UNIDAD No. 1 MATE IV, ANUALIDADES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA

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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ESCUELA DE AUDITORÍA, MATEMÁTICA IV
JORNADA FIN DE SEMANA
QUINTO SEMESTRE, AÑO 2023
LICDA. MILDRETH TACAM
UNIDAD No. 1 “RENTAS A PLAZO FIJO, VARIABLES REGULARES”
GENERALIDADES: se han estudiado las Anualidades a Plazo Fijo de Renta Constante,
pero es necesario conocer las Anualidades con la característica de Rentas Variables a
Plazo Fijo, en las cuales es preciso conocer los valores numéricos de cada una de las rentas
o bien conocer la regla mediante la cual es posible determinar su comportamiento.
CONCEPTO DE RENTA VARIABLE: es una anualidad, cuya serie de pagos no es
constante, diferenciándose los pagos uno de otro. Las Anualidades Variables, permiten las
clasificaciones de “IRREGULARES y REGULARES”, con base al comportamiento de la
renta.
ANUALIDADES VARIABLES IRREGULARES: son anualidades en la que la renta no
responde a ninguna ley matemática definida. Son irregulares en cuanto al valor de cada
renta, así como al intervalo de tiempo entre cada pago de renta.
Ejemplo:
Q160.
Q130.
Q175.
/
/
/
/
6 meses 1 año
9 meses
Q180.
/
2.4 años
ANUALIDADES VARIABLES REGULARES: son anualidades en las que el comportamiento
de la renta, observa consistentemente leyes matemáticas bien definidas.
Ejemplo:
/
1 año
Q100.
/
1 año
Q150.
Q200.
Q250.
/
/
/
1 año
1 año
En el curso, se estudiarán las Anualidades Variables Regulares.
CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES VARIABLES REGULARES:
1) Anualidades Variables Regulares en Progresión Aritmética
2) Anualidades Variables Regulares en Progresión Geométrica.
Con base al comportamiento de la renta, las Anualidades Variables Regulares, se clasifican
en: CRECIENTES y DECRECIENTES. Significa que los pagos de renta tienden a aumentar o
disminuir.
Dependiendo de la oportunidad del pago de la renta, las Anualidades Variables Regulares,
se clasifican en: VENCIDAS u ORDINARIAS, ANTICIPADAS o INMEDIATAS, y DIFERIDAS
VENCIDAS o DIFERIDAS ANTICIPADAS.
ANUALIDADES VARIABLES REGULARES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA: se les llama
así, porque cada pago de renta difiere de su inmediato anterior y posterior en una cantidad
constante, llamada “DIFERENCIA” (d).
2
3
6
Ejemplo: /
/
15
/
12
/
9
/
9
/
12
/
6
/
15
/
/ Creciente
d=3
3
/
/ Decreciente d=- 3
SIMBOLOGÍA:
B = Primer pago de la anualidad
d = Diferencia entre cada pago de renta
p = Número de pagos de renta en el año
n = Plazo o tiempo de la anualidad
i = Tasa efectiva de interés
j = tasa nominal de interés
m = Número de capitalizaciones de la tasa nominal en el año
S = Cálculo del Monto
A = Cálculo del Valor Actual
Y = Cálculo del período de diferimiento.
CASOS QUE SE APLICAN, CON BASE A LAS FÓRMULAS:
I. Un pago de renta en el año y tasa efectiva de interés
II. Un pago de renta en el año y tasa nominal de interés
III. Varios pagos de renta en el año y tasa efectiva de interés
IV. Varios pagos de renta en el año y tasa nominal de interés.
Las fórmulas están contenidas en el prontuario respectivo, siendo estas: Monto, Valor
Actual, Primer Pago y Diferencia. El nuevo prontuario contiene para su aplicación solo
fórmulas generales.
Pasos a seguir para el desarrollo de los problemas:
1. Exponer los datos correspondientes
2. Aplicar la fórmula general que corresponda
3. Incorporar los datos en la fórmula
4. Desarrollar la fórmula y obtener el resultado deseado.
NOTA: el cálculo del Monto, Primer pago y Diferencia en función del monto, solo puede ser
vencido o anticipado.
El cálculo del Valor Actual, Primer pago y Diferencia en función del valor actual, puede ser
vencido, anticipado, diferido vencido o diferido anticipado.
PARTE PRÁCTICA: Anualidades Variables Regulares en Progresión Aritmética.
Aplicaciones para el cálculo del Monto y Valor Actual, de anualidades vencidas, anticipadas
y diferidas:
Monto: (vencido creciente y anticipado decreciente)
Problema No. 1
Un arquitecto para poder remodelar su casa, inició a realizar depósitos monetarios en un
banco local, el cual reconoció la tasa del 8% anual de interés capitalizable cada 4 meses.
Los depósitos los efectuó al final de cada trimestre, durante el término de 5 años. El primer
depósito fue de Q20,000.00, y cada uno de los siguientes aumentó Q300.00 respecto a su
inmediato anterior. ¿Qué cantidad acumuló el arquitecto al final de los 5 años?
3
Problema No. 2
Juan Suárez necesita comprar un camión, para lograr su objetivo abrió una cuenta a plazo
fijo con Q50,000.00 en el Banco Norte hace 6 años. Seis meses después de realizado el
primer depósito de Q7,000.00, continúo con una serie de depósitos semestrales
anticipados, los depósitos disminuyen cada uno de su inmediato anterior en Q400.00. El
banco reconoce una tasa de interés del 10% anual con capitalización semestral. ¿Qué
cantidad logró acumular Juan Suárez para comprar el camión?
Valor Actual: (vencido creciente diferido, anticipado decreciente diferido y
anticipado creciente diferido)
Problema No. 3
Un trabajador del gobierno obtuvo un préstamo en el Banco Nacional, con las siguientes
condiciones para cancelarlo: abonos semestrales vencidos, durante 7 años, siendo el
primero de Q3,000.00, a efectuarse al final del mes 18 de concedido el préstamo, y cada
uno de los siguientes abonos aumentará en Q600.00. Por el financiamiento reconocerá el
12% anual de interés capitalizable cada trimestre. ¿A cuánto asciende el valor del préstamo
obtenido por el trabajador?
Problema No. 4
El señor Luis S. Roldán convino con una institución bancaria local en cancelar un préstamo,
por medio de 16 abonos semestrales anticipados. El primer abono será de Q10,000.00 y
cada uno de los siguientes disminuirá respecto a su inmediato anterior en Q500.00. El
primer pago lo hará efectivo al inicio del mes 19 de recibido el préstamo. Si reconoció el
13% anual de interés capitalizable cada 4 meses, ¿De cuánto fue el valor del préstamo que
recibió el señor Luis S. Roldán?
Problema No. 5
La señora Julia López, solicitó un préstamo al Banco Superior, el cual cancelará de la
siguiente forma: pagos trimestrales anticipados durante 5 años, el primero será de
Q5,600.00, y los siguientes aumentará cada uno en Q500.00 en relación a su inmediato
anterior. El banco aceptó que el primer pago lo realice al inicio del cuarto trimestre del
segundo año de recibido el préstamo. La tasa que el banco cobrará es del 14% anual de
interés capitalizable cada 2 meses. ¿Cuál es el valor del préstamo solicitado?
Aplicaciones para el cálculo del primer pago en función del Monto y Valor Actual, de
Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas:
Problema No. 1
Un CPA necesita reunir la cantidad de Q700,000.00 en un período de 6 años, para lo cual
efectuará una serie de depósitos sucesivos trimestrales vencidos, en un banco local, cada
depósito será menor a su antecesor en Q200.00; el banco ofrece una tasa del 9% anual de
interés con capitalización semestral. ¿Cuál será el valor del primer depósito que debe
efectuar el CPA?
4
Problema No. 2
El señor Alfonso Ruiz, obtuvo un préstamo en el Banco Integral, por valor de Q500,000.00
debe cancelarlo durante 5 años, por medio de pagos al inicio de cada cuatrimestre,
aumentando cada uno en relación de su inmediato anterior en Q450.00. El banco aplica la
tasa del 15% anual de interés capitalizable cada semestre. El primer pago lo realizará al
inicio del mes 16 de recibido el préstamo. ¿Por qué valor deberá hacer el primer pago del
préstamo el señor Ruiz?
ANUALIDADES VARIABLES REGULARES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA: son las
anualidades en las que cada renta varía en función de una cifra constante llamada “RAZÓN”
(r); por lo cual cualquier término, excepto el primero, puede obtenerse multiplicando su
inmediato anterior por la cifra constante.
Se clasifican en función del número de pagos de renta y capitalizaciones de la tasa de
interés en el año. Se aplican los cuatro casos conocidos. Atendiendo la oportunidad del
pago de renta, pueden ser vencidas, anticipadas, diferidas vencidas o diferidas anticipadas.
Con base a su comportamiento puede clasificarse en: CRECIENTES Y DECRECIENTES.
Su base de cálculo es la unidad (1).
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Ejemplo: /
8
/
32
/
16
/
/
Razón (r) creciente = 2 > 1
16
/
8
/
/
Razón (r) decreciente = 0.5 < 1
32
/
4
/
NOTA: cuando la razón de una anualidad variable regular en Progresión Geométrica es
creciente, siempre será mayor que la unidad y cuando es decreciente siempre será una
fracción decimal, o una cifra menor que la unidad.
En los enunciados de los problemas, la razón se expresa en forma porcentual. Ejemplo:
“CADA PAGO AUMENTA RESPECTO A SU INMEDIATO ANTERIOR EN EL 10%, COMO
ES CRECIENTE, A LA UNIDAD SE LE AGREGA O SUMA 0.10 YA ESTANDARIZADO EN
FORMA DECIMAL, SIENDO LA RAZON = 1.10”.
“CADA PAGO DISMINUYE RESPECTO A SU INMEDIATO ANTERIOR EN 10%, ES
DECRECIENTE Y A LA UNIDAD DE LE RESTA 0.10, SIENDO LA RAZON= 0.90”.
Fórmulas contenidas en el prontuario respectivo.
SIMBOLOGÍA:
B = Primer pago de la anualidad
r = Razón o cifra constante entre cada pago de renta
n = Plazo o tiempo de la anualidad
i = Tasa efectiva de interés
j = Tasa nominal de interés
m = Número de capitalizaciones de la tasa nominal en el año
p = Numero de pagos de renta en el año
y = Período de diferimiento
S = Cálculo del Monto
A = Cálculo del Valor Actual.
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PARTE PRÁCTICA: Anualidades Variables Regulares en Progresión Geométrica
Aplicaciones para el cálculo del Monto, Valor Actual y el Primer Pago de
anualidadesvencidas, anticipadas y diferidas:
Problema No. 1
Un empleado del sector empresarial realizó en su cuenta de depósitos monetarios del
Banco Alemán, un depósito por la cantidad de Q10,000.00, posteriormente y durante 4 años
efectuó depósitos cada 3 meses vencidos, cada uno aumentó en el 10% respecto a su
inmediato anterior. ¿Qué cantidad acumuló al final de plazo, si el banco reconoció una tasa
del 9% de interés anual capitalizable cada semestre?
Problema No. 2
Un padre de familia, con el propósito de tener reunida la cantidad de Q700,000.00 para
comprar una casa, realizó en el Banco Uno, un depósito inicial por valor de Q20,000.00 en
su cuenta de depósitos a plazo fijo, el banco reconoce el 12% de interés anual capitalizable
cada semestre, posterior al primero y durante 5 años hizo depósitos cuatrimestrales
anticipados, cada uno menor en el 11% del valor del inmediato anterior. ¿Cuánto le sobróo
le faltó al final del plazo con la cantidad que logró acumular?
Problema No. 3
La Constructora La Oriental, ofrece apartamentos financiados a 10 años plazo; para
reservación se debe pagar hoy un enganche de Q40,000.00 y el saldo será cancelado
mediante pagos semestrales anticipados, siendo el primero por valor de Q5,000.00 a pagar
al inicio del mes 13 de entregado el apartamento. Los siguientes pagos aumentarán en un
8% cada uno en relación a su inmediato anterior. Por el financiamiento se aplica la tasa de
interés del 15% anual capitalizable cada semestre. ¿A cuánto asciende el valor de contado
de cada apartamento?
Problema No. 4
Un trabajador agrícola vendió un terreno ubicado en la colonia El Maizal, Santa Rosa,
recibiendo Q80,000.00 de enganche y el saldo será pagado por medio de 10 abonos
semestrales vencidos, siendo el primero por valor de Q19,000.00 y los 9 restantes
disminuirá cada uno respecto a su inmediato anterior en el 12%. El primer pago lo recibirá
al final del quinto semestre de realizada la venta. Los pagos incluyen capital e intereses del
16% anual capitalizable cada 4 meses. ¿Cuál fue precio de venta del terreno?
Problema No. 5
La Asociación de Vecinos del Oeste, desea tener reunida dentro de 5 años la cantidad de
Q1,200,000.00, para poder construir albergue para las familias damnificadas por las
tormentas Eta e Iota, para lo cual realizará depósitos al final de cada semestre, cada uno
será el 90% de su inmediato anterior. ¿De cuánto debe ser el primer depósito a realizar, si
el Banco Comercial abonará el 17% anual de interés capitalizable cada 3 meses?
Problema No. 6
Don Julio Tequila, obtuvo un préstamo del Banco Equidad por valor de Q600,000.00, debe
cancelarlo en un plazo de 5 años por medio de pagos al inicio de cada 2 meses,
disminuyendo cada uno en relación de su inmediato anterior en el 7%. El banco aplica la
tasa del 17% anual de interés capitalizable cada 6 meses. El primer pago lo realizará al
inicio del décimo bimestre de recibido el préstamo. ¿Por qué valor deberá hacer el primer
pago del préstamo Don Julio Tequila?
6
CASOS ESPECIALES: problemas combinados, progresión aritmética y progresión
geométrica, cálculo de montos y valores actuales.
Problema No. 1
Un Inversionista, realizó depósitos semestrales anticipados en su cuenta de depósitos
monetarios del Banco Euro así: Q30,0000.00; Q32,000.00; Q34,000.00; Q36,000.00;
Q38,000.00 y Q40,000.00. A partir de hoy continuará realizando depósitos semestrales
vencidos en la misma cuenta durante 3 años, siendo el primer depósito Q45,000.00 y los
siguientes aumentarán en un 12% en relación al inmediato anterior. El banco reconoce una
tasa del 16% de interés anual con capitalización cada 3 meses. ¿Qué cantidad acumulará
al final del plazo en la cuenta de depósitos monetarios?
Problema No. 2
El Licenciado Felipe Suarez obtuvo un préstamo en el Banco Mundial, el que cancelará en
12 abonos semestrales anticipados, por las cantidades siguientes:Q15,000.00; Q15,500.00;
Q16,000.00; Q16,500.00; Q17,000.00; Q17,500.00; Q17,900.00; Q19,690.00; Q21,659.00;
Q23,824.90, Q26,207.39 y Q28,828.13. La tasa que reconocerá al banco es el 18% de
interés anual con capitalización cada 6 meses. ¿A cuánto asciende el valor del préstamo
obtenido?