Profesor: Álvaro Gaviria Ortiz MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN Definiciones. En la diapositiva 2, página 21 se definieron los distintos tipos de cuerpos. Cuerpos laminares. Lámina. • Espesor pequeño con respecto a las otras dimensiones. • Ocurre en bóvedas, cúpulas, techos de coliseos y de estadios, tanques y calderas. • Las palabras pequeño y grande son ambiguas, requieren un referente. 1. En ingeniería, un factor de 10 es aceptable para describir esos atributos 2. Esfera o cilindro son delgados, si las razones entre radios y espesores superan a 10. 3. De ser menores a 10 son de pared gruesa. MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN Cuerpos laminares. Placa. • Superficie plana. En la figura previa, porción de una. • Transmite momentos y fuerzas cortantes transversales al espesor y fuerzas normales a éste. • A lo largo del espesor el estado de tensiones puede variar y ser Concha. tridimensional. • Superficie curva. En la figura previa, porción de una. • Se comporta como placa, pero con curvatura. • Aprovecha la curvatura para aumentar su resistencia y disminuir el peso propio. MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN Cuerpos laminares. Membrana. • Superficie curva. En la figura previa, porción de una. • Aprovecha la curvatura para aumentar su resistencia y disminuir el peso propio • No soporta fuerzas o momentos concentrados. • El estado de tensiones es plano. • Similar a la concha y más delgada. Como en una pompa de jabón, una bomba de piñata, un neumático. • Transmite sólo tensiones cortantes y normales que obran en su plano tangente. • Puede soportar presiones normales a la superficie: manométricas o hidrostáticas. • Su estado de tensiones se considera aproximadamente bidimensional en la superficie media. • Queda definida por la superficie media y el espesor. MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN Cuerpos laminares. Analogías. • Una placa se puede asimilar a una distribución bidimensional de vigas. • Una concha, a una distribución bidimensional de arcos. • Una membrana sometida a tensiones de tracción, a una distribución bidimensional de cuerdas. Teoría elemental de membranas. Importancia. • Para diseñar tanques de almacenamiento, recipientes a presión, tuberías, calderas y algunos techos. Comunes. • Las cilíndricas y esféricas. • La teoría que se desarrolla en el curso y sus aplicaciones es más general. • Se basa en las siguientes suposiciones. Hipótesis. MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN • El espesor t es delgado y la dimensión transversal relevante de la superficie. • Radio de curvatura, por ejemplo, debe ser al menos diez veces mayor que aquél. • Se trabaja con la superficie media de la membrana, la cual en cada punto biseca el espesor. • Es de revolución. • Por rotar una línea plana con respecto a un eje. • Éste es un eje de simetría del cuerpo; es Z. • Las cargas tienen son fuerzas distribuidas y no concentradas. • Y simétricas con respecto al eje de revolución. • Si las tensiones biaxiales son al menos diez veces mayores que la presión aplicada, se supone plano el estado de tensiones. Hipótesis. MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN • Aunque actúen fuerzas externas repartidas en dirección del espesor • Se desprecian tensiones producidas en esa dirección. • Las fuerzas distribuidas que obran sobre la membrana deben ser interiores a ella. • Si son externas, un submarino, pueden presentarse inestabilidad o pandeo en las paredes. • La forma cambia poco debido a la carga que soporta y no puede ser delgadísima. • El caso de pompas de jabón o bombas de piñata. • No se toman en cuenta efectos debidos a ventanas, apoyos y uniones con otros cuerpos. • Introducen efectos locales, cambios bruscos, que provocan tensiones tridimensionales o de concha. MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN Definiciones adicionales. Plano meridional y paralelo. • El primero incluye el eje Z de la membrana. • El segundo corta ortogonalmente al meridional. Curvas meridional y paralela. • Las primeras son intersecciones de los planos meridionales con la superficie. Se representan con: • r es la distancia al eje Z. • Las segundas son intersecciones de los planos paralelos con la superficie. • Son circunferencias. MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN Radios y centros de curvatura meridional y paralelo. MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN Ángulos y segmentos de arcos. • Los segmentos de arco de las curvas meridionales y paralelas son: • Los ángulos que éstos subtienden desde el respectivo centro de curvatura son: Espesor y presión. • El espesor es t. • La presión en un elemento de membrana es p. • Se supone positiva si está orientada hacia afuera. Tensiones de membrana. • En direcciones de meridianos y paralelos son: MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN Ecuaciones de equilibrio Direcciones principales. Son las de las líneas de meridianos y paralelos. Cuerpo libre • Se aísla una parcela infinitesimal en el entorno de un punto P de la membrana. • Delimitada por curvas paralelas y meridionales. • En la figura se muestran dos cortes de ella. • Queda sometida a la presión normal p y a las tensiones de membrana: MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN Ecuaciones de equilibrio Cuerpo libre ▪ Relaciones entre arcos, ángulos y radios de curvatura: 𝑑𝑠𝑝 = 𝑟𝑝 𝑑𝜃𝑝 y 𝑑𝑠𝑚 = 𝑟𝑚 𝑑𝜃𝑚 Equilibrio en P del elemento, en dirección normal: 0 = 𝑝𝑑𝑠𝑚 𝑑𝑠𝑝 − 𝜎𝑝 𝑡𝑑𝑠𝑚 𝑑𝜃𝑝 − 𝜎𝑚 𝑡𝑑𝑠𝑝 𝑑𝜃𝑚 0 = 𝑝𝑑𝑠𝑚 𝑑𝑠𝑝 − 𝜎𝑝 𝑡𝑑𝑠𝑚 𝑑𝑠𝑝 𝑑𝑠𝑚 − 𝜎𝑚 𝑡𝑑𝑠𝑝 𝑟𝑝 𝑟𝑚 m p p + = rm rp t MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN Ecuaciones de equilibrio Cuerpo libre • p está equilibrada por las tensiones de membrana gracias a la curvatura de la superficie. • Las seis cantidades que aparecen son funciones de punto y pueden variar en la superficie de la membrana. • También el espesor, siempre que sus variaciones sean pequeñas y continuas. • Para calcular las tensiones se requiere otra. MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN Otra ecuación. • La anterior resultó del equilibrio de cuerpo libre de un elemento infinitesimal. • La nueva se consigue con el equilibrio del cuerpo libre de una porción finita de la membrana. • Que incluya sólo una de las tensiones en P. • Por ejemplo, que p0 sea uniforme y la membrana simplemente conectada. • O sea, sin agujeros y que se puede ir de un punto a otro sin sa- lirse de ella. • No sirve para un toroide como, por ejemplo, el neumático de una llanta MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN • Con un plano paralelo por P, perpendicular al eje Z, se separa el cuerpo libre. • Se estudia la parte inferior: • La sección recta es un círculo de radio r y éste: 𝑟 = 𝑟𝑝 sen𝜃. • Las fuerzas horizontales debidas a la presión se cancelan entre sí por la simetría. ▪ Se toma equilibrio en dirección Z DEMOSTRACIÓN POR HACER Motivación. • En la sesión se hizo una afirmación que no se demostró. • Como decía Descartes: algo es cierto según la evidencia. • Por ello se pide a los estudiantes probar la siguiente: • En direcciones de meridianos y paralelos, en un punto cualquiera, de la membrana las tensiones son principales. EJERCICIO DE MEMBRANAS EJERCICIO DE MEMBRANAS Desarrollo. Del enunciado. Radios de curvatura. • En un punto P, ubicado con respecto al eje Z por el ángulo • Las curvas meridionales son circunferencias. • Ambos radios de curvatura, por la simetría, son iguales entre sí y al radio de la esfera: EJERCICIO DE MEMBRANAS Ecuaciones. Las encontradas en esta sesión: ∴ Mínimo espesor por teoría de Tresca. 𝜎𝑚 𝜎𝑝 𝑝0 𝑝0 𝑅 𝑝0 𝑅 + = y 𝜎𝑚 = ; 𝜎𝑚 = 𝜎𝑝 = 𝑅 𝑅 𝑡 2𝑡 2𝑡 • La presión manométrica en la pared interior es de compresión sobre ella. • Despreciable, para usar la teoría, si la mínima de las principales la supera en al menos 10 veces. 𝜎1 = 𝜎2 = 𝑝0 𝑅 2𝑡 y 𝜎3 ≈ 0 • De las desigualdades de la teoría: 𝑝𝑅 𝜎𝑚á𝑥= 0 2𝑡 ≤ 𝜎𝑊 ∴ 𝑝𝑅 𝑡𝑚í𝑛 = 0 2𝜎𝑊 5×106×0,75 = = 0,021[m] 2×90×106 • Verifico si p0 es despreciable, como se supuso: 𝜎𝑚á𝑥 𝑅 0,75 = = = 17,9 > 10 𝑝0 2𝑡 2 × 0,021 EJERCICIO DE MEMBRANAS Mínimo espesor por teoría de Von Mises. Incremento del radio. EJERCICIO DE MEMBRANAS Incremento del volumen. • Por el cambio en el radio. 4𝜋𝑅 3 𝑉= ∆𝑉 = 4𝜋𝑅2 ∆𝑅 = 4𝜋 × 0,752 × 2,34 × 10−4 3 ∆𝑉 = 1,654 × 10−3 [m3 ] Comentarios. • Los incrementos en el radio y el volumen de la esfera son minúsculos. Ello confirma el principio de las pequeñas deformaciones. • El estado de tensiones es biaxial, ya que la presión interior es despreciable al compararla con las tensiones principales. Profesor: Álvaro Gaviria Ortiz
