Universidad Simón Bolı́var Departamento de Cómputo Cientı́fico y Estadı́stica Probabilidades (CO3511) Probabilidades para ingenieros (CO3121) Septiembre - Diciembre 2022 Problemario: Semana 1 1. Ejercicios 1. A explicar La revista de la universidad desea incrementar su tiraje y encarga a los estudiantes de comunicación realizar una encuesta entre sus lectores. Esta, tras el correspondiente sondeo, procesa los datos y entrega a la revista las siguientes condiciones sobre sus lectores actuales: 53 % son varones, 48 % son estudiantes universitarios, 37 % viven en Caracas, 8 % son universitarios varones, 16 % son varones que viven en Caracas, 10 % son universitarios que viven en Caracas, 5 % son universitarios varones que viven en Caracas. El director de la revista, tras examinar los datos, concluye que no son ciertos y se niega a aceptarla. ¿El tiene razón? ¿Por qué? 2. Cinco personas deben elegir entre tres candidatos para ser el lider de su equipo. Liste el conjunto de todas las posibilidades. Sea A el subconjunto de todos los resultados en los que alguno de los tres es electo. ¿Cuál es la cardinalidad de A? 3. Se conoce acerca de los subconjuntos A, B y C de cierto conjunto universal U , tal que |U | = 150 que: |A ∪ B| = 120 |C ∪ B| = 100 |A| = 85 |A ∩ B| = 35 |A ∩ B 0 ∩ C| = 10 |A0 ∩ B ∩ C| = 5 |C| = 55 Halle |B|, |A ∩ B ∩ C|, |A0 ∪ B 0 ∪ C 0 | y |(A0 ∩ B 0 ) ∪ (A0 ∩ C 0 ) ∪ (B 0 ∪ C 0 )|. 4. Se contrata una empresa de ingenierı́a para que determine si ciertas vı́as fluviales en Bolı́var son seguras para la pesca. Se toman muestras de cinco rı́os, y los pueden clasificar con las letras P ”seguro para la pesca” o N ”inseguro para la pesca”. Liste todos los posibles resultados. Liste los elementos del subconjunto en el que al menos dos de los rı́os son seguros para la pesca. 5. De un grupo de cinco suplentes, se seleccionan dos jurados para servir en un juicio por homicidio. Liste los elementos de S, el conjunto de todos los posibles resultados. Sea A todos los resultados en los que se escoge el suplente 2 o el suplente 5. Liste los elementos en A0 . 6. Si S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 4, 5} y D = {1, 6, 7}, liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos: a A ∪ C; b A ∩ B; c C 0; d (C 0 ∩ D) ∪ B; e (S ∩ C)0 ; f A ∩ C ∩ D0 . 7. Se analiza el caso en el que los automóviles que llegaban a un crucero podı́an dar vuelta a la derecha, a la izquierda o seguir de frente. Un experimento consiste en observar cuatro vehı́culos que se dirigen al crucero. Liste el conjunto de todas las posibilidades. Si A es el conjunto en el que al menos la mitad de los carros cruzan a la izquierda, y B es el conjunto en el que ninguno cruza a la derecha, halle |A ∩ B| y |A ∩ B 0 |. 1 2 8. Considere el conjunto S = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxı́geno, cinc} y los subconjuntos A = {cobre, sodio, cinc} B = {sodio, nitrógeno, potasio} A = {oxı́geno} Liste los elementos de los conjuntos que corresponden: a A0 ; b A ∪ C; c (A ∩ B 0 ) ∪ C 0 ; d B0 ∩ C 0; e A ∩ B ∩ C; f (A0 ∩ B 0 ) ∩ (A0 ∩ C). 9. Se arrojan dos dados y se observan los puntos de cada dado. Describa el conjunto de todos los elementos posibles. Diga cuál es la cardinalidad de los siguientes subconjuntos: a sale al menos un tres; b sale a lo sumo un tres; c sale exactamente un tres; d la suma de los puntos es siete. 10. Demuestre que para todos conjuntos A, B y C a) ((A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C)) ⇒ (A ∪ B) ⊆ C; b) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C); c) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C). 11. El currı́culum de dos aspirantes masculinos que desean trabajar en el Departamento Cómputo Cientı́fico y Estadı́stica se coloca en el mismo archivo que el de tres aspirantes mujeres. Hay dos puestos disponibles, y el primero,que es a Dedicación Exclusiva, se cubre seleccionando al azar uno de los aspirantes. El segundo puesto, a Tiempo Integral, se cubre después mediante la selección de alguno de los aspirantes restantes. Liste los elementos del conjunto de todos los posibles resultados. Liste los elementos del subconjunto A, en que el puesto de profesor a Dedicación Exclusiva se cubre con un aspirante hombre. Liste los elementos del subconjunto B en el que a los más uno de los puestos se cubre con un aspirante hombre. 12. Un experimento implica lanzar un par de dados, uno verde y uno rojo, y registrar los números que resultan. Liste los elementos de S, todos los posibles resultados. Liste los elementos que corresponden al subconjunto A de que la suma de los valores sea mayor que 8, y de subconjunto B de que ocurra un 2 en cualquiera de los dos dados. ¿Qué elementos estarı́an en los conjuntos A ∩ B y (A ∪ B)c ? 13. Indique cuáles de las siguientes igualdades entre conjuntos son correctas y cuáles no los son: a A ∩ B ∩ C = [(A ∩ B) ∩ (C ∪ B)] − B c ; b A ∪ B = A ∪ [B − (A ∩ B)]; c (A ∪ B ∪ C)c = Ac ∩ B c ∩ C c . 14. Una moneda perfecta se lanza cinco veces. Liste todos los posibles resultados. Sea A el conjunto de los resultados en los que salen al menos 3 cruces. Nombre 5 subconjuntos que están en A, y escriba sus elementos. 15. Considérense cuatro objetos a, b, c y d. Suponga que el orden en el cual se anotan estos objetos representa el resultado de un experimento. Sean A y B los subconjuntos definidos como sigue: A = {aestá en el tercer lugar}; B = {bestá en el cuarto lugar}. Liste el conjunto con todos los resultados posibles, ası́ como los elementos en A ∪ B y A ∩ B. 3 16. En el ciclo básico de la universidad los estudiantes de primer trimestre deben escoger 3 materias para tomar. 145 estudiantes del primer trimestre toman matemáticas I, 136 lenguaje I, 138 sociales I, 94 toman matemáticas y lenguaje, 78 sociales y matemáticas, 85 sociales y lenguaje, 49 las tres materias y 54 ninguna de las tres materias. a ¿Cuántos estudiantes hay en el primer trimestre? b ¿Cuántos estudian exactamente dos materias? c ¿Cuántos estudian al menos una materia? d ¿Cuántos estudian máximo una materia? e ¿Cuántos estudian lenguaje, pero no matemática? f ¿Cuántos estudian sociales si y solo si no estudian lenguaje? 17. A explicar Determinar la cardinalidad de los conjuntos A, B, C ⊂ U , si |U | = 30, |(A ∪ B ∪ C)0 | = 5, |A ∪ B| = 23, |A − C| = 12, |A ∩ C| = 4, |B ∩ C| = 8, |A ∩ B| = 11 y |A ∩ B ∩ C| = 3. 18. Se preguntó a 11 personas acerca de sus preferencias por dos marcas de café, A y B, y se obtuvieron los siguientes resultados: 7 prefirieron solo una de dichas marcas, el número de personas que prefieron ambas marcas fue igual al número de personas que no prefirió ninguno de las dos, 3 personas manifestaron que no prefieren la A pero si la B. Se desea saber: a ¿Cuántas personas prefirieron la marca A? b ¿Cuántas personas prefirieron solo la marca B? c ¿Cuántas personas se manifestaron que les eran indistintas ambas marcas? 19. Un experimento consiste en lanzar un dado y después lanzar una moneda una vez si el número en el dado es par, o lanzarla dos veces si el número en el dado es impar. Liste los elementos de A, el subconjunto en el que el dado salga un número menor que 3; y los elementos de B, el subconjunto de que resulten dos cruces. ¿Qué elementos estarı́an en Ac ∪ B? 20. En una encuesta hecha a 120 deportistas acerca de los que practicaban fútbol, voleibol y baloncesto, se encontró: únicamente fútbol 14; voleibol, pero no baloncesto ni fútbol 9; únicamente baloncesto 17; fútbol y voleibol, pero no baloncesto 15; fútbol y baloncesto, pero no voleibol 3; voleibol y baloncesto, pero no fútbol 6; ninguno de estos deportes 42. a ¿Cuántos practican los 3 deportes? b ¿Cuántos si practican fútbol y baloncesto entonces no practican voleibol? c ¿Cuántos practican voleibol si y solo si no practican fútbol pero si baloncesto? d ¿Cuántos practican al menos 2 deportes? e ¿Cuántos practican a lo sumo 1 deporte? 21. Se preguntó a 50 padres de alumnos sobre los deportes que practicaban, obteniendose los siguientes resultados: 20 practican solo fútbol, 12 practican fútbol y natación, y 10 no practican ninguno de esos deportes. ¿Cuántos practican natación? ¿Cuántos práctican solo natación? ¿Cuántos práctican alguno de los deportes? 22. Si S = {x|0 < x < 12}, M = {x|1 < x < 9} y N = {x|0 < x < 5}, encuentre: a M ∪ N; b M ∩ N; c M 0 ∩ N 0. 23. Indique cuáles de las siguientes igualdades entre conjuntos son correctas y cuáles no los son: a A ∪ B ∪ C = A ∪ [B − (A ∩ B)] ∪ [C − (A ∩ C)]; b A ∪ B = A − B; c (A ∩ B ∩ C)c = Ac ∪ B c ∪ C c . 24. Considérense cuatro objetos a, b, c y d. Suponga que el orden en el cual se anotan estos objetos representa el resultado de un experimento. Sean A y B los subconjuntos definidos como sigue: A = {aestá en el primer lugar}; B = {bestá en el segundo lugar}. Liste el conjunto con todos los resultados posibles, ası́ como los elementos en A ∪ B y A ∩ B. 4 25. Un experimento consiste en elegir dos aplicantes de empleo de un grupo de cinco, que difieren en grado de capacidad. Suponga que el 1 es el mejor, el 2 es el siguiente mejor en habilidad, y ası́ sucesivamente el 3, 4 y 5. Por supuesto, los contratantes desconocen la clasificación. Liste el conjunsto de todas las escogencias posibles. Sea A el subconjunto en el que se elige al mejor y a uno de los dos menos competentes. Sea B el subconjunto en el que se elige por lo menos uno de los dos mejores. Halle A∪B, A ∩ B y A ∩ B0. 26. A explicar En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y C, se obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el producto B, 50 consumen únicamente el producto A, 30 sólo el producto B, el número de personas que consuen sólo B y C es la mitad del número de personas que consumen sólo A y C, el número de personas que consumen sólo A y B es el tripe del número de las que consumen los tres productos y hay tantas personas que no consumen los productos mencionados como las que consumen sólo C. Determina a) el número de personas que consumen sólo dos de los productos, b) el número de personas que no consumen ninguno de los tres productos, c) el número de personas que consumen al menos uno de los tres productos. 27. En una oficina de oferta de empleos se ofrecen 29 puestos de trabajo en el ramo de la construcción. 13 deben ser albañiles, 13 fontaneros y 15 carpenteros. De éstos 6 tienen que ser albañiles y fontaneros, 4 fontaneros y carpinteros, y 5 albañiles y carpinteros. a ¿Cuántos tienen que ser las tres cosas a la vez? b ¿A cuántas personas que sólo tengan el oficio de albañil se les puede ofrecer empleo? 28. Una selección de fútbol promedio perfila seis partidos amistosos, previo a una competición importante, para prepararse. Como se sabe, el resultado de cada partido puede ser victoria, derrota o empate. Liste todos los posibles resultados. Sea A el conjunto de los resultados en los que pierde a los más tres de los partidos. Si se asigna 3 puntos por victoria, 1 por empate y 0 por derrota, sea B el conjunto de los resultados en los que acumuları́a al menos 8 puntos. Liste los elementos de A ∩ B. 29. De un grupo de cuatro suplentes, se seleccionan dos jurados para servir en un juicio por homicidio. Liste los elementos de S, el conjunto de todos los posibles resultados. Sea A todos los resultados en los que se escoge el suplente 1 o el suplente 3. Liste los elementos en A0 . 30. Se estudian el ejercicio y la dieta como posibles sustitutos del medicamento para bajar la presión sanguı́nea. Se utilizarán tres grupo de individuos para estudiar el efecto del ejercicio. Los integrantes del grupo uno son sedentarios, los del dos caminan y los del tres nadan una hora al dı́a. La mitad de cada uno de los grupos de ejercicio tendrá una dieta sin sal. Un grupo adicional de individuos no hará ejercicio ni restringirá su consumo de sal, pero tomará el medicamento estándar. Liste todos los elementos posibles. Si A es el conjunto de los individuos sin medicamento y B el conjunto de caminantes, liste los elementos de A ∪ B. 31. Al entrevistar 1000 estudiantes se obtuvo que 500 de ellos practican con el lenguaje de programación C, 600 con Python y 150 con ninguno de los dos anteriores. ¿Qué porcentaje de los estudiantes usa solo C? ¿Qué porcentaje de los estudiantes usa alguno de los dos lenguajes? ¿Qué porcentaje de los estudiantes usa ambos lenguajes? ¿Qué porcentaje de los estudiantes solamente usa Python? 32. Liste los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos: a el conjunto de los números enteros entre 1 y 50 que son divisibles entre 8; b el conjunto S = {x|x2 + 4x − 5 = 0}; c el conjunto de resultados cuando se lanza una moneda al aire hasta que aparecen una cruz o tres caras; d el conjunto S = {x|xes un continente}; e el conjunto S = {x|2x − 4 ≥ 0 y x < 1}. 33. Demuestre que para todos conjuntos A, B y C a) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C); b) (A − B) ∩ B = ∅; c) A ∩ B = A − (A − B). 5 34. A explicar Demuestre que para todos conjuntos A, B y C a) ((C ⊆ A) ∧ (C ⊆ B) ⇒ C ⊆ (A ∩ B); b) (A − B) ∪ B = A ∪ B = A ∪ (B − A); c) (A ⊆ B) ⇔ (A ∪ (B − A) = B). 35. En el conjunto de los números naturales menores que 100, ¿cuántos números hay que no son múltiplos ni de 3 ni de 4? 36. Se dice que 420 ven los canales 2, 4 y 10. 120 ven el canal 2, 220 ven el canal 4 y 110 no ven el canal 10. Los que ven por lo menos 2 canales son 130. ¿Cuántos ven los tres canales? 37. Se hizo una encuesta a 200 estudiantes de ingenierı́a de la USB acerca de sus conocimientos en lenguajes de programación y se obtuvo los siguientes resultados: 170 programaban en C 90 programaban en Matlab 100 programaban en Python 20 programaban en C y Matlab 18 programaban en Matlab y Python 70 preferian programar en C y Python, pero no en Matlab. ¿Cuántos estudiantes no prefieren ninguno de los tres? 38. A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos, de los cuales 65 aprobaron matemáticas, 25 matemáticas y fı́sica, y 15 solo el de fı́sica. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los dos? 39. En un juicio penal se necesitan dos personas para completar un jurado. Hay seis candidatos para integrarlo, dos mujeres y cuatro hombres. Se eligen dos miembros al azar. Liste el conjunto de todos los resultados posibles. ¿Cuál es la cardinalidad del subconjunto en el que se escoge exactamente un hombre? ¿Cuál es la cardinalidad del subconjunto en el que se escoge al menos una mujer? 40. Suponga que se tiran dos dados y que se observan los número de las caras superiores. Denotemos con S el conjunto de todos los pares posibles que se pueden observar. Defina los siguientes subconjuntos. A: el número en el segundo dado es par, B: la suma de los dos números es par, C: al menos uno de los números es impar. Indique los puntos en A, C, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B y A ∩ C. 2. Asignación A continuación están los ejercicios que deben hacer cada uno. Tomen en cuenta que los que dicen A explicar son los que deben enviar explicados el dı́a domingo (a más tardar). Carnet 12-10359 12-11278 14-10019 14-10125 14-10301 14-10373 14-10611 15-10079 15-10271 15-10322 Ejercicio 24 4 32 16 12 9 28 21 5 26 Carnet 15-10484 15-10527 15-11195 15-11532 15-11648 16-00289 16-10105 16-10553 16-10638 16-10648 Ejercicio 29 7 1 3 18 23 38 30 19 33 3. Carnet 16-10671 17-10022 17-10046 17-10107 17-10120 17-10126 17-10144 17-10353 17-10381 17-10492 Ejercicio 31 6 13 20 35 15 14 36 37 39 Carnet 17-10562 18-10203 18-10451 18-10595 18-10605 18-10699 18-10717 18-10783 18-10858 19-10107 Ejercicio 40 25 2 11 27 10 22 34 8 17 Corrección Cada uno deberá hacer la corrección de 10 ejercicios, que se especifican a continuación: 6 Carnet 15-11195 18-10451 15-11532 12-11278 15-10271 17-10022 15-10527 18-10858 14-10373 18-10699 18-10595 14-10301 17-10046 17-10144 17-10126 14-10125 19-10107 15-11648 16-10638 17-10107 15-10079 18-10717 16-00289 12-10359 18-10203 15-10322 18-10605 14-10611 15-10484 16-10553 16-10671 14-10019 16-10648 18-10783 17-10120 17-10353 17-10381 16-10105 17-10492 17-10562 6 4 7 2 4 8 4 1 2 5 7 3 4 1 9 5 1 4 3 1 2 10 11 2 21 3 2 4 15 1 3 6 1 16 2 8 1 1 1 1 16 5 8 3 6 13 6 10 4 6 8 5 9 7 12 13 3 6 6 3 3 13 24 8 23 4 3 8 23 7 10 8 2 19 4 9 2 2 7 2 17 9 11 22 15 14 8 11 12 11 10 6 22 8 13 14 5 7 7 5 5 25 25 11 25 10 5 12 24 10 11 20 6 21 7 10 3 4 9 5 23 12 14 23 17 20 17 14 15 12 18 14 26 17 14 18 13 15 9 9 14 26 27 12 26 11 8 13 27 12 17 27 11 26 13 14 5 6 16 7 Ejercicios 24 27 17 18 18 22 25 30 21 24 27 30 20 24 16 17 19 22 19 29 22 26 15 16 27 30 28 29 16 17 20 24 15 18 21 23 10 14 11 12 20 25 28 30 28 31 21 29 28 32 15 16 9 10 16 17 28 31 16 28 18 19 28 29 12 13 27 29 23 29 15 24 7 9 10 19 18 19 9 14 33 19 26 31 25 34 25 18 23 30 27 17 31 30 18 32 21 24 15 28 32 33 34 34 35 23 11 18 34 33 22 33 15 33 30 30 13 20 21 16 36 20 29 32 31 36 32 19 24 31 35 21 32 34 21 33 22 35 20 31 34 34 36 35 36 27 12 19 36 36 25 36 26 36 31 35 29 21 26 29 37 22 37 34 32 38 34 20 33 32 38 27 33 37 22 37 25 38 28 32 35 38 37 36 37 28 13 20 37 39 26 37 30 38 37 38 32 22 33 36 40 23 40 35 33 39 38 23 40 38 39 35 34 39 26 39 31 39 29 35 40 39 40 37 39 30 19 24 39 40 40 40 31 40 38 40 39 25 35 38