www.elsolucionario.net 329 16.4 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO Análisis del movimiento absoluto Un cuerpo sometido a movimiento plano general experimenta una traslación y rotación simultáneas. Si el cuerpo se representa como una lámina delgada, ésta se traslada en su plano y gira alrededor de un eje perpendicular a este plano. El movimiento puede especificarse por completo si se conocen tanto la rotación angular de una línea fija en el cuerpo como el movimiento de un punto en él. Una forma de relacionar estos movimientos es utilizar una coordenada de posición rectilínea s para localizar el punto a lo largo de su trayectoria y una coordenada de posición angular para especificar la orientación de la línea. Las dos coordenadas se relacionan entonces por medio de la geometría del problema. Mediante la aplicación directa de las ecuaciones diferenciales con respecto al tiempo v ds>dt, a dv>dt, d>dt, y d >dt, entonces pueden relacionarse el movimiento del punto y el movimiento angular de la línea. Este procedimiento es semejante al que se utilizó para resolver problemas de movimiento dependiente que implican poleas, sección 12.9. En algunos casos, este mismo procedimiento puede utilizarse para relacionar el movimiento de un cuerpo, que experimenta o rotación alrededor de un eje fijo o traslación, con el de un cuerpo conectado que experimenta movimiento plano general. Procedimiento para el análisis La velocidad y aceleración de un punto P que experimenta movimiento rectilíneo pueden relacionarse con la velocidad y aceleración angulares de una línea contenida en un cuerpo si se aplica el siguiente procedimiento. Ecuación de coordenadas de posición. C A b . s a B La caja de volteo del camión gira alrededor de un eje fijo que pasa por el pasador A, y la hace funcionar la extensión del cilindro hidráulico BC. La posición angular de la caja puede especificarse mediante la coordenada de posición angular y la posición del punto C de la caja se especifica por medio de la coordenada de posición rectilínea s. Como a y b son longitudes fijas, entonces las dos coordenadas se relacionan por medio de la ley de los cosenos, S A2 B2 2AB cos .. La derivada con respecto al tiempo de esta ecuación relaciona la rapidez a la cual el cilindro hidráulico se extiende a la velocidad angular de la caja. www.elsolucionario.net 16.4 16 • Localice un punto P en el cuerpo por medio de una coordenada de posición s, la cual se mide con respecto a un origen fijo y está dirigida a lo largo de la trayectoria de movimiento en línea recta del punto P. • Mida con respecto a una línea de referencia fija la posición angular de una línea situada en el cuerpo. • Con las dimensiones del cuerpo, relacione s con , s f (), por medio de geometría y>o trigonometría. Derivadas con respecto al tiempo. • Considere la primera derivada de s f () con respecto al tiempo para obtener una relación entre v y . • Considere la segunda derivada con respecto al tiempo para obtener una relación entre a y . • En cada caso debe utilizarse la regla de la cadena del cálculo cuando se consideren las derivadas con respecto al tiempo de la ecuación de coordenadas de posición. Vea el apéndice C. 16 .indd 329 11/18/09 7:57:51 AM www.elsolucionario.net 330 CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO EJEMPLO 16.3 El extremo de la barra R en la figura 16-7 se mantiene en contacto con la leva por medio de un resorte. Si la leva gira alrededor de un eje que pasa por el punto O con una aceleración angular A y una velocidad angular V, determine la velocidad y aceleración de la barra cuando la leva está en una posición arbitraria . V A A u R 16 O C x B Fig. 16-7 SOLUCIÓN Ecuación de coordenadas de posición. Se eligen las coordenadas y x para relacionar el movimiento de rotación del segmento de línea OA en la leva con la traslación rectilínea de la barra. Estas coordenadas se miden con respecto al punto fijo O y pueden relacionarse entre sí por medio de trigonometría. Como OC CB r cos , figura 16-7, entonces www.elsolucionario.net r r X 2R cos . Derivadas con respecto al tiempo. Si utilizamos la regla de cálculo de la cadena, tenemos D. DT DX DT 2R(sen .) V 2R/ sen . DV DT A 2R 2 Resp. D/ 3 sen . DT 2R( sen . 2R/(cos .) /2 cos .) D. DT Resp. los signos negativos indican que v y a se oponen a la dirección positiva de x. Esto parece razonable cuando visualice el movimiento. NOTA: 16 .indd 330 11/18/09 7:58:32 AM www.elsolucionario.net 16.4 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO 331 EJEMPLO 16.4 En un instante dado, el cilindro de radio r, que se muestra en la figura 16-8, tiene una velocidad angular V y una aceleración angular A. Determine la velocidad y aceleración de su centro G si el cilindro rueda sin deslizarse. sG G . G r . B A sG r. Fig. 16-8 www.elsolucionario.net A 16 SOLUCIÓN Ecuación de coordenadas de posición. El cilindro experimenta movimiento plano general puesto que se traslada y gira al mismo tiempo. Por inspección, el punto G se mueve en línea recta hacia la izquierda, de G a G¿, a medida que el cilindro rueda, figura 16-8. Por consiguiente, la coordenada de posición horizontal sG especificará su nueva posición G¿, medida de G a G¿. Además, a medida que el cilindro rueda (sin deslizarse), la longitud del arco A¿B en su borde, el cual está en contacto con el suelo de A a B, equivale a sG. En consecuencia, el movimiento requiere que la línea radial GA gire a la posición G¿A¿. Como el arco A¿B r, entonces G recorre una distancia S' R. Derivadas con respecto al tiempo. Si se consideran derivadas con respecto al tiempo de esta ecuación y se tiene en cuenta que r es constante, d>dt y d >dt, se obtienen las relaciones necesarias: S' R. V' R/ Resp. A' R Resp. NOTA: recuerde que estas relaciones son válidas sólo si el cilindro (disco, rueda, bola, etcétera) rueda sin deslizarse. 16 .indd 331 11/18/09 7:58:53 AM www.elsolucionario.net 332 CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO EJEMPLO 16.5 La ventana de la figura 16-9 se abre por medio de un cilindro hidráulico AB. Si éste se extiende a una razón constante de 0.5 m>s, determine la velocidad angular y aceleración angular de la ventana en el instante 30°. u SOLUCIÓN s Ecuación de coordenadas de posición. El movimiento angular de la ventana se obtiene por medio de la coordenada , mientras que la extensión o movimiento a lo largo del cilindro hidráulico se define por medio de una coordenada s, la cual mide su longitud desde el punto fijo A hasta el punto móvil B. Estas coordenadas se relacionan con la ley de los cosenos, es decir, S2 2 m2 1 m2 S2 5 16 Fig. 16-9 22 m1 m cos . 4 cos . (1) Cuando 30°, S 1.239 m Derivadas con respecto al tiempo. Si consideramos las derivadas con respecto al tiempo de la ecuación 1, tenemos D. DS 0 4 sen . DT DT SVS 2sen ./ 2S (2) Como vs 0.5 m>s, entonces cuando 30°, 1.239 m0.5 ms 2 sen 30°/ / 0.6197 rads 0.620 rads www.elsolucionario.net 2m Resp. Al considerar la derivada con respecto al tiempo de la ecuación 2 resulta DS V DT S V2S S DVS D. 2cos . / DT DT SAS 2cos ./2 2sen . D/ DT 2sen . Ya que as dvs>dt 0, entonces 0.5 ms2 0 2 cos 30°0.6197 rads2 2 0.415 rads 2 sen 30° Resp. Como el resultado es negativo, indica que la ventana tiene una desaceleración angular. n i led 1 1 11/20/09 2:03: AM www.elsolucionario.net 333 16.4 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO PROBLEMAS *16-36. La barra CD presiona a AB, y le imparte una velocidad angular. Si ésta se mantiene en 5 rad>s, determine la magnitud requerida de la velocidad v de CD en función del ángulo de la barra AB. v D 16-38. El bloque se mueve a la izquierda con una velocidad constante v0. Determine la velocidad y aceleración angulares de la barra en función de . B C / 2 pies u x x www.elsolucionario.net a A . 16 v0 Prob. 16-36 Prob. 16-38 •16-37. El andamio S se eleva por el movimiento del rodillo A hacia el pasador B. Si A se aproxima a B con una rapidez de 1.5 pies>s, determine la rapidez a la cual se eleva la plataforma en función de . Los largueros de 4 pies están conectados por medio de un pasador en su punto medio. 16-39. Determine la velocidad y aceleración de la plataforma P en función del ángulo de la leva C si ésta gira a una velocidad angular constante V. La conexión de pasador no interfiere con el movimiento de P sobre C. La plataforma está limitada a moverse verticalmente por las guías verticales lisas. P C S y . r D 4 pies E C 1.5 piess A . Prob. 16-37 16 .indd 333 B Prob. 16-39 11/18/09 7:59:3 AM www.elsolucionario.net 334 CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO *16-40. El disco A rueda sin deslizarse sobre la superficie del cilindro fijo B. Determine la velocidad angular de A si la rapidez de su centro C es vC 5 m>s. ¿Cuántas revoluciones realizará A alrededor de su centro justo después de que el eslabón DC complete una revolución? 16-42. Los pasadores A y B sólo pueden moverse en los carriles vertical y horizontal. Si el brazo ranurado hace que A baje a vA, determine la velocidad de B en función de . /A d VC 5 ms C . A y 90 A h vA B 16 x 150 mm D Prob. 16-42 B Prob. 16-40 •16-41. La manivela AB gira a una velocidad angular constante de 5 rad>s. Determine la velocidad del bloque C y la velocidad angular del eslabón BC cuando 30°. 16-43. El extremo A de la barra se mueve a la izquierda a una velocidad constante vA. Determine la velocidad angular V y aceleración angular A en función de su posición x. www.elsolucionario.net 150 mm B 300 mm 600 mm , 5 rads . C A 150 mm vA A r . x Prob. 16-41 16 .indd 33 Prob. 16-43 11/18/09 7:59:38 AM www.elsolucionario.net 335 16.4 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO *16-44. Determine la velocidad y aceleración de la placa cuando 30°, si en este instante la leva circular gira alrededor del punto fijo O a una velocidad angular 4 rad>s y a una aceleración angular 2 rad>s2. 16-47. La viga G de un puente levadizo se eleva y baja por medio del mecanismo de mando que se ilustra. Si el cilindro hidráulico AB se acorta a una velocidad constante de 0.15 m>s, determine la velocidad angular de la viga cuando 60°. G B 3m C . 5m 150 mm www.elsolucionario.net 120 mm u C A O 16 , Prob. 16-44 Prob. 16-47 •16-45. Cuando 30°, la manivela AB gira a una velocidad y aceleración angulares de 10 rad>s y 2 rad>s2, respectivamente. Determine la velocidad y aceleración del bloque deslizante C en este instante. Considere a b 0.3 m. *16-48. El hombre tira de la cuerda a una razón constante de 0.5 m>s. Determine la velocidad y aceleración angulares de la viga AB cuando 60°. La viga gira en torno a A. Ignore el espesor de la viga y el tamaño de la polea. 16-46. Cuando 30°, la manivela AB gira a una velocidad y aceleración angulares de 10 rad>s y 2 rad>s2, respectivamente. Determine la velocidad y aceleración angulares de la barra de conexión BC en este instante. Considere a 0.3 m y b 0.5 m. C B a B 6m b u / A . 6m C A Probs. 16-45/46 16 .indd 335 Prob. 16-48 11/19/09 7:09:20 PM www.elsolucionario.net 336 CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO •16-49. La clavija B unida a la manivela AB se desliza en las ranuras de las barras seguidoras, las cuales se mueven a lo largo de las guías vertical y horizontal. Si la manivela gira a una velocidad angular constante de 10 rad>s, determine la velocidad y aceleración de la barra CD cuando 30°. *16-52. Si la cuña se mueve a la izquierda a una velocidad constante v, determine la velocidad angular de la barra en función de . 16-50. La clavija B unida a la manivela AB se desliza en las ranuras de las barras seguidoras, las cuales se mueven a lo largo de las guías vertical y horizontal. Si la manivela gira a una velocidad angular constante de 10 rad>s, determine la velocidad y aceleración de la barra EF cuando 30°. F L f u 16 3 pies B E Prob. 16-52 C D . A / 10 rads Probs. 16-49/50 16-51. Si el cilindro hidráulico AB se extiende a una razón constante de 1 pie>s, determine la velocidad angular de la caja de volteo cuando 30°. •16-53. En el instante que se muestra, el disco gira a una velocidad angular V y una aceleración angular A. Determine la velocidad y aceleración del cilindro B en este instante. Ignore el tamaño de la polea C. www.elsolucionario.net v A 12 pies 3 pies , . C 5 pies A B . C B 15 pies Prob. 16-51 16 .indd 336 Prob. 16-53 11/19/09 7:09:39 PM www.elsolucionario.net 16.5 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO: VELOCIDAD 16.5 337 y Análisis de movimiento relativo: velocidad y El movimiento plano general de un cuerpo rígido se describe como una combinación de traslación y rotación. Para ver estos movimientos “componentes” por separado utilizaremos un análisis de movimiento relativo que implica dos conjuntos de ejes de coordenadas. El sistema de coordenadas x, y está fijo y mide la posición absoluta de dos puntos A y B en el cuerpo, representado aquí como una barra, figura 16-10a. Se hará que el origen de los sistemas de coordenadas x¿, y¿ coincida con O el “punto base” A seleccionado, el cual por lo general tiene un movimiento conocido. Los ejes de este sistema de coordenadas se trasladan con respecto al marco fijo pero no giran con la barra. A rBA rA x Referencia trasladante B rB x Referencia fija (a) Fig. 16-10 ubicación del “punto base” A y el vector de posición relativa rB>A localiza el punto B con respecto al punto A. Mediante adición vectorial, la posición de B es por tanto r" r! 16 r"! Desplazamiento. Durante un instante de tiempo dt, los puntos A y B experimentan los desplazamientos drA y drB como se muestra en la figura 16-10b. Si consideramos el movimiento plano general por sus partes componentes entonces toda la barra primero se traslada una cantidad drA de modo que A, el punto base, se mueve a su posición final y el punto B a B¿, figura 16-10c. La barra gira entonces alrededor de A una cantidad d de modo que B¿ experimenta un desplazamiento relativo drB>A y se mueve a su posición final B. Debido a la rotación sobre A, drB>A rB>A d y el desplazamiento de B es Dr" Dr! www.elsolucionario.net Posición. El vector de posición rA en la figura 16-10a especifica la Dr"! debido a la rotación alrededor de A debido a la traslación de A debido a la traslación y rotación y y drA A A B drB Tiempo t dt Tiempo t Movimiento plano general (b) 16 .indd 337 B x x rBA B A drA A d. rBA rBA drA B drBA drB Traslación B Rotación (c) 11/18/09 7:59: 6 AM www.elsolucionario.net 338 CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO 16 Velocidad. Para determinar la relación entre las velocidades de los puntos A y B es necesario considerar la derivada con respecto al tiempo de la ecuación de posición o simplemente dividir la ecuación de desplazamiento entre dt. De esto resulta Dr" Dr! DT DT Dr"! DT Los términos drB>dt vB y drA>dt vA se miden con respecto a los ejes fijos x, y y representan las velocidades absolutas de los puntos A y B, respectivamente. Como el desplazamiento relativo lo provoca una rotación, la magnitud del tercer término es DR"!DT R"! D.DT R"!. R"!/, donde es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Denotaremos este término como la velocidad relativa vB>A, puesto que representa la velocidad de B con respecto a A medida por un observador fijo en los ejes trasladantes x¿, y¿. Dicho de otra manera, la barra parece moverse como si girara con una velocidad angular V con respecto al eje z¿ que pasa por A. Por consiguiente, la magnitud de vB>A es vB>A rB>A y su dirección es perpendicular a rB>A. Por consiguiente, tenemos v" v! v"! www.elsolucionario.net A medida que el bloque corredizo A se desplaza horizontalmente hacia la izquierda a una velocidad vA, hace girar la manivela CB en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de modo que vB es tangente a su trayectoria circular, es decir, hacia arriba a la izquierda. La biela AB que conecta está sometida a movimiento plano general y en el instante que se muestra su velocidad angular es V. (16-15) donde v" velocidad del punto B v! velocidad del punto base A v"! velocidad de B con respecto a A 16 .indd 338 11/18/09 7:59: 8 AM www.elsolucionario.net 339 16.5 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO: VELOCIDAD Trayectoria del punto A vA A A vB A VBA /rBA vA B B vA rBA B Trayectoria del punto B Movimiento plano general (d) vB Rotación alrededor del punto base A Traslación vA (f) (e) vBA (g) Lo que esta ecuación establece es que la velocidad de B, figura 16-10d, se determina al considerar que toda la barra se traslada con una velocidad de vA, figura 16-10e y que gira alrededor de A con una velocidad angular V, figura 16-10f. La adición vectorial de estos dos efectos, aplicada a B, resulta vB, como se muestra en la figura 16-10g. Como la velocidad relativa vB>A representa el efecto del movimiento circular, alrededor de A, este término puede expresarse por medio del producto vectorial vB>A V rB>A, ecuación 16-9. Por consiguiente, para su aplicación mediante un análisis vectorial cartesiano, también podemos escribir la ecuación 16-15 como v" v! r"! 16 B (16-16) A / BC donde v" velocidad de B v! velocidad del punto base A velocidad angular del cuerpo r"! vector de posición dirigido de A a B 16 .indd 339 45 C La ecuación de velocidad 16-15 o 16-16 puede usarse de una manera práctica para estudiar el movimiento plano general de un cuerpo rígido el cual está o conectado por pasador a, o en contacto con otros cuerpos en movimiento. Cuando se aplica esta ecuación, los puntos A y B en general deben seleccionarse, como puntos en el cuerpo que están conectados por medio de un pasador a otros cuerpos, o como puntos en contacto con cuerpos adyacentes que tienen un movimiento conocido. Por ejemplo, el punto A en el eslabón AB en la figura 16-11a debe moverse a lo largo de una trayectoria horizontal, mientras que el punto B lo hace en una trayectoria circular. Por consiguiente pueden establecerse las direcciones de vA y vB puesto que siempre son tangentes a sus trayectorias de movimiento, figura 16-11b. En el caso de la rueda mostrada en la figura 16-12, la cual rueda sin deslizarse, el punto A en ella puede seleccionarse en el suelo. Aquí, la velocidad de A es cero (momentáneamente) puesto que el suelo no se mueve. Además, el centro de la rueda, B, se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal de modo que vB es horizontal. www.elsolucionario.net Fig. 16-10 (cont.) (a) vB 45 A B vA (b) Fig. 16-11 B vB A VA 0 Fig. 16-12 11/18/09 7:59:51 AM www.elsolucionario.net 340 CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO Procedimiento para el análisis La ecuación de velocidad relativa puede aplicarse mediante análisis vectorial cartesiano o bien si se escriben directamente las ecuaciones de componentes escalares x y y. Para su aplicación se sugiere el siguiente procedimiento. Análisis vectorial Diagrama cinemático. • Establezca las direcciones de las coordenadas x, y fijas y trace un diagrama cinemático del cuerpo. Indique en él las velocidades vA, vB de los puntos A y B, la velocidad angular V, y el vector de posición relativa rB>A. se el sentido de estos vectores. Ecuación de velocidad. 16 • Para aplicar vB vA V rB>A, exprese los vectores en forma vectorial cartesiana y sustitúyalos en la ecuación. Evalúe el producto vectorial y luego iguale los componentes i y j respectivos para obtener dos ecuaciones escalares. • Si la solución resulta en una respuesta negativa para una magnitud desconocida, indica que el sentido del vector es opuesto al que se muestra en el diagrama cinemático. Análisis escalar Diagrama cinemático. • Si la ecuación de velocidad se va a aplicar en forma escalar, www.elsolucionario.net • Si las magnitudes de vA, vB o V son incógnitas, puede suponer- entonces deben establecerse la magnitud y la dirección de la velocidad relativa vB>A. Trace un diagrama cinemático como se muestra en la figura 16-10g, el cual muestra el movimiento relativo. Como se considera que el cuerpo debe estar “sujeto por medio de un pasador” momentáneamente en el punto base A, la magnitud de vB>A es vB>A rB>A. La dirección de vB>A siempre es perpendicular a rB>A de acuerdo con el movimiento de rotación V del cuerpo.* Ecuación de velocidad. • Escriba la ecuación 16-15 en forma simbólica vB vA vB>A, y debajo de cada uno de los términos represente los vectores gráficamente de modo que muestren sus magnitudes y direcciones. Las ecuaciones escalares se determinan con los componentes x y y de estos vectores. *La notación vB vA vB>A(pasador) puede ser útil para recordar que A está “conectado con un pasador”. 16 .indd 3 0 11/18/09 7:59:55 AM www.elsolucionario.net 341 16.5 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO: VELOCIDAD EJEMPLO 16.6 VA 2 ms A 0.2 m SOLUCIÓN (ANÁLISIS VECTORIAL) Diagrama cinemático. Como los puntos A y B sólo pueden moverse a lo largo de las ranuras fijas y vA está dirigida hacia abajo, la velocidad vB debe dirigirse horizontalmente hacia la derecha, figura 16-13b. Este movimiento hace que el eslabón gire en sentido contrario al de las manecillas del reloj; es decir, de acuerdo con la regla de la mano derecha la dirección de la velocidad angular V es hacia fuera, perpendicular al plano del movimiento. Si se conocen la magnitud y dirección de vA y las líneas de acción de vB y V, es posible aplicar la ecuación de velocidad vB vA V rB>A a los puntos A y B para determinar las dos magnitudes desconocidas vB y . Como se necesita rB>A, también se muestra en la figura 16-13b. B . 45o 0.1 m (a) 16 Ecuación de velocidad. Al expresar cada uno de los vectores en la figura 16-13b en función de sus componentes i, j, k y aplicar la ecuación 16-16 a A, el punto base, y B, tenemos v" v! y A r"! x rBA V"i 2j [/k V"i 2j 0.2/ sen 45°j 0.2 sen 45°i 0.2 cos 45°j] VA 2 ms 45o 0.2/ cos 45°i B Si se igualan los componentes i y j se tiene V" 0.2/ cos 45° C 0 2 (b) 0.2/ sen 45° www.elsolucionario.net El eslabón que se muestra en la figura 16-13a está guiado por los bloques A y B, los cuales se mueven en la ranuras fijas. Si la velocidad de A es de 2 m>s hacia abajo, determine la velocidad de B cuando 45°. vB Fig. 16-13 Por tanto, / 14.1 radsd V" 2 ms Resp. Como ambos resultados son positivos, las direcciones de vB y V son las correctas como se muestra en la figura 16-13b. Debe recalcarse que estos resultados son válidos sólo en el instante 45°. Con otro cálculo de 44° se obtiene vB 2.07 m>s y 14.4 rad>s; mientras que cuando 46°, vB 1.93 m>s y 13.9 rad>s, etcétera. NOTA: una vez conocidas la velocidad de un punto (A) en el eslabón y la velocidad angular, se puede determinar la velocidad de cualquier otro punto en el eslabón. A manera de ejercicio, vea si puede aplicar la ecuación 16-16 a los puntos A y C, o a los puntos B y C, y demuestre que cuando 45°, vC 3.16 m>s, dirigida a un ángulo de 18.4° hacia arriba de la horizontal. 16 .indd 3 1 11/18/09 7:59:55 AM www.elsolucionario.net 342 CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO EJEMPLO 16.7 y / 15 rads x 0.5 pie O VC 2 piess B SOLUCIÓN I (ANÁLISIS VECTORIAL) Diagrama cinemático. Como no hay deslizamiento, el punto B en el cilindro tiene la misma velocidad que la transportadora, figura 16-14b. Además, la velocidad angular del cilindro es conocida, así que podemos aplicar la ecuación de velocidad a B, el punto base, y A para determinar vA. Ecuación de velocidad. (a) v! v" 16 vA A / 15 rads . rAB B (b) r!" V!Xi V!Y j 2i 15k V!Xi V!Y j 2i 7.50j 0.5i 0.5j 7.50i de modo que VB 2 piess V!X 2 7.50 9.50 piess (1) V!Y 7.50 piess (2) Por tanto, V! (9.502 (7.50)2 12.1 piess 7.50 . tan 1 38.3° 9.50 Resp. Resp. SOLUCIÓN II (ANÁLISIS ESCALAR) vAB A 45 45 rAB / 15 rads 0.5 pie www.elsolucionario.net A El cilindro de la figura 16-14a rueda sin deslizarse sobre la superficie de una banda transportadora, la cual se mueve a 2 pies>s. Determine la velocidad del punto A. El cilindro tiene una velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj 15 rad>s en el instante que se muestra. Como un procedimiento alternativo, las componentes escalares de vA vB vA>B pueden obtenerse directamente. De acuerdo con el diagrama cinemático que muestra el movimiento “circular” relativo, el cual produce vA>B, figura 16-14c, tenemos B V!" /R!" 15 rads2 Movimiento relativo (c) 0.5 pie 3 10.6 piess cos 45° Por tanto, v! v" Fig. 16-14 4 V!X 5 4 v!" V!Y 2 piess 5 4 5 C 4 10.6 piess 5 45° Al igualar las componentes x y y se obtienen los mismos resultados que antes, es decir, 16 .indd 3 2 V!X 2 10.6 cos 45° 9.50 piess C V!Y 0 10.6 sen 45° 7.50 piess 11/18/09 7:59:59 AM www.elsolucionario.net 343 16.5 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO: VELOCIDAD EJEMPLO 16.8 El collarín C de la figura 16-15a desciende a 2 m>s. Determine la velocidad angular de CB en este instante. C SOLUCIÓN I (ANÁLISIS VECTORIAL) Diagrama cinemático. El movimiento descendente de C hace que B se mueva a la derecha a lo largo de una trayectoria curva. Además, CB y AB giran en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Ecuación de velocidad. Eslabón CB (movimiento plano general): vea la figura 16-15b. #" 0.2 m B 0.2 m (a) r"# V"i 2j /#"k 0.2i V"i 2j 0.2/#" j 0.2j y 0.2/#"i C V" 0.2/#" 0 2 0.2/#" /#" 10 radsd (1) (2) x CB rBC VC 2 ms Resp. B V" 2 ms vB (b) SOLUCIÓN II (ANÁLISIS ESCALAR) Las ecuaciones de componentes escalares de vB vC vB>C se obtienen directamente. El diagrama cinemático en la figura 16-15c muestra el movimiento “circular” relativo producido por vB>C. Tenemos v" v# V 2 ms 4 "5 4 5 4 v"# /#" 0.22 m 4 5 45° C CB 45 rBC vBC www.elsolucionario.net v" v# A VC 2 ms 16 45 B Movimiento relativo (c) Al resolver estos vectores en las direcciones x y y se obtiene A AB V" 0 C 0 /#" 0.22 cos 45° 2 0.2 m /#" 0.22 sen 45° VB 2 ms B las cuales son las mismas que las ecuaciones 1 y 2. como el eslabón gira alrededor de un eje fijo y vB es conocida, figura 16-15d, su velocidad angular se determina con vB ABrAB o 2 m>s AB(0.2 m), AB 10 rad>s. NOTA: 16 .indd 3 3 (d) Fig. 16-15 11/18/09 8:00:06 AM www.elsolucionario.net 344 CAPÍTULO 16 CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO EJEMPLO 16.9 La barra AB de la articulación que se muestra en la figura 16-16a tiene una velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj de 30 rad>s cuando 60°. Determine las velocidades angulares del elemento BC y la rueda en este instante. D 0.1 m B SOLUCIÓN (ANÁLISIS VECTORIAL) C Diagrama cinemático. Por inspección, las velocidades de los puntos B y C están definidas por la rotación del eslabón AB y la rueda alrededor de sus ejes fijos. Los vectores de posición y la velocidad angular de cada elemento se muestran en el diagrama cinemático en la figura 16-16b. Para llegar a la solución, escribiremos la ecuación cinemática apropiada para cada elemento. 0.2 m /AB 30 rads . 60o A (a) Ecuación de velocidad. Eslabón AB (rotación alrededor de un eje fijo): /D 16 y v" !" D x B rB BC vB 0.2 m 30k 0.1 m rC rCB C r" vC 0.2 cos 60°i 5.20i 0.2 sen 60°j 3.0j ms 0.2 m /AB 30 rads Eslabón BC (movimiento plano general): 60 A (b) Fig. 16-16 v# v" "# r#" V#i 5.20i 3.0j /"#k V#i 5.20i 0.2/"# 0.2i www.elsolucionario.net 0.2 m 3.0j V# 5.20 ms 0 0.2/"# 3.0 /"# 15 radsd Resp. Rueda (rotación alrededor de un eje fijo): v# $ 5.20i /$k r# 0.1j 5.20 0.1/$ /$ 52.0 radsd 16 .indd 3 Resp. 11/19/09 7:10:02 PM www.elsolucionario.net 345 16.5 ANÁLISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO: VELOCIDAD PROBLEMAS FUNDAMENTALES F16-7. Si el rodillo A se mueve a la derecha a una velocidad constante vA 3 m>s, determine la velocidad angular del eslabón y la velocidad del rodillo B cuando 30°. F16-10. Si la palanca OA gira con una velocidad angular de 12 rad>s, determine la velocidad del pistón B y la velocidad angular de la barra AB en el instante que se muestra. A B 0.6 m 0.3 m 1.5 m 12 rads 30 O A F16-10 vA 3 m/s F16-7 F16-8. La rueda gira sin deslizarse con una velocidad angular 10 rad>s. Determine la magnitud de la velocidad en el punto B en el instante que se muestra. F16-11. Si la barra AB se desliza a lo largo de la ranura horizontal con una velocidad de 60 pies>s, determine la velocidad angular del eslabón BC en el instante que se muestra. 0.5 pie O 30 C 2.5 pies 0.6 m 60 piess / A B B F16-11 F16-12. La velocidad del extremo A del eslabón es vA 3 m>s. Determine la velocidad de la clavija B en este instante. La clavija está restringida a moverse a lo largo de la ranura. A F16-8 www.elsolucionario.net u 30 B 16 F16-9. Determine la velocidad angular del carrete. El cable se enrolla alrededor del núcleo interno y el carrete no se desliza sobre la plataforma P. vA 3 m/s 2 pies A 4 piess 2m B O 2 piess A 45 1 pie P B 30 F16-9 16 .indd 3 5 F16-12 11/19/09 7:10:16 PM
