CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II INTRODUCCIÓN En la primera parte de la asignatura hemos enfocado el estudio de todos los cuerpos con la idealización de analizarlos como partículas; es decir como objetos carentes de dimensiones o adimensionales. Pero en el mundo real, todos estos objetos son dimensionales, lo que hace el estudio de su movimiento un tanto más complejo con respecto a la primera parte vista del curso, en donde introduciremos un nuevo concepto en el análisis de las causas que originan el movimiento de los cuerpos al que denominaremos ROTACIÓN. En este primer tema denominado “CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO” relacionado al estudio del movimiento de los sólidos rígidos, nos avocaremos a definir e interpretar los nuevos conceptos a tener en cuenta para el desarrollo de esta segunda parte de la asignatura, así como realizar el correspondiente análisis del movimiento de estos objetos dando el correspondiente alcance de las ecuaciones a ser empleo para la solución de las diferentes aplicaciones que se nos pueda presentar. De esta manera esperamos que el trabajo realizado en esta oportunidad sea del agrado de nuestros compañeros; y de la misma forma de la docente de la asignatura. 1 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II CONCEPTOS BÁSICOS CINEMÁTICA La cinemática es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento (cambios de posición) de los cuerpos, sin tomar en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. La aceleración es el ritmo con que cambia su rapidez (módulo de la velocidad). La rapidez y la aceleración son las dos principales cantidades que describen cómo cambia su posición en función del tiempo. SÓLIDO RÍGIDO Se entiende por sólido rígido un conjunto de partículas o puntos del espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante. Es así como, en un sólido rígido, la separación de dos puntos cualesquiera es fija e independiente del tiempo, y de la misma forma los ángulos de toda tripleta de puntos es constante. Además de ello cabe destacar que se idealiza al cuerpo como indeformable. TRASLACIÓN Se afirma que un movimiento será de traslación si toda línea recta dentro del cuerpo mantiene la misma dirección durante el movimiento. También puede observarse que en la traslación todas las partículas o puntos que constituyen el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas rectas, se afirma que el movimiento es una traslación rectilínea; si la trayectoria son líneas curvas, el movimiento será una traslación curvilínea. TRASLACIÓN RECTILÍNEA 2 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II TRASLACIÓN CURVILÍNEA ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO En este movimiento; las partículas o puntos que forman el sólido rígido se mueven en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sobre el mismo eje fijo. Si este eje, denominado eje de rotación, interseca al sólido rígido, las partículas o puntos localizados sobre el eje tienen velocidad y aceleración igual a cero. MOVIMIENTO PLANO GENERAL Hay muchos otros tipos de movimiento plano, es decir, movimientos en los cuales todas las partículas o los puntos del cuerpo se mueven en planos paralelos. Cualquiera sea el movimiento plano que no es una traslación ni una rotación se conoce como un movimiento plano general. 3 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II MOVIMIENTO ALREDEDOR DE UN PUNTO FIJO Es una rotación alrededor de un punto fijo, en donde uno de los puntos del sólido rígido se encuentra fijo. Además cada punto se mueve siguiendo una trayectoria situada en la superficie de una esfera centrada en el punto fijo. MOVIMIENTO CUALQUIERA Cualquier movimiento de un cuerpo rígido que no entra en ninguna de las categorías antes mencionadas se conoce como movimiento cualquiera. 4 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II TRASLACIÓN En la traslación de un sólido rígido, la orientación de todo segmento rectilíneo se mantiene constante. Esto quiere decir que todas las rectas horizontales se mantienen horizontales, y de la misma forma ocurre para las rectas verticales. Por ejemplo consideremos al cuerpo de la Figura 1 que se encuentra en un movimiento de traslación y elija dos puntos sobre él que para nuestro ejemplo serán A y B. al denotar rA y rB como los vectores de posición de A y B respectivamente con respecto a un sistema de referencia fijo y mediante rB/A, al vector que une a A y B tenemos: 𝒓𝐴 + 𝒓𝐵/𝐴 = 𝒓𝐵 Diferenciamos la relación anterior con respecto al tiempo. Cabe resaltar que de la definición dada para traslación, el vector rB/A debe mantenerse constante; por lo que su magnitud también debe ser constante debido a que A y B pertenecen al mismo sólido rígido. De tal modo la derivada de rB/A con respecto al tiempo es cero y se tiene: 𝒗𝐴 = 𝒗𝐵 Y diferenciando nuevamente la expresión anterior con respecto al tiempo obtenemos: 𝒂𝐴 = 𝒂𝐵 En consecuencia de lo anteriormente visto, decimos que, cuando un cuerpo rígido esta en traslación, todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleración en cualquier instante dado. 5 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II Si en caso se presentará una traslación curvilínea, la velocidad y la aceleración cambian en dirección, así como en magnitud, en cada instante. ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO Ahora consideremos un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo AA’. Sea P un punto del sólido y r su vector de posición con respecto a un sistema de referencia fijo. Por conveniencia, se supone que el sistema de referencia está centrado en el punto O sobre AA’ y que el eje z coincide con AA’. Entonces, siendo el punto B la proyección del punto P sobre AA’ , la distancia entre P y B debe permanecer constante por lo que se describirá un círculo de centro B y de radio rsenØ, donde Ø denota el ángulo formado por r y AA’. Finalmente la posición de P y del cuerpo completo está definida totalmente por el ángulo θ que forma la línea BP con el plano zx. El ángulo θ se conoce como coordenada angular del cuerpo y se define como positiva cuando se toma en sentido contrario al de las manecillas del reloj medido desde el punto A’. Luego de ello recordamos que la longitud Δs del arco descrito por P cuando el cuerpo gira un ángulo Δθ es: 𝛥𝑠 = (𝐵𝑃)𝛥𝜃 = (𝑟𝑠𝑒𝑛Ø)𝛥𝜃 Y dividiendo ambos miembros entre Δt, se obtiene el límite, cuando Δt tiende a cero: 𝑣= 6 𝑑𝑠 = 𝑟𝜃̇𝑠𝑒𝑛Ø 𝑑𝑡 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II Donde 𝜃̇denota la derivada en el tiempo de θ. La conclusión a la que hemos llegado es que la velocidad v de P es un vector perpendicular al plano que contiene a AA’ y r, y de magnitud v definida por 𝑟𝜃̇𝑠𝑒𝑛Ø. Pero éste es precisamente el resultado que se obtendrá al dibujar un vector w = 𝜃̇ 𝑘 a lo largo de AA’ y se formara el producto vectorial w x r. Por lo que ahora escribimos: 𝒗= 𝑑𝒓 =𝒘𝒙𝒓 𝑑𝑡 El vector: 𝒘 = 𝑤𝒌 = 𝜃̇𝒌 que está dirigido a lo largo del eje de rotación se denomina velocidad angular del sólido y es igual en magnitud a la razón de cambio 𝜃̇ de la coordenada angular. La aceleración a del punto P se determinará al diferenciar el vector velocidad v con respecto al tiempo obteniendo: 𝒂= 𝑑𝒗 𝑑 = (𝒘 𝒙 𝒓) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝒘 𝑑𝒓 𝒙𝒓+𝒘𝒙 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝒘 𝒙𝒓+𝒘𝒙𝒗 𝑑𝑡 𝑑𝑤 El vector 𝑑𝑡 se denota mediante y se denomina aceleración angular del sólido. Al sustituir nuevamente v en la expresión obtenida tenemos: 𝒂 = 𝒙 𝒓 + 𝒘 𝒙 (𝒘 𝒙 𝒓) Y diferenciando nuevamente con respecto al tiempo, recordando que k es constante en magnitud y dirección (y por ende su derivada es cero), obtenemos: = 𝒌 = 𝑤̇𝒌 = 𝜃̈𝒌 De tal modo, la aceleración angular de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación, y es igual en magnitud a la tasa de cambio de 𝑤̇ de la velocidad angular. Hay que comprender que el producto vectorial x r es tangente al círculo descrito por P, y por lo tanto representa la componente tangencial de la aceleración. El segundo vector es igual al triple producto vectorial w x (w x r) que estará dirigido hacia el centro B del círculo y, por consiguiente, representa la componente normal de la aceleración. 7 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II MOVIMIENTO PLANO En el movimiento plano del sólido rígido, la aceleración angular, al igual que la velocidad angular, tiene la dirección del eje de rotación y viene dada por: (1) donde representa el ángulo girado en función de y la velocidad angular. (2) En el movimiento plano tanto la velocidad angular como la aceleración angular son vectores perpendiculares al plano en el que se produce el movimiento. MOVIMIENTO PLANO PARALELO DEL CUERPO RÍGIDO Por movimiento plano paralelo (o simplemente plano) se entiende el movimiento del cuerpo sólido durante el cual todos sus puntos se desplazan paralelamente a un plano fijo. Biela-manivela Movimiento plano paralelo de un sólido rígido, respecto al plano. 8 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II Muchas piezas de mecanismos y máquinas efectúan un movimiento plano, por ejemplo, una rueda móvil sobre un segmento de vía rectilínea, una biela de un mecanismo de Biela – manivela; etc. El movimiento de rotación de un cuerpo sólido, es un caso particular del movimiento plano. Examinaremos la sección S del cuerpo situada en un plano OXY paralelo al plano . Si tenemos un movimiento plano, todos los puntos del cuerpo situados sobre la recta MM’ perpendiculares a la sección S, es decir, al plano , se desplazan de un modo idéntico. Por eso, para el estudio del movimiento de todo el cuerpo es suficiente estudiar el movimiento de una sección S en el plano OXY. En la figura (10) haremos coincidir el plano OXY con el plano del dibujo y en ves del cuerpo entero representaremos solamente su sección S. Y YA A B Sección S de un sólido rígido incluido en el plano OXY paralelo al plano . X XA Es evidente que la posición de la sección S en el plano OXY se determina por la posición de un segmento cualquiera A B de la sección (figura 10). A su vez, la posición del segmento A B puede ser determinada si se conoce las coordenadas en XA y YA del punto A y en ángulo formado por el eje X con el segmento A B medido en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Al punto A, lo llamamos polo. Durante el movimiento los valores de Xa, Ya y varían. Para saber la ley de movimiento del cuerpo, hay que conocer: Xa f1(t ) Ya f 2 (t ) f3 (t ) (13) Llamadas ecuaciones del movimiento plano del cuerpo sólido. 9 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II Demostraremos que el movimiento plano se compone de movimientos de traslación y rotación. De traslación, haciendo que la sección S siempre siga paralela al plano (traslación) y que el eje de rotación sea perpendicular al plano o sea a la sección S (rotación). Y B’ YA B A B A XA Posición final X Posición inicial Figura 11: Movimiento plano paralelo como composición de movimiento de traslación y rotación. Mediante una traslación curvilínea, paralela al plano , o sea en el plano OXY, pasamos de la posición inicial P1 a la posición final de la traslación curvilínea P1’ y luego con una rotación alrededor de un eje perpendicular a y que pasa por A2 , llegaremos a la posición final P2. Sabemos que en el espacio siempre podemos pasar de una posición inicial a la final mediante la traslación conveniente y una rotación conveniente. En el movimiento plano: la traslación es paralela a un plano y la rotación alrededor de un eje es perpendicular al plano. Determinación de la trayectoria de los puntos del cuerpo. Estudiaremos ahora el movimiento de diferentes puntos del cuerpo sólido, es decir, determinaremos sus trayectorias, velocidades y aceleraciones. Y b A YA B Figura 12: posición de un punto de sección S en un movimiento plano en un instante. determinado. Y X XA X 10 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II Comencemos por definir las trayectorias. Examinaremos el punto M del cuerpo cuya posición en la sección S se termina por la distancia b = AM del polo A y por el ángulo BAM = (figura 12). Las ecuaciones de las coordenadas X e Y del punto M son: X X A b cos Y YA b sen (14) Donde YA, XA y son funciones del tiempo t conocidas por las ecuaciones (13). Las igualdades (14), que determinan la ley del movimiento del punto M, en el plano OXY, dan simultáneamente la ecuación de la trayectoria de este punto en forma paramétrica. Para obtener una ecuación ordinaria rectangular, eliminaremos en (14) el tiempo t.(despejando t de una de ellas y reemplazando ese valor t en la otra) Determinación de las velocidades de los puntos del cuerpo. Repetimos, el movimiento plano del cuerpo sólido se compone de un movimiento de traslación, cuando en cada instante todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad instantánea vA del polo y un movimiento de rotación alrededor de ese polo. Demostraremos que la velocidad de cualquier punto M del cuerpo es la suma geométrica de las velocidades correspondientes a cada uno de estos movimientos. Figura 13: posición y velocidad de un punto de la sección S en un movimiento plano en un instante determinado. El vector posición del punto M en el instante t, respecto al sistema de referencia es: r rA r ' vM 11 dr drA dr ' dt dt dt CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II dr ' vM / A Es decir, la magnitud es la velocidad del polo A; la magnitud dt es la velocidad del punto M con respecto a A. vA drA dt Cuando r ' es constante en magnitud pero no en dirección, porque el cuerpo gira respecto del polo. Entonces: vM v A vM / A En este caso, la será: v M / A del punto M en su movimiento de rotación alrededor del polo A, v M / A MA (Recordar v . r) Siendo: v M / A MA y donde es la velocidad angular de rotación del cuerpo. De este modo, la velocidad de todo punto M del cuerpo es la suma geométrica de la velocidad de otro punto cualquiera A, tomando como polo y de la velocidad de dvM / A aM / A dt rotación del punto M, alrededor de este polo y la aceleración Ejemplo: Hallar la velocidad del punto M de la llanta de una rueda, que se desplaza (trasladándose y rotando, sin resbalar) sin rozamiento sobre un riel, si la velocidad de traslación del centro C de la rueda es igual a vC y el ángulo OKM = creciendo desde OK Figura 14: posición y velocidad del punto M de la llanta de una rueda animada de movimiento plano. Tomando como polo el punto C, cuya velocidad de traslación es conocida, hallaremos que: vM vC vMC Donde vMC C M y en módulo 12 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II v MC C M r Siendo r, el radio de la rueda El valor de la velocidad angular lo hallaremos teniendo en cuenta que el punto K de la rueda no resbala por el riel, y por lo tanto, en el instante en que la rueda toca el riel en el punto K, la velocidad de K es nula: vK 0 . Por otra parte, lo mismo que para el punto M: vK vC vKC donde v KC r Ya que para el punto K, vK y vC están dirigidas a lo largo de la misma recta, entonces, como vK 0 será vKC vC de donde, tienen igual módulo y sentido contrario. Entonces: v C r Observando la figura 14, el triángulo KCM es isósceles, pues tiene dos lados iguales, que son los radios de la circunferencia y el ángulo externo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes. v Además, el ángulo formado por los vectores C y v MC es igual a pues sus lados son v MC . r v MC vC v MC v K / C vC respectivamente perpendiculares y como deducimos que los vectores vC y vMC tienen los mismos módulos. Según la propiedad geométrica del rombo, los ángulos entre vC y vM y entre vMC y vM también son iguales a . Como las diagonales del rombo son recíprocamente perpendiculares, tenemos: vM 2 vC cos el extremo superior del diámetro vertical (en O) tenemos v 2 vC la velocidad absoluta ya que 0 y cos 0 = 1 y entonces o 13 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II y observemos que vM K M y vC KC Es decir en el punto K se cortan KM y K C y las velocidades absolutas (suma geométrica de las velocidades puras de rotación y traslación) vM y vC son perpendiculares a sus direcciones. El punto K, que permanece fijo en ese instante, puede considerarse como un centro instantáneo de rotación (o eje perpendicular al plano de traslación). Podemos estudiar el caso de movimiento plano, desde otro punto de vista. Volvemos al comienzo. Siempre se puede descomponer el movimiento plano en una traslación y una rotación. Estudiaremos el caso de una circunferencia que está rotando sin resbalar sobre un riel rectilíneo. Veremos que este movimiento puede considerarse como una serie de rotaciones puras instantáneas, alrededor de centros instantáneos (ejes instantáneos) de rotación. r r C C r = C r C + r C Figura 15: movimiento plano como descomposición de una traslación y una rotación. Estudiaremos primero la rotación pura. Si conocemos r y w, entonces: v= r y si conocemos v y r, entonces: r vCA A C r En el punto M: M vMC w r 14 v v MC r Figura 16: posición y velocidad en una rotación pura. CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II En el punto A: vCA w r1 Como segundo paso consideramos la traslación pura. Tenemos: D vCA vA vC M A vC r C w vC vMC vM Figura 17: posición y velocidad en una traslación pura. r v KC K vC vMC w r vKC w r vCA w r1 vC Velocidad de traslación del punto C = w . r , porque una rueda sin resbalar (sin deslizarse), cuando da una vuelta completa, el ángulo de rotación será: = 2 . Radianes y el punto C (como también el K de la figura) se habrá trasladado un distancia vC vKC 2 r T 2 . . r y la velocidad de traslación de C será siendo T el período o sea el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Entonces, como: 2 w T Entonces: vC vKC w r (15) Como los dos módulos son iguales y los sentidos de los dos vectores son contrarios, entonces el punto K, en ese instante, permanecen en equilibrio. Además por las consideraciones anteriores: KM vM KA v A KC vC Velocidades absolutas (totales) O sea que podemos considerar, en ese instante, como si todos los puntos están rotando alrededor del centro instantáneo de rotación K, que cambia de posición constantemente. 15 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II MOVIMIENTO GENERAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO Vamos a describir el movimiento general de un sólido rígido respecto a un observador inercial O. En la figura vemos que la posición del punto P del sólido es Donde C se refiere al centro de masas del sólido. El vector que va del centro de masas al punto P es un vector cuyo módulo es constante. Un sólido fijo se caracteriza por ser indeformable, las posiciones relativas de los puntos del sólido se mantienen fijas aunque se apliquen fuerzas al mismo. Derivando la expresión anterior respecto del tiempo obtenemos El primer término es la velocidad del punto P, el segundo la velocidad del centro de masas y el tercero es la velocidad del punto P respecto del centro de masas. Dado que el vector R tiene módulo constante, el único movimiento posible de P respecto de C es una rotación con velocidad angular alrededor de un eje instantáneo que pase por C, tal como vemos en la figura. 16 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II Así pues, el movimiento de un punto P del sólido lo podemos considerar como la suma de un movimiento de traslación del centro de masas más una rotación alrededor de un eje instantáneo que pasa por el centro de masas. 17 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II MOVIMIENTO GENERAL PLANO Este movimiento se produce cuando el sólido rígido se desplaza, tal que el segmento que une dos puntos cualesquiera AB, ya no va a permanecer paralelo a la dirección inicial, véase la fig.12. Este movimiento se puede descomponer en dos movimientos simultáneos, compuestos de una traslación y de una rotación alrededor del punto A. En la fig.13 se representa (en puntos) el sólido rígido, después de la traslación, y en línea continua, cuando ya ha efectuado el giro, alrededor de un eje perpendicular que pasa por A. Relación entre las velocidades de dos puntos de un sólido rígido, que efectúa un movimiento general Se trata de buscar una ecuación, que determine la velocidad de un punto B, 𝑣⃗𝐵 del sólido rígido, si se conocen la velocidad 𝑣⃗𝐶 de otro punto C del mismo fig.14, respecto de un sistema de referencia y la velocidad angular del sólido 𝜔 ⃗⃗ Considerando la combinación de traslación más rotación, en la fig.14 se representa una rueda que gira en el sentido de las agujas de un reloj, el vector 𝜔 ⃗⃗ (no dibujado) es perpendicular al plano del papel y entrante en C. Sabemos que la velocidad de traslación es la misma para todas las partículas del sólido, de modo que vale igual para las partículas C y B. Si además se considera que hay una rotación alrededor del punto C, con una velocidad angular 𝜔 ⃗⃗, para calcular la velocidad del punto B, habrá que ⃗⃗ que tiene en cuenta el efecto en la velocidad, de la rotación. añadir el término 𝜔 ⃗⃗ ⋀ 𝐶̅ 𝐵 De modo que la velocidad de B es la suma de la de traslación + la de rotación ⃗⃗ (1.3) 𝑣⃗𝐵 = 𝑣⃗𝐶 + 𝜔 ⃗⃗ ⋀ 𝐶̅ 𝐵 18 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO En el análisis siguiente limitaremos nuestro estudio a las ecuaciones de movimiento a cuerpos Las leyes de de Newton solo son aplicables al movimiento de traslación de un punto material; por tanto, no son adecuadas para describir el movimiento completo de un cuerpo rígido, el cual puede ser de traslación y de rotación. En este apartado solo consideraremos las ecuaciones para un movimiento de traslación, por el motivo que cuando el sólido realiza un moviendo de rotación existirá un momento que se relaciona con el Momento de Inercia tema que se verá en el trascurso del curso. En el capítulo de cinética del punto se desarrollo el principio de movimiento del centro de masa, pues este principio se aplicara a cuerpos rígidos. Como un cuerpo rígido se puede considerar con un conjunto de puntos materiales que mantienen invariables sus distancias mutuas por el hecho de ser solido rígido, el movimiento del centro de masa G de un cuerpo rígido vendrá dado por la ecuación. R = maG Donde: R: es la resultante de las fuerzas que ejercen sobre el cuerpo en un instante dado m: es la masa del cuerpo aG : Es la aceleración lineal instantánea del centro de masa del cuerpo rígido en dirección de la fuerza resultante R. Esta ecuación vectorial se puede escribir en forma escalar según las tres ecuaciones correspondientes: ∑ Fx = R X = maGx ∑ Fy = R Y = maGy ∑ Fz = R Z = maGz Como la ecuación 15-16 se obtuvo sumando fuerzas, simplemente, no se tiene ninguna información acerca de la situación de la recta soporte de la fuerza resultante R. El 19 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II centro de masa G de un cuerpo rígido se mueve (traslada) como si dicho cuerpo fuese un punto material de masa m sometido a la fuerza R y la rotación debida al momento de esta fuerza cuando su recta soporte no pasa por el centro de masa G del cuerpo. ECUACIONES DE MOVIMIENTO: TRASLACIÓN ESQUEMA DE TRASLACIÓN Cuando un cuerpo rígido que experimenta una traslación, todas sus partículas tienen una misma aceleración. Además α = 0 por lo tanto no existe movimiento angular; por lo tanto todas las partes del cuerpo tienen la misma aceleración lineal. A continuación de analizara la aplicación de esta y todas las ecuaciones de movimiento producido por fuerzas para cada de los dos tipos de traslación. TRASLACIÓN RECTILÍNEA Cuando un cuerpo se somete a traslación rectilínea, todas sus partículas viajan a lo largo de trayectorias de líneas recta paralelas. Solo se muestra maG en el diagrama cinético. Por lo tanto las ecuaciones de movimiento pertinentes en este caso son: ∑ FX = maGx ∑ Fy = maGy ∑ MG = 0 20 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II Diagrama de Cuerpo General También es posible sumar los momentos con respecto a otros puntos en o fuera del cuerpo en cuyo caso, debe tenerse en cuenta el momento de maG. Por ejemplo si selecciona el punto A de la figura anterior, situado a una distancia perpendicular “d” de la línea de acción d maG , las siguientes ecuaciones de momento aplican ↺ + ∑ MA = (maG )d TRASLACIÓN CURVILÍNEA Cuando un cuerpo rígido se somete a traslación curvilínea, todas sus partículas viajan a lo largo de trayectorias curvas paralelas. En un análisis, con frecuencia es conveniente utilizar un sistema de coordenadas inercial con su origen que coincida con el centro de masa del cuerpo en el instante considerado, tomaremos los ejes normal y tangencial. 21 CINÉMATICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2011-II Tomaremos las ecuaciones para la trayectoria de la figura. ∑ Fn = maGn ∑ Ft = maGt ∑ MG = 0 Si se suman los momentos con respecto a un punto arbitrario B, la figura muestra lo que se necesita. ∑ MB = e[maGt ] − h[maGn ] 22
