas financieras, es el relacionado con la forma en que nos movemos entre los diferentes tipos de tasas, pasando de una tasa periódica a una efectiva o a una nominal, para lo cual se han establecido las siguientes situaciones: 53 54 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Caso Dada Hallar Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Periódica Periódica Periódica Efectiva Efectiva Nominal Nominal Nominal Efectiva Periódica Nominal Periódica Nominal Efectiva Nominal Periódica 3.5.1 Caso 1: Periódica Ejemplo 3% mensual 1,25% trimestral 4,32% trimestral 15% anual 18% anual 24% NM 12% NSV 16% NSV Anual Mensual Liquidable mensual Semestral Capitalizable trimestral Efectiva anual Nominal trimestral Trimestral Efectiva * Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa del 2,48% bimestral: Al ser 2,48% la tasa del período (bimestral) no hay necesidad de dividirla, por tanto, se procede a reemplazar directamente en la ecuación de interés efectivo así: ie = ( 1 + ip )n - 1 ie = ( 1,0248 )6 - 1 i = 15,83% E.A. Se ha tomado como exponente 6 porque en el año hay 6 bimestres. Desarrollo mediante Excel Como se ha mencionado anteriormente, Excel solo trabaja tasas nominales y efectivas, por tanto, debemos pasar la tasa periódica a tasa nominal, simplemente multiplicando por el número de capitalizaciones bimestrales que hay al año -en este caso, por 6-: Capítulo 3. Conversión de tasas Se selecciona fx en la barra de fórmulas, buscando <Int.Efectivo> y se escoge <Aceptar>: Aparece el cuadro de diálogo: 55 56 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Se selecciona la tasa nominal y número de períodos al año (capitalizaciones) de las celdas respectivas y se escoge <Aceptar>: Y se obtiene la tasa efectiva respectiva: 3.5.2 Caso 2: Periódica Periódica * A partir de una tasa del 1,35% mensual, hallar la tasa trimestral equivalente: Como nos encontramos ante períodos de capitalización diferentes y no se puede pasar directamente de una tasa mensual a una tasa trimestral simplemente multiplicando por 3, debemos encontrar una tasa común a ambos períodos de capitalización, que en este caso sería la tasa efectiva. En consecuencia, se parte de la tasa mensual, ya que se conoce su valor y se halla la efectiva respectiva: Capítulo 3. Conversión de tasas ie = ( 1,0135)12 - 1 i = 17,46% E.A. Al tener la tasa efectiva se procede a aplicar la misma fórmula del interés efectivo para hallar la tasa del período que se necesita, en este caso es la trimestral: 0,1746 = ( 1+ iT )4 - 1 1,1746 = ( 1+ iT )4 Se aplica raíz 4 a ambos lados, lo cual queda: 4 1,1746 = 4 ( 1 + iT )4 1,0471 = 1 + i i = 1,0471 –1 i = 4,10 Trimestral Nota: Siempre que se halle la i en la fórmula del interés efectivo, esta estará expresada de acuerdo al exponente a trabajar, de esta forma si se eleva a la 12 se obtiene la tasa mensual, a la 2 se obtiene la tasa semestral y así sucesivamente. Desarrollo mediante Excel Por la limitante del Excel al no trabajar con tasas periódicas, se deben realizar dos procedimientos: uno para la tasa efectiva equivalente a una mensual y el otro para hallar la tasa del período trimestral. 57 58 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Se selecciona la función financiera fx de la barra de fórmulas: Al aparecer el cuadro de diálogo, se busca <Int.Efectivo> y luego se hace clic en <Aceptar>: Capítulo 3. Conversión de tasas Al aparecer el cuadro de diálogo, se escoge la tasa nominal y número de períodos al año de las celdas respectivas y luego <Aceptar>: 59 60 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Se obtiene la tasa efectiva equivalente a una mensual, luego, partiendo de esa tasa efectiva se halla la tasa nominal correspondiente a una capitalización trimestral: En la función financiera fx de la barra de fórmulas se busca Tasa.Nominal y se selecciona <Aceptar>: Capítulo 3. Conversión de tasas Al aparecer el cuadro de diálogo, se escoge la tasa efectiva y el número de capitalizaciones al año, que en este caso es de 4 porque se va a hallar la tasa nominal trimestral y luego <Aceptar>: Se obtiene el resultado del 16,42% que es la tasa nominal capitalizable trimestralmente, pero como se necesita hallar la tasa del período, se debe dividir dicha tasa entre el número de capitalizaciones (4): 61 62 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Como se pudo apreciar, cuando se vayan a trabajar tasas periódicas en Excel, se presentan algunas complejidades por las deficiencias del Excel al no tener en cuenta las tasas periódicas, por lo que las personas deben tener muy claro la tasa periódica, la tasa nominal y efectiva para de esta forma aprovechar todo el potencial que el Excel ofrece. 3.5.3 Caso 3: Periódica Nominal * ¿Qué tasa anual capitalizable semestralmente es equivalente al 4,15% trimestral? Antes de comenzar a trabajar, se debe analizar muy bien la información para saber de dónde se parte y hacia dónde se dirige, esto es, partir de la tasa que se tiene la información (4,15% trimestral) y hacia la cual se va a dirigir: la tasa anual semestral. Al partir de una tasa del 4,15% trimestral, se halla la tasa efectiva respectiva: ie = ( 1 + 0,0415 )4 - 1 ie = ( 1,0415)4 - 1 i = 17,66% E.A. Al tener la tasa efectiva se procede a aplicar la misma fórmula del interés efectivo para hallar la tasa del período que se necesita, que en este caso es la semestral: 0,1766 = ( 1+ iS )2 - 1 1,1766 = ( 1+ iS )2 Capítulo 3. Conversión de tasas Se aplican las propiedades de los radicales (raíz 2 a ambos lados), lo cual queda: 2 1,1766 = 2 ( 1 + iS )2 1,0847 = 1 + iS i = 1,0471 –1 i = 8,47 Semestral Como se pide la tasa capitalizable semestralmente, se debe multiplicar por 2 la tasa semestral: J = 0,0747 x 2 J = 16,94% ASV Desarrollo mediante Excel Se procede a hallar la tasa nominal correspondiente a una tasa del 4,15% trimestral, simplemente multiplicando por 4 que es el número de capitalizaciones al año: 63 64 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Al tener la información en las celdas respectivas, se procede a hallar la tasa efectiva a partir de una nominal trimestral, se busca fx en la barra de fórmulas y se selecciona Int.Efectivo y luego <Aceptar>: Al aparecer el cuadro de diálogo, se ubica la tasa nominal y número de capitalizaciones en las celdas respectivas y se selecciona <Aceptar>: Capítulo 3. Conversión de tasas Al obtener la tasa efectiva para una capitalización trimestral, se procede a encontrar la tasa capitalizable semestralmente, para lo cual se debe hacer otro cuadro de la siguiente forma: 65 66 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Se procede a buscar la Tasa Nominal en la función financiera fx de la barra de fórmulas y luego <Aceptar>: Al aparecer el cuadro de diálogo, se selecciona la tasa efectiva y el número de períodos al año de las celdas respectivas y después <Aceptar>: Capítulo 3. Conversión de tasas 3.5.4 Caso 4: Efectiva Periódica * A partir de una tasa efectiva anual del 26% hallar la tasa trimestral equivalente: Como se mencionó anteriormente, con la tasa efectiva anual no se puede dividir. Se deja sin modificar, partiendo de ella para encontrar la tasa del período que se solicita, que en este caso es la trimestral (período): 0,26 = ( 1+ iT )4 - 1 1,26 = ( 1 + iT )4 4 1,26 = 4 ( 1 + iT )4 1,0594797 =( 1 + iT ) iT = 0,0594797 i =5,95 Trimestral Desarrollo mediante Excel Una vez que se tiene la información disponible en las celdas independientes, se procede a ubicar la función financiera fx en la barra de fórmulas: 67 68 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Luego al parecer el cuadro de diálogo, se busca la función Tasa.Nominal y se selecciona <Aceptar>: Se selecciona la tasa efectiva y el número de capitalizaciones de las celdas respectivas, luego se escoge <Aceptar>: Capítulo 3. Conversión de tasas La tasa que arroja el Excel es la tasa nominal capitalizable trimestralmente, como se pide la tasa del período, es decir, la trimestral, se divide dicha tasa entre el número de capitalizaciones al año: 3.5.5 Caso 5: Efectiva Nominal * A partir de una tasa del 18% anual, hallar la tasa capitalizable semestralmente: Cuando se indique una tasa anual, se debe entender que es la misma tasa efectiva, ya que el período de capitalización es sólo una vez al año: 0,18 = ( 1+ iS )2 - 1 1,18 =( 1+ iS )2 2 1,26 = 2 ( 1 + iT )4 1,0862780 = 1 + iS iS = 0,0862780 Como se pide la tasa nominal capitalizable semestralmente, y se ha hallado la tasa semestral, se multiplica por 2 para hallar la tasa respectiva: J = 0,0862780 x 2 J = 17,26% ASV 69 70 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Desarrollo mediante Excel Con la información disponible en las celdas independientes, se procede a ubicar la función financiera fx de la barra de fórmulas y se busca Tasa.Nominal seleccionando <Aceptar>: Aparece el cuadro de diálogo y se escoge la tasa efectiva, número de períodos al año de las celdas respectivas y luego <Aceptar>: Capítulo 3. Conversión de tasas Nota: Recuerde siempre, tener la celda en formato de 2 decimales para que la respuesta sea la correcta. 3.5.6 Caso 6: Nominal Efectiva * Hallar la tasa efectiva anual para una tasa del 26% con capitalización trimestral: Se parte de una tasa nominal capitalizable trimestralmente (J), por tanto, se debe hallar la tasa periódica (semestral) para poder reemplazarla la fórmula de la tasa efectiva: ip = 0,26 4 ip = 0,065 ie = ( 1,065 )4 - 1 i = 28,65% E.A. 71 72 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Desarrollo mediante Excel Capítulo 3. Conversión de tasas 3.5.7 Caso 7: Nominal Nominal * Con base en una tasa del 29,12% nominal trimestral, hallar la equivalente a capitalizable mensualmente: ip = 0,2912 4 ip = 0,0728 Es frecuente dividir entre 12, por lo que se debe tener presente que se parte de una trimestral y nos dirigimos hacia una mensual, por tanto, se debe hallar primero la tasa efectiva para una capitalización trimestral: ie = ( 1+ 0,0728)4 -1 i = 32,457% E.A. Luego de tener la efectiva correspondiente a una capitalización trimestral, nos devolvemos para encontrar la tasa mensual: 0,32457 = ( 1+ iM )12 - 1 12 1,32457 = 12 ( 1 + iM )12 1,0237005 = 1+ iM iM= 0,0237005 J = 0,0237005 x 12 J = 28,44% AMV 73 74 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Solución mediante Excel Al tener la tasa nominal, se halla la tasa efectiva para una capitalización trimestral (4) de la siguiente forma: Se entra por la función financiera fx, aparece el cuadro de diálogo y se selecciona Int.Efectivo para hallar la tasa efectiva y luego <Aceptar>: Al aparecer el cuadro de diálogo, se selecciona la Tasa Nominal, el número de capitalizaciones al año y luego <Aceptar>: Capítulo 3. Conversión de tasas Se obtiene la tasa efectiva, luego se procede a hallar la Tasa Nominal para capitalización mensual, así: 75 76 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel 3.5.8 Caso 8: Nominal Periódica * ¿Qué tasa trimestral es equivalente a una tasa del 10,26% nominal mensual?: ip = 0,1026 12 ip = 0,0855 ie = ( 1+ 0,0855)12 - 1 ie = 10,7565 % E.A. 0,107565 = ( 1 + iT )4 - 1 4 1,107565 = 4 ( 1 + iT )4 1,0258699 = 1 + iT i = 2,587% Trimestral Capítulo 3. Conversión de tasas Desarrollo mediante Excel En la barra de fórmulas se selecciona fx, se busca Int.Efectivo y luego <Aceptar>: 77 78 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Se obtiene la tasa efectiva para una capitalización mensual, ahora se procede a hallar la tasa nominal para la capitalización trimestral: Capítulo 3. Conversión de tasas 79 80 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Como se ha venido mencionado anteriormente, el Excel no trabaja tasas periódicas, por lo que se debe proceder a realizar el cálculo manual para hallar la tasa trimestral: 3.6 Aplicación del interés efectivo bajo NIIF La empresa Bocadillos Matecaña S.A.S. abre un Certificado de Depósito a Término (CDT) el día 20 de noviembre del 2017 a 90 días de plazo por $1 millón en el Banco Nacional a una tasa del 6% E.A. Veamos cómo es el registro contable para el primer mes: Primero se debe pasar la tasa efectiva a una equivalente diaria para poder trabajar cada mes los días respectivos: 0,06 = ( 1+ iD )365 - 1 1,06 = ( 1+ iD )365 365 1,06 = 365 ( 1+ iD )365 1,00015965 = 1+ iD iD = 0,00015965 i = 0,015965% Diario Días causados: Noviembre: 30 Noviembre: 20 = 10 Días Desde el momento de la apertura del activo financiero hasta el final del mes, el título ha tenido un incremento en su valor, veamos en cuánto se ha valorizado dicho activo financiero mediante el concepto de valor futuro: Capítulo 3. Conversión de tasas F = P (1 + ip)n F = P (1 + ip)n F = 1’000.000 (1 + 0,00015965)10 F = $1’001.597,68 De esta forma la empresa al final del mes contabilizará el incremento del activo financiero en $1.597,98 y así sucesivamente cada uno de los meses que dura la inversión en el CDT. Desarrollo mediante Excel Partiendo de la tasa efectiva del 6% anual, hallamos tasa nominal para la capitalización diaria (365), mediante la función financiera fx en la barra de fórmulas: 81 82 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Se obtiene la tasa anual capitalizable diariamente, y se procede a hallar la tasa del período (diaria) en forma manual, dividiendo la tasa nominal entre 365: Al obtener la tasa diaria se procede a encontrar el valor futuro, mediante la función financiera fx y seleccionar VF en el cuadro de diálogo y luego <Aceptar>: Capítulo 3. Conversión de tasas Hay que recordar que al obtenerse un resultado en rojo (negativo), es porque el valor presente debe ser negativo, por tanto, basta con editar la celda agregando el signo (-) y se obtiene el valor futuro positivo. El ejemplo anterior, hace referencia al concepto de costo amortizado, el cual se define como el valor presente de los flujos de efectivo futuros por cobrar, descontados a la tasa de interés efectiva. Ejemplo 3.6 La empresa Comercializadora Andina S.A. vende mercancías a crédito por $1’200.000 a un cliente otorgándole 6 meses de plazo, en donde la empresa obtiene financiación de las entidades bancarias al 10% anual para su capital de trabajo. En consecuencia, la empresa deberá reconocer una cuenta por cobrar de la siguiente forma: 83 84 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Primero debemos convertir la tasa efectiva a una tasa mensual: 0,10 = ( 1 + iM )12 - 1 1,10=( 1 + iM )12 12 1,10 = 12 ( 1+ iM )12 1,00797414 = 1 + iM iM= 0,00797414 i = 0,797% Mensual F = $1’200.000 i = 0,00797414 n=6 P=? $ 1.200.000 0 6 P=? P= 1’200.000 ( 1+0,00797414 )6 P = $1’144.155,11 De esta forma, la empresa bajo NIIF debe contabilizar el activo financiero Cuentas por cobrar por valor de $1´144.155,11 y no los $1’200.000 que antes se contabilizaban, lo cual evidencia el valor del dinero en el tiempo, ya que $1´200.000 que espera recibir dentro de 6 meses equivalen hoy a $ 1´144.151,11. 85 Capítulo 3. Conversión de tasas Problemas Propuestos No. 3 1. Encontrar las tasas efectivas equivalentes para una tasa del 20% nominal capitalizable: a. Mensual. b. c. d. e. Bimestral. Trimestral. Semestral. Anual. Respuesta: a) 21,94% e) 20,00% 2. b) 21,74% c) 21,55% d) 21,00% Hallar la tasa de interés trimestral equivalente a una tasa de interés nominal del 18% anual con capitalización trimestral. Respuesta: 4,5% 3. Hallar la tasa de interés efectiva para una tasa de interés del 16% liquidable trimestralmente. Respuesta: 16,99% 4. Con base en el ejercicio anterior, encontrar la tasa trimestral. Respuesta: 4,00% 5. Hallar la tasa de interés trimestral equivalente a una tasa del 8% semestral. Respuesta: 3,92% 6. Se necesita hacer un crédito por $2’000.000 para lo cual se tienen las siguientes opciones: a. Banco Nacional ofrece una tasa del 28,50% anual mensual. b. Banco Ganadero al 30% anual capitalización semestral. ¿Cuál alternativa se escoge? Respuesta: Opción b. 7. Hallar la tasa de interés bimestral equivalente a una tasa del 10% semestral. Respuesta: 3,228% 86 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel 8. Una persona desea invertir en un CDT para lo cual se le presentan las siguientes alternativas: a. Una corporación le ofrece el 23,41% nominal trimestre vencido. b. Un banco le ofrece el 23% con capitalización mensual. ¿Cuál decisión toma? Respuesta: Alternativa b. 9. Un inversionista dispone de $12’000.000 para invertirlos. ¿Cuánto recibirá de intereses periódicos, si las siguientes entidades le ofrecen las tasas respectivas?: a. 36% anual, pagaderos por mes vencido. b. 37% anual. c. 38% semestre vencido. d. 35% nominal trimestral. 10. Pedro deposita $5’000.000 en la fiducia del Banco Matecaña, la cual le reconoce el 24% MV. ¿Qué cantidad recibirá de interés al cabo de 6 meses?, ¿qué tasa recibirá expresada en forma semestre vencido? Respuesta: Intereses: $630.812 Tasa: 25,23% SV 11. El Banco Comunal le otorga un crédito a Luis Octavio por valor de $ 1’000.000 a una tasa del 28% nominal trimestral. ¿Cuánto deberá pagar de intereses si decide cancelar los intereses por: a) Mes vencido; b) Semestre vencido? Respuesta: a) $22.809 b) 144.900 12. Gloria Emilse solicita un crédito por $6´000.000 a diferentes entidades financieras. ¿Cuáles serán las tasas periódicas, nominales y efectivas anuales que le cobran, si debe pagar de intereses? a. b. c. d. Banco 1: $1’200.000 anuales. Banco 2: $600.000 semestrales. Banco 3: $300.000 trimestrales. Banco 4: $100.000 mensuales. Respuestas: a) 20% AV b) 20% SV c) 20% TV d) 20% MV C APÍTULO 4 A N UA L I D A D E S 4.1 Definición Forman parte de las llamadas series uniformes. Son un conjunto de cuotas iguales y periódicas en donde el concepto de cuota hace referencia a valores recibidos y/o pagados en cada período (día, semana, mes, trimestre, semestre, año). Para que una serie de pagos se consideren como una anualidad deben cumplir con los siguientes requisitos: »» Todos los pagos (ingresos-egresos) deben ser por igual valor. »» Todos los pagos (ingresos-egresos) se realizan en el mismo período de tiempo. »» Todos los pagos (ingresos-egresos) deben tener la misma tasa de interés. »» El número de pagos debe ser igual al número de períodos. Ahora veamos las clases de anualidades. 4.2 Anualidad vencida En esta anualidad los pagos (ingresos-egresos) se realizan al final de cada período de tiempo. Son las más utilizadas en la mayoría de operaciones comerciales como pago de vehículos, electrodomésticos, créditos bancarios, etc. 88 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel La característica principal, es que la primera cuota se realiza un período después de iniciada la operación financiera. Se utilizan las siguientes expresiones: ( 1 + i )n - 1 i ( 1 + i )n Fórmula No. 10 P A = ( 1 + i )n -1 i ( 1 + i )n Fórmula No. 11 F=A ( 1 + i )n - 1 i Fórmula No. 12 A= Fi ( 1 + i )n - 1 Fórmula No. 13 P=A Ejemplo 4.1 Un televisor se adquiere mediante 12 cuotas mensuales por un valor de $ 45.200. Si la tasa de interés es del 19.8% nominal mensual, hallar el valor de contado. P=? i= 0 1 2 1,65% 3 4 ............... A= $ 45.200 A = $45.200 ip = 0,198 = 0,0165 12 n= 12 P=? Utilizando la expresión No. 10: P=A ( 1 + i )n - 1 i ( 1 + i )n 12 Capítulo 4. Anualidades P = 45.200 ( 1 + 0,0165 )12 - 1 0,0165( 1 + 0,0165 )12 P = 45.200 0,216994444 0,020080408 P = $488.443,70 Utilizando Excel tenemos: Se ingresa por fx: Se selecciona VA (valor actual), luego <Aceptar>: Se escoge cada una de las variables respectivas y luego <Aceptar>: 89 90 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Ejemplo 4.2 El valor de la matrícula de un universitario para dentro de 6 meses es de $ 612.000, si el banco le ofrece una tasa mensual del 1,05%, ¿cuánto se deberá ahorrar cada mes? F= $ 612.000 i = 1,05% 0 1 2 3 4 A=? 5 6 Capítulo 4. Anualidades F = $612.000 i = 1,05% Mensual n = 6 Meses A=? Utilizando la fórmula No. 10: A = A= Fi ( 1 + i )n - 1 612.000 (0,0105) ( 1,0105 )6 - 1 A= 6.426 ( 1,0105 )6 - 1 A= 6.426 0,064677086 A = $99.355, 13 Mediante Excel se tiene: 91 92 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Ejemplo 4.3 Se piensa adquirir un vehículo para el cual Financiera de Desarrollo presta dinero a tres años, con una tasa de interés del 10.5% compuesta mensualmente. Si el valor del automóvil es de $7’250.000 y se debe dar una cuota inicial del 20%, ¿cuál será el valor de las cuotas mensuales? Cuota inicial = $7’250.000 x 20% = $1’450.000 Valor del vehículo a financiar = $7’250.000 - $1’450.000 = $5’800.000 $ 5.800.000 = P 0 i= 1 2 3 0,875% 4 ............... A=? 36 93 Capítulo 4. Anualidades P = $5’800.000 i = 0,00875 n = 36 A=? P A = ( 1 + i )n -1 i ( 1 + i )n 5.800.000 ( 1,00875 )36 -1 0,0875 ( 1,00875 )36 A= A = $188.514,17 Ejemplo 4.4 El Banco Hipotecario financia la adquisición de vivienda nueva por $ 75’250.000, si la tasa de interés anual es del 13.8% y las cuotas anuales son de $10’811.399,21, ¿cuál es el plazo de la hipoteca? A = $10’811.399,21 i = 13,8% Anual n=? P = $75’250.000 $ 75.250.000 = P 0 i= 1 2 13,80% 3 4 5 ............... n=? $ 10.811.399,21 = A n= Log A - Log (A - Pi) Fórmula No. 14 Log (1+i) n= Log ( 10’.811.399,21 ) - Log ( 10’.811.399,21- 75’ 250.00 x 0,1380) Log ( 1+0,1380 ) n = 25 años 94 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Mediante Excel, se tiene: Capítulo 4. Anualidades Nota: Como la tasa está dada en forma anual, la respuesta debe ser en años. Ejemplo 4.5 Un electrodoméstico tiene un valor de contado de $2’500.000 y se financia a 4 años mediante cuotas mensuales iguales de $87.381,74. Hallar la tasa de financiación que se cobra. P = $2’500.000 n=4 A = $87.381,74 i =? 95 96 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel $ 2.499.000 0 i= ? 48 1 A = $ 87.381,74 En esta situación no existe fórmula directa para encontrar la tasa de interés. Se puede utilizar mediante tanteo, esto es dándole valores al azar hasta encontrar el valor solicitado. Afortunadamente, el Excel nos facilita esta labor: Buscamos la función Tasa y luego <Aceptar>: 97 Capítulo 4. Anualidades Se selecciona cada una de las variables respectivas en el cuadro de diálogo y luego se hace clic en <Aceptar>: 4.3 Anualidad anticipada Hasta ahora hemos trabajado con anualidades vencidas, es decir, con cuotas que se dan al final del período, pero existen algunas operaciones cuyos pagos se realizan al comienzo de cada período, como en el caso de los arrendamientos, seguros, etc. Veamos un ejemplo: 0 1 2 3 4 5 $ 285.000 = A ............... 12 98 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Como se puede apreciar, cuando las cuotas son vencidas, la primera cuota se cancela al final del primer período y así sucesivamente. Si las cuotas son anticipadas, entonces se tiene: 0 1 2 3 4 ............... 11 12 $ 285.000 = A Como se puede observar, cuando las cuotas son anticipadas, la primera cuota se cancela en el período cero, de tal forma que la última cuota, se paga en el período No.11, en el período No. 12, no se cancela ninguna cuota. Para hallar el valor presente en una anualidad anticipada, simplemente se suma el valor de la primera cuota anticipada en el período cero y el valor presente del resto de las demás cuotas, para lo cual se utiliza la expresión de las anualidades vencidas. Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo 4.6 Se piensa tomar en arriendo una oficina por seis meses, cuyo valor mensual es de $150.000 que se pagan en forma anticipada, y se desea cancelar el total del contrato, ¿cuánto se deberá pagar hoy, sabiendo que la tasa de interés es del 1% mensual? P=? i= 0 1 2 1,0 % 3 $ 150.000 = A VP = $150.000 + A ( 1 + i )n - 1 i ( 1 + i )n VP = $150.000 + $ 150.000 ( 1 + 0,01 )5 - 1 0,01 ( 1 + 0,01 )5 VP = $150.000 + $ 150.000 ( 1,01 )5 - 1 0,01 ( 1,01 )5 VP = $150.000 + $ 150.000 0,05101005 0,010510101 4 5 6 99 Capítulo 4. Anualidades VP = $150.000 + $150.000 ( 4,853431239 ) VP = $150.000 + $728.014,69 VP = $878.014,69 También se puede hacer de otra forma, en la que se halla el valor futuro en el período No. 6, para lo cual se utiliza la siguiente expresión: ( 1 + i )n+1 -1 -1 i F=A Fórmula No. 15 F=? i= 0 1 2 1,0% 3 4 5 $ 150.000 = A F=150.000 6 ( 1 + 0,01 )6+1 -1 -1 0,01 F6 = $932.030,28 Ahora, se procede a calcular el valor presente en el momento cero: VP = F ( 1 + i )n VP = $ 932.030,28 ( 1 + 0,01 )6 VP = $ 932.030,28 1,061520151 VP = $878.014,69 4.4 Anualidad diferida Hasta ahora se parte del supuesto que todas las anualidades comienzan en el primer período (cuota No.1), pero sucede que en la realidad se presentan algunas situaciones en las cuales la primera cuota no se da en el primer período, sino que se presenta en períodos posteriores. Veamos un ejemplo: 100 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Ejemplo 4.7 El Banco Agrario concede un crédito por $2’000.000 a 6 meses con un interés del 1.2% mensual para un cultivo de café con un período de gracia de 3 meses. ¿Cuál será el valor de las cuotas? $ 2.000.000 P = i= 1 2 1,2% 3 4 5 6 7 9 8 0 A= ? Como el período de gracia es de 3 meses, la primera cuota se realiza en el período 4. El valor presente ubicado en el período 0, lo llevamos a futuro en el período 3, lo cual queda: F3 = 2.000.000 ( 1,012 )3 F3 = 2’072.867,46 $2.072.867,46 1 2 3 4 5 6 9 0 i= 1,2% A= ? De esta forma, se tiene una anualidad vencida, simplemente, se procede a despejar el valor de la anualidad normal: i ( 1 + i )n ( 1 + i )n - 1 A=P A = 2’072.867 A= 0,012 ( 1,012 )6 ( 1,012 )6 - 1 2’072.867 5,755851385 A = $360.132,21 101 Capítulo 4. Anualidades 4.5 Anualidad perpetua También llamadas anualidades infinitas debido a que no tienen fin, es decir no se conoce el valor de n o no existe el último pago, puesto que tienen infinito número de cuotas. P= A i Fórmula No. 16 Ejemplo 4.8 Se adquiere una acción que genera unos ingresos mensuales indefinidos de $ 1.200, si la tasa de interés es del 1.5% mensual, ¿cuál es el valor de la acción? A = $12.00 i = 0,015 P=? P=? i= 0 1 1,5 % 2 3 n A = $ 1.200 P= P= A i 1.200 0,015 P = $80.000 Ejemplo 4.9 El mantenimiento de un viaducto tiene un costo anual de $120.000. La alcaldesa del municipio de Dosquebradas, desea constituir un fondo con un depósito único en una fiduciaria que paga un interés del 30% anual, de tal manera que cada año pueda retirarse de ese fondo la suma necesaria para cubrir el mantenimiento. Hallar el valor del depósito. 102 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel A = $120.000 i = 30% anual P=? P= A i $ 120.000 0,3 P= P = $400.000 Ejemplo 4.10 Una persona recibe como herencia una casa, le genera ingresos mensuales netos por concepto de arrendamiento de $600.000. Si le ofrecen $50’000.000 por la casa, ¿deberá venderla, sabiendo que en el mercado se ofrecen tasas del 9,6% nominal mensual? A = $600.000 i = 0,096/12 = 0,008 P=? P= P= A i 600.000 0,008 P = $75.000.000 No debe vender la casa, ya que obtendrá mejores ingresos futuros traídos a valor presente. Capítulo 4. Anualidades Problemas Propuestos No. 4 1. La señora Beatriz Rojas realiza un préstamo por $5’000.000 para ser cancelado mediante cuotas iguales al valor de $150.888,66, si la tasa de interés es del 26.40% nominal mensual, ¿en cuánto tiempo se cancelará el préstamo? Respuesta: n = 60 meses 2. Una persona desea adquirir una vivienda que tiene un valor de $ 25’000.000, el Fondo Nacional del Ahorro le ofrece una tasa del 15% anual, y las cuotas anuales son por valor de $4’981.301,56, ¿en cuánto tiempo cancelará el crédito? Respuesta: n = 10 Años 3. La Corporación Concasa le concede un préstamo de libre inversión a la señora Marisol Díaz por un valor de $3’000.000 para cancelarlo en 3 años. Si la tasa de interés es del 14% nominal anual capitalizable mensualmente, hallar el valor de las cuotas si estas son anticipadas. Respuesta: A = $101.350,47 4. La señora Sandra Gutiérrez ha realizado depósitos mensuales durante 2 años por $150.000, si una Corporación le ofrece una tasa del 11.40% nominal liquidable mensualmente, hallar la suma acumulada al final del tiempo. Respuesta: VF = $4’022.120 5. Se desea adquirir un computador a crédito en 12 cuotas mensuales iguales de $96.000, y una entidad financiera ofrece una tasa del 25.20% anual por mes vencido, hallar el valor de contado del computador. Respuesta: VP = $1’009.025,69 6. El señor Diego Ávila decide ahorrar $3’500.000 en el plazo de 3 años, para lo cual establece un fondo mensual en un banco que le ofrece una tasa de interés del 12.60% anual mes vencido. ¿De cuánto serán los depósitos mensuales para cubrir dicha suma? Respuesta: A = $80.505,64 103 104 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel 7. La señora Floralba Ospina desea comprar una lavadora, de contado vale $ 850.000, se adquiere con una cuota inicial del 20% y el saldo es financiado a año y medio mediante cuotas iguales. Si la tasa de financiación es del 23.76% anual capitalizable mensualmente, determinar el valor de las cuotas mensuales a pagar. Respuesta: A = $45.277,71 8. Hoy se adquiere una deuda por $4’000.000 para ser cancelada en cuotas mensuales iguales de $124.774, si la tasa que se cobra es del 19,80% nominal mensual, ¿en cuánto tiempo se habrá cancelado la deuda? Respuesta: n = 46 Meses 9. Adriana Gómez desea adquirir un vehículo nuevo, su valor es $28’000.000, un concesionario se lo financia a 5 años mediante cuotas iguales por un valor de $850.977, ¿cuál es la tasa mensual que le están cobrando por la financiación? Respuesta: i = 2,23% 10. Una obligación debe ser cancelada mediante 24 cuotas mensuales en forma anticipada por valor de $150.000 cada una, si la tasa de interés es del 23.52% nominal mensual, hallar el valor del préstamo. Respuesta: VP = $2’905.846,22 11. El señor Álvaro Arévalo decide comprar un equipo de sonido financiado a 2 años mediante cuotas mensuales iguales de $32.000, cancelando la primera cuota dentro de 4 meses, transcurridos dos meses, decide cancelar la totalidad del crédito, si la tasa de financiación es del 23.40% anual mensual, calcular el valor de dicho pago. Respuesta: VP = $597.045,42 12. Un padre de familia desea constituir un fondo para que su hijo pueda retirar mensualmente la suma de $120.000 en forma indefinida, si el fondo garantiza una tasa del 10.20% anual capitalizable mensualmente, hallar el valor del depósito. Respuesta: VP = $14’000.000 Capítulo 4. Anualidades 13. ¿Cuánto deberá depositar hoy una persona para poder retirar durante tres años $345.000 mensuales? Teniendo en cuenta que la persona inicia los depósitos dentro de dos años y que un título financiero le ofrece una tasa del 5% anual.. Respuesta: VP = $10’458.357,40 14. El Banco Risaralda concede un crédito por $4’500.000, otorgando un trimestre de periodo de gracia, para ser cancelado durante un semestre en cuotas iguales. Si el banco cobra el 6% nominal mes vencido, ¿de cuánto serán las cuotas? Respuesta: A = $774.684,58 105 C APÍTULO 5 A M O R T I Z AC I O N E S 5.1 Definición La amortización se define como el proceso mediante el cual se cancela una deuda junto con sus intereses, en una serie de pagos iguales y en un tiempo determinado, en consecuencia, la amortización consiste en cancelar una deuda de tal forma que cada vez que se realice un pago se cancelen intereses y se realicen abonos a capital (principal). En todo proceso de amortización, intervienen dos elementos: »» Abono a Capital. »» Pago de Intereses. En consecuencia, para todo proceso de amortización intervienen las siguientes variables: »» Valor Presente. »» Cuota Periódica. »» Tasa de Interés Periódica. »» Número de Períodos. 108 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel 5.2 Tabla de amortización Es una herramienta que permite visualizar en cualquier momento el proceso de amortización al dar una idea precisa acerca del estado actual de la deuda discriminando cada uno de los pagos realizados. Toda tabla de amortización debe tener como mínimo cinco columnas: en la primera se ubican los períodos, en la segunda el saldo inicial, en la tercera el valor de la cuota total, en la cuarta columna el valor de los intereses causados del período, en la quinta el valor del abono a capital y en la última, el saldo de la deuda. Tabla 1. Tabla de amortización Período Saldo Inicial Cuota Interés Abono capital Saldo final Ejemplo 5.1 Un artículo vale de contado $928.000, y se adquiere financiado con el 30% del valor del artículo y el saldo se difiere en 8 cuotas iguales. Si la tasa de financiación es del 1,54% mensual, elaborar la tabla de amortización respectiva. P = $928.000 x 0,3 = $278.400 (278.400) P = $649.600 Al dar una cuota inicial del 30% ($ 278.400), quiere decir, que se está financiando el saldo restante ($ 649.600), para lo cual se halla el valor de las anualidades: P = $928.000 – $278.400 = $649.600 n= 8 i= 1,54% A=? 109 Capítulo 5. Amortizaciones $ 928.000 0 1 2 8 $ 278.400 0,0154 A = $649.600 ( 1,0154 )8 8 1,0154 -1 A = $86.927,47 Con el valor de la cuota mensual se procede a llenar cada una de las columnas, de la siguiente forma: Período 1: Saldo inicial: $649.600 Intereses: $649.600 x 0,0154 = $10.003,84 Abono capital: $86.927,47 - $10.003,84 = $76.923,63 Saldo final: $649.600 - $76.923,63 = $572.676,37 Período 2: Saldo inicial: $572.676,37 Intereses: $572.676,37 x 0,0154 = $8.819,22 Abono capital: $86.927,47 - $8.819,22 = $78.108,25 Saldo final: $572.676,37 - $78.108,25 = $494.568,13 Por tanto, la tabla definitiva quedará de la siguiente forma: Períodos Sdo. Inicial 0 $ 649.600,00 1 2 3 4 5 6 7 8 $ 649.600,00 $ 572.676,37 $ 494.568,13 $ 415.257,01 $ 334.724,50 $ 252.951,79 $ 169.919,79 $ 85.609,09 Cuota Interés Abono Sdo. Final $ 86.927,47 $ 86.927,47 $ 86.927,47 $ 86.927,47 $ 86.927,47 $ 86.927,47 $ 86.927,47 $ 86.927,47 $ 10.003,84 $ 8.819,22 $ 7.616,35 $ 6.394,96 $ 5.154,76 $ 3.895,46 $ 2.616,76 $1.318,38 $ 76.923,63 $ 78.108,25 $ 79.311,12 $ 80.532,51 $ 81.772,71 $ 83.032,01 $ 84.310,70 $ 85.609,09 $ 572.676,37 $ 494.568,13 $ 415.257,01 $ 334.724,50 $ 252.951,79 $ 169.919,79 $ 85.609,09 $ 0,000000 649.600,0 110 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Ejemplo 5.2 Elaborar una tabla para amortizar una deuda de $4’500.000, en 12 pagos iguales, suponiendo una tasa de interés del 19,80% capitalizable mensualmente. P = $4’500.000 n = 12 i = 0,198/12 = 0,0165 A=? $4.500.000 i= 0 1 2 1,65% 3 4 .............. 12 A=? A = 4’500.000 0,0165 ( 1,0165 )12 ( 1,0165 )12 - 1 A = $416.424,66 Período Saldo Inicial Interés Cuota Amortización Saldo Final 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.500.000,00 4.157.825,34 3.810.004,80 3.456.445,22 3.097.051,91 2.731.728,61 2.360.377,47 1.982.899,04 1.599.192,21 1.209.154,23 812.680,61 409.665,18 74.250,00 68.604,12 62.865,08 57.031,35 51.101,36 45.073,52 38.946,23 32.717,83 26.386,67 19.951,04 13.409,23 6.759,48 416.424,66 416.424,66 416.424,66 416.424,66 416.424,66 416.424,66 416.424,66 416.424,66 416.424,66 416.424,66 416.424,66 416.424,66 342.174,66 347.820,54 353.559,58 359.393.31 365.323,30 371.351,14 377.478,43 383.706,82 390.037,99 396.473,61 403.015,43 409.665,18 4.157.825,34 3.810.004,80 3.456.445,22 3.097.051,91 2.731.728,61 2.360.377,47 1.982.899,04 1.599.192,21 1.209.154,23 812.680,61 409.665,18 0.00000 5.3 Saldo de una deuda El saldo de una obligación al cabo de un tiempo se determina por la cantidad o suma que en ese momento aún falte por amortizar, es decir, es equivalente al valor presente de las cuotas que aún faltan por cancelar. 111 Capítulo 5. Amortizaciones Conocer el saldo de una deuda u obligación es de gran importancia en las operaciones financieras, para efectos presupuestales, fiscales, y en general, para proyecciones financieras de la empresa o persona. En términos generales, según la deuda original, el tipo de interés que se cobra, el sistema de amortización y el tiempo para su cancelación, el saldo en cualquier momento es igual a: 1. El valor futuro en ese momento de la deuda inicial menos el valor futuro de las cuotas canceladas hasta ese momento. 2. El valor presente en ese momento de las cuotas que aún faltan por pagar. Ejemplo 5.3 Un electrodoméstico tiene un valor de $475,000, y puede adquirirse con una cuota inicial de $52,020 y el resto financiado a dos años con cuotas mensuales iguales y un interés del 2.5% mensual. Hallar el saldo al cabo de 15 meses: 475,000-52,020 = $ 422,980 i = 2,5% 1 2 3 4 ………….. 0 A=P i ( 1 + i )n ( 1 + i )n - 1 A = 422.980 0,045218 0,08087259 A = $23,650 El saldo al cabo de 15 meses estará dado por: Saldo (15) = 422.980 (1,025)15 - 23.650 S(15) = $188,511.01 ( 1,025 )15 - 11 ( 0,025 ) 24 112 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel También se puede calcular utilizando la siguiente expresión: Saldo 15 = 23.650 ( 1,025 )9 - 11 ( 0,025 ) ( 1,025 )9 S(15) = $188,511.01 Ejemplo 5.4 Un crédito de $100,000 se cancelará a un año mediante cuotas iguales financiadas a una tasa del 28% anual capitalizable trimestralmente, calcular el saldo en el tercer período: n=4 0,28 i= = 0,07 4 1 Saldo 2 3 4 0 A = $29.522,81 $ 100.000 P= A=P i ( 1 + i )n ( 1 + i )n - 1 A = 100.000 0,07 ( 1,07 )4 ( 1,07 )4 - 1 A = $29,522.81 El problema puede resolverse calculando el valor presente de las cuotas de pago pendientes: P= A P = 29.522,81 ( 1 + i )n - 1 i ( 1 + i )n ( 1 + 0,07 )1 - 1 0,07 ( 1 + 0,07 )1 P = $29,522.81 (0.9345794) P = $27,591.41 Capítulo 5. Amortizaciones 5.4 Composición de los pagos Cuando una deuda se está amortizándose mediante una serie de pagos iguales, dichos pagos para amortizar la deuda tienen dos componentes básicos: pago de intereses y amortización a capital, la razón para conocer cómo está compuesta una cuota es para efectos fiscales, pues en algunos sistemas de tributación lo que se paga de intereses es exento o deducible para efectos de impuestos. Ejemplo 5.5 Hallar la composición del pago 95 en la financiación de $50’000.000 en pagos uniformes durante 15 años con una tasa del 9% capitalizable mensual. P = $50’000.000 i= 0,09 = 0,0075 12 A=? A = 50’000.000 0,0075 ( 1,0075 )180 ( 1,0075 )180 - 1 A = $507.133,29 Los intereses se liquidan con base en el saldo del período anterior, entonces si se quiere hallar la distribución del pago 95 se debe calcular el valor de la deuda inmediatamente después de haber realizado el pago 94. La deuda en el período 94 será igual al valor presente de los pagos que faltan por hacer. En total son 180 pagos y se han hecho 94, luego faltan 86 pagos los cuales conforman una anualidad. El valor presente de esta anualidad en el punto 94 será: P = 507.133,29 ( 1+0,0075 )86 - 1 0,0075 ( 1+0,0075 )86 P = $32’055.774,99 Los intereses serán de: $32’055.774.99 x 0.75% = $240.418.312 El valor de la amortización será de: $ 507.133.29 - $240.418.312 = $ 266,714.98 113 114 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Períodos Saldo Inicial Cuota Interés Amort. Cap. 94 95 Saldo Final $ 32.055.774,99 $ 32.055.774,99 $ 507.133,29 $ 240.418,31 $ 266.714,98 $ 31.789.060,01 Desarrollo mediante Excel De una forma sencilla, Excel tiene dos funciones para hallar la amortización a capital mediante la función PAGOPRIN y para el pago de intereses la función PAGOINT: Se selecciona el asistente de funciones fx: Se busca en el cuadro de diálogo la función PAGOPRIN. Como es la primera vez que utilizamos esta función no aparece en el cuadro de diálogo, por lo que se debe teclear manualmente, luego se seleccionan cada una de las variables y luego <Aceptar>: Capítulo 5. Amortizaciones Para el cálculo de los intereses realizamos el mismo procedimiento pero con la función PAGOINT: 115 116 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel 117 Capítulo 5. Amortizaciones 5.5 Cuotas extras En algunas operaciones de crédito el deudor desea efectuar pagos adicionales para disminuir el tiempo de la acreencia, o también para disminuir el valor de las cuotas ordinarias. Las cuotas adicionales siempre serán complementarias a las cuotas ordinarias. Se presentan dos clases de cuotas extraordinarias: 5.5.1 Cuota extra pactada Se presentan cuando el deudor y acreedor se ponen de acuerdo sobre las fechas en que se efectuarán los pagos adicionales junto con su respectivo valor. Este tipo de cuotas debe incluirse en el planteo de la ecuación inicial, para disminuir el valor de la cuota ordinaria. Ejemplo 5.6 Una obligación por valor de $1´000,000 se cancela a un año mediante 4 pagos iguales, igualmente se realizará un pago adicional de $500,000 en la tercera cuota ordinaria. Si la tasa es del 9,24% nominal trimestral, elaborar la tabla de amortización. $ 1.000.000 i= 1 0,0231 2 3 4 0 500.000 El planteo de la ecuación inicial será: 1’000.000 = A ( 1 + 0,0231 )4 -1 0,0231 ( 1 + 0,0231 )4 + 500.000 ( 1,0231 )3 A = $141.061,81 Períodos Saldo Inicial Cuota Cuota Extra Interés Amortizac. capital Saldo Final 1 $ 1.000.000 $ 141.061,81 $ 23.100,00 $ 117.961,81 $ 882.038,19 2 $ 882.038,19 $ 141.061,81 $ 20.375,08 $ 120.686,73 $ 761.351,45 3 $ 761.351,45 $ 141.061,81 $ 17.587,22 $ 623.474,60 $ 137.876,86 4 $ 137.876,86 $ 141.061,81 $ 3.184,96 $ 137.876,86 $ 0,00000 500.000 118 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Nota: Se observa que en el período 3 el valor de la cuota es igual a la cuota ordinaria más la cuota extraordinaria: $ 141.061,81 + $500.000 = $641.061,81. 5.5.2 Cuota extra no pactada En muchas ocasiones, durante el desarrollo de un crédito, se presentan situaciones que implican realizar abonos extras que no estaban planeados para efectuarse inicialmente, alterando el saldo final que se traía hasta ese momento. Cuando se realiza una cuota extra no pactada inicialmente se presentan dos situaciones: a. La cuota extra se abona directamente al saldo de la deuda, por lo tanto, si se siguen pagando las cuotas ordinarias por el mismo valor, la obligación se va a terminar de pagar antes del tiempo planteado. b. Si la cuota extra se abona a la deuda pero no se desea disminuir el plazo pactado inicialmente, las cuotas ordinarias faltantes, serán de menor valor, lo cual implica la necesidad de recalcular las cuotas ordinarias. Ejemplo 5.7 Un préstamo por valor de $5´000.000 se está cancelando a año y medio mediante pagos iguales con un interés del 9,40% nominal trimestral. Al pagarse la cuarta cuota, decide realizarse un abono extra de $1’500.000. Elaborar la tabla de amortización en cada una de las situaciones planteadas: 1. El deudor desea acortar el plazo: Como no se pactó cuota extra desde un comienzo, se calcula la cuota normal: P = $5’000.000 i= 0,094 = 0,0235 4 A=? A = 5’000.000 0,0235 ( 1,0235 )6 ( 1,0235 )6 -1 A = $903.201,30 119 Capítulo 5. Amortizaciones Tabla 2. Tabla inicial Períodos Saldo inicial Cuota Interés Abono capital Saldo final 0 1 2 3 4 5 6 $ 5.000.000,00 $ 5.000.000,00 $ 4.214.298,70 $ 3.410.133,41 $ 2.587.070,24 $ 1.744.665,09 $ 882.463,41 $ 903.201,30 $ 903.201,30 $ 903.201,30 $ 903.201,30 $ 903.201,30 $ 903.201,30 $117.500,00 $99.036,02 $80.138,14 $60.796,15 $40.999,63 $20.737,89 $ 785.701,30 $ 804.165,28 $ 823.063,17 $ 842.405,15 $ 862.201,67 $ 882.463,41 $ 5.000.000,00 $ 4.214.298,70 $ 3.410.133,41 $ 2.587.070,24 $ 1.744.665,09 $ 882.463,41 $ 0,00000 La tabla se diligencia normalmente hasta la cuota no.3, en la cuota no.4, se presenta el abono extra de $1’500.000, con lo cual, el nuevo saldo será de: Tabla 3. Tabla modificada Períodos Saldo inicial 2 3 4 5 $ 4.214.298,70 $ 3.410.133,41 $ 2.587.070,24 $ 244.665,09 Cuota $ 903.201,30 $ 903.201,30 $ 903.201,30 $ 250.414,72 Cuota extra $ 1.500.000 Interés Abono capital Saldo final $ 99.036,02 $ 80.138,14 $ 60.796,15 $ 5.749,63 $ 804.165,28 $ 823.063,17 $ 2.342.405,15 $ 244.665,09 $ 3.410.133,41 $ 2.587.070,24 $ 244.665,09 $ 0,00000 Al realizar el abono extra de $1’500.000, el nuevo saldo será de $244.665,09, es decir que en la cuota no.5, se debe realizar el cálculo manual para lograr el saldo de 0. 2. El deudor no desea disminuir el plazo pactado inicialmente y pide recalcular la cuota: Con el nuevo saldo en la cuota no. 4 por $244.665,09, se procede a recalcular la nueva cuota para dos períodos que faltan del plazo inicialmente pactado: A = 244.665,09 0,0235 ( 1,0235 )2 ( 1,0235 )2 -1 A = $126.661,46 Tabla 4. Tabla modificada Períodos Saldo inicial Cuota Interés Abono capital 3 4 5 6 $ 3.410.133,41 $ 2.587.070,24 $ 244.665,09 $ 123.753,26 $ 903.201,30 $ 903.201,30 $ 126.661,46 $ 126.661,46 $ 80.138,14 $ 60.796,15 $ 5.749,63 $ 2.908,20 $ 823.063,17 $ 2.342.405,15 $ 120.911,83 $ 123.753,26 Cuota extra $ 1.500.000,00 Saldo final $ 2.587.070,24 $ 244.665,09 $ 123.753,26 $ 0,00000 120 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel 5.6 Contabilización de préstamo bajo NIIF Ejemplo 5.8 Una empresa obtiene un préstamo de $10’000.000 a cinco años mediante cuotas anuales vencidas a una tasa del 20% anual. La entidad financiera cobra comisión del 1% por gastos de estudio del crédito. P = $10’000.000 n = 5 años i = 0,20 A=? Comisión = $100.000 0,20 ( 1,20 )5 A = 10’000.000 ( 1,20 )5 -1 A =$ 3’.343.797,03 Como al valor del préstamo de $10’000.000 se le descuentan $100.000 por concepto del estudio del crédito, entonces la empresa sólo recibe $9’900.000, para lo cual se calcula la tasa real que se le está cobrando, mediante la serie de pagos traídos a valor presente, mediante la siguiente expresión: -9’900.000 = 3’343.797,03 3’343.797,03 3’343.797,03 3’343.797,03 3’343.797,03 + + + + ( 1 + i )1 ( 1 + i )2 ( 1 + i )3 ( 1 + i )4 ( 1 + i )5 Período 0 1 2 3 4 5 TIR: Valor -$9.900.000,00 $3.343.797,03 $3.343.797,03 $3.343.797,03 $3.343.797,03 $3.343.797,03 20,458% Desarrollo mediante Excel Se calcula la TIR que iguala la expresión para obtener una tasa del 20,458%, de esta manera se procede a realizar la tabla de amortización respectiva: Período 1 2 3 4 5 Saldo Inicial $9.900.000,00 $8.581.569,78 $6.993.411,80 $5.080.344,48 $2.775.897,06 Cuota $3.343.797,03 $3.343.797,03 $3.343.797,03 $3.343.797,03 $3.343.797,03 Interés $2.025.366,81 $1.755.639,05 $1.430.729,71 $1.039.349,61 $567.899,98 Amortización $1.318.430,22 $1.588.157,98 $1.913.067,32 $2.304.447,43 $2.775.897,06 Saldo Final $8.581.569,78 $6.993.411,80 $5.080.344,48 $2.775.897,06 $0,00000 Capítulo 5. Amortizaciones Problemas Propuestos No. 5 1. Un electrodoméstico vale de contado $1’450.000, se adquiere con una cuota inicial del 40% del valor de contado y el saldo financiado a un año mediante cuotas iguales. Si la tasa de financiación cobrada es del 28,20% nominal mensual, elaborar la tabla de amortización. Respuesta: A = $258.453,74 2. Elaborar la tabla para amortizar un préstamo por la suma de $3’200.000 a dos años mediante pagos iguales, si se cobra una tasa del 19,80% nominal trimestral. Respuesta: $430.266,90 3. Un artículo tiene un valor de contado por $865.000, se adquiere financiado a dos años con cuotas iguales, más una cuota inicial del 20% del valor de contado. Si la tasa cobrada es del 20,16% capitalizable mensualmente, hallar el saldo al cabo de 20 cuotas. Respuesta: $364.495,51 4. Una obligación bancaria se cancela a un año mediante cuotas iguales de $ 458.399,97. Si se cobra una tasa de interés del 18% anual mensual, elaborar la tabla de amortización. 5. Una deuda por valor de $6’982.600 se amortiza mediante cuotas iguales por valor de $1’420.000. Si la tasa de interés es del 24% nominal trimestral, elaborar la tabla de amortización respectiva. Respuesta: n = 6 6. Una concesionaria de automóviles financia la adquisición de vehículos a 10 años mediante cuotas trimestrales iguales. Un cliente planea realizar una cuota extra al finalizar el quinto año por valor de $8´000.000. Si la financiera cobra una tasa del 29,40% anual mensual y las cuotas trimestrales son por $2’325.000, hallar el valor del vehículo. Respuesta: VP = $31’051.600,60 7. Un crédito por $8’000.000 se cancela a dos años mediante cuotas iguales. Si la tasa de interés cobrada es del 26% nominal trimestral y se realiza un abono extra no pactado de $1’800.000 en la cuota No.3, elaborar la tabla de amortización respectiva en cada una de las situaciones previstas. 121 122 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel 8. Completar la siguiente tabla indicando cada uno de los cálculos respectivos: Períodos Saldo inicial 1 2 3 . . . . . n $1.000.000,00 Interés Cuota mensual Abono capital Saldo final $845.961,80 $13.197,00 C APÍTULO 6 GRADIENTES 6.1 Definición Las gradientes forman parte de las series variables, consisten en una serie de pagos periódicos que varían (aumentan-disminuyen) de un período a otro en una cantidad determinada constante en pesos o en porcentaje. Para que una serie se considere como gradiente debe tener las siguientes características: a. Los pagos deben ser periódicos. b. Los pagos varían (aumentan o disminuyen) de un período a otro en una cantidad fija o en porcentaje. c. El gradiente aparece a partir del segundo pago. Las partes del gradiente son: H = Base del gradiente. G = Gradiente. Básicamente, los gradientes se clasifican en: aritmético, geométrico y perpetuo. 124 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel 6.2 Gradiente aritmético (lineal) Son una serie de pagos periódicos que varían de un período a otro en una suma constante (pesos). Si la suma fija en pesos aumenta, se tiene un gradiente aritmético creciente y si por el contrario, la suma constante disminuye, se presenta un gradiente aritmético decreciente. 6.2.1 Gradiente aritmético creciente Es el gradiente en donde los pagos aumentan en una suma fija en pesos de un período a otro. Ejemplo 6.1 Hallar el valor de contado de una máquina que se adquiere financiada a 3 años, mediante cuotas que se incrementan en $1.000 de un período a otro, siendo la primera cuota de $10.000 y sabiendo que la tasa que se cobra es del 18% capitalizable mensualmente. n = 36 G = $1.000 H = $10.000 i= 0,18 = 0,015 12 VP = ? i= 1 1,5 % 3 2 ............. 36 0 H P=H H+1.000 g ( 1 + i )n - 1 + n i i(1+i) P = 10.000 H+2.000 n ( 1 + i )n - 1 n i ( 1 + i ) ( 1 + i )n ( 1,015 )36 - 1 0,015 ( 1,015 )36 + 1.000 0,015 Fórmula No. 17 ( 1,015 )36 - 1 36 36 0,015 ( 1,015 ) ( 1,015 )36 VP = $716.437,10 125 Capítulo 6. Gradientes Ejemplo 6.2 El señor Diego Naranjo recibe un préstamo por valor de $10’000.000 del Banco Cafetero, para pagar en 3 años mediante cuotas trimestrales que se incrementan en $10.000 de un período a otro. Hallar el valor de las cuotas, sabiendo que se cobra una tasa de interés del 12% anual trimestral. P = $10’000.000 n = 12 i= 0,12 = 0,03 4 H=? i= G= $ 10.000.000 0 1 2 H H + $ 10.000 0,03 $ 10.000 3 4 H + $ 20.000 VP = H 10’000.000 = H g ( 1 + i )n - 1 + n i i(1+i) ( 1,03 )12 - 1 0,03 ( 1,03 )12 + ............. 12 H + $ 30.000 n ( 1 + i )n - 1 n i ( 1 + i ) ( 1 + i )n 10.000 0,03 ( 1,03 )12 - 1 12 12 0,03 ( 1,03 ) ( 1,03 )12 H = $953.135,86 Ejemplo 6.3 Una persona crea un fondo para usar en 3 años, estableciendo ahorros que aumentan en $5.000 de un período a otro. Si el primer depósito es de $20.000 y la tasa de interés es del 18,72% nominal mensual, hallar el valor acumulado. g = $5.000 H = $20.000 0,1872 = 0,0156 12 n = 36 i= 126 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel i= 1 0 $ 20.000 H F=H 2 3 $ 25.000 4 ............. 36 $ 30.000 g ( 1 + i )n - 1 + i i F = 20.000 VF = ? 1,56 % ( 1 + i )n - 1 -n i ( 1,0156 )36 - 1 0,0156 + 5.000 0,0156 Fórmula No. 18 ( 1,0156 )36 - 1 - 36 0,0156 F36 = $4.742.686,59 6.2.2 Gradiente aritmético decreciente Es el gradiente aritmético en donde los pagos disminuyen en una suma fija en pesos de un período a otro. Simplemente, es cambiarle el signo más por el menos (-) en la ecuación no.17, la cual quedará: P=H g ( 1 + i )n - 1 + n i i(1+i) n ( 1 + i )n - 1 n i ( 1 + i ) ( 1 + i )n Fórmula No. 19 Ejemplo 6.4 Una persona empieza a hacer depósitos mensuales durante un año, comenzando con $6.000 dentro de un mes, los cuales disminuyen de un período a otro en $500, si en el mercado se ofrece la tasa del 25,92% anual mensual, ¿a cuánto equivalen hoy dichos depósitos? H = $6.000 n = 12 i= 0,2592 = 0,0216 12 G = - $ 500 P=? 127 Capítulo 6. Gradientes VP = ? i= 1 2 2,16 % 3 ............. 12 0 H-1.000 H-500 H 500 ( 1,0216 )12 - 1 ( 1,0216 )12 - 1 12 12 12 0,0216 ( 1,0216 ) 0,0216 0,0216 ( 1,0216 ) ( 1,0216 )12 P = 6.000 P = $35.366,49 Ejemplo 6.5 Una persona planea sus vacaciones para final de año, si comienza a ahorrar al final de Enero $50.000, que disminuyen cada mes en $2.000, ¿cuánto tendrá acumulado al final del año, si una Cooperativa Financiera le ofrece el 9% anual mensual? H = $50.000 G = - $2.000 n = 12 i= 0,09 = 0,0075 12 F=? i= 1 2 0,75 % 3 VF = ? ............. 12 0 H $50.000 F=H g ( 1 + i )n - 1 + i i F = 50.000 H-4.000 H-2.000 ( 1,0075 )12 - 1 0,0075 ( 1 + i )n - 1 -n i + 5.000 0,0075 Fórmula No. 20 ( 1,0075 )12 - 1 - 12 0,0075 F12 = $490.010,45 128 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel 6.3 Gradiente geométrico Es el gradiente en donde los valores varían de un período a otro en un porcentaje fijo. Se clasifican en: 6.3.1 Gradiente geométrico creciente Es aquel en donde los valores se incrementan en un porcentaje fijo de un período a otro. Ejemplo 6.6 Hallar el valor de contado de un artículo que se financia a 2 años mediante cuotas crecientes en un 5%, en donde el primer pago es de $1.000, si la tasa de financiación es del 17,40% anual mensual. n = 24 g = 5% H = $1.000 i= 0,174 = 0,0145 12 P=? VP = ? i= 1 P= H i-g P= $ 1.000 -0,03550 1- H*(1+i)1 1+g 1+i 1- 3 2 H 0 n 1,45 % H*(1+i)2 ............. H*(1+i)3 Si g≠ i 1,050 1,0145 24 Fórmula No. 21 24 VP = $36.139,07 Ejemplo 6.7 Un estudiante planea comprar un computador dentro de año y medio, para lo cual decide realizar ahorros mensuales comenzando en $10.000 a partir del 129 Capítulo 6. Gradientes próximo mes, los cuales se incrementarán en un 4%, si una entidad bancaria le ofrece una tasa del 6% anual capitalizable mensual, ¿cuánto tendrá disponible en esa fecha? n = 18 H = $10.000 g = 4% i= 0,06 = 0,005 12 VF = ? i= 0 1 H F=H 0,50 % 3 ............. 2 H*(1+i)1 H*(1+i)2 18 H*(1+i)3 (1 + g)n - (1 + i)n Si g≠ i g-i Fórmula No. 22 F = Hn (1 + i)n-1 Si g= i Fórmula No. 23 VF = $10.000 (1,040)18 - (1,005)18 0,040 - 0,005 VF = $266.253,59 Ejemplo 6.8 El señor José Toro recibe un préstamo de $2’000.000 del Banco Matecaña para pagar en cuotas durante año y medio, las cuales aumentan en un 2% de un período a otro, si el banco cobra una tasa del 13% anual trimestral. Hallar el valor de las cuotas. P = $2´000.000 n=6 i= 0,13 = 0,0325 4 G = 2% H=? 130 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel $ 2.000.000 i= 1 0 H 0,0325 3 2 H*(1+i)1 4 5 6 H*(1+i)2 $ 2’000.000 = H 1,020 10,01250 1,0325 6 H = $354.731,35 6.3.2 Gradiente geométrico decreciente Es aquel gradiente geométrico en donde los valores disminuyen en un porcentaje fijo de un período a otro. Ejemplo 6.9 Se va a comprar un Smart TV para ser cancelado en 18 cuotas que van disminuyendo en un 2.5%. Si el primer pago es de $250.000 y la tasa de interés es del 3.2% mensual, ¿cuál es el valor del televisor? n = 18 g = 0,025 i = 0,032 H = $250.000 P=? VP = ? i= 1 2 3 0 H 3,2 % H*(1-i)2 H*(1-i)1 ............. H*(1-i)3 H = Base del gradiente H 1+g n 1i+g 1+i $250.000,0 0,975000 VP = 10,057 1,03200 Fórmula No. 24 P= 18 H = $2’808.667,16 18 131 Capítulo 6. Gradientes 6.3.3 Gradiente geométrico infinito Llamado también gradiente geométrico perpetuo, es aquel gradiente el cual no tiene período final, es decir, no se conoce la última cuota. En consecuencia, sólo tiene sentido hallar el valor presente. Se utiliza la siguiente expresión: P= H = Si i > g i+g Fórmula No. 25 Si i ≤ g No existe Ejemplo 6.10 Un padre desea establecer una fiducia para que su hijo pueda retirar cada mes $50.000, los cuales aumentarán en un 1,5% de un mes a otro en forma indefinida. Si una entidad financiera le ofrece una tasa del 21% capitalizable mensualmente, ¿cuánto deberá depositar para constituir dicha fiducia? H = $50.000 g = 1,5% i= 0,21 = 0,0175 12 P=? VP = ? i= 1 0 $ 50.000 1,75% 2 50.000 (1+i)1 P= 3 ............. 50.000 (1+i)2 & 50.000 (1+i)3 50.000 0,0175 - 0,015 P = $20’000.000 6.4 Aplicaciones de los gradientes Una de las aplicaciones más utilizadas en el campo de los gradientes, es el relacionado con la valuación de acciones que tienen un crecimiento constante según la información histórica de la evolución del precio de la acción respectiva. 132 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Ejemplo 6.11 Un inversionista piensa adquirir acciones de la empresa Cementos Matecaña S.A., la cual se espera pague un dividendo de $300 a partir de hoy, con un crecimiento constante del 2% anual. Dada la situación del riesgo de la empresa se espera un rendimiento requerido del 8%. ¿Cuál será el precio de la acción? A = $300 i = 8% G = 0,02 P=? P= P= A i-g 300 0,08 - 0,02 P = $5.000 133 Capítulo 6. Gradientes Problemas Propuestos No. 6 Gradiente aritmético 1. Una persona deposita cierta cantidad de dinero en una cuenta de ahorros cada mes, lo ha hecho durante 5 años, los depósitos los incrementa en $2,000 cada mes, si el primer depósito es de $1,000 y el banco reconoce una tasa de interés del 12% nominal mensual. Hallar el valor actual. Respuesta: P = $2’430.567,33 2. Se adquiere un electrodoméstico financiado por $2’500.000 a 12 cuotas mensuales, estas disminuyen cada mes $15.000, si la tasa de interés es del 42% anual mes vencido, hallar el valor de la primera cuota. Respuesta: H = $335.078,13 3. Se piensa comprar un artículo para el cual se da una cuota inicial de $200.000, y se desea cancelar en año y medio en cuotas mensuales que se incrementan cada mes en $5.000, si la primera cuota es de $ 25.000 y la tasa de interés es del 18% anual mes vencido, ¿cuál es el valor del artículo? Respuesta: P = $1’226.531,47 4. Hallar el valor presente de la siguiente serie con tasa del 1.5%. VP = ? i= 1 2 3 8000 6000 4 5 4000 2000 6 1,50% 7 8 9 10 11 12 2000 4000 13 14 0 10000 Respuesta: P = $89.858,44 10.000 6000 8000 134 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Gradiente geométrico 5. Se piensa adquirir un vehículo para cancelarlo en 5 años mediante cuotas mensuales que se incrementan cada mes en un 2%, si la primera cuota es de $150.000 y la tasa de interés es del 15% capitalizable mensualmente, ¿cuál será el valor de contado del vehículo? Respuesta: P = $4’615.071,36 6. Para comprar una casa se da una cuota inicial del 20% y el saldo se financia a 10 años en cuotas mensuales que se incrementan en 0.15% mensualmente, si la tasa de interés es del 10,467% capitalizable mensualmente, ¿cuál es el valor de la casa si la primera cuota es de $1’500.000? Respuesta: P = $150’000.000 7. Usted desea ahorrar al final de cada año el equivalente a un mes de salario, si el salario mínimo es de $778.000, ¿cuánto tendrá ahorrado al cabo de 5 años, suponiendo que cada año se le incrementa un 6% el salario y la tasa de interés es del 10% anual? Respuesta: F = $5’295.932,02 8. La alcaldesa municipal desea establecer un fondo para el mantenimiento de la malla vial del municipio industrial, el cual se estima en $ 1’000.000 mensuales, los cuales suben cada mes de acuerdo al índice de inflación. Si se espera que la inflación sea constante del 0.25% mensualmente para los años futuros, calcular el valor del fondo, suponiendo que una corporación le garantiza el 7.8% anual mes vencido. Respuesta: P = $250’000.000 UNIDAD II E VA LUAC I Ó N D E P R OY E C TO S DE INVERSIÓN C APÍTULO 7 VA LO R P R E S E N T E N E TO 7.1 Introducción Cuando se tienen diferentes alternativas de inversión se debe elegir aquel proyecto que permita recuperar la inversión inicial y generar un excedente para los inversionistas o dueños del proyecto, para lograrlo es necesario evaluar el proyecto a una tasa de descuento que represente el costo de oportunidad, de este modo los inversionistas podrán destinar sus recursos en dicho proyecto descartar otras alternativas. Veamos los siguientes ejemplos: El señor Javier dispone de $10’000.000 y tiene las siguientes alternativas: a. Invertir en un CDT que le paga un interés del 1% mensual. b. Prestarle a un amigo que le reconoce el 5% de interés. c. Adquirir una fábrica de calzado que obtiene una ganancia del 2%. d. Comprar acciones de Bavaria que pagan el 1.5%. ¿Cuál alternativa escogería el señor Javier? 138 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel A simple vista, si se escogiera la opción de mayor rentabilidad -que en este caso sería la del 5% de prestarle a un amigo-, se tiene el inconveniente del riesgo de no pago del conocido, por lo que es mejor descartar esta alternativa. Las otras opciones son más viables, de todas formas cualquiera que elija, tendrá un costo de oportunidad que es la de disponer sus recursos en determinada alternativa de inversión, de esta forma, cualquier alternativa que elija, como mínimo debe representar una ganancia del 1%, ya que es la menor opción que tiene disponible. Así, la tasa de descuento es la variable más importante que se debe tener en cuenta al momento de evaluar una alternativa de inversión, la cual es el resultado de analizar el costo de los recursos disponibles para adelantar el proyecto. 7.2 Métodos para evaluar proyectos de inversión Los criterios más utilizados para evaluar proyectos de inversión son: 7.2.1 Valor Presente Neto (VPN) Consiste en traer a hoy (valor presente) los flujos futuros que genera un proyecto durante su vida útil, descontados a una tasa de interés y se le resta la inversión inicial. Una vez realizadas dichas operaciones, se obtiene lo siguiente: VPN > 0: El proyecto se acepta, puesto que los flujos futuros del proyecto recuperan la inversión inicial y generan una ganancia. VPN < 0: El proyecto se rechaza, ya que los flujos futuros del proyecto no alcanzan a recuperan la inversión inicial generando una pérdida. VPN = 0: El proyecto es indiferente, puesto que los flujos futuros del proyecto recuperan la inversión inicial pero no generan ganancia alguna. Ejemplo 7.1 Un proyecto requiere una inversión inicial de $1’000.000 y genera unos flujos de $300.000 para el primer año, $400.000 para el segundo año y de $ 500.000 para el tercer año. Si el inversionista espera una rentabilidad del 10 %, ¿se debe emprender el proyecto? 139 Capítulo 7. Valor presente neto $ 500,000 0 $ 400,000 $ 300,000 1 2 i= $ 1,000,000 3 10.00% Se traen todos los flujos futuros a valor presente (hoy): VP(0) = 300.000 400.000 500.000 + + ( 1,10 )1 ( 1,10 )2 ( 1,10 )3 VP(0) = 272.727,27 + 330.578,51 + 375.657,40 VP(0) = 978.963,19 Ahora, al valor presente de los flujos futuros se resta la inversión inicial: VPN(0) = 978.963 – 1’000.000 VPN(0) = - 21.036,81 Como el VPN <0, se rechaza la inversión. Desarrollo mediante Excel Para poder realizar el ejercicio mediante el Excel, se deben tener todos los datos en forma consecutiva, bien sea horizontal o vertical, de la siguiente forma: 140 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Se selecciona en la barra de fórmulas la fx y se busca la función financiera para el valor presente que en nuestro caso es VNA y luego <Aceptar>: Al aparecer el cuadro de diálogo se selecciona cada una de las variables teniendo presente, que se debe iniciar con el período 1, luego el 2 y así sucesivamente, la inversión inicial se deja de último: Al seleccionar <Aceptar>, se obtiene la respuesta de $978.963,19, editando dicha celda para restarle la inversión inicial: Capítulo 7. Valor presente neto De esta forma, se obtiene el valor presente neto negaivo de - $21.036,81 Ejemplo 7.2 Supongamos que otro inversionista desea realizar el proyecto anterior, pero espera una rentabilidad del 8%. ¿Debe realizar el proyecto? 141 142 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel VP(0) = 300.000 400.000 500.000 + + ( 1,08 )1 ( 1,08 )2 ( 1,08 )3 VP(0) = 277.777,78 + 342.935,53 + 396.916,12 VP(0) = 1’017.629,43 Al valor presente de los flujos futuros, se le resta la inversión inicial: VPN(0) = 1’017.629 – 1’000.000 VPN(0) = $17.629,43 De esta forma, se puede concluir que un proyecto de inversión puede ser bueno para un inversionista, pero para otro puede no serlo, debido a la tasa de descuento con la cual se evalúa el proyecto respectivo. Desarrollo mediante Excel Al tener la información en celdas independientes de la siguiente forma: Se selecciona la función financiera fx, luego se busca VNA y <Aceptar>: Capítulo 7. Valor presente neto Una vez aparece el cuadro de diálogo, se seleccionan cada una de las variables respectivas a partir del período 1 (no se incluye la inversión inicial): 143 144 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Hay que tener claro que falta incluir la inversión inicial, para lo cual se edita el resultado obtenido, restándole simplemente la inversión inicial: Ejemplo 7.3 Un proyecto requiere una inversión inicial de $500 millones y genera ingresos de $300 millones al cabo de 2 meses, $400 millones a los 3 meses siguientes. Determinar la viabilidad del proyecto si se utiliza una tasa del 5%. $ 400 $ 300 0 1 2 3 i = 5.00% $ 500 VP(0) = -500 + $300 $400 + 2 ( 1,05 ) ( 1,05 )5 VP(0) = $85,52 SE ACEPTA 4 5 Capítulo 7. Valor presente neto Desarrollo mediante Excel Hay que tener presente que en Excel los flujos deben ir consecutivos, en los períodos que no hay flujos, se debe colocar cero, de la siguiente forma: Se selecciona la fx, luego se busca VNA en el cuadro de diálogo y se escoge <Aceptar>: 145 146 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Capítulo 7. Valor presente neto 7.3 Aplicaciones del VPN bajo NIIF 7.3.1 Deterioro de cartera En el desarrollo de las operaciones comerciales que las empresas realizan a diario, es frecuente realizar ventas a crédito, no obstante muchas veces es poca la certeza de que los clientes cancelen la totalidad de dichos valores, por lo que se deben registrar las pérdidas por el deterioro del activo financiero (cuentas por cobrar). 147 148 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Ejemplo 7.4 La empresa Bocadillos Tropical SAS, al cierre del ejercicio contable mantiene en saldos de las cuentas por cobrar la suma de $1’250.000, las cuales presentan un vencimiento de 90 días. La empresa utiliza una tasa de descuento del 12% anual, ¿cuál será el valor de la pérdida de dicho activo financiero? F = $1’250.000 n = 3 Meses i = 0,18 P=? Primero, se debe hallar la tasa equivalente a la mensual: 0,12 = ( 1+ iM )12 - 1 1,12 = ( 1+ iM )12 12 1,12 = 12 ( 1+ iM )12 1,00948879 = 1+ iM iM = 0,00948879 Luego se procede a traer a valor presente el saldo de las cuentas por cobrar, descontadas a la tasa de descuento mensual: VP(0) = 1’250.000 ( 1,00948879 )3 VP(0) = $1’215.081,78 La pérdida del activo financiero estará dada por: Pérdida: $1’250.000 - $1’215.081,78 Pérdida: $34.918,22 149 Capítulo 7. Valor presente neto 7.4 Aplicaciones del VPN en valuación de acciones Uno de los aspectos más importantes en los temas financieros, es determinar el precio de una acción con base en una serie de flujos de efectivo generados por los dividendos distribuidos por las respectivas empresas. Ejemplo 7.5 Un inversionista tiene acciones de la empresa Ecopetrol, la cual ha distribuido dividendos en los últimos años como se muestra en la siguiente tabla: Tabla 5. Histórico de dividendos Dividendo Anual (COP$/Acción) 2017 2016 2015 $89,00 $23,00 $0,00 2014 2013 2012 2011 $133,00 $260,00 $291,00 $300,00 – Fuente: ECOPETROL – Si el inversionista planea vender sus acciones, ¿cuánto estará dispuesto a recibir como mínimo por cada una de ellas, si su costo de capital es del 8% anual? VP = 89 23 0 133 260 291 300 + + + + + + 1 2 3 4 5 6 ( 1,08 ) ( 1,08 ) ( 1,08 ) ( 1,08 ) ( 1,08 ) ( 1,08 ) ( 1,08 )7 VP = $735 150 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Problemas Propuestos No. 7 1. Un inversionista planea adquirir Títulos de Tesorería TES, los cuales pagan una rentabilidad anual del 5,47%, adicionalmente, se le presenta un proyecto que presenta los siguientes flujos e inversión inicial: Año Propuesta 1 0 -100 1 8 2 10 3 23 4 32 5 47 ¿Cuál alternativa debe elegir? 2. La empresa Bocadillos Tropical planea lanzar al mercado un nuevo producto. Los estudios de mercados arrojaron las siguientes proyecciones e inversiones (millones de pesos): Año Flujo 0 -50 1 -5 2 -8 3 -10 4 7 5 15 6 21 7 32 8 45 Si la empresa tiene un costo de capital del 9,28% anual para proyectos similares, ¿deberá realizar dicho lanzamiento? 3. Un inversionista institucional dispone de $200 millones, si se le presentan las siguientes alternativas, con los flujos netos respectivos, ¿cuál proyecto debe seleccionar, sabiendo que su tasa de descuento es del 12%? Año Propuesta 1 Propuesta 2 4. 0 -200 -200 1 24 35 2 41 46 3 67 69 4 85 74 5 100 85 Un trabajador recibe la suma de $90 por concepto de pensión de vejez, para lo cual decide con dicha suma comprar un taxi y trabajarlo durante 10 años. Según datos de colegas del gremio, puede obtener al final de cada año un valor neto de $10 el primer año, el cual se incrementará a una tasa constante del 2%. Si en el mercado financiero un CDT le renta el 3,26% anual, determinar si se debe o no realizar el proyecto. C APÍTULO 8 TA S A I N T E R N A D E R E TO R N O 8.1 Definición La tasa interna de retorno (TIR) indica la rentabilidad de un proyecto determinado, según los flujos de caja generados en cada período durante la vida útil del proyecto respectivo. Desde el punto de vista matemático, la TIR se define como la tasa que iguala el valor presente de los ingresos con el valor presente de los egresos, es decir, la tasa que hace que el valor presente neto sea igual a cero: VP (Ingresos) = VP (Egresos) VPN = 0 Para el cálculo de la TIR se debe tener en cuenta que los flujos generados por el proyecto se reinvierten a la misma tasa de descuento, lo cual no siempre resulta ser cierto, ya que en muchas ocasiones los flujos no se reinvierten en el proyecto y pueden ser destinados a otros proyectos con diferente tasa de oportunidad, arrojando otra TIR diferente a la del proyecto analizado. Ejemplo 8.1 Una persona desea invertir en un proyecto que necesita una inversión inicial de $100 MM, generando los siguientes flujos anuales: 152 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Año 1: $35 Año 2: $40 Año 3: $28 Año 4: $25 Año 5: $20 Si el inversionista tiene una tasa de descuento del 14%, ¿deberá realizar la inversión? Primero hallamos el valor presente neto: 35 40 25 28 20 0 1 2 3 4 5 -100 VPN(0) = -100 + 35 40 28 25 20 + + + + 1 2 3 4 ( 1,14 ) ( 1,14 ) ( 1,14 ) ( 1,14 ) ( 1,14 )5 VPN(0) = $5,57 Desarrollo mediante Excel Una vez que se tienen los flujos en forma consecutiva, se selecciona la fx de la barra de fórmulas: Capítulo 8. Tasa Interna de Retorno En el cuadro de diálogo se busca la función TIR y <Aceptar>: Al aparecer el cuadro de diálogo, se seleccionan todos los flujos, incluyendo la inversión inicial: 153 154 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Se obtiene una tasa del 16.56%, la cual es propia para el proyecto específico dependiendo de los flujos y la inversión inicial respectiva. Como se tiene una tasa del 14% y el proyecto arroja una tasa superior del 16,56%, se aconseja emprender este proyecto, por lo que se puede concluir que siempre se deben aceptar aquellas alternativas que estén por encima de la tasa de descuento, de lo contrario, se rechazan. Ejemplo 8.2 Se disponen de $200 MM para invertir en un proyecto que presenta los siguientes flujos netos: Períodos Flujos 0 - $200 1 $ 60 2 $ 50 3 $ 70 4 $ 40 5 $ 80 Si el inversionista espera una tasa de descuento del 15%, ¿será conveniente realizar el proyecto? Se tiene que la TIR es la tasa que hace que el VPN = 0, lo cual se expresa de la siguiente forma: 200 = 60 50 70 40 80 + + + + 1 2 3 4 ( 1,15 ) ( 1,15 ) ( 1,15 ) ( 1,15 ) ( 1,15 )5 Mediante el tanteo, dan diferentes tasas para igualar ambas expresiones, lo cual resulta un poco dispendioso, no obstante el Excel mediante las funciones financieras facilita tal operación: Se busca por las funciones financieras fx, la TIR en el cuadro diálogo y se selecciona <Aceptar>: Capítulo 8. Tasa Interna de Retorno Se seleccionan todos los valores inlcuyendo la inversión inicial y se da clic en <Aceptar>: Se obtiene una TIR del 14,72%, por lo que el proyecto no se debe realizar, ya que se espera una tasa de rendimiento superior del 15%. En conclusión, se tiene que cuando la TIR esté por debajo de la tasa de descuento se deben rechazar los proyectos respectivos, ya que los flujos del proyecto no alcanzan a recuperar la inversión inicial. 8.2 Aplicación de la TIR bajo NIIF Bajo las Normas Internacionales de Información Financiera (NIIF), los préstamos obtenidos por las empresas se contabilizan con el modelo del costo amortizado, el cual se utiliza para la medición de los instrumentos financieros básicos (pasivos financieros). (CTPC, N.D.). 155 156 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Para la aplicación del costo amortizado, se debe utilizar el costo real del crédito, el cual, básicamente es la TIR y no la tasa nominal que figura en los documentos legales que soportan la operación crediticia. Ejemplo 8.3 Una empresa obtiene un crédito por $5’000.000 a tres años mediante cuotas anuales vencidas a una tasa del 16% anual. La entidad financiera cobra el 0,5% del valor del préstamo como comisión por estudio del crédito. Calcular la tasa real del crédito. P = $5’000.000 i = 0,20 n=5 Comisión = $75.000 A=? $ 5.000.000 1 2 3 4 5 0 $ 75.000 -4’925.000 = $ 1.527.046,91 1’527.046,91 1’527.046,91 1’527.046,91 1’527.046,91 1’527.046,91 + + + + ( 1 + i )1 ( 1 + i )2 ( 1 + i )3 ( 1 + i )4 ( 1 + i )5 La tasa que equipara los $4’925.000 con los flujos futuros es la TIR, que determina el verdadero costo del pasivo financiero. Como manualmente es un poco complejo el cálculo de la TIR, Excel nos brinda una ayuda valiosa para la determinación de la tasa real, de la siguiente forma: Capítulo 8. Tasa Interna de Retorno 157 158 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Capítulo 8. Tasa Interna de Retorno 159 Problemas Propuestos No. 8 1. Un proyecto requiere una inversión inicial de $5’000.000 para generar unos ingresos trimestrales de $500.000 durante tres años. Si un inversionista espera una rentabilidad del 6% trimestral, ¿debe emprender el proyecto? 2. El gobierno municipal planea construir una central hidroeléctrica a un costo de $1.000, el cual arrojará los siguientes flujos netos futuros: Períodos Flujos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -$ -$ 200 -$ 400 -$ 600 -$ 700 $ 200 $ 500 $ 800 $ 1.000 $ 1.200 $ 1.500 1.000 Si se consigue financiación internacional al 12%, ¿será pertinente desarrollar la obra? ¿Qué recomendaciones le podría ofrecer al gobierno local? 3. La empresa Bocadillos Matecaña piensa adquirir una máquina que tiene un costo de $1.000 y generará ingresos durante 6 años, comenzando por $204,31 que se incrementan en un 2,5%. Si una financiera presta los recursos al 10% anual, ¿se deberá realizar el proyecto? C APÍTULO 9 PERÍODO D E R E C U P E R AC I Ó N DE LA INVERSIÓN 9.1 Definición El Plazo de Recuperación de la Inversión, llamado también Payback es un método complementario para la evaluación de inversiones y se define como el período de tiempo necesario para recuperar el capital inicial de una inversión. Este método permite calcular el plazo que se tardará en recuperar el desembolso inicial efectuado y se seleccionarán las inversiones que tengan menor plazo de recuperación. Para calcular el payback o plazo de recuperación se van sumando los flujos de caja hasta alcanzar la cifra del desembolso inicial. Cuando esto suceda la inversión será realizable. En una variante mejorada del payback, se utiliza el “payback descontado” puesto que tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo al expresar los flujos de efectivo futuros en términos de su valor presente. En consecuencia, la acumulación de flujos que debe igualar la inversión inicial se encuentra expresada en valor presente, en donde cada flujo es “descontado” a una tasa de interés que representa el costo de oportunidad del inversionista. 162 Matemáticas Financieras con aplicaciones en Excel Ejemplo 9.1 Una empresa piensa adquirir una máquina, la cual tendrá un costo y unos flujos futuros netos que a continuación se relacionan: Períodos Flujos Año 0 -$1.000 Año 1 $500 Año 2 $450 Año 3 $380 Año 4 $250 Año 5 $170 Año 6 $100 Si la empresa tiene un costo de capital del 15% anual ¿en cuánto tiempo se recupera la inversión inicial? Primero, se debe traer a valor presente cada uno de los flujos futuros descontados a la tasa del 15%: VP1 = $500,00 = $434,78 ( 1,15 )1 VP2 = $450,00 = $340,26 ( 1,15 )2 VP3 = $380,00 = $249,86 ( 1,15 )3 VP4 = $250,00 = $142,94 ( 1,15 )4 VP5 = $170,00 = $84,52 ( 1,15 )5 VP6 = $100 = $43,23 ( 1,15 )6 Luego se va sumando cada uno de estos flujos así: VP1+VP2+VP3+VP4+VP5+VP6 = 1.259,595 Como se aprecia, el valor acumulado hasta el período tres alcanza la inversión inicial, por lo que se debe ubicar un período anterior y quedarse en el período 2: VP(1) + VP(2) = 434,783 + 340,265 = 775,047 De esta forma se tiene que la inversión inicial se recupera después del año 2, basta identificar en cuántos meses exactos, para lo cual se procede a realizar lo siguiente: 163 Capítulo 8. Periodo de Recuperación de la Inversión Flujo 3 = 1.000 - 775,047 = 0,900329 380 / ( 1,15 )3 Lo cual indica que al flujo del tercer período a la tasa de descuento del 15%, se le resta a la inversión inicial el acumulado hasta el período dos, dicho de otra forma, expresa que parte del flujo del tercer período es suficiente para alcanzar la inversión inicial pendiente, que en este caso es de 0,900329 equivalente a la parte del año, para lo cual, mediante una regla de tres se identifican los meses, días, horas, etc., en las cuales se recupera la inversión inicial. 1 30 0,900329 X X = 10,804 Meses Igualmente, se procede a determinar en cuántos días exactos se recupera la inversión inicial, realizando una regla de tres de la siguiente forma: 1 30 0,804 X X = 24,12 Días Se puede seguir desarrollando el ejercicio hallando los minutos y segundos, pero para efectos prácticos, sólo se trabajará hasta los días, con lo cual la inversión inicial se recuperará en: 2 Años, 10 Meses, 24 Días. Problemas Propuestos No. 9 1. A un inversionista se le presentan las siguientes alternativas de inversión, para lo cual deberá seleccionar la mejor alternativa utilizando los criterios del VPN, TIR, Payback descontado si la tasa de descuento es del 12 %. Proyectos A B Desembolso $400 $400 FC-1 $150 $200 FC-2 $280 $250 FC-3 $350 $310 FC-4 $380 $400 BIBLIOGRAFÍA Álvarez, A. (1999). Matemáticas financieras. México: Mc Graw Hill. Baca, G. (1998). Matemáticas financieras. Bogotá: Politécnico Grancolombiano. Block, B. y Geoffrey, A. (2005). Administración financiera. México: Mc Graw Hill. Contreras, M. (2004). Formulación y evaluación de proyectos. Bogotá: UNAD. Delgado, A. (2006). Matemáticas con aplicaciones en los mercados de dinero y de crédito. Limusa Editorial. Dumrauf, G. (2013). Finanzas corporativas. Colombia: Alfaomega. Emery, D. y Finnerty, J. (2000). Administración financiera. México: Prentice Hall. Gallagher, T. (2001). Administración financiera. Teoría y práctica. México: Prentice Hall. García, J. (2000). Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita. Colombia: Pearson. García, O. (1999). Administración financiera, fundamentos y aplicaciones. Colombia: Prensa Moderna Impresores S.A. Gitman, L. (2000). Principios de administración financiera. EE.UU: Prentice Hall. Méndez, R. (2012). Formulación de proyectos, enfoque para emprendedores. Bogotá: Icontec Internacional. Meza, J. (2003). Matemáticas financieras aplicadas. Bogotá: Ecoe ediciones. Rosillo, J. (2002). Matemáticas financiaras y decisiones de inversión. Bogotá: UNAD. Ross, S., et al. (2000). Finanzas corporativas. EE.UU: Mc Graw Hill. Consejo Técnico de la Contaduría Pública. Documento de orientación técnica 009. Aplicación de las NIIF para las Pymes. Recuperado de: http://www.ctcp. gov.co/publicaciones-ctcp/orientaciones-tecnicas/1472852072-9672 Este libro fue compuesto en caracteres Minion a 11 puntos, impreso sobre papel Bond de 75 gramos y encuadernado con el método hot melt, en septiembre de 2019, en Bogotá, Colombia. Matemáticas financieras con aplicaciones en Excel Las matemáticas financieras son una valiosa herramienta para los estudiantes y profesionales interesados en profundizar en aspectos financieros como el valor del dinero en el tiempo, las operaciones bancarias, el capital, la tasa y el interés que se debe estudiar para obtener rendimientos, entre otros temas indispensables para la correcta toma de decisiones financieras en las organizaciones. La obra está estructurada en dos unidades compuestas por nueve capítulos: La primera unidad, trata sobre la conceptualización del interés general, relacionando temas como el interés simple y compuesto, tasas equivalentes, anualidades, amortizaciones y gradientes. La segunda unidad desarrolla la evaluación de alternativas de inversión utilizando el Valor Presente Neto (VPN), la Tasa Interna de Retorno (TIR) y el PAYBACK descontado, herramientas imprescindibles para determinar la viabilidad al momento de realizar un proyecto de inversión Privado. Al finalizar cada capítulo, los lectores encontrarán ejercicios para resolver y afianzar los conocimientos adquiridos. Incluye Manejo de aplicaciones en Excel. Conversión de tasas mediante Excel. Ejercicios prácticos de NIIF. Periodo de recuperación de la inversión. Humberto Bedoya Valencia Economista Industrial de la Universidad Católica Popular del Risaralda, Magíster en Gestión y Dirección de Proyectos de la Universidad Internacional Iberoamericana. Ha trabajado con la Universidad del Quindío, Universidad de Caldas, Universidad Minuto de Dios, Universidad de Cundinamarca y Uniremington. Actualmente es docente de la UNAD. Dirigida a estudiantes de Contaduría Pública, Administración de Empresas, Ingeniería Comercial, Ingeniería Financiera, Ingeniería Industrial, Administración Financiera y a profesionales que tomen decisiones de carácter financiero y administrativo. Colección: Ciencias empresariales Área: Contabilidad y finanzas ISBN 978-958-771-844-7 9 789587 718447 ecoeediciones.com e-ISBN 978-958-771-845-4
