apuntes circuitos eléctricos I v.1

Apuntes
Análisis de Circuitos Eléctricos I
Ing. Ricardo E. Arias Espinosa
Año 2012
Prólogo.
El material plasmado en este texto está basado en los apuntes tomados en el curso de
Circuitos I (IEM-201), impartido por el profesor Cervantes Hernández G., de la Escuela de
Electromecánica de la Universidad Autónoma de Santo Domingo, en el año 2001, cuando
el autor de esta obra era estudiante de esta alta casa de estudios.
Con el mismo no se pretende sustituir los tradicionales libros de texto que las distintas
universidades e institutos superiores utilizan, sino proveer al estudiante de ingeniería
eléctrica/electrónica, o carreras afines, de una guía a partir de la cual pueda desarrollar las
destrezas básicas para el análisis de los circuitos eléctricos. Pero para lograr este objetivo,
se exige del alumno conocimientos básicos sobre álgebra de matrices, cálculo diferencial e
integral y de números complejos.
El contenido de este texto está diseñado de tal manera que los estudiantes puedan ir
avanzando en el conocimiento en forma ascendente, partiendo desde los conceptos más
elementales hasta llegar a temas con un mayor nivel de complejidad, pero sin perder el
sentido práctico en ningún momento, de tal suerte que relacionen cada tema con
situaciones de la vida diaria.
Cada tema está respaldado con ejemplos; sin embargo, para no olvidarnos de nuestros
libros de texto, los ejercicios serán tomados de éstos en la mayoría de los casos, debiendo
los estudiantes resolverlos para que el conocimiento les llegue de manera más profunda –
análisis de circuitos eléctricos se aprende con las manos.
Damos gracias a Dios por ayudarnos a realizar este trabajo del que cual estamos
convencidos será un valioso tesoro en manos de cada estudiante que haga uso del mismo.
El autor.
Contenido.
I.
CIRCUITO ELÉCTRICO
1. Definición …………………………………………………………………………………………..……………….
1.1 Corriente eléctrica ……………………………………………………………………..…………………
1.2 Diferencia de potencial, tensión o voltaje ………………………………..……………………
1.3 Potencia …………………………………………………………………………………..……………………
1.4 Fuente de energía ………………………………………………………………………………………….
1
1
1
2
3
4
II.
RESISTENCIA Y LEY DE OHM
2.1 Fuentes reales ……………………………………………………………………………………………………..
2.2 .1 Fuentes reales de tensión ………………………………………………………………………………..
2.2.1 Fuentes reales de corriente ……………………………………………………………………………….
6
7
7
8
III.
LEYES DE KIRCHHOFF
3.1 Resolución de circuitos eléctricos con la ayuda de las dos leyes de Kirchhoff ………
3.2 Resolución del sistema de ecuaciones …………………………………………………………………
9
10
12
IV.
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
REDUCCIÓN DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Reducción de resistencias en serie ………………………………………………………………………
Reducción de resistencias en paralelo ………………………………………………………………….
Principio de división de tensión ……………………………………………………………………………
Principio de división de corriente …………………………………………………………………………
Transformaciones delta-estrella y estrella-delta ………………………………………………….
14
14
15
16
17
18
V.
LA BOBINA
5.1 Primera ley de conmutación ………………………………………………………………………………..
5.2 Relaciones integrales en la bobina ……………………………………………………………………….
5.3 Potencia y energía en la bobina ……………………………………………………………………………
21
24
24
25
VI.
EL CAPACITOR
6.1 Segunda ley de conmutación ……………………………………………………………………………….
6.2 Relaciones integrales en el capacitor …………………………………………………………………..
6.3 Potencia y energía ……………………………………………………………………………………………….
26
27
27
28
VII.
CIRCUITOS RLC SERIE …………………………………………………………………………………….
29
VIII.
ANÁLISIS SINUSOIDAL EN EL REGIMEN PERMANENTE …………………………………..
32
IX.
VALOR EFECTIVO O VALOR MEDIO CUADRÁTICO (RMS) ………………………………..
36
X.
CIRCUITOS CON CORRIENTE SINUSOIDAL ………………………………………………………
38
XI.
CIRCUITOS RLC ………………………………………………………………………………………………
40
XII.
12.1
12.2
NOTACIÓN FASORIAL
Leyes de Kirchhoff en forma fasorial ……………………………………………………….
Resolución de circuitos en el dominio de la frecuencia ……………………………
43
49
50
XIII.
13.1
13.2
13.3
MÉTODOS DE ANÁLISIS
Método de análisis de nodos …………………………………………………………………..
Método de análisis de mallas ………………………………………………………………….
Superposición ………………………………………………………………………………………..
55
55
66
73
XIV.
14.1
14.2
14.3
TEOREMAS DE THÉVENIN Y NORTON
Teorema de Thévenin ……………………………………………………………………………..
Teorema de Norton …………………………………………………………………………………
Correlación entre teoremas de Thévenin y Norton ………………………………….
75
75
78
81
XV.
15.1
15.2
15.3
POTENCIA CON ONDAS SINUSOIDALES
Potencia media ……………………………………………………………………………………….
Potencia compleja …………………………………………………………………………………..
Corrección del factor de potencia ……………………………………………………………
84
85
86
90
XVI.
CIRCUITOS POLIFÁSICOS ....................................................................................
93
I.
CIRCUITO ELÉCTRICO
1. Definición.
Conjunto de fuentes y consumidores de corriente interconectados entre sí en los cuales
ocurre un cambio de energía.
Todos los procesos de los circuitos eléctricos se describen con la ayuda de las siguientes
cualidades:
1.
2.
3.
4.
5.
Intensidad de corriente eléctrica o dieléctrica.
Diferencia de potencial, tensión o voltaje.
Resistencia.
Inductancia.
Capacitancia
1.1 Corriente eléctrica.
Es el régimen de paso de cargas en un circuito.
El régimen de paso de la carga puede ser constante o variable, de acuerdo a una
determinada ley matemática.
= , (
Q
) (1)
t
I
: t
1
i
= ( ) = () =
!"
!
(2)
t
Representación:
#
El sentido positivo de la corriente o la velocidad se presenta por () $.
Nota: Anteriormente se consideraba el sentido positivo (+) de la corriente en un flujo de
partículas positivas. Hoy sabemos que es debido al flujo de electrones. No obstante se
mantiene la notación original.
1.2 Diferencia de potencial, tensión o voltaje:
Es el trabajo asociado en mover una carga entre dos puntos de un circuito.
ɸB
ɸA
dw = 0V
Ref.
Por definición:
(3) VAB = ФA – ФB= WAB/Q
V = Joules/Coulombs = Volts
ФA y ФB: Partículas asociadas a los puntos A y B.
WAB: Trabajo en llevar a Q desde A hasta B.
VAB = ФA – ФB: Diferencia de potencial o tensión o voltaje entre A y B.
Supongamos a continuación que la referencia es un punto cualquiera C = 15V
ɸB
ɸB´
ɸA
ɸC= 15V
(4) фA´= фA + 15
(5) фB´= фB + 15
(6) фB – фA = фB´ - фA´ = VAB
ɸA´
ɸ= 0V
2
Conclusión:
La diferencia de potencial o voltaje es independiente de la referencia utilizada para la
definición de los potenciales de los puntos entre los cuales se desea conocer esta
diferencia de potencial.
Se utiliza v(t) para identificar el voltaje.
Análisis de la expresión (3):
(7) VAB = WAB/Q; V
Posibilidades de desplazamiento de A hacia B:
a) WAB = 0. Se queda en el mismo punto.
b) WAB = фB – фA > 0. Cuando pasa de A a B el trabajo fue realizado sobre la carga
imprimiendo la energía “n´s”, teniendo como resultado una elevación de tensión.
c) WAB = фB – фA < 0. El trabajo es realizado por la carga cediendo esta parte de su
energía potencial, produciéndose una caída de tensión.
Lo anterior permite clasificar los elementos de los circuitos eléctricos en:
Activos: los que producen o generan energía eléctrica.
Pasivos: los que consumen energía eléctrica.
1.3 Potencia.
De (7):
WAB = VABQ
multiplicando por t (tiempo)
(8)
P = W/t = V.Q/t = V.I,
W (Watt, Vatios)
Para la corriente variable:
(9)
P(t) = v(t).i(t)
i(t)
+
+
Circuito
v(t)
Elemento
Regla de signos para determinar si la energía es consumida (P>0) o generada por el
elemento (P<0).
Para el circuito de la figura: (10)
P = VI > 0
(Consumo)
3
**La corriente positiva entra por el potencial superior (+) del elemento**
Nota: Se asocia el signo de la corriente al signo por el cual entra al elemento examinado.
Ejemplo:
4A
Circuito
P1 = 2V(-4A) = -8W (Generada)
1 2V
2V
+
1.4 Fuente de energía.
Es aquella que tiene como función energizar los circuitos eléctricos. Condicionalmente
suelen clasificarse en fuentes ideales o independientes y en fuentes reales o
dependientes.
Fuentes ideales o independientes:
a) De tensión:
Aquellas que mantienen entre sus terminales el mismo valor de tensión (constante
o variable), totalmente independiente al valor de corriente que circula por ella.
i(t)
Representación:
es
Es
es
v(t)
Característica v-i
Es, es: Fuerza electromotriz (FEM).
Por definición, la FEM es la diferencia de potencial entre los terminales de una fuente de
tensión.
b) De corriente:
Aquella que entrega un mismo valor de corriente (constante o variable), pero
totalmente independiente de la tensión entre sus terminales.
i
a
is
i(t), A
Is, A
v
a
4
b
b
Nota:
La diferencia de potencial entre los terminales de una fuente de corriente es un valor
indeterminado y sólo puede calcularse con la ayuda del circuito externo conectado a los
terminales de la fuente. Esto significa que bajo ninguna circunstancia puede utilizarse el
camino que contenga fuente de corriente para determinar la diferencia de potencial.
Fuentes dependientes.
Aquellas cuyo valor depende del valor de la tensión o de la corriente en otras partes del
circuito.
a) Fuentes dependientes de tensión.
Pueden simbolizarse de dos formas:
Vx e ix se determinan en otras partes del circuito.
αvx
+
–
βix
+
–
α, adimensional; β = V/A, Ω
b) De corriente:
γ = A/V, Siemens; δ, adimensional
γvx
δix
Ejemplo. Para el circuito de la figura, determine el valor de la corriente I0.
Solución: Determinamos la potencia entregada
por cada elemento del circuito:
P2A = (-2)(6) = -12W
P1 = I0(6) = 6I0W
P2 = (-9)(12) = -108W
P3 = (-3)(10) = - 30W
P4V = (-8)(4) = -32W
P8IX = 11(8IX) = 11(8*2) = 176W
5
Pg = Pc, por lo tanto: ΣP = 0
-12 + 6I0 – 108 – 30 – 32 + 176 = 0
6I0 = 12 + 108 + 30 + 32 – 176
I0 = 1A
II. RESISTENCIA Y LEY DE OHM
La relación de causa y efecto entre la tensión y la corriente para la mayoría de los
materiales conductores se expresa a través de la Ley de Ohm, la cual matemáticamente se
expresa como sigue:
(11)
vR(t) = R*i(t)
Donde R = Resistencia (unidades V/A = Ohm, Ω)
(12)
R = v(t)/i(t), en Ohm (Ω)
La Ley de Ohm nos indica que al pasar las cargas por un elemento caracterizado por una
Resistencia R, estas deben realizar un trabajo que numéricamente se determina por el
producto de la corriente por el valor de la resistencia.
Representación:
(13)
ф1 > ф2
(14)
ф2 = ф1 – v(t) = ф1 – R*i(t)
(15)
v(t) = ф1 – ф2 = R*i(t)
De igual forma:
(15a) ф1 = ф2 + v(t) = ф2 + R*i(t)
(15b) v(t) = ф1 – ф2 = R*i(t)
La resistencia es un elemento pasivo ya que al pasar la corriente por una resistencia se
realiza un trabajo cediendo las cargas parte de su energía y teniendo como resultado una
caída de tensión.
6
NOTAS:
1. Consideraremos la resistencia como un elemento lineal y constante:
R = R [1 + αΔT]
2. La Resistencia no tiene memoria, ya que un cambio instantáneo en el valor de la
tensión (o corriente) produce un cambio inmediato en el valor de la corriente (o
tensión) en el circuito de la resistencia. En otras palabras, las resistencias no
recuerdan el valor anterior de la tensión o la corriente.
2.1 Fuentes reales.
La incorporación de la resistencia a las fuentes independientes permite considerar un
gasto interno de energía en la fuente, creando una dependencia entre la tensión y la
corriente.
2.1.1 Fuentes reales de tensión.
Ve(t), Voltaje de la fuente real
ie(t), corriente de la fuente real
Apliquemos la Ley de Ohm y determinemos:
(16)
фa – фb = ve(t)
(17)
фa = фb + es(t) – ieRe = фb + ve(t)
(18)
ve(t) = фa – фb = es(t) – ieRe
Re: Resistencia interna, muy pequeña.
(19)
ve ≈ es(t), cuando ie sea pequeña.
El objetivo de una fuente real de tensión es energizar circuitos con tensión. Por esta razón,
la caída de tensión en el interior de la fuente real debe ser lo más pequeña posible, por lo
que se exige que la resistencia interna sea lo más pequeña posible, en otras palabras, Re ≈
0Ω.
7
2.1.2 Fuente real de corriente.
De acuerdo al principio de conservación de la carga, podemos escribir:
(19)
is = i´ + ii
Por Ohm:
(20)
ф a = ф b + Vi
(21)
фa = фb Rii´
(22)
Vi = фa – фb = Rii´
(23)
i´ = Vi / Ri
Ri: Resistencia interna de la fuente real. Esta debe ser grande para que i´ sea pequeña.
Conductancia.
Es el valor inverso de la resistencia.
(24)
G = i(t)/v(t),
A/V = Siemens (S)
Representación:
8
II.
LEYES DE KIRCHHOFF
Las leyes de Kirchhoff permiten el análisis de los circuitos eléctricos, y se enuncian como
sigue.
Definiciones.
Nodo: Punto de un circuito donde se conectan tres o más conductores.
Nodo
Rama: Camino de un circuito que conecta dos nodos entre sí y por el cual circula una sola
corriente en una sola dirección.
Camino cerrado: Camino de un circuito alrededor del cual puede circular corriente
eléctrica.
Primera ley
La suma de algebraica de las corrientes que concurren en un nodo de un circuito es igual a
cero.
Regla de los signos:
isalen: Positivas
(25)
ientran: Negativas
(26)
–i1 + i2 – i3 – i4 + i5 = 0
i1 + i3 + i4 = i2 + i5
Σientran = Σisalen
Segundo enunciado de la primera ley.
La suma de las corrientes que entran en un nodo es igual a la suma de las corrientes que
se alejan de dicho nodo.
Segunda ley
La suma algebraica de las tensiones en cualquier camino cerrado de un circuito es igual a
cero.
9
Lo anterior significa que en un camino cerrado de un circuito la suma de las elevaciones de
tensión es igual a la suma de las caídas de tensión.
3.1 Resolución de circuitos eléctricos con la ayuda de las dos leyes de Kirchhoff.
Todos los problemas de análisis de circuitos eléctricos pueden ser resueltos con ayuda de
las dos leyes de Kirchhoff. Para ello, deben darse los siguientes pasos:
1. En forma arbitraria, se indican los sentidos positivos de las corrientes desconocidas
en las ramas del circuito.
2. Se escriben las ecuaciones independientes con ayuda de la ley de corrientes de
Kirchhoff.
3. Escribir las ecuaciones independientes con ayuda de la ley de tensiones de
Kirchhoff.
4. Resolver el sistema de ecuaciones obtenidas en los pasos 2 y 3.
Obtención del número de ecuaciones independientes con ayuda de las leyes de Kirchhoff.
Consideración:
Todos los conductores utilizados para la interconexión de los elementos tienen R = 0Ω (son
perfectos).
1. Establecer el número de nodos (n) y de ramas (m):
n=4
m=6
2. Establecer el número de corrientes desconocidas o incógnitas (b)
mc: ramas con fuentes de corriente
(27)
b = m – mc
b = 6 – 1 = 5 incógnitas
3. Escribir las ecuaciones independientes con ayuda de la primera ley:
(28)
(29)
(30)
(31)
–i1 + i4 + i6 = 0
i2 – i4 + i5s = 0
–i3 – i5s – i6 = 0
i 1 – i2 + i3 = 0
Σ0 ≡ 0
nodo 1
nodo 2
nodo 3
nodo 4
10
(32)
Significa que de las ecuaciones planteadas una es linealmente dependiente de las
restantes tres.
Conclusión:
•
Con la ayuda de la ley de corrientes de Kirchhoff sólo se permite plantear n – 1 ecuaciones
independientes, siendo “n” el número de nodos.
Con la ayuda de la ley de tensiones de Kirchhoff podemos entonces plantear b – n + 1
ecuaciones independientes.
•
NOTA:
** No olvidar que no se está permitido utilizar caminos que contengan fuentes de corriente para
escribir la 2da. Ley de Kirchhoff **
(33)
b – (n – 1) = b – n + 1
b – n + 1 = 5 – 4 + 1 = 2 Ecuaciones
Caminos cerrados:
1-2-4-1
1-3-4-1
1-3-4-2-1
Para el circuito de la figura anterior: b – n + 1 = 5 – 4 + 1 = 2 Ecuaciones independientes
1-2-4-1:
(34)
–i4R4 – i2R2 + e2s + e1s – i1R1 = 0
1-3-4-1:
(35)
–i6R6 + i3R3 – e3s + e1s – i1R1 = 0
El sistema de ecuaciones por resolver, será:
(36)
a)
b)
c)
d)
e)
–i1 + i4 + i6 = 0
i2 – i4 + i5s = 0 n - 1
–i3 – i5s – i6 = 0
–i4R4 – i2R2 + e2s + e1s – i1R1 = 0
–i6R6 + i3R3 – e3s + e1s – i1R1 = 0
11
3.2 Resolución del sistema de ecuaciones.
Definiciones.
Rama propia: Aquella propia del camino cerrado.
Rama común: Rama compartida por más de un camino cerrado.
Se recomienda, utilizando los métodos de sustitución, reducir el sistema de ecuaciones a un
sistema de b – n + 1 ecuaciones simultáneas.
En (34) i1 es corriente de rama propia.
En (35) i3 e i6 son corrientes de ramas propias.
Resolvamos para i1 e i6:
De (36):
i 4 = i1 – i6
i2 = i4 – i5s = i1 – i6 – i5s
i3 = – i5s – i6
Sustituyendo en (34) y (35), agrupando y ordenando:
En (34):
(37)
(38)
- (i1 – i6)R4 – (i1 – i6 – i5s)R2 + e2s + e1s – R1i1 = 0
(R1 + R2 + R4)i1 – (R2 + R4)i6 = e1s + e2s + R2i5s
∴
En (35):
(39)
(40)
(41)
–i6R6 + (-i5s – i6)R3 = e3s + e1s – i1R1
- R1i1 + (R3 + R6)i6 = e1s – e3s – i5sR3
1 =
∆)
∆
6 =
∆4
∆
=
=
+),-+.,-/.01,
–/)
*
5
+),–+3,–01,/3 /3-/4
/)-/.-/6
–/)
*
5
– (/.-/6) /3-/4
8
/)-/.-/6 +),-+.,-/.01,
9
– (/.-/6) +),–+3,–01,/3
∆
Conociendo i1 e i6 podemos determinar las restantes corrientes con ayuda de la 1era. Ley.
12
Ejemplo: Determinar los potenciales solicitados фa y фd.
Solución:
n=2
m=3
mc = 0
b = 3 – 0 = 3 ecuaciones independientes
a) L. C. K.
(1) -i1 – i2 + i3 = 0
n – 1 = 2 – 1 = 1 ecuación independiente:
b) L. T. K
b – n + 1 = 3 – 2 + 1 = 2 Ec. Independientes:
De (1):
i2 = -i1 + i3
(2) -3i1 + i2 – 8 – 2i1 = 0
(3) -1.5i3 + 6 – 3.5i3 + 8 – i2 = 0
Sustituyendo en (2) y (3) y agrupando en (2):
-3i1 – i1 + i3 – 2i1 – 8 = 0
6i1 – i3 = -8
(4)
-i1 + 6i3 = 14
(5)
En (3):
-1.5i3 – 3.5i3 + i1 – i3 = 14
i1 = Δ1/Δ
i3 = Δ3/Δ
−8 −1
∆1 = :
: = −34
14 6
i1 = -34/35 = -0.971A
∆= :
6 −1
: = 35
−1 6
6 −8
∆1 = :
: = 76
−1 14
i3 = 76/35 = 2.17A
∴
i2 = -i1 + i3 = 3.14A
Cálculo de los potenciales desconocidos:
Фa = фc – 2i1 = -2(-0.971) = 1.942V
Фb = фa – 3i1 = 1.942 – 3(0.971) = 4.86V
Фd = фb – 1.5i3 = 4.86 – 1.5(2.17) = 1.605V
13
IV. REDUCCIÓN DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
La aplicación directa de las dos leyes de Kirchhoff presenta el inconveniente de que con el
aumento del número de nodos y el número de ramas aumenta el número de ecuaciones
por plantear. Examinemos a continuación los métodos de reducción de circuitos eléctricos
que nos permitirán reducir el número de ramas y nodos de los circuitos transformando a
éstos en circuitos equivalentes. Queda sobreentendido que al reducir un circuito eléctrico
no podemos hacer alteraciones que provoquen que las corrientes y tensiones en los
circuitos transformados resulten diferentes que las corrientes y tensiones originales.
Definiciones.
Elementos en serie.
Aquellos conectados uno a continuación del otro pasando por todos ellos la misma
corriente.
Elementos en paralelo.
Aquellos que tienen dos nodos en común. Es decir, tienen todos la misma tensión entre
sus terminales.
4.1 Reducción de resistencias en serie.
Un grupo de resistencias conectadas en serie puede ser sustituido por una resistencia
equivalente de un valor igual a la suma de los valores de las resistencias conectadas en
serie.
Demostración:
Aplicando la 2da. Ley de Kirchhoff:
(42)
v(t) = v1 + v2 + … + vP + … + vn = ∑DEF) BC
Por Ohm:
(43)
vP = i(t)*RP
Sustituyendo en (42)
(44)
v(t) = ∑DEF) BC = ∑DEF) () ∗ HC = i(t)* ∑DEF) HC = Req*i(t)
14
Donde:
(45)
Req = ∑DEF) HC
Ejemplo: a) Calcular la corriente consumida y b) La potencia total consumida por las
resistencias.
Resolución:
Por Ohm:
I = 12V/Req, donde Req = 2 + 3 + 1 = 6Ω,
por tanto:
a)
I = 12/6 = 2A
P = I(2I + 3I + I) = 6I2 = 24W, consumo
b) P12 = VI = 12(-2) = -24W, generación
4.2 Reducción de resistencias en paralelo.
Un grupo de resistencias conectadas en paralelo puede ser sustituido por una resistencia
equivalente de un valor igual al inverso de los valores inversos de las resistencias
conectadas en paralelo.
HI =
1
∑J=1
1
HC
Demostración:
Aplicando la 1ra. Ley de Kirchhoff podemos escribir:
(46)
i(t) = i1 + i2 + … + iP + … + in = ∑DEF) C
Donde:
(47)
iP = v(t)/RP
Sustituyendo (47) en (46) tendremos:
(48)
i(t) = ∑DEF) C = ∑DEF)
K()
LM
= v(t) ∑DEF)
)
LM
= v(t)/Req
15
donde:
(49)
1/Req = ∑DEF)
)
ó
LM
(50)
)
Req = 1/∑DEF)
LM
)
L)∗L.
Caso particular: n = 2
(51)
Req = 1/∑DEF) LM =
)
N
N
ON OP
=
L)-L.
Ejemplo: Obtenga Req.
Solución:
1) R2 y R3 en serie: Req1 = R2 + R3
2) Req1 en paralelo con R4: Req2 =
3) R1, Req2 y R5 en serie: Req = R1 +
/+U)∗/6
/+U)-/6
(L)-L3)∗L6
L.-L3-L6
+ R5
4.3 Principio de división de tensión.
La diferencia de potencial entre los terminales de una resistencia cualquiera de un grupo
de resistencias conectadas en serie puede ser determinada por el producto de la tensión
aplicada al grupo de resistencias conectadas en serie por la resistencia en la que se desea
conocer dicho potencial, dividido entre la resistencia equivalente de las resistencias
conectadas en serie.
(52)
BC() =
V()∗LM
L"
Demostración:
Por Ohm, la corriente aplicada () =
WX(Y) =
V()
(53)
W(Y)∗ZX
(54)
L"
Z[\
16
4.4 Principio de división de corriente.
La corriente que circula por una rama cualquiera de un grupo de resistencias conectadas
en paralelo puede ser determinada como el producto de la corriente que llega a uno de
los nodos donde aparecen las resistencias conectadas en paralelo por el valor de la
resistencia equivalente de las resistencias en paralelo y dividido entre el valor de la
resistencia de la corriente buscada.
](Y)∗Z[\
]X =
ZX
Demostración:
Aplicando la 1era. Ley de Kirchhoff:
(55)
i(t) = i1 + i2 + … + iP + … + in = ∑DEF) C
Por Ohm:
(56)
iP = v(t)/RP
(57)
v(t) = i(t)*Req
(58)
C =
^()∗L"
1 =
^()∗L"
LM
Caso particular:
L)
=
ON∗OP
ON_OP
^()∗
L)
=
^()∗L.
L)-L.
(59)
Conclusión:
Para el caso de dos resistencias conectadas en paralelo, la corriente buscada en una
cualquiera de sus ramas es igual al producto de la corriente que llega a la combinación de
las resistencias conectadas en paralelo multiplicado por la resistencia de la otra rama y
divido entre la suma de las resistencias de ambas ramas.
17
Ejemplo: Encontrar ix.
1) Req = [(6 + 3)//18] + 4 = 10Ω
2) Por Ohm:
i1 = 30V/10Ω = 3A
3) Por división de corriente:
ix = i1*(6 + 3)//18 = 3*(2/3) = 2A;
ix = 2A
4.5 Transformaciones Estrella – Delta (Y-Δ) y Delta – Estrella (Δ-Y).
x
RA
↔
RB
z
y
RC
Conexión Delta (∆)
¿Para qué sirven?
Δ3,4,5 → YR7,R8,R9
Con el propósito de poder simplificar el análisis de un circuito, a veces es conveniente poder
mostrar todo o una parte del mismo de una manera diferente, pero sin que el funcionamiento
18
general de éste cambie. Para que al realizar la transformación los valores de tensión y de corriente
del circuito se mantengan sin variación con respecto al circuito transformado, deben cumplirse las
siguientes condiciones de equivalencia:
1. Los potenciales asociados a los nodos mantienen el mismo valor antes y después de la
transformación.
∅a∆
∅b∆
∅c∆
=
∅ad
∅bd
∅cd
2. La corriente en cada nodo mantiene el mismo valor antes y después de la transformación.
a∆
b∆
c∆
=
ad
bd
cd
3. La resistencia equivalente entre cada par de nodos mantiene el mismo valor antes y
después de la transformación.
Hab∆
Hbc∆
Hcc∆
=
Habd
Hbcd
Hacd
Considerando las condiciones de equivalencia anteriores, una conexión Δ puede ser transformada
en una conexión Y utilizando las siguientes fórmulas:
Transformación Δ → Y:
RA, RB, RC - conocidas
R1, R2, R3 - desconocidas
(60)
H1 =
L#∗Le
L#-Le-L
(61)
H2 =
Le∗L
L#-Le-L
(62)
H3 =
L ∗L#
L#-Le-L
Transformación Δ → Y:
RA, RB, RC - desconocidas
R1, R2, R3 - conocidas
(63)
Z f = Zg + Z i +
Zg∗Zi
(64)
Z k = Zg + Zj +
Zg∗Zj
Zj
Zi
19
(65)
Z l = Zj + Z i +
Zj∗Zi
Zg
Las expresiones 60, 61 y 62 nos indican que para obtener una resistencia cualquiera de la conexión
Y a partir de la conexión Δ se procede como sigue:
Se multiplican las dos resistencias de la conexión Δ que entran al mismo nodo en que entra la
resistencia buscada y se divide entre la suma de las resistencias de la conexión Δ.
Las expresiones 63, 64 y 65 nos indican que para transformar una conexión Y en una Δ, debemos
proceder como sigue:
Se suman las dos resistencias de la conexión Y que entran a los nodos extremos conectados por la
resistencia buscada y se le agrega el producto de ellas dividido entre la tercera resistencia.
Ejemplo: Resolver.
Solución:
ix = ?
H) =
Фa – ф c = ?
H. =
Δa,b,c → Y
H3 =
6∗m
6-m-).
= 1.33o
6∗).
6-m-).
= 2o
m∗).
6-m-).
= 4o
20
n = 2; m = 3;
b = m – mc = 2 incógnitas
L. C. K. : n – 1 = 1 Ec. Independiente:
(1)
-ix + i2 – 3 = 0
L. V. K.: b – n + 1 = 1 Ec. Independiente:
(2)
-2ix – 2i2 + 10 = 0
Multiplicando (1) por 2 y sumando a (2), tenemos:
Volviendo al circuito original:
→
2i2 – 2ix = 6
-2i2 – 2ix = -10
-4ix = -4
Фa – фc = 10 – 1(0.67) = 9.33V
i2 – i x = 3
-2i2 – 2ix = -10
ix = 1A
Фa – фc = 9.33V
V. BOBINA
La bobina representa un conductor enrollado en sí mismo varias veces. Al circular la corriente “i”
por una bobina, inducirá en las capas varias tensiones que contribuirán al aumento de “i” y al
aumento del flujo magnético total en la bobina.
El flujo magnético total se expresa por Ψ.
(66)
Ψ = nф = Li
Donde:
n = número de capas del enrollamiento.
Ф = flujo magnético parcial
L = inductancia
El parámetro que representa la bobina depende de la geometría y dimensiones de esta y del tipo
de sección transversal del conductor utilizado para construirla.
La tensión que aparece entre los terminales de una bobina depende del flujo magnético total y se
expresa como sigue.
(67)
VL =
!p
!
!^
!
=q ; V
L en Henrios, H.
21
Representación:
фa > фb
Notas:
1. La bobina es un elemento pasivo, ya que al pasar por ella siguiendo en sentido de la
corriente nos desplazaremos de mayor a menor potencial.
2. Por ahora consideraremos a la bobina como un elemento lineal y constante.
Análisis de (67):
Caso a) i = I = Constante. En este caso:
(68)
VL = L*di/dt = L*dI/dt = 0; V
Después que su campo magnético se ha cargado, la bobina actúa como un conductor perfecto.
Caso b) La corriente en la bobina cambia bruscamente de un valor finito a otro valor también
finito.
(69) VL = L*di/dt = ∞
Conclusión:
La corriente en una bobina no puede cambiar de valor bruscamente ya que para ello se requeriría
de una tensión infinita, lo cual es imposible.
Ejemplo:
Antes de cerrar S, i(t) = 0
L. T. K.:
(1) R*i(t) + L*di/dt = Es
22
i(t) = ip(t) + ip(z) = in(t) + iL(t), donde la ecuación homogénea Rig(t) + Liy(t) = 0, D = d/dt
(R + LD)iy = 0
(2)
D = -R/L
Para el circuito de la figura, escribir la expresión de la “i”, si se conoce que el interruptor S ha
estado abierto durante largo tiempo, por lo que puede considerarse que la bobina está
descargada. Por lo tanto, no había corriente presente en el circuito.
La solución general será:
ig(t) = ig
La solución particular para Es será:
i(t) =
O
s
t
L
+ u
t
(1 − O
s
Cuando t = 0, i(t) = 0:
0 = Es/R + Ig;
Ig = -Es/R
(70)
i(L) =
L
O
s
)
Sustituyendo en (1):
RIg + LDIp = Es
∴
Ip = Es/R
En 5τ, i ≈ Es/R
23
5.1 Primera ley de la conmutación.
Enunciado:
La corriente en una bobina mantiene el mismo valor inmediatamente antes y después de cualquier
conmutación en el circuito de la bobina.
(71)
i(0-) = i(0+)
0, instante en que ocurre la conmutación.
0-, instante inmediatamente antes de 0.
0+, instante inmediatamente después de 0.
5.2 Relaciones integrales en la bobina.
De la expresión (67), podemos escribir
(72) di = 1/L*vLdt
Integrando, y recordando que la corriente en una bobina no pude cambiar de valor
instantáneamente, tendremos
(73)
^()
v^(y) w =
) v Bq(). w
x y
∴
(74)
)
iL(t) = x vy Bq(). w + iL(t0)
Donde:
iL(t0), valor de la corriente en la bobina cuando t = t0 (valor inicial).
De acuerdo al teorema de Cauchy, la integral definida desde un valor constante a un valor variable
de una función cualquiera puede ser examinada como la suma de la integral indefinida menos el
valor que toma la función primitiva para el valor constante, es decir:
(75)
{
v| (a). wa = v (a). wa − z()
F(a), valor que toma la función primitiva en x = a.
De acuerdo con la expresión (75), la expresión (74) puede ser escrita en una forma más compacta,
y si recordamos que la solución a toda integral indefinida trae consigo una constante de
integración cuyo valor vendrá definido por las condiciones iniciales del problema, podemos obviar
la escritura de la constante de integración y escribir la expresión de la corriente en función del
voltaje como sigue.
(76)
)
iL(t) = vy Bq(). w
x
24
5.3 Potencia y energía en la bobina.
Considerando la expresión (8) y la expresión (67), podemos escribir la expresión de la potencia
como sigue:
(77)
P(t) = vi = L*i.
!^
!
Y la energía se escribirá a partir de la siguiente expresión:
(78)
^()
2
2
vy J()w = v^(y) q. w = ½Li (t) – ½Li (t0) = wL(t) – wL(t0),
que es la energía almacenada en el campo magnético que rodea la bobina desde t0 hasta t.
si para t0 = t, iL = 0, “bobina descargada”
(79)
wL(t) = ½Li2
Resumen:
1. La bobina es un elemento lineal.
2. Tiene memoria, ya que recuerda el valor anterior de la corriente.
3. De acurdo a lo anterior, la corriente en una bobina no puede cambiar de valor
instantáneamente.
4. Al estar definida en forma similar a la resistencia “v = f(i)”, las bobinas se reducen y
transforman en forma similar que las resistencias.
Leq = ∑3MF) qC
(80)
!^
!
v = v1 + v2 + v3 = (L1 + L2 + L3)
= ∑3MF) qC.
!^
!
Bobinas en paralelo:
(81)
Leq =
)
∑~
}N
N
s}
25
VI. EL CAPACITOR
Al igual que la bobina, caracteriza a un elemento que absorbe energía. A diferencia de la primera,
el capacitor almacena energía en el campo eléctrico existente entre sus placas. La carga
almacenada se expresa a través de la siguiente expresión:
(82)
q = CV,
donde C es la capacitancia y es el parámetro que caracteriza a los capacitores. Su unidad es el
Faradio. Al ser el Faradio una magnitud muy elevada, en la práctica se utilizan fracciones de ésta:
microfaradios (μF), picofaradios (pF), nanofaradios (nF). Para el capacitor de placas paralelas:
C ∝ A/d
La corriente que se desplaza entre las placas, vendrá dada por la velocidad de variación del campo
eléctrico entre las placas del capacitor:
(84)
!K
i(t) = C ,
!
C, lineal y constante.
Análisis de (84):
a) v = V = Constante
(85)
!K
i(t) = C ! = !V
K
=0
Conclusión:
Después que el su campo eléctrico se ha cargado, el capacitor actúa como un circuito abierto.
b) v(t) cambia de valor bruscamente
26
Conclusión:
La tensión en el capacitor no puede cambiar bruscamente, ya que para ello se requeriría de una
corriente infinita.
6.1 2da. Ley de la conmutación.
En un capacitor, la tensión mantiene el mismo valor inmediatamente antes y después de cualquier
conmutación en el circuito del capacitor.
(87)
vc(0-) = vc(0+)
Representación:
фa > фb
Nota:
Aunque el capacitor almacena energía es también un elemento pasivo, ya que al pasar por él las
cargas ceden parte de su energía para que esta sea almacenada en el campo eléctrico del
capacitor.
6.2 Relaciones integrales en el capacitor.
De (84) podemos escribir:
dvc = 1/C*i(t).dt
Integrando desde t0 a t para así considerar las condiciones iniciales en el problema, tendremos:
‚
K„()
K„(y)
wƒ =
B() =
Donde:
)
1 ‚ ()w
y
vy ()w + B(0)
(89)
Considerando el teorema de Cauchy (ver 75), podemos escribir:
(90)
B() =
)
vy ()w =
)
()
27
Nota: De la expresión (90) puede observarse que la relación tensión-corriente es inversa a la
relación tensión-corriente en la bobina, por lo que, como veremos, los capacitores no se reducen y
transforman igual que las bobinas y las resistencias.
6.3 Potencia y energía.
(91)
P(t) = vc(t).i(t) = Cvc(t).dvc/dt
Y la energía almacenada:
(92)
wc(t) – wc(t0) = vy J()w = ½Cvc2(t) – ½Cvc2(t0)
Cuando vc(t0) = 0,
wc(t) = ½Cvc2
(93)
Resumen:
1. el capacitor es un elemento lineal y pasivo que almacena energía en su campo eléctrico.
2. En el capacitor, la tensión no puede cambiar de valor instantáneamente.
3. La relación tensión-corriente entre los terminales del capacitor se define en forma
diferente a la relación tensión-corriente en las resistencias y bobinas, por lo que se
reducen en forma diferente.
Aplicando L. T. K.:
v(t) = v1 + v2 + v3 =
=(
)
)
Ceq =
+
)
.
g
+
)
3
g
∑†
XglX
Para el caso de capacitores en paralelo:
)
v ()w
)
) v ()w =
+
)
"
)
v ()w
.
v ()w
+
)
v ()w
3
Ceq = ∑†XFg lX
28
CIRCUITOS RLC SERIE
La Ley de tensiones permite escribir:
(94)
v(t) = vR + vL + vC = Ri(t) + LDi(t) + 1/CD*i(t)
Como R, L y C son lineales, la ecuación (94) es una ecuación íntegro-diferencial lineal con
coeficientes constantes.
La solución de (94) será:
(95)
i(t) = in(t) + if(t)
Donde in es la solución natural y se obtiene a partir de la ecuación homogénea: Ri(t) + LDi(t) +
1/CD*i(t) = 0, y las raíces se obtienen a partir de
(96)
R + LD + 1/CD = RCD + CLD2 + 1 = 0, por tanto
(97)
D1,2 =
L ± √L P P 6x
LP
6xP
)
x
.x
=
L
.x
±‰
LP
6xP
−
)
x
Casos:
a)
−
in = AeD1t + BteD1t
(98)
b)
LP
6xP
−
)
x
> 0 , raíces reales y distintas.
in = A1eD1t + B1eD2t
(99)
c)
= 0 , raíces reales e iguales.
LP
6xP
(100)
−
)
x
< 0 , raíces complejas conjugadas: D1,2 = σ ± jωd; j = √−1
in = A2eD1t + B2eD2t = AeσtSen(ωdt + ф)
29
Posición regional de las raíces en el plano complejo.
Solución forzada (if):
v = Ri + LDi + 1/CD*i
La respuesta forzada vendrá definida por la función matemática en el tiempo a la cual está
igualada la ecuación integro-diferencial. Lo anterior significa que si:
1. La ecuación integro-diferencial está igualada a una serie de potencias, debe suponerse que
la solución forzada es también una serie de potencias y sustituirla en la ecuación integrodiferencial, derivar e integrar, agrupar para igual coeficiente de “t” y resolver por
igualación.
(101)
v(t) = a0 + a1t + a2t2 + … + aktk
Se supone:
(102)
if(t) = b0 + b1t + b2t2 + … + byty
Donde: y = k + xx- es el menor orden de derivada de la ecuación integro-diferencial.
2. Si v(t) es una función de variación exponencial, se supone que la solución forzada también
será de variación exponencial.
3. Si la función v(t) es de variación sinusoidal, se supone que la solución forzada es también
una función de variación sinusoidal.
30
Régimen permanente.
Régimen de trabajo que se caracteriza por la desaparición de la solución general de la ecuación
diferencial. Este régimen sólo es posible si todas las raíces de la ecuación homogénea tienen parte
real negativa.
Régimen transitorio.
Es el paso de un régimen permanente a otro régimen permanente y está caracterizado por la
forma de variación de la solución general de la ecuación integro-diferencia.
Nota: En este curso se trabajará con el régimen permanente, mientras que en la 2da. Parte se
trabajará con el régimen transitorio.
31
ANÁLISIS SINUSOIDAL EN RÉGIMEN PERMANENTE
Consideraciones:
1. Los circuitos son alimentados con corrientes sinusoidales.
2. Todas las raíces de la ecuación característica tienen signo negativo, por lo que ig → 0 y
toda la función vendrá definida por la solución forzada (if).
Definiciones:
Función periódica:
Aquella función matemática del tiempo que repite sus valores cada cier
cierto
to tiempo.
(103)
f(t) = f(t + T),
T (Período, en segundos)
Función alterna.
Aquella función periódica del tiempo para la cual se cumple:
(104)
v
-Œ
(). w 0
Ciclo:
Es la colección completa de todos los valores positivos y negativos de una onda alterna.
Para la representación de una función alterna, un ciclo es suficiente.
Frecuencia:
Es la cantidad de ciclos en la unidad de tiempo.
(105)
f = ciclos/seg = 1/T, Hercios (Hz)
Nota: En el sistema eléctrico la frecuencia es única, constante e igual a 60Hz.
32
Frecuencia
Radio:
AM
FM
Comunicaciones:
Eléctrica:
Sur América – Argentina, Uruguay
Europa
Asia
América
530 – 1710kHz
88.1 – 107.9MHz
10E+9Hz ( = 1 GHz)
50Hz
50Hz
50 y 60Hz
60Hz
Representación de la corriente sinusoidal.
Representaremos la corriente sinusoidal como sigue:
(106)
i(t) = ImSen(ωt + β)
i(t), valor instantáneo de la corriente, A.
Im, valor máximo o amplitud, A.
ωt + β, argumento en radianes, rad.
ω = 2π/T = 2πf, velocidad o frecuencia angular, rad/s.
β, ángulo de fase inicial, en grados (º) o radianes.
i(t) = ImSen(2π/T*t + β) = i(t) = ImSen(2πft + β), A.
Cero creciente:
Lugar donde la onda pasa por cero en su rama ascendente.
ωt + β = 0 cuando se utiliza la función seno y ωt + β = -π/2 cuando se utiliza la función coseno.
Podemos escribir:
i(t) = ImCos(ωt + β)
33
de igual forma podemos escribir:
(107)
v(t) = VmSen(ωt + α) = VmSen(2π/T*t + α) = VmSen(2πft + α), V
Y la fuerza electromotriz (FEM)
(108)
es(t) = EsmSen(ωt + α) = EsmSen(2π/T*t + α) = EsmSen(2πft + α), V
Ejemplo:
Escribir la ecuación de la onda de corriente que tiene un valor máximo de 15A, si es conocido que
para una frecuencia de 60Hz su cero creciente coincide con ωt = +30º. i(0) cuando ωt = 30º.
Solución:
En forma general: i(t) = ImSen(2πft + β)
i(t) = 15sen(2π.60t + β) = 15sen(377t + β)
ωt + β = +30º + β = 0; β = -30º
i(t) = 15sen(377t-30º), A
Concepto de Adelanto y de retraso de una onda con respecto a otra.
Condiciones:
1. Para que dos o más ondas puedan ser comparadas, se les exige estar expresadas para la
misma frecuencia y para la misma función matemática del tiempo.
** Se dice que una onda va adelantada con respecto a otra cuando cruza primero su cero
creciente o lo que es igual cuando llega primero a su valor máximo.
Sean:
(109)
v(t) = Vmsen(ωt + α); V
(110)
i(t) = i(t) = ImSen(ωt + β); A
Y su representación gráfica:
34
(111)
θ = α – β, ángulo de desfasamiento. En este caso, β = 0, por lo que θ = α.
Casos:
a) Cuando α = β y θ = 0º
**En este caso se dice que las dos ondas están en fase.
b) α > β, θ > 0º
**Se dice que v(t) adelanta a i(t) en un ángulo θ.
c) α < β, θ < 0º
35
**Se dice que v(t) va retrasada con respecto a i(t) en un ángulo θ.
NOTA: En todos los casos anteriores, la referencia siempre será la corriente i(t).
VALOR EFECTIVO O VALOR MEDIO CUADRÁTICO (RMS)
Es una medida de la efectividad de la corriente alterna con respecto a la corriente continua.
Definición: Es el valor de la corriente continua que al pasar por una resistencia disipa igual
cantidad de energía que la corriente alterna en un período.
Œ
(112)
I2RT = vy . ()H. w
(113)
I = ‰ vy .(). w, valor efectivo o valor medio cuadrático, RMS.
Œ
P
Œ
)
Para la corriente sinusoidal:
(114)
. () = . . (Ž + ) = . 
(115)
I2 = vy
Œ
(116)
)
Œ” P
.
w −
) Œ” P
2(Ž
v
Πy .
– = –— /√j = ™. š™š–—
) „ .(‘- ’)
.
+ ) =
“
” P
.Œ
•=
” P
.
∴
Representación:
NOTA: Para una frecuencia f = 60Hz, la corriente se hace cero 121 veces. Es por ello que se
requiere de una forma efectiva de medir el valor de la corriente alterna. Es por ello que la mayoría
de los instrumentos de medida miden el valor efectivo de la corriente. Puede observarse en el
36
gráfico que sin importar que la corriente cambie de signo, el valor efectivo se mantiene invariable i
igual al valor máximo sobre √2.
Considerando lo anterior, la expresión del valor efectivo para la onda de tensión y para la fuerza
electromotriz se expresa como sigue:
(117)
V = Vm/√2= 0.707Vm
Es = Esm/√2 = 0.707Esm
Y en lo adelante las expresiones sinusoidales para la corriente y la tensión las escribiremos como
sigue:
(118)
(119)
(120)
i(t) = ImSen(ωt + β) = √2ISen(ωt + β); A
v(t) = VmSen(ωt + β) = √2Vsen(ωt + α); V
es(t) = EsmSen(ωt + α) = √2Esmsen(ωt + α); V
37
CIRCUITOS DE CORRIENTE SINUSOIDAL
Examinaremos a continuación el comportamiento de los elementos (Resistencia, Bobina y
Capacitor) para la corriente sinusoidal.
a) Circuitos resistivos puros.
Aplicando Ley de Ohm:
vR(t) = Ri(t) = √2H(Ž + ) = √2VR(Ž + ›)
(121)
Donde:
(122)
α = β, por lo tanto θ = 0º;
VR = I*R;
**En la “R” las ondas de tensión y de corriente
están en fase.
b) Inductivos puros.
i(t) = √2Isen(ωt + β)
vL(t)
(123)
L
vL(t) = L*di/dt = √2Žq(Ž + ) = √2Žq(Ž +  + 90º)
= √2 VL (Ž + ›); V
Donde:
α = β + 90º;
θ = α – β = + 90º > 0,
38
por lo tanto, la onda de tensión adelanta a la onda de corriente en un ángulo de 90º.
(124)
XL = VL/I = ωL, en Ohm (Ω), Reactancia inductiva.
Para la coriente sinusoidal, la bobina es representada por la reactancia inductiva, que tiene
unidades de Ohmios (Ω), pero que sin embargo no puede ser tratad como una resistencia porque
la reactancia inductiva provoca el adelanto de 90º de la tensión con respecto a la corriente en la
bobina.
c) Capacitivos puros.
(125)
!
i(t) = C*dv/dt = C √2VcSen(ωt + α) = √2ωCVccos(ωt + α) = √2
!
= √2Isen(ωt + β); A
Donde: β = α + 90º
y
V„
N
žŸ
(Ž + › + 90º)
θ = α – β = -90º < 0
La onda de tensión va retrasada con respecto a la onda de corriente en un ángulo de 90º.
(126)
XC = VC/I = 1/ωC; Ω,
Reactancia capacitiva.
Para la corriente sinusoidal, el capacitor es representado por la reactancia capacitiva que tiene
unidades de resistencia, pero que provoca un retraso de 90º de la tensión con respecto a la
corriente.
39
Resumen:
Relación v, i
Formas de onda y θ
Resistencia
VR = R*i
i = VR /R
VR = √2H(Ž + )
θ = 0º
Inductancia
VL = L*di/dt
i = 1/Lv B w
Capacitancia
VC = 1/Cv w
i = C*dvC/dt
Parámetro
Gráfica relación fases v e i
VR = √2Žq(Ž +  + 90º)
θ = α – β = +90º
)
VR = √2 ‘ (Ž +  − 90º)
θ = α – β = -90º
CIRCUITOS RLC
i(t) = √2(Ž + ∝)
a) Serie.
Aplicando L. T. K.:
(127)
v(t) = vR + vL + vC = √2H(Ž + ) + √2Žq(Ž +  + 90º)
)
+ √2 (Ž +  − 90º)
‘
La representación gráfica de (127) tundra la forma siguiente:
40
El efecto producido por C es opuesto al efecto producido por L. las tensiones VL y VC están en
contrafase (θ = 180º).
Si seleccionamos L y C de suerte tal que XL = XC, es decir, Žq =
)
‘
, entonces:
(128)
VL + VC = 0,
y
(129)
V = VR + VL + VC = VR, y el voltaje aplicado y la corriente i(t) están en fase.
b) Paralelo:
v = √2B¡(Ž + ∝)
Aplicando L. C. K.
(130)
i(t) = iR + iL + iC
V
= √2 (Ž + ›) + √2
L
V
‘x
(Ž + › − 90º) + √2
V
N
žŸ
(Ž + › + 90º)
41
La representación gráfica será:
V
L
i(t) = i*R = √2 (Ž + ›), A
Si ωL = 1/ωC
(131)
Ejemplo: Escribir la expresión de v(t).
i(t) = √2 ∗ 3(1000 + 30º), A
Solución:
Aplicando L. T. K.
v(t) = VR + VL = √2H(Ž + ) + √2Žq(Ž +  + 90º)
= √2(3)(3)(1000 + 30º) + √2(3)(1000)(4a10 3 )(1000 + 30º + 90º)
= √2¢91000. 30º + 930º. 1000 + 121000. 120º +
12120º. 1000£
= √2 ¤9 ×
).
√3
− . ¦ 1000
.
)
+ ¤9 × . + 12
= √2¢1.741000 + 14.891000£
= √2§(1.74). + (14.89). (1000 + tan
= √j*15sen(1000t + 83.33º); V
√3
¦ 1000“
.
) )6.m«
¤ ).¬6 ¦
42
NOTACIÓN FASORIAL
Examinaremos a continuación un método simbólico que nos permite representar las ecuaciones
sinusoidales a través de funciones algebraicas, pero en el dominio de los números complejos.
Sea el número complejo W
(132)
W = Wcosф + jWsenф, donde:
(133)
Re[W] = Wcosф,
parte real del número complejo W.
(134)
ym[W] = Wsenф,
parte imaginaria del número complejo W.
(135)
j = √−1,
factor imaginario (unidad imaginaria).
(136)
W = §­ . . ® + ­ . . ®, modulo del número complejo; ®, argumento.
La representación del número complejo W en el plano complejo será:
Permitamos que W gire a velocidad constante en dirección opuesta al giro de las agujas del reloj.
El nuevo número complejo será:
(137)
W(t) = Wcos(ωt + ф) + jWsen(ωt + ф)
Y sus proyecciones sobre los ejes real e imaginario serán:
(138)
Re[W(t)] = Wcos(ωt + ф)
(139)
ym[W(t)] = Wsen(ωt + ф)
Cualquiera de las dos proyecciones puede ser utilizada para representar la función sinusoidal. En
nuestro curso, utilizaremos la proyección sobre el eje de los imaginarios, es decir,
(140)
Wsen(ωt + ф) = ym [Wcos(ωt + ф) + jWsen(ωt + ф)]
43
Considerando en (140) la identidad de Euler:
(141)
¯ ±°± = ² ± ³²,
donde ε es la base de los logaritmos naturales.
Podemos escribir
(142)
Wsen(ωt + ф) = ym[Wcos(ωt + ф) + jWsen(ωt + ф)]
= ym´W¯ °(‘-¶) · = ym´W¯ °¶ ¯ °‘ · = ym´¸¯ °‘ ·
Donde:
(143)
W = W¯ °¶ = Wcosф + jWsenф,
fasor W
Fasor:
Es un número que al contener la amplitud y el ángulo de fase de una función sinusoidal del tiempo
permite representar la misma para una frecuencia única, constante y conocida.
Pasos a seguir para llevar una función sinusoidal del tiempo del dominio de los números reales o
del tiempo a su representación en el dominio de los números complejos o de la frecuencia.
(144)
i(t) = √2(Ž + )
Tomando como ejemplo (144):
Primer paso:
ym´√2cos (ωt + β) + j√2sen(ωt + β)·
Se expresa la función como la componente imaginaria de un número complejo.
Segundo paso: ym´√2¯ °(‘-’) ·
Se expresa el número complejo en su forma exponencial, utilizando para ello la identidad de Euler.
Tercer paso:
ym´√2¯ °’ ¯ °‘ ·
Se racionaliza el exponente ya que la frecuencia es única, constante y conocida.
Cuarto paso:
ym´√2–¯ °‘ ·
Se define el fasor.
Quinto paso:
(145)
I = I¯ °‘ = Icosβ + jIsenβ; A
44
En forma similar:
Dominio del tiempo (Reales)
(146) v(t) = √2B(Ž + ›)
(147) est = √2ES(Ž + ›)
Dominio de la frecuencia (Complejos)
V = B¯ °∝ = B ∝ +³B›
E = À¯ °∝ = À ∝ +³À›
Y
(148)
Im = √2–;
Vm = √2Á;
Esm = √2ES
NOTA: En este texto, para identificar los fasores utilizaremos letras mayúsculas y en negritas.
RESISTENCIA, BOBINA Y CAPACITOR EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Para la corriente sinusoidal hemos descrito que:
En el dominio de los números complejos o de la frecuencia, la corriente y la tensión en la
resistencia se representan como sigue:
(149)
(150)
I = I¯ °’
y
VR = IR¯ °’ = RI
Por lo que en el dominio de la frecuencia, la Resistencia sigue siendo Resistencia y se representa
(151)
R = VR/I Ω
45
NOTA: Puede observarse que para escribir las expresiones de los fasores corriente y tensión en la
resistencia, nos auxiliamos de la definición de fasor y utilizamos valor efectivo y ángulo de fase en
forma directa para la representación.
La bobina.
La representación fasorial de la tensión será:
(152)
V = ωLI¯ °(’-«yº) = ωL¯ °«yº ¯ °’ = jωL–
Donde:
(153)
¯ °«yº = 90º + ³90º = ³,
(154)
VL/IL = jωL
– = I¯ °’
NOTA: La expresión (154) nos indica que en el dominio de la frecuencia la bobina es representada
por la reactancia inductiva imaginaria y positiva (+), donde el factor imaginario “j” delante de la
reactancia inductiva refleja el adelanto de 90º de la tensión con respecto a la corriente.
Capacitor.
La representación de la tensión y de la corriente en el capacitor en el dominio de los números
complejos o de la frecuencia será:
(155)
VC =
)
‘
I¯ °(’
«yº)
=
)
‘
I¯ °’ ¯
°«yº
= −³
)
‘
–
Donde:
(156)
¯
°«yº
= −³ = cos(−90º) − (90º);
– = I¯ °’
46
En el dominio de la frecuencia el capacitor se representa como sigue:
(157)
)
−³ ‘ =
Á
–
NOTA: En el dominio de la frecuencia el capacitor es representado por la reactancia capacitiva,
imaginaria y negativa, donde la presencia del factor imaginario “-j” delante de la reactancia
capacitiva refleja el retraso de 90º de la tensión con respecto a la corriente.
Impedancia.
Es la relación que existe entre el fasor tensión y el fasor corriente.
(158)
Á
Z = – = Vm/Im =
ÂÃÄÅ
ÆÃÄÇ
Â
= Æ εÉ(Ê
Ë)
= ZεÍ = Zcosθ + jZsenθ = R + jX; Ω
Donde:
R = Zcosθ; Ω, componente resistiva.
X = Zsenθ; Ω, reactancia.
Z = √H. + Ð . Ω,
módulo de la impedancia.
Representación:
(159)
θ = tan
)Ñ
L
47
Representación:
(160)
фB = ФA – V = фA – ZI,
por lo tanto,
(161)
V = фA – фB = ZI,
Ley de Ohm en forma fasorial.
De la expresión (158) puede observarse que aunque en dominios diferentes, la impedancia y la
resistencia se definen igual.
Triángulos de impedancia.
A continuación, dibujemos la representación de la impedancia en el plano complejo para
diferentes valores del ángulo de desfasamiento “θ”.
a) θ = 0º, circuito tipo resistivo.
En este caso, la expresión (158) se escribirá como sigue:
Z = Zcos0º + jsen0º = R + j0 Ω
(162)
Conclusión: La resistencia es una impedancia cuya parte imaginaria es igual a cero.
b) θ > 0º;
0 < 90º;
0 < θ < 90º
(163)
Z = Zcosθ + jZsenθ = R +jX Ω
(164)
X = Zsenθ > 0, el circuito será del tipo resistivo-inductivo.
48
c) -90º < θ < 0º
(165)
Z = Zcosθ + jZsenθ = R – jX Ω
(166)
Zsenθ < 0, circuito tipo resistivo-capacitivo.
d) ² = ±90º
(167)
Z = Zcos90º + jZsen(±90º) = ±jX Ω
Conclusión:
Las reactancias inductivas y capacitivas son impedancias con parte real igual a cero.
12.1 Leyes de Kirchhoff en forma fasorial
Tanto la primera como la segunda leyes de Kirchhoff mantienen su validez en el dominio de la
frecuencia, sólo que deberán ser enunciadas como sigue.
1era. Ley:
La suma algebraica de los fasores de corriente que concurren en un nodo de un circuito es igual a
cero.
2da. Ley:
La suma algebraica de los fasores de tensión en cualquier camino cerrado de un circuito es igual a
cero.
49
12.2 Resolución de circuitos eléctricos en el dominio de la frecuencia.
En vista de que en el domino de la frecuencia las leyes de Ohm y de Kirchhoff mantienen su validez
y dado que la impedancia se define igual que la resistencia aunque en dominios diferentes, todos
los métodos de resolución, reducción y transformación de circuitos eléctricos mantienen su
validez en el dominio de la frecuencia.
Ejemplo: Para el siguiente circuito, determinar las corrientes desconocidas.
i1
3mH
3Ω
2Ω
i2
5mH
i3
3Ω
e1s
e2s
250µF
1Ω
E1s = 10V
E2s = 15V
ω = 1000rad/s
Se conoce que para ωt = -36.87º, e1s(t) pasa por su cero creciente y que adelante a e2s en 6.87º.
Solución:
e1s(t) = √2 E1sen(ωt + α1), V
e2s(t) = √2 E2sen(ωt + α2), V
e1s(t) = 10.√2sen(1000t + α1)
e1s(t) = 0 = 10.√2sen(-36.87º + α1), por tanto α1= 36.87º
α1 - α2 = 6.87º, de donde α2 = 36.87º - 6.87º = 30º
e1s(t) = 10√2sen(1000t + 36.87º), V
e2s(t) = 15√2sen(1000t + 30º), V
La representación del circuito en el dominio de la frecuencia será:
I1
jXL1= j3
3Ω
2Ω
I2
jXL2 = j5
I3
3Ω
E1s
E2s
-jXC = -j4
1Ω
50
Donde:
E1s = 10 ε-j36.87º
E2s = 15V εj30º
XL1 = 1000 X 3E-3 = 3Ω
XL2 = 1000 X 5E-3 = 5Ω
XC = 1/ωC = 1/(1000*250E-6) = 4Ω
I1
I2 2 + j5Ω
4 + j3Ω
I3
10ɛj36.87º
L. C. K.
n=2
n–1=1
3 – j4Ω
m=b=3
15ɛj30º
b–n+1=2
1. –I1 – I2 + I3 = 0
2. –(4 + J3)I1 – (3 – J4)I3 + 10ε-j36.87º = 0
3. (2 + J5) I2 - 15εj30º + (3 – J4)I3 = 0
De 1:
I3 = I1 + I2
(4)
Sustituyendo en 1 y 2:
-(4 + j3)I1 – (3 – j4)( I1 + I2) + 8 +j6 = 0, por tanto
(5)
(7 – j)I1 + (3 + j4)I2 = 8 + j6
(2 + j5)I2 – (13 + j7.5) + (3 – j4)(I1 + I2) = 0, por tanto
(6)
(3 – j4)I1 + (5 + j)I2 = 13 + j7.5
I1 = Δ1/Δ
;
I2 = Δ2/Δ
7 − ³ 3 − ³4
∆= Ò
Ò = 43 + ³26 = 50.25¯ °3).)1º
3 − ³4 5 + ³
∆1 = Ò
8 + ³6
3 − ³4
Ò = −35 + ³57.5 = 67.3¯ °).).3.º
13 + ³7.5 5 + ³
∆2 = Ò
7−³
8 + ³6
Ò = 35.5 + ³5.3 = 63.8¯ °14.)mº
3 − ³4 13 + ³7.5
51
I1 = 1.34εj90.17 = -0.003 + j1.33 A
I2 = 1.26 εj25.02 = 1.14 + j0.54 A
I3 = 1.137 +j1.87 A
]g = g. ™j√jÓ[†(g™™™Y + šj. ™jº); f
]j = ™. ՚√jÓ[†(g™™™Y + Ö. ×׺); f
]i = g. Ö×√jÓ[†(g™™™Y + ؙ. Øjº); f
Ejemplo 2: Encontrar Zeq.
Solución:
(6-°3)(1 °1)
°1-.
Z1 = 6-°3-1
Z2 =
(6-°3).
Z3 =
.(1 °1)
=
m-°4
°.
.y °.y-°)1-)1
)) °.
)) °.
= ))
)) °.
= 1.04 − ³0.72
=
31 °1
)) °.
31.31ÙÚÛ.NÜ
= )).)mÙÚNÝ.ÜÝ = 3.16¯ °..)¬ = 3.15 + ³0.02
= 0.53 + ³0.656
52
Zeq1 =
(..13-°y.414)(..y6-°y..m)
..13-°y.414-..y6-°y..m
=
6.«m-°..y1
6.1¬-°y.«34
=
1.3mÙ ÞPP.Üß
6.44Ù ÞNN.àß
= 1.15¯ °)y.m
Zeq1 = 1.29 + j0.22Ω
Zeq = 4.44 + j0.24 Ω
Zeq = 1.29 + j0.22 + 3.15 + j0.02 = 4.44 + j0.24 Ω;
Admitancia.
Es el valor inverso de la impedancia.
(168)
Y = 1/Z = I/V =
”Ù Þá
VÙ Þâ
”
= ¯
V
°(㠒)
= b¯
°±
= b² − ³b² = ä + ³å; S
También podemos escribir:
(169)
Y=
)
L °Ñ
.
L-°Ñ L °Ñ
=
L
L P -Ñ P
+³
Ñ
L P -Ñ P
= ä + ³å; S
Donde:
(170)
G = ycosθ =
(171)
B = ysenθ =
L
;
L P -Ñ P
Ñ
L P -Ñ P
Conductancia, en Siemens (S)
; Susceptancia, S
Representación:
53
Teoremas sobre admitancias.
1. La admitancia equivalente de un grupo de impedancias conectadas en serie es igual al
inverso de la impedancia equivalente del grupo de impedancias conectadas en serie.
(172)
V = V1 + V2 + V3 = (Z1 + Z2 + Z3)I = ZeqI, por tanto
(173)
Y = I/V = 1/Zeq
2. La admitancia equivalente de un grupo de impedancias conectadas en paralelo es igual a
la suma de las admitancias de las ramas conectadas en paralelo.
Por Kirchhoff:
(174)
I = I1 + I2 + I3 = V/Z1 + V/Z2 + V/Z3 = (1/Z1 + 1/Z2 + 1/Z3)V = (Y1 + Y2 + Y3)V =
eqV
Donde:
(175)
Yeq = Y1 + Y2 + Y3 = 1/Z1 + 1/Z2 + 1/Z3
54
XIII. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
13.1 Método de Análisis de nodos.
Objetivo del método:
Resolver un circuito eléctrico cualquiera con sólo n – 1 ecuaciones independientes.
Fundamento:
1) La 1era. Ley de Kirchhoff
2) La ley de Ohm
3) Que la corriente que circula por una rama cualquiera del circuito no depende de los
valores absolutos de los potenciales que conecta la rama por donde circula la corriente
sino que depende de la diferencia que existe entre estos potenciales. Lo anterior significa
que podemos utilizar uno cualquiera de los nodos del circuito en calidad de nodo de
referencia y asignándole cualquier valor inclusive cero, sin que con ello cambie la
distribución de corrientes en el circuito.
Descripción del método:
1. Se selecciona un nodo como nodo de referencia.
2. En forma arbitraria, se asignan sentidos positivos a las corrientes desconocidas en el
circuito.
3. Se escriben las ecuaciones independientes con ayuda de la 1era. Ley.
4. Se expresa cada corriente desconocida en función de la diferencia de potencial de la rama
por donde circula.
5. Se sustituyen las corrientes del paso 4 en las ecuaciones del paso 3. Como resultado,
tendremos un sistema de n – 1 ecuaciones con n – 1 incógnitas nuevas que serán los
potenciales asociados a los nodos.
Método de análisis de nodos.
1. Asignar sentidos positivos a las corrientes.
2. Indicar potenciales a cada nodo.
3. Considerar cualquier nodo como referencia
55
A continuación, apliquemos la Ley de Ohm. Recordar que ф4 = 0.
(176)
ф1 = ф4 + V1, por tanto ф1 = V1
ф2 = ф4 + V2, por tanto ф2 = V2
ф3 = ф4 + V3, por tanto ф3 = V3
4. Escribamos las ecuaciones de nodo independientes con ayuda de la 1era. Ley.
Nodo (1)
-I1 + I4 + I6 – IS7 = 0
(177)
Nodo (2)
-I2 – I4 + I5 = 0
(178)
Nodo (3)
I3 – I5 – I6 = 0
(179)
5. Aplicando la Ley de Ohm, expresemos cada corriente desconocida a través de las
diferencias de potenciales de los nodos conectados por las ramas por donde circulan las
corrientes desconocidas.
(180)
ф1 = ф4 + E1s – Z1I1 - Z8I1;
(182)
Y18 =
I1 =
)
çN -çÛ
tNæ ∅N
çN -çÛ
= (E1s – ф1)Y18
(181)
De igual forma:
(183)
I2 =
(184)
I3 =
(185)
I4 =
(186)
I5 =
(187)
I6 =
tPæ ∅P
çP
tÜæ ∅Ü
çÜ
∅ N ∅P
çè
= (E2s – ф2)Y2
= (E3s – ф3)Y3
= (ф1 – ф2)Y4
∅P ∅Ü - tàæ
çà
∅N ∅Ü - téæ
çé
= (ф2 – ф3 + E5s)Y5
= (ф1 – ф3 + E6s)Y6
Sustituyendo (181), (183) a (187) en (177), (178) y (179), tendremos:
En (177):
−(ê)ë − ∅) )d)m + (∅) − ∅.)d6 + (∅) − ∅3 + ê4ë )d4 − ìë¬ = 0
Agrupando y ordenando:
(188)
(d)m + d6 + d4 )∅) − d6 ∅. − d4 ∅3 = ê)ë d)m − ê4ë d4 + ìë¬
En (178):
56
−(ê.ë − ∅. )d. − (∅) − ∅. )d6 + (∅. − ∅3 + ê1ë )d1 = 0
Agrupando y ordenando:
−∅) d6 + (d. + d6 + d1 )∅. − d1 ∅3 = ê.ë d. − ê1ë d1
(189)
En (179):
(ê3ë − ∅3 )d3 − (∅. − ∅3 +ê1ë )d1 + (∅) − ∅3 +ê4ë )d4 = 0
Agrupando y ordenando:
−d4 ∅) − d1 ∅. + (d3 + d1 + d4 )∅3 = −ê3ë d3 + ê1ë d1 + ê4ë d4
(190)
Considerando (176), podemos escribir las ecuaciones obtenidas como sigue:
(d)m + d6 + d4 )W) − d6 W. − d4 W3 = ê)ë d)m − ê4ë d4 + ìë¬
−W) d6 + (d. + d6 + d1 )W. − d1 W3 = ê.ë d. − ê1ë d1
−d4 W) − d1 W. + (d3 + d1 + d4 )W3 = −ê3ë d3 + ê1ë d1 + ê4ë d4
(191a)
(191b)
(191c)
Análisis de 191a, 191b y 191c.
Estas ecuaciones fueron obtenidas a partir de las ecuaciones de corriente para los nodos (1), (2) y
(3), respectivamente. Obsérvese entonces, que los signos de los coeficientes que multiplican cada
uno de los voltajes asociados al nodo examinado resultan positivos. Es decir, en la ecuación 191a
el coeficiente de W es positivo; en la 191b, el coeficiente de W también es positivo. Y, finalmente,
en la ecuación 191c, el coeficiente de W también es positivo. En cada una de las ecuaciones, los
coeficientes de los demás voltajes son negativos.
En forma general, las ecuaciones 191a, 191b y 191c se escriben como sigue:
(192)
d)) W) − d). W. − d)3 W3 = ∑) êë d + ∑) ìë
(193)
−d.) W) + d.. W. − d.3 W3 = ∑. êë d + ∑. ìë
(194)
−d3) W) − d3. W. + d33 W3 = ∑3 êë d + ∑3 ìë
Donde:
Ypp, suma de las admitancias de las ramas.
p = 1, 2, 3, por donde circulan corrientes desconocidas que están conectadas al nodo “p”, siempre
precedida del signo (+).
57
Ypq, suma de las admitancias de las ramas
p≠q, p=1, 2, 3, por donde circulan corrientes desconocidas que conectan los nodos “p” y “q”,
siempre precedida del signo (-).
Ejemplo:
p=1;
q=2
Y12 = Y4
∑M êë d, suma algebraica de los productos de las tensiones de fuentes de tensión por la admitancia
de su rama, que aparecen conectadas al nodo “p”. Se consideran positivos los productos donde la
fuente esté dirigida al nodo “p”.
Ejemplo:
p=1
∑M êë d = À)ë d)m − À1ë d4
∑M ìë , suma algebraica de las corrientes de fuentes de corriente conectadas al nodo “p”. Positivas
las dirigidas al nodo.
Ejemplo:
p=1
∑) ìë = ì¬
p=2
∑. ìë = 0
Ejemplo:
Escribir las ecuaciones del método de análisis de nodos para el circuito.
58
Solución:
En forma general, las ecuaciones del método de análisis de nodos serán:
d)) W) − d). W. = ∑) êë d) + ∑) ìë
−d.) W) + d.. W. = ∑. êë d. + ∑. ìë
d)) =
1
1
1
+
+
= 3 − ³4 + 5 + ³5 + 2 = 10 + ³, ¡
0.12 + ³0.16 0.1 + ³0.1 0.5
d). =
1
= 2, ¡
0.5
d.) = d). = 2, ¡
d.. =
1
1
+
= 2 + 0.5 − ³0.5 = 2.5 − ³0.5, ¡
0.5 1 + ³
í êë d = ³10
)
1
1
+8
− 50 + ³50 + 16 = −34 + ³50
0.1 − ³0.1
0.5
í êë d = 10¯ °34.m¬
.
1
1
+8
= (8 + ³6)(0.5 − ³0.5) + 16 = 23 − ³
0.5
1+³
í ìë = 0
)
í ìë = 2
.
(10 + j)V1 – 2V2 = -34 + j50
-2V1 + (25 – j0.5)V2 = 23 – j2 = 25 – j
59
Ejemplo 2: En el circuito de la figura, aparecen dos nodos conectados en forma directa por una
rama que sólo contiene fuente de tensión. En este caso, el problema puede ser analizado de dos
formas.
1er. Método: Considerar el nodo más negativo de la rama donde aparece la fuente de tensión
como nodo de referencia.
Al considerar la referencia indicada,
W. = 6B,
y las ecuaciones del método de análisis de
nodos serán:
d)) W) − d). W. − d)3 W3 = í êë d + í ìë
)
)
−d3) W) − d3. W. + d33 W3 = í êë d + í ìë
3
3
Donde:
d)) = 2 + ³2 + 1 + 3 + ³4 = 6 + ³6; ¡
d). = 1; ¡
d)3 = 2 + ³2; ¡
d3) = d)3 = 2 + ³2; ¡
d3. = −³; ¡
d33 = 2 + ³2 − ³ = 2 + ³; ¡
60
í êë d = ³5(2 + ³2) + 8(1) = −2 + ³10; )
í êë d = −³5(2 + ³2) + 10(−³) = 10 + ³5; 3
í ìë = 0
)
í ìë = 2
3
(6 + j6)V1 – 1(6) – 2(2 + j2)V3 = -2 + j10
-(2 + j2)V1 – (-j)6 + (2 + j)V3 = 10 + j5 + 2
(6 + j6)V1 – (2 + j2)V3 = -2 + j10 + 6 = 4 + j10
-(2 +j2)V1 + (2 + j)V3 = 12 + j5 – j6 = 12 – j
6 + ³6 −2 − ³2
∆= Ò
Ò
−2 − ³2
2+³
4 + ³10 −2 − ³2
∆) = Ò
Ò
12 − ³
2+³
2do. método: Se forma un súper-nodo con los nodos conectados por la rama con la fuente de
tensión. A continuación, se escriben las ecuaciones independientes con ayuda de la LCK, tomando
en consideración que en el súper-nodo la suma algebraica de las corrientes que en él concurren es
igual a cero. En otras palabras, también se cumple la LCK.
61
1. Se escriben las ecuaciones independientes con ayuda de la 1era. Ley.
(1) –I1 – I2 + I3 = 0
(2) I2 – I3 – I4 + 2 = 0
(3) V2 = V4 + 6
Donde:
I1 = (j5 – V1)(2 + j2)
(4)
I2 = (V2 - V4)(3 + j4)
(5)
I3 = (V1 - V4)(3 + j4)
(6)
I4 = (10 – j2).j
(7)
Sustituyendo:
(j5 – V1)(2 + j2) – (V2 - V1 + 8) + (V1 - V4)(3 + j4) = 0
(8)
(2 + j2 + 1 + 3 + j4)V1– (V4 + 6) - V4(3 + j4) = 0
(9)
(10)
(6 + j6)V1 – (4 + j4)V4 = 6
(V2 - V1 + 8).1 - (V1 - V4)(3 + j4) - (10 – V2).j + 2 = 0
-(4 + j4)V1 + (1 + j)(V4 + 6) + (3 + j4)V4 – j10 – 2 = 0
-(4 + j4)V1 + (4 + j4)V4 = j10 – 2 – 6(1 + j)
(6 + j6)V1 - (4 + j4)V4 = 6
-(4 + j4)V1 + (4 + j4)V4 = -8 + j4
∆= Ò
6 + ³6
−(4 + ³4)
Ò
−(4 + ³4)
4 + ³4
∆) = Ò
6
−(4 + ³4)
Ò
−8 + ³4
4 + ³4
62
Ejemplo 3:
d)) W) − d). W. − d)3 W3 = í êë d + í ìë
)
)
−d.) W) + d.. W. − d.3 W3 = í êë d + í ìë
.
.
−d3) W) − d3. W. + d33 W3 = í êë d + í ìë
3
3
Donde:
Y11 = 2 + j2 + 1 = 3 + j2; S
Y12 = 1S
Y13 = 0S
Y21 = 1S
Y22 = 1 – j + j5 = 1 – j4; S
Y23 = j5; S
Y31 = 0S
Y32 = j5; S
Y33 = j5 + 3 – j4 = 3 + j; S
í êë d = B{ (2 − ³2) + 8; )
í êë d = ³5(−³) − 8(1) = −3; .
í êë d = 10¯ °34.m¬º . (3 − ³4) = (6 + ³8)(3 + ³4) = 50
3
í ìë = −3; )
í ìë = 0; .
í ìë = 3; )
B{ = B. − B3
63
Las ecuaciones del MAN serán:
(3 + j2)V1 – V2 – 0V3 = (V2 – V3)(2 – j2) + 8 - 3
(3 + j2)V1 – (3 + j2)V2 + (2 + j2)V3 = 5
-V1 + (1 + j4)V2 – jV3 = -3
-0V1 – j5V2 + (3 + j)V3 = 50 + 3 = 53
3 + ³2 −3 − ³2 2 + ³2
1 + ³4
−³5
∆= −1
0
−³5
3+³
Nota: La presencia de la fuente dependiente rompe la simetría del determinante del sistema, es
decir, en el determinante del sistema Ypq es diferente de Yqp.
Método de los dos nodos.
Para este caso:
dMM = ∑ d =
)
çN
+
)
çP
+
)
çè
= d) + d. + d6
(195)
dMM = 0
64
La ecuación del método de análisis de nodos será:
(196)
∑ dÁ = ∑ î d + ∑ –
(197)
Á=
∑ îæ ï-∑ –æ
∑ï
Ecuación del método de los dos nodos.
Reducción de ramas en paralelo (Teorema de Millman).
El siguiente método permite reducir un grupo de ramas conectadas en paralelo a una sola rama
formada por una fuente equivalente de tensión en serie con una impedancia.
Demostración.
En el circuito original:
I0 = -I1 + I2 – I3S + I4
(198)
Por Ohm:
(199)
I1 = (E1S – V)Y
(200)
I2 = (E2S + V)Y2
(201)
I4 = Y4V
(202)
I = -(ES – V)Y1 + (E2S + V)Y2 – I2S + VY4
= (Y + Y2 + Y4)V – (E1SY1 – E2SY2 + I3S)
65
En el circuito transformado:
Aplicando LTK.
V – IZeq – Eeq = 0
I = V/Zeq – Eeq/Zeq = VYeq – EeqYeq
(204)
Para que los dos circuitos sean equivalents debe cumplirse que (202) = (204), es decir:
(Y + Y2 + Y4)V – (E1SY1 – E2SY2 + I3S) = VYeq – EeqYeq
Yeq = Y + Y2 + Y4 = ∑Y
(205)
(206)
EeqYeq = E1SY1 – E2SY2 + I3S, por tanto
Eeq = E1SY1 – E2SY2 + I3S = ∑ESY + ∑IS
Yeq
∑Y
(207)
13.2 Método de análisis de mallas.
Objetivo:
Resolver un circuito con tan sólo b – n + 1 ecuaciones independientes.
Fundamento:
Ley de tensiones de Kirchhoff
Definiciones:
Malla: Camino cerrado que no contiene ramas en su interior.
Circuitos planos: Circuitos en donde no aparecen ramas cruzando una por encima de la otra sin
tocarse.
66
Restringiremos la aplicación del método Análisis de mallas sólo a circuitos planos ya que para ellos
está definido el efecto de malla.
Corriente de malla:
Aquella que circula por todo el perímetro de una malla. La representaremos en forma de una
curva siempre dirigida en dirección del giro de las agujas del reloj.
Rama propia de una malla: Aquella por donde circula sólo la corriente de la malla.
Ramas comunes: Aquellas comunes a dos o más mallas.
De acuerdo a la notación utilizada para representar la corriente de malla por las ramas comunes,
la corriente de malla por las ramas comunes, las corrientes de las mallas pasarán en sentido
opuesto.
Obtención de las ecuaciones del Método análisis de mallas.
En la rama común:
67
NOTA: En el método Análisis de mallas y gracias a la definición de corriente de malla, la Ley de
corrientes aparece aplicada automáticamente en las ramas comunes.
Apliquemos la 2da. Ley:
(208)
-Z1I1 – Z3(I1 – I2) – E3S + ES1 – Z4I1 = 0
Agrupando y ordenando:
(209)
(Z1 + Z3 + Z4)I1 – Z3I2 = E1S – E3S
De igual forma:
(210)
-Z2I2 – E2S + E3S + (I1 – I2)Z3 = 0
De donde:
(211)
-Z3I1 + (Z2 + Z3)I2 = E2S + E3S
Las ecuaciones (209) y (211) representan las ecuaciones del método Análisis de mallas para el
circuito examinado y en forma general se escriben como sigue:
(212)
Z11I1 – Z12I2 = ∑) Àë
(213)
-Z21I1 + Z22I2 = ∑. Àë
Donde:
P = 1, 2
ZPP, suma de las impedancias del perímetro de la malla “P”, siempre precedida del signo positivo.
P=1
Z11 = Z1 + Z3 + Z4
Zpq, suma de las impedancias de las ramas comunes a las mallas “p” y “q”, siempre precedida de
signo negativo. Ejemplo:
P=1; q=2
Z12 = Z3
∑E Àë , suma de las tensiones de fuentes de tensión del perímetro de la malla “P”. Se consideran
positivas las de sentido coincidente con la corriente de malla “P”.
68
P=1;
∑) Àë = À)ë − À3ë
Método Análisis de mallas para circuitos con fuentes de tensión y fuentes de corriente.
Para aplicar el método Análisis de mallas a circuitos con fuentes de corriente se procede como
sigue:
“Se hace circular la corriente de la fuente de corriente por un camino cerrado formado por la rama
que contiene la fuente de corriente y otras ramas cualesquiera del circuito. Como siguiente paso,
se omite la rama que contiene la fuente de corriente y se escriben las ecuaciones del método
Análisis de mallas tal y como fue recientemente demostrado.”
Demostración:
Escribamos las ecuaciones de Kirchhoff.
LCK:
(214)
I1 – I4 – I5S = 0
(215)
-I1 + I2 + I3 = 0
LTK:
(216)
-Z1I1 – Z3I3 – E3S + E1S – Z4I4 = 0
(217)
-Z2I2 + E2S + E3S + Z3I3 = 0
De (214):
I4 = I1 – I5S
De (215):
I3 = I1 – I2
69
Sustituyendo en (216) y (217).
En (216):
Z1I1 – Z3(I1 – I2) – E3S + E1S – Z4(I1 – I5S) = 0
Agrupando:
(Z1 + Z3 + Z4)I1 – Z3I2 = E1S – E3S – Z4I5S
(218)
En (217):
-Z2I2 + E2S + E3S + Z3(I1 – I2) = 0,
(219)
por tanto:
-Z3I1 + (Z2 + Z3)I2 = E2S + E3S
Comparando las ecuaciones (218) y (219) con las ecuaciones (209) y (211), respectivamente,
podemos observar que sólo difieren en la columna de los términos independientes, ya que en
(218) se ha considerado la influencia de la fuente de corriente en el circuito. Por lo que podemos
decir, que las ecuaciones (218) y (219) resultan ser las ecuaciones del MAM para un circuito donde
se hizo circular la corriente de la fuente de corriente por un camino cerrado, como se muestra en
el siguiente circuito.
En forma general:
(220)
Z11I1 – Z12I2 = ∑) îë + ∑) –ë ð
(221)
-Z21I1 + Z22I2 = ∑. îë + ∑. –ë ð
70
Donde:
∑E ë ð, suma algebraica de los productos de las corrientes de las fuentes de corriente por las
impedancias de la malla “P” que toca la corriente en su recorrido. Se consideran positivos los
productos donde la corriente de la fuente de corriente tenga sentido opuesto a la corriente de
malla.
Ejemplo: Escribir las ecuaciones del MAM.
Solución: Se hace circular la corriente de la fuente de corriente por un camino cerrado formado
por su rama y otras ramas cualesquiera del circuito. Sugerencia: Usar el menor número de posible
de ramas.
71
Ramas comunes:
Las ecuaciones del MAM serán:
Z11I1 – Z12I2 = ∑) Àë + ∑) ë ð
-Z21I1 + Z22I2 = ∑. Àë + ∑. ë ð
Donde:
Z11 = 3 + j4 + 2 + j2 + 6 + j3 = 13 + j9Ω
Z12 = Z21 = 2 + j2 + 6 = 8 + j2Ω
Z22 = 4 + j3 + 6 + 2 + j2 = 12 + j5Ω
∑) Àë = 10 – j5
∑. Àë = j5 – 7.07 – j7.07 = -7.07 – j2.07 V
∑) ë ð = -(6 + 2 + j3)3 = -24 + j9 V
∑) ë ð = +3(6) = 18 V
Finalmente:
(13 + j9)I1 – (8 + j2)I2 = 10 – j5 – 24 – j9 = -14 – j14
-(8 + j2)I1 + (12 + j5)I2 = -7.07 – j2.07 + 18 = 10.93 – j2.07
∆= Ò
13 + ³9 −8 − ³2
Ò = 111 + ³173 − 60 − ³32 = 51 + ³141 = 149.9¯ °¬y.)º
−8 − ³2 12 + ³5
72
−14 − ³14
−8 − ³2
∆) = Ò
Ò = −98 − ³238 + 91.58 + ³5.3 = −6.42 − ³232.7 = 232.8¯ °mm.6º
10.93 − ³2.07 12 + ³5
∆. = Ò
13 + ³9
−14 − ³14
Ò = 216.72 − ³405.28 = 459.6¯
−8 − ³12 10.93 − ³2.07
De donde
I1 = 1.6εj18.3º
e
°4).«º
I2 = 3.1ε-j132º
13.3 Superposición
En los circuitos lineales, la corriente que circula por una cualquiera de sus ramas, o la tensión entre
las terminales de una cualquiera de sus elementos puede ser determinado como la suma
algebraica de las aportaciones de cada una de las fuentes actuando por separado. En cada caso,
las restantes fuentes de tensión y de corriente se colocan en cortocircuito y circuito abierto,
respectivamente.
NOTA: Para eliminar la influencia de una fuente de tensión en un circuito esta debe
cortocircuitarse, mientras que para eliminar la influencia de una fuente de corriente, se debe
anteponer a la misma una impedancia infinita lo que es igual que decir ponerla en circuito abierto.
Demostración:
73
Apliquemos MAM.
(222)
(Z2 + Z3)I = -E2S + Z3I1S
(223)
I = I2 =
tPñ
çP -çÜ
+
çÜ ”Ü
çP -çÜ
En la rama común:
−À.ë
ð3 3
3 = )ë − = )ë − ò
+
ó=
ð. + ð3 ð. + ð3
=
À.ë
ð. )ë
+
ð. + ð3 ð. + ð3
(jjØ)
Apliquemos el concepto de superposición.
≡
+
(1)
(3)
(2)
Circuito (2):
(225)
–′. = +–)ë
çÜ
çP -çÜ
çP
çP -çÜ
(226)
–′3 = +–)ë
(228)
–′′3 = −–. =
Circuito (3):
(227)
–′′. =
îPñ
çP -çÜ
-îPñ
çP -çÜ
Por tanto:
(229)
I2 = I’2 + I’’2 = –)ë
çÜ
çP -çÜ
−
îPñ
çP -çÜ
(230)
I3 = I’3 + I’’3 = –)ë
çP -çÜ
çP
+
çP -çÜ
îPñ
74
Si comparamos (229) y (230) con (223) y (224), respectivamente, podremos observar que son
idénticas, lo cual demuestra la validez del principio de superposición en los circuitos eléctricos
lineales.
NOTA: El principio de superposición puede aplicarse considerando grupos de fuentes en lugar de
una fuente cada vez. Sin embargo, no es común la utilización de la superposición para resolver
circuitos eléctricos.
XIV. TEOREMAS DE THÉVENIN Y NORTON
14.1 Teorema de Thévein
Aplicación:
Para el análisis de una rama o parte de un circuito transformado para él todo el circuito alrededor
de la rama o parte examinada es una fuente de tensión en serie con una impedancia.
Fundamento:
Principio de superposición.
Enunciado:
Dado un circuito lineal y activo cualquiera, reordenarlo en forma de circuitos A y B
interconectados entre sí por conductores sin resistencia. Definir una tensión de circuito abierto
“Voc” como la tensión que aparecerá entre los terminales del circuito A si el circuito B fuese
desconectado de forma tal que ninguna corriente fluyera de A hacia B. Sustituir el circuito A por
una fuente de tensión con un valor igual a Voc conectada en serie con el circuito A inactivado
(todas las fuentes de tensión y de corriente del circuito A inactivadas por cortocircuitos y circuitos
abiertos, respectivamente). Todas las corrientes y tensiones en el circuito B permanecerán sin
alteración después de la sustitución.
75
1. Dada
2. Reordenar
Red lineal
activa
Figura 1
Figura 2
Posibilidades:
1. A activo, B pasivo
2. A pasivo, B activo
3. A activo, B activo
El caso 3 puede examinarse como la suma de 1 y 2 ( por Superposición).
3. Definir Voc.
4. Sustituir circuito A.
76
Donde:
Ejemplo: Determinar el circuito equivalente de Thévenin en el circuito (a) y (b).
2. Definir Voc.
MAN:
(2 – j4 + 3 + j4)I = 10 + 3(j2), por tanto: I = (10 + j6)/5 = 2 + j1.2ª
77
Voc – 2(j2) – I(j4) = 0, por tanto: Voc = j4 + (2 + j1.2)(j4) = -4.8 + j12,
Voc = 12.92εj111.8º
Cálculo de Zth.
Zth = [(2 + j4 + 3)//j4] + 2 = 5.2 + j4Ω,
Zth = 5.2 + j4Ω
Finalmente, si nos interesara calcular IX, esta sería igual a:
–Ñ =
)..«.Ù ÞNNN.Ûº
1..-°6-çõ
14.2 Teorema de Norton
Objetivo:
Analizar una rama o parte de un circuito transformado, para ello todo el circuito alrededor de la
rama o parte examinada sería equivalente a una fuente de corriente en paralelo con una
impedancia.
Fundamento:
Principio de Superposición.
Enunciado:
78
Dado un circuito lineal y activo cualquiera, reordenarlo en forma de dos circuitos A y B
interconectados entre sí por conductores sin resistencia. Definir una corriente de cortocircuito
“Isc” como la corriente que circularía por los terminales de la red A si el circuito B fuese
cortocircuitado de forma que ninguna tensión apareciese entre sus terminales. Sustituir el circuito
A por una fuente de corriente conectada en paralelo con el circuito A inactivado (todas las fuentes
de tensión y de corriente del circuito A sustituidas por cortocircuitos y circuitos abiertos,
respectivamente). Todas las tensiones y corrientes en el circuito B permanecerán sin alteración.
1. Dado
2. Reordenar
Circuito
lineal y activo
Figura 1
Figura 2
Posibilidades (Ver Thévenin)
3. Definir ISC.
4. Sustituir
Figura 1
Figura 2
Donde:
79
Ejemplo:
Z11I1 – Z12I2 = ∑) Àë + ∑) ë ð
-Z21I1 + Z22I2 = ∑. Àë + ∑. ë ð
Z11 = 2 – j4 + 3 + j4 = 5Ω
Z12 = Z21 = j4Ω
Z22 = j4 + 2 = 2 + j4Ω
∑) Àë = 10V
∑. Àë = 0V
∑) ë ð = (j2)(3) = j6V
∑. ë ð= (j2)(2) = j4V
5I1 – j4I2 = 10 + j6
-j4I1 + (2 + j4)I2 = j4
5
−³4
∆= Ò
Ò = 10 − ³20 + 16 = 26 + ³20
−³4 2 + ³4
10 + ³6 −³4
∆) = Ò
Ò = 20 + ³40 + ³12 − 24 − 16 = −20 + ³52
³4
2 + ³4
∆. = Ò
5
10 + ³6
Ò = ³20 − (−³40 + 24) = −24 + ³60
−³4
³4
ISC = I2 = Δ2/Δ
ISC = 1.97εj74.23ºA
80
Cálculo de Zth:
Zth=
(1 °6)(°6)
1 °6-°6
+2=
°.y-)4
1
+ 2, ö÷ø = ù. j + úØû
El circuito equivalente será:
Donde IX = 1.97εj74.23º
1..-°6
1..-°6-çõ
IX =
)..«.ÃÄNNN.Ûº
1..-°6-çõ
14.3 Correlación entre teoremas de Thévenin y Norton.
Red lineal activa:
Thévenin (Áü )
Norton (–ë )
81
–=
–
ç
– = çñŸ-çþ
ÁýŸ
þ
çþ -ç
Ambos circuitos deben entregar la misma corriente, por lo que:
(231)
ÁýŸ
çþ -ç
(232)
Áü = –ë ð
(233)
ð =
=
–ñŸ çþ
çþ -ç
(ver ejemplo), y
ÁýŸ
–ñŸ
Teorema de Thévenin para circuitos con fuentes dependientes.
En vista de que los circuitos que contienen fuentes dependientes o controladas no pueden ser
inactivados, el valor de la impedancia de Thévenin para los circuitos con fuentes dependientes
debe realizarse a partir de (233). Ejemplo:
Solución:
82
3A
4Ω
2+jΩ
j2Ω
3A
3A
- Vx +
+
V
/2
x
-
3 - j2Ω
I
VOC
2+jΩ
10V
Vx = (j2Ω)(3A) = j6 V
(3 – j2 + 2 + j + 2 + j)I = 10 – Vx/2 + (2 + j)(3);
I = 10 – j3 + 6 + j3;
I = 16/7 A
Cálculo de VOC:
VOC = 12.17εj67.9º
VOC – j2(3) - Vx/2 – (2 + j)(16/7) = 0;
Cálculo de ISC:
3A
2+jΩ
3 - j2Ω
I1
j2Ω
3A
- Vx +
+
- Vx/2
I2
10V
2+jΩ
Vx = (3 – I2).j2
Z11 = 7Ω
Z12 = Z21 = 2 + jΩ
Z22 = 2 + j3Ω
∑) Àë = 10 - Vx/2 = 10 - (3 – I2).j2/2 = 10 – 3j + jI2
∑. Àë = Vx/2 = (3 – I2).j
∑) ë ð = 6 + j3
∑. ë ð= 3(j2) = j6
7I1 – (2 + j2)I2 = 16
-(2+j2)I1 + (2 + j4)I2 = j9
I2 = ISC = 3.4εj6.56A
La Zth sera:
ð =
Áü
12.17¯ °4¬.«º
=
= 3.58¯ °4).36 Ω;
–ë
3.4¯ °4.14º
ð = 1.72 + ³3.14Ω
83
El circuito equivalente de Thévenin será:
1.72+j3.14Ω
IX
12.17ɛj67. 9º V
IX =
3.6ÃÄé.àéº ).¬.-°3.)6
IX =
).¬.-°3.)6-çõ
ZX
)..)¬ÃÄéß.º
).¬.-°3.)6-çõ
XV. POTENCIA CON ONDAS SINUSOIDALES
Hemos escrito que:
(234)
p(t) = v(t).i(t);
W
Cuando:
(235)
v(t) = √2Vsen(
t + ), V
(236)
i(t) = √2Isen(
t + ), A
Podemos escribir
(237)
p(t) = 2VIsen(
t + )sen(t + )
Análisis de (237):
a) Resistivo:
α = β;;
P = 2VIsen(t + θ);
b) Inductivo:
α = β + 90º
p(t) = 2VIsen(t + β + 90º)sen(t + )
P > 0, consumo
84
(238)
)
Œ
C = vy ƒ.. w = 0
Œ
c) Capacitivo:
p(t) = 2VIsen(t + β - 90º)sen(
)sen(t + )
α = β – 90º
∑áreas = P = 0
15.1 Potencia media.
Entenderemos por potencia media al valor medio de la potencia.
(239)
)
Œ
PM = vy Cw
w
Œ
Donde:
(240)
cos(2ωt + α + β); W
p(t) = sen(ωtt + α)sen(ωt – β) = VIcosθ + VIcos(2ωt
(241)
PM = vy Cw
w vy B²w + vy B(2Ž h › h w = VIcosθ, W
Œ
Œ
Œ
)
Œ
)
Œ
)
Œ
Donde:
(242)
VI,, potencia aparente en Voltios-Amperes
Voltios
(VA)
85
La potencia aparente es la potencia de diseño de aparatos (transformadores) y no es más que el
máximo valor que puede alcanzar la potencia media.
(243)
² =
E
,
V”
factor de potencia (FP).
Como cos(-x) = cos(+x), se habla de factor de potencia adelantado y de factor de potencia
retrasado, siendo la referencia la posición del fasor corriente con respecto al fasor tensión.
Ejemplo: Circuito inductivo, FP es retrasado.
El factor de potencia es una medida de la eficiencia económica de una carga.
(244)
I1 = P1/V1cosθ1
ΔV = I1R,
caída de voltaje
ΔP = I2R,
pérdida de potencia
Si se desea bajar ΔV, ΔP: ↓P1, no; ↑V1, no; cosθ1, sí
Tarifa 1:
0.85 ≤ cosθ1 ≤ 0.9
Tarifa 2:
cosθ < 0.85
Tarifa 2 > Tarifa 1
De la expresión (244) se observa que a menor factor de potencia mayor es el tránsito de corriente
por las líneas y, consecuentemente, mayores son las pérdidas de tensión y de energía. Es por ello
que las empresas distribuidoras de energía normalizan el valor del factor de potencia (en
86
República Dominicana se utiliza un cosθ = 0.90 retrasado) y penalizan a aquellos clientes que
trabajan con un FP inferior al normalizado.
15.2 Potencia compleja.
La expresión (241) puede ser escrita como sigue
J = B² = H¢B² + ³B²£ = H´B¯ °± · = H´B¯ °ã . ¯
(245)
°’
·
= H¢Á– ∗ £
Donde:
V = B¯ °ã , fasor tensión
I* = ¯
°’
, conjugado del fasor corriente – = ¯ °’
Se define como potencia compleja al producto de V.I* y se expresa:
(246)
(247)
(248)
= W. ì ∗ = B² + ³B² = J + ³ , VA,
donde:
J = B², W, se conoce como potencia activa.
= B², Voltios-Amperios reactivos, VAR, es la potencia reactiva.
Triángulos de potencia.
Son la representación de la potencia compleja en el plano complejo y para diferentes valores del
ángulo θ. Casos:
a) θ = 0º;
¡ = B + ³0, B
87
Q
La resistencia sólo
consume potencia
activa
P
S = VI > 0
b) θ = 90º;
c) θ = -90º;
d) 0 < θ < 90º,
¡ = 0 + ³B, B
¡ = 0 − ³B, B
Circuito R-L,
= B² + ³B²
88
Q
¡ = §J. +
.
)
E
§EP -P
= tan
)
E
= B² − ³B²
Circuito R-C,
Q
e) -90º < θ < 0º,
² = cos
¡ = §J. +
.
² = cos
)
E
§EP -P
= tan
)
E
De los triángulos de potencia compleja puede observarse que el capacitor tiene la propiedad de
generar potencia reactiva. Esta propiedad es utilizada en la industria para mejorar el factor de
potencia produciendo localmente (in situ) la energía reactiva requerida para elevar el factor de
potencia.
Teorema sobre potencia compleja.
La potencia compleja consumida por dos cargas actuando en paralelo es igual que la suma de las
potencias complejas consumidas por cada una de las cargas.
89
Por definición:
(249)
ST = VI* = V(I1 + I2)* = VI1* + VI2* = S1 + S2
Conclusión:
A partir de lo demostrado anteriormente podemos afirmar que los capacitores deben conectarse
en paralelo a la carga cuyo factor de potencia se desea mejorar.
15.3 Corrección del factor de potencia
Con mirar a obtener mejores tarifas eléctricas, los industriales recurren al aumento del factor de
potencia. Para estos fines, tal y como fue mostrado anteriormente, se conectan capacitores a la
carga cuyo factor de potencia se desea modificar.
Supongamos que una carga industrial se caracteriza por una potencia compleja:
(250)
SL = PL + jQL,
(251)
cosθL =
con un factor de potencia
Es
(retrasado)
‰Es P -s P
y que se desea el factor de potencia.
Se desea que:
(252)
cosθ2 = cosθ1,
para lo cual conectaremos capacitores en paralelo a la carga
existente de acuerdo al siguiente esquema:
90
I
I = IL - IC
IC
IL
V
SC
Carga, SL
La potencia de los capacitores será:
(253)
SC = VI C* = 0 – jQC = -jVI = -jV
V
°
N
žŸ
= V2ωC
De (253) podemos determinar la capacidad requerida en Faradios.
La nueva potencia compleja será:
(254)
S = SL + SC = PL + j(QL - QC); VA
91
Y su representación fasorial:
Es
(255)
cosθ2 =
(256)
tan ². =
=
Es
‰Es P -(s
Ÿ
)P
> cosθL =
Es
‰Es P -s P
s Ÿ
Es
Ejemplo:
Una carga industrial se caracteriza por una potencia activa de 10,000 watt con un factor de
potencia de 0.6 retrasado. Se desea:
a) Escribir la expresión de la potencia compleja.
b) Para un voltaje efectivo de 480V y una frecuencia de 60Hz, determinar la capacitancia en
Faradios para elevar el factor de potencia a 0.9 retrasado.
Considerar que la tensión tiene su cero creciente con el eje de los 0º.
Resolución:
a) La potencia compleja se escribe
SL = PL + jQL = VIcosθL + jsenθL ∴
VI = PL/cosθL = 10,000/0.6 = 16,666.7 VA
θ = cos-10.6 = 53.13º, de donde senθ = 0.8
92
)y,yyy
∗ 0.8
y.4
SL = 10,000 + j
= 10,000 + j13,333.3 VA
b) Se desea que cosθ2 = 0.9 retrasado
La potencia compleja de los capacitores será: Sc = VIC* = -jQc
Y la nueva potencia compleja será entonces:
Snueva = 10,000 + 13,333.3 – jQc
La representación en el plano complejo será:
cosθ2 = 0.9; θ2 = 25.84º
tanθ2 = tan25.84 =
Qc = 13,333.3 – 10,000(0.484) = 8,493.3
∴
)3,333.3 „
)y,yyy
= 0.484 ∴
Ic* = -j
m,6«3.3
6my
= −³17.69 e
Ic = +j17.69 A
Por Ohm:
-j
)
‘
C=
= −³
)
.(4y)
)
.(4y)(.¬.)3)
=
V
”„
=
6my
°)¬.4«
= −³27.13
= 99.77μF
La capacidad requerida es de: 99.77μF
93
CIRCUITOS POLIFÁSICOS
La figura representa el corte transversal de un generador de c. a. En su parte fija o estator, se
colocan las bobinas donde se inducirá la tensión. La parte móvil o rotor es alimentada con c. c. a
fin de crear un campo magnético. Al girar, las líneas de fuerza del campo magnético cortan las
bobinas del estator induciendo en éstas tensiones. En la figura se muestra un generador con 3
bobinas simétricamente dispuestas en el estator, por lo tanto, si suponemos que en la posición
indicada del rotor la tensión en la bobina A es máxima, 120º después será máxima en B y 120º
adicionales se requerirán para que sea máxima en C.
Los generadores con varia bobinas en el estator reciben el nombre de generadores polifásicos; se
construyen de dos fases, tres fases y seis fases; exceptuando los generadores bifásicos, en todos
los demás las fases se disponen simétricamente en el estator. En ingeniería eléctrica, por ende, el
concepto de fase tiene dos acepciones:
1ero. Para simplificar el estado posicional de una onda.
2do. Para identificar la parte física de un generador. Donde:
A – x, B – y, y C – z, son las fases del generador. A, B y C, finales de fases; x, y, z, inicios de fases.
El orden de aparición de las tensiones se conoce como secuencia de fase. En nuestro caso, el orden
secuencial es A, B y C, siempre dirigidas las tensiones del inicio al final de las fases.
94
Las FEM´s inducidas en el estator se representan como sigue.
Donde:
(257)
(258)
(259)
# = √2À
ÀŽ h 0º; B
e = √2À
ÀŽ ; 120º; B
= √2À
ÀŽ ; 240º = √2ÀŽ h 120º; B
Y su representación gráfica:
Al tener las tensione inducidas las misma magnitud, y al estar desfasadas en ángulos iguales,
forman un sistema simétrico de tensiones y siempre se cumple:
(260)
eA + eB + eC = 0, sistema simétrico de tensiones
95
En el dominio de la frecuencia, los fasores tensiones se representan:
(261)
î# = À∡yº = À + ³0
(262)
îe = À∡
).yº
= (− −
(263)
î = À∡
.6yº
= (− +
)
.
√3
)À
.
)
.
√3
)À
.
Y su representación en el plano complejo:
Conexión de generadores.
Se utilizan dos formas de conexión de los generadores: una conexión estrella y una conexión delta.
En la primera, los inicios de fase se unen en un punto común conocido como “neutro” (ver figura).
–# , –e , –
~ w í
– ~ w (264)
Á# = î# , Áe = îe , Á = î ~ • w (265)
Á#e = Á# − Áe
Áe = Áe − Á
Á
#
= Á − Á#
• w í ( í)
96
Representación fasorial.
(266)
Á#e = 2B# 30º = √3Á#
Conclusión:
Los fasores tensiones de línea son √3 veces mayores que los de fases y los adelantan en 30º.
(267)
Áx = √3Á∠-3yº
– = –xíD|
Conexión Delta (Δ).
En este caso, el inicio de una fase se conecta al final de la otra. Daría la impresión de que estamos
cortocircuitando los terminales del generador, sin embargo, de la figura se ve que dado que el
sistema de tensiones es un sistema simétrico la diferencia de potencial entre los dos últimos
terminales por conectar es igual a cero, lo que nos indica que no hay un cortocircuito.
97
(268)
∅# ; ∅ç = î# + îe + î = 0
Para la conexión delta:
(269)
–| ≠ –xíD| ; Á| = ÁxíD|
Conexión generador-carga.
Se utilizan las siguientes conexiones:
1.
2.
3.
4.
5.
Estrella – Estrella con neutro
Estrella – Estrella sin neutro
Estrella – Delta
Delta – Delta
Delta – Estrella
Examinemos el primer caso.
98
Por Ohm:
(270)
IA = VA/ZA
(271)
IB = VB/ZB
(272)
IC = VC/ZC
(273)
IN = IA + IB + IC
Si las cargas están balanceadas:
(274)
ZA = ZB = ZC = Z = Z∠θ
(275)
–# = ∠ − ²
(276)
–e = ç ∠(−120~²)
(277)
– = ç ∠(−240~²)
î
ç
î
î
Por lo que:
(278)
IN = IA + IB + IC =
î -î -îŸ
ç∠±
=0
Sistema simétrico de corrientes.
99