S3AP ud 1 Los números y su utilidad Y SU UTILIDAD

Matemáticas Aplicadas 3º ESO
UNIDAD 1:
LOS NÚMEROS Y SU
UTILIDAD
I.E.S. Mata Jove
Matemáticas Aplicadas 3º ESO
Unidad 1: Los números y su utilidad
1. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
1.1 La recta real
1.2 Relación de orden y propiedades de los números reales
2. REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
3. INTERVALOS
4. NUMEROS RACIONALES
4.1 Fracciones equivalentes y fracciones irreducibles
4.2 Operaciones con fracciones
4.2.1 Suma y resta
4.2.2 Multiplicación y división
4.2.3 Operaciones combinadas
5. FRACCION GENERATRIZ DE UN NÚMERO RACIONAL
6. POTENCIAS
6.1 Potencias de exponente entero
6.2 Potencias de exponente natural
6.3 Potencias de exponente negativo
6.4 Potencias de exponente cero
6.5 Propiedades de las potencias
7. RAICES.RADICALES. RELACIÓN CON POTENCIAS
8. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
9. NOTACIÓN CIENTÍFICA
10. REDONDEO DE NÚMEROS REALES: ERRORES Y APROXIMACIONES
10.1
Método común para redondear
10.2
Redondeo en las cifras decimales
10.3
Redondeo en las cifras enteras
10.4
Redondeo en cifras significativas
10.5
Error absoluto, relativo y porcentaje
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Unidad 1: Los números y su utilidad
1. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
Números naturales, N = {0,1,2,3,4,...}
Números enteros, Z = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} Los números naturales están incluidos
en los números enteros, N  Z, esto quiere decir que cualquier número natural es también
un número entero.
¿Podrías razonar si puede afirmarse lo contrario?
Números racionales, Q. Este conjunto está formado por todos los números que pueden
a
ser expresados como una fracción
,donde a y b son números enteros y b  0 . Entonces
b
se tiene que, N  Z  Q, es decir, los números naturales y los enteros son también números
racionales. Los números racionales son también los siguientes números decimales:
• números decimales exactos: la expresión decimal termina después de un número
finito de dígitos.
• números decimales periódicos: la expresión decimal tiene un número infinito de cifras
que se repiten de forma periódica.
Números irracionales, I. Este conjunto está formado por todos los números decimales que
tiene infinitas cifras en su expresión decimal sin ningún patrón de repetición.
Se cumple que IQ=, es decir, son conjuntos disjuntos, no tienen elementos comunes.
Números reales, R = Q  I, es decir, el conjunto de los números reales es la unión del
conjunto de los números racionales y del conjunto de los números irracionales. Por lo tanto
tenemos que N  Z  Q  R.
3
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Unidad 1: Los números y su utilidad
Por ejemplo, los números reales son números como los siguientes:
1
12´38 -0´8625
3/4
√2
1998
De hecho:
Podríamos pensar que cualquier número es un número real ya que los números reales
incluyen a los siguientes números:
Números enteros (-3,-2,-1,0,1,2,3,4, etc)
Números racionales (3/4, 0.125, 0.333..., 1.1, etc)
Números irracionales ( π, √3, etc )
Entonces ... ¿qué NO es un número real?
√-1 (la raíz cuadrada de -1) no es un
número real, es un número
imaginario.
 El infinito no es un número real.
¿Por qué son llamados "números reales"? Parecerá una tontería, pero se llaman así
porque no son números imaginarios.
Es decir, los números reales no tenían un nombre antes de que los números imaginarios
fueran "inventados", cuando esto ocurrió surgió la necesidad de llamarlos de otra forma
para diferenciarlos, de ahí ese nombre.
1.1
La recta real
La recta real es una "simple" recta horizontal.
Se elige un punto en la recta para ser el "origen",los puntos a la derecha del origen serán
los positivos y los situados a la izquierda del origen serán los negativos.
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Unidad 1: Los números y su utilidad
Se elige una distancia como "1", y los números enteros se marcan todos a esa distancia
unos de otros: {1, 2, 3, ...}, hacemos lo mismo en la parte negativa: {-1, -2, -3, ...}
El resto de puntos de la recta real son:
• Números racionales (como 20/9)
• o irracionales (como π)
Pero no se puede marcar el infinito ni ningún número imaginario.
Los números reales no se llaman así porque expresen valores de algo real.
En matemáticas utilizamos los números puros, es decir, cuando escribimos
0´5, queremos expresar exactamente la mitad, pero en el mundo real no
encontramos nunca la mitad exacta de algo (intenta cortar una manzana
exactamente en dos partes iguales).
1.2 Relación de orden y propiedades de los números reales
Para cualesquiera par de de números reales distintos, tenemos que:
a es menor que b, y se escribe a<b, si b-a es positivo.
a es mayor que b, y se escribe a>b, si b-a es negativo.
➔El número "0" no tiene inverso.
➔El elemento neutro para la suma en único. El elemento neutro para el producto es único.
5
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Unidad 1: Los números y su utilidad
➔Todo número real (salvo el cero) tiene un único opuesto/recíproco.
Ejercicio 1:
¿Cuál es el conjunto de números más pequeño al que pertenecen estos números?

2
−
81
4
1
15
3
3+
− 3 27
5
6
3 − 49
3,711711711…
16 − 2
0,0912937919…
4
0,10110111011110…
1+ 3
Ejercicio 2:
Ordena los siguientes números de menor a mayor.

1 364
a. π + ;
; 3,6 4;
2 100
b.
13
;
2
− 7 + 9,549;
364 ; − 3,64

2,5; 2,549;
c.
d.
e.
6
127
50
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Ejercicio 3:
Encuentra en inverso y el opuesto de los siguientes números reales:
Ejercicio 4
Escribe un número irracional entre cada par de números:
1 y 2
0 ' 2 y 0 ' 25
• y 0 ' 475
0 ' 47
•
2'3 y 2'35
Ejercicio 5
Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Razona tu respuesta.
a) Hay números enteros
que no son racionales.
b) Hay números racionales
que no son números
reales.
c) Un número real siempre
es racional o irracional.
d) Todo número decimal es
un número real.
e) Todo número decimal
puede expresarse como
una fracción
f) Todo número real es un
número racional.
g) Un número irracional es
también un número
real.
h) Existen números enteros
que son también
irracionales.
i) Existen números reales
que son también
números racionales.
j) Todo número decimal es
un número racional.
k) Un número racional es
también un número
entero.
l) Los números
irracionales tienen
infinitas cifras decimales.
7
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Unidad 1: Los números y su utilidad
m) Todo número racional
tiene una expresión
decimal con infinitas
cifras decimales con
algún periodo.
n) Todo número racional
puede expresarse con
una fracción.
2. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES
La recta real es una línea recta donde cada punto se corresponde con un número real y
cada número real se corresponde con un punto de la misma.
Los números reales llenan completamente la recta.
8
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Para representar números racionales Para representar números irracionales
utilizamos el teorema de Thales.
expresados como raíces cuadradas,
utilizamos el teorema de Pitágoras.
Ejercicio 6
Representa, de forma exacta en la recta numérica, utilizando el Teorema de Thales, los
siguientes números racionales.
9
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Unidad 1: Los números y su utilidad
Ejercicio 7
Representa, de forma exacta en la recta numérica, utilizando el Teorema de Pitágoras, los
siguientes números irracionales.
3. INTERVALOS
Los intervalos son conjuntos de números reales que se corresponden con segmentos o
semirrectas de la recta real.
En la siguiente tabla se presentan todos los tipos de intervalos que hay:
Intervalos
limitados o
finitos
Intervalos
ilimitados o
infinitos
(con un
extremo
finito a
izquierda o a
derecha)
Abierto
(a,b )
Cerrado
a,b 
{xR / a ≤ x ≤ b}
)
{xR / a ≤ x < b}
Semiabierto o
semicerrado
 a,b
{xR / a < x < b}
(a,b 
{xR / a < x ≤ b}
Abierto
(a,+ )
{xR / a < x }
Semirrecta
abierta
(−,b )
{xR / x < b}
Cerrado
 a,+
)
{xR / a ≤ x }
Semirrecta
cerrada
(−,b 
{xR / x ≤ b}
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Ejercicio 8
Completa la tabla
Descripción
Intervalo
Desigualdad
Representación gráfica
Números mayores que 2 y
menores o iguales que 5
(−7,15 )
x3
Números menores que -3
 4,+
)
x0
Ejercicio 9
Escribe dos números racionales y otros dos irracionales contenidos en el intervalo [0,4].
Ejercicio 10
Completa la tabla.
Descripción
Intervalo
Desigualdad
4  x  15
−2  x
 −3,6 
11
Representation gráfica
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Ejercicio 11
Representa en la recta real las siguientes operaciones entre intervalos.
(3,5) (4,8 
 3,+  0,5
) ( )
 4,9   5,15 
(−,1) (4,5)
 −1,1  −1,3 
 −5,3    3,6 
(−4,4 ) (−2,2 
(−,1) (0,+ )
(−7,4    −2,10)
(−,9   9,+ )
(
4. NÚMEROS RACIONALES
Definición: El conjunto de los números racionales es el formado por todos aquellos
números que se pueden escribir como fracciones, es decir como cociente de números
enteros con denominador no nulo.
Se representan mediante el siguiente conjunto:
𝑎
y sus elementos son del tipo 𝑏
donde a es el numerador y b el denominador.
El denominador b indica en cuántas partes iguales dividimos la unidad y el numerador a
indica cuántas de esas partes tomamos.
También pueden expresarse utilizando números decimales.
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Unidad 1: Los números y su utilidad
Los números racionales, cuando están en forma de fracción, pueden simplificarse, además
de sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse, teniendo en cuenta siempre la jerarquía de
las operaciones.
4.1 Fracciones equivalentes y fracciones irreducibles
Definición: Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número racional.
Dos fracciones son equivalentes si cumplen la siguiente condición:
Ejemplo:
3
4
es equivalente a
6
8
ya que verifican la condición anterior:
Obtención de fracciones equivalentes:
𝒂
Dada una fracción 𝒃 podemos obtener fracciones equivalentes de dos modos:
• Una forma: Multiplicando numerador y denominador por el mismo número. Es lo
que llamamos ampliación.
• Otra forma: Dividiendo numerador y denominador por el mismo número. Es lo que
conocemos por simplificación.
306
153
51
17
= (𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑜𝑠) =
= (𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠) =
= (𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠) =
54
27
9
3
Observa que un número racional se puede representar por infinitas fracciones, todas ellas
equivalentes entre sí.
Definición: cuando una de esas fracciones que representan el número racional no se
puede simplificar, se llama fracción irreducible.
4.2 Operaciones con fracciones
4.2.1 Suma y resta
Para sumar fracciones ambas deben tener el mismo denominador:
4 11 4 + 11 15
+
=
=
=3
5 5
5
5
Para sumar y restar números racionales utilizamos su expresión fraccionaria. Para
efectuar las sumas y restas de fracciones necesitamos reducir a común denominador, lo
que significa conseguir fracciones equivalentes a las implicadas pero que tengan el
mismo denominador.
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5
7
Veámoslo con un ejemplo: Calcular 4 - 6
• Si los denominadores son el mismo, se opera como en ℤ.
• Si los denominadores son distintos tenemos que hallar el mínimo común múltiplo entre
ellos. En nuestro caso, 4 ≠ 6 luego calculamos el mcm, recordemos que es el mínimo de
los múltiplos comunes: mcm (4,6) = 12
• Las dos nuevas fracciones tendrán como denominador ese mcm, en nuestro caso 12.
• Para hallar el numerador de cada nueva fracción se divide el nuevo denominador (el
mcm. que habíamos hallado) entre el antiguo denominador y el resultado se multiplica por
el antiguo numerador.
En nuestro caso la primera fracción: 12:4=3 y 3·5=15
La segunda fracción: 12:6=2 y 2·7=14
• La resta de fracciones queda ahora:
• Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, podemos hacer la resta:
restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador:
Como ves, el resultado tiene el mismo denominador y sólo hemos sumado los
numeradores.
Pero si los denominadores son distintos, tenemos que reducir las fracciones previamente a
denominador común:
8 3 32 15 32 − 15 17
− =
−
=
=
5 4 20 20
20
20
4.2.2 Multiplicación y división
Para multiplicar fracciones, multiplicaremos los numeradores y los denominadores:
5 3 5 · 3 15
· =
=
7 8 7 · 8 56
Para dividir, se hará multiplicando los términos en forma de cruz, o bien multiplicando la
primera por la inversa de la segunda:
5 3 5 8 5 · 8 40
: = · =
=
7 8 7 3 7 · 3 21
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4.2.3 Operaciones combinadas
Recuerda la jerarquía de operaciones :
• Primero, corchetes y paréntesis.
• Segundo, potencias y raíces.
• Tercero, multiplicaciones y divisiones.
• Cuarto, sumas y restas.
Notas: 1. Si hay varias operaciones de un nivel las realizamos de izquierda a derecha.
2. Los paréntesis que solo se usan para separar signos no participan en esta jerarquía.
3. Si tenemos una barra de fracción y hay operaciones en el numerador y en el
denominador, es como si tuviéramos arriba un paréntesis y abajo otro, es decir, hay que
resolver el numerador y el denominador primero.
3 5
3
3 5 8 3
3 5 5
+ · (1 − ) = (𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟é𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠) = + · ( − ) = + ·
7 7
8
7 7 8 8
7 7 8
3 5 5
3 25 24 25 49
+ · = (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟) = +
=
+
=
7 7 8
7 56 56 56 56
Ejercicio 12: ¿A qué fracción representa cada uno de los siguientes gráficos?
Ejercicio 13: Escribe en forma decimal los siguientes números racionales que están
expresados en forma de fracción. Señala además qué tipo de número racional obtienes
en cada caso (ℕ, ℤ, decimal exacto, decimal periódico puro, decimal periódico mixto)
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Ejercicio 14 :
Ejercicio 15 :
Ejercicio16
:
16
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Ejercicio 17: Amplifica para obtener tres fracciones equivalentes a cada una de las
dadas:
𝟑
𝟐
𝟏
,
,
𝟓
𝟑
𝟒
Ejercicio 18: Simplifica en cada caso hasta obtener la fracción irreducible:
2 10 5 18 5 6 21 22 30 20 56 200 300 165
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
4 14 15 21 25 27 28 33 45 60 80 800 140 330
18
Ejercicio 19: Marta gastó 40 de su hucha, Carlos
quiénes gastaron una proporción menor?
3
8
e Isabel
Ejercicio 19 : Encuentra un número racional comprendido entre
otro número racional comprendido entre −
5
9
y
−
7
5
9
10
25
y
, ¿quién o
7
11
, y encuentra
12
Ejercicio 20: Realiza las siguientes operaciones
Ejercicio 21: Una deuda se ha abonado en tres plazos. En el primero se han pagado los
tres séptimos, en el segundo la quinta parte y en el tercero el resto.
a) ¿Qué fracción de la deuda se abonó en el tercer plazo?
b) Si la deuda es de 20000 €, ¿qué cantidad se ha pagado en el tercer plazo?
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Ejercicio 22: Realiza las siguientes operaciones:
Ejercicio 23: Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones con fracciones:
Ejercicio 24: ¿Cuántas botellas de 3/4 de litro se pueden llenar con una garrafa de 50
litros?
Ejercicio 25: A Luis le encanta cocinar, usa cinco séptimos de kilo de harina para
elaborar una tarta, ¿cuántos kilos necesitará para elaborar cuatro tartas y media?
Ejercicio 26: Álvaro dona 1/9 de su sueldo, ahorra 2/5 del resto, y lo demás lo gasta. Si
se gasta 600 € ¿Cuánto dinero cobra?
Ejercicio 27: Resuelve las siguientes operaciones combinadas:
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Ejercicio 28: Resuelve las siguientes operaciones combinadas:
Ejercicio 29: Resuelve las siguientes operaciones combinadas:
Ejercicio 30: En un centro escolar hay 657 estudiantes. Si el número de chicos es 4/9 del
total, ¿cuántos chicos y cuántas chicas hay en el centro?
Ejercicio 31: Si he leído los 6/7 de las 252 páginas de un libro, y después leo los 2/3 de
las páginas que me quedan, ¿cuántas páginas me faltan para acabar el libro?
Ejercicio 32: Marta ha utilizado 3/5 del dinero que tiene en comprar unos discos, y 1/2 de
lo que le quedaba, en un regalo para su hermana.
a) ¿Qué fracción de dinero ha gastado?
b) Si le quedan 6 €, ¿qué dinero tenía al principio?
Ejercicio 33: De una garrafa de agua se han sacado 3/7; y una hora después, la mitad de
lo que quedaba. ¿Qué fracción del total de agua se ha consumido?
Ejercicio 34: De un trozo de cuerda se han cortado 2/5 del total, y ha quedado un trozo
de 21 cm. ¿Cuál era la longitud de la cuerda?
19
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Ejercicio 35: Marta ha utilizado 3/5 del dinero que tiene en comprar unos discos, y 1/2 de
lo que le quedaba, en un regalo para su hermana.
a) ¿Qué fracción de dinero ha gastado?
b) Si le quedan 6 €, ¿qué dinero tenía al principio?
5. FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NUMERO
RACIONAL
Para encontrar la expresión decimal de un número racional
a
solo debes hacer la división
b
a÷b.
Pero, si tienes un número en forma decimal y quieres expresarlo como un número racional,
hay que diferenciar varios casos, mira estos ejemplos, donde se indica el procedimiento en
cada caso.
Enteros
Decimales
exactos
3=
3
−7
0
, −7=
, 0=
1
1
1
4 '7 =
47
142 71
−245
49
, 1' 42 =
=
, − 0 ' 245 =
=−
10
100 50
1000
200
Números decimales periódicos puros:
̂ . Consideramos
𝟕´𝟐𝟑
̂ = 𝟕´𝟐𝟑𝟐𝟑𝟐𝟑 …; entonces
N= 𝟕´𝟐𝟑
100N = 723´23232323...
Restamos ambas expresiones 100N-N = 716  99N = 716  N =
Decimales
periódicos
Números decimales periódicos mixtos:


0´214 . Consideramos
N = 0´214 = 0´214444... ; entonces
100N=21´4444...
y 1000N=214´4444...
Restamos ambas expresiones1000N-100N=193 900N=193 
193
N=
900
20
716
99
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Sin embargo, hay un tipo de número decimal que no se puede expresar en forma de
fracción, son los que hemos llamado irracionales.
Los irracionales más conocidos son 𝜋, √2, 𝑒, el número aúreo.. pero hay muchísimos más,
por ejemplo, cualquier raíz cuyo resultado sea decimal o los números del tipo:
32,01001000100001 …
Efectivamente, los puntos suspensivos indican que hay infinitos decimales, pero no hay
período, por lo tanto, es irracional y no se puede poner en forma de fracción.
Ejercicio 36: Expresa los siguientes números racionales como fracciones.


̂
a) 3,75
b) 3, 75
c) 3,9
d) 1,9
Ejercicio 37: Realiza las siguientes operaciones, expresando previamente los números
decimales como fracciones. Expresa el resultado como una fracción irreducible.


b) 1,25 · 2,5
a) 1,3 + 3,4
Ejercicio 38 : ¿Cuál es el vigésimo sexto decimal en la expresión decimal del número
racional
128
?
9999
Ejercicio 39: Expresa los siguientes números racionales como fracciones.
a) 0,96
̂
b) 0, 96
̂
c) 0, 196
̂
d) 3,675

e) 0,9
Ejercicio 40: Realiza las siguientes operaciones, expresando previamente los números
decimales como fracciones. Expresa el resultado como una fracción irreducible.
Ejercicio 41: Realiza las siguientes operaciones, expresando previamente los números
decimales como fracciones. Expresa el resultado como una fracción irreducible.
6. POTENCIAS
6.1 Potencias de exponente entero
Consideramos las potencias 𝑎𝑛 de base entera a y exponente entero n . Recordemos que:
Recordemos que:
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6.2 Potencias de exponente natural
6.3 Potencias de exponente negativo
6.4. Potencias de exponente cero
Cualquier potencia elevada a 0 es 1.
6.5. Potencias de exponente uno o menos uno
Cualquier potencia elevada a 1 da la misma base: a1 = a y (-a)1 = -a.
Ejemplos: 91 =9 y (-9)1 =-9
Cualquier potencia elevada a -1 da el inverso de la base:
Observa que el signo del resultado va a depender del signo de la base y de la paridad del
exponente, NUNCA del signo del exponente.
Por ejemplo:
Si la base es negativa y el exponente par, el resultado es POSITIVO
Si la base es negativa y el exponente impar, el resultado es NEGATIVO
22
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NOTA: Si suprimimos los paréntesis el significado es distinto, indicamos que la cantidad
que va detrás es negativa, veamos:
6.6. Propiedades de las potencias
Para recordar de manera simple las propiedades, consideraremos que a y b pueden ser
negativos o positivos, al igual que los exponentes n y m. Son cinco propiedades:
1. Potencia de un producto (mismo exponente):
2. Potencia de un cociente (mismo exponente):
3. . Producto de potencias de la misma base:
4. Cociente de potencias de la misma base:
23
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5. Potencia de una potencia:
Las potencias con fracciones tienen las mismas propiedades que las que ya has visto con
números naturales y enteros, aunque con alguna particularidad.
𝑎 𝑛
Una potencia de un número racional de exponente positivo (𝑏 ) , es el producto del
𝑎
número 𝑏 por sí mismo 𝑛 veces. El resultado equivale a elevar el denominador y el
denominador al exponente 𝑛.
𝑎 𝑛 𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎𝑛
( ) = · · · … 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠. . .· = 𝑛
𝑏
𝑏 𝑏 𝑏
𝑏 𝑏
𝑎 −𝑛
Una potencia de exponente negativo (𝑏 )
exponente.
, se invierte la fracción y se cambia el signo del
𝑎 −𝑛
𝑏 𝑛 𝑏𝑛
( ) =( ) = 𝑛
𝑏
𝑎
𝑎
Ejercicio 42: Calcula las siguientes potencias de números racionales:
3 3
3 0
a) (4) =
3 −3
b) ( )
4
e) (4) =
3 1
=
f) ( ) =
4
3 3
3 −4
c) (− 4) =
g) (− 4)
3 4
3 −1
d) (− 4) =
h) (− 4)
Para poder operar con potencias, necesitamos saber que:
24
=
=
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Misma base
Mismo exponente
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Unidad 1: Los números y su utilidad
3 5 3 3
3 5+3
3 8
( ) ·( ) = ( )
(
= )
4
4
4
4
5
3
5−3
3
3
3
3 2
( ) :( ) = ( )
=( )
4
4
4
4
5
5
5
5
3
6
3 6
18
9 5
( ) ·( ) =( · ) = ( ) = ( )
4
5
4 5
20
10
5
5
5
5
3
6
3 5
15
5 5
( ) :( ) = ( · ) = ( ) = ( )
4
5
4 6
24
8
6
3 5
3 5·6
3 30
[( ) ] = ( ) = ( )
4
4
4
Potencia de potencia
Ejercicio 43: Calcula manualmente el valor de las siguientes potencias:
a) 2 10
b) (-5)3
c) (-2)0
d) (−1) 20
e) (−1) -37
f) 4 -2
g) 105
h) (-1)-6
i) 10 – 8
j) (−3) -1
k) (−6) -3
l) (−10) -7
m) (-10)-6
n) 5-1
Ejercicio 44: Encuentra el valor x desconocido, x puede ser positivo o negativo según el
caso o las dos cosas, incluso en algún caso puede tener muchos valores:
a) 10x =1000
b) 2 x =32
c) 3 x= 1/9
d) 2 x = 1/4
e) (−6) x = 36
f) x -3 = −1000
g) x 4 = 16
h) x -2 = 1/25
i) 2 -5 = x
j) (−3) x = −3
k) (−7) x = 1
l) (−1) x = 1
m) x 0 = 1
n) (−1) x = −1
o) 7 x = 1/49
p) (−3) x = -1/27
Ejercicio 45: Utiliza la previamente la propiedad potencia de un producto hacia adelante
o hacia atrás según corresponda y luego calcula manualmente:
25
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Ejercicio 46: Utiliza la previamente la propiedad potencia de un cociente y luego calcula
manualmente:
Ejercicio 47: Utiliza la previamente las propiedades producto de potencias de la misma
base o cociente de potencias de la misma base y luego calcula manualmente:
26
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7. RAÍCES. RADICALES. RELACIÓN CON
POTENCIAS.
De manera general:
• Si a > 0
o Si n par, hay dos raíces reales con el mismo valor absoluto y signos opuestos.
o Si n impar, hay una raíz real
• Si a = 0, hay una única raíz que es 0, independientemente de la paridad de n.
• Si a< 0
o Si n par, no hay ninguna raíz real, pues no hay valores reales que cumplan bn = a.
o Si n impar, hay una raíz real.
27
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Unidad 1: Los números y su utilidad
Ejercicio 48 :Aplicando las propiedades de los radicales, expresa como una sola raíz:
Ejercicio 49: Un chalé está edificado sobre una parcela cuadrada de 5 625 m2 de área.
¿Cuánto mide el lado de la parcela?
Ejercicio 50: El presupuesto para alicatar las cuatro paredes de una cocina es de 900 €.
Si las paredes son cuadradas y nos cobran a 25 € el metro cuadrado, ¿cuánto mide el lado
de cada pared?
Ejercicio 51: Un parque cuadrado, que tiene de superficie 7,84 ha, está plantado de pinos
perfectamente alineados y distribuidos en filas y columnas. Si cada pino ocupa 49 m2,
¿cuántos pinos hay en cada fila?
( 1 ha = 10000 m2 )
Ejercicio 52: El suelo de una cocina es cuadrado y está formado por 81 losas cuadradas
de 30 cm por 30 cm. Halla la medida del lado de la cocina y su área.
Ejercicio 53: Una parcela es cuadrada, y la medida de su área es 6 400 m2. Halla el área
de otra parcela cuyo lado sea el doble.
28
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8. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
El valor absoluto de un número ...
... solo nos dice cómo de lejos está ese número de cero, o lo que es lo mismo, la
distancia entre ese número y el cero.
Por ejemplo, el valor absoluto de 6 o de -6 :
"6" está a una distancia 6 de 0,
y "−6" está también a una distancia 6 de 0.
Por lo que el valor absoluto de 6 es 6,
y el valor absoluto de −6 es también 6
Más ejemplos:
• El valor absoluto de -9 es 9
• El valor absoluto de 3 es 3
• El valor absoluto de 0 es 0
• El valor absoluto de -156 es 156
¡No negativos!
En la práctica el "valor absoluto" borra el signo negativo de los números negativos y deja
como están a los números positivos ( y al cero).
Símbolo del valor absoluto
¿Cómo escribimos en matemáticas el valor absoluto de un número?
Ponemos el número entre "|" (llamadas barras) como en los siguientes ejemplos:
|−5| = 5
|7| = 7
En ocasiones también se escribe "abs()",donde entre los paréntesis escribimos el número
del que queremos calcular su valor absoluto, abs(−1) = |−1| = 1
Si dentro del valor absoluto hay alguna operación, se realiza primero la operación y se
calcula el valor absoluto del resultado:
|8−3| = 5
|3−8| = 5
(3−8 = −5, y |−5| = 5)
(8−3 = 5)
29
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9. NOTACIÓN CIENTÍFICA
La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños de
forma abreviada, escribiéndolos de la forma 𝑎 · 10𝑛 , donde a es mayor o igual que 1 y
menor que 10.
• Para expresar 1.500.000 en notación científica, descomponemos el número como
1′ 5 · 1.000.0000 = 1′ 5 · 106 (el exponente indica que hay 6 cifras después del 1)
• Para expresar 0’0000015 en notación científica, descomponemos el número como
1′ 5
1.000.0000
= 1′ 5 · 10−6 (el exponente indica que el 1 es la sexta cifra decimal)
Para multiplicar o dividir números en notación científica, operaremos las partes decimales
y las potencias por separado, así:
(2′3 · 106 ) · (1′2 · 103 ) = (2′ 3 · 1′2) · 106+3 = 2′ 76 · 109
O por ejemplo:
(3′1 · 108 ): (5 · 1013 ) = (3′ 1: 5) · 108−13 = 0,62 · 10−5 = 6′ 2 · 10−6
Para sumar o restar números científicos, ambos deben tener la misma potencia de 10:
(2′3 · 106 ) + (1′2 · 105 ) = (2′3 · 106 ) + (0′12 · 106 ) = (2′ 3 + 0′12) · 106 = 2′ 42 · 106
Fíjate que 1′2 · 105 = 0′12 · 106 pues si dividimos la parte decimal entre 10, tenemos que
multiplicar por la misma cantidad la potencia, para seguir teniendo el mismo número.
Ejercicio 54: Escribe los números siguientes con todas sus cifras:
a) 4 · 107
b) 5 · 10– 4
c) 9,73 · 108
d) 8,5 · 10–6
e) 3,8 · 1010
f) 1,5 · 10–5
Ejercicio 55: Escribe estos números en notación científica:
a) 13 800 000
b) 0,000005
c) 4 800 000 000
30
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d) 0,0000173
Ejercicio 56: Expresa en notación científica.
a) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km.
b) Caudal de una catarata: 1 200 000 l/s.
c) Velocidad de la luz: 300 000 000 m/s.
d) Emisión de CO2 en un año en España: 54 900 000 000 kg.
Ejercicio 57: Calcula con lápiz y papel, expresa el resultado en notación científica y
compruébalo con la calculadora.
a) (3 · 105) · (2 · 106)
b) (2 · 10–8) · (1,5 · 1012)
c) (4 · 108) + (5 · 107)
d) (4 · 10–3) – (5 · 10– 4)
e) (8 · 1011) : (5 · 103)
f) (8,5 · 10–6) : (2 · 104)
Ejercicio 58 : Expresa en notación científica y calcula.
Ejercicio 59: La velocidad de la luz es 3 · 108 m/s aproximadamente.
a) ¿Qué distancia recorre la luz del Sol en un año?
b) ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a Plutón? (Distancia del Sol a Plutón: 5,914 · 106
km).
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Unidad 1: Los números y su utilidad
10. REDONDEO DE NÚMEROS REALES:
ERRORES Y APROXIMACIONES
Al redondear un número en ocasiones reducimos el número de dígitos o cifras del número
intentando conservar un valor similar.
El valor obtenido es menos preciso, pero más sencillo para su uso.
Ejemplo: 73 se redondea en las decenas a 70, por que 73 está más cerca de 70 que de
80.
10.1
Método común para redondear
Hay distintos métodos para redondear, pero aquí sólo veremos el más utilizado hoy en día...
Cómo redondear un número:
1. Se decide cuál es la última cifra o dígito que se quiere mantener.
2. Dejamos la misma cifra en esa posición si la siguiente tiene un valor inferior a 5.
(redondeo por defecto)
3. Incrementamos en una unidad esa cifra si la siguiente tiene un valor igual o
superior a 5.(redondeo por exceso)
Ejemplo 1: Redondear 74 a la decena.
• Queremos mantener el "7" en la posición de las decenas.
• La cifra siguiente (unidades) es "4", que es menor a 5, por lo que dejamos como
cifra en las decenas el "7".
Respuesta: 70
Ejemplo 2: Redondear 86 a la decena.
• Queremos mantener el "8"
• La cifra siguiente es "6",igual o mayor que 5, por lo que aumentamos una unidad
al "8" que pasa a ser "9"
Respuesta: 90
Pero: ¿Por qué con el "5" se aumenta una unidad?
Podríamos pensar que el 5 está en el medio y que podría aumentarse o no, pero tenemos
que pensar que las posibles cifras son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Si las dividimos en dos "equipos" con la misma cantidad de jugadores en cada uno:
32
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0,1,2,3,4
⏟
5,6,7,8,9
⏟
𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑜 "𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜" 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑜 "𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎"
10.2 Redondeo en las cifras decimales
Como antes, primero hemos de saber en qué cifra estamos redondeando: décimas,
centésimas, milésimas,etc, o en su defecto conocer el número de cifras decimales que
queremos mantener.
Ejemplos
Porque ...
3.1416 se redondea a las centenas por 3.14
... la siguiente cifra (1) es < 5
1.2635 se redondea a las decenas por 1.3
... la siguiente cifra (6) es ≥ 5
1.2635 se redondea con tres cifras decimales
... la siguiente cifra (5) es ≥ 5
(a las milésimas) por 1.264
10.3 Redondeo en las cifras enteras
Primero debemos saber en qué cifra se redondea (unidades, decenas, centenas,etc.)
En este caso el resto de cifras a la derecha de la elegida se sustituyen por cero.
Ejemplos
Porque ...
134´9 se redondea a las decenas por 130
... la siguiente cifra (4) es < 5
12690 se redondea a los millares por 13000
... la siguiente cifra (6) es ≥ 5
1´239 se redondea a las unidades por 1
... la siguiente cifra (2) es < 5
10.4 Redondeo con Cifras Significativas
Para redondear a "tantas" cifras significativas, debemos contar esas cifras desde la
izquierda a la derecha del número y después se redondea fuera de ellas.
☺J☺: Notar que si el número es del tipo 0´00...0N, esos ceros no se cuentan como cifras
significativas porque sólo nos dicen cómo es el número de pequeño.
Ejemplos
Porque ...
33
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Unidad 1: Los números y su utilidad
1.239 se redondea a 3 cifras significativas por
... la cifra siguiente (9) es ≥ 5
1.24
134.9 se redondea a 1 cifra significativa por
100
... la cifra siguiente (3) es < 5
0.0165 se redondea a 2 cifras significativas
por 0.017
... la cifra siguiente (5) es ≥ 5
Si la aproximación es mayor que el valor original, se dice aproximación por exceso.
Si la aproximación es menor que el valor original, se dice aproximación por defecto.
Error?
No ... no es que tu medición sea errónea... tiene que ver con la
precisión.
¡Los instrumentos de medida no son exactos!
10.5 Error Absoluto, Relativo y en Porcentaje
El Error Absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor medido
o aproximado.
Ea = Error Absoluto = |valor real – valor aproximado|
Pero ... ¡cuando medimos no conocemos el valor real! En este caso calcularemos el mayor
error posible.
El Error Relativo es el cociente del Error Absoluto y el Valor Real, como no solemos
conocer el valor real, utilizaremos el Valor Medido o Aproximado.
Er = Error Relativo=
Error Absoluto
Valor Aproximado o Medido
El Porcentaje de Error no es más que el Error Relativo expresado como porcentaje.
Ejemplo 1: Medimos una valla obteniendo una medida de 12.5 metros de largo con una
precisión de 0´1 metros, ¿qué quiere decir esto? que aunque nuestra medida es de 12´5,
realmente la longitud de la valla está entre 12´45 y 12´55 metros.
Se puede expresar del siguiente modo:
Longitud = 12.5 ±0.05
Entonces:
Error Absoluto= 0.05 m
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Unidad 1: Los números y su utilidad
Error Relativo =
0.05 m
= 0.004
12.5 m
Porcentaje de Error = 0.4%
Ejemplo 2: Medimos la temperatura con un termómetro y nos da un valor de 38ºC.La
precisión del termómetro es de 2ºC (es decir, la temperatura real podría estar entre 37º y
39º).
Temperatura = 38 ±1°
Entonces:
Error Absoluto = 1°
1°
Error Relativo =
= 0.0263...
38°
Porcentaje de Error = 2.63...%
Ejemplo 3: Medimos la altura de una planta y obtenemos una medida de 80 cm con 1cm
de precisión (es decir, la verdadera altura de la planta podría estar entre 79´5 cm y 80´5
cm)
Altura = 80 ±0.5 cm
Entonces:
Error Absoluto = 0.5 cm
0.5 cm
Error Relativo=
= 0.00625
80 cm
Porcentaje de Error = 0.625%
Ejercicio 60 : Aproxima, en cada caso, al orden de la unidad indicada:
a) 2,3148 a las centésimas.
b) 43,18 a las unidades.
c) 0,00372 a las milésimas.
d) 13 847 a las centenas.
e) 4 723 a los millares.
f) 37,9532 a las décimas.
Ejercicio 61: Expresa con dos cifras significativas las cantidades siguientes:
a) Presupuesto de un club: 1 843 120 €.
b) Votos de un partido político: 478 235.
c) Precio de una empresa: 15 578 147 €.
d) Tamaño de un ácaro: 1,083 mm.
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Unidad 1: Los números y su utilidad
Ejercicio 62: ¿En cuál de las aproximaciones dadas se comete menos error absoluto?
Ejercicio 63: Encuentra un número sabiendo que 5432,723 es una aproximación por
defecto en las milésimas.
Ejercicio 64: Calcula el volumen de la caja
representada en el dibujo de dos formas:
• Primera: calcula el volumen y redondea la
solución a las milésimas; calcula los errores
absoluto y relativo.
• Segunda: redondea las medidas de las aristas
a las décimas y después calcula el volumen de
la caja. Calcula los errores absoluto y relativo.
¿Cuál de las dos formas es mejor?
Ejercicio 65: Considera cuatro lugares A, B, C y D. La distancia entre A y B es de 48km
con un error en la medida de 200m. La distancia entre C y D es de 300m. En este caso, el
erro es de 2,5m. ¿Cuál de las dos mediciones es más precisa y por qué?
Ejercicio 66: La distancia entre Gijón y Madrid por un determinado recorrido es de 466.7
km. La distancia entre Gijón y Barcelona por un recorrido concreto es de 876.3 km. Para
recordar fácilmente estas cifras aproximamos la distancia a Madrid por 450 km y la
distancia a Barcelona por 900 km. ¿En qué caso cometo más error? ¿Cuál de los dos
errores tiene más importancia?
Ejercicio 67: Utilizando una herramienta de medición A, hemos medido una libélula de 5
cm obteniendo la medición de 4,95 cm. Con otra herramienta de medición B, hemos
medido otra libélula de 3 cm obteniendo un valor por exceso de 3,08 cm. Halla los errores
absolutos y relativos que se cometen con cada instrumento. ¿Cuál crees que es mejor
herramienta?
Ejercicio 68: Gijón tiene 273.422 habitantes y Oviedo tiene 220.567, indica una
aproximación adecuada para transmitir esta información en una conversación informal y
calcula cuál de los dos errores cometidos al aproximar tiene más importancia.
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