TAREA DE REVISIÓN INTEGRANTES: LAURA MALDONADO - LUIS FERNÁNDEZ - JULIO MORALES PROGRAMA: ING DE SISTEMAS SEMESTRE: 8° 1. Concepto de límite: El límite es un concepto que describe la tendencia de una función, a medida que los parámetros de ésta se acercan a un determinado valor, es decir, el valor al que tiende la variable dependiente a medida que la variable independiente se acerca un determinado valor. En sentido matemático, el límite de una función en un punto hace referencia al “lugar” hacia el que se dirige el valor de la función f(x) cuando la variable independiente (x) se aproxima a un valor determinado. La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos. 2. Continuidad de una función: Una función continua es aquella función que se puede representar en una gráfica a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz. Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes: La función existe en a. Existe límite de f(x) cuando x tiende a a. El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales: Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto. TAREA DE REVISIÓN INTEGRANTES: LAURA MALDONADO - LUIS FERNÁNDEZ - JULIO MORALES PROGRAMA: ING DE SISTEMAS SEMESTRE: 8° Por otra parte, se considera que la función es continua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todo punto x, tal que a < x < b. Ejemplo de función continua Ejemplo de función discontinua 3. Límite de una sucesión: Es el valor al cuál se pueden aproximar las cantidades de serie numérica como máximo. Dicho de otra forma, es la cantidad que pone límite a la sucesión de valores. Algunos de los tipos de sucesiones que existen en álgebra tienen límite finito, se llaman sucesiones convergentes y otros tienen límite infinito, son sucesiones divergentes. Expliquemos cuál es el límite de una sucesión con términos matemáticos, paso por paso: Una sucesión genérica se simboliza como an. El subíndice (n) nos dice el lugar que ocupa el término en la sucesión. Por ejemplo: a5 significa que es el quinto término de la sucesión. Las sucesiones en álgebra pueden tener tantos números naturales como haya, por tanto, en general una sucesión tiene una cantidad infinita de términos. TAREA DE REVISIÓN INTEGRANTES: LAURA MALDONADO - LUIS FERNÁNDEZ - JULIO MORALES PROGRAMA: ING DE SISTEMAS SEMESTRE: 8° A partir de aquí, ¿cómo se determina el límite de una sucesión? Para calcular el límite (l) de la sucesión (lim an) tenemos que encontrar a qué número, si es que existe, se aproximan los números o términos. Si la sucesión tiene límite diremos que es convergente. Si la sucesión tiende a infinito según el concepto anterior diremos que es divergente. En otro caso simplemente diremos que la sucesión no tiene límite se simbolizará: La sucesión a(n)=n^2 es divergente. Sus primeros términos son a1 = 1 a2 =4 a3 =9 a4 =16 … Representación de la sucesión (n≤50): TAREA DE REVISIÓN INTEGRANTES: LAURA MALDONADO - LUIS FERNÁNDEZ - JULIO MORALES PROGRAMA: ING DE SISTEMAS SEMESTRE: 8° Se observa que la sucesión crece indefinidamente y no tiende a ningún valor finito. (DIVERGENTE) La sucesión a(n)=1/n es convergente a 0. Sus primeros términos son: a1= 1 a2 = 0.5 a3 = 0. 3333… a4 =0.25 a5 =0.2 a6=0. 1666… a7= 0.142 … TAREA DE REVISIÓN INTEGRANTES: LAURA MALDONADO - LUIS FERNÁNDEZ - JULIO MORALES PROGRAMA: ING DE SISTEMAS SEMESTRE: 8° Cada término de la sucesión es menor que el anterior y cada vez se aproxima más a 0. El límite de la sucesión es L=0. Representación de la sucesión (n≤50): El límite de una sucesión es único. Es decir, si una sucesión converge, converge a un único punto. Si no existe el límite de la sucesión a(n) ó es infinito, se dice que la sucesión no converge. Nosotros diremos que la sucesión es divergente, aunque algunos reservan este nombre únicamente para las sucesiones que tienden a infinito. 4. Identificar cuando una función es diferenciable (con los teoremas): Si una función es diferenciable, entonces también es continua. Esta propiedad es muy útil cuando se trabaja con funciones, porque si sabemos que una función es diferenciable, inmediatamente sabemos que también es continua Teoremas sobre diferenciabilidad de funciones. Sea la función f: D → R, D ⊂ Rn. Sea a ∈ D. TAREA DE REVISIÓN INTEGRANTES: LAURA MALDONADO - LUIS FERNÁNDEZ - JULIO MORALES PROGRAMA: ING DE SISTEMAS SEMESTRE: 8° 1) Condición suficiente de diferenciabilidad: Si f tiene derivadas parciales en un entorno de a y son continuas en a, entonces f es diferenciable en a. Nota 1a. Si una función tiene derivadas parciales continuas se dice que f ∈ C1. Nota 1b. Basta que las n derivadas parciales existan en un entorno de a y n−1 sean continuas en a, para que f sea diferenciable en a. 2) Condición necesaria de diferenciabilidad: Si f es diferenciable en a, sus derivadas direccionales en a existen y-como se demostró en clase- toman el valor Nota 2a. Las derivadas direccionales dependen en general de la dirección (no como los limites direccionales de funciones continuas). Si una función diferenciable alcanza un extremo en un punto interior al dominio, sus derivadas direccionales en dicho punto son nulas. Nota 2b. La existencia de derivadas direccionales no implica la diferenciabilidad. 3) Si f es diferenciable en un punto, es continua en dicho punto, pero no viceversa. Tomando limites en la condición de diferenciabilidad se obtiene lím x→a f(x) = f(a). Nota 3. La existencia de derivadas direccionales, que no asegura la diferenciabilidad, tampoco asegura la continuidad. Si f admite derivada en una dirección, el límite de f en a coincidirá con f(a) sólo en esa dirección. 4) Sean las funciones de dos variables f1, f2, y f3: TAREA DE REVISIÓN INTEGRANTES: LAURA MALDONADO - LUIS FERNÁNDEZ - JULIO MORALES PROGRAMA: ING DE SISTEMAS SEMESTRE: 8° a) f1 cumple la condición suficiente de diferenciabliidad en P (1, 1), luego es diferenciable en dicho punto y cumple en la condición necesaria de diferenciabilidad b) f2 tiene derivadas direccionales en el origen, pero no cumple en la condición necesaria de diferenciabilidad por lo que no es diferenciable en el origen. c) f3 tiene derivadas parciales en el origen, pero no es continua en dicho punto 5. Teorema de Rolle: consiste en que si una función f(x) verifica que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), si los valores de la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un punto del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se anula, f’(c) = 0 Esto para algunos casos donde x sea menor a, b. En otras palabras, esto quiere decir, que, si una curva continua pasa a través del mismo valor, que en este caso el eje es x, dos veces, y tiene una línea tangente única, considerada derivada, en cada punto del intervalo, entonces en algún momento entre los puntos finales tiene un paralelo tangente x. 6. Teorema de valor medio (para Integrales): Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto. Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que TAREA DE REVISIÓN INTEGRANTES: LAURA MALDONADO - LUIS FERNÁNDEZ - JULIO MORALES PROGRAMA: ING DE SISTEMAS SEMESTRE: 8° 𝒃 𝒇(𝒄)(𝒃 − 𝒂) = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒂 Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto. Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m £ f(x) £ M " x Î [a, b] por el teorema de conservación de desigualdades. Aplicando propiedades: 𝒃 𝒎(𝒃 − 𝒂) ≤ ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝑴(𝒃 − 𝒂) 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒎 ≤ 𝒂 𝒃 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ≤ 𝑴 𝒃−𝒂 𝒂 Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto, permite deducir que debe alcanzar el valor 𝑏 1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏−𝑎 𝑎 en algún punto C del intervalo [a,b]. Queda 1 𝑏 denostado que existe algún c tal que f (c) = 𝑏−𝑎 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Ejemplo Suponga que la población mundial actual es de 5 mil millones y que la población dentro de t años está dada por la ley de crecimiento exponencial p(t) = e0,023t. Encuentre, la población promedio de la tierra en los próximos 30 años. Es importante tener en cuenta este valor dado que permite hacer planes a largo plazo de las necesidades de producción y en la distribución de bienes y servicios. Para resolver este problema debemos hallar el valor promedio de la población P(t) desde t = 0 hasta t = 30 TAREA DE REVISIÓN INTEGRANTES: LAURA MALDONADO - LUIS FERNÁNDEZ - JULIO MORALES PROGRAMA: ING DE SISTEMAS SEMESTRE: 8° 7. Teorema del valor extremo: El teorema de los valores extremos establece que si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces la función debe tener un máximo y un mínimo dentro del intervalo. Ejemplo sea 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 TAREA DE REVISIÓN INTEGRANTES: LAURA MALDONADO - LUIS FERNÁNDEZ - JULIO MORALES PROGRAMA: ING DE SISTEMAS SEMESTRE: 8° 8. Teorema del valor medio Ponderado para Integrales: Nos lleva algunas veces a estimaciones útiles para la integral de un producto de dos funciones y especialmente si la integral de uno de los factores es fácil de calcular. Sean f, g ∈ C [a,b]. Supongamos que g no cambiase signo en [a,b]. Entonces, existe c ∈ (a,b) tal que 𝒃 ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒇(𝒄) 𝒃 ∫𝒂 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 Cuando g= 1 obtenemos el conocido resultado que nos dice que si f ∈ C [a,b] f alcanza su valor promedio de f, esto es que existe c ∈ (a,b) tal que 𝒇(𝒄) = 𝒃 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒃−𝒂 𝒂 9. Teorema de Rolle Generalizado: Sea f ∈ C[a,b] y f k veces derivable en (a,b). Si f alcanza el mismo valor en k +1 puntos distintos de [a,b] entonces existe c ∈ (a,b) tal que f(k)(c) = 0. 10. El Teorema del Valor Intermedio: Describe una propiedad fundamental de las funciones continuas: si f es una función en el intervalo [a,b], entonces alcanzará cualquier valor entre f(a) y f(b) en el intervalo Mas formalmente, que significa que para cualquier valor L entre f(a) y f(b), existe un valor c en [a,b] tal que f(c)= L TAREA DE REVISIÓN INTEGRANTES: LAURA MALDONADO - LUIS FERNÁNDEZ - JULIO MORALES PROGRAMA: ING DE SISTEMAS SEMESTRE: 8° Este teorema tiene mucho sentido cuando consideramos el hecho de que dibujamos las graficas de las funciones continuas sin levantar el lápiz. Si sabemos que la grafica pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).. Entonces debe pasar por cualquier valor de y entre f(a) y f(b) TAREA DE REVISIÓN INTEGRANTES: LAURA MALDONADO - LUIS FERNÁNDEZ - JULIO MORALES PROGRAMA: ING DE SISTEMAS SEMESTRE: 8° ¿Cuáles problemas puedo resolver con el teorema del valor intermedio? Considera la función continua f con la siguiente tabla de valores. Encontremos dónde debe haber una solución de la ecuación f (x) =2 Observemos que f (−1)=3 y f (0)=-1. En el intervalo [-1,0], la función debe alcanzar todos los valores entre -1 y 3 2 está entre −1, 1 y 3, por lo que debe existir un valor c en [−1,0][−1,0] tal que f(c)=2 TAREA DE REVISIÓN INTEGRANTES: LAURA MALDONADO - LUIS FERNÁNDEZ - JULIO MORALES PROGRAMA: ING DE SISTEMAS SEMESTRE: 8° WEBGRAFIA
