La mayoría de los objetos curvos usados en aplicaciones prácticas son esféricos. Un espejo esférico es un espejo que puede considerarse como una porción de una esfera reflejante. Los dos tipos de espejos esféricos se ilustran en la figura 29. Si el interior de la superficie esférica es la superficie reflejante, se dice que el espejo es cóncavo. Si la porción exterior es la superficie reflejante, el espejo es convexo. En cualquier caso, R es el radio de curvatura, y C es el centro de curvatura para los espejos. El segmento AB, que es útil frecuentemente en problemas de óptica, se llama abertura lineal del espejo. La línea punteada CV, que pasa a través del centro de curvatura y del centro topográfico o vértice del espejo, se conoce como eje del espejo. Figura 29. Definición de términos para los espejos esféricos. Examinemos ahora la reflexión de la luz en una superficie esférica. Como un caso sencillo, suponga un haz de rayos de luz paralelos que inciden sobre una superficie cóncava, tal como se ilustra en la figura 30. En virtud de que el espejo es perpendicular al eje en su vértice V, un rayo de luz CV es reflejado de regreso sobre sí mismo. En realidad, cualquier rayo de luz que avanza a lo largo de un radio del espejo se refleja de regreso sobre sí mismo. El rayo de luz paralelo MN se refleja de modo que el ángulo de incidencia θ i sea igual al ángulo de reflexión θr. Ambos ángulos se miden con respecto al radio CN. La geometría de la reflexión es tal, que el rayo reflejado pasa a través del punto F sobre el eje a la mitad del camino entre el centro de curvatura C y el vértice V. El punto F, en el cual convergen los rayos luminosos paralelos, se conoce como punto focal del espejo. A la distancia de F a V se le llama longitud focal f. Como ejercicio conviene demostrar, a partir de la figura 30(a), que: R f= 2 La longitud focal f de un espejo c6ncavo es igual a la mitad de su radio de curvatura R. UI- 1 Figura 30. Punto focal de un espejo cóncavo: (a) la longitud focal es la mitad del radio de curvatura; (b) el objeto se encuentra en el infinito y la imagen en el punto focal; (c)el objeto está en el punto focal y la imagen en el infinito. Todos los rayos de luz de un objeto distante, como por ejemplo el sol, convergen en el punto focal F, como muestra la figura 30(b). Por esta razón, a los espejos cóncavos frecuentemente se les llama espejos convergentes. El punto focal puede encontrarse experimentalmente haciendo que converja la luz del sol en un punto sobre un trozo de papel. El punto a lo largo del eje del espejo donde la imagen formada sobre el papel es más brillante corresponderá al punto focal del espejo. Por el hecho de que los rayos de luz son reversibles, si una fuente de luz está colocada en el punto focal de un espejo convergente, su imagen se formará a una distancia infinita. Es decir, el haz de luz emergente será paralelo al eje del espejo, como se muestra en la figura 30(c). Un análisis similar se aplica a un espejo convexo, como se ilustra en la figura 31. Observe que el haz de luz paralelo que incide en una superficie convexa, diverge. Los rayos de luz reflejados parecen provenir del punto F situado detrás del. espejo, pero ningún rayo de luz pasa realmente a través de él. Aun cuando el punto focal es virtual, la distancia VF se sigue llamando longitud focal del espejo convexo. En vista de que los rayos de luz reales divergen cuando inciden sobre una superficie de este tipo, a los espejos convexos se les llama espejos divergentes. UI- 2 La ecuación f = R/2 también se aplica aun espejo convexo. Sin embargo, para ser consistentes con la teoría (que se expondrá posteriormente), la longitud focal f y el radio R deben considerarse como negativos en el caso de los espejos divergentes. Figura 31. Punto focal de un espejo convexo. IMAGENES FORMADAS POR ESPEJOS ESFERICOS El mejor método para comprender la formación de imágenes por medio de espejos es a través de la óptica geométrica, o trazado de rayos. Este método consiste en considerar la reflexión de unos cuantos rayos divergentes a partir de algún punto , de un objeto O que no se encuentre en el eje del espejo. El punto en el cual se intersectarán todos estos rayos reflejados determina la ubicación de la imagen. Analizaremos ahora tres rayos cuyas trayectorias pueden trazarse fácilmente. Cada uno de los rayos se ilustra, tanto para un espejo convergente (cóncavo) en la figura 32, como para un espejo divergente (convexo) en la figura 33. RAYO 1 Un rayo paralelo al eje del espejo pasa a través del punto local de un espejo cóncavo o parece provenir del punto local de un espejo convexo. RAYO 2 Un rayo que pasa a través del punto local de un espejo cóncavo o que se dirige al punto local de un espejo convexo se refleja paralelamente al eje del espejo. RAYO 3 Un rayo que avanza a lo largo de un radio del espejo se refleja a lo largo de su trayectoria original. En una situación específica, sólo se necesitan dos de estos tres rayos para ubicar la imagen de un punto. Si se eligen los rayos que provienen de un punto extremo del objeto, la imagen restante se puede completar generalmente por simetría. En las figuras, las líneas discontinuas se usan para identificar los rayos virtuales y las imágenes virtuales. UI- 3 Figura 32. Principales rayos para la construcción gráfica de las imágenes reflejadas por espejos cóncavos. Figura 33. Principales rayos para la construcción gráfica de las imágenes reflejadas por espejos convexos. Para ilustrar el método gráfico y al mismo tiempo visual izar algunas de las imágenes que pueden presentarse, vamos a considerar ahora varias imágenes formadas por un espejo cóncavo. En la figura 34(a) se ilustra la imagen formada por un objeto O que se ha colocado afuera del centro de curvatura del espejo. Observe que la imagen se ha formado entre el punto focal F y el centro de curvatura c. En este caso, la imagen es real, invertida y más pequeña que el objeto. En la figura 34(b)., el objeto O se localiza en el centro de curvatura c. En ese caso, en el centro de curvatura del espejo cóncavo se forma una imagen que es real, invertida y del mismo tamaño que el objeto. En la figura 34(c), el objeto O se localiza entre C y F. Al trazar los rayos correspondientes se observa que la imagen se forma más allá del centro de curvatura. Dicha imagen es real, invertida y mayor que el objeto. Cuando el objeto se encuentra en el punto focal F, todos los rayos reflejados son paralelos (véase la figura 34(d)). Por el hecho de que los rayos reflejados jamás se intersectarán, por más que se UI- 4 prolonguen en cualquier dirección, no se formará ninguna imagen. (Algunas personas prefieren decir que en este caso la distancia a la imagen es infinita.) Cuando el objeto se localiza entre el punto focal F y el vértice, como se muestra en la figura 34(e), parece que la imagen está detrás del espejo. Esto se puede apreciar si se prolongan los rayos reflejados hasta un punto situado atrás del espejo. Por lo tanto, la imagen es virtual. Observe también que la imagen es mayor que el objeto y que no está invertida, sino en posición normal. En este caso, el aumento de la imagen es el mismo principio que se aplica en los espejos para afeitarse y en otros donde se forman imágenes virtuales amplificadas. Por otra parte, todas las imágenes que se forman en espejos convexos tienen, las mismas características. Como ya se mostró en la figura 33, se trata de imágenes virtuales, que están en posición normal (no invertida) y tienen un tamaño reducido. El resultado de esto es que ofrecen un campo de visión más amplio. Las ventajas de este efecto se han aprovechado en un gran número de aplicaciones prácticas de los espejos convexos. Los espejos retrovisores para automóvil suelen ser convexos para ofrecer una capacidad visual máxima. En algunas tiendas se instalan grandes espejos convexos en lugares estratégicos, porque ofrecen una visión panorámica muy útil para detectar ladrones. UI- 5 Figura 34. Imágenes formadas por un espejo convergente para las siguientes distancias del objeto: (a) más lejos que el centro de curvatura C, (b) en C, (c) entre C y la longitud focal F, (d) en F, y (e) entre F y V. LA ECUACIÓN DEL ESPEJO Ahora que ya tenemos una idea de las características de las imágenes y de cómo se forman, será conveniente desarrollar un procedimiento analítico de la formación de imágenes. Considere la reflexión de la luz de un objeto puntual O, como se ilustra en la figura 35 para un espejo cóncavo. El rayo OV es incidente a lo largo del eje del espejo y se refleja sobre sí mismo. El rayo OM se selecciona arbitrariamente y avanza hacia el espejo con un ángulo α formado con el eje del espejo. Este rayo es incidente a un ángulo θi y se refleja con un ángulo igual θr. Los rayos de luz reflejados en M y en V cruzan al punto I, formando una imagen del objeto. Tanto la distancia al objeto p como la distancia a la imagen q, se miden a partir del vértice del espejo y se indican en la figura. La imagen en I es una imagen real, puesto que se forma por medio de rayos luminosos verdaderos que pasan a través de él. Figura 35. En un espejo convergente se forma una imagen puntual a partir de un objeto puntual. Consideremos ahora la imagen formada por un objeto más extenso OA, como se muestra en la figura 25-15. La imagen del punto O se encuentra en I, como antes. Trazando los rayos a partir de la punta de la flecha, somos capaces de dibujar la imagen de A a E. El rayo AM pasa a través del centro de curvatura y se refleja de regreso sobre sí mismo. Un rayo AV que incide en el vértice del espejo forma los ángulos iguales θi y θr. Los rayos VE y AM cruzan en E, formando una imagen de la punta de la flecha en ese punto. El resto de la imagen IR se puede construir trazando rayos similares para los puntos correspondientes en el objeto OA. Observe que la imagen es real e invertida. Las siguientes cantidades se identifican en la figura 36: Distancia al objeto = OV = p Distancia a la imagen = N = q UI- 6 Radio de curvatura = CV = R Tamaño del objeto = OA = y Tamaño de la imagen = IR = y' Figura 36. Deducción de la ecuación del espejo. Ahora intentemos relacionar estas cantidades. A partir de la figura, se observa que los ángulos OCA y VCM son iguales. Representando a este ángulo por a, podemos escribir: y tanα= = −q −y' p−R R de donde −y' R−q = y p−R El tamaño de la imagen y' es negativo porque está invertido en la figura. En forma similar, los ángulosθi y θr, en la figura son iguales, de modo que: 'y −y tan θi = tan θr = p q Combinando las ecuaciones anteriores tenemos: −y' q == R−q ypp− R Reordenando los términos, obtenemos esta importante relación: UI- 7 1 1 2 +=pqR Esta relación se conoce como ecuaci6n del espejo. A menudo se escribe en términos de la longitud focal f del espejo, en lugar de hacerlo respecto al radio de curvatura. Recordando que f = R/2, podemos reescribir la ecuación anterior como: 1 1 1 +=pqf Se puede hacer una deducción similar en el caso de un espejo convexo, y aplicamos la misma ecuación, siempre que se adopte la convención de signos apropiada. Las distancias al objeto ya la imagen p y q, deben considerarse positivas para objetos reales y negativas para objetos e imágenes virtuales. El radio de curvatura R y la longitud focal f deben considerarse positivos para espejos convergentes (cóncavos) y negativos para espejos divergentes (convexos). EJEMPLO 8. (a). ¿Cuál es la longitud focal de un espejo convergente cuyo radio de curvatura es de 20 cm?. (b). ¿Cuál es la naturaleza y la colocación de una imagen formada por el espejo si un objeto se encuentra a 15 cm del vértice del espejo?. Solución. La longitud focal es de la mitad del radio de curvatura y el radio es positivo para un espejo convergente. R + 20cm f== =+10cm 2 2 La ubicación de la imagen se determina a partir de la ecuación del espejo: 1 1 1 +=pqf Despejando q nos queda: pf q= p−f de donde: (15cm)(10cm) q= =+30cm 15cm −10cm Por consiguiente, la imagen es real y se localiza a 30 cm del espejo. Al trazar rayos en forma similar a como se hizo en la figura 34(c), se demuestra que la imagen también será invertida. UI- 8 Casi siempre resulta más sencillo resolver la ecuación del espejo en forma explícita para la cantidad desconocida, en lugar de sustituirla directamente. Le serán muy útiles las siguientes expresiones en la resolución de la mayor parte de los problemas referentes a espejos: = −f qf p q pq f= pf q= +qp−f p La convención de signos se resume en la siguiente forma: 1. La distancia al objeto p es positiva para objetos reales y negativa para objetos virtuales. 2. La distancia a la imagen q es positiva para imágenes reales y negativa para imágenes virtuales. 3. El radio de curvatura R y la longitud focal son positivos para espejos convegentes y negativos para espejos divergentes. Esta convención se aplica únicamente a los valores numéricos sustituidos en las ecuaciones anteriores. Las cantidades q, p y f deben conservar sus signos sin cambio alguno, hasta el momento en que se realiza la sustitución. EJEMPLO 9. Determine la posición de la imagen si un objeto está colocado a 4cm de un espejo convexo cuya longitud focal es de 6 cm. Solución En este caso, p = 4 cm y f = -6 cm. El signo menos es necesario porque un espejo convexo es un espejo divergente. pf (4cm)(− 6cm) − 24cm 2 q = = = =−2.4cm p − f 4cm −(− 6cm) 10cm La distancia a la imagen es negativa, lo que indica que la imagen es virtual. AMPLIFICACIÓN Las imágenes formadas por los espejos esféricos pueden ser mayores, menores o iguales en tamaño que los objetos reflejados en ellos. La razón del tamaño de la imagen al tamaño del objeto es la amplificación M del espejo. y' Amplificación = y UI- 9 El tamaño se refiere a cualquier dimensión lineal, altura o ancho, Recurriendo a la ecuación −y' q == R−q ypp− R y a la figura 36, obtenemos la útil relación: y' −q M== y p donde q es la distancia a la imagen y p es la distancia al objeto. Una característica muy conveniente de la ecuación anterior es que una imagen invertida siempre tendrá un aumento o amplificación negativa, y una imagen en posición normal (derecha) tendrá siempre una amplificación positiva. EJEMPLO 10. Una fuente de luz de 6 cm de altura se coloca a 60 cm de un espejo cóncavo cuya longitud focal es de 20 cm, Determine la ubicación, la naturaleza y el tamaño de la imagen. Solución: Primero determinamos la distancia a la imagen q, en la siguiente forma: pf (60cm)(20cm) q = = = 30cm p − f 60cm − 20cm Puesto que q es positiva, la imagen es real. El tamaño de la imagen se obtiene de la ecuación de relación de tamaño: qy (30cm)(6cm) y =− =− = −3cm p 60cm El signo negativo indica que la imagen es invertida. Observe que la amplificación es de 1/2. ' EJEMPLO 11. ¿A qué distancia de un espejo convexo se debe sostener un lápiz para que forme una imagen de la mitad de tamaño del lápiz? El radio del espejo es de 40 cm. Solución La longitud focal del espejo es R − 40cm f== =−20cm 2 2 UI- 10 El signo menos se debe al espejo divergente. Ese tipo de espejo siempre forma u imagen en posición normal (al derecho), de tamaño reducido. (Véase la figura 33.) La amplificación en este caso es +1/2 . Por lo tanto, q 1 −=+p 2 De la ecuación del espejo, q es también: pf q= p−f Combinando las dos ecuaciones para q, tenemos: pf −f p =− p 2 Dividiendo entre p queda: f 1 =− p − q 2 2f = -p + f p = -f p = -(-20 cm) = 20 cm O sea que, cuando un objeto se sostiene a una distancia igual a la longitud focal de un espejo convexo, el tamaño de la imagen es de la mitad del tamaño del objeto. ABERRACION ESFÉRICA En la práctica, los espejos esféricos forman imágenes razonablemente nítidas siempre que sus aberturas sean pequeñas comparadas con sus longitudes focales. Cuando se usan espejos grandes, sin embargo, algunos de los rayos que provienen de los objetos inciden cerca de los bordes externos y son enfocados a diferentes puntos sobre el eje. Este defecto de enfoque, ilustrado en la figura 37, se conoce como aberraci6n esférica. UI- 11 Figura 37. Aberración esférica. Un espejo parabólico no presenta este defecto. Teóricamente, los rayos luminosos paralelos que inciden en un reflector parabólico se enfocarán hacia un solo punto sobre el eje del espejo. (Véase la figura 38.) Una pequeña fuente de luz ubicada en el punto focal de un reflector parabólico es el principio usado en muchos proyectores y faros buscadores. El haz emitido por un dispositivo así es paralelo al eje del reflector. Figura 38. Un reflector parabólico enfoca toda la luz paralela incidente hacia el mismo punto. REFRACCION OBJETIVOS Después de completar el estudio de este tema podrá usted: 1. Definir el índice de refracción y expresar tres leyes que describen el comportamiento de la luz refractada. 2. Aplicar la ley de Snell para resolver problemas que impliquen la transmisión de la luz en dos o más medios. 3. Determinar el cambio de velocidad o de longitud de onda de la luz cuando se mueve de un medio a otro. 4. Explicar los conceptos de reflexión interna total y ángulo crítico, y utilizar estas ideas para resolver problemas similares a los que aparecen en este tema. UI- 12 La luz se propaga en línea recta a velocidad constante en un medio uniforme. Si cambia el medio, la velocidad cambiará también y la luz viajará en línea recta a lo largo de una nueva trayectoria. La desviación de un rayo de luz cuando pasa oblicuamente de un medio a otro se conoce como refracción. El fundamento de la refracción se ilustra en la figura 39 para el caso de una onda de luz que se propaga del aire al agua. El ángulo θi que se forma entre el haz incidente y la normal a la superficie se conoce como ángulo de incidencia. Al ángulo θr formado entre el haz refractado y la normal se le llama ángulo de refracción. Figura 39. Refracción de un frente de onda en la frontera entre dos medios. La refracción es la causante de la distorsión de algunos objetos. En la figura 40(a), la varilla parece flexionarse en la superficie del agua, y el pez de la figura 40(b) parece estar más cerca de la superficie de lo que en realidad se encuentra. Estudiaremos las propiedades de los medios refractivos y se desarrollarán las ecuaciones para predecir su efecto sobre los rayos luminosos incidentes. UI- 13 Figura 40. La refracción es la causante de la distorsión de estas imágenes. (a) La varilla parece estar flexionada. (b) Este pez aparece más cerca de la superficie de lo que está en realidad. ÍNDICE DE REFRACCION La velocidad de la luz dentro de una sustancia material generalmente es menor que la velocidad en el espacio libre, donde es de 3 X 108 m/s. En el agua. la velocidad de la luz es casi de 2.25 X 108 m/s, la cual es casi equivalente a las tres cuartas partes de su velocidad en el aire. La luz viaja aproximadamente a dos tercios de esa velocidad en el vidrio, o sea a unos 2 X 10 8 m/s. La relación de la velocidad de la luz c en el vacío entre la velocidad v de la luz en un medio particular se llama índice de refracción n para ese material. El índice de refracción n de un material particular es la razón de la velocidad de la luz en el espacio libre con respecto a la velocidad de la luz a través del material. c n= v El índice de refracción es una cantidad adimensional y generalmente es mayor que la unidad. Para el agua, n= 1.33, y para el vidrio, n= 1.5. La tabla siguiente, muestra los índices de refracción de diversas sustancias de uso común. Observe que los valores allí señalados se aplican al caso de una luz amarilla de 589 nm de longitud de onda. La velocidad de la luz en sustancias materiales es diferente para longitudes de onda diferentes. Este efecto, conocido como dispersión. Cuando la longitud de onda de la luz no se especifica, se suele, suponer que el índice corresponde al que tendría una luz amarilla. TABLA 1 índice de refracción de la luz amarilla, con longitud de onda de 589 nm. UI- 14 EJEMPLO 12. Calcule la velocidad de la luz amarilla en un diamante cuyo índice de refracción es de 2.42. solución Despejando v en la ecuación anterior nos da: 3x108 m s c v= = n 8 =1.24x10 m s 2.42 Se trata de un índice de refracción excepcionalmente grande que constituye una de las pruebas más convincentes para identificar diamantes. LAS LEYES DE REFRACCION Desde la antigüedad se conocen y se aplican dos leyes básicas de refracción. Estas leyes se enuncian como sigue (consulte la figura 41): • • El rayo incidente, el rayo retractado y la normal a la superficie se encuentran en el mismo plano. La trayectoria de un rayo retractado en la entrecara entre dos medios es exactamente reversible. Figura 41. (a) El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la superficie están en el mismo plano. (b) Los rayos refractados son reversibles. Estas dos leyes se demuestran fácilmente mediante la observación y la experimentación. Sin embargo, desde el punto de vista práctico, es mucho más importante entender y predecir el grado de flexión que ocurre. Para entender cómo un cambio de velocidad de la luz puede alterar la trayectoria de ésta a través de un medio, consideremos la analogía mecánica que se muestra en la figura 42. En la figura 42(a) la luz que incide sobre una lámina de vidrio primero sufre una desviación hacia la normal mientras pasa a través del medio más denso, y luego se desvía alejándose de la normal al retornar al aire. En la figura 42(b) la acción de las ruedas que encuentran a su paso una franja de arena se asemeja al comportamiento de la luz. Al aproximarse a la arena, una de las ruedas la toca primero y disminuye UI- 15 su velocidad. La otra rueda continúa ala misma velocidad, provocando que el eje forme un nuevo ángulo. Cuando ambas ruedas están en la arena, de nuevo se mueven en línea recta con velocidad uniforme. La primera rueda que entra en la arena es también la primera en salir de ella, y aumenta su velocidad al dejar la franja de arena. Por lo tanto, el eje regresa a su dirección original. La trayectoria del eje es análoga a la trayectoria de un frente de onda. Figura 42. (a) Desplazamiento lateral de la luz al pasar por vidrio. (b) Una analogía mecánica. El cambio en la dirección de la luz al entrar en otro medio se puede analizar con la ayuda de un diagrama de frente de onda como el de la figura 43. Una onda plana en un medio de índice de refracción n1. choca con la superficie plana de un medio cuyo índice de refracción es n2. El ángulo de incidencia se designa como θ1 y el ángulo de refracción se representa con θ 2. En la figura se supone que el segundo medio tiene una densidad óptica mayor que el primero (n2 > n1). Un ejemplo de esto se presenta cuando la luz pasa del aire (n1 = 1) al agua (n2 = 1.33). La línea AB representa el frente de onda en un tiempo t = 0 justamente cuando entra en contacto con el medio 2. La línea CD representa el mismo frente de onda después del tiempo t requerido para entrar totalmente al segundo medio. La luz se desplaza de B a D en el medio 1 en el mismo tiempo t requerido para que la luz viaje de A a C en el medio 2. Suponiendo que la velocidad v2 en el segundo medio es menor que la velocidad v1 en el primer medio, la distancia AC será menor que la distancia BD. Estas longitudes están dadas por: AC = v2t BD = v1t UI- 16 Figura 43. Deducción de la ley de Snell. Se puede demostrar por geometría que el ángulo BAV es igual a θ1 y que el ángulo AVC es igual a θ2, como se indica en la figura 43. La línea AD forma una hipotenusa que es común a los dos triángulos AVB y AVC. Partiendo de la figura tenemos: v1 t senθ1 = v2t senθ2 = AD AD Dividiendo la primera ecuación entre la segunda obtenemos: senθ1 v1 = senθ2 v2 La razón del seno del ángulo de incidencia con respecto al seno del ángulo de refracción es igual a la razón de la velocidad de la luz en el medio incidente con respecto a la velocidad de la luz en el medio de refracción. Esta regla fue descubierta por el astrónomo danés Willebrord Snell en el siglo XVII, y se llama en su honor ley de Snell. Una forma alternativa para esta ley puede obtenerse expresando las velocidades v1 y v2 en términos de los índices de refracción de los dos medios. Recuerde que: c c UI- 17 v1 = v2 = n1 n2 Utilizando estas ecuaciones en la ecuación de la ley de snell, tenemos: y n1 sen θ1 = n2 sen θ2 Puesto que el seno de un ángulo aumenta al aumentar el ángulo, vemos que un incremento en el índice de refracción provoca una disminución en el ángulo y viceversa. EJEMPLO 13. La luz pasa del agua al aire con un ángulo de incidencia de 35°. ¿Cuál será el ángulo de refracción si el índice de refracción del agua es de 1.33? Solución El ángulo θa se puede determinar por la ley de Snell. Nw sen θw = na sen θa 1.33 sen 35° = 1.0 sen θa sen θa = 1.33 sen 35° = 0.763 θa = 49.7° El índice de refracción decreció de 1.33 a 1.0 y por lo tanto el ángulo aumento. EJEMPLO 14. Un rayo de luz en el agua (nw = 1.33) incide sobre una lámina de vidrio (ng = 1.5) a un ángulo de 40°. ¿Cuál es el ángulo de refracción en el vidrio? Consulte la figura 44. Figura 44. solución Aplicando la ley de Snell a la entrecara, obtenemos: nw sen θw = ng sen θg 1,33 sen 40° = 1.5 sen θg UI- 18 sen θg = sen40° = 0.57 θg= 34.7° Esta vez n aumentó, así que θ disminuyó. LONGITUD DE ONDA Y REFRACCION Hemos visto que la luz disminuye su velocidad cuando pasa a un medio de mayor densidad óptica. ¿Qué le pasa a la longitud de onda de la luz cuando entra a un nuevo medio? En la figura 45 la luz viaja en el aire a una velocidad c y se encuentra con un medio a través del cual se propaga a una menor velocidad vm. Cuando regresa al aire, de nuevo viaja a la velocidad c de la luz en el aire. Esto no viola la conservación de la energía porque la energía de una onda luminosa es proporcional a su frecuencia. La frecuencia f es la misma dentro del medio que fuera de él. Para que se percate de que esto es cierto, considere que la frecuencia es el número de ondas que pasan por cualquier punto en la unidad de tiempo. El mismo número de ondas que sale de un medio en un segundo es el que entra al medio en un segundo. Figura 45. La longitud de onda de la luz se reduce cuando ésta entra en un medio de mayor densidad óptica. Es decir, la frecuencia dentro del medio no cambia. La velocidad se relaciona con la frecuencia y la longitud de onda mediante: c = f λa y v m = f λm donde c y v m son las velocidades en el aire y dentro del medio y λa y λm son las longitudes de onda respectivas. Puesto que la velocidad disminuye dentro del medio, la longitud de onda dentro del medio debe disminuir proporcionalmente para que la frecuencia permanezca constante. Dividiendo la primera ecuación entre la segunda queda: UI- 19 c λm fλa λa = = vm fλm Si se sustituyen vm = c/nm, obtenemos: λa λm nm = Por lo tanto, la longitud de onda λm dentro del medio se reduce a: λa λm = nm donde nm es el índice de refracción del medio y λa es la longitud de onda de la luz en el aire. EJEMPLO 15. Una luz roja monocromática, con una longitud de onda de 640 nm, pasa del aire a una placa de vidrio cuyo índice de refracción es de 1.5. ¿Cuál será la longitud de onda de la luz dentro de este medio? Solución λa 640nm λm = = = 427nm nm 1.5 Como un resumen de las relaciones estudiadas hasta aquí, podemos escribir: senθ1 v1 n λ = = 2 = 1 n1 λ2 senθ2 v2 en la que los subíndices 1 y 2 se refieren a los diferentes medios. De ese modo se aprecia la relación entre todas las cantidades importantes afectadas por la refracción. DISPERSION Ya hemos mencionado que la velocidad de la luz en diferentes sustancias varía según las longitudes de onda. Definimos el índice de refracción como la razón de la velocidad c en el espacio libre a la velocidad dentro del medio. UI- 20 c n= vm Los valores que se presentan en la tabla 1 son válidos sólo en el caso de la luz monocromática amarilla (589 nm). La luz con una longitud de onda diferente, como la luz azul o la luz roja, daría como resultado un índice de refracción ligeramente diferente. La luz roja viaja con mayor rapidez, dentro de un medio específico, que la luz azul. Esto se puede demostrar haciendo pasar luz blanca a través de un prisma de cristal, como en la figura 46. Debido a las diferentes velocidades dentro del medio, el haz se dispersa en sus colores componentes. Dispersión es la separación de la luz en las longitudes de onda que la componen. .De un experimento así, podemos concluir que la luz blanca es en realidad una mezcla de luz, compuesta de varios colores. La proyección de un haz disperso se conoce como espectro. Figura 46. Dispersión de la luz por medio de un prisma. REFRACCION INTERNA TOTAL Puede presentarse un fenómeno fascinante, conocido como refracción interna total, cuando la luz pasa en forma oblicua de un medio a otro de menor densidad óptica. Para entender este fenómeno, consideremos una fuente de luz sumergida en un medio 1, como se ilustra en la figura 47. Observe los cuatro rayos A, E, C y D, que divergen de la fuente sumergida. El rayo A pasa al medio 2 en dirección normal a la entrecara. El ángulo de incidencia y el ángulo de refracción valen cero en este caso especial. El rayo E incide con un ángulo θ1 y se refracta alejándose de la normal con un ángulo θ2 . El ángulo θ2 es mayor que θ1 porque el índice de refracción para el medio 1 es mayor que para el medio 2 (n1 > n2). Cuando el ángulo de incidencia θ1 aumenta, el ángulo de refracción θ2 aumenta también hasta que el rayo refractado C emerge en forma tangencial a la superficie. El ángulo de incidencia θc en el cual ocurre esto se conoce como ángulo crítico. UI- 21 El ángulo crítico θc es e1ángulo de incidencia límite en un medio mas denso, que da por resultado un ángulo de refracci6n de 90°. Un rayo que se aproxime a la superficie con un ángulo mayor que el ángulo crítico es reflejado de nuevo al interior del medio 1. El rayo D en la figura 47 no pasa al medio de arriba, sino que en la entrecara se refleja internamente en forma total. Este tipo de reflexión obedece a las mismas leyes que cualquier otro tipo de reflexión; esto significa que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. La reflexión interna total puede ocurrir únicamente cuando la luz incidente procede de un medio de mayor densidad (n1 > n2). Figura 47. Angulo crítico de incidencia. El ángulo crítico para dos medios determinados se pueden calcular a partir de la ley de Snell. n1 sen θc = n2 sen θ2 donde θc es el ángulo crítico y θ2 = 90°. Simplificando, escribimos: n1 sen θc = n2(1) o bien: n2 senθc = n1 Puesto que sen θc nunca puede ser mayor que 1, n1 debe ser mayor que n2. UI- 22 EJEMPLO 16. ¿Cuál es el ángulo crítico para una superficie vidrio-aire si el índice de refracción del vidrio es de 1.5? . Solución Sustituyendo en forma directa queda: na 1.0 senθc = = = 0.667 ng 1.5 θc = arc sen 0.667 = 42˚ El hecho de que el ángulo crítico para el vidrio sea de 42° permite el empleo de prismas a 45° en gran número de instrumentos ópticos. Dos de esas aplicaciones se ilustran en la figura 48. En la figura 48(a) se puede obtener una reflexión de 90° con poca pérdida de intensidad. En la figura 48(b) a 180° se obtiene una desviación. En los dos casos, la reflexión interna total ocurre debido a que todos los ángulos de incidencia son de 45° y por lo tanto mayores que el ángulo crítico. Figura 48. Los prismas de ángulo recto hacen uso del principio de reflexión interna total para desviar la trayectoria de la luz. UI- 23 LENTES OBJETIVOS Después de completar el estudio de este tema podrá usted: 1. Calcular matemática o experimentalmente la longitud focal de una lente y de- terminar si es convergente o divergente. 2. Aplicar la ecuaci6n del fabricante de lentes para resolver parámetros desconocidos relacionados con la construcci6n de lentes. 3. Usar técnicas de trazado de rayos para construir imágenes formadas por lentes divergentes y convergentes con diversas ubicaciones del objeto. 4. Predecir matemáticamente o determinar en forma experimental la naturaleza, tamaño y ubicaci6n de las imágenes formadas por lentes convergentes y divergentes. Una lente es un objeto transparente que altera la forma de un frente de ondas que pasa a través de él. Las lentes generalmente se construyen de vidrio y se les da forma de tal modo que la luz refractada forme imágenes similares a las que ya hemos estudiado en el caso de los espejos. Quien haya examinado objetos a través de un vidrio de aumento, observado objetos distantes por medio de un telescopio, o tenga experiencia en fotografía, tiene conocimientos sobre los efectos que tienen las lentes sobre la luz. En este tema estudiaremos las imágenes formadas por medio de lentes y estudiaremos sus aplicaciones. LENTES SIMPLES La forma más sencilla de entender cómo funcionan las lentes consiste en considerar la refracción de la luz mediante prismas, como ilustra la figura 49. Cuando la ley de Snell se aplica a cada superficie de un prisma, la luz se desvía hacia la normal cuando entra a un prisma y se aleja de ella cuando sale del prisma. El efecto, en cualquier caso, es provocar que el haz de luz se desvíe hacia la base del prisma. Los rayos de luz permanecen paralelos debido a que tanto la superficie de entrada como la de salida son planas y forman ángulos iguales con todos los rayos que pasan por el prisma. Por lo tanto, un prisma simplemente altera la dirección de un frente de onda. UI- 24 Figura 49. Los rayos paralelos de luz se flexionan hacia la base del prisma y permanecen paralelos. Suponga que colocamos dos prismas base con base, como muestra la figura 50(a). La luz incidente que viene de la izquierda va a converger, pero no se reunirá en un foco. Para enfocar los rayos de luz en un punto, los rayos extremos deben ser desviados más que los rayos centrales. Esto se consigue tallando las superficies de modo que tengan una sección transversal uniformemente curvada, como indica la figura 50(b). Una lente que conduzca un haz de luz paralelo aun foco puntual en la forma mencionada se llama lente convergente. Una lente convergente es la que retracta y converge la luz paralela hacia un punto focal situado más allá de la lente. Figura 50. (a) Dos prismas colocados base contra base hacen convergir los rayos pero no los conducen hacia un foco común. (b) Una lente convergente puede construirse curvando uniformemente las superficies. Las superficies curvas de las lentes pueden tener cualquier forma regular, por ejemplo esférica, cilíndrica o parabólica. Puesto que las superficies esféricas son más fáciles de fabricar, la mayoría de las lentes se construyen con dos superficies esféricas. La línea que une el centro de las dos esferas se conoce como eje de las lentes. En la figura 51 se muestran tres ejemplos de lentes convergentes: biconvexa, planoconvexa y de menisco convergente. Observe que las lentes convergentes son más gruesas en el centro que en los bordes. UI- 25 Figura 51. Ejemplos de lentes convergentes: (a) biconvexa, (b) planoconvexa, y (c) menisco convergente. Un segundo tipo de lente se puede construir fabricando los bordes más gruesos que la parte media, como muestra la figura 52. Los rayos de luz paralelos que pasan a través de ese tipo de lentes se desvían hacia la parte gruesa, provocando que el haz se vuelva divergente. La proyección de los rayos de luz refractados muestra que la luz parece provenir de un punto focal virtual ubicado frente a la lente. Una lente divergente es la que retracta y diverge luz paralela a partir de un punto situado frente a la lente. Figura 52. Una lente divergente refracta la luz de tal manera, que ésta parece provenir de un punto situado enfrente de ella. Ejemplos de lentes divergentes son: bicóncava, planocóncava y de menisco divergente. Vea la figura 53. UI- 26 Figura 53. Ejemplos de lentes divergentes: (a) bicóncava, (b) planocóncava, y (c) menisco divergente. LONGITUD FOCAL Y LA ECUACIÓN DEL FABRICANTE DE LENTES Una lente se considera "delgada" si su espesor es pequeño comparado con sus otras dimensiones. Al igual que en el caso de los espejos, la formación de imágenes por lentes delgadas es una función de la longitud focal; sin embargo, hay diferencias importantes. Una diferencia obvia es que la luz puede pasar a través de una lente en dos direcciones. Esto da por resultado dos puntos focales para cada lente, como se muestra en la figura 54 para una lente convergente, y en la figura 55 para una lente divergente. La primera tiene un foco real F, y la última .tiene un foco virtual F'. La distancia entre el centro óptico de una lente y el foco en cualquier lado de la lente es la longitud focal f. La longitud focal f de una lente es la distancia del centro óptico de la lente a cualquiera de sus focos. Puesto que los rayos de luz son reversibles, una fuente de luz que se coloque en cualquier foco de la lente convergente da por resultado un haz de luz paralelo. Esto puede verse si se invierte la dirección de los rayos ilustrados en la figura 54. UI- 27 Figura 54. Demostración de la longitud focal de una lente convergente. El punto focal es real debido a que pasan por él los rayos de luz reales. Figura 55. Demostración de los puntos focales virtuales de una lente divergente. La longitud focal f de una lente no es igual a la mitad del radio de curvatura, como en los espejos esféricos, sino que depende del índice de refracción n del material con el que esté fabricada. También está determinada por los radios de curvatura R l y R2 de sus superficies. como se define en la figura 56(a). Para lentes delgadas, estas cantidades se relacionan mediante la ecuación: 1 ⎛1 1⎞ f = (n −1)⎜⎜⎝ R1 + R2 ⎟⎟⎠ Debido a que la ecuación anterior implica la construcción de parámetros para una lente, se conoce como ecuación del fabricante de lentes. Se aplica por igual para lentes convergentes y divergentes siempre que se siga la siguiente convención de signos: 1. El radio de curvatura (ya sea R1 o R2) se considera positivo si la superficie es curva hacia afuera (convexa) y negativa si la superficie es curva hacia adentro (cóncava). UI- 28 2. La longitud focal de una lente convergente se considera positiva, y la longitud focal de una lente divergente se considera negativa. Figura 56. (a) El punto focal de una lente está determinado por los radios de sus superficies y por el índice de refracción. (b) Convención de signos para el radio de la superficie de una lente. EJEMPLO 17. Un fabricante de lentes planea construir una lente planocóncava de vidrio con un índice de refracción de 1.5. ¿Cuál debería ser el radio de su superficie curva si la longitud focal deseada es -30 cm? Solución El radio de curvatura R1 para una superficie plana es infinito. El radio R2 de la superficie cóncava se determina a partir de la ecuación del fabricante de lentes. 1 ⎛1 1⎞ ⎛1⎞ = (n −1)⎜ f ⎜⎝∞ + R2 ⎟⎟⎠= (n −1)⎜⎜⎝ R2 ⎟⎟⎠ R2 = f (n-1) = (1.5 – 1.0) (-30 cm) = -15 cm Por convención. el signo menos indica que la superficie curva es cóncava. EJEMPLO 18. Una lente menisco tiene una superficie convexa cuyo radio de curvatura es de 10 cm y cuya superficie cóncava tiene un radio de -15 cm. Si la lente se construye en vidrio con un índice de refracción de 1.52, ¿cuál será su longitud focal? Solución: Sustituyendo en la ecuación del fabricante de lentes queda: UI- 29 ⎛1 1 1⎞ f = (n −1)⎜⎜⎝ R1 + R2 ⎟⎟⎠ 1 ⎛1 1⎞ ⎛ 3− 2 ⎞ 0.52 = (1.52 −1.0)⎜ + ⎟ = 0.52⎜ ⎟= f ⎝10cm 15cm⎠ ⎝30cm⎠ 30cm 30cm f= = 57.7cm 0.52 El hecho de que una longitud focal sea positiva indica que se trata de una lente menisco convergente. FORMACION DE IMÁGENES MEDIANTE LENTES DELGADAS Para entender cómo se forman las imágenes por medio de lentes, hay que introducir ahora métodos de trazado de rayos similares a los que se estudiaron para los espejos esféricos. El método consiste en trazar dos o más rayos a partir de un punto seleccionado sobre el objeto y utilizar el punto de intersección como la imagen de ese punto. Puede considerarse que la desviación completa de un rayo que pasa a través de una lente delgada se lleva a cabo en un plano a través del centro de la lente. Anteriormente se hizo notar que una lente tiene dos puntos focales. Definimos el primer punto focal F1 como el que se localiza del mismo lado de la lente donde incide la luz. El segundo punto focal F2 se localiza en el lado opuesto o más distante de la lente. Con estas definiciones en mente, hay tres rayos principales que se pueden trazar fácilmente a través de la lente. Estos rayos se ilustran en la figura 57 para una lente convergente y en la figura 58 pata una lente divergente: Rayo 1 Es un rayo paralelo al eje que pasa a través del segundo punto focal F 2 de una lente convergente o que parece provenir del primer punto focal F1 de una lente divergente. Rayo 2 Un rayo que pasa a través del primer punto focal F I de una lente convergente o avanza hacia el segundo punto focal F z de una lente divergente se retracta paralelamente al eje de la lente. Rayo 3 Un rayo que pasa a través del centro geométrico de una lente no se desvía. UI- 30 Figura 57. Rayos principales para construir la imagen formada por una lente convergente. Figura 58. Rayos principales para construir la imagen formada por una lente divergente. La intersección de cualquiera de estos rayos (o sus extensiones) que provienen de un objeto puntual, representa la imagen de ese punto. Puesto que una imagen real producida por una lente se forma mediante rayos de luz que en realidad pasan a través de la lente, una imagen real siempre se forma del lado de la lente opuesto al objeto. Una imagen virtual aparecerá del mismo lado de la lente donde se encuentra el objeto. Para ilustrar el método gráfico y, al mismo tiempo, entender la formación de diversas imágenes mediante lentes, consideraremos algunos ejemplos. Las imágenes formadas por una lente convergente se aprecian en la figura 60 para las siguientes posiciones del objeto: (a) Objeto localizado a una distancia de más del doble de la longitud focal. Se forma una imagen real, invertida y menor entre F2 y 2F2 en el lado opuesto de la lente. (b) El objeto está a una distancia igual al doble de la longitud focal. Una imagen real, invertida, del mismo tamaño se ubica en 2F2 en el lado opuesto de la lente. UI- 31 (c) El objeto se localiza a una distancia entre una y dos longitudes focales de la lente. Se forma una imagen real, invertida y mayor, más allá de 2F2 del lado. opuesto de la lente. (d) El objeto está en el primer punto focal F1. No se forma imagen. Los rayos refractados son paralelos. (e) El objeto se encuentra dentro del primer punto focal. Se forma una imagen virtual, erecta (derecha) y mayor, del mismo lado de la lente donde se encuentra el objeto. Observe que las imágenes formadas por una lente convexa son similares a las que se forman mediante espejos cóncavos. Esto se debe a que ambos hacen converger la luz. Puesto que las lentes cóncavas divergen la luz, es de esperarse que formen imágenes similares a las que forman los espejos divergentes (espejo convexo). La figura 59 demuestra esta similitud. Las imágenes de objetos reales formadas mediante lentes divergentes siempre son virtuales, derechas y de menor tamaño. Figura 59. Las imágenes que se forman mediante lentes divergentes siempre son virtuales, erectas y de menor tamaño. Para evitar confusiones, es conveniente identificar las lentes y los espejos como convergentes o divergentes. Las lentes divergentes con frecuencia se emplean para neutralizar el efecto de las lentes convergentes. UI- 32 Figura 60. Construcción de la imagen para las siguientes distancias del objeto: (a) más allá de 2 F1, (b) en 2 F1, (c) entre 2 F1 y F1, (d) en F1 y (e) dentro de F1. LA ECUACIÓN DE LAS LENTES Y EL AUMENTO UI- 33 Las características, el tamaño y la localización de las imágenes pueden también determinarse analíticamente a partir de la ecuación de las lentes. Esta importante relación se puede deducir aplicando la geometría plana a la figura 61. La deducción es similar a la que se hizo para obtener la ecuación del espejo, y la forma final es exactamente igual. La ecuación de las lentes puede escribirse: 1 1 1 +=pqf donde p = distancia al objeto q = distancia a la imagen f = distancia focal de la lente Las mismas convenciones de signos establecidas para los espejos se pueden usar en la ecuación de las lentes si tanto las convergentes como las divergentes se comparan con los espejos convergentes y divergentes. Esta convención se resumen en la siguiente forma: 1. La distancia al objeto p y la distancia a la imagen q se consideran positivas para objetos e imágenes reales y negativas para objetos e imágenes virtuales. 2. La longitud focal f se considera positiva para lentes convergentes y negativa para lentes divergentes. Las siguientes formas alternativas de la ecuación de las lentes resultan útiles para .resolver problemas de óptica fq p= fp q= fp−fq+p qp f= q− Es conveniente que verifique cada una de estas expresiones resolviendo la ecuación de las lentes explícitamente para cada parámetro que aparece en la ecuación. El aumento de una lente también se deduce de la figura 61 y tiene la misma forma estudiada para los espejos. Hay que recordar que el aumento (amplificación) M se define como la razón del tamaño de la imagen y’ con respecto al tamaño del objeto y, por lo que: M y' q = =− y p donde q es la distancia a la imagen y p es la distancia al objeto. UI- 34 Un aumento positivo indica que la imagen es derecha, mientras que un aumento negativo ocurre sólo cuando la imagen es invertida. Figura 61. Deducción de la ecuación de las lentes y el aumento. EJEMPLO 19. Un objeto de 4 cm de altura se localiza a 10 cm de una lente convergente delgada que tiene una longitud focal de 20 cm. ¿Cuál es la naturaleza, tamaño y ubicación de la imagen? Solución: La situación corresponde ala que se ilustra en la figura 59(e). La distancia a la imagen se encuentra a partir de: pf (10cm)(20cm) 200cm 2 q = = = = −20cm p − f 10cm − 20cm −10cm El signo menos indica que la imagen es virtual. La relación de aumento nos permite calcular el tamaño de la imagen: − qy −(− 20cm)(4cm) y = = = +8cm p 10cm ' El signo positivo indica que la imagen es derecha. Este ejemplo ilustra el principio de una lente de aumento. Una lente convergente que se sostiene más cerca de un objeto que su punto focal, produce una imagen virtual, derecha y ampliada. EJEMPLO 20. Una lente menisco divergente tiene una longitud focal de -16 cm. Si la lente se sostiene a 10 cm del objeto, ¿dónde se localiza la imagen? ¿Cuál es el aumento de la lente? Solución UI- 35 Por sustitución directa: pf q= = (10cm)(−16cm) = −160 = −6.15cm p − f −(−16cm) 10cm 26 El signo menos de nuevo indica que la imagen es virtual. El aumento es: −(6.15cm) q M = − = = +0.615 p 10cm El aumento positivo significa que la imagen es derecha. COMBINACIONES DE LENTES Cundo la luz pasa por dos o más lentes, puede determinarse la acción combina- da si se considera la imagen formada por la primera lente como el objeto de la segunda, y así sucesivamente. Considere. por ejemplo, el arreglo de lentes de la figura 62. La lente 1 forma una imagen real e invertida I1 del objeto O. Considerando esta imagen intermedia como un objeto real para la lente 2, la imagen final I2 se ve como real, derecha y ampliada. La ecuación de las lentes se puede aplicar sucesivamente a estas dos lentes para determinar analíticamente la posición de la imagen final. El aumento total producido por un sistema de lentes es el producto del aumento causado por cada lente del sistema. La clave de esto puede apreciarse en la figura 62. Los aumentos en este caso son: y '1 y '2 M 1= M 2= y1 y2 Puesto que y’1= y2, el producto M1 M2 nos lleva a: y '1 y ' 2 y1 y2 y '2 = y1 Entre las aplicaciones de los principios mencionados están el microscopio, el telescopio y otros instrumentos ópticos. UI- 36 Figura 62. El microscopio. UI- 37