Universidad Simón Bolı́var
Departamento de Cómputo Cientı́fico y Estadı́stica
Probabilidades (CO3511)
Probabilidades para ingenieros (CO3121)
Septiembre - Diciembre 2022
Problemario: Semana 1
1.
Ejercicios
1. A explicar La revista de la universidad desea incrementar su tiraje y encarga a los estudiantes de
comunicación realizar una encuesta entre sus lectores. Esta, tras el correspondiente sondeo, procesa
los datos y entrega a la revista las siguientes condiciones sobre sus lectores actuales: 53 % son varones,
48 % son estudiantes universitarios, 37 % viven en Caracas, 8 % son universitarios varones, 16 % son
varones que viven en Caracas, 10 % son universitarios que viven en Caracas, 5 % son universitarios
varones que viven en Caracas. El director de la revista, tras examinar los datos, concluye que no son
ciertos y se niega a aceptarla. ¿El tiene razón? ¿Por qué?
2. Cinco personas deben elegir entre tres candidatos para ser el lider de su equipo. Liste el conjunto de
todas las posibilidades. Sea A el subconjunto de todos los resultados en los que alguno de los tres es
electo. ¿Cuál es la cardinalidad de A?
3. Se conoce acerca de los subconjuntos A, B y C de cierto conjunto universal U , tal que |U | = 150 que:
|A ∪ B| = 120
|C ∪ B| = 100
|A| = 85
|A ∩ B| = 35
|A ∩ B 0 ∩ C| = 10
|A0 ∩ B ∩ C| = 5
|C| = 55
Halle |B|, |A ∩ B ∩ C|, |A0 ∪ B 0 ∪ C 0 | y |(A0 ∩ B 0 ) ∪ (A0 ∩ C 0 ) ∪ (B 0 ∪ C 0 )|.
4. Se contrata una empresa de ingenierı́a para que determine si ciertas vı́as fluviales en Bolı́var son
seguras para la pesca. Se toman muestras de cinco rı́os, y los pueden clasificar con las letras P
”seguro para la pesca” o N ”inseguro para la pesca”. Liste todos los posibles resultados. Liste los
elementos del subconjunto en el que al menos dos de los rı́os son seguros para la pesca.
5. De un grupo de cinco suplentes, se seleccionan dos jurados para servir en un juicio por homicidio.
Liste los elementos de S, el conjunto de todos los posibles resultados. Sea A todos los resultados en
los que se escoge el suplente 2 o el suplente 5. Liste los elementos en A0 .
6. Si S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 4, 5} y D = {1, 6, 7},
liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos:
a A ∪ C;
b A ∩ B;
c C 0;
d (C 0 ∩ D) ∪ B;
e (S ∩ C)0 ;
f A ∩ C ∩ D0 .
7. Se analiza el caso en el que los automóviles que llegaban a un crucero podı́an dar vuelta a la derecha,
a la izquierda o seguir de frente. Un experimento consiste en observar cuatro vehı́culos que se dirigen
al crucero. Liste el conjunto de todas las posibilidades. Si A es el conjunto en el que al menos la mitad
de los carros cruzan a la izquierda, y B es el conjunto en el que ninguno cruza a la derecha, halle
|A ∩ B| y |A ∩ B 0 |.
1
2
8. Considere el conjunto S = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxı́geno, cinc} y los subconjuntos
A = {cobre, sodio, cinc}
B = {sodio, nitrógeno, potasio}
A = {oxı́geno}
Liste los elementos de los conjuntos que corresponden:
a A0 ;
b A ∪ C;
c (A ∩ B 0 ) ∪ C 0 ;
d B0 ∩ C 0;
e A ∩ B ∩ C;
f (A0 ∩ B 0 ) ∩ (A0 ∩ C).
9. Se arrojan dos dados y se observan los puntos de cada dado. Describa el conjunto de todos los
elementos posibles. Diga cuál es la cardinalidad de los siguientes subconjuntos:
a sale al menos un tres;
b sale a lo sumo un tres;
c sale exactamente un tres;
d la suma de los puntos es siete.
10. Demuestre que para todos conjuntos A, B y C
a) ((A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C)) ⇒ (A ∪ B) ⊆ C;
b) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);
c) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C).
11. El currı́culum de dos aspirantes masculinos que desean trabajar en el Departamento Cómputo Cientı́fico y Estadı́stica se coloca en el mismo archivo que el de tres aspirantes mujeres. Hay dos puestos
disponibles, y el primero,que es a Dedicación Exclusiva, se cubre seleccionando al azar uno de los
aspirantes. El segundo puesto, a Tiempo Integral, se cubre después mediante la selección de alguno
de los aspirantes restantes. Liste los elementos del conjunto de todos los posibles resultados. Liste los
elementos del subconjunto A, en que el puesto de profesor a Dedicación Exclusiva se cubre con un
aspirante hombre. Liste los elementos del subconjunto B en el que a los más uno de los puestos se
cubre con un aspirante hombre.
12. Un experimento implica lanzar un par de dados, uno verde y uno rojo, y registrar los números que
resultan. Liste los elementos de S, todos los posibles resultados. Liste los elementos que corresponden
al subconjunto A de que la suma de los valores sea mayor que 8, y de subconjunto B de que ocurra
un 2 en cualquiera de los dos dados. ¿Qué elementos estarı́an en los conjuntos A ∩ B y (A ∪ B)c ?
13. Indique cuáles de las siguientes igualdades entre conjuntos son correctas y cuáles no los son:
a A ∩ B ∩ C = [(A ∩ B) ∩ (C ∪ B)] − B c ;
b A ∪ B = A ∪ [B − (A ∩ B)];
c (A ∪ B ∪ C)c = Ac ∩ B c ∩ C c .
14. Una moneda perfecta se lanza cinco veces. Liste todos los posibles resultados. Sea A el conjunto de
los resultados en los que salen al menos 3 cruces. Nombre 5 subconjuntos que están en A, y escriba
sus elementos.
15. Considérense cuatro objetos a, b, c y d. Suponga que el orden en el cual se anotan estos objetos
representa el resultado de un experimento. Sean A y B los subconjuntos definidos como sigue: A =
{aestá en el tercer lugar}; B = {bestá en el cuarto lugar}. Liste el conjunto con todos los resultados
posibles, ası́ como los elementos en A ∪ B y A ∩ B.
3
16. En el ciclo básico de la universidad los estudiantes de primer trimestre deben escoger 3 materias para
tomar. 145 estudiantes del primer trimestre toman matemáticas I, 136 lenguaje I, 138 sociales I, 94
toman matemáticas y lenguaje, 78 sociales y matemáticas, 85 sociales y lenguaje, 49 las tres materias
y 54 ninguna de las tres materias.
a ¿Cuántos estudiantes hay en el primer trimestre?
b ¿Cuántos estudian exactamente dos materias?
c ¿Cuántos estudian al menos una materia?
d ¿Cuántos estudian máximo una materia?
e ¿Cuántos estudian lenguaje, pero no matemática?
f ¿Cuántos estudian sociales si y solo si no estudian lenguaje?
17. A explicar Determinar la cardinalidad de los conjuntos A, B, C ⊂ U , si |U | = 30, |(A ∪ B ∪ C)0 | = 5,
|A ∪ B| = 23, |A − C| = 12, |A ∩ C| = 4, |B ∩ C| = 8, |A ∩ B| = 11 y |A ∩ B ∩ C| = 3.
18. Se preguntó a 11 personas acerca de sus preferencias por dos marcas de café, A y B, y se obtuvieron
los siguientes resultados: 7 prefirieron solo una de dichas marcas, el número de personas que prefieron ambas marcas fue igual al número de personas que no prefirió ninguno de las dos, 3 personas
manifestaron que no prefieren la A pero si la B. Se desea saber:
a ¿Cuántas personas prefirieron la marca A?
b ¿Cuántas personas prefirieron solo la marca B?
c ¿Cuántas personas se manifestaron que les eran indistintas ambas marcas?
19. Un experimento consiste en lanzar un dado y después lanzar una moneda una vez si el número en
el dado es par, o lanzarla dos veces si el número en el dado es impar. Liste los elementos de A, el
subconjunto en el que el dado salga un número menor que 3; y los elementos de B, el subconjunto de
que resulten dos cruces. ¿Qué elementos estarı́an en Ac ∪ B?
20. En una encuesta hecha a 120 deportistas acerca de los que practicaban fútbol, voleibol y baloncesto,
se encontró: únicamente fútbol 14; voleibol, pero no baloncesto ni fútbol 9; únicamente baloncesto 17;
fútbol y voleibol, pero no baloncesto 15; fútbol y baloncesto, pero no voleibol 3; voleibol y baloncesto,
pero no fútbol 6; ninguno de estos deportes 42.
a ¿Cuántos practican los 3 deportes?
b ¿Cuántos si practican fútbol y baloncesto entonces no practican voleibol?
c ¿Cuántos practican voleibol si y solo si no practican fútbol pero si baloncesto?
d ¿Cuántos practican al menos 2 deportes?
e ¿Cuántos practican a lo sumo 1 deporte?
21. Se preguntó a 50 padres de alumnos sobre los deportes que practicaban, obteniendose los siguientes
resultados: 20 practican solo fútbol, 12 practican fútbol y natación, y 10 no practican ninguno de
esos deportes. ¿Cuántos practican natación? ¿Cuántos práctican solo natación? ¿Cuántos práctican
alguno de los deportes?
22. Si S = {x|0 < x < 12}, M = {x|1 < x < 9} y N = {x|0 < x < 5}, encuentre:
a M ∪ N;
b M ∩ N;
c M 0 ∩ N 0.
23. Indique cuáles de las siguientes igualdades entre conjuntos son correctas y cuáles no los son:
a A ∪ B ∪ C = A ∪ [B − (A ∩ B)] ∪ [C − (A ∩ C)];
b A ∪ B = A − B;
c (A ∩ B ∩ C)c = Ac ∪ B c ∪ C c .
24. Considérense cuatro objetos a, b, c y d. Suponga que el orden en el cual se anotan estos objetos
representa el resultado de un experimento. Sean A y B los subconjuntos definidos como sigue: A =
{aestá en el primer lugar}; B = {bestá en el segundo lugar}. Liste el conjunto con todos los resultados
posibles, ası́ como los elementos en A ∪ B y A ∩ B.
4
25. Un experimento consiste en elegir dos aplicantes de empleo de un grupo de cinco, que difieren en grado
de capacidad. Suponga que el 1 es el mejor, el 2 es el siguiente mejor en habilidad, y ası́ sucesivamente
el 3, 4 y 5. Por supuesto, los contratantes desconocen la clasificación. Liste el conjunsto de todas
las escogencias posibles. Sea A el subconjunto en el que se elige al mejor y a uno de los dos menos
competentes. Sea B el subconjunto en el que se elige por lo menos uno de los dos mejores. Halle A∪B,
A ∩ B y A ∩ B0.
26. A explicar En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B
y C, se obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el producto B,
50 consumen únicamente el producto A, 30 sólo el producto B, el número de personas que consuen
sólo B y C es la mitad del número de personas que consumen sólo A y C, el número de personas
que consumen sólo A y B es el tripe del número de las que consumen los tres productos y hay tantas
personas que no consumen los productos mencionados como las que consumen sólo C. Determina a)
el número de personas que consumen sólo dos de los productos, b) el número de personas que no
consumen ninguno de los tres productos, c) el número de personas que consumen al menos uno de los
tres productos.
27. En una oficina de oferta de empleos se ofrecen 29 puestos de trabajo en el ramo de la construcción. 13
deben ser albañiles, 13 fontaneros y 15 carpenteros. De éstos 6 tienen que ser albañiles y fontaneros,
4 fontaneros y carpinteros, y 5 albañiles y carpinteros.
a ¿Cuántos tienen que ser las tres cosas a la vez?
b ¿A cuántas personas que sólo tengan el oficio de albañil se les puede ofrecer empleo?
28. Una selección de fútbol promedio perfila seis partidos amistosos, previo a una competición importante,
para prepararse. Como se sabe, el resultado de cada partido puede ser victoria, derrota o empate.
Liste todos los posibles resultados. Sea A el conjunto de los resultados en los que pierde a los más tres
de los partidos. Si se asigna 3 puntos por victoria, 1 por empate y 0 por derrota, sea B el conjunto
de los resultados en los que acumuları́a al menos 8 puntos. Liste los elementos de A ∩ B.
29. De un grupo de cuatro suplentes, se seleccionan dos jurados para servir en un juicio por homicidio.
Liste los elementos de S, el conjunto de todos los posibles resultados. Sea A todos los resultados en
los que se escoge el suplente 1 o el suplente 3. Liste los elementos en A0 .
30. Se estudian el ejercicio y la dieta como posibles sustitutos del medicamento para bajar la presión
sanguı́nea. Se utilizarán tres grupo de individuos para estudiar el efecto del ejercicio. Los integrantes
del grupo uno son sedentarios, los del dos caminan y los del tres nadan una hora al dı́a. La mitad
de cada uno de los grupos de ejercicio tendrá una dieta sin sal. Un grupo adicional de individuos
no hará ejercicio ni restringirá su consumo de sal, pero tomará el medicamento estándar. Liste todos
los elementos posibles. Si A es el conjunto de los individuos sin medicamento y B el conjunto de
caminantes, liste los elementos de A ∪ B.
31. Al entrevistar 1000 estudiantes se obtuvo que 500 de ellos practican con el lenguaje de programación
C, 600 con Python y 150 con ninguno de los dos anteriores. ¿Qué porcentaje de los estudiantes usa
solo C? ¿Qué porcentaje de los estudiantes usa alguno de los dos lenguajes? ¿Qué porcentaje de los
estudiantes usa ambos lenguajes? ¿Qué porcentaje de los estudiantes solamente usa Python?
32. Liste los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:
a el conjunto de los números enteros entre 1 y 50 que son divisibles entre 8;
b el conjunto S = {x|x2 + 4x − 5 = 0};
c el conjunto de resultados cuando se lanza una moneda al aire hasta que aparecen una cruz o tres
caras;
d el conjunto S = {x|xes un continente};
e el conjunto S = {x|2x − 4 ≥ 0 y x < 1}.
33. Demuestre que para todos conjuntos A, B y C
a) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C);
b) (A − B) ∩ B = ∅;
c) A ∩ B = A − (A − B).
5
34. A explicar Demuestre que para todos conjuntos A, B y C
a) ((C ⊆ A) ∧ (C ⊆ B) ⇒ C ⊆ (A ∩ B);
b) (A − B) ∪ B = A ∪ B = A ∪ (B − A);
c) (A ⊆ B) ⇔ (A ∪ (B − A) = B).
35. En el conjunto de los números naturales menores que 100, ¿cuántos números hay que no son múltiplos
ni de 3 ni de 4?
36. Se dice que 420 ven los canales 2, 4 y 10. 120 ven el canal 2, 220 ven el canal 4 y 110 no ven el canal
10. Los que ven por lo menos 2 canales son 130. ¿Cuántos ven los tres canales?
37. Se hizo una encuesta a 200 estudiantes de ingenierı́a de la USB acerca de sus conocimientos en
lenguajes de programación y se obtuvo los siguientes resultados:
170 programaban en C
90 programaban en Matlab
100 programaban en Python
20 programaban en C y Matlab 18 programaban en Matlab y Python
70 preferian programar en C y Python, pero no en Matlab.
¿Cuántos estudiantes no prefieren ninguno de los tres?
38. A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos, de los cuales 65 aprobaron
matemáticas, 25 matemáticas y fı́sica, y 15 solo el de fı́sica. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los
dos?
39. En un juicio penal se necesitan dos personas para completar un jurado. Hay seis candidatos para
integrarlo, dos mujeres y cuatro hombres. Se eligen dos miembros al azar. Liste el conjunto de todos
los resultados posibles. ¿Cuál es la cardinalidad del subconjunto en el que se escoge exactamente un
hombre? ¿Cuál es la cardinalidad del subconjunto en el que se escoge al menos una mujer?
40. Suponga que se tiran dos dados y que se observan los número de las caras superiores. Denotemos con
S el conjunto de todos los pares posibles que se pueden observar. Defina los siguientes subconjuntos.
A: el número en el segundo dado es par, B: la suma de los dos números es par, C: al menos uno de
los números es impar. Indique los puntos en A, C, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B y A ∩ C.
2.
Asignación
A continuación están los ejercicios que deben hacer cada uno. Tomen en cuenta que los que dicen A
explicar son los que deben enviar explicados el dı́a domingo (a más tardar).
Carnet
12-10359
12-11278
14-10019
14-10125
14-10301
14-10373
14-10611
15-10079
15-10271
15-10322
Ejercicio
24
4
32
16
12
9
28
21
5
26
Carnet
15-10484
15-10527
15-11195
15-11532
15-11648
16-00289
16-10105
16-10553
16-10638
16-10648
Ejercicio
29
7
1
3
18
23
38
30
19
33
3.
Carnet
16-10671
17-10022
17-10046
17-10107
17-10120
17-10126
17-10144
17-10353
17-10381
17-10492
Ejercicio
31
6
13
20
35
15
14
36
37
39
Carnet
17-10562
18-10203
18-10451
18-10595
18-10605
18-10699
18-10717
18-10783
18-10858
19-10107
Ejercicio
40
25
2
11
27
10
22
34
8
17
Corrección
Cada uno deberá hacer la corrección de 10 ejercicios, que se especifican a continuación:
6
Carnet
15-11195
18-10451
15-11532
12-11278
15-10271
17-10022
15-10527
18-10858
14-10373
18-10699
18-10595
14-10301
17-10046
17-10144
17-10126
14-10125
19-10107
15-11648
16-10638
17-10107
15-10079
18-10717
16-00289
12-10359
18-10203
15-10322
18-10605
14-10611
15-10484
16-10553
16-10671
14-10019
16-10648
18-10783
17-10120
17-10353
17-10381
16-10105
17-10492
17-10562
6
4
7
2
4
8
4
1
2
5
7
3
4
1
9
5
1
4
3
1
2
10
11
2
21
3
2
4
15
1
3
6
1
16
2
8
1
1
1
1
16
5
8
3
6
13
6
10
4
6
8
5
9
7
12
13
3
6
6
3
3
13
24
8
23
4
3
8
23
7
10
8
2
19
4
9
2
2
7
2
17
9
11
22
15
14
8
11
12
11
10
6
22
8
13
14
5
7
7
5
5
25
25
11
25
10
5
12
24
10
11
20
6
21
7
10
3
4
9
5
23
12
14
23
17
20
17
14
15
12
18
14
26
17
14
18
13
15
9
9
14
26
27
12
26
11
8
13
27
12
17
27
11
26
13
14
5
6
16
7
Ejercicios
24 27
17 18
18 22
25 30
21 24
27 30
20 24
16 17
19 22
19 29
22 26
15 16
27 30
28 29
16 17
20 24
15 18
21 23
10 14
11 12
20 25
28 30
28 31
21 29
28 32
15 16
9 10
16 17
28 31
16 28
18 19
28 29
12 13
27 29
23 29
15 24
7 9
10 19
18 19
9 14
33
19
26
31
25
34
25
18
23
30
27
17
31
30
18
32
21
24
15
28
32
33
34
34
35
23
11
18
34
33
22
33
15
33
30
30
13
20
21
16
36
20
29
32
31
36
32
19
24
31
35
21
32
34
21
33
22
35
20
31
34
34
36
35
36
27
12
19
36
36
25
36
26
36
31
35
29
21
26
29
37
22
37
34
32
38
34
20
33
32
38
27
33
37
22
37
25
38
28
32
35
38
37
36
37
28
13
20
37
39
26
37
30
38
37
38
32
22
33
36
40
23
40
35
33
39
38
23
40
38
39
35
34
39
26
39
31
39
29
35
40
39
40
37
39
30
19
24
39
40
40
40
31
40
38
40
39
25
35
38
