GEOMETRIA 4 ° Triángulos En este capítulo aprenderemos: • A identificar los triángulos, reconociendo sus elementos y características principales. • A utilizar con exactitud los teoremas que permitan obtener características de los triángulos y que permitan la resolución de problemas matemáticos. El estudio de los triángulos es una de las partes medulares del curso de Geometría, que tiene muchas aplicaciones prácticas y que también sirve para el desarrollo mismo de la matemática en su conjunto. Hemos escogido esta lectura para graficar lo anterior. E l gran matemático Diofanto (275 d.C.) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3; 4 y 5 unidades. Evidentemente el triángulo es rectángulo y cumple el teorema de Pitágoras: 32 + 4 2 = 5 2 Diofanto (275 d.C.) Al ser un triángulo rectángulo, es fácil comprobar que el área es 6 unidades. Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades. Su planteamiento fue el siguiente: • Un cateto mediría "x". • Como el área debía ser 7, el otro cateto será 14/x. • La hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras. x2 + 2 14 =h2 x Pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12. 14 x+ +h=12 x De donde se llega fácilmente a: Por lo tanto se debe cumplir la ecuación: 14 2 196 x2+ 2 = 12 x x x Cuya solución, Diofanto expresó como: 6x2 43x + 84 = 0 43+ 167 12 -1 Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a -1, por tanto, el problema no tenía solución. Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse. En el siglo XVI, Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas. ____________________ 3 I.E.P. "LUZ DEL SABER GEOMETRIA 4 ° Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos que: • Dos ángulos son suplementarios, cuando la suma de sus medidas es de 180°. a° • b° + = 90° En la figura, la suma de los ángulos es de 180° y no son suplementarios. a° • = 180° Dos ángulos son complementarios, cuando la suma de sus medidas es de 90°. a° • b° + b° q° l° Dadas las rectas paralelas, los ángulos cuya medida son "b°" y "a°", son iguales. L1 a° b° • L2 En un cuadrilátero, la suma de sus ángulos internos es de 360°. b° a° q° l° Importante: El ángulo exterior de un triángulo se consigue prolongando cualquiera de los dos lados del ángulo interior. ____________________ I.E.P. "LUZ DEL SABER 4 GEOMETRIA 4 ° Conceptos básicos Elementos: B Región interior y° Vértices: A, B, C Lados: b° a c Ángulos a° A z° q° Externos: x°, y°, z° Perímetro: 2p = a + b + c C b x° AB, BC, AC Internos: a°, b°, q° Notación: ∆ ABC • Observación B Puntos interiores C A Se denomina región triangular a la reunión de los puntos del triángulo y los puntos interiores. Puntos exteriores relativos al lado AC Clasificación de los triángulos Según sus ángulos 0°<a°, b°, q°<90° a2+b2=c2 b° b° c a a° q° Acutángulo 90°<a°<180° a° b Rectángulo a° Obtusángulo Según sus lados Escaleno Isósceles Equilátero 60° a° Lados diferentes ____________________ I.E.P. "LUZ DEL SABER a° Dos lados iguales 60° 60° Tres lados iguales 5 GEOMETRIA 4 ° • Se denomina triángulo oblicuángulo a aquel que es acutángulo u obtusángulo. Triángulo mixtilíneo Triángulo curvilíneo Propiedades • Propiedad del ángulo exterior • Suma de ángulos internos b° b° a°+b°+q°=180° q° a° x° a° • Suma de ángulos externos y° q° z° • Propiedad de la existencia triangular Si: a>b>c C x°+y°+z°=360° b a x° x°=b°+q° y°=a°+q° z°=a°+b° y° b c<a<b+c a c<b<a+c a b<c<a+b z° B c A • Cuadrilátero no convexo b° a° ____________________ I.E.P. "LUZ DEL SABER xº x°=a°+b°+q° q° 6 GEOMETRIA 4 ° Ángulos entre rectas paralelas • Si: L1 // L2 L1 q° a°=q° a° • Si: L1 // L2 L2 b° L1 Si: L1 // L2 correspondientes a°=b° a° • alternos internos L2 L1 a° x° b° y° a°+b°+q°+g°=x°+y°+z° q° z° g° L2 Caso particular: • Si: a // b a° a x°=a°+b° x° b° ____________________ I.E.P. "LUZ DEL SABER Este caso es el más usado b 7 GEOMETRIA 4 ° Sintesis teórica TRIÁNGULOS Tres rectas al cortarse dos a dos, forman un triángulo. Pueden ser de varios tipos, dependiendo de sus lados o de sus ángulos. La suma de sus ángulos internos es de 180° y de los externos es de 360°. El ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores. La existencia de los triángulos se analiza, de preferencia, escogiendo el mayor de los lados. 10 x 5 50 Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Grafique al triángulo ABC, de modo que: m A=47°, m B=53° y m C=2x°. Calcular el valor de "x°". 5. Dado un triángulo, dos de sus lados miden 8 y 5 cm. Calcular la suma de todos los valores enteros que asume el tercer lado. 2. Dado un triángulo, se sabe que la medida de uno de sus ángulos interiores es el doble de la medida del otro ángulo interior. Calcular la medida del menor ángulo interior, si se sabe que el triángulo es rectángulo. 6. En un triángulo, dos de sus lados miden 7 y 13 cm. Calcular la suma de todos los valores impares que adopta el tercer lado. 3. En un triángulo ABC, la medida del ángulo exterior en "C" es de 140°. Si las medidas de los ángulos interiores en "A" y en "B" están en la relación de 2 a 3 respectivamente, calcular la m B. 4. En un triángulo isósceles, la medida de uno de sus ángulos interiores es de 140°. Calcular la medida del ángulo exterior situado en el vértice del ángulo interior agudo. 10 ____________________ I.E.P. "LUZ DEL SABER 7. Grafique al triángulo rectángulo ABC de hipotenusa AC y ubique un punto interior "Q". Si las medidas de los ángulos BAQ y BCQ miden 27° y 32° respectivamente, calcular la m AQC. 8. ABC es un triángulo equilátero y "Q" un punto interior, tal que: m BAQ=34° y m BCQ=22°. Calcular la medida del ángulo AQC. 8 GEOMETRIA 4 ° sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • • • La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es de 270°. En un triángulo obtusángulo, dos de sus ángulos interiores siempre serán agudos. En algún triángulo rectángulo, sus tres lados podrían ser iguales. 2. Relacionar correctamente: A. Triángulo rectángulo. B. Triángulo acutángulo. C. Triángulo obtusángulo. I. Uno de sus ángulos internos es obtuso. II. Hipotenusa. III. Ángulos internos cuya medida es menor a 90°. 3. Completar en cada gráfico: x° a° q° x°= b a c 7. ABC es un triángulo escaleno donde se sabe que: m A=x°+20°, m C=x°+40° y m B=80°. Calcular el suplemento de "x°". 8. ABC es un triángulo equilátero y "R" es un punto interior tal que: m RAC=20° y m RCB=32°. Calcular la m ARC. 9. ABC es un triángulo equilátero y AQC es un triángulo rectángulo interior de hipotenusa AC. Si la medida del ángulo BAQ es de 20°, calcule la m QCR, siendo "R" un punto de la prolongación de AC. 10. Dos lados de un triángulo miden 9 y 12 cm. Calcular la suma de los valores impares que adopta el tercer lado. 11. Dos lados de un triángulo escaleno miden 5 y 8 cm. Indicar cuántos valores enteros adopta el tercer lado. 12. En un triángulo obtusángulo, sus lados menores miden 6 y 8 cm. Calcular el producto del menor y mayor valor entero que puede adoptar el tercer lado. 13. La gráfica muestra dos rayos paralelos ("a" y "b") y a un triángulo rectángulo. La hipotenusa y el cateto menor forman con los rayos paralelos ángulos agudos que miden 22° y 43°. Calcular la medida de los ángulos agudos de dicho triángulo. a <c< 4. Realice un breve comentario sobre la lectura proporcionada, al inicio del capítulo. Resolución de problemas 5. Grafique el triángulo ABC, de modo que la medida del ángulo exterior en "C" mida "7b°". Si los ángulos interiores en "A" y en "B" miden "2b°" y 50° respectivamente, calcular el complemento de "b°". 6. Grafique al triángulo ABC, marque "Q" en BC y "P" en la prolongación de AC, de modo que: QC = PC, m QPC=20° y m B=60°. Calcular la medida del ángulo "A". ____________________ I.E.P. "LUZ DEL SABER b 14. En la figura, si: m // n y a // b, calcular "x°". a m 2a° x° 100° n b 3a° 9 GEOMETRIA 4 ° 15. En la figura, si: L1 // L2 , calcular "x°". x2 L1 L2 x° x2+30° 145° 17. Grafique al triángulo ABC y ubique un punto interior "D", de modo que las líneas DA y DC sean perpendiculares y la m B=45°. Calcular la medida del ángulo BAD, sabiendo que es el doble de la medida del ángulo BCD. 18. En la figura, calcular el valor de "x°". b° b° a°a° 16. En un triángulo acutángulo, dos de sus lados suman 24 cm. Calcular el máximo valor entero que adopta la longitud de la altura relativa al tercer lado. q° f° q° f° x° Aplicación cotidiana 19. Alberto, Bruno y Carlos están situados en tres puntos diferentes y no alineados. Alberto visita a Bruno y a Carlos en diferentes momentos y se da cuenta que el ángulo que forman estos recorridos es de 72°. Cuando Carlos visita a estos amigos se da cuenta que los recorridos efectuados forman un ángulo que mide 60°. Calcular la medida del ángulo obtuso que forman los recorridos de Bruno al visitar a sus dos amigos mencionados. 20. "A" y "C" son dos puntos situados en uno de los bordes de una piscina rectangular. "B" es un punto situado en el borde paralelo al anterior. Si la distancia de "B" hacia "A" y "C" es de 30 y 22 metros respectivamente, ¿cuál es la máxima distancia que recorrerá un nadador para ir de "A" hacia "C"? ¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En un triángulo ABC, se toma un punto "Q" sobre AB tal que: AQ=QC y BQ=BC. Si: m ABC=84°, hallar: m ACB. 4. En un triángulo ABC (AB=AC), en AC se toma un punto "M" de manera que: AM=MB=BC. Calcular la m MBC. 2. Dado un triángulo ABC, en AC se toma un punto "P" de manera que: m BPC=m A+m B. 2 Si: BC=8 cm, hallar "PC". 5. En un triángulo acutángulo ABC: m ABC=4x° y m BAC=x°+70°. Calcular: m BCA, cuando "x°" toma su máximo valor entero e indicar el lado de mayor longitud. 3. En la figura: x°+y°+z°>270°. Calcular el máximo valor entero de "q°". z° y° x° 6q° 12 I.E.P"LUZ DEL SABER" 2q° q° 3q° 10 GEOMETRIA 4 ° 18:10:45 soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta: • • • La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es de cuatro ángulos rectos. Dado un triángulo obtusángulo, dos de sus ángulos exteriores siempre serán agudos. En el triángulo rectángulo, sus tres lados podrían ser iguales. 2. Relacionar correctamente: A. Triángulo isósceles B. Triángulo acutángulo C. Triángulo equilátero 7. En la figura, calcular "x°". 2x° 2x° x° 2x° 2x° 8. Dos de los lados de un triángulo escaleno miden 7 y 4 cm. Calcular la suma de los valores enteros que toma el tercer lado. 9. Si: L1 // L2 y AB=BC, calcular "q°". B I. La medida de su ángulo exterior es de 120°. II. Dos lados iguales entre sí. III. Ángulos internos cuya medida es menor a 90°. 3. Dos lados de un triángulo miden 9 y 7 cm. Calcular la suma de los valores pares que adopta el tercer lado. 4. Dado un triángulo obtusángulo, sus lados menores miden 5 y 12 cm. Calcular el producto del menor y mayor valor entero que puede adoptar el tercer lado. 8q° A q° 30° C L1 L2 10. ABC es un triángulo isósceles (AB=BC) y AF es una bisectriz interior, tal que: AF=FB. Calcular la m C. 5. Alberto, Bruno y Carlos están situados en tres puntos diferentes y no alineados. Alberto visita a Bruno y a Carlos en diferentes momentos y se da cuenta que el ángulo que forman estos recorridos es de 66°. Cuando Carlos visita a estos amigos, se da cuenta que los recorridos efectuados forman un ángulo que mide 58°. Calcular la medida del ángulo obtuso que forman los recorridos de Bruno al visitar a sus dos amigos mencionados. 6. En la figura, L1 // L2 . Calcular "x°". L1 4x° 5x° ____________________ I.E.P. "LUZ DEL SABER L2 11 13
