T1 - Trabalho sobre erros e zeros de funções October 29, 2021 Métodos Numéricos Computacionais/Cálculo Numérico Prof. Tiago Buriol UFSM - 2º Semestre de 2021 1. Com base no procedimento visto em aula para conversão de números em base binária para base decimal e de base decimal para binária, construa um programa para converter o número (1230110)4 da base 4 para a base 10. Além disso, faça um programa para converter o número (981)10 da base 10 para a base 3. [ ]: √ 2. Verifique analiticamente que a expressão 1+xx−1 é equivalente à expressão √1+1x+1 . Em seguida calcule cada uma das expressões para se aproximando de x = 0 apresente os resultados e comente o que você observa. Justifique. [ ]: 3. A sequência 1,1,2,3,5,8,13,21,. . . é conhecida como sequência de Fibonacci. Ela pode ser escrita de forma recursiva fazendo F1 = 1, F2 = 1 e Fk = Fk−1 + Fk−2 . Escreva um programa para calcular a razão Rk = FkF−k 1 . Observe que a medida que k aumenta, Rk se aproxima de um certo número. Que número é esse? [ ]: 4 Obtenha aproximações para o valor da função f ( x ) = ln(1 + x ) usando expansões em séries de Taylor em torno do ponto x = 0. Descubra quantos termos da série precisam ser retidos para calcular ln(0.5) com erro relativo inferior a 0.0001. [ ]: 5 Calcule o polinômio como é pedido abaixo: (a) y = x5 − 14.2x4 − 2.7x3 + 2.3x2 + 0.4x + 10 em x0 = 1.35 usando python e posteriormente arredonde o resultado a 3 dígitos decimais. (b) y = x5 − 14.2x4 − 2.7x3 + 2.3x2 + 0.4x + 10 em x0 = 1.35 usando arredondamento com 3 dígitos decimais em cada operação que faça, calcule o erro relativo. (c) y = (((( x − 14.2) x − 2.7) x + 2.3) x + 0.4) x + 10 em x0 = 1.35 usando arredondamento com 3 dígitos decimais em cada operação que faça. 1 Compare os erros e descreva o que você observou e suas conclusões. [ ]: 6. Seja a função f ( x ) = e x−2 + x5 − 1. Achar usando o método da bisseção o valor de x para o qual f ( x ) = 2 com e = 0.001. [ ]: 7. O reservatório mostrado abaixo tem a forma de uma semiesfera de raio 4m e não pode ser preenchido com volume de fluido superior a 50m3 . Dessa forma, é preciso determinar o nível h máximo nesse recipiente para não ultrapassar o volume limite. Determine o valor de h com erro inferior a 10−3 usando o Método de Newton-Raphson e também o Método do Ponto Fixo. Comente os resultados. A fórmula que calcula o volume com os dados exibidos na figura é V = π 2 3 h (3R − h ). [ ]: 8 O fator de atrito para escoamento de partículas fibrosas em suspensão está relacionado ao número de Reynolds pela seguinte equação empírica 1 p = f p 1 5.6 ln( RE f ) + 14 − k k Nessa relação, f é o fator de atrito, RE é o número de Reinolds e k é uma constante determinada pela concentração de partículas em suspensão. Para a suspensão de 0.08% de concentração, temos que k = 0.28. Determine o valor de f quando RE = 3750. Use o método de sua escolha com e = 0.0001. [ ]: 2
