Luz e iluminacíón

La mayoría de los objetos curvos usados en aplicaciones prácticas son esféricos. Un espejo
esférico es un espejo que puede considerarse como una porción de una esfera reflejante. Los dos
tipos de espejos esféricos se ilustran en la figura 29. Si el interior de la superficie esférica es la
superficie reflejante, se dice que el espejo es cóncavo. Si la porción exterior es la superficie
reflejante, el espejo es convexo. En cualquier caso, R es el radio de curvatura, y C es el centro de
curvatura para los espejos. El segmento AB, que es útil frecuentemente en problemas de óptica, se
llama abertura lineal del espejo. La línea punteada CV, que pasa a través del centro de curvatura y
del centro topográfico o vértice del espejo, se conoce como eje del espejo.
Figura 29. Definición de términos para los espejos esféricos.
Examinemos ahora la reflexión de la luz en una superficie esférica. Como un caso sencillo,
suponga un haz de rayos de luz paralelos que inciden sobre una superficie cóncava, tal como se
ilustra en la figura 30. En virtud de que el espejo es perpendicular al eje en su vértice V, un rayo de
luz CV es reflejado de regreso sobre sí mismo. En realidad, cualquier rayo de luz que avanza a lo
largo de un radio del espejo se refleja de regreso sobre sí mismo. El rayo de luz paralelo MN se
refleja de modo que el ángulo de incidencia θ i sea igual al ángulo de reflexión θr. Ambos ángulos
se miden con respecto al radio CN. La geometría de la reflexión es tal, que el rayo reflejado pasa a
través del punto F sobre el eje a la mitad del camino entre el centro de curvatura C y el vértice V.
El punto F, en el cual convergen los rayos luminosos paralelos, se conoce como punto focal del
espejo. A la distancia de F a V se le llama longitud focal f. Como ejercicio conviene demostrar, a
partir de la figura 30(a), que:
R
f=
2
La longitud focal f de un espejo c6ncavo es igual a la mitad de su radio de curvatura R.
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1
Figura 30. Punto focal de un espejo cóncavo: (a) la longitud focal es la mitad del radio de
curvatura; (b) el objeto se encuentra en el infinito y la imagen en el punto focal; (c)el objeto
está en el punto focal y la imagen en el infinito.
Todos los rayos de luz de un objeto distante, como por ejemplo el sol, convergen en el punto
focal F, como muestra la figura 30(b). Por esta razón, a los espejos cóncavos frecuentemente se les
llama espejos convergentes. El punto focal puede encontrarse experimentalmente haciendo que
converja la luz del sol en un punto sobre un trozo de papel. El punto a lo largo del eje del espejo
donde la imagen formada sobre el papel es más brillante corresponderá al punto focal del espejo.
Por el hecho de que los rayos de luz son reversibles, si una fuente de luz está colocada en el
punto focal de un espejo convergente, su imagen se formará a una distancia infinita. Es decir, el
haz de luz emergente será paralelo al eje del espejo, como se muestra en la figura 30(c).
Un análisis similar se aplica a un espejo convexo, como se ilustra en la figura 31. Observe que
el haz de luz paralelo que incide en una superficie convexa, diverge. Los rayos de luz reflejados
parecen provenir del punto F situado detrás del. espejo, pero ningún rayo de luz pasa realmente a
través de él. Aun cuando el punto focal es virtual, la distancia VF se sigue llamando longitud focal
del espejo convexo. En vista de que los rayos de luz reales divergen cuando inciden sobre una
superficie de este tipo, a los espejos convexos se les llama espejos divergentes.
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2
La ecuación f = R/2 también se aplica aun espejo convexo. Sin embargo, para ser consistentes
con la teoría (que se expondrá posteriormente), la longitud focal f y el radio R deben considerarse
como negativos en el caso de los espejos divergentes.
Figura 31. Punto focal de un espejo convexo.
IMAGENES FORMADAS POR ESPEJOS ESFERICOS
El mejor método para comprender la formación de imágenes por medio de espejos es a través
de la óptica geométrica, o trazado de rayos. Este método consiste en considerar la reflexión de unos
cuantos rayos divergentes a partir de algún punto , de un objeto O que no se encuentre en el eje del
espejo. El punto en el cual se intersectarán todos estos rayos reflejados determina la ubicación de
la imagen. Analizaremos ahora tres rayos cuyas trayectorias pueden trazarse fácilmente. Cada uno
de los rayos se ilustra, tanto para un espejo convergente (cóncavo) en la figura 32, como para un
espejo divergente (convexo) en la figura 33.
RAYO 1 Un rayo paralelo al eje del espejo pasa a través del punto local de un espejo cóncavo o
parece provenir del punto local de un espejo convexo.
RAYO 2 Un rayo que pasa a través del punto local de un espejo cóncavo o que se dirige al punto
local de un espejo convexo se refleja paralelamente al eje del espejo.
RAYO 3 Un rayo que avanza a lo largo de un radio del espejo se refleja a lo largo de su
trayectoria original.
En una situación específica, sólo se necesitan dos de estos tres rayos para ubicar la imagen de
un punto. Si se eligen los rayos que provienen de un punto extremo del objeto, la imagen restante
se puede completar generalmente por simetría. En las figuras, las líneas discontinuas se usan para
identificar los rayos virtuales y las imágenes virtuales.
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3
Figura 32. Principales rayos para la construcción gráfica de las imágenes reflejadas por
espejos cóncavos.
Figura 33. Principales rayos para la construcción gráfica de las imágenes reflejadas por
espejos convexos.
Para ilustrar el método gráfico y al mismo tiempo visual izar algunas de las imágenes que pueden
presentarse, vamos a considerar ahora varias imágenes formadas por un espejo cóncavo.
En la
figura 34(a) se ilustra la imagen formada por un objeto O que se ha colocado afuera del centro de
curvatura del espejo. Observe que la imagen se ha formado entre el punto focal F y el centro de
curvatura c. En este caso, la imagen es real, invertida y más pequeña que el objeto. En la figura
34(b)., el objeto O se localiza en el centro de curvatura c. En ese caso, en el centro de curvatura del
espejo cóncavo se forma una imagen que es real, invertida y del mismo tamaño que el objeto.
En la figura 34(c), el objeto O se localiza entre C y F. Al trazar los rayos correspondientes se
observa que la imagen se forma más allá del centro de curvatura. Dicha imagen es real, invertida
y mayor que el objeto.
Cuando el objeto se encuentra en el punto focal F, todos los rayos reflejados son paralelos (véase
la figura 34(d)). Por el hecho de que los rayos reflejados jamás se intersectarán, por más que se
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4
prolonguen en cualquier dirección, no se formará ninguna imagen. (Algunas personas prefieren
decir que en este caso la distancia a la imagen es infinita.)
Cuando el objeto se localiza entre el punto focal F y el vértice, como se muestra en la figura
34(e), parece que la imagen está detrás del espejo. Esto se puede apreciar si se prolongan los rayos
reflejados hasta un punto situado atrás del espejo. Por lo tanto, la imagen es virtual. Observe
también que la imagen es mayor que el objeto y que no está invertida, sino en posición normal. En
este caso, el aumento de la imagen es el mismo principio que se aplica en los espejos para afeitarse
y en otros donde se forman imágenes virtuales amplificadas.
Por otra parte, todas las imágenes que se forman en espejos convexos tienen, las mismas
características. Como ya se mostró en la figura 33, se trata de imágenes virtuales, que están en
posición normal (no invertida) y tienen un tamaño reducido. El resultado de esto es que ofrecen un
campo de visión más amplio. Las ventajas de este efecto se han aprovechado en un gran número
de aplicaciones prácticas de los espejos convexos. Los espejos retrovisores para automóvil suelen
ser convexos para ofrecer una capacidad visual máxima. En algunas tiendas se instalan grandes
espejos convexos en lugares estratégicos, porque ofrecen una visión panorámica muy útil para
detectar ladrones.
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5
Figura 34. Imágenes formadas por un espejo convergente para las siguientes distancias del
objeto: (a) más lejos que el centro de curvatura C, (b) en C, (c) entre C y la longitud focal
F, (d) en F, y (e) entre F y V.
LA ECUACIÓN DEL ESPEJO
Ahora que ya tenemos una idea de las características de las imágenes y de cómo se forman, será
conveniente desarrollar un procedimiento analítico de la formación de imágenes. Considere la
reflexión de la luz de un objeto puntual O, como se ilustra en la figura 35 para un espejo cóncavo.
El rayo OV es incidente a lo largo del eje del espejo y se refleja sobre sí mismo. El rayo OM se
selecciona arbitrariamente y avanza hacia el espejo con un ángulo α formado con el eje del espejo.
Este rayo es incidente a un ángulo θi y se refleja con un ángulo igual θr. Los rayos de luz reflejados
en M y en V cruzan al punto I, formando una imagen del objeto. Tanto la distancia al objeto p como
la distancia a la imagen q, se miden a partir del vértice del espejo y se indican en la figura. La
imagen en I es una imagen real, puesto que se forma por medio de rayos luminosos verdaderos que
pasan a través de él.
Figura 35. En un espejo convergente se forma una imagen puntual a partir de un objeto
puntual.
Consideremos ahora la imagen formada por un objeto más extenso OA, como se muestra en la
figura 25-15. La imagen del punto O se encuentra en I, como antes. Trazando los rayos a partir de
la punta de la flecha, somos capaces de dibujar la imagen de A a E. El rayo AM pasa a través del
centro de curvatura y se refleja de regreso sobre sí mismo. Un rayo AV que incide en el vértice del
espejo forma los ángulos iguales θi y θr. Los rayos VE y AM cruzan en E, formando una imagen
de la punta de la flecha en ese punto. El resto de la imagen IR se puede construir trazando rayos
similares para los puntos correspondientes en el objeto OA. Observe que la imagen es real e
invertida.
Las siguientes cantidades se identifican en la figura 36:
Distancia al objeto = OV = p
Distancia a la imagen = N = q
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Radio de curvatura = CV = R
Tamaño del objeto = OA = y
Tamaño de la imagen = IR = y'
Figura 36. Deducción de la ecuación del espejo.
Ahora intentemos relacionar estas cantidades. A partir de la figura, se observa que los ángulos
OCA y VCM son iguales. Representando a este ángulo por a, podemos escribir:
y
tanα= =
−q
−y'
p−R R
de donde
−y'
R−q
= y
p−R
El tamaño de la imagen y' es negativo porque está invertido en la figura. En forma similar, los
ángulosθi y θr, en la figura son iguales, de modo que:
'y
−y
tan θi = tan θr
=
p
q
Combinando las ecuaciones anteriores tenemos:
−y'
q
==
R−q
ypp−
R
Reordenando los términos, obtenemos esta importante relación:
UI-
7
1
1 2
+=pqR
Esta relación se conoce como ecuaci6n del espejo. A menudo se escribe en términos de la
longitud focal f del espejo, en lugar de hacerlo respecto al radio de curvatura. Recordando que f =
R/2, podemos reescribir la ecuación anterior como:
1 1 1
+=pqf
Se puede hacer una deducción similar en el caso de un espejo convexo, y aplicamos la misma
ecuación, siempre que se adopte la convención de signos apropiada. Las distancias al objeto ya la
imagen p y q, deben considerarse positivas para objetos reales y negativas para objetos e imágenes
virtuales. El radio de curvatura R y la longitud focal f deben considerarse positivos para espejos
convergentes (cóncavos) y negativos para espejos divergentes (convexos).
EJEMPLO 8. (a). ¿Cuál es la longitud focal de un espejo convergente cuyo radio de curvatura es
de 20 cm?. (b). ¿Cuál es la naturaleza y la colocación de una imagen formada por el espejo si un
objeto se encuentra a 15 cm del vértice del espejo?.
Solución.
La longitud focal es de la mitad del radio de curvatura y el radio es positivo para un espejo
convergente.
R + 20cm
f==
=+10cm
2
2
La ubicación de la imagen se determina a partir de la ecuación del espejo:
1 1 1
+=pqf
Despejando q nos queda:
pf
q=
p−f
de donde:
(15cm)(10cm)
q=
=+30cm
15cm −10cm
Por consiguiente, la imagen es real y se localiza a 30 cm del espejo. Al trazar rayos en forma
similar a como se hizo en la figura 34(c), se demuestra que la imagen también será invertida.
UI-
8
Casi siempre resulta más sencillo resolver la ecuación del espejo en forma explícita para la
cantidad desconocida, en lugar de sustituirla directamente. Le serán muy útiles las siguientes
expresiones en la resolución de la mayor parte de los problemas referentes a espejos:
=
−f
qf p
q
pq
f=
pf
q=
+qp−f
p
La convención de signos se resume en la siguiente forma:
1. La distancia al objeto p es positiva para objetos reales y negativa para objetos virtuales.
2. La distancia a la imagen q es positiva para imágenes reales y negativa para imágenes
virtuales.
3. El radio de curvatura R y la longitud focal son positivos para espejos convegentes y
negativos para espejos divergentes.
Esta convención se aplica únicamente a los valores numéricos sustituidos en las ecuaciones
anteriores. Las cantidades q, p y f deben conservar sus signos sin cambio alguno, hasta el momento
en que se realiza la sustitución.
EJEMPLO 9. Determine la posición de la imagen si un objeto está colocado a 4cm de un espejo
convexo cuya longitud focal es de 6 cm.
Solución
En este caso, p = 4 cm y f = -6 cm. El signo menos es necesario porque un espejo convexo es un
espejo divergente.
pf
(4cm)(− 6cm)
− 24cm 2
q = = = =−2.4cm p − f 4cm −(− 6cm) 10cm
La distancia a la imagen es negativa, lo que indica que la imagen es virtual.
AMPLIFICACIÓN
Las imágenes formadas por los espejos esféricos pueden ser mayores, menores o iguales en
tamaño que los objetos reflejados en ellos. La razón del tamaño de la imagen al tamaño del objeto
es la amplificación M del espejo.
y'
Amplificación =
y
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9
El tamaño se refiere a cualquier dimensión lineal, altura o ancho, Recurriendo a la ecuación
−y'
q
==
R−q
ypp−
R
y a la figura 36, obtenemos la útil relación:
y' −q
M==
y
p
donde q es la distancia a la imagen y p es la distancia al objeto. Una característica muy conveniente
de la ecuación anterior es que una imagen invertida siempre tendrá un aumento o amplificación
negativa, y una imagen en posición normal (derecha) tendrá siempre una amplificación positiva.
EJEMPLO 10. Una fuente de luz de 6 cm de altura se coloca a 60 cm de un espejo cóncavo cuya
longitud focal es de 20 cm, Determine la ubicación, la naturaleza y el tamaño de la imagen.
Solución:
Primero determinamos la distancia a la imagen q, en la siguiente forma:
pf
(60cm)(20cm)
q = = = 30cm p − f 60cm − 20cm
Puesto que q es positiva, la imagen es real. El tamaño de la imagen se obtiene de la ecuación de
relación de tamaño:
qy
(30cm)(6cm)
y =− =− = −3cm p
60cm
El signo negativo indica que la imagen es invertida. Observe que la amplificación es de 1/2.
'
EJEMPLO 11. ¿A qué distancia de un espejo convexo se debe sostener un lápiz para que forme
una imagen de la mitad de tamaño del lápiz? El radio del espejo es de 40 cm.
Solución
La longitud focal del espejo es
R − 40cm
f==
=−20cm
2
2
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El signo menos se debe al espejo divergente. Ese tipo de espejo siempre forma u imagen en
posición normal (al derecho), de tamaño reducido. (Véase la figura 33.) La amplificación en este
caso es +1/2 . Por lo tanto,
q
1
−=+p
2
De la ecuación del espejo, q es también:
pf
q=
p−f
Combinando las dos ecuaciones para q, tenemos:
pf
−f
p
=− p
2
Dividiendo entre p queda:
f
1
=− p − q 2
2f = -p + f
p = -f
p = -(-20 cm) = 20 cm
O sea que, cuando un objeto se sostiene a una distancia igual a la longitud focal de un espejo
convexo, el tamaño de la imagen es de la mitad del tamaño del objeto.
ABERRACION ESFÉRICA
En la práctica, los espejos esféricos forman imágenes razonablemente nítidas siempre que sus
aberturas sean pequeñas comparadas con sus longitudes focales. Cuando se usan espejos grandes,
sin embargo, algunos de los rayos que provienen de los objetos inciden cerca de los bordes externos
y son enfocados a diferentes puntos sobre el eje. Este defecto de enfoque, ilustrado en la figura 37,
se conoce como aberraci6n esférica.
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Figura 37. Aberración esférica.
Un espejo parabólico no presenta este defecto. Teóricamente, los rayos luminosos paralelos que
inciden en un reflector parabólico se enfocarán hacia un solo punto sobre el eje del espejo. (Véase
la figura 38.) Una pequeña fuente de luz ubicada en el punto focal de un reflector parabólico es el
principio usado en muchos proyectores y faros buscadores. El haz emitido por un dispositivo así es
paralelo al eje del reflector.
Figura 38. Un reflector parabólico enfoca toda la luz paralela incidente hacia el mismo
punto.
REFRACCION
OBJETIVOS Después de completar el estudio de este tema podrá usted:
1. Definir el índice de refracción y expresar tres leyes que describen el comportamiento de la luz
refractada.
2. Aplicar la ley de Snell para resolver problemas que impliquen la transmisión de la luz en dos
o más medios.
3. Determinar el cambio de velocidad o de longitud de onda de la luz cuando se mueve de un
medio a otro.
4. Explicar los conceptos de reflexión interna total y ángulo crítico, y utilizar estas ideas para
resolver problemas similares a los que aparecen en este tema.
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La luz se propaga en línea recta a velocidad constante en un medio uniforme. Si cambia el medio,
la velocidad cambiará también y la luz viajará en línea recta a lo largo de una nueva trayectoria. La
desviación de un rayo de luz cuando pasa oblicuamente de un medio a otro se conoce como
refracción. El fundamento de la refracción se ilustra en la figura 39 para el caso de una onda de
luz que se propaga del aire al agua. El ángulo θi que se forma entre el haz incidente y la normal a
la superficie se conoce como ángulo de incidencia. Al ángulo θr formado entre el haz refractado y
la normal se le llama ángulo de refracción.
Figura 39. Refracción de un frente de onda en la frontera entre dos medios.
La refracción es la causante de la distorsión de algunos objetos. En la figura 40(a), la varilla
parece flexionarse en la superficie del agua, y el pez de la figura 40(b) parece estar más cerca de la
superficie de lo que en realidad se encuentra. Estudiaremos las propiedades de los medios
refractivos y se desarrollarán las ecuaciones para predecir su efecto sobre los rayos luminosos
incidentes.
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Figura 40. La refracción es la causante de la distorsión de estas imágenes. (a) La varilla
parece estar flexionada. (b) Este pez aparece más cerca de la superficie de lo que está en
realidad.
ÍNDICE DE REFRACCION
La velocidad de la luz dentro de una sustancia material generalmente es menor que la velocidad
en el espacio libre, donde es de 3 X 108 m/s. En el agua. la velocidad de la luz es casi de 2.25 X
108 m/s, la cual es casi equivalente a las tres cuartas partes de su velocidad en el aire. La luz viaja
aproximadamente a dos tercios de esa velocidad en el vidrio, o sea a unos 2 X 10 8 m/s. La relación
de la velocidad de la luz c en el vacío entre la velocidad v de la luz en un medio particular se llama
índice de refracción n para ese material.
El índice de refracción n de un material particular es la razón de la velocidad de la luz en el
espacio libre con respecto a la velocidad de la luz a través del material.
c
n=
v
El índice de refracción es una cantidad adimensional y generalmente es mayor que la unidad.
Para el agua, n= 1.33, y para el vidrio, n= 1.5. La tabla siguiente, muestra los índices de refracción
de diversas sustancias de uso común. Observe que los valores allí señalados se aplican al caso de
una luz amarilla de 589 nm de longitud de onda. La velocidad de la luz en sustancias materiales es
diferente para longitudes de onda diferentes. Este efecto, conocido como dispersión. Cuando la
longitud de onda de la luz no se especifica, se suele, suponer que el índice corresponde al que
tendría una luz amarilla.
TABLA 1 índice de refracción de la luz amarilla, con longitud de onda de 589 nm.
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EJEMPLO 12. Calcule la velocidad de la luz amarilla en un diamante cuyo índice de refracción
es de 2.42.
solución Despejando v en la ecuación anterior nos da:
3x108 m s
c
v=
=
n
8
=1.24x10 m s
2.42
Se trata de un índice de refracción excepcionalmente grande que constituye una de las pruebas
más convincentes para identificar diamantes.
LAS LEYES DE REFRACCION
Desde la antigüedad se conocen y se aplican dos leyes básicas de refracción. Estas leyes se
enuncian como sigue (consulte la figura 41):
•
•
El rayo incidente, el rayo retractado y la normal a la superficie se encuentran en el mismo
plano.
La trayectoria de un rayo retractado en la entrecara entre dos medios es exactamente
reversible.
Figura 41. (a) El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la superficie están en el
mismo plano. (b) Los rayos refractados son reversibles.
Estas dos leyes se demuestran fácilmente mediante la observación y la experimentación. Sin
embargo, desde el punto de vista práctico, es mucho más importante entender y predecir el grado
de flexión que ocurre.
Para entender cómo un cambio de velocidad de la luz puede alterar la trayectoria de ésta a través
de un medio, consideremos la analogía mecánica que se muestra en la figura 42. En la figura 42(a)
la luz que incide sobre una lámina de vidrio primero sufre una desviación hacia la normal mientras
pasa a través del medio más denso, y luego se desvía alejándose de la normal al retornar al aire. En
la figura 42(b) la acción de las ruedas que encuentran a su paso una franja de arena se asemeja al
comportamiento de la luz. Al aproximarse a la arena, una de las ruedas la toca primero y disminuye
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su velocidad. La otra rueda continúa ala misma velocidad, provocando que el eje forme un nuevo
ángulo. Cuando ambas ruedas están en la arena, de nuevo se mueven en línea recta con velocidad
uniforme. La primera rueda que entra en la arena es también la primera en salir de ella, y aumenta
su velocidad al dejar la franja de arena. Por lo tanto, el eje regresa a su dirección original. La
trayectoria del eje es análoga a la trayectoria de un frente de onda.
Figura 42. (a) Desplazamiento lateral de la luz al pasar por vidrio. (b) Una analogía
mecánica.
El cambio en la dirección de la luz al entrar en otro medio se puede analizar con la ayuda de un
diagrama de frente de onda como el de la figura 43. Una onda plana en un medio de índice de
refracción n1. choca con la superficie plana de un medio cuyo índice de refracción es n2. El ángulo
de incidencia se designa como θ1 y el ángulo de refracción se representa con θ 2. En la figura se
supone que el segundo medio tiene una densidad óptica mayor que el primero (n2 > n1). Un ejemplo
de esto se presenta cuando la luz pasa del aire (n1 = 1) al agua (n2 = 1.33). La línea AB representa
el frente de onda en un tiempo t = 0 justamente cuando entra en contacto con el medio 2. La línea
CD representa el mismo frente de onda después del tiempo t requerido para entrar totalmente al
segundo medio. La luz se desplaza de B a D en el medio 1 en el mismo tiempo t requerido para que
la luz viaje de A a C en el medio 2. Suponiendo que la velocidad v2 en el segundo medio es menor
que la velocidad v1 en el primer medio, la distancia AC será menor que la distancia BD. Estas
longitudes están dadas por:
AC = v2t
BD = v1t
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Figura 43. Deducción de la ley de Snell.
Se puede demostrar por geometría que el ángulo BAV es igual a θ1 y que el ángulo AVC es igual
a θ2, como se indica en la figura 43. La línea AD forma una hipotenusa que es común a los dos
triángulos AVB y AVC. Partiendo de la figura tenemos:
v1 t
senθ1 =
v2t
senθ2 =
AD
AD
Dividiendo la primera ecuación entre la segunda obtenemos:
senθ1
v1
=
senθ2 v2
La razón del seno del ángulo de incidencia con respecto al seno del ángulo de refracción es igual
a la razón de la velocidad de la luz en el medio incidente con respecto a la velocidad de la luz en
el medio de refracción.
Esta regla fue descubierta por el astrónomo danés Willebrord Snell en el siglo XVII, y se llama
en su honor ley de Snell. Una forma alternativa para esta ley puede obtenerse expresando las
velocidades v1 y v2 en términos de los índices de refracción de los dos medios. Recuerde que:
c
c
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v1 =
v2 = n1
n2
Utilizando
estas ecuaciones en la
ecuación de la ley de
snell, tenemos:
y
n1 sen θ1 = n2 sen θ2
Puesto que el seno de un ángulo aumenta al aumentar el ángulo, vemos que un incremento en el
índice de refracción provoca una disminución en el ángulo y viceversa.
EJEMPLO 13. La luz pasa del agua al aire con un ángulo de incidencia de 35°. ¿Cuál será el ángulo
de refracción si el índice de refracción del agua es de 1.33?
Solución
El ángulo θa se puede determinar por la ley de Snell.
Nw sen θw = na sen θa
1.33 sen 35° = 1.0 sen θa
sen θa = 1.33 sen 35° = 0.763
θa = 49.7°
El índice de refracción decreció de 1.33 a 1.0 y por lo tanto el ángulo aumento.
EJEMPLO 14. Un rayo de luz en el agua (nw = 1.33) incide sobre una lámina de vidrio (ng = 1.5)
a un ángulo de 40°. ¿Cuál es el ángulo de refracción en el vidrio? Consulte la figura 44.
Figura 44.
solución
Aplicando la ley de Snell a la entrecara, obtenemos:
nw sen θw = ng sen θg
1,33 sen 40° = 1.5 sen θg
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sen θg =
sen40° = 0.57
θg= 34.7°
Esta vez n aumentó, así que θ disminuyó.
LONGITUD DE ONDA Y REFRACCION
Hemos visto que la luz disminuye su velocidad cuando pasa a un medio de mayor densidad
óptica. ¿Qué le pasa a la longitud de onda de la luz cuando entra a un nuevo medio? En la figura
45 la luz viaja en el aire a una velocidad c y se encuentra con un medio a través del cual se propaga
a una menor velocidad vm. Cuando regresa al aire, de nuevo viaja a la velocidad c de la luz en el
aire. Esto no viola la conservación de la energía porque la energía de una onda luminosa es
proporcional a su frecuencia. La frecuencia f es la misma dentro del medio que fuera de él. Para
que se percate de que esto es cierto, considere que la frecuencia es el número de ondas que pasan
por cualquier punto en la unidad de tiempo. El mismo número de ondas que sale de un medio en
un segundo es el que entra al medio en un segundo.
Figura 45. La longitud de onda de la luz se reduce cuando ésta entra en un medio de mayor
densidad óptica.
Es decir, la frecuencia dentro del medio no cambia. La velocidad se relaciona con la frecuencia
y la longitud de onda mediante:
c = f λa
y
v m = f λm
donde c y v m son las velocidades en el aire y dentro del medio y λa y λm son las longitudes de onda
respectivas. Puesto que la velocidad disminuye dentro del medio, la longitud de onda dentro del
medio debe disminuir proporcionalmente para que la frecuencia permanezca constante. Dividiendo
la primera ecuación entre la segunda queda:
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c
λm
fλa λa
= = vm fλm
Si se sustituyen vm = c/nm, obtenemos:
λa
λm
nm =
Por lo tanto, la longitud de onda λm dentro del medio se reduce a:
λa
λm =
nm
donde nm es el índice de refracción del medio y λa es la longitud de onda de la luz en el aire.
EJEMPLO 15. Una luz roja monocromática, con una longitud de onda de 640 nm, pasa del aire a
una placa de vidrio cuyo índice de refracción es de 1.5. ¿Cuál será la longitud de onda de la luz
dentro de este medio?
Solución
λa 640nm
λm = = = 427nm nm 1.5
Como un resumen de las relaciones estudiadas hasta aquí, podemos escribir:
senθ1
v1 n λ
= = 2 = 1 n1 λ2
senθ2 v2
en la que los subíndices 1 y 2 se refieren a los diferentes medios. De ese modo se aprecia la relación
entre todas las cantidades importantes afectadas por la refracción.
DISPERSION
Ya hemos mencionado que la velocidad de la luz en diferentes sustancias varía según las
longitudes de onda. Definimos el índice de refracción como la razón de la velocidad c en el espacio
libre a la velocidad dentro del medio.
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c
n=
vm
Los valores que se presentan en la tabla 1 son válidos sólo en el caso de la luz monocromática
amarilla (589 nm). La luz con una longitud de onda diferente, como la luz azul o la luz roja, daría
como resultado un índice de refracción ligeramente diferente. La luz roja viaja con mayor rapidez,
dentro de un medio específico, que la luz azul. Esto se puede demostrar haciendo pasar luz blanca
a través de un prisma de cristal, como en la figura 46. Debido a las diferentes velocidades dentro
del medio, el haz se dispersa en sus colores componentes.
Dispersión es la separación de la luz en las longitudes de onda que la componen.
.De un experimento así, podemos concluir que la luz blanca es en realidad una mezcla de luz,
compuesta de varios colores. La proyección de un haz disperso se conoce como espectro.
Figura 46. Dispersión de la luz por medio de un prisma.
REFRACCION INTERNA TOTAL
Puede presentarse un fenómeno fascinante, conocido como refracción interna total, cuando la
luz pasa en forma oblicua de un medio a otro de menor densidad óptica. Para entender este
fenómeno, consideremos una fuente de luz sumergida en un medio 1, como se ilustra en la figura
47. Observe los cuatro rayos A, E, C y D, que divergen de la fuente sumergida. El rayo A pasa al
medio 2 en dirección normal a la entrecara. El ángulo de incidencia y el ángulo de refracción valen
cero en este caso especial. El rayo E incide con un ángulo θ1 y se refracta alejándose de la normal
con un ángulo θ2 . El ángulo θ2 es mayor que θ1 porque el índice de refracción para el medio 1 es
mayor que para el medio 2 (n1 > n2). Cuando el ángulo de incidencia θ1 aumenta, el ángulo de
refracción θ2 aumenta también hasta que el rayo refractado C emerge en forma tangencial a la
superficie. El ángulo de incidencia θc en el cual ocurre esto se conoce como ángulo crítico.
UI- 21
El ángulo crítico θc es e1ángulo de incidencia límite en un medio mas denso, que da por
resultado un ángulo de refracci6n de 90°.
Un rayo que se aproxime a la superficie con un ángulo mayor que el ángulo crítico es reflejado de
nuevo al interior del medio 1. El rayo D en la figura 47 no pasa al medio de arriba, sino que en la
entrecara se refleja internamente en forma total. Este tipo de reflexión obedece a las mismas leyes
que cualquier otro tipo de reflexión; esto significa que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de
reflexión. La reflexión interna total puede ocurrir únicamente cuando la luz incidente procede de
un medio de mayor densidad (n1 > n2).
Figura 47. Angulo crítico de incidencia.
El ángulo crítico para dos medios determinados se pueden calcular a partir de la ley de Snell.
n1 sen θc = n2 sen θ2
donde θc es el ángulo crítico y θ2 = 90°. Simplificando, escribimos:
n1 sen θc = n2(1)
o bien:
n2
senθc =
n1
Puesto que sen θc nunca puede ser mayor que 1, n1 debe ser mayor que n2.
UI- 22
EJEMPLO 16. ¿Cuál es el ángulo crítico para una superficie vidrio-aire si el índice de refracción
del vidrio es de 1.5?
.
Solución
Sustituyendo en forma directa queda:
na 1.0
senθc = = = 0.667 ng 1.5
θc = arc sen 0.667 = 42˚
El hecho de que el ángulo crítico para el vidrio sea de 42° permite el empleo de prismas a 45°
en gran número de instrumentos ópticos. Dos de esas aplicaciones se ilustran en la figura 48. En la
figura 48(a) se puede obtener una reflexión de 90° con poca pérdida de intensidad. En la figura
48(b) a 180° se obtiene una desviación. En los dos casos, la reflexión interna total ocurre debido a
que todos los ángulos de incidencia son de 45° y por lo tanto mayores que el ángulo crítico.
Figura 48. Los prismas de ángulo recto hacen uso del principio de reflexión interna total
para desviar la trayectoria de la luz.
UI- 23
LENTES
OBJETIVOS Después de completar el estudio de este tema podrá usted:
1. Calcular matemática o experimentalmente la longitud focal de una lente y de- terminar si
es convergente o divergente.
2. Aplicar la ecuaci6n del fabricante de lentes para resolver parámetros desconocidos
relacionados con la construcci6n de lentes.
3. Usar técnicas de trazado de rayos para construir imágenes formadas por lentes
divergentes y convergentes con diversas ubicaciones del objeto.
4. Predecir matemáticamente o determinar en forma experimental la naturaleza, tamaño y
ubicaci6n de las imágenes formadas por lentes convergentes y divergentes.
Una lente es un objeto transparente que altera la forma de un frente de ondas que pasa a través
de él. Las lentes generalmente se construyen de vidrio y se les da forma de tal modo que la luz
refractada forme imágenes similares a las que ya hemos estudiado en el caso de los espejos. Quien
haya examinado objetos a través de un vidrio de aumento, observado objetos distantes por medio
de un telescopio, o tenga experiencia en fotografía, tiene conocimientos sobre los efectos que tienen
las lentes sobre la luz. En este tema estudiaremos las imágenes formadas por medio de lentes y
estudiaremos sus aplicaciones.
LENTES SIMPLES
La forma más sencilla de entender cómo funcionan las lentes consiste en considerar la refracción
de la luz mediante prismas, como ilustra la figura 49. Cuando la ley de Snell se aplica a cada
superficie de un prisma, la luz se desvía hacia la normal cuando entra a un prisma y se aleja de ella
cuando sale del prisma. El efecto, en cualquier caso, es provocar que el haz de luz se desvíe hacia
la base del prisma. Los rayos de luz permanecen paralelos debido a que tanto la superficie de
entrada como la de salida son planas y forman ángulos iguales con todos los rayos que pasan por
el prisma. Por lo tanto, un prisma simplemente altera la dirección de un frente de onda.
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Figura 49. Los rayos paralelos de luz se flexionan hacia la base del prisma y permanecen
paralelos.
Suponga que colocamos dos prismas base con base, como muestra la figura 50(a). La luz
incidente que viene de la izquierda va a converger, pero no se reunirá en un foco. Para enfocar los
rayos de luz en un punto, los rayos extremos deben ser desviados más que los rayos centrales. Esto
se consigue tallando las superficies de modo que tengan una sección transversal uniformemente
curvada, como indica la figura 50(b). Una lente que conduzca un haz de luz paralelo aun foco
puntual en la forma mencionada se llama lente convergente.
Una lente convergente es la que retracta y converge la luz paralela hacia un punto focal situado
más allá de la lente.
Figura 50. (a) Dos prismas colocados base contra base hacen convergir los rayos pero no los
conducen hacia un foco común. (b) Una lente convergente puede construirse curvando
uniformemente las superficies.
Las superficies curvas de las lentes pueden tener cualquier forma regular, por ejemplo esférica,
cilíndrica o parabólica. Puesto que las superficies esféricas son más fáciles de fabricar, la mayoría
de las lentes se construyen con dos superficies esféricas. La línea que une el centro de las dos
esferas se conoce como eje de las lentes. En la figura 51 se muestran tres ejemplos de lentes
convergentes: biconvexa, planoconvexa y de menisco convergente. Observe que las lentes
convergentes son más gruesas en el centro que en los bordes.
UI- 25
Figura 51. Ejemplos de lentes convergentes: (a) biconvexa, (b) planoconvexa, y (c) menisco
convergente.
Un segundo tipo de lente se puede construir fabricando los bordes más gruesos que la parte
media, como muestra la figura 52. Los rayos de luz paralelos que pasan a través de ese tipo de
lentes se desvían hacia la parte gruesa, provocando que el haz se vuelva divergente. La proyección
de los rayos de luz refractados muestra que la luz parece provenir de un punto focal virtual ubicado
frente a la lente.
Una lente divergente es la que retracta y diverge luz paralela a partir de un punto situado frente
a la lente.
Figura 52. Una lente divergente refracta la luz de tal manera, que ésta parece provenir de
un punto situado enfrente de ella.
Ejemplos de lentes divergentes son: bicóncava, planocóncava y de menisco divergente. Vea la
figura 53.
UI- 26
Figura 53. Ejemplos de lentes divergentes: (a) bicóncava, (b) planocóncava, y (c) menisco
divergente.
LONGITUD FOCAL Y LA ECUACIÓN DEL FABRICANTE DE LENTES
Una lente se considera "delgada" si su espesor es pequeño comparado con sus otras
dimensiones. Al igual que en el caso de los espejos, la formación de imágenes por lentes delgadas
es una función de la longitud focal; sin embargo, hay diferencias importantes. Una diferencia obvia
es que la luz puede pasar a través de una lente en dos direcciones. Esto da por resultado dos puntos
focales para cada lente, como se muestra en la figura 54 para una lente convergente, y en la figura
55 para una lente divergente. La primera tiene un foco real F, y la última .tiene un foco virtual F'.
La distancia entre el centro óptico de una lente y el foco en cualquier lado de la lente es la longitud
focal f.
La longitud focal f de una lente es la distancia del centro óptico de la lente a
cualquiera de sus focos.
Puesto que los rayos de luz son reversibles, una fuente de luz que se coloque en cualquier foco
de la lente convergente da por resultado un haz de luz paralelo. Esto puede verse si se invierte la
dirección de los rayos ilustrados en la figura 54.
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Figura 54. Demostración de la longitud focal de una lente convergente. El punto focal es
real debido a que pasan por él los rayos de luz reales.
Figura 55. Demostración de los puntos focales virtuales de una lente divergente.
La longitud focal f de una lente no es igual a la mitad del radio de curvatura, como en los espejos
esféricos, sino que depende del índice de refracción n del material con el que esté fabricada.
También está determinada por los radios de curvatura R l y R2 de sus superficies. como se define en
la figura 56(a). Para lentes delgadas, estas cantidades se relacionan mediante la ecuación:
1
⎛1
1⎞
f = (n −1)⎜⎜⎝ R1 + R2 ⎟⎟⎠
Debido a que la ecuación anterior implica la construcción de parámetros para una lente, se conoce
como ecuación del fabricante de lentes. Se aplica por igual para lentes convergentes y divergentes
siempre que se siga la siguiente convención de signos:
1.
El radio de curvatura (ya sea R1 o R2) se considera positivo si la superficie es curva hacia
afuera (convexa) y negativa si la superficie es curva hacia adentro (cóncava).
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2.
La longitud focal de una lente convergente se considera positiva, y la longitud focal de una
lente divergente se considera negativa.
Figura 56. (a) El punto focal de una lente está determinado por los radios de sus superficies
y por el índice de refracción. (b) Convención de signos para el radio de la superficie de una
lente.
EJEMPLO 17. Un fabricante de lentes planea construir una lente planocóncava de vidrio con un
índice de refracción de 1.5. ¿Cuál debería ser el radio de su superficie curva si la longitud focal
deseada es -30 cm?
Solución
El radio de curvatura R1 para una superficie plana es infinito. El radio R2 de la superficie cóncava
se determina a partir de la ecuación del fabricante de lentes.
1
⎛1
1⎞
⎛1⎞
= (n −1)⎜
f
⎜⎝∞ + R2 ⎟⎟⎠= (n −1)⎜⎜⎝ R2 ⎟⎟⎠
R2 = f (n-1) = (1.5 – 1.0) (-30 cm) = -15 cm
Por convención. el signo menos indica que la superficie curva es cóncava.
EJEMPLO 18. Una lente menisco tiene una superficie convexa cuyo radio de curvatura es de 10
cm y cuya superficie cóncava tiene un radio de -15 cm. Si la lente se construye en vidrio con un
índice de refracción de 1.52, ¿cuál será su longitud focal?
Solución:
Sustituyendo en la ecuación del fabricante de lentes queda:
UI- 29
⎛1
1
1⎞
f = (n −1)⎜⎜⎝ R1 + R2 ⎟⎟⎠
1
⎛1
1⎞
⎛ 3− 2 ⎞
0.52
= (1.52 −1.0)⎜ + ⎟ = 0.52⎜ ⎟= f ⎝10cm 15cm⎠ ⎝30cm⎠
30cm
30cm
f=
= 57.7cm
0.52
El hecho de que una longitud focal sea positiva indica que se trata de una lente menisco
convergente.
FORMACION DE IMÁGENES MEDIANTE LENTES DELGADAS
Para entender cómo se forman las imágenes por medio de lentes, hay que introducir ahora
métodos de trazado de rayos similares a los que se estudiaron para los espejos esféricos. El método
consiste en trazar dos o más rayos a partir de un punto seleccionado sobre el objeto y utilizar el
punto de intersección como la imagen de ese punto. Puede considerarse que la desviación completa
de un rayo que pasa a través de una lente delgada se lleva a cabo en un plano a través del centro de
la lente. Anteriormente se hizo notar que una lente tiene dos puntos focales. Definimos el primer
punto focal F1 como el que se localiza del mismo lado de la lente donde incide la luz. El segundo
punto focal F2 se localiza en el lado opuesto o más distante de la lente. Con estas definiciones en
mente, hay tres rayos principales que se pueden trazar fácilmente a través de la lente. Estos rayos
se ilustran en la figura 57 para una lente convergente y en la figura 58 pata una lente divergente:
Rayo 1 Es un rayo paralelo al eje que pasa a través del segundo punto focal F 2 de una lente
convergente o que parece provenir del primer punto focal F1 de una lente divergente.
Rayo 2 Un rayo que pasa a través del primer punto focal F I de una lente convergente o avanza
hacia el segundo punto focal F z de una lente divergente se retracta paralelamente al eje de la
lente.
Rayo 3
Un rayo que pasa a través del centro geométrico de una lente no se desvía.
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Figura 57. Rayos principales para construir la imagen formada por una lente convergente.
Figura 58. Rayos principales para construir la imagen formada por una lente divergente.
La intersección de cualquiera de estos rayos (o sus extensiones) que provienen de un objeto
puntual, representa la imagen de ese punto. Puesto que una imagen real producida por una lente se
forma mediante rayos de luz que en realidad pasan a través de la lente, una imagen real siempre se
forma del lado de la lente opuesto al objeto. Una imagen virtual aparecerá del mismo lado de la
lente donde se encuentra el objeto.
Para ilustrar el método gráfico y, al mismo tiempo, entender la formación de diversas imágenes
mediante lentes, consideraremos algunos ejemplos. Las imágenes formadas por una lente
convergente se aprecian en la figura 60 para las siguientes posiciones del objeto:
(a)
Objeto localizado a una distancia de más del doble de la longitud focal. Se forma una
imagen real, invertida y menor entre F2 y 2F2 en el lado opuesto de la lente.
(b)
El objeto está a una distancia igual al doble de la longitud focal. Una imagen real,
invertida, del mismo tamaño se ubica en 2F2 en el lado opuesto de la lente.
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(c)
El objeto se localiza a una distancia entre una y dos longitudes focales de la lente. Se
forma una imagen real, invertida y mayor, más allá de 2F2 del lado. opuesto de la lente.
(d)
El objeto está en el primer punto focal F1. No se forma imagen. Los rayos refractados son
paralelos.
(e)
El objeto se encuentra dentro del primer punto focal. Se forma una imagen virtual, erecta
(derecha) y mayor, del mismo lado de la lente donde se encuentra el objeto.
Observe que las imágenes formadas por una lente convexa son similares a las que se forman
mediante espejos cóncavos. Esto se debe a que ambos hacen converger la luz. Puesto que las lentes
cóncavas divergen la luz, es de esperarse que formen imágenes similares a las que forman los
espejos divergentes (espejo convexo). La figura 59 demuestra esta similitud.
Las imágenes de objetos reales formadas mediante lentes divergentes siempre son
virtuales, derechas y de menor tamaño.
Figura 59. Las imágenes que se forman mediante lentes divergentes siempre son virtuales,
erectas y de menor tamaño.
Para evitar confusiones, es conveniente identificar las lentes y los espejos como convergentes o
divergentes. Las lentes divergentes con frecuencia se emplean para neutralizar el efecto de las lentes
convergentes.
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Figura 60. Construcción de la imagen para las siguientes distancias del objeto: (a) más allá
de 2 F1, (b) en 2 F1, (c) entre 2 F1 y F1, (d) en F1 y (e) dentro de F1.
LA ECUACIÓN DE LAS LENTES Y EL AUMENTO
UI- 33
Las características, el tamaño y la localización de las imágenes pueden también determinarse
analíticamente a partir de la ecuación de las lentes. Esta importante relación se puede deducir
aplicando la geometría plana a la figura 61. La deducción es similar a la que se hizo para obtener
la ecuación del espejo, y la forma final es exactamente igual. La ecuación de las lentes puede
escribirse:
1
1 1
+=pqf
donde p = distancia al objeto
q = distancia a la imagen
f = distancia focal de la lente
Las mismas convenciones de signos establecidas para los espejos se pueden usar en la ecuación
de las lentes si tanto las convergentes como las divergentes se comparan con los espejos
convergentes y divergentes. Esta convención se resumen en la siguiente forma:
1. La distancia al objeto p y la distancia a la imagen q se consideran positivas para objetos e
imágenes reales y negativas para objetos e imágenes virtuales.
2. La longitud focal f se considera positiva para lentes convergentes y negativa para lentes
divergentes.
Las siguientes formas alternativas de la ecuación de las lentes resultan útiles para .resolver
problemas de óptica
fq
p=
fp
q=
fp−fq+p
qp
f=
q−
Es conveniente que verifique cada una de estas expresiones resolviendo la ecuación de las lentes
explícitamente para cada parámetro que aparece en la ecuación.
El aumento de una lente también se deduce de la figura 61 y tiene la misma forma estudiada
para los espejos. Hay que recordar que el aumento (amplificación) M se define como la razón del
tamaño de la imagen y’ con respecto al tamaño del objeto y, por lo que:
M
y'
q
= =− y
p
donde q es la distancia a la imagen y p es la distancia al objeto.
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Un aumento positivo indica que la imagen es derecha, mientras que un aumento negativo ocurre
sólo cuando la imagen es invertida.
Figura 61. Deducción de la ecuación de las lentes y el aumento.
EJEMPLO 19. Un objeto de 4 cm de altura se localiza a 10 cm de una lente convergente delgada
que tiene una longitud focal de 20 cm. ¿Cuál es la naturaleza, tamaño y ubicación de la imagen?
Solución:
La situación corresponde ala que se ilustra en la figura 59(e). La distancia a la imagen se encuentra
a partir de:
pf
(10cm)(20cm) 200cm 2
q = = = = −20cm p − f 10cm − 20cm −10cm
El signo menos indica que la imagen es virtual. La relación de aumento nos permite calcular el
tamaño de la imagen:
− qy −(− 20cm)(4cm)
y = = = +8cm p
10cm
'
El signo positivo indica que la imagen es derecha. Este ejemplo ilustra el principio de una lente de
aumento. Una lente convergente que se sostiene más cerca de un objeto que su punto focal, produce
una imagen virtual, derecha y ampliada.
EJEMPLO 20. Una lente menisco divergente tiene una longitud focal de -16 cm. Si la lente se
sostiene a 10 cm del objeto, ¿dónde se localiza la imagen? ¿Cuál es el aumento de la lente?
Solución
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Por sustitución directa:
pf
q= =
(10cm)(−16cm)
=
−160
= −6.15cm p − f
−(−16cm)
10cm
26
El signo menos de nuevo indica que la imagen es virtual. El aumento es:
−(6.15cm)
q
M = − = = +0.615 p 10cm
El aumento positivo significa que la imagen es derecha.
COMBINACIONES DE LENTES
Cundo la luz pasa por dos o más lentes, puede determinarse la acción combina- da si se considera
la imagen formada por la primera lente como el objeto de la segunda, y así sucesivamente.
Considere. por ejemplo, el arreglo de lentes de la figura 62. La lente 1 forma una imagen real e
invertida I1 del objeto O. Considerando esta imagen intermedia como un objeto real para la lente
2, la imagen final I2 se ve como real, derecha y ampliada. La ecuación de las lentes se puede aplicar
sucesivamente a estas dos lentes para determinar analíticamente la posición de la imagen final. El
aumento total producido por un sistema de lentes es el producto del aumento causado por cada lente
del sistema. La clave de esto puede apreciarse en la figura 62. Los aumentos en este caso son:
y '1
y '2
M 1=
M 2=
y1
y2
Puesto que y’1= y2, el producto M1 M2 nos lleva a:
y '1 y ' 2
y1 y2
y '2
=
y1
Entre las aplicaciones de los principios mencionados están el microscopio, el telescopio y otros
instrumentos ópticos.
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Figura 62. El microscopio.
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