Seminario:
“El Lado Visible de las Matemáticas”
Dr. Gregorio Mendoza González
Sesión 8:
Módulo 7: Sistemas de ecuaciones lineales
Módulo 8: Vectores y matrices
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE PUEBLA
SISTEMAS DE ECUACIONES
• Una ecuación lineal es aquella cuya variable tiene como máximo la
potencia “1”, y se les llama lineales porque su gráfica en el plano xy, son
líneas rectas.
• Un sistema de ecuaciones lineales tienen más de una incógnita y tienen
como conjunto solución los pares ordenados (x, y), que satisfacen la
ecuación, donde x y y son números reales.
• Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.
SOLUCIÓN de un Sistema de Ecuaciones Lineales
• Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita
para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema. Necesitamos tener al
menos tantas ecuaciones como incógnitas.
❑ Método de sustitución
❑ Método de igualación
❑ Método de eliminación
❑ Método gráfico
❑ Método de determinantes
POR GRÁFICA
• Las rectas se intersectan en un punto, este punto es la solución del sistema y el sistema
tiene solución única.
• Las rectas no se intersectan, la gráfica son dos rectas paralelas, el sistema no tiene
solución o el conjunto vacío Ø es la solución.
• Las rectas coinciden en todos sus puntos, el sistema tiene solución múltiple o solución
infinita, de modo que todos los puntos de las rectas son solución.
EJERCICIOS
• Si tienes una parte algebraica y otra gráfica. El sistema de ecuaciones es:
r1: x + 3 y = 5 r2: 2 x – y = – 4
• Observa y contesta:
1. En la gráfica r1 y r2 son _______________.
2. La intersección de las dos rectas es el ____________ “A” de coordenadas
_______. Es decir que x = ____ , y = _______ que es la solución al sistema .
3 . Cuando tenemos un sistema de ecuaciones lineales de rectas que se
intersectan, se dice que el sistema es consistente y de solución única. La
solución es el punto de CRUCE de las dos rectas.
Ejercicio
EJERCICIOS
Juan y Pedro deben de pagar una deuda el 30 de marzo, que suma
$3560. Si el doble de lo que debe Juan menos lo que debe Pedro
asciende a $2260. ¿Cuál es la deuda de cada uno?
P1: Dar nombre a las variables: x→ deuda Juan; y→ deuda de Pedro
P2. Traducir el enunciado a lenguaje algebraico:
2x – y = 2260
x + y = 3560
P3. Resolver el Sistema Creado.
x = $1940 Deuda de Juan
y = $1620 Deuda de Pedro
Aplicación:
• Hace tres años la edad de un padre era cinco veces la edad de su hijo, y
dentro de seis años será el triple. ¿Cuántos años tiene cada uno
actualmente?
X→ Edad Padre
Y→ Edad hijo
X – 3 = 5 (Y – 3) → X – 5Y = -12
X + 6 = 3 (Y + 6) → X – 3Y = 12
X=48
Y=12
Método de determinantes
VECTORES y MATRICES
• Los vectores son segmentos de una línea recta que están orientados dentro de un
plano bidimensional o tridimensional, también conocido como un espacio vectorial.
՜=(x,y) = xi + yj
𝑽
Matrices
Una matriz es un conjunto ordenado de elementos en una estructura de filas y columnas.
Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos, trabajaremos
exclusivamente con matrices formadas por números reales.
Las matrices se clasifican atendiendo al número de filas y columnas que poseen y también
atendiendo al valor que toman sus elementos.
Son de especial interés las matrices cuadradas, y dentro de estas, algunos tipos
particulares.
• GeoGebra opera con matrices reales, representadas como una lista
de listas, que contiene las filas de la matriz o desde la hoja de cálculo.
a = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}
Para desplegar con elegancia y facilidad una matriz en la Vista
Gráfica, puede emplearse el formato LaTeX, usando el
comando FórmulaTexto.
Sumas y Restas
• Matriz1 + Matriz2: Suma uno a uno, cada par de elementos
correspondientes de una y otra matriz.
• Matriz1 – Matriz2: Resta uno a uno, cada par de elementos
correspondientes de una y otra matriz, entre dos compatibles entre sí.
Multiplicación
Matriz * Número: Multiplica por el número, cada uno de los elementos de la matriz.
Matriz1 * Matriz2: Usa la multiplicación de matrices para calcular la resultante.
Nota: Las filas de la primera y las columnas de la segunda matriz deben tener el
mismo número de elementos.
Ejemplo: {{1,2},{3,4},{5,6}}*{{1,2,3},{4,5,6}}
da por resultado la matriz
{{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}}.
Comandos para MATRICES
• Determinante[Matriz]: Calcula el determinante de la matriz dada.
• Inversa[Matriz]: Invierte la matriz dada.
• Traspone[Matriz]: Traspone la matriz dada.
• AplicaMatriz[Matriz, Objeto]: Aplica la transformación afín propio de
la matriz al objeto.
• EscalonadaReducida[Matriz]: Convierte la matriz a la forma reducida
escalonada por fila.
Ejercicios:
