ANUALIDADES ANTICIPADAS Y DIFERIDAS

ANUALIDADES ANTICIPADAS Y DIFERIDAS
Anualidades Anticipadas
Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o
vencen al principio del período de pago.
Anualidades simples ciertas anticipadas:
ANUALIDADES VENCIDAS
1
2
n-2
n-1
2
3
n-1
n
n
0
1
ANUALIDADES ANTICIPADAS
Cálculo del Valor Futuro de las Anualidades simples ciertas anticipadas:
Sea el diagrama de una anualidad anticipada de R por período
Š
−1
0
1
2
R
R
R
n-2
n-1
R
R
n
R
Obsérvese que al agregar un último pago R se obtiene el valor futuro de una
anualidad vencida de R por período, pagadera durante n+1 períodos; restando a
éste valor el último pago R, el cual se había agregado, se obtiene el valor futuro de
una anualidad anticipada de R por período, pagadero durante n períodos.
Monto o Valor Futuro de una anualidad anticipada
Para calcular el Monto o Valor Futuro se utiliza la siguiente fórmula:
(𝟏 + 𝒊)
Š=𝑹[
Ingeniería Económica.
1001.
𝒏+𝟏
𝒊
−𝟏
− 𝟏]
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Página 1
Ejercicio 1:
Una compañía desea depositar al principio de cada semestre $ 30,000 en una
cuenta de ahorros que abono el 14% capitalizable semestralmente.
¿Cuánto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años?
Datos:
R= $ 30,000 semestre
j= 14%
m= 2
i=14%/2= 7% efectivo semestral
n= 5 años
(n)(m)= (5 años)(2)= 10 semestres
S=?
(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟕)
Š = 𝟑𝟎, 𝟎𝟎𝟎 [
𝟏𝟎+𝟏
−𝟏
𝟎. 𝟎𝟕
− 𝟏]
S= $ 443,507.98 monto al final de los 5 años.
Tarea: Despejar para “R” y Despejar para “n”
Despejar “R”
𝟒𝟒𝟑, 𝟓𝟎𝟕. 𝟗𝟖 = 𝑹 [
(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟕)
𝟏𝟎+𝟏
𝟎. 𝟎𝟕
443,507.98
[
Ingeniería Económica.
(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟕)
1001.
−𝟏
𝟏𝟎+𝟏
𝟎. 𝟎𝟕
− 𝟏]
=R
−𝟏
− 𝟏]
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Página 2
R= $ 30,000.00 renta semestral
Despejar para “n”
(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟕)
𝟒𝟒𝟑, 𝟓𝟎𝟕. 𝟗𝟖 = 𝟑𝟎, 𝟎𝟎𝟎 [
443,507.98 = [
(𝟏+𝟎.𝟎𝟕)
𝒏+𝟏
−𝟏
𝟎.𝟎𝟕
𝒏+𝟏
−𝟏
𝟎. 𝟎𝟕
− 𝟏]
− 𝟏]
30,000.00
(𝟏.𝟎𝟕)
14.78359933 =[
𝒏+𝟏
−𝟏
𝟎.𝟎𝟕
− 𝟏]
14.78359933+1(0.07)+1 = (𝟏. 𝟎𝟕)𝒏+𝟏
2.104851953 = (𝟏. 𝟎𝟕)𝒏+𝟏
Log 2.104851953= n+1 . Log 1.07
Log 2.104851953 = n+1
Log 1.07
11 = n+1
11-1= n
10= n (semestres)
Ingeniería Económica.
1001.
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Página 3
Ejemplo:
Una compañía deposita al inicio de cada año $ 20,000 en una cuenta de ahorros
que abona el 7 % de interés. ¿A cuánto ascenderán los depósitos al cabo de 5
años?
0
1
2
3
4
5
20000
20000
20000
20000
20000
Š
R
R
R
R
R
Datos:
R= $ 20,000 anual
i= 7% efectivo anual
n= 5 años
S=?
(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟕)
𝑺 = 𝟐𝟎, 𝟎𝟎𝟎 [
𝟓+𝟏
𝟎. 𝟎𝟕
−𝟏
− 𝟏]
S= $ 123,065.81 monto acumulado al final de los 5 años de depósitos.
Ingeniería Económica.
1001.
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Página 4
Cálculo del Valor Presente de las Anualidades simples ciertas
anticipadas:
Si en el diagrama de una anualidad anticipada pagadera durante n períodos se
suprime el primer pago R, se tiene una anualidad vencida de R por período,
pagadero durante n-1 períodos.
Ä
Š
0
1
2
R
R
R
n-1
R
n
R
Para calcular el Valor Presente se utiliza la siguiente fórmula:
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)
𝑪=𝑹[
𝒊
−(𝒏−𝟏)
+ 𝟏]
Ejercicio:
Una compañía alquila un edificio en $ 15,000 mensuales y propone al propietario
pagarle el alquiler anual al principio de cada año, con un tasa de 22% convertible
mensualmente.
Datos:
R= $ 15,000 mensuales
J= 22%
m= 12
i= 22%/12= 1.8333% efectiva mensual
n= 1
Ingeniería Económica.
(n)(m)= (1 año)(12)= 12 meses
1001.
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Página 5
𝑪=𝑹[
𝑪 = 𝟏𝟓, 𝟎𝟎𝟎 [
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−(𝒏−𝟏)
+ 𝟏]
𝒊
𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟑𝟑)−(𝟏𝟐−𝟏)
+ 𝟏]
𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟑𝟑
c= $ 163,204.53 valor del alquiler anual
Ejemplo:
Una compañía alquila un terreno en $ 4,000 mensuales y propone al propietario
pagar el alquiler anual a principio de año, con la tasa del 12 % convertible
mensualmente. Hallar el valor del alquiler anual.
Datos:
R=$ 4,000 mensuales
J= 12%
m= 12
i= 12%/12= 1% efectivo mensual
n= 1 año
(n)(m)= (1)(12)= 12 meses
C=?
1 − (1 + 𝑖)
C=R[
𝑖
−(𝑛−1)
1 − (1 + 0.01)
C = 4,000 [
0.01
+ 1]
−(12−1)
+ 1]
C= $ 45,470.51 valor del alquiler anual del terreno.
Ingeniería Económica.
1001.
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Página 6
Ejercicio Propuesto:
Una persona recibe tres ofertas(VALOR PRESENTE) para la compra de su
propiedad:
a) $ 400,000.00 de contado (Oferta N.1)
b) $ 190,000 de contado y $ 50,000 semestral durante 2 años y medio.( Valor presente
de una anualidad vencida)
c) $ 20,0000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $ 250,000 al finalizar
el cuarto año.
¿Qué oferta debe preferir si la tasa de interés es de 8%?
Datos:
a)
$ 400,000.00 de contado (Oferta N.1)
b)
$ 190,000 de contado y $ 50,000 semestral durante 2 años y medio.( Valor
presente de una anualidad vencida)
Valor contado: $ 190,000.00 ( hoy)
R= $ 50,000.00 semestrales
(R)(m)=($ 50,000)(2 semestres/ año)= $ 100,000.00 anuales (R)
n= 2.5 años
i= 8% efectivo anual
C = R [1 - (1 + i)-n] = Valor presente de una anualidad vencida
i
C = $ 100,000[1 - (1 + 0.08)-2.5]
0.08
C=$218,781.67 valor presente a 2.5
Ingeniería Económica.
1001.
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Página 7
Oferta N.2= Valor contado+Valor presente de la anualidad vencida
Oferta N.2= $ 190,000.00+$ 218,781.67
Oferta N.2= $ 408,781.67
d) $ 20,0000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $ 250,000 al finalizar
el cuarto año.
R= $ 20,000 trimensual
R= ($20,000.00)(4 trimestres)=$ 80,000 anuales
n= 3 años
i= 8% efectivo anual
1 − (1 + 𝑖)
C=R[
𝑖
−(𝑛−1)
+ 1]
1 − (1 + 0.08)
C = 80,000 [
0.08
−(3−1)
+ 1]
C= $ 222,661.18
Pago final 4to año= $ 250,000.00
C= S(1+i)-n
C= 250,000(1+0.08)-1
C= $ 231,481.48
Oferta N.3= Valor presente anualidad anticipada+ valor presente del pago final
Oferta N.3= $ 222,661.18+$ 231,481.48
Oferta N.3= $ 454,142.66
Ingeniería Económica.
1001.
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Página 8
Anualidades Diferidas
Una Anualidad Diferida es aquella cuyo plazo comienza después de transcurrido
un intervalo.
Intervalo de aplazamiento.- es el tiempo transcurrido entre la fecha inicial, o
fecha de valoración de la anualidad, y la del primer pago.
Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el tiempo que
corresponde a un período de pago.
Así por ejemplo, si dentro de 2 años se efectuará el primer pago de una anualidad
vencida de $ R por semestre y cuyo plazo es de 3 años, se tendría:
k
0
1
2
3
C
4
5
6
7
8
9
10
R
R
R
R
R
R
R
K = fecha inicial de la Anualidad Vencida
Tiempo diferido = 3 períodos semestrales
Tiempo de plazo de la anualidad = 7 períodos
Tiempo total = tiempo diferido más tiempo de la anualidad
Las anualidades diferidas se analizan como ordinarias vencidas
Ejemplo:
Un puente recién construido no necesitará reparación hasta el término del 5to año,
cuando se requerirán $ 300 anuales para reparaciones. Se estima que de ahí en
adelante, se necesitarán $300 al final de cada año en los próximos 20 años.
Hallar el Valor Presente del mantenimiento del puente, sobre la base de 3 %.
k
0
1
2
3
4
5
6
24
300
300
300
Segunda
Primera
Fecha Focal
Fecha Focal
Ingeniería Económica.
1001.
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Página 9
Se observa en la gráfica que los gastos inician hasta finales del año 5. Se
considera el año 4 como la Fecha Focal a partir de la cual encontraremos el primer
valor presente, o sea, será la Primera Fecha Focal para los 20 pagos de $ 300
anuales.
Encontrando
el Valor Presente
en
esta
primera fecha focal,
encontraremos el Valor Presente en la Segunda Fecha Focal.
Primera Fecha Focal:
Datos:
R = 300 anuales
n = 20 años
i = 3 % efectivo anual
Valor Presente en el año 4:
1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛
𝐶=𝑅
𝑖
1 − 1/(1 + 0.03)20
𝐶 = 300
0.03
C= $ 4,624.50 (aplicar valor presente hasta la 2da fecha focal.
Segunda Fecha Focal:
Valor presente compuesto
C=S
(1+i)n
C= S(1+i)-n
Ingeniería Económica.
1001.
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Página 10
𝐶 = 4,624.50
1
(1 + 0.03)4
C= $ 4,108.80 (Valor presente HOY)
Combinando las dos fórmulas anteriores tenemos:
1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛
1
𝐴=𝑅
𝑖
(1 + 𝑖)𝑘
En donde k = período de gracia o tiempo diferido
Cálculo de la Renta o Anualidad
Para el cálculo de la anualidad R (ó Renta) se despeja el valor de R de la fórmula
del Valor Presente
𝑅=
𝐴
1 − 1/(1 + 𝑖)
𝑖
𝑛
1
𝑘
(1 + 𝑖)
Ejemplo:
Al cumplir un joven 12 años, su padre deposita $ 20.000 en un fondo universitario
que abona el 8 % a fin de que al cumplir 18 años comience a recibir una renta
anual suficiente para costear sus estudios universitarios durante 4 años. Hallar el
costo de los estudios.
k
0
1
2
3
4
A
Ingeniería Económica.
1001.
5
6
7
8
9
R
R
R
R
WISA 2023
Página 11
20.000
A = 20.000
𝑖 =8%
K=5
n=4
𝑅=
𝑅=
𝐴
1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛
1
𝑖
(1 + 𝑖)𝑘
20.000
1 − 1/(1 + 0,08)4
1
𝑖
(1 + 0,08)5
𝑅 = 8.872,41
Ejercicios resueltos:
Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes
condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2
años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la última
mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% anual, con capitalización mensual.
R = 1000
i = 9 % anual = 0,09/12 = 0,0075 mensual
Ingeniería Económica.
1001.
WISA 2023
Página 12
n = 2 años 6 meses = 30 meses
A = 1.000[(1+ 0, 0075)30 – 1 ] = 26.775,08
0,0075(1+ 0, 0075)30
2.500
1
= 1.983,09
(1+0,0075)31
26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 Respuesta.
Ejercicio:
¿Cuál es el valor de contado de un equipo industrial comprado con el siguiente
plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un
último pago de $2.500, si se carga el 12% anual, con capitalización mensual?
R = 1600
i = 12 % anual = 0,12/12 = 0,01 mensual
n = 2 años 6 meses = 30 meses
A = 1.600 [(1+ 0,01)30 – 1 ] = 41.292,33
0,01(1+ 0,01)30
2.500
1
= 1.836,44
(1+0,01)31
41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 Respuesta
Ejercicio:
Ingeniería Económica.
1001.
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Página 13
Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se estima
que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el
rendimiento del dinero es del 8%.
A = 8.000.000[1 – (1+ 0, 08)-10] =53.680.651,19 respuesta.
0,08
En el ejercicio anterior Se estima que al agotarse la mina habrá activos
recuperables por el valor de $1’500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las
utilidades, si estas representan el 25% de la producción.
1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 23
53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8
694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03 Respuesta
Ejercicio:
En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500 en una cuenta que
abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años,
Ingeniería Económica.
1001.
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Página 14
aumento sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendrá a disposición
de ella a los 18 años.
S = 1.500 [(1 + 0, 08)11 -1] =24.968,23
0,08
24.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,16
S = 3.000[(1 + 0, 08)7 -1] =26.768,41
0,08
1.500(1 + 0,08)18= 5994,02
42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = 75.553,60 Respuesta
Ejercicio:
Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6%
de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de
20 años.
0,06 /12 =0,005 tasa mensual
S = 100[(1 + 0, 005)240 -1] =46.204,09 Respuesta.
0,005
Ingeniería Económica.
1001.
WISA 2023
Página 15