ANUALIDADES ANTICIPADAS Y DIFERIDAS Anualidades Anticipadas Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del período de pago. Anualidades simples ciertas anticipadas: ANUALIDADES VENCIDAS 1 2 n-2 n-1 2 3 n-1 n n 0 1 ANUALIDADES ANTICIPADAS Cálculo del Valor Futuro de las Anualidades simples ciertas anticipadas: Sea el diagrama de una anualidad anticipada de R por período Š −1 0 1 2 R R R n-2 n-1 R R n R Obsérvese que al agregar un último pago R se obtiene el valor futuro de una anualidad vencida de R por período, pagadera durante n+1 períodos; restando a éste valor el último pago R, el cual se había agregado, se obtiene el valor futuro de una anualidad anticipada de R por período, pagadero durante n períodos. Monto o Valor Futuro de una anualidad anticipada Para calcular el Monto o Valor Futuro se utiliza la siguiente fórmula: (𝟏 + 𝒊) Š=𝑹[ Ingeniería Económica. 1001. 𝒏+𝟏 𝒊 −𝟏 − 𝟏] WISA 2023 Página 1 Ejercicio 1: Una compañía desea depositar al principio de cada semestre $ 30,000 en una cuenta de ahorros que abono el 14% capitalizable semestralmente. ¿Cuánto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años? Datos: R= $ 30,000 semestre j= 14% m= 2 i=14%/2= 7% efectivo semestral n= 5 años (n)(m)= (5 años)(2)= 10 semestres S=? (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟕) Š = 𝟑𝟎, 𝟎𝟎𝟎 [ 𝟏𝟎+𝟏 −𝟏 𝟎. 𝟎𝟕 − 𝟏] S= $ 443,507.98 monto al final de los 5 años. Tarea: Despejar para “R” y Despejar para “n” Despejar “R” 𝟒𝟒𝟑, 𝟓𝟎𝟕. 𝟗𝟖 = 𝑹 [ (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟕) 𝟏𝟎+𝟏 𝟎. 𝟎𝟕 443,507.98 [ Ingeniería Económica. (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟕) 1001. −𝟏 𝟏𝟎+𝟏 𝟎. 𝟎𝟕 − 𝟏] =R −𝟏 − 𝟏] WISA 2023 Página 2 R= $ 30,000.00 renta semestral Despejar para “n” (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟕) 𝟒𝟒𝟑, 𝟓𝟎𝟕. 𝟗𝟖 = 𝟑𝟎, 𝟎𝟎𝟎 [ 443,507.98 = [ (𝟏+𝟎.𝟎𝟕) 𝒏+𝟏 −𝟏 𝟎.𝟎𝟕 𝒏+𝟏 −𝟏 𝟎. 𝟎𝟕 − 𝟏] − 𝟏] 30,000.00 (𝟏.𝟎𝟕) 14.78359933 =[ 𝒏+𝟏 −𝟏 𝟎.𝟎𝟕 − 𝟏] 14.78359933+1(0.07)+1 = (𝟏. 𝟎𝟕)𝒏+𝟏 2.104851953 = (𝟏. 𝟎𝟕)𝒏+𝟏 Log 2.104851953= n+1 . Log 1.07 Log 2.104851953 = n+1 Log 1.07 11 = n+1 11-1= n 10= n (semestres) Ingeniería Económica. 1001. WISA 2023 Página 3 Ejemplo: Una compañía deposita al inicio de cada año $ 20,000 en una cuenta de ahorros que abona el 7 % de interés. ¿A cuánto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años? 0 1 2 3 4 5 20000 20000 20000 20000 20000 Š R R R R R Datos: R= $ 20,000 anual i= 7% efectivo anual n= 5 años S=? (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟕) 𝑺 = 𝟐𝟎, 𝟎𝟎𝟎 [ 𝟓+𝟏 𝟎. 𝟎𝟕 −𝟏 − 𝟏] S= $ 123,065.81 monto acumulado al final de los 5 años de depósitos. Ingeniería Económica. 1001. WISA 2023 Página 4 Cálculo del Valor Presente de las Anualidades simples ciertas anticipadas: Si en el diagrama de una anualidad anticipada pagadera durante n períodos se suprime el primer pago R, se tiene una anualidad vencida de R por período, pagadero durante n-1 períodos. Ä Š 0 1 2 R R R n-1 R n R Para calcular el Valor Presente se utiliza la siguiente fórmula: 𝟏 − (𝟏 + 𝒊) 𝑪=𝑹[ 𝒊 −(𝒏−𝟏) + 𝟏] Ejercicio: Una compañía alquila un edificio en $ 15,000 mensuales y propone al propietario pagarle el alquiler anual al principio de cada año, con un tasa de 22% convertible mensualmente. Datos: R= $ 15,000 mensuales J= 22% m= 12 i= 22%/12= 1.8333% efectiva mensual n= 1 Ingeniería Económica. (n)(m)= (1 año)(12)= 12 meses 1001. WISA 2023 Página 5 𝑪=𝑹[ 𝑪 = 𝟏𝟓, 𝟎𝟎𝟎 [ 𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−(𝒏−𝟏) + 𝟏] 𝒊 𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟑𝟑)−(𝟏𝟐−𝟏) + 𝟏] 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟑𝟑 c= $ 163,204.53 valor del alquiler anual Ejemplo: Una compañía alquila un terreno en $ 4,000 mensuales y propone al propietario pagar el alquiler anual a principio de año, con la tasa del 12 % convertible mensualmente. Hallar el valor del alquiler anual. Datos: R=$ 4,000 mensuales J= 12% m= 12 i= 12%/12= 1% efectivo mensual n= 1 año (n)(m)= (1)(12)= 12 meses C=? 1 − (1 + 𝑖) C=R[ 𝑖 −(𝑛−1) 1 − (1 + 0.01) C = 4,000 [ 0.01 + 1] −(12−1) + 1] C= $ 45,470.51 valor del alquiler anual del terreno. Ingeniería Económica. 1001. WISA 2023 Página 6 Ejercicio Propuesto: Una persona recibe tres ofertas(VALOR PRESENTE) para la compra de su propiedad: a) $ 400,000.00 de contado (Oferta N.1) b) $ 190,000 de contado y $ 50,000 semestral durante 2 años y medio.( Valor presente de una anualidad vencida) c) $ 20,0000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $ 250,000 al finalizar el cuarto año. ¿Qué oferta debe preferir si la tasa de interés es de 8%? Datos: a) $ 400,000.00 de contado (Oferta N.1) b) $ 190,000 de contado y $ 50,000 semestral durante 2 años y medio.( Valor presente de una anualidad vencida) Valor contado: $ 190,000.00 ( hoy) R= $ 50,000.00 semestrales (R)(m)=($ 50,000)(2 semestres/ año)= $ 100,000.00 anuales (R) n= 2.5 años i= 8% efectivo anual C = R [1 - (1 + i)-n] = Valor presente de una anualidad vencida i C = $ 100,000[1 - (1 + 0.08)-2.5] 0.08 C=$218,781.67 valor presente a 2.5 Ingeniería Económica. 1001. WISA 2023 Página 7 Oferta N.2= Valor contado+Valor presente de la anualidad vencida Oferta N.2= $ 190,000.00+$ 218,781.67 Oferta N.2= $ 408,781.67 d) $ 20,0000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $ 250,000 al finalizar el cuarto año. R= $ 20,000 trimensual R= ($20,000.00)(4 trimestres)=$ 80,000 anuales n= 3 años i= 8% efectivo anual 1 − (1 + 𝑖) C=R[ 𝑖 −(𝑛−1) + 1] 1 − (1 + 0.08) C = 80,000 [ 0.08 −(3−1) + 1] C= $ 222,661.18 Pago final 4to año= $ 250,000.00 C= S(1+i)-n C= 250,000(1+0.08)-1 C= $ 231,481.48 Oferta N.3= Valor presente anualidad anticipada+ valor presente del pago final Oferta N.3= $ 222,661.18+$ 231,481.48 Oferta N.3= $ 454,142.66 Ingeniería Económica. 1001. WISA 2023 Página 8 Anualidades Diferidas Una Anualidad Diferida es aquella cuyo plazo comienza después de transcurrido un intervalo. Intervalo de aplazamiento.- es el tiempo transcurrido entre la fecha inicial, o fecha de valoración de la anualidad, y la del primer pago. Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el tiempo que corresponde a un período de pago. Así por ejemplo, si dentro de 2 años se efectuará el primer pago de una anualidad vencida de $ R por semestre y cuyo plazo es de 3 años, se tendría: k 0 1 2 3 C 4 5 6 7 8 9 10 R R R R R R R K = fecha inicial de la Anualidad Vencida Tiempo diferido = 3 períodos semestrales Tiempo de plazo de la anualidad = 7 períodos Tiempo total = tiempo diferido más tiempo de la anualidad Las anualidades diferidas se analizan como ordinarias vencidas Ejemplo: Un puente recién construido no necesitará reparación hasta el término del 5to año, cuando se requerirán $ 300 anuales para reparaciones. Se estima que de ahí en adelante, se necesitarán $300 al final de cada año en los próximos 20 años. Hallar el Valor Presente del mantenimiento del puente, sobre la base de 3 %. k 0 1 2 3 4 5 6 24 300 300 300 Segunda Primera Fecha Focal Fecha Focal Ingeniería Económica. 1001. WISA 2023 Página 9 Se observa en la gráfica que los gastos inician hasta finales del año 5. Se considera el año 4 como la Fecha Focal a partir de la cual encontraremos el primer valor presente, o sea, será la Primera Fecha Focal para los 20 pagos de $ 300 anuales. Encontrando el Valor Presente en esta primera fecha focal, encontraremos el Valor Presente en la Segunda Fecha Focal. Primera Fecha Focal: Datos: R = 300 anuales n = 20 años i = 3 % efectivo anual Valor Presente en el año 4: 1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛 𝐶=𝑅 𝑖 1 − 1/(1 + 0.03)20 𝐶 = 300 0.03 C= $ 4,624.50 (aplicar valor presente hasta la 2da fecha focal. Segunda Fecha Focal: Valor presente compuesto C=S (1+i)n C= S(1+i)-n Ingeniería Económica. 1001. WISA 2023 Página 10 𝐶 = 4,624.50 1 (1 + 0.03)4 C= $ 4,108.80 (Valor presente HOY) Combinando las dos fórmulas anteriores tenemos: 1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛 1 𝐴=𝑅 𝑖 (1 + 𝑖)𝑘 En donde k = período de gracia o tiempo diferido Cálculo de la Renta o Anualidad Para el cálculo de la anualidad R (ó Renta) se despeja el valor de R de la fórmula del Valor Presente 𝑅= 𝐴 1 − 1/(1 + 𝑖) 𝑖 𝑛 1 𝑘 (1 + 𝑖) Ejemplo: Al cumplir un joven 12 años, su padre deposita $ 20.000 en un fondo universitario que abona el 8 % a fin de que al cumplir 18 años comience a recibir una renta anual suficiente para costear sus estudios universitarios durante 4 años. Hallar el costo de los estudios. k 0 1 2 3 4 A Ingeniería Económica. 1001. 5 6 7 8 9 R R R R WISA 2023 Página 11 20.000 A = 20.000 𝑖 =8% K=5 n=4 𝑅= 𝑅= 𝐴 1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛 1 𝑖 (1 + 𝑖)𝑘 20.000 1 − 1/(1 + 0,08)4 1 𝑖 (1 + 0,08)5 𝑅 = 8.872,41 Ejercicios resueltos: Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% anual, con capitalización mensual. R = 1000 i = 9 % anual = 0,09/12 = 0,0075 mensual Ingeniería Económica. 1001. WISA 2023 Página 12 n = 2 años 6 meses = 30 meses A = 1.000[(1+ 0, 0075)30 – 1 ] = 26.775,08 0,0075(1+ 0, 0075)30 2.500 1 = 1.983,09 (1+0,0075)31 26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 Respuesta. Ejercicio: ¿Cuál es el valor de contado de un equipo industrial comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, si se carga el 12% anual, con capitalización mensual? R = 1600 i = 12 % anual = 0,12/12 = 0,01 mensual n = 2 años 6 meses = 30 meses A = 1.600 [(1+ 0,01)30 – 1 ] = 41.292,33 0,01(1+ 0,01)30 2.500 1 = 1.836,44 (1+0,01)31 41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 Respuesta Ejercicio: Ingeniería Económica. 1001. WISA 2023 Página 13 Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%. A = 8.000.000[1 – (1+ 0, 08)-10] =53.680.651,19 respuesta. 0,08 En el ejercicio anterior Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de $1’500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25% de la producción. 1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 23 53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8 694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03 Respuesta Ejercicio: En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, Ingeniería Económica. 1001. WISA 2023 Página 14 aumento sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años. S = 1.500 [(1 + 0, 08)11 -1] =24.968,23 0,08 24.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,16 S = 3.000[(1 + 0, 08)7 -1] =26.768,41 0,08 1.500(1 + 0,08)18= 5994,02 42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = 75.553,60 Respuesta Ejercicio: Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años. 0,06 /12 =0,005 tasa mensual S = 100[(1 + 0, 005)240 -1] =46.204,09 Respuesta. 0,005 Ingeniería Económica. 1001. WISA 2023 Página 15