es la fuerza mayor que posee el ser humano para transformar su realidad y la de Guía Didáctica • Segundo Semestre U n espíritu educado, sus semejantes. Santiago Inzunza Cázares Matemáticas II Director General del Colegio de Bachilleres del Estado de Sinaloa Matemáticas II Guía Didáctica • Segundo Semestre MATEMÁTICAS II Directorio Rubén Rocha Moya Gobernador Constitucional del estado de Sinaloa Graciela Domínguez Nava Secretaria de Educación Pública y Cultura Santiago Inzunza Cázares Director General del Colegio de Bachilleres del Estado de Sinaloa Thalía Karamanos Ceceña Secretaria General del Colegio de Bachilleres del Estado de Sinaloa Arturo Gutiérrez Olvera Director Académico Responsables de compilación: Gabriela Medina Escobar Rafael de Jesús Castro Acosta Gabriela Castro Salazar Cristian Miguel Burgueño Luna Francisco Javier Montoya García Edición con fines educativos no lucrativos. Versión digital en www.cobaes.edu.mx Número de registro de obra: 03-2021-081011011400-01 © 2021 de COBAES Avenida Independencia 2142 Sur, Centro 80129 Culiacán, Sinaloa. Tel. 01 (667) 758 6830 Cuarta reimpresión: Enero 2023 Matemáticas II Segundo Semestre Todos los derechos reservados. No está permitida la reproducción total ni parcial de esta obra, ni la recopilación en un sistema informático, ni la transmisión por medios electrónicos, mecánicos, por fotocopias, por registro o por otros métodos, salvo de breves extractos a efectos de reseña, sin la autorización previa y por escrito del editor o el propietario del copyright. Impreso en México / Printed in México Índice Presentación MOMENTO I Competencias Genéricas, Disciplinares y Aprendizajes esperados Lecturas y Actividades de aprendizaje: 1. Ángulos. 11 2. Rectas paralelas cortadas por una transversal. 19 3. Triángulos. 27 4. Recta y puntos notables de un triángulo. 39 5. Criterios de semejanza. 45 6. Criterios de congruencia. 59 7. Teorema de Tales. 69 8. Teorema de Pitágoras. 75 9. Polígonos. 85 10. Poliedros. Evaluación de los Aprendizajes 103 111 Autoevaluación 111 Coevaluación 113 Registra tu evaluación del Momento I 114 MOMENTO II Competencias Genéricas, Disciplinares y Aprendizajes esperados Lecturas y Actividades de aprendizaje: 1. Circunferencia y círculo. 117 2. Razones trigonométricas. 133 Evaluación de los aprendizajes 152 Autoevaluación 152 Coevaluación 155 Registra tu evaluación del Momento II 156 MOMENTO III Competencias Genéricas, Disciplinares y Aprendizajes esperados Lecturas y Actividades de aprendizaje: 1. Las funciones trigonométricas. 159 2. Leyes de los senos y cosenos y solución de triángulos oblicuángulos. 187 Evaluación de los aprendizajes 197 Autoevaluación 197 Coevaluación 200 Registra tu evaluación del Momento III 201 Evaluación de los Aprendizajes 206 Portafolio de Evidencias 207 Referencias 208 Presentación A nuestros apreciables bachilleres: En el Colegio de Bachilleres del Estado de Sinaloa tenemos como divisa brindar un servicio educativo de la mayor calidad. Una educación tendiente a formar ciudadanas y ciudadanos con responsabilidad social, que se identifiquen plenamente con los valores culturales de nuestra patria, que actúen siempre con honestidad, que se respeten a sí mismos y a sus semejantes, que posean un alto sentido de preservación de la naturaleza y su medio ambiente, y sobre todo, que sean activos partícipes en los esfuerzos de transformación hacia una sociedad igualitaria, con equidad, incluyente y democrática. En razón de lo anterior, y con la finalidad de proporcionarles los medios que hagan más eficiente el proceso enseñanza-aprendizaje y los impulse al logro de las metas y objetivos contenidos en el currículo de nuestro bachillerato, ponemos a su disposición la presente guía didáctica que contiene, además de los temas derivados del plan de estudios, un conjunto de estrategias para el mejor logro de los objetivos tanto cognitivos como actitudinales. La guía se estructura por tres momentos que coinciden con los contenidos a abordarse en cada uno de los tres periodos de evaluación. En cada momento, a su vez se incluyen las competencias genéricas y las disciplinares, así como los aprendizajes esperados que señala el programa de estudios. Enseguida viene propiamente el abordaje de los contenidos de aprendizaje mediante lecturas, ejercicios, problemas y acciones que ustedes realizarán de acuerdo como se organice el trabajo docente dentro y fuera del aula. Es pertinente decirles, además, que la presente guía didáctica ha sido elaborada con el concurso de docentes y especialistas muy comprometidos con nuestro proyecto académico, razón de más para invitar a ustedes a obtener el mayor provecho posible, haciendo un uso adecuado de ella. Dr. Santiago Inzunza Cázares Director General MOMENTO I BLOQUES: I. Ángulos y Triángulos II. Propiedades de los polígonos COMPETENCIAS GENÉRICAS Y ATRIBUTOS 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 2.1. Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones. 4. Escucha interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y gráficas. 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. 5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen en una serie de fenómenos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. 8. Participa y elabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. COMPETENCIAS DISCIPLINARES 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente, las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que la rodean. APRENDIZAJES ESPERADOS 1. Resuelve colaborativamente problemas usando los criterios de congruencia y semejanza para relacionarlos con objetos de su entorno. 2. Desarrolla estrategias para la solución de problemas reales o hipotéticos respetando la opinión de sus compañeros en el uso de los Teoremas de Tales y Pitágoras. 3. Desarrolla estrategias colaborativamente, para la solución de problemas utilizando los elementos y propiedades de polígonos y poliedros que le permitan cuantificar el espacio en situaciones de su contexto. 4. Examina las figuras geométricas en diferentes expresiones artísticas. Momento I. Bloque I. Ángulos y Triángulos. Conocimientos: Ángulos: Sistemas de medición • • • Clasificación LECTURA 1. Ángulos. Conceptos básicos Para tener una mejor comprensión de los ángulos, partiremos de recordar la descripción de algunos términos geométricos: Un punto no tiene dimensiones, solo posiciones y se denota con una letra mayúscula, ejemplo: •A Este ejemplo se lee: “punto A”. La línea recta es un conjunto infinito de puntos y se asocian con letras mayúsculas, por ejemplo: A B Lo anterior se lee como: La recta AB”. La línea curva no sigue una dirección uniforme, sino que es cambiante y pueden líneas curvas abierta y cerradas. A continuación, se muestran dos ejemplos: Observa con atención el par de figuras que se muestran a continuación: Con base a lo observado a las dos figuras, escribe los nombres de los conceptos que alcanzaste a visualizar: I) _______________________________ III) ______________________________ II) _______________________________ IV) ______________________________ 11 Si tus respuestas fueron: Un lado inicial, un lado final, una línea curva abierta que indica sentido y dos puntos (A y B); entonces encontraste los elementos necesarios y suficientes para construir el concepto de ángulo. Definición de ángulo Ángulo es la abertura que se forma por dos semirrectas unidas en un solo punto llamado vértice. A los lados del ángulo se les conoce como lado inicial y lado final y el signo del ángulo lo determina el sentido que manifiesta la línea curva. Un ángulo es positivo cuando su sentido es contrario al giro de las manecillas del reloj y negativo cuando su sentido es igual al giro de las manecillas del reloj. Sistema de medición Para medir ángulos se pueden usar distintos sistemas de medición ellos son: • • • Sistema Sexagesimal. Sistema Centesimal. Sistema Circular. Sistema sexagesimal: la unidad de medida en este sistema es el grado sexagesimal (1º), que se obtiene de dividir el ángulo recto en 90 partes iguales. 1º= 1R => 1R = 90º Los submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto sexagesimal (1') y el segundo sexagesimal (1''). 1º = 60' ^ 1' = 60'' => 1º = 3600'' Sistema centesimal: la unidad de medida en este sistema es el grado centesimal (1G), que se obtiene de dividir el ángulo recto en 100 partes iguales. 1G = 1R => 1R = 100G Los submúltiplos del grado centesimal son el minuto centesimal (1M) y el segundo centesimal (1S). 1G = 100M ^ 1M = 100S 1G = 10000S Sistema circular: la unidad de medida en este sistema es el radián. Se llama radián al ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma. El valor de un ángulo de un giro es de 2π radianes. El número π es la relación que existe entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro. Esta relación se mantiene constante para cualquier circunferencia. 12 Equivalencia entre los distintos sistemas Para convertir del sistema sexagesimal al centesimal y radial, se utilizan siempre reglas de tres utilizando alguna de las equivalencias del cuadro. Ejemplos Pasar del sistema sexagesimal al circular y viceversa: ¿A cuántos radianes equivale 30º? ¿A cuántos grados equivalen π/4 radianes? Pasar del sistema sexagesimal al centesimal y viceversa. ¿A cuántos grados centesimales equivalen 270°? ¿A cuántos grados sexagesimales equivalen 150 ? 13 Clasificación “Las clasificaciones de los ángulos pueden ser dadas: • Por su abertura: ángulos llanos, ángulos rectos, perígonos, entrante, obtusos y agudos. • Por la posición de sus lados: adyacentes y opuestos por el vértice. • Por la suma de sus medidas: complementarios y suplementarios.” (Varela y Herrera, 2015). Las clasificaciones se presentan en forma gráfica, tal como a continuación se muestra. Clasificación de ángulos por su abertura (Fuente: Rivera, 2014). 14 Clasificación de ángulos por la posición de sus lados (Fuente: Varela y Herrera, 2015) Clasificación de ángulos por la suma de sus medidas (Fuente: Varela y Herrera, 2015) 15 Actividades de aprendizaje Actividad 1. Equivalencias entre sistemas de medición Realizando las operaciones correspondientes con las equivalencias entre sistemas de medición de ángulos de respuesta a los siguientes ejercicios: 1. ¿A cuántos radianes equivalen 450? 2. ¿A cuántos grados equivalen 6 3. Mencione las tres formas para clasificar los ángulos: a) Por su_______________________________________ b) Por la _______________________________________ c) Por la _______________________________________ 4. Dibuje un ángulo obtuso y justifique su respuesta: 5. Dibuje dos ángulos adyacentes y justifique su respuesta: 6. ¿Cuál es la diferencia entre ángulos suplementarios y ángulos complementarios? Actividad 2. El reto de las manecillas del reloj Un reloj marca las 04:55 horas. ¿Qué valor tiene el ángulo que forman las manecillas? Escribe tu resultado considerando el ángulo positivo y negativo. 16 Actividades para el desarrollo de habilidades matemáticas Resuelve los siguientes ejercicios 1. Si la manecilla de la hora marcaba la 9:00 de la noche y ahora marcan las 3:00 de la mañana, ¿qué tipo de giro realizó? Ligas de interés. • • • • • https://www.youtube.com/watch?v=T6QTaa56cfc https://es.wikipedia.org/wiki/Sistemas_de_medici%C3%B3n https://es.slideshare.net/pierjavier/sistemas-de-medicin-de-ngulos https://es.plusmaths.com/tipos-de-ángulos.html https://neetescuela.org/ángulo-definicion-y-clasificacion/ 17 Momento I. Bloque I. Ángulos y Triángulos. Conocimientos: Ángulos • Rectas paralelas cortadas por una transversal LECTURA 2. Rectas paralelas cortadas por una transversal Clasificación de ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante Teniendo dos rectas en el plano, suceden dos cosas: se cortan en un punto o no. Si se cortan en un punto, pueden ser perpendiculares u oblicuas. Las rectas perpendiculares son las que se cortan formando ángulos rectos (90º) y las rectas oblicuas son las que se cortan formando ángulos diferentes de 90º. En el caso de las rectas paralelas, son aquellas que en el plano no se cortan, por más que se prolonguen, tal y como lo ilustra la figura siguiente: Ahora veremos qué sucede si cortamos dos rectas paralelas: Hagamos un análisis de los ángulos que se forman: Ángulos internos: 2, 3, 5, 8 ¿por qué se llaman internos? Ángulos externos: 1, 4, 6,7 ¿por qué se llaman externos? 1 es correspondiente a 5 por lo tanto son iguales 2 es correspondiente a 6 por lo tanto son iguales 3 es correspondiente a 7 por lo tanto son iguales 4 es correspondiente a 8 por lo tanto son iguales Ahora, deduzcamos las características de estos ángulos dado el ejemplo: • Los ángulos 2, 3, 5 y 8 se denominan internos porque se encuentran dentro de las rectas paralelas. • Cuando dos ángulos internos se encuentran en lados diferentes de la transversal se le llaman alternos internos (3 y 5 así como 2 y 8) y sus medidas son iguales. 19 • • • Los ángulos 1, 4, 7 y 6 se denominan externos porque se encuentran fuera de las rectas paralelas. Cuando un par de ángulos externos se encuentran en lados diferentes a la transversal se le llaman alternos externos (4 y 6, 1 y 7) y sus medidas son iguales. Se llaman ángulos correspondientes (4 con 8, 3 con 7; 1 con 5 y 2 con 6) a los pares de ángulos situados del mismo lado de la transversal (uno interno y otro externo) y tienen la propiedad de ser congruentes, es decir, sus medidas son iguales. Ejercitando con los diferentes tipos de ángulos Ahora realizaremos algunos ejercicios para poner en práctica la aplicación de las propiedades de los ángulos. Ejemplos 1. En la siguiente figura HGJ. FGH = 15°, FGJ = 55° encuentra Observa que debemos encontrar un número que sumado con 15° nos dé como resultado 55°: x + 15° = 55° x = 40° El valor de HGJ es de 40° (Fuente: Ibáñez y García, 2010). 2. Encuentra el valor de SOT en la siguiente figura, si ROT es 25°. Observa que la suma del ángulo de 25° con el ángulo x es igual a 180° (llano), por lo tanto, se trata de suplementarios. x + 25° = 180° x = 155° El valor de OT es de 155° 20 3. Encontrar el valor de x y de todos los ángulos en la siguiente figura, si 45°. AOD = x+10 y BOC = Como vemos, se tratan de ángulos opuestos por el vértice, lo cual quiere decir que son iguales, por lo tanto: x +10= 45°; x = 35°. Para encontrar el valor de AOB debemos considerar que AOB + BOC = 180° (ángulos suplementarios) por lo tanto debemos encontrar un número que sumado a 45° nos de 180°, por lo tanto AOB = 135°. Para encontrar DOC debemos considerar que es opuesto a AOB por lo tanto sus medidas son iguales, DOC = 135°. 4. Observa la figura y encuentra el valor de x. Considera que las rectas son paralelas entre sí. Datos A = 137° B = (8x-7)° Ambos se tratan de ángulos alternos externos, por lo tanto A = B, por lo tanto: 8x – 7 = 137 8x = 137+7 = 14 x = 144/8 x = 18 Para comprobar nuestro resultado, sustituimos el valor que obtuvimos de x en nuestro ángulo: B = 8(18) – 7 = 137° 5. Supongamos que en el cuadrilátero: AB || CD y AD || BC . Encuentra el valor de la variable y. 21 Primero vamos a prolongar los segmentos BC y AD: Podemos observar que A y B son consecutivos internos; por lo tanto A + B =180°. Sutituimos los valores: 6. Observa la figura siguiente: r 1 p 4 5 q 8 2 3 6 7 De la figura observada, se tiene que p q y la recta r es transversal a las rectas p y q, además 4 = 3x + 5, 8 = 3y + 7 y 3 = 4y + 9. El planteamiento de los dos modelos matemáticos (sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas) que se generan para calcular los valores de: 1, 6 y 5, los contiene el inciso: a) I) 3x + 3y = 7; II) 3x – 4y = 176 b) I) 2x + 3y = 185; II) 3x – 4y = 5 c) I) 2x + 3y = 165; II) 3x – 4y = 5 d) I) 3x - 3y = 2; II) 3x + 4y = 166 Estrategias de solución. I) Los ángulos 4y 8 son iguales, porque son correspondientes. Esto genera el primer modelo tal como a continuación se presenta: 4 = 3x + 5 = 8 = 3y + 7, se aplica la propiedad transitiva quedando lo siguiente 3x + 5 = 3y + 7; haciendo las transformaciones algebraicas se obtiene la primera ecuación siendo: I) 3x – 3y = 2. II) Los ángulos 3y 4 son suplementarios, lo que significa que ambos suman 1800. Esto genera el segundo modelo matemático tal como a continuación se presenta: 4 + 3 = 180; (4y + 9) + (3x + 5) = 180; haciendo las transformaciones algebraicas se obtiene la segunda ecuación siendo: II) 3x + 4y = 166, por lo tanto la solución a la situación lo contiene el inciso d). 22 Caso práctico Felipe está construyendo dos rampas de skate como las de la figura. Si coloca una sobre la otra tendrán ángulos de elevación de 12° y 4x° respectivamente, y la suma de los dos ángulos es de 68°. ¿Podrías ayudarle a encontrar los ángulos de elevación de las dos rampas? 12+4x=68 x =14 4x = 4(14) = 56 Los ángulos de elevación son: 120 y 560 respectivamente. (Ibañez y García, 2010). 23 Actividades de aprendizaje Actividad 1. Aplicando ángulos y sus propiedades 1. Considera que w=130° y z es opuesto por vértice a w. Indica las propiedades de los ángulos que utilizaste para lograr tus resultados. 2. Coloca el nombre que recibe el ángulo de acuerdo a la medida de su abertura. 3. a) b) c) d) Dos rectas perpendiculares forman un ángulo de: 45° 90° 180° 360° Actividad 2. Ángulos complementarios y suplementarios I. Si tenemos una pizza dividida en 8 partes, dos porciones de la misma forman un ángulo de: a) 45° b) 90° c) 135° d) 15° 24 • El ángulo complementario de 57° es: _____º • El ángulo complementario de 35° 25' 56'' es: ______°_____´_____´´ • El ángulo suplementario de 123° es: ______º • El ángulo suplementario de 35° 25' 56'' es: ______°_____´_____´´ II. Calcula los valores de los ángulos en la siguiente gráfica. Considera que las rectas AB y CD son paralelas. III. Un reloj marca las 04:55 horas. ¿Qué valor tiene el ángulo que forman las manecillas? Escribe tu resultado considerando el ángulo positivo y negativo. 25 Actividades para el desarrollo de habilidades matemáticas 1. ¿Cuántos ángulos de 45º grados hay en la siguiente figura? a) 3 b) 1 c) ninguno d) 2 2. ¿Cuántos ángulos de 45º grados observas en la siguiente figura? a) 0 b) 5 c) 10 d) 9 3. ¿Cuántos ángulos de 45º y 90º tiene la siguiente figura? a) 0 b) 5 c) 10 d) 9 Ligas de interés. • • • http://www.profesorenlinea.com.mx/geometria/ángulosclasificacion.htm https://www.youtube.com/watch?v=GCGNpT72moc https://www.youtube.com/watch?v=gGA71O89mHg 26 Momento I. Bloque I. Ángulos y Triángulos. Conocimientos: Triángulos • Clasificación • Propiedades LECTURA 3. Triángulos. Conceptos básicos. Un triángulo se representa con una figura como la siguiente: Es la región limitada por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos que se encuentran en el plano. A las rectas se les llama lados y a los puntos de intersección se les llama vértices. La simbología que utilizamos para enunciar un triángulo es ∆ y se acompaña de las 3 letra s de sus vértices, por ejemplo: ∆ ABC y se lee “triángulo ABC”. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180° (teorema ya demostrado). Se compone de tres lados: segmentos AB, AC y BC, generalmente se nombran los lados con la letra minúscula del vértice opuesto a cada uno de ellos: a, b, c. Contiene tres ángulos interiores: los ángulos Tres ángulos exteriores: los ángulos • • • 27 Clasificación de triángulos con base en las medidas de sus lados Nombre del triángulo Equilátero Característica Figura geométrica Tiene sus tres lados con la misma longitud. Escaleno Tiene sus tres longitudes. lados con diferentes Isósceles Tiene dos lados con la misma longitud y un lado con longitud diferente. Clasificación de triángulos con base en las medidas de sus ángulos Nombre del triángulo Rectángulo Característica Es el que tiene un ángulo interior de medida igual a 90° (un ángulo recto, ∠ ACB = 90°) Acutángulo Es el que tiene todos sus ángulos interiores menores de 90° (tres ángulos agudos ∠ ABC, ∠ BCA y ∠ CAB son menores de 90°). Obtusángulo Es el que tiene un ángulo interior de medida mayor que 90° (un ángulo obtuso ACB > 90°). 28 Figura geométrica Podemos concluir entonces, que un triángulo puede estar en más de una clasificación, analiza el siguiente mapa: En este apartado estudiaremos una herramienta didactica para el apoyo de trazos de cuerpos geométricos y su nombre es Geoplano, pero, ¿Qué es un geoplano? El geoplano matemático consiste en un tablero cuadrado, generalmente de madera u otro material resistente. En la parte interna de este tablero se realiza una cuadrícula de la medida que necesite quien va a hacer uso de él, en cada una de las esquinas de cada cuadrado se clavan o insertan clavos, tachuelas o el material que le sea proporcionado, de tal manera que éstos sobresalen de la superficie de la madera unos 2 cm. El tamaño del tablero es variable y está determinado por un número de cuadrículas; éstas pueden variar desde 9 (3 por 3=9) hasta 121 (11 por 11=121). El trozo de madera utilizado no puede ser una plancha fina, ya que tiene que ser lo suficientemente grueso -2 cm. aproximadamente- como para poder insertar los clavos de modo que queden firmes y que no se ladeen. Sobre esta base se colocan gomas elásticas de colores que se sujetan en los clavos formando las figuras geométricas que se deseen. Ejemplos de la utilización del geoplano se muestran a continuación: 29 Observando la imagen podemos inferir la situación de los tres casos, tal como se describe. 1. La clasificación del triángulo ABC, por: a) La medida de sus lados es Isósceles. b) La medida de sus ángulos es acutángulo. 2. La clasificación del triángulo PQR, por: a) La medida de sus lados es Equilátero. b) La medida de sus ángulos es Rectángulo. 3. La clasificación del triángulo X,Y,Z por: a) La medida de sus lados es Escaleno. b) La medida de sus ángulos es Obtusángulo. 4. Coloca las ligas en el geoplano de tal manera que obtengas las figuras de un: a) Triángulo equilatero. b) Triángulo escaleno. c) Triángulo isósceles. Respuestas: 30 5. Coloca las ligas en el geoplano de tal manera que obtengas las figuras de un: a) Triángulo Acutángulo. b) Triángulo Rectángulo. c) Triángulo Obtusángulo. Respuestas: 6. Determina ∠ CBE y ∠ CAD de la figura mostrada: 31 Estrategia de solución. CBE de la ecuación I). CBE + 29.320 = 1800 por ser ángulos suplementarios; despejando obtenemos que CBE = 150.70. II). CAB + 29.320 + 86.20 = 180o, por el teorema que declara que la suma de los ángulos interiores de un triángulo son 1800; despejando CAB de la ecuación, obtenemos que CAB = 64.50. III). CAD + 64.5 = 1800, por ser ángulos suplementarios; despejando CAD de la ecuación obtenemos que CAD = 115.50. CAD = 115.50. Solución: CBE = 150.70 y Propiedades de triángulos Propiedad Figura 32 Interactuando con las propiedades. Ahora realizaremos algunos ejemplos de comprobación: Propiedad Figura 1. Encontrar la medida del ángulo ACB en el siguiene triángulo, sabiendo que Para conocer la medida del ángulo, podemos restar a 180° la suma de los ángulos conocidos 33 Sabiendo que la suma interna triángulo es de 180°: de los ángulos de un Ahora encontremos los ángulos externos: 3. Encontrar los valores de ∠ DAC y ∠ CBE Estrategia de solución: I). (2x + 24) + (x + 7) = x + 77, porque el ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores; haciendo las transformaciones algebraicas correspondientes, encontramos la ecuación lineal siguiente: 2x = 46 esto implica que x = 230. Entonces el II). ∠ DAC + (x + 7) = 180, por ser ángulos suplementarios; de 230 en la ecuación obtenemos la siguiente transformación 1500 34 – - sustituyendo el valor Actividades de aprendizaje Actividad 1. Propiedades de los triángulos 1. Traza los triángulos que se indican de acuerdo a las propiedades de los mismos. 2. De un triángulo cualquiera sabemos que tiene un ángulo de 35° y otro de 83°, entonces el tercer ángulo mide: a) 62° b) 52° c) 242° 3. Con relación a la clasificación de triángulos y con base a las medidas de sus ángulos; el triángulo del ejercicio anterior se llama: a) Acutángulo. b) Rectángulo. c) Obtusángulo. 4. Encuentra el valor del ángulo faltante en el triángulo mostrado (los valores de los ángulos son de ángulos interiores en el triángulo). 35 Actividad 2. Ejercicios para realizar en equipos En equipos de tres compañeros, realicen las actividades que se declaran. 1. Coloquen el nombre del triángulo y mencionen al menos 2 características que lo representan: 2. Encuentra el valor de los ángulos faltantes en los triángulos mostrados (todos los valores de los ángulos mostrados son de los ángulos interiores en los dos triángulos). 36 Actividades para el desarrollo de habilidades matemáticas 1. Obtener la medida del ángulo C de la siguiente figura. 2. Obtener la medida del ángulo A de la siguiente figura. Ligas de interés • • • http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/triángulos.html https://www.youtube.com/watch?v=7-YGUl8tLeQ https://www.sangakoo.com/es/temas/clasificacion-y-propiedades-de-los-triángulos 37 Momento I. Bloque I. Ángulos y Triángulos. Conocimientos: Triángulos • Rectas • Puntos notables LECTURA 4. Rectas y puntos notables de un triángulo. Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. En los triángulos se puede denotar un grupo de rectas y puntos muy importantes. Las rectas que se pueden trazar dentro de un triángulo son la mediana, altura, bisectriz y mediatriz, y es a través de sus trazos que podemos localizar los puntos notables. Mediatriz Esta es una recta perpendicular en el punto medio de cada uno de los lados. El punto donde se intersectan estas rectas se conoce como circuncentro, o sea, el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo de referencia. Al radio de la circunferencia circunscrita se le suele llamar circunradio y es la distancia desde el circuncentro a los vértices del triángulo. Obviando el rigor de la definición de círculo, a la circunferencia circunscrita se le llama también circuncírculo. En el triángulo anterior las mediatrices se intersecan en el punto rojo que constituye el circuncentro del triángulo o centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. 39 Mediana Este segmento de recta se traza tomando como puntos inicial y final, el punto medio de un lado y el vértice que se encuentra opuesto a ese lado. Se pueden trazar 3 medianas en el interior del triángulo; el punto en el cual se intersectan estos segmentos de recta se le conoce como baricentro, también se le conoce como centroide o centro de gravedad y tiene una propiedad física muy importante: Si colocamos un eje a través de él y dejamos libre el triángulo, este no se mueve por acción de la aceleración de la gravedad, es por ello por lo que el baricentro se llama centro de gravedad del triángulo. Además, el baricentro divide a cada mediana en la razón 2:1. Esto es, la longitud del segmento de mediana medida desde el vértice al baricentro es el doble que desde el baricentro al punto medio del lado en cuestión. Finalmente, cada mediana de un triángulo, lo divide en dos triángulos de igual área. Altura Es una recta perpendicular que se traza tomando como punto inicial el vértice opuesto al lado correspondiente o su prolongación. En un instrumento se pueden trazar 3 alturas y el punto donde estas rectas se intersectan se conoce como ortocentro. 40 Bisectriz Se ha mencionado que la bisectriz divide a un ángulo en dos partes iguales, la recta que divide a los ángulos internos de un triángulo y se prolonga hasta el lado opuesto a dicho ángulo. El punto en que se intersectan estas tres rectas se conoce como incentro. Todo ángulo tiene dos bisectrices, una interna y otra externa. Las bisectrices interna y externa de un ángulo son perpendiculares entre sí. 41 Actividades de aprendizaje Actividad 1. Construye en el plano 1. En un plano cartesiano, dibuja el siguiente triángulo, de acuerdo con las coordenadas que se te brindan, posteriormente dibuja las 3 medianas, ubica el punto de intersección, menciona como se llama ese punto y finalmente escribe las coordenadas del punto: triángulo A(2, 3) ; B(6, 9) ; C (8, 1). 42 2. Dado el triángulo que tiene los siguientes vértices: Calcular: a) El baricentro. b) El circuncentro. c) El ortocentro 43 Actividades para el desarrollo de habilidades matemáticas Resuelve el siguiente cuestionario 1. Son los segmentos de rectas que al intersectarse generan un punto llamado circuncentro. a) Medianas b) Alturas c) Mediatrices d) Bisectrices 2. Son los segmentos de rectas que al intersectarse generan un punto llamado ortocentro. a) Bisectrices b) Mediatrices c) Medianas d) Alturas 3. un mismo punto. a) Triángulo equilátero b) Triángulo isósceles b) Ninguno de los anteriores c) Triángulo escaleno 4. Es el triángulo donde el ortocentro, gravicentro y circuncentro se encuentran alineados. a) Ninguno de los anteriores b) Triángulo isósceles c) Triángulo escaleno d) Triángulo equilátero 5. alineados. a) Triángulo equilátero c) Triángulo isósceles b) Triángulo escaleno d) Ninguno de los anteriores Ligas de interés • • • https://www.youtube.com/watch?v=aLQrKV_OpnQ https://www.youtube.com/watch?v=1KogmgYleVw https://www.youtube.com/watch?v=HLPTYRB1wPI 44 Momento I. Bloque I. Ángulos y Triángulos. Conocimientos: Triángulos: • Criterios de semejanza LECTURA 5. Criterios de semejanza. Posiblemente, habrán escuchado la plática entre personas que se dedican a la construcción, declarar lo siguiente: el edificio que vamos a construir será semejante al edificio mostrado en la maqueta. Lo que la persona estaba declarando, es que el edificio por construir, tendrá la misma forma, pero diferente tamaño al edificio mostrado en la maqueta. Semejanza Son las características y condiciones geométricas para reproducir las figuras con todos sus detalles, haciendo variar únicamente su tamaño y conservando la forma (Garza, 1990). El símbolo de semejanza es: ~ Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales uno a uno y sus lados son proporcionales (Garza, 1990). Un ejemplo de la definición del concepto se muestra en las figuras mostradas a continuación. Al observar con detenimiento las figuras del par de triángulos, se encuentra que: I) (pares de ángulos iguales). II) (lados proporcionales). 45 Al analizar lo encontrado en la observación, confirmamos que se cumplen las dos características necesarias y suficientes para argumentar que se trata de un par de triángulos semejantes; lo cual significa que: ∆ ABC ~ ∆ DEF. Propiedades de la semejanza de triángulos. Sabemos que la semejanza de triángulos es una relación de equivalencia (igualdad), lo cual significa que cumple con las siguientes propiedades: I). Idéntico o reflejo. Todo triángulo es semejante a sí mismo: ∆ ABC ~ ∆ ABC. II). Reciproco o simétrico. Si un triángulo es semejante a otro, éste es semejante al primero: ∆ ABC ~ ∆ DEF también ∆ DEF ~ ∆ ABC. III). Transitivo. Dos triángulos semejantes a un tercero, esto implica que son semejantes entre sí: ∆ ABC ~ ∆ DEF y ∆ DEF ~ ∆ GHI ∆ ABC ~ ∆ GHI. Teorema fundamental de la semejanza en triángulos. Su enunciado es: “Todo segmento de recta, paralela a un lado del triángulo, forma con los lados restantes un triángulo que es semejante al primero”. El enunciado del teorema se evidencia con la figura inferior mostrada. La argumentación (demostración) del teorema no se incluye en la lectura. En semejanza de triángulos, existen tres criterios que sirven para argumentar la existencia de semejanza entre ellos. Recordando que: “Criterio es la capacidad para adoptar una opinión, juicio o decisión” (The free dictionary by Farlex, 2015). Primer criterio: L. L. L (Lado, Lado, Lado) Su enunciado es: Dos triángulos son semejantes cuando los tres lados de cada triángulo son proporcionales. La argumentación (demostración) del criterio se desarrollará en páginas siguientes, con base en la figura mostrada. La argumentación (demostración) para adoptar el criterio de semejanza: L. L. L, se realizará utilizando el método deductivo. 46 Afirmaciones Razones 1. Por construcción auxiliar (ver figura de la página anterior). 2. Porque son los productos de aplicación del teorema fundamental de semejanza. 3. Se sustituye la igualdad del inciso b) de la afirmación 1 en las proporciones del inciso b) de la afirmación 2. 4. Porque es la hipótesis planteada originalmente. 5. Por la aplicación de la propiedad transitiva, ya que la razón es igualada a dos expresiones en las afirmaciones 3 y 4 y esta propiedad declara que la expresión de la afirmación 3 es igual a la expresión de la afirmación 4. 6. Esta proporción se toma de la afirmación 5. 7. Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones. 8. Esta proporción se toma de la afirmación 5. 9. Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones. 10. Porque se demostró en las afirmaciones 1, 7 y 9 que las longitudes de los lados de los triángulos son iguales. 11. Es un producto de la aplicación del teorema fundamental de semejanza. 12. Por la propiedad del idéntico. 13. Por la aplicación de la propiedad transitiva y con ello queda demostrado el teorema. 47 Segundo criterio: L. A. L (Lado, Ángulo, Lado) Su enunciado es: Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido. La argumentación (demostración) del criterio no se incluye en el desarrollo de la lectura. Se muestra la figura de los dos triángulos semejantes con las condiciones geométricas. Tercer criterio: L. A. L (Ángulo, Lado, Ángulo) Su enunciado es: Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente iguales. La argumentación (demostración) del criterio no se incluye en el desarrollo de la lectura. Se muestra la figura de los dos triángulos semejantes con las condiciones geométricas. Anteriormente, estudiaste el triángulo que tiene un ángulo recto cuyo nombre es triángulo rectángulo, a los cuales, también se les puede aplicar los tres criterios de semejanza, condicionados a los siguientes casos: I. Dos triángulos rectángulos son semejantes, cuando tiene un ángulo agudo igual. II. Dos triángulos rectángulos son semejantes, cuando los catetos son proporcionales. III. Dos triángulos rectángulos son semejantes, cuando unos de los catetos y las hipotenusas son proporcionales. 48 Argumentando la aplicación de los tres criterios de semejanza en ejercicios y problemas. En este apartado resolveremos una serie de ejercicios y problemas con la aplicación de los criterios expuestos anteriormente. Situación 1 Observa la figura mostrada para que puedas contestar correctamente las preguntas planteadas. 1. Los triángulos ABC y CDE son semejantes? ___________ ¿Por qué? _______ 2. En el caso que tu respuesta fuese negativa; ¿qué lado del triángulo ABC tendrás que modificar? _______________ ¿cuál será su nueva longitud? __________ Estrategia de solución: Para la pregunta 1: I) Se elige el criterio que se va a utilizar y para este caso es el criterio 1 (L.L.L), porque se tienen las longitudes de los 3 lados de cada triángulo. II) Se encuentra la proporcionalidad que existe entre los lados de los dos triángulos. Como se observa en los valores de las razones, existe dos que son iguales, pero hay una que su valor es diferente, entonces estos resultados argumentan que los triángulos ABC y CDE no son semejantes porque no son proporcionales los 3 lados de los dos triángulos. Para la pregunta 2, se tienen dos soluciones: • Primera solución. Como la respuesta fue negativa, se tendrá que modificar el lado BC y su 1 nueva longitud debe ser de: 37 3 3 16 • = 7 ( ) = . Esta longitud se encontró de la siguiente manera: 16 ×7 3 = Segunda solución. También se puede modificar el lado CE y como ejercitación, debes de encontrar el valor correspondiente. 49 Situación 2 Observa la figura mostrada para que puedas contestar correctamente las preguntas planteadas. 1. Los triángulos ABC y BDE son semejantes? ___________ ¿Por qué? _______ 2. En el caso que tu respuesta fuese positiva, la posición del lado DE con respecto al lado AC ¿qué comportamiento presentan? __________ ¿Cuál es el argumento? ______ Estrategia de solución: Para la pregunta 1. I) II) Se elige el criterio que se va a utilizar y para este caso es el criterio 2 (L.A.L), porque se tiene un ángulo igual en los dos triángulos y las longitudes de los lados que conforman dicho ángulo. Se encuentra la proporcionalidad que existe entre dos lados de los dos triángulos. Como se observa en los valores de las razones de los segmentos de recta que conforman el ángulo que es igual en ambos triángulos. Este valor argumenta la adopción de que los ABC y BDE son semejantes. Para la pregunta 2. • Como la respuesta fue positiva, esto significa que el segmento DE es paralelo al segmento AB. El argumento es que en rectas paralelas cortadas por una transversal existen pares de ángulos que son iguales y se llaman correspondientes y el par de ángulos de los dos triángulos cumplen con dicha condición geométrica. 50 Situación 3 La sombra de un poste es de 12.50m en el momento en que una varilla que tiene una altura de 1.87m genera una sombra de 5.75m; ¿cuál es la altura del poste? Estrategia de solución I) Se hace una descripción pictográfica tal como se muestra a continuación: II) Se revisa el criterio al que pertenece la situación. El criterio al que pertenece es al criterio 3 (Ángulo, Lado, Ángulo) y al caso I de los triángulos rectángulos. El ángulo agudo es igual en los dos triángulos porque lo generan los rayos solares porque la acción del astro rey es al mismo instante tanto en la varilla como en el poste. III) Se aplica la característica referida a la proporcionalidad. Solución del problema: Altura del poste es de 4.065 metros. Situación 4 En cierto poblado se tiene el proyecto de la construcción de un puente vehicular, ya que, en épocas de lluvias, los habitantes de dicho poblado quedan incomunicados. En la parte donde se va construir el puente, las dos márgenes del rio se pueden considerar rectas paralelas, tal como lo muestra la figura. La necesidad inmediata es la de conocer la anchura del rio en dicho tramo. 51 Estrategia de solución: I) Se hace una observación detenidamente a la figura que te muestra el rio (vista área). II) Se plantea la pregunta: ¿Los triángulos ABC y CDE son semejantes? La respuesta es afirmativa porque tienen dos ángulos iguales y las longitudes de cada lado que une a dichos ángulos. La argumentación del ángulo agudo que es igual en los triángulos, es porque se trata de rectas paralelas (L y M) cortadas por una transversal (segmento AD) y en el vértice C se tiene que el par de ángulos son iguales por ser opuestos por el vértice. III) Se aplica la característica referida a la proporcionalidad. Solución del problema: Ancho del río es de 53.333 metros. 52 Actividades de aprendizaje. Actividad 1. Semejanza, ejercicios individuales. 1. Argumenta la veracidad del segundo criterio: L. A. L (Lado, Ángulo, Lado) de semejanza, utilizando el método deductivo. Afirmaciones Razones 2. Observa con detenimiento la figura que se te muestra para que contestes correctamente lo que se te solicita. Considerando que la Hipótesis y la Tesis son verdades ya demostradas; ¿cuál es el valor de h? 3. Observa con detenimiento la figura que se te muestra para que contestes correctamente lo que se te solicita. 53 Considerando que la Hipótesis y la Tesis son verdades ya demostradas; ¿cuál son los valores de y s? 4. Observa con detenimiento la figura (triángulo rectángulo) que se te muestra para que contestes correctamente lo que se te solicita. Considerando que la Hipótesis y la Tesis son verdades ya demostradas; ¿cuál es el valor del segmento AB? 5. Una regla de 1 m de largo se coloca verticalmente en el piso y vemos que proyecta una sombra de 85 cm de largo. En ese momento el poste de la luz proyecta una sombra de 4.80 m. Calcular la altura del poste. 54 6. Una escalera de 15 m de longitud está recargada en un edificio a la altura de un anuncio; una plomada de 2 m de largo pende de la escalera y toca el piso a una distancia de 250 cm del pie de la escalera. Calcular la altura a que se encuentra el anuncio. Semejanza, ejercicios colaborativos. 1. Argumenten la veracidad del tercer criterio: L. A. L (Ángulo, Lado, Ángulo) de semejanza, utilizando el método deductivo. Afirmaciones Razones 2. Observen con detenimiento la figura que se te muestra para que contesten correctamente lo que se les solicita. Considerando que la Hipótesis y la Tesis son verdades ya demostradas; ¿cuál es el valor de m? 55 3. Observen con detenimiento la figura que se les muestra para que contesten correctamente lo que se te solicita. Considerando que la Hipótesis y la Tesis son verdades ya demostradas; ¿cuál es el valor de y? 4. Observen con detenimiento la figura que se les muestra para que contestes correctamente lo que se te solicita. Considerando que la Hipótesis y la Tesis son verdades ya demostradas; ¿cuál es el valor de los segmentos x? 5. Para medir lo ancho AC de un río, un hombre tomó las medidas indicadas en la figura siguiente. AC es perpendicular a AD y BD perpendicular a DE, si AB mide 8 m, BD mide 6 m, DE mide 12 m, calcular la anchura del río (ver figura). 56 Ligas de interés • • https://www.youtube.com/watch?v=LUXWoTsJ2SI http://recursos.salonesvirtuales.com/assets/bloques/GUIA-DE-EJERCICIOS-DESEMEJANZA.pdf 57 Momento I. Bloque I. Ángulos y Triángulos. Conocimientos: Triángulos: • Congruencia de triángulos. LECTURA 6. Criterios de congruencia. Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño, de manera que al colocar una sobre otra, coinciden en partes correspondientes. Se dice que “dos triángulos son congruentes (iguales) cuando los lados y ángulos de uno son respectivamente iguales a los lados y ángulos del otro. Es decir, podemos concluir que dos triángulos son iguales, si al colocar uno sobre el otro coinciden en sus partes. Los lados y ángulos que coinciden, se llaman elementos correspondientes. Esto podemos expresar simbolicamente a dos triángulos cuyos vertices son A, B y C de uno y P, Q y R del otro, de la siguiente manera: ∆ ABC ∆ PQR y se lee” el triángulo ABC es congruente con el triángulo PQR” (Ibañez, y García, 2010). Veamos un ejemplo de congruencia de triángulos: Observando con atención las dos figuras de los triángulos se encuentra el argumento de la veracidad de la declaración: ∆ ABC ∆ RST. 59 En cuanto a la correspondencia de los lados: En cuanto a la correspondencia entre los ángulos es: Como, tanto los tres lados y los tres ángulos son congruentes, esto demuestra que ambos triángulos son congruentes. Para la demostración de congruencia entre dos triángulos, existen tres teoremas básicos, conocidos como criterios de congruencia de triángulos, cada uno de los cuales distingue tres elementos para demostrar la congruencia: Criterio Descripción Representación L,A,L Dos triángulos son (Lado, congruentes si tienen Ángulo, respectivamente, Lado) congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. La congruencia se evidencia con rayitas. L,L,L (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente, congruentres sus tres lados. La congruencia se evidencia con rayitas. A,L,A (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente, congruentes dos ángulos y el lado compartido. La congruencia se evidencia con rayitas. 60 Argumentando la aplicación de los criterios de congruencia. Para demostrar la validez de los enunciados de todo teorema se aplica el razonamiento deductivo y se distinguen dos partes, los cuales son: a) Hipótesis: lo que se supone. b) Tesis: lo que se quiere demostrar. Ejemplos. 1. Demostrar que el triángulo I y el triángulo II son congruentes con base a la figura mostrada. Importante: DEF es isósceles DAE es isósceles Afirmaciones 1. DEF y DAE son isósceles Razones Por hipótesis. 2. 3. 4. es un lado común en los triángulos EAF y DHF Porque el triángulo EFD es isósceles. Porque el triángulo EAD es isósceles. 5. Porque se aplica el criterio de congruencia: Lado, Lado, Lado. Con ello queda demostrado el enunciado inicial. Por construcción de la figura. Figura con señalamientos de la existencia de congruencia. 61 2. Entre los siguientes triángulos, escoger los que sean congruentes y señalar el respectivo criterio de congruencia: Solución: ∆I ∆II; y el criterio que argumenta la respuesta es: L, A, L. Se observa que en el ∆III, el ángulo recto no se encuentre entre 3 y 4. 3. Dado el siguiente paralelogramo (ver figura inferior), se pide señalar qué otros elementos, además de los marcados, se necesitan para poder aplicar los casos de congruencia de triángulos, para demostrar que ∆I ∆II, cuando se aplican los criterios: a) L, L, L. b) L, A, L Estrategias de solución. Para a): I). es lado común para ambos triángulos. II). Como la figura es un paralelogramo, significa que: III). , es un dato. Como ya se tiene argumento de que los tres lados congruentes, se puede aplicar el criterio L, L, L. Para b): I). 3, porque se trata de un paralelogramo y los ángulos son congruentes porque son alternos internos. II). Como la figura es un paralelogramo, significa que: III). es lado común para ambos triángulos. Como ya se tiene los argumentos de los lados y el ángulo entre ellos son congruente, entovces podemos aplicar el criterio: L, A, L 62 4. Los triángulos I y II son congruentes y las longitudes de los lados son: Encontrar las dimensiones del triángulo. Estrategia de solución: • Primero es necesario que identifiquemos de manera geométrica, los lados y sus longitudes. • Sabemos que son triángulos congruentes por lo que podemos concluir que: 3x-5 = 40-y y = 2x • Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones: 3x+y = 45 2x- y = 0 5x = 45 x = (45/5) = 9; y = 2(9) = 18 x = 9 ; y = 18 Sustituimos los valores encontrados en las expresiones de las longitudes, para conocer las dimensiones del triángulo: La solución es: 63 Actividad 1. Triángulos congruentes 1. En triadas, encuentren los triángulos que son congruentes y expresen el postulado de congruencia que lo justifica 3. Resuelvan el siguiente ejercicio junto con dos compañeros, justifiquen su respuesta. Si ∆FGH ∆FJI, ¿También ∆FGI es congruente con ∆FHJ? Actividad 2. Ejercicios individuales 1. Resuelve el siguiente ejercicio de manera individual, compara tu resultado con un compañero. Los triángulos I y II son congruentes, donde . Encuentra el valor de x, y así como de los ángulos. 64 2. Compite con un compañero para ver quien identifica 6 pares de triángulos que sean congruentes entre sí de la siguiente figura en el menor tiempo posible. Justifica tu respuesta. 4. Observa la figura que se te muestra, para que contestes correctamente el reactivo. 65 Actividades para el desarrollo de habilidades matemáticas I. Observa la imagen y responde las preguntas. 1. Observa los triángulos A, B y C que forman al pez, ¿Cuáles son iguales o congruentes? 2. Observa los triángulos A, B y C que forman al pez, ¿Qué triángulos son semejantes, es decir tiene la misma forma, pero distinto tamaño? a) A y C b) B y C 3. ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo A y C? Explica el significado de tu resultado. II. Resuelve la siguiente actividad incluyendo el procedimiento de forma ordenada. Unos estudiantes de la carrera de arquitectura tienen que realizar una maqueta a escala de una pirámide, para lograrlo tienen que determinar la longitud del lado “x”. a) ¿Los triángulos son congruentes o semejantes? b) ¿Cuál es la razón de semejanza? c) ¿Cuál es la medida del lado “x”? 66 III. Realiza la siguiente actividad “Congruencia y semejanza”. 1. Colorear de color azul las figuras que tiene la misma forma y tamaño (congruentes); con un color verde las figuras que tiene la misma forma, pero distinto tamaño (semejantes). IV. Lee los siguientes problemas y contesta las preguntas incluyendo tu procedimiento de forma ordenada. 1. Una persona parada en el Zócalo observa la bandera a las 10 de la mañana y tiene la curiosidad de saber cuánto mide de altura el asta bandera. Los datos con los que cuenta son: La distancia de la sombra del asta bandera, su propia altura y la longitud de su sombra. a) ¿Cuál es la razón de semejanza? b) ¿Cuál es la medida del lado “x”, es decir la altura de la bandera? 67 2. En la comunidad “La Laguna” se coloca una antena para recibir señales de comunicación, debido a los fuertes vientos que se presentaron en la región, uno de los cables tensores se rompió, por lo que se deberá cambiar, como se muestra a continuación: ¿De qué tamaño debe ser el cable para reparar la antena? a) 24 m b) 40 m c) 45 m d) 120 m 3. En el proceso de reemplacamiento en el Estado de México, se diseñaron placas rectangulares para autos y motos. Las dimensiones de las placas para autos miden de 15 cm × 27 cm y de las motocicletas se propuso un largo de 15 cm, ¿cuál es el ancho de esta placa? a) 6.6 cm b) 8.33 cm c) 10.0 cm d) 11.25 cm Ligas de interés • • • • • • https://es.khanacademy.org/math/geometry/congruence http://www.dgb.sep.gob.mx/02-m1/02subsistemas/multimedia_telebachillerato_2_semestre.php - Programa 2 https://www.youtube.com/watch?v=hp2D2KXEfz4 https://www.youtube.com/watch?v=5U8w9Afv0gk https://www.youtube.com/watch?v=EdXyQJYPErw http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/congruencia.html 68 Momento I. Bloque I. Ángulos y Triángulos. Conocimientos: Triángulos: • Teorema de Tales LECTURA 7. Teorema de Tales Tales de Mileto (639 a.C. – 546 a.C.) Nació y murió en Mileto (actualmente Turquía). Personaje semi-legendario. Fue el primero de los 7 sabios de Grecia. De los escasos datos que poseemos de él, sabemos que fue un eminente representante de los conocimientos y la sabiduría de su época. Fue un hombre esencialmente práctico como comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, estadista y geómetra. Probablemente viajó a Egipto, como mercader, y allí entró en contacto con escribas y calculistas de la época, de los que aprendió matemáticas con sus realizaciones prácticas y sus vinculaciones con la astronomía. Los sacerdotes egipcios le enseñaron los fundamentos de la geometría que posteriormente introdujo en Grecia. Fue amigo de Trasíbulo, tirano de Mileto y en cuya casa vivió. Se creé que Tales pudo haber sido el maestro de Anaximandro y que fue el primer filósofo natural de la escuela milesiana. Fundó en Mileto una escuela de matemáticas y filosofía llamada escuela jónica. La leyenda nos lo describe al pie de la pirámide de Keops sorprendiendo a los sacerdotes y sabios al determinar su altura. Principales aportaciones de Tales a la Matemática: • • • • • • • • • • • El fundador de las matemáticas griegas, y más exactamente el fundador de la geometría griega. El teorema de Tales. Invención de la demostración matemática rigurosa. Las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante razonamiento lógico. Todo diámetro bisecta a la circunferencia. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado iguales son iguales. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Descubrió la constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el sol. Explicó los eclipses de sol y de luna. 69 • • Determinó el número correcto de días del año. Fue el primero en estudiar el fenómeno magnético (Tales de Mileto, 2015). Teorema de Tales Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales. La figura anexa, muestra el enunciado del teorema: Hipótesis: ; r y r´son rectas transversales; corresponden a r y son segmentos de recta que son segmentos de recta que corresponden a r´ Tesis: Observando la figura, tenemos que el segmento AB se puede dividir en x numero de u y el segmento BC se divide en y numero de u, de tal manera que: = = . Apoyandonos en el teorema ya demostrado y que declara; Si varias rectas paralelas determinan segmentos iguales en una de las dos rectas transversales (r), determinarán también segmentos iguales en la otra recta transversal (r´). Con base al teorema anterior tenemos que: Demostración de la validez de la tesis del teorema de Tales, utilizando el razonamiento deductivo. Afirmaciones 1. 2. Razones Por la construcción de las divisiones de los dos segmentos sobre la recta r (ver la figura anterior). Por la construcción de las divisiones de los segmentos sobre la recta r´ y la aplicación del teorema ya demostrado. 70 La razón de los dos segmentos es la división de sus medidas con la misma unidad (u). La razón de los dos segmentos es la división de sus medidas con la misma unidad (u´). Por la aplicación de la propiedad transitiva y con ello queda demostrada la validez de la tesis. 3. 4. 5. El teorema que se acaba de demostrar, tiene validez de manera general, es decir se puede utilizar para cualquier número de rectas paralelas y para cualquier posición de las rectas transversales (q y q´), tal como lo muestra la figura siguiente: El teorema tambien se cumple para los segmentos que se pueden medir y para segmentos no se puedan medir. Resolviendo problemas del teorema de Tales Observa la figura para que contestes correctamente el problema planteado. 1. Las rectas o, p y q son paralelas; ¿el par de rectas q y r serán paralelas? Estrategia de solución: I) Considernado que las rectas o, p y q son paralelas y aplicando el teorema de Tales tenemos que: II) 11(8h) aplicando la propiedad fundamental de las proporciones queda la expresión: 30h + 30 = 88h; Haciendo las transformaciones algebraicas pertinentes, tenemos que: h = (30/58) = 0.51724. Aplicando el teorema de tales a las rectas p, q y r, utilizando el valor de h que se obtuvo en el punto I, tenemos que: 71 comparando ambas razones encontramos que son valores diferentes entre si y diferentes al valor de la razón encontrada en punto I) , lo que implica que el par de rectas q y r no son paralelas. Para que hubiese existido el paralelismo entre las rectas las razones deben de tener el valor de 3.625 (resultado de 15/4.1379 ). 2. Si la respuesta del primer problema fue: Existe un par de rectas que no cumplen con el terorema de Tales, lo cual implica que no son paralelas, a) ¿Qué se debe de hacer para que dicho par de rectas sean paralelas? Estrategia de solución Para que sean paralelas se debe de cumplir que: La solución consiste en cambiar la magnitud del segmento E´B, conservando el valor de h = 0.51724. Por lo tanto el nuevo valor de E´B = [(5×0.51724)/3.625] = 0.71343 Revisando con la nueva magnitud el valor de la razón , valor que hace cumplir el teorema en todas las razones y con ello se resuelve el problema 2 y su gráfica quedará finalmente como: 3. En la figura siguiente: Se sabe que: , ¿Qué valor tiene w ? Estrategia de solución Aplicando el teorema de tales: Solución W = 24 72 Actividades de aprendizaje Actividad 1. Aplicando Teorema de Tales. Observa con atención la figura mostrada para que contestes correctamente: 1. ¿Las rectas o, p, q y r son paralelas entre sí? ________ ¿Por qué? ________ 2. Encontrar la altura (h) de un triángulo equilátero, si la medida de sus lados es de 24 cm. Actividad 2. Resolver en equipos ejercicios de Teorema de Tales Instrucciones: en equipos de trabajo, lean con mucha atención los enunciados de los reactivos para que comprendan lo que se pretende alcanzar. 1. Describan el enunciado del Teorema de Tales y demuestren su validez. 2. En la figura siguiente: 73 Actividades para el desarrollo de habilidades matemáticas 1. Las rectas L1, L2 y L3 son paralelas entre sí. Obtener la medida de x. a) 7.5 b) 9 c) 6.5 d) 10 2. Las rectas L1, L2 y L3 son paralelas entre sí. Obtener la medida de x. a) 4 b) 1 c) 2 d) 6 3. Las rectas L1, L2 y L3 son paralelas entre sí. Obtener la medida de x. a) b) c) d) 8 10 5 6 Ligas de interés. • • • • • • http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_1.html https://www.youtube.com/watch?v=e_MvZr2sNmo http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teorema_de_Tales.html http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html http://www.vitutor.com/geo/eso/as_5.html https://www.youtube.com/watch?v=pYfFcw_Ehjg 74 Momento I. Bloque I. Ángulos y Triángulos. Conocimientos: Triángulos: • Teorema de Pitágoras. LECTURA 8. Teorema de Pitágoras Pitágoras de Samos. Nació el 570 a.C. en la isla de Samos, junto a Mileto, siendo hijo de Menesarco, tal vez un rico comerciante de Samos. Probablemente viajó a Egipto, Fenicia y Babilonia. Volvió a Samos durante la dictadura de Policrates (538-522). Hacia 529 viajó al sur de Italia y fundó en Crotona la fraternidad pitagórica. Instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios como Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Hacia el 530 a.C. se radica en Crotona, colonia griega al sur de Italia, allí funda un movimiento con propósitos políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos. Los pitagóricos aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia, la sencillez en el vestir y el autoanálisis. El primer vegetariano moderno prominente fue Pitágoras. La dieta pitagórica vino a significar el evitar la carne de animales masacrados. La ética pitagórica se convirtió primero en una moral filosófica entre 490-430 a.C. con el deseo de crear una ley universal y absoluta incluyendo una orden de no matar ''criaturas vivas'', abstenerse de la ''desagradable matanza estridente'', en particular sacrificios de animales, y ''nunca comer carne'' - de ''El Festín de los herejes''. Creían en la inmortalidad y en la transmigración del alma. Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya. Entre las investigaciones matemáticas de los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares, de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría descubrieron el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En astronomía los pitagóricos significaron un avance en el pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, 75 en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas y mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas. Los pitagóricos consiguieron gran influencia política en Magna Grecia (sur de Italia), lo que provocó reacciones contra ellos. La primera forzó a Pitágoras a abandonar Crotona y retirarse a Metaponte, donde se dice que se dejó morir de hambre el 495 a.C., aunque hay otras versiones de su muerte. Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Demostración del teorema. Se traza la altura ( ) del triángulo sobre la hipotenusa, tal como lo muestra la figura inferior. Observando la figura se tiene que: 76 que: c (ver la figura), por lo tanto queda finalmente que: c2 = a2 + b2 con lo cual queda demostrado la validez del teorema de Pitágoras. Ejercitando con el teorema de Pitágoras. 1. Si a y b son los catetos de un triángulo y c su hipotenusa, determina el lado que falta en: I) a = 8m, b = 4m y c = ? II). a = 5√ 2 , c = 10m y b = ? III). b = 15m, c = 25m y a = ? Soluciones. I). El modelo matemático del teorema es: c2 = a2 + b2; sustituyendo los datos, c2 = (8m)2 + (4m)2; c2 = 64m2 + 16m2 = 80m2 c = √ 80 2 = 8.944m y su figura es: II). El modelo matemático del teorema es: c2 = a2 + b2; sustituyendo los datos, (10m)2 = (5√ 2 )2 + b2; despejando a b2, tenemos que: b2 = 100m2 - 50m2 = 50m2 7.071m y su figura es: 77 b = √ 50 2 = III). El modelo matemático del teorema es: c2 = a2 + b2; sustituyendo los datos, (25m)2 = a2 + (15m)2; despejando a a2, tenemos que: a2 = 625m2 - 225m2 = 400m2 = 20m y su figura es: a = √ 400 2 2. La figura que se te muestra corresponde a un triángulo rectángulo: ¿El valor de mes? Solución. Aplicando el teorema de Pitágoras (c2 = a2 + b2), tenemos que: a = 5; b = (m +1) y c = 2m. Sustituyendo en el modelo matemático del teorema, queda lo siguiente: (2m)2 = (5)2 + (m + 1)2; haciendo las transformaciones algebraicas requeridas, queda la expresión siguiente: 3m2 – 2m – 6 = 0 y resolviendo la ecuación cuadrática, los valores encontrados son: m1 = 3.29606 y m2 = - 2.6294 y al analizar los dos valores, elegimos el valor positivo ya que la raiz negativa no tiene un significado real a la situación planteada y el triángulo con las medidas correspondientes es el siguiente: 78 3. Para sostener la torre de la antena de una estación de radio de 72 m de altura se desea poner tirantes de 120 m para darle mayor estabilidad; si se proyecta tender los tirantes desde la parte más alta de la torre, ¿a qué distancia del pie de ésta deben construirse las bases de concreto para fijar dichos tirantes? (ver figura): Solución. La situación planteada, se representa mediante el siguiente triángulo rectángulo: El modelo matemático del teorema es: c2 = a2 + b2; sustituyendo los datos, (120m)2 = (72m)2 + (b)2; despejando a b2, tenemos que: b2 = 14,400m2 - 5184m2 = 9216m2 b= = 96m, esto significa que las bases de concreto se construiran a 96m del pie de la antena. 79 Actividades de aprendizaje Actividad 1. Resolución de problemas De manera individual, resuelve los siguientes problemas: 1. Un terreno rectangular (ver figura) de 4000 m de largo por 3000 m de ancho tiene en medio una colina que no permite una medición directa. ¿Cuál es la longitud de la diagonal AC? 2. Encuentra el valor de z de la figura que se les muestra. 3. ¿A qué altura llega una escalera de 10 m de largo, en un muro vertical, si su pie está a 3 m del muro? 80 Actividades para el desarrollo de habilidades matemáticas I. Sustituye el valor de los catetos y la hipotenusa de los siguientes triángulos en el modelo matemático del Teorema de Pitágoras. II. Resuelve el siguiente ejercicio. 1. ¿Cuál es el modelo matemático a utilizar? 2. ¿Qué letra se asigna a los datos? 3. ¿Dónde se sustituyen los valores? 4. ¿Cuál es el resultado de elevar al cuadrado? 5. ¿Se suman o se restan los valores que se elevaron al cuadrado? 6. ¿Cuál es el resultado de la raíz cuadrada? b= 81 III. Resuelve el siguiente problema. En un parque ecológico se va a construir una tirolesa con la finalidad de aumentar la cantidad de turistas; consiste en atar un cable de acero de un punto más alto a un punto más bajo para que los visitantes puedan deslizarse desde lo alto y tengan una vista hermosa del parque. Para construir la tirolesa, se necesita conocer la longitud del cable de acero que va atado desde lo alto de un poste de 16m (punto A), a otro extremo que se encuentra a una distancia de 30m de la base del poste (punto B). 1. Escribe el modelo matemático que vas a utilizar para calcular la longitud del cable de acero. 2. Calcula la longitud del cable incluyendo el procedimiento de forma ordenada. 3. Adiciona 4 metros a la longitud del cable porque se ocuparán 2 metros extra por extremo. 4. Si se tiene un cable de 40 metros, ¿será suficiente cable? 82 IV. Selecciona la respuesta correcta, incluye tu procedimiento para justificar tu respuesta. 1. Juan trabaja en una carpintería. Le llevaron a reparar una mesa cuadrada que tiene una abertura justo en su diagonal. Para repararla decide colocarle un soporte de madera. ¿Cuánto debe medir el soporte si el área de la mesa es de 9 m2? a) 2.44 m b) 4.24 m c) 4.50 m d) 12.73 m 2. En el terremoto de septiembre de 2017, muchas de las paredes de las escuelas quedaron fracturadas, por lo cual deben reforzarse para prevenir accidentes, con una estructura en diagonal y marco de acero, como se muestra en la siguiente figura: ¿Cuántos metros de viga de acero se utilizarán para cada pared? a) 6.10 m b) 12.20 m c) 24.00 m d) 24.20 m Ligas de interés • • • • • • http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_1.html https://www.youtube.com/watch?v=e_MvZr2sNmo http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teorema_de_Tales.html http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html http://www.vitutor.com/geo/eso/as_5.html https://www.youtube.com/watch?v=pYfFcw_Ehjg 83 Momento I. Bloque II. Propiedades de los polígonos. Conocimientos: Polígonos: Poliedros: • Elementos y clasificación. • Elementos y clasificación. • Ángulo central. • Volúmenes. • Ángulo interior. • Ángulo exterior. • Suma de ángulos interiores, exteriores. • Diagonales. • Perímetros y áreas. LECTURA 9. Polígonos. ¿Qué es un polígono?, ¿Cuántos tipos de polígonos existen?, ¿Para qué me sirve el aprender sobre polígonos? A continuación, se desarrollará la información necesaria para darle respuesta a las tres preguntas planteadas inicialmente. Una línea poligonal es un conjunto de segmentos ligados entre sí, lo cual significa que cada uno de los segmentos, inicia su longitud cuando termina la longitud del segmento anterior, tal y como lo ilustra la figura inferior. Un ejemplo en la figura es: El segmento PQ, inicia su longitud cuando la longitud del segmento OP, termina. Definición de polígono. Etimológicamente, la palabra polígono proviene de dos raíces griegas una de ellas es poli que significa muchos y la otra es gonos que significa ángulos; por lo tanto, partiendo de esta estructura queda claro que literalmente un polígono es aquello que tiene muchos ángulos (Garza, 1990). También se define como una figura plana compuesta por una secuencia de segmentos rectos unidos entre sí, generando una región en el plano como se muestra en la figura siguiente (Varela y Herrera, 2015) o es una figura geométrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se cortan a sí mismas. 85 NOTACIÓN: “Polígono ABCDEF” o “Hexágono ABCDEF” Notación. Los polígonos se nombran mediante letras mayúsculas situadas en los vértices del mismo, tal como lo muestra la figura superior. Elementos y clasificación de polígonos Lados. Son los segmentos de rectas que forman el polígono: Segmento AF. Vértices. Son los puntos de intersección de los lados de un polígono: A, B, C, etc. Ángulos interiores. Son los ángulos formados por dos lados del polígono consecutivos: ABC, CDE, etc. Ángulos exteriores. Son los ángulos formados a partir de un lado del polígono y la prolongación del otro lado adyacente a él: BCG. Perímetro. Es la suma de las longitudes de los segmentos de un polígono: a+b+c+d+e+f Diagonales. Son los segmentos que unen vértices no contiguos: segmento FB. 86 La clasificación de polígonos de acuerdo al número de sus lados Número Nombre Número Nombre Número de de lados de lados lados Triángulo 3 Endecágono 11 Eneadecágono 19 Cuadrilátero 4 Dodecágono 12 Icoságono 20 Pentágono 5 Tridecágono 13 Tricontágono 21 Hexágono 6 Tetradecágono 14 Tetracontágono 22 Heptágono 7 Pentadecágono 15 Hectágono 23 Octágono 8 Hexadecágono 16 Etc… Etc… Eneágono 9 Heptadecágono 17 Decágono 10 Octadecágono 18 Esta clasificación de polígonos de acuerdo al número de sus lados, se muestra una parte en las siguientes figuras: Nombre Figura Nombre Figura Triángulo Endecágono Nombre Cuadrilátero Dodecágono Pentágono Tridecágono Hexágono Tetradecágono Heptágono Pentadecágono En el aula se dibujará con el juego geométrico 87 Octágono Hexadecágono En el aula se dibujará con el juego geométrico Eneágono Heptadecágono En el aula se dibujará con el juego geométrico Decágono Octadecágono En el aula se dibujará con el juego geométrico La clasificación de polígonos de acuerdo a sus ángulos. Polígono convexo: si el Polígono cóncavo: Polígono regular. si Polígono no lados y regular: si tiene segmento que une dos si uno o más de los tiene puntos cualesquiera del ángulos interiores es ángulos iguales. lados iguales pero o polígono es interior al mayor de 180 . ángulos no iguales polígono. Todos los ángulos interiores son menores de 180º. (Fuente: Varela y Herrera, 2015). 88 A continuación, te proporcionamos un conjunto de conceptos relacionados con los polígonos regulares. En la figura ilustrativa, se muestran los elementos más importantes de un polígono regular. Ángulo central. Es el ángulo que se forma con el par de segmentos de dos vértices consecutivos de un lado del polígono y el centro del mismo (ver la figura ilustrativa). La suma total de ángulos centrales en un polígono regular inscrito en una circunferencia siempre será 4 ángulos rectos que equivalen a 3600. El modelo matemático que se aplica para obtener el valor del ángulo central de cualquier 360 0 polígono regular es: Ángulo central (Ac)= Ac = n Donde n es el número de lados del polígono y Ac significa ángulo central. Ejemplo ¿Cuál es el valor del ángulo central de un octágono regular? Solución: n = 8 lados; Ac = (3600/8) = 450; la figura correspondiente es: La suma de todos los ángulos centrales es de 3600 Ángulo interior. Es el ángulo que se forma con dos lados consecutivos (ver figura). El modelo matemático que se aplica para obtener los valores de los ángulos interiores es: 89 360 0 Ángulo interior (Ai ) = Ai = 180 _ 0 n Donde n es el número de lados del polígono y Ai significa ángulo interior. La suma de los ángulos interiores = (n - 2) × 180°, donde n es el número de lados. Ejemplo: ¿Cuál es el valor de un ángulo interior y el valor de la suma de todos los ángulos interiores de un octágono regular? Solución: n = 8 lados; Ai = 180o - (3600/8) = 1350; la figura correspondiente es: La suma de todos los ángulos interiores es: S = (8 – 2) × 180° = 10800. Este valor es el mismo que cuando se suma ocho veces el valor de 1350 (los ángulos interiores son iguales por ser regular). Radio (r). Segmento que une el centro con un vértice. Es el radio de la circunferencia circunscrita (envuelve al polígono regular). Apotema (a). Segmento que une el centro con el punto medio de un lado. Área = (Perímetro x Apotema)/2: A = Pa 2 P= n · L (número de lados por la longitud del lado) Total del número de diagonales que se pueden trazar en un polígono regular considerando todos sus vértices: D = n ( n _ 3) , donde D es el número de diagonales y n es el número de lados del 2 polígono. Ejemplo ¿Cuál es el número de diagonales que se pueden trazar en un octágono regular considerando todos sus vértices? Solución: D = 8 (8 – 3)/2 = 20 diagonales 90 En la figura se observan claramente las 20 diagonales obtenidas por la aplicación del modelo matemático. Los polígonos se clasifican básicamente en: polígonos regulares y polígonos irregulares. Polígono Regular. Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en una circunferencia. En esta lectura se aplicarán modelos matemáticos, considerando al polígono de 5 lados (pentágono) en adelante, porque los polígonos de 3 y 4 lados (triángulo y cuadrilátero), sus fórmulas de perímetro y área, ya son muy conocidos por ustedes. Perímetro y áreas de polígonos regulares. Sus fórmulas son: I). Área = A = (Perímetro x Apotema)/2: A= Pa 2 II). Perímetro = P = n · L (número de lados por la longitud del lado). Ejemplos 1. Calcula el perímetro y el área de un pentágono regular de lado de 5.5cm y apotema de 2.8 cm. Estrategia de solución. I. En el caso de no acordarse de la geometría del polígono, es saludable hacer un pictograma. II. Elegir los modelos matemáticos adecuados. III. Sustituir los datos. IV. Obtener los resultados. 91 Solución. El pictograma (dibujo) del pentágono es: Cálculo del perímetro P = n L; donde n = 5 y L = 5.5 cm; entonces P = 5× (5.5 cm) = 27.5 cm. Cálculo del área A = (P × a)/2; P = 27.5 cm y a = 2.8 cm; entonces A = (27.5cm× 2.8cm)/2 = 38.5 cm2. Resultados del ejercicio 1. P = 27.5 cm A = 38.5 cm2 2. Calcula el perímetro y el área de un terreno que tiene la geometría de un decágono regular cuyo lado mide 10.0 m y el radio de la circunferencia que lo circunscribe mide 15.85 m. La figura del decágono es: El triángulo OBC se aísla de la figura del decágono para encontrar el valor de la apotema. Aplicando el teorema de Pitágoras, para encontrar el valor de la apotema. a = 15. 04 m Cálculo del perímetro: P = n L; donde n = 10 y L = 10.0 m; entonces P = 10× (10.0 m) = 100.0 cm Cálculo del área: A = (P × a)/2; P = 100.0 m y a = 15.04 m; entonces A = (100.0 m×15.04 m)/2 = 752m2. Resultados del ejercicio 2. P = 100.5 m A = 752.0 m2 92 Polígonos Irregulares. Un polígono irregular es aquel cuyos lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados, sus nombres (iguales a los polígonos regulares) y figuras son: Nombre del polígono irregular Pictograma (figura) Triángulo: polígono de 3 lados Cuadrilátero: polígono de 4 lados Pentágono: polígono de 5 lados Hexágono: polígono de 6 lados Heptágono: polígono de 7 lados Octágono: polígono de 8 lados Perímetro y área en polígonos irregulares. El perímetro se obtiene sumando las longitudes de cada lado del polígono irregular. Hay situaciones en las cuales va a presentarse la necesidad de aplicar el teorema de Pitágoras, para encontrar la longitud de algún(os) lado(s). Área de un polígono irregular. El método que se utiliza para obtener el área de cualquier polígono irregular se conoce como: triangulación de un polígono. Este método consiste en descomponer el polígono irregular en 93 triángulos o cuadriláteros conocidos pequeños sin perder la forma del polígono irregular original. Por lo tanto, el área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos o cuadriláteros. Para ilustrar el método, lo aplicaremos en la figura inferior que corresponde a un pentágono irregular: Con base a la figura mostrada, encontraremos los modelos matemáticos que representan al perímetro y al área. Perímetro (P) P = L1 + L2 + L3 + L4 + L5 Area total (AT) AT = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 = [(L1 h1)/2] + [(L2 h2)/2] + [(L3 h3)/2] + [(L4 h4)/2] + [(L5 h5)/2] La figura anterior ilustra solamente el uso de triángulo, pero sabemos que se pueden utilizar también cuadriláteros (cuadrados o trapecios). A continuación, se lustra uno de dichos casos, mediante un ejemplo. Ejemplo 1. Calcular el perímetro y el área de un terreno con geometría de un heptágono irregular mostrado en la figura. Estrategia de solución. I. Se forman las diferentes figuras geométricas, para este caso es un cuadrilátero, un cuadrado y un triángulo. II. Se utilizan las fórmulas correspondientes. III. Se obtienen los resultados. 94 Solución: Cálculo del perímetro. P= + + + = 32.0 m + + . + + + = 10.0 m + 6.0 mm + 5.50 m + 3.50 m + 3.50 m + 3.50 m Para calcular la longitud del segmento GA, se aplica el teorema de Pitágoras: P = 32.0 m + = 32.0 m + 6.083 m = 38. 083 m Cálculo del área A1 = base por altura = 9.0 m × 6.0 m = 54.0 m2 A2 = lado por lado = 3.50 m × 3.50 m = 12.25 m2 A3 = base por altura sobre dos = (1.0 m × 6.0 m)/2 = 3.0 m2 AT = 69.25 m2 Resultados del ejercicio 1. P = 38.083 m AT = 69.25 m2 Ejemplo 2. Calcular el perímetro y el área de un terreno con geometría de un cuadrilátero irregular mostrado en la figura. Solución: Cálculo del perímetro. P= + + + Pero los pares de segmentos = = son iguales, porque los triángulos ABE y ADE son congruentes (criterio L-A-L), al igual que los triángulos BCE y CDE también son congruentes (criterio L-A-L). Para calcular la longitud de los segmentos AB y BC, se aplica el teorema de Pitágoras: 95 = 7.810 m + 16.1555 m + 16.1555 + 7.810 m = 47.9311 m. Cálculo del área A1 = base por altura = 9.0 m × 6.0 m = 45.0 m2 A2 = lado por lado = 3.50 m × 3.50 m = 12.25 m2 A3 = base por altura sobre dos = (1.0 m × 6.0 m)/2 = 3.0 m2 Resultados del ejercicio 2. P = 47.9311 m AT = 609.25 m2 96 Actividades de aprendizaje Actividad 1. Resolución de ejercicios 1. Llena las celdas que les hace falta la información correspondiente a polígonos regulares, en la tabla siguiente. Nombre Número de lados Figura geométrica ¿ ¿ ¿ 6 ¿ Heptágono ¿ ¿ 8 ¿ ¿ 2. ¿Cuál es el valor de un ángulo central y la suma de todos los ángulos centrales que tiene un decágono regular? 3. ¿Cuál es el valor de un ángulo interior y el valor de la suma de todos los ángulos interiores de un endecágono regular? 97 Actividad 2. Resolución de ejercicios en equipo 1. Construyan con juego geométrico las figuras geométricas de los polígonos regulares: tetra decágono y hexadecágono. 2. ¿Cuál es el valor de un ángulo central y la suma de todos los ángulos centrales que tiene un tetra decágono regular? 3. ¿Cuál es el valor de un ángulo interior y el valor de la suma de todos los ángulos interiores de un hexadecágono regular? 4. ¿Cuál es el número de diagonales que se pueden trazar en un eneágono regular considerando todos sus vértices? Dibujen la figura geométrica con el número total de diagonales. Actividad 4. Problemas con polígonos (individual) 1. Encuentra el perímetro y el área de un terreno que tiene geometría de un octágono regular, si uno de sus lados mide 4.0m y el segmento que une a uno de sus vértices con el centro del octágono mide 5.0m. 2. Encuentra el perímetro y el área del pentágono irregular, que se te muestra en la figura siguiente: 98 Actividad 5. Problemas con polígonos (en equipos) 1. Encuentren la longitud del perímetro de un terreno que tiene geometría de un dodecágono regular, que tiene una superficie de 148.50 m2 y su apotema mide 5.50m. 2. Encuentra el perímetro y el área de un terreno que tiene una geometría de un hexágono irregular, tal como se te muestra en la figura siguiente: Nota: Al utilizar el método de triangulación en el hexágono irregular, observas que se dividió en cuatro triángulos y dos trapecios para el cálculo del perímetro y área total del mismo. Para el cálculo del perímetro debes de aplicar 6 veces el teorema de Pitágoras. Recuerda que el área de un trapecio es: mayor más base menor por la altura sobre 2. 99 Base Actividades para el desarrollo de habilidades matemáticas I. Resuelve los siguientes problemas. 1. En el municipio de Metepec, sus habitantes generan desechos biológicos, para su manejo se propone la construcción de una fosa séptica, en cada uno de los hogares, que sea funcional por lo menos 15 años. Determina el volumen de deshechos biológicos que pueda captar la fosa séptica, la cual tiene las siguientes dimensiones: II. Selecciona la respuesta correcta, incluye el procedimiento para justificar la respuesta. 1. El tanque que se utiliza para almacenar agua en tu comunidad mide 12 m de altura. ¿Cuál será la capacidad de almacenamiento en litros? a) 108,000 litros b) 113,040 litros c) 226,080 litros 100 d) 339,120 litros 2. En la escuela se quiere colocar tabique para cubrir un camino que tiene forma rectangular, con medidas de 45 m de largo por 2.6 m de ancho. Si cada tabique mide 13 cm de ancho por 30 cm de largo. ¿Cuántos tabiques se necesitan para cubrir el camino? a) b) c) d) 3,000 3,010 3,020 3,150 3. Jorge tiene un terreno que decide convertir en corral para la crianza de gallinas. El corral es de forma rectangular y se dispone de 94 m de malla. Si desea que el ancho del corral sea de 12 m. ¿Cuál es el área del terreno que se utilizará para el corral de las gallinas? a) b) c) d) 35 m2 70 m2 420 m2 840 m2 4. Don Juan quiere elaborar un cilindro de cartón que tenga una capacidad exacta de un litro y 10 cm de diámetro para disolver colorante de pintura. ¿Cuál debe ser la altura del recipiente? (Recuerda que 1000 cm3 es igual a 1 litro). a) b) c) d) 63.694 cm 31.847 cm 12.738 cm 3.184 cm Ligas de interés • • • • http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/poligonos.html http://www.vitutor.com/geo/eso/pl_1.html http://mateceblag2013.blogspot.mx/2012/11/poligonos-regulares-e-irregulares.html https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_irregular 101 Momento I. Bloque II. Propiedades de los polígonos. Conocimientos: Polígonos: Poliedros: • Elementos y clasificación. • Elementos y clasificación. • Ángulo central. • Volúmenes. • Ángulo interior. • Ángulo exterior. • Suma de ángulos interiores, exteriores. • Diagonales. • Perímetros y áreas. LECTURA 10. Poliedros. Pensando en el espacio tridimensional, se dice que un poliedro es un cuerpo sólido limitado por una superficie que consta de un número finito de polígonos no coplanarios a los que se denomina caras del poliedro. Es evidente que las estructuras poliedrales están presentes en la naturaleza. Todos estamos familiarizados con la forma poligonal de las telarañas, con la estructura hexagonal de los panales de abejas o la estructura poligonal que conforma la superficie de las alas y ojos de algunos insectos. También los granos de polen y las semillas de ciertas plantas tienen formas poliedrales basadas fundamentalmente en pentágonos y hexágonos, y llama la atención la belleza de seres como los radiolarios (cuyo esqueleto contribuye a la formación de sedimentos marinos) proporcionada por sus formas poliedrales, en algunos casos estrelladas, que en muchas ocasiones van encajándose para formar colonias de gran estabilidad. Elementos de un poliedro 103 Caras. Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro. Las caras pueden ser: base, es un polígono cualquiera en el caso de la pirámide o un triángulo equilátero en el tetraedro, caras laterales, son triángulos equiláteros o isósceles para el caso de la pirámide como se muestra en la figura. Aristas. Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común. Las aristas pueden ser: aristas básicas son los lados de las bases, aristas laterales son los lados de las caras laterales que no son las aristas básicas. Vértices. Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice. Los vértices pueden ser: vértices de la base son los vértices del polígono de la base, vértice o cúspide de la pirámide es el punto donde se encuentran las aristas laterales, en el caso de un poliedro píramidal. Ángulos diedros. Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común. Ángulos poliédricos. Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común. Diagonales. Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara. Altura es la distancia que hay desde el vértice o cúspide de la pirámide hasta la base. Apotema es la altura de los triángulos de las caras laterales. 104 Tipos de poliedros En el caso de los poliedros el grado de regularidad viene dado por la forma, número y disposición de caras y vértices. Se dice que dos vértices de un poliedro son idénticos si ambos están rodeados por el mismo número y tipo de caras y en el mismo orden. Si todos los vértices son idénticos, en cada vértice concurren el mismo número de caras, tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y además todas las caras son polígonos regulares iguales se dice que el poliedro es regular y se dice que es convexo si es una región convexa. En un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos. Desde muy antiguo se conocía que existen solamente cinco poliedros regulares convexos, los famosos Solidos Platónicos: • El tetraedro formado por 4 caras que son triángulos equiláteros, tiene cuatro vértices y cuatro aristas, es una pirámide triangular regular. Su área se calcula con • • y su volumen El hexaedro o cubo formado por 6 caras que son cuadrados iguales, tiene 8 vértices y 12 aristas, es un prisma cuadrangular regular. Su área se calcula y su volumen El octaedro formado por 8 caras que son triángulos equiláteros iguales, tiene 6 vértices y 12 aristas, se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales. Su área se calcula con y su volumen 105 • El dodecaedro formado por 12 caras que son pentágonos regulares iguales, tiene 20 vértices y 30 aristas. • Su área se calcula con y su volumen con El icosaedro formado por 20 caras que son triángulos equiláteros iguales, tiene 12 vértices y 30 aristas. Su área se calcula con y su volumen con En todos los poliedros convexos se verifica siempre la Relación de Euler que afirma: Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2. Respecto a la existencia de poliedros regulares no convexos, Kepler describió dos: el pequeño y el gran dodecaedro estrellados; y Louis Poinsot en 1809 redescubrió los anteriores y descubrió otros dos: el gran dodecaedro y el gran icosaedro. Cauchy, en 1813, demostró que los cuatro anteriores son todos los posibles poliedros regulares estrellados. Rebajando la exigencia de regularidad, dentro de los poliedros convexos, reciben el nombre de Sólidos Arquimedianos o Semiregulares aquellos cuyos vértices son idénticos y las caras son polígonos regulares de dos o más tipos diferentes, excluyendo las familias infinitas de los prismas y los anti prismas. Kepler se ocupó especialmente de este tipo de poliedros, entre los que se encuentra el notable icosaedro truncado. Poliedro cóncavo En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante. Poliedros irregulares. Un poliedro irregular está definido por polígonos que no son todos iguales. 106 Tipos de poliedros según el número de caras NOMBRE Tetraedro Pentaedro Hexaedro Heptaedro Octaedro Eneaedro Decaedro Endecaedro Dodecaedro Tridecaedro Tetradecaedro Pentacaedro Icosaedro NÚMERO DE CARAS 4 caras 5 caras 6 caras 7 caras 8 caras 9 caras 10 caras 11 caras 12 caras 13 caras 14 caras 15 caras 20 caras Calculando áreas y volúmenes Ejemplo 1 Cálcula el área y el volumen de un cubo de arista 2 m. Ejemplo 2 Cálcular el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista . 107 Actividades de aprendizaje. Actividad 1. Esquema de clasificación de poliedros Con la información analizada hasta el momento realizar un esquema donde se represente clasificacion de poliedros, figuras y fórmulas. Actividad 2. Ejercicios con poliedros (individual) 1. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un cubo de 7 m de arista. 2. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un octaedro de 7 cm de arista. Actividad 3. Ejercicios con poliedros (en equipos) 1. Calculen el área y el volumen de un dodecaedro de 10 m de arista. 2. Hagan el dibujo y calcueln el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista. 108 Actividades para el desarrollo de habilidades matemáticas I. Resuelve los siguientes problemas. 1. Se desea colocar adoquín a una plaza pública de forma circular que tiene 18m de diámetro, sin afectar la estatua de un célebre personaje, la cual se encuentra ubicada en el centro de la plaza sobre una base metálica rectangular de 3.5m de largo por 2.5m de ancho. ¿Cuántos m2 de adoquín se requieren? 2. En el municipio de Metepec, sus habitantes generan desechos biológicos, para su manejo se propone la construcción de una fosa séptica, en cada uno de los hogares, que sea funcional por lo menos 15 años. Determina el volumen de deshechos biológicos que pueda captar la fosa séptica, la cual tiene las siguientes dimensiones: 109 II. Selecciona la respuesta correcta, incluye el procedimiento para justificar la respuesta. 1. El tanque que se utiliza para almacenar agua en tu comunidad mide 12 m de altura. ¿Cuál será la capacidad de almacenamiento en litros? a) 108,000 litros b) 113,040 litros c) 226,080 litros d) 339,120 litros 2. En la escuela se quiere colocar tabique para cubrir un camino que tiene forma rectangular, con medidas de 45 m de largo por 2.6 m de ancho. Si cada tabique mide 13 cm de ancho por 30 cm de largo. ¿Cuántos tabiques se necesitan para cubrir el camino? a) 3,000 b) 3,010 c) 3,020 d) 3,150 3. Jorge tiene un terreno que decide convertir en corral para la crianza de gallinas. El corral es de forma rectangular y se dispone de 94 m de malla. Si desea que el ancho del corral sea de 12 m. ¿Cuál es el área del terreno que se utilizará para el corral de las gallinas? b) 70 m2 e) 420 m2 f) 840 m2 a) 35 m2 4. Don Juan quiere elaborar un cilindro de cartón que tenga una capacidad exacta de un litro y 10 cm de diámetro para disolver colorante de pintura. ¿Cuál debe ser la altura del recipiente? (Recuerda que 1000 cm3 es igual a 1 litro). a) 63.694 cm b) 31.847 cm c) 12.738 cm d) 3.184 cm Ligas de interés • • • https://www.youtube.com/watch?v=3svKPb0Ps-I https://www.youtube.com/watch?v=t2O-HxelO_s https://www.youtube.com/watch?v=lmkCjeEjVbo 110 EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Autoevaluación En el siguiente cuadro te invitamos a que registres las evidencias que fuiste desarrollando durante el momento y reflexiona sobre cómo lo lograste y lo que puedes hacer para mejorar: Aprendizajes esperados Evidencias ¿Cómo lo lograste? ¿Qué puedo hacer para mejorar? 1.Resuelve colaborativamente problemas usando los criterios de congruencia y semejanza para relacionarlo con objetos de su entorno. 2. Desarrolla estrategias para la solución de problemas reales o hipotéticos respetando la opinión de sus compañeros en el uso de los Teoremas de Tales y Pitágoras. 3. Desarrolla estrategias colaborativamente, para la solución de problemas utilizando los elementos y propiedades de polígonos y poliedros que le permitan cuantificar el espacio en situaciones de su contexto. las figuras 4. Examina geométricas en diferentes expresiones artísticas. De las evidencias mencionadas en el cuadro anterior, encierra en un círculo las que forman parte de tu portafolio. A lo largo del momento trabajaste las siguientes competencias genéricas y atributos: 111 Competencias genéricas Atributos 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 2.1. Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones. 4. Escucha interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y gráficas. 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones 5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios que subyacen en una serie de medulares fenómenos. 8. Participa y elabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. A continuación, se presenta una serie de preguntas, con la intención de que reflexiones en torno a las Competencias que desarrollaste hasta el momento: 1. ¿En qué tipo de construcciones consideras que la geometría está presente? 2. ¿Cuáles formas utilizas usualmente para expresar tus ideas? 3. ¿Utilizas las herramientas de Word para darle presentación a tus trabajos? ¿Por qué? 4. De los teoremas que revisamos en el momento I, ¿Cuáles crees que puedan servirte más la construcción de calles en tu comunidad? 5. ¿Con qué asignaturas consideras que tiene mayor relación los temas que revisaste? 112 Coevaluación La evaluación del trabajo entre pares, es decir, entre compañeros es formativa porque permite revisar el grado de participación, compromiso y desempeño, lo que orienta un ejercicio de mejora de los aprendizajes. La Coevaluación además fomenta la práctica de valores como el respeto, honestidad y empatía. Con al apoyo de tu profesor (a), selecciona una actividad de aprendizaje que hayas trabajado colaborativamente. En una escala de 0 a 4 otorga un puntaje a cada integrante del equipo según su desempeño: 4= Destacado, 3=Satisfactorio, 2= Regular, 1=Necesita mejorar, 0= No trabajó Actividad de aprendizaje: _____________________________________________________________ Competencia (s) que desarrollan: ______________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Criterios a evaluar Integrantes del equipo 1 2 Escribe el nombre de los integrantes del equipo: 1. 2. 3. 4. 5. 113 3 4 5 Evaluación general de la actividad Registra tu evaluación del Momento I Los docentes califican los aprendizajes adquiridos en cada momento (parcial), considerando tres aspectos: Portafolio de evidencias 40% Examen parcial 40% Actividades complementarias 20% También recuerda que para acreditar una asignatura debes cubrir el 80% de asistencia a clases, es importante que en cada parcial revises tus asistencias. Valora y registra tus resultados académicos del momento con la ayuda del docente. Aspecto de evaluación ¿En qué consiste? Portafolio de evidencias Son las evidencias que indicó tu profesor para que desarrollaras durante el momento. Deben ser mínimo 3 evidencias. Examen parcial Evalúa tus conocimientos aprendizajes del momento. ¿Qué resultado tienes? y Actividades complementarias Incluye tu participación, tareas, disciplina, responsabilidad y proactividad dentro y fuera del aula. Asistencia Registro de asistencia a clase que tiene tu profesor durante el momento. Después de registrar tus avances y resultados del momento, reflexiona sobre: ¿cómo has participado?, ¿cuál ha sido tu desempeño?, ¿Qué calificación obtienes del momento? y ¿Cómo puedes mejorar? 114 MOMENTO II BLOQUES: III. Elementos de la Circunferencia IV. Razones Trigonométricas COMPETENCIAS GENÉRICAS Y ATRIBUTOS 4. Escucha interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y gráficas. 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue Instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad. 8. Participa y elabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. COMPETENCIAS DISCIPLINARES 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente, las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que la rodean. APRENDIZAJES ESPERADOS 1. Resuelve problemas de su entorno usando la circunferencia y círculo y las diferentes figuras asociadas con estas. 2. Propone de manera colaborativa diferentes estrategias de solución a problemas de áreas y perímetros para representar espacios y objetos de su entorno. 3. Propone, de manera creativa, solución a problemas que involucran triángulos rectángulos, valorando su uso en la vida cotidiana. 4. Elige razones trigonométricas para proponer alternativas en la solución de triángulos rectángulos en situaciones de su entorno. Momento II. Bloque III. Elementos de la circunferencia. Conocimientos: Circunferencia y círculo. • Concepto de círculo y circunferencia. • Segmentos y rectas de la circunferencia. • Ángulos en la circunferencia. • Secciones de un círculo (corona, sector y trapecio circular). • Perímetro de la circunferencia. • Área del círculo. • Área de regiones sombreadas. LECTURA 1. Circunferencia y círculo Concepto de círculo y circunferencia Es común que se utilicen circunferencia y círculo como sinónimos, sin embargo, aun cuando estos conceptos están estrechamente vinculados, tienen significados que es necesario distinguir para poder aplicarlos correctamente. Circunferencia. Es una curva plana y cerrada, cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro. El centro de la circunferencia se representa por le punto “O”; el segmento “r” representa la distancia del centro a cada uno de los puntos de la circunferencia y se le llama radio (Garza, 1990). Una circunferencia se representa con una figura como la que se muestra a continuación: Círculo. Es la posición interior del plano separado por la circunferencia, que sirve de frontera con la región exterior (Garza, 1990). En la figura inferior, el círculo se sombrea para señalar que se trata del espacio interior a la circunferencia. 117 Una característica especial de la circunferencia es que divide al plano en dos regiones, una exterior (fuera de la circunferencia) y la otra es interior (dentro de la circunferencia). Los puntos que se ubican en distancias menores que la longitud del radio se consideran interiores, mientras que los puntos que se ubican a una distancia mayor que el radio son los puntos exteriores; la gráfica inferior ilustra el enunciado que se declara. Rectas y segmentos asociados a la circunferencia. ¿Cuál de las opciones contiene la relación correcta del nombre del elemento y su representación en la figura? 1. Radio. 2. Diámetro. 3. Recta secante. 4. Recta tangente. a) 1-d; 2-b; 3-c; 4-e c) 1-c; 2-b; 3-a; 4-e b) 1-b; 2-c; 3-e; 4-a d) 1-a; 2-c; e-b; 4-e I). Radio. Es el segmento de recta que une al centro con un punto cualquiera de la circunferencia. II). Cuerda. Es el segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro. III). Diámetro. Es el segmento que une a dos puntos opuestos a la circunferencia y pasa por el centro. Se considera la cuerda más grande. IV). Secante. Es la línea recta que pasa por dos puntos de la circunferencia. V). Tangente. Es la línea recta que tiene solamente un punto en común con la circunferencia. VI). Flecha o Sagita. Es el segmento de recta (parte del radio) perpendicular, trazado desde un punto de la circunferencia hasta el punto medio de una cuerda. 118 La ubicación de puntos, segmentos y rectas notables en la circunferencia se ilustran en la siguiente figura. SIGNIFICADOS DE LOS ELEMENTOS Ángulos en la circunferencia. ¿Cuáles son los nombres de los ángulos que son asociados a la circunferencia? ¿Cómo están ubicados en la circunferencia sus ángulos asociados? Si no puedes contestar correctamente las preguntas planteadas, por el momento, no te preocupes y ocúpate en el estudio del contenido que se te proporciona a continuación sobre ángulos asociados a la circunferencia. I). Ángulo central POR. Es el ángulo que se forma por dos radios o por el diámetro y un radio y sus vértices están ubicados en el centro de la circunferencia. La medida del ángulo central es igual a la medida del arco que se genera en la circunferencia entre sus lados (ver las figuras inferiores). II). Ángulo inscrito PRQ. Es el ángulo que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y se forma por un par de cuerdas. La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados (ver la figura inferior). 119 III. Ángulo semi-inscrito PQR. Es el ángulo cuyo vértice está ubicado en un punto de la circunferencia y lo forman una cuerda (QR) y la recta tangente (PS) en dicho punto (Q). La medida de un ángulo semi-inscrito es igual a la mitad de la medida del arco (OR) comprendido entre sus lados (ver la figura inferior). IV. Ángulo interior PQR. Es el ángulo cuyo vértice está ubicado en un punto interior a la circunferencia y se forma por dos cuerdas que se cortan. La medida de un ángulo interior es igual al promedio de las medidas de los arcos comprendido entre sus lados y su prolongación (ver la figura inferior). V. Ángulo exterior (KFN). Es el ángulo formado por dos rectas secantes (IJ y GH), cuyo vértice está ubicado en punto exterior F a la circunferencia y es el punto donde se cortan las dos rectas secantes. La medida de un ángulo exterior es igual a la diferencia de los arcos MP y KN, dividido entre dos, comprendido entre sus lados (ver la figura inferior). 120 VI. Ángulo circunscrito (MFR). Es el ángulo formado por dos rectas tangentes, cuyo vértice está ubicado en el punto exterior F a la circunferencia y es el punto donde se cortan las dos rectas tangentes. La medida de un ángulo exterior es igual a la diferencia de los arcos MNR y MSR, dividido entre dos, comprendido entre sus lados (ver la figura inferior). Obteniendo valores de ángulos asociados a la circunferencia. = 1280, los valores de 1. Si Estrategia de solución. I). Se elabora su figura. II). Se identidica a que tipo de ángulo corresponde. III). Se aplica su definición y se obtiene el valor solicitado. Solución. Su figura es. Se identifica el ángulo POR y se observa que es un ángulo central. La propiedad de este ángulo es que es igual al arco comprendido por los segmentos PO y OR, los cuales son el radio de la circunferencia. Por lo tanto el ángulo POR vale 1280 y el ángulo ROQ es suplementario del ángulo POR, luego entonces su valor es de 1800 – 1280 = 520. Solución final: Ángulo POR = 1280 y ángulo ROQ = 520. 121 En la figura se observa que el ángulo UPX es interior, luego entonces su medida se determina por: < Solución final es: < = . . Perímetro y área de una circunferencia El perimetro de una circunferencia se obtiene a partir de su diametro o de su radio. En su obtención se utiliza una constante llamada pi cuyo simbolo y valor es: = 3.141592; su valor ha sido calculado partiendo de varios metodos, incluyendo los que utilizan herramientas de cálculo diferencial. Una forma utilizada para encontrar el valor de , fue la de dividir la longitud de dos o mas circunferencias entre sus diámetros, obtienendose el mismo resultado cuyo valor fur de 3.141592.., lo cual se lustra en figura inferiror. Definición de perímetro. El perímetro de una circunferencia se calcula multiplicando el valor de pi por su diámetro o dos veces su radio. Sus fórmulas son: P = D o P = 2 r. Para obtener el área del interior de una circunferencia (círculo) se considera al concepto de límite (Cálculo diferencial), por lo siguiente: Recuerden que en lecturas anteriores, estudiamos los polígonos regulares (inscritos) y en el cálculo de su área, un elemento muy importante, es su 122 apotema, de tal manera que cuando el número de lados se aumenta, su longitud tiene a un punto y el valor de la apotema tiende al valor del radio de la circunferencia. El área de un poligono regular que tiene una gran cantidad de lados es: (perimetro por apotema)/2; pero como la apotema tiende al valor del radio se adopta dicho valor y su área se transforma en (2 pi por el radio por el radio)/2 y al reducir terminos, queda asi: pi por el radio al cuadrado. Su fórmula es : A = r2 Ejercitando con perímetros y oereas de circunferencias. 1. Calcular el perímetro y área del círculo, cuyo diámetro mide 1.785 m Datos Fórmula(s) Sustitución y Operación Diámetro Perímetro Perímetro P= D o D = 1.784 m P = 3.1416 × 1.784 m = 5.605 m r = (1.784 m)/2 = 0.892 m P = 2 r A = 3.1416 × (0.892 m)2 = 2.50 m2 = 3.141592 Área A = r2 Secciones de un círculo Segmento circular: es cada una de las partes en que se divide un círculo cuando se traza una cuerda (A - B). Si la cuerda es un diámetro, cada parte será un semicírculo. Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco. Corona circular: es la porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas. 123 Resultado(s) P = 5.605 m A = 2.50 m2 2. Calcular el perímetro de la circunferencia, el área del tríángulo inscrito en el círculo y el área de la región sombreada de la figura que se te muestra. Datos Diámetro o radio D = 11.00 cm r = 5.50 cm = 3.141592 b = 1.50 cm h = r = 5.50 cm Fórmula(s) Perímetro P= D o P=2 r Áreas Triángulo AT = (b × h)/2 Sustitución y Operación Perímetro P=3.1416 × 1.00m = 34.558 m AT = (1.50cm × 5.50cm)2/2 = 4.125 m2. AC = 3.1416 × (5.5 cm)2 = = 95. 033 m2 AS = 95. 033 m2 - 4.125 m2) = = 90.908 m2. Círculo AC = r2 Región sombreada AS = (AC - AT) = ( r2) - [(b × h)/2] Resultado(s) P = 34.558 m AT = 4.125 m2 AC = 95.033m2 AS = 90.908m2 Actividades de aprendizaje Actividad 1. Ejercicios de manera individual. Observa la figura que se te muestra (llanta de automóvil) y localiza los elementos que se te solicita en las preguntas 1 y 2. 124 1. La cuerda menor de la llanta, la contiene el inciso: ___ b) ED a) AB _____ d) OC c) FG 2. El ángulo central lo contiene el inciso: b) < a) < c) < d< 3. Encuentra el valor de los cuatro ángulos internos del cuadrilátero que se te muestra en la figura siguiente: Si = 60 0 , = 110 0 , < = 100 0 = ¿, < = 90 0 = ¿, < =¿ < =¿ = 100 0 = 150 0 . Encuentra los valores de: < a, < b, < c, < d y < e. Observa la figura 4. Si que se te muestra para que contestes lo solicitado: 5. Encuentra el radio de un círculo cuya área es: 25 m2. 125 Actividad 2. Ejercicios colectivos Observen la figura que se te muestra (llanta de automóvil), y localicen los elementos que se les solicita en las preguntas 1 y 2. 1. La cuerda mayor de la llanta, la contiene el inciso: ___ a) JK b) ED ___ _____ c) FG 2. El ángulo inscrito lo contiene el inciso: b) < a) < d) JL c) < d< 3. Encuentren los valores de: < u, < x, < y, < z y < w. Observa la figura que se te muestra para que contestes lo solicitado: 126 4. Un Ingeniero civil, da la orden de apisonar (compactar) el terreno donde se construye una autopista y asigna una aplanadora que tiene un cilindro de 95 cm de diámetro, tal como lo muestra la figura inferior. Recuerda que 1 km = 1000m y el perímetro de una circunferencia es: P = D. a) ¿De cuánto combustible dispondrías para que la aplanadora realice esta operación, si consume 10ml de diésel por cada vuelta del cilindro y se debe de dar tres pasadas al tramo recto de una autopista de (1/4) km de longitud? b) ¿Cuál el valor de la superficie del cilindro de la aplanadora? 127 Actividades para el desarrollo de habilidades matemáticas I. Resuelve de forma individual la situación de aprendizaje. En una ciudad se está construyendo una planta potabilizadora de agua, que tiene forma circular, para que puedan girar dos brazos y mantengan en movimiento el agua (como se ve en la figura). En dicho proyecto, hubo una gran falla en las computadoras y se perdió la información que se tenía de diversas dimensiones, a lo que varios trabajadores sólo recuerdan que el perímetro era de 330 metros, que iban a cercar para proteger a la gente de no caer al depósito. 1. ¿Qué longitud tendrán los brazos que girarán como manecillas de reloj? Longitud de los brazos. 2. Se pretende conocer la capacidad del depósito, por lo que necesitamos saber qué área tiene este círculo. También se conoce que la profundidad del depósito es de 5 metros. Capacidad del depósito. 3. ¿Cuánto medirá el diámetro del depósito? Diámetro del depósito. 128 4. ¿Cuánto medirá el perímetro de éste? Perímetro del depósito. II. Realiza de manera individual los ejercicios de circunferencia y círculo. 1. Obtiene el perímetro de un círculo, sabemos que el radio medido es de 15 m. 2. Obtiene el área a pintar de este mismo círculo, cuando se pide que sea pintada solo la tercera parta del total. 129 3. En un círculo de diámetro 20 cm, se dibuja un ángulo central de 30º, ¿cuánto será la longitud del arco que queda entre los radios? 4. El arco comprendido en un círculo, con un ángulo central de 60º mide 25 metros. ¿Cuánto medirá su circunferencia? III. Resuelve los siguientes problemas, justifica tu respuesta con el procedimiento. 1. Lorena elabora abanicos para venderlos; para ello, recorta círculos de 10 cm de radio en cuatro partes iguales, y los decora colocando un listón en todo su borde, como se indica en la figura. ¿Qué cantidad de listón ocupará para decorar cada abanico? a) 15.70 cm b) 20.17 cm c) 27.85 cm 130 d) 35.70 cm 2. En los juegos olímpicos de Moscú de 1980 se elaboró una escultura de los aros, la cual fue iluminada por focos incandescentes de 50 watts, colocados a una separación de 20 cm. Si el diámetro es de 10 m. ¿Cuántos focos se requirieron para la iluminación total de los cinco aros? a) 250 b) 393 c) 785 d) 1963 3. Pedro elabora lámparas artesanales con tubos de PVC y una tapa de acrílico en la parte superior. Si le hacen un pedido de 7 lámparas con tubos de 32 cm de diámetro exterior, ¿qué cantidad de acrílico necesita para realizar el trabajo solicitado? a) 351.68 cm2 b) 1,792.00 cm2 c) 5,626.88 cm2 d) 22,507.52 cm2 4. Emiliano debe ejercitar a un caballo en el corral, sujeto a una reata de 8 m de longitud, haciéndolo correr en círculos. ¿Cuántas vueltas tiene que dar el caballo para completar 2 km en un día? a) 25 b) 40 c) 50 d) 80 Ligas de interés • • • • • • • • • • http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/círculos.html http://www.vitutor.com/geo/eso/s_7.html https://www.youtube.com/watch?v=YEwR2Xkx9Nc https://www.youtube.com/watch?v=wPyM5UZDa5c https://es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-area-and-perimeter/areacircumference-circle/a/radius-diameter-circumference https: //es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-area-and-perimeter/areacircumference-circle/v/area-of-a-circle https://es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-area-and-perimeter/areacircumference-circle/a/area-of-circles-review http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/elementos-círculo/ http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/círculos-sectores-segmentos.html http://expresiongraficaparatodos.wikidot.com/formulas-de-areas-circulares-segmentosy-sectores 131 Momento II. Bloque IV. Razones trigonométricas. Conocimientos: • Razones trigonométricas de ángulos agudos. • Valores de razones trigonométricas para ángulos notables (30°, 45° y 60°). • Solución de triángulos rectángulos. LECTURA 2. Razones trigonométricas. Razones trigonométricas de ángulos agudos. La trigonometría estudia la relación que hay entre las medidas de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Para definir las funciones trigonométricas de un ángulo determinado , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. Los nombres de los lados de este triángulo rectángulo que se utilizan son: • La hipotenusa (H) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. • El cateto opuesto (O) es el lado opuesto al ángulo a determinar. • El cateto adyacente (A) es el lado adyacente (contiguo) al ángulo a determinar. “La trigonometría comienza con la asociación a cualquiera de los ángulos agudos, en un triángulo rectángulo, de números obtenidos de los cocientes de sus lados. Es por esto que clasificamos los catetos, nombrándolos como adyacente, si es un lado del ángulo, u opuesto si se ubica frente a la abertura del ángulo. La semejanza de cualquier triángulo con los mismos ángulos interiores garantiza que los cocientes entre los lados de los triángulos rectángulos semejantes serán siempre los mismos valores” (Sánchez y Salazar, 2014). Sabemos que las razones trigonométricas son las reglas de correspondencia de las funciones trigonométricas y cada una de ellas recibe un nombre distinto: 133 Descripción de la razón trigonométrica Ecuaciones de las razones trigonométricas La razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa recibe el nombre seno y se simboliza como: (sen) sen β = La razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa recibe el nombre de coseno y se simboliza como: (cos) cos β = La razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente recibe el nombre de tangente y se simboliza como: (tan) Ejemplos ilustrativos: tan β = = = = Se proporciona el valor de un ángulo agudo y el valor de uno de los catetos y se determinan los elementos faltantes que son el cateto adyacente, la hipotenusa y el ángulo agudo faltante. Obtener los valores de la hipotenusa, del cateto adyacente y del ángulo B. Los datos son: El ángulo A = 37°. El lado opuesto a al ángulo A, que tiene un valor de 7 ul (ul, significa unidades lineales). Por lo tanto, falta encontrar: El dato adyacente al ángulo A, es decir el lado (b). La hipotenusa (c). El ángulo B del triángulo rectángulo. • • • • • Ejemplo 1 Para obtener el ángulo B, utilizas el teorema sobre la suma de los ángulos internos de un triángulo y corresponde a la siguiente igualdad. Como C es un ángulo recto, sabes que estos valores para obtener el ángulo B. 134 C = 90°, entonces tienes que sustituir todos Tanto las razones coseno como la tangente se pueden utilizar para determinar los valores faltantes. Para determinar el valor de la hipotenusa (c), se utiliza la razón trigonométrica seno del ángulo. sen 370 = (7/c); despejando a la incógnita c tenemos que c = científica vemos que sen c = (7)/(0.6018) = 11.6315. 370 7 sen 37° , utilizando la calculadora = 0.6018, luego entonces el valor de la hipotenusa será: Para determinar el valor del cateto adyacente (b), se utiliza la razón trigonométrica tangente. tan 370=(7/b); despejando a la incógnita b tenemos que b = 7 tan 37° , utilizando la calculadora científica vemos que tan 370 = 0.7536, luego entonces el valor del cateto adyacente será: b = (7)/(0.7536) = 9.2893 Finalmente, el triángulo con todos sus elementos es: Ejemplo 2 Se proporciona el valor de un ángulo agudo y el valor de la hipotenusa y se determinan los elementos faltantes que son: el cateto opuesto, cateto adyacente y el ángulo agudo faltante. Obtener el valor de los catetos y de ángulo faltante. • • El ángulo A = 56° 25´30´´ y es equivalente a 56.4250 La hipotenusa, que corresponde al lado opuesto al ángulo C y su valor es: h = 17.2345 m 135 • Como es sabido la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. • Contamos con un ángulo recto que es igual a 90° y los otros dos son iguales. • Aplicando el teorema de la suma de los ángulos interiores del triángulo rectángulo, llamando con x a cada ángulos agudo, tenemos que: 180° - 90° = 2x; despejando a x tenemos que: x = (180-90)/2; x = 90/2, por lo tanto X=45° • Ángulos congruentes: 45° Triángulo rectángulo isósceles. En este caso cada cateto vale 1. A partir de la definición de las razones trigonométricas: Ángulo de 450 Razones trigonométricas Razones trigonométricas directas recíprocas sen 45° = 1 √2 = cos 45°= 1 1 √2 √2 1 = √2 √2 √2 2 = √2 csc 45° = 2 sec 45°= tan 45° = 1 =1 √2 1 √2 1 1 =√2 = √2 cot 45°= 1 = 1 En la imagen observamos que hace falta el valor de uno de sus lados. Podemos obtener el valor de la hipotenusa mediante el teorema de Pitágoras. 136 Razones trigonométricas recíprocas. Cuando se quiere obtener el recíproco de un número; se forma una fracción donde el numerador es la unidad y el denominador es el propio número, por ejemplo: el recíproco del número 5 es (1/5), el recíproco del número 8 es (1/8), de tal manera que cuando efectúas la multiplicación del número por su recíproco siempre se obtiene la unidad. Con las funciones trigonométricas, sucede lo mismo que con los números, tal y como a continuación se explica. En esta lectura analizáremos las razones recíprocas cotangente, secante, cosecante. La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto. • La recíproca de la tangente es: cot = ; porque (tan ) (cot ) = 1 La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente. • La recíproca del coseno es: sec = ; porque (cos ) (sec ) = 1 La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto. • La recíproca del seno es: csc = ; porque (sen ) (csc ) = 1 Ejemplo. Dado el siguiente triángulo rectángulo, encontrar las funciones directas y sus respectivas recíprocas. Nos hace falta el valor de la hipotenusa, el cual obtendremos mediante el teorema de Pitágoras Mostrando el teorema de Pitágoras: c²= a² + b² Sustituyendo los datos: c² = (14)² + (27)² Simplificas: c² = 196 + 729 Obtienes: c² = 925 c = 30.414 La razón trigonométrica seno del ángulo A es: sen A = (27)/(30.414) = 0.88775 y su recíproca es la cosecante, la cual se calcula como: 137 csc A = (1)/(sen A), en consecuencia su valor es: csc A = (1)/(0.88775) = 1.12644, lo cual puede verificarse, utilizando su definición: csc A = (Hipotenusa)/(Cateto opuesto) = (30.414)/(27) = 1.12644 con lo cual queda demostrado que su valor es correcto. Ahora considerando la razón trigonométrica tangente del ángulo A es: tan A = (27)/(14) = 1.9286 y su recíproca es la cotangente, la cual se representa como: cot A = (1)/(tan A), en consecuencia su valor es: cot A = (1)/(1.9286) = 0.51852, lo cual puede verificarse, utilizando su definición: cot A = (cateto adyacente)/(Cateto opuesto) = (14)/(27) = 0.51852 con lo cual queda demostrado que su valor es correcto. El valor de la función coseno del ángulo A y su recíproca se obtendrán en el aula. Valores de las razones trigonométricas para ángulos notables (30°, 45° y 60°) Tomando en cuenta los fundamentos de la geometría es posible deducir, el valor de las razones trigonométricas de ángulos con medidas específicas. A continuación, te mostraremos cómo determinar el valor de tales razones, primero para ángulos de 30° y 60° y posteriormente para ángulos de 45°. Para obtener las funciones de los ángulos 30° y 60° usamos un triángulo equilátero (todos los lados iguales). Consideremos un triángulo rectángulo cuyas medidas de sus lados es de dos unidades. Por ser un triángulo equilátero, las amplitudes de sus ángulos son congruentes cuya medida es de 60°. Triángulo equilátero; la medida de cada uno de sus ángulos internos es de 60°. Si cortamos dicho triángulo equilátero exactamente por la mitad (altura), obtenemos dos triángulos cuyas medidas son las siguientes: 138 El segmento BD es perpendicular al lado AC. Triángulo que resulta al dividir el triángulo equilátero La longitud faltante la obtendremos por medio del Teorema de Pitágoras. c² = a² - b²; despejando a la letra que representa el cateto opuesto al cuadrado, a² = c² - b²; sustituyendo los datos que se tienen en el triángulo rectángulo de la figura anterior, a²= (2)²-(1)²; a² = 4 – 1 a = √3 Aplicando lo aprendido en las lecturas anteriores, se encuentran los valores de las respectivas razones trigonométricas, apoyándose en el triángulo rectángulo de la imagen mostrada. Ángulo de 60° Razones Razones trigonométricas trigonométricas directas recíprocas 2 √3 csc 60° = sin 60° = √3 2 1 sec 60° = 2 cos 60° = 2 1 cot 60° = tan 60° = √3 √3 Ángulo de 30° Razones Razones trigonométricas trigonométricas directas recíprocas 1 csc 30° = 2 sin 30° = 2 2 √3 sec 30° = cos 30° = √3 2 1 tan 30° = cot 30° = √3 √3 Valores de las funciones trigonométricas para 45°. Para obtener las funciones del ángulo de 45°, utilizamos el triángulo rectángulo o triángulo isósceles. Las propiedades de los ángulos isósceles nos dicen que, al tener dos lados iguales, los ángulos opuestos a dichos lados son iguales. La medida de los ángulos y sus lados se determinan bajo las siguientes características. 139 • Como es sabido la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. • Contamos con un ángulo recto que es igual a 90° y los otros dos son iguales. • Aplicando el teorema de la suma de los ángulos interiores del triángulo rectángulo, llamando con x a cada ángulos agudo, tenemos que: 180° - 90° = 2x; despejando a x tenemos que: x = (180-90)/2; x = 90/2, por lo tanto x=45° • Ángulos congruentes: 45° Triángulo rectángulo isósceles. En este caso cada cateto vale 1. A partir de la definición de las razones trigonométricas: Ángulo de 450 Razones trigonométricas Razones trigonométricas directas recíprocas sen 45° = 1 √2 = cos 45°= 1 1 √2 √2 1 = √2 √2 √2 2 = √2 csc 45° = 2 sec 45°= tan 45° = 1 =1 √2 1 √2 1 1 =√2 = √2 cot 45°= 1 = 1 En la imagen observamos que hace falta el valor de uno de sus lados. Podemos obtener el valor de la hipotenusa mediante el teorema de Pitágoras. 140 Ejemplos Aplicando los valores de las razones trigonométricas para ángulos de 300 y de 600, encontrar: 1. El valor del cateto opuesto al ángulo B aplicando la razón trigonométrica correspondiente; Solución. Eligiendo la razón trigonométrica: seno de 300, tenemos que: 1 sen de 300 = 2 = 12.80 ; despejando b de la proporción, obtenemos que: b = (12.80 m)/(2) = 6.40m. 2. Aplicando la razón trigonométrica correspondiente; encuentra el valor del cateto opuesto al ángulo A. Solución. Eligiendo la razón trigonométrica: seno de 600, tenemos que: sen 600 = a= 12.80 2 √3 2 = ×√3 12.80 ; despejando a de la proporción, obtenemos que: = 6.40√3 . El triángulo rectángulo con todas las dimensiones de sus elementos es: La comprobación de los datos se hace con la aplicación del teorema de Pitágoras. (12.80 m)2 = (6.40 m)2 + (6.40 × √3 m)2; 163.80 m2 = 40.96 m2 + (40.96×3) m2; 163.80 m2 = 163.80 m2; con lo cual queda demostrado la validez de los elementos encontrados. Se aclara que se pueden utilizar cualquier razón trigonométrica que involucre los elementos que intervienen. Para la aplicación de las razones trigonométricas con el ángulo de 450, los van a realizar en clase o en trabajos extra clase. 141 Resolución de triángulos rectángulos. En un triángulo rectángulo existen valores relacionados: sus dos ángulos agudos interiores y las longitudes de sus tres lados. Si conocemos dos de ellos podemos afirmar que el triángulo está determinado. Es decir, que los demás elementos están en relación con tales valores, regidos por las propiedades geométricas y trigonométricas. Al proceso mediante el cual, por medio de dos valores conocidos se determinan los tres restantes en el triángulo rectángulo se le conoce como resolver el triángulo. La trigonometría de los triángulos rectángulos se utiliza frecuentemente para poder encontrar la altura de un objeto alto de manera indirecta. Para resolver un problema de este tipo, se tiene que medir el ángulo desde una horizontal hasta tu recta de visión, cuando veas la parte superior o inferior del objeto. • • Si miras hacia arriba, medirás el ángulo de elevación. Si miras hacia abajo, medirás el ángulo de depresión. Como veremos en los siguientes ejercicios las aplicaciones trigonométricas tienen numerosas aplicaciones en la vida diaria, para poder calcular distancias horizontales, ángulos de elevación (a partir de la medida de sombras, por ejemplo) entre otras. ¿Hay algún método específico para resolver problemas? Existe un plan para resolver problemas matemáticos, el cual se describirá a continuación. Guía para la resolución de problemas Etapa 1: Entender el problema. En esta etapa se formulan las preguntas siguientes: ¿Qué trato de encontrar? ¿Qué datos tengo? ¿He resuelto algún problema similar? • • • Etapa 2: Desarrollar y llevar a cabo un plan. En esta etapa se formulan las preguntas siguientes: ¿Qué método puedo utilizar para resolver el problema? ¿Cuál es la manera correcta de aplicar los métodos que elegí? • • 142 Etapa 3: Encontrar la respuesta y verificar En esta etapa se formulan las preguntas siguientes: ¿Es correcta la respuesta del problema? ¿Cuál es la respuesta del problema? ¿Parece razonable la respuesta? ¿Establecí la respuesta con claridad? • • • • A continuación, y atendiendo el contenido de esta lectura, resolveremos algunos problemas teórico - prácticos, utilizando la guía: Problema 1. Un árbol está sostenido por un alambre que se extiende desde 1.5 m debajo de la parte superior del árbol hasta una estaca en el suelo. El alambre mide 24 m de largo y forma un ángulo de 58° con el suelo. ¿Qué altura tiene el árbol? Etapa 1: Entender el problema ¿Qué trato de encontrar? La altura de un árbol. ¿Qué datos tengo? La longitud del cable es de 24 m, la distancia de la copa del árbol hasta donde se ata el clave es de 1.50m y ángulo de elevación de 580. ¿He resuelto algún problema similar? No. Etapa 2: Desarrollar y llevar a cabo un Plan ¿Qué método puedo utilizar para resolver el problema? El método es el siguiente: 1. Dibujar el croquis (pictograma) del triángulo rectángulo. 2. Seleccionar la función trigonométrica correspondiente. 3. Aplicar la función trigonométrica elegida para encontrar la altura del triángulo. 4. Sumar a la altura del triángulo la distancia de la copa del árbol hasta donde se ata el cable. ¿Cuál es la manera correcta de aplicar los métodos que elegí? Aplicando correctamente la función trigonométrica elegida. 143 Se elige la función seno, ya que es la adecuada. sen 580 = (h)/(24.0); despejando h tenemos que: h = 24.0 × sen 580 = 20.35 m. Finalmente, la altura del árbol será: H = 20.35 + 1.50 = 21.85m Etapa 3: Encontrar la respuesta y verificar ¿Es correcta la respuesta del problema? Si es correcta. ¿Cuál es la respuesta del problema? H = 21.85 m. ¿Parece razonable la respuesta? Sí, porque la altura hasta donde se ata el cable en el árbol, siempre debe ser menor que la longitud del mismo. ¿Establecí la respuesta con claridad? Considero que es con claridad la respuesta. Problema 2. Desde la cúspide de un faro de 30 m de altura sobre el nivel del mar se observa que el ángulo de depresión respecto de un velero es de 25°. Calcula la distancia horizontal del faro al barco. Pictograma (croquis) de la situación. Como lo que se trata de encontrar es la distancia del faro al velero y observando el croquis, la función trigonométrica adecuada es la tangente y su aplicación es: tan 65° = 30 ; despejando a la incógnita x, tenemos que: x = 30.0 × tan 650 = 64.335 m La distancia horizontal entre el faro y el velero es de 64.335 m 144 Se elige la función seno, ya que es la adecuada. sen 580 = (h)/(24.0); despejando h tenemos que: h = 24.0 × sen 580 = 20.35 m. Finalmente, la altura del árbol será: H = 20.35 + 1.50 = 21.85m Etapa 3: Encontrar la respuesta y verificar ¿Es correcta la respuesta del problema? Si es correcta. ¿Cuál es la respuesta del problema? H = 21.85 m. ¿Parece razonable la respuesta? Sí, porque la altura hasta donde se ata el cable en el árbol, siempre debe ser menor que la longitud del mismo. ¿Establecí la respuesta con claridad? Considero que es con claridad la respuesta. Problema 2. Desde la cúspide de un faro de 30 m de altura sobre el nivel del mar se observa que el ángulo de depresión respecto de un velero es de 25°. Calcula la distancia horizontal del faro al barco. Pictograma (croquis) de la situación. Como lo que se trata de encontrar es la distancia del faro al velero y observando el croquis, la función trigonométrica adecuada es la tangente y su aplicación es: tan 65° = 30 ; despejando a la incógnita x, tenemos que: x = 30.0 × tan 650 = 64.335 m La distancia horizontal entre el faro y el velero es de 64.335 m 144 Actividades de aprendizaje. Actividad 1. Elementos del triángulo (individual). Instrucciones: Observa con atención la figura que se te muestra a continuación, para que completes la tabla siguiente: Elementos faltantes del triángulo El valor del cateto opuesto; a = ¿ El valor del cateto adyacente; b = ¿ El valor del ángulo B = ¿ Razones trigonométricas recíprocas. csc B = ¿ sec B = ¿ cot B = ¿ Actividad 2. Elementos del triángulo (colectivo). Observen con atención la figura que se te muestra a continuación, para que completen la tabla siguiente: 146 Elementos faltantes del triángulo Razones trigonométricas recíprocas. El valor de la hipotenusa; c=? csc B = ¿ El valor del cateto adyacente; a=? El valor del ángulo A=? sec B = ¿ cot B = ¿ Actividad 3. Razones trigonométricas del ángulo de 300 Instrucciones: de manera individual, observa con atención el triángulo rectángulo que se te muestra y puedas contestar correctamente lo que se solicita. 1. Encuentra lo elementos faltantes del triángulo observado, utilizando únicamente las razones trigonométricas del ángulo de 300. También demuestra que los elementos encontrados son los correctos. Actividad 4. Razones trigonométricas del distintos ángulos. Instrucciones: en equipos de trabajo colaborativo, observen con atención los triángulos rectángulos que se te muestran y puedan contestar correctamente lo que se les solicita. 1. Encuentren lo elementos faltantes del triángulo observado, utilizando únicamente las razones trigonométricas del ángulo de 300. También demuestren que los elementos encontrados son los correctos. 147 2. Encuentren lo elementos faltantes del triángulo observado, utilizando las razones trigonométricas del ángulo de 450. También demuestren que los elementos encontrados son los correctos. Actividad 5. Problemario (individual) 1. Una escalera se apoya contra una pared de modo que su extremo inferior está 1.8 metros de ella. Si el ángulo que forma la escalera con el piso es de 56° ¿Cuál es su longitud? 2. ¿A qué distancia del pie de una torre de 45m de altura deberá colocarse un observador para que el ángulo de elevación a la cúspide de la torre sea de 60°? Observa con atención la figura que se te muestra, para que contestes acertadamente el problema 3. 3. Unos oficiales albañiles están construyendo una rampa (genera un triángulo rectángulo como lo muestra la figura) para discapacitados en el plantel 21, la cual tiene una inclinación de 20o respecto a la horizontal. Si al final de la rampa la altura es de 1.50 m, ¿qué longitud tiene la superficie de la rampa? Actividad 6. Problemario (colectivo) En equipos de trabajo colaborativo, resuelvan los siguientes problemas. 1. La sombra que proyecta una persona de 1.70 metros de estatura es de 1.22 m. En este instante un árbol proyecta una sombra de 5 m. Calcula la altura del árbol. 2. Dos estaciones de seguimiento separados de una distancia de 500 m entre sí miden los ángulos de elevación de un globo meteorológico, los cuales son de 60° y 45° respectivamente como se muestra en la figura. Calcula la altura del globo en el momento de las mediciones. 3. Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22 m y 12 m respectivamente. El primer poste es 7.5 m más alto que el segundo. Encuentre el ángulo de elevación del sol y la longitud de cada poste. 148 Actividades para el desarrollo de habilidades matemáticas I. Observa la figura y responde las preguntas planteadas. 1. ¿Cuál de los datos es el cateto opuesto y cuál es el cateto adyacente si nos ubicamos en el ángulo B? 2. Encierra el modelo matemático que se puede utilizar para calcular el ángulo B. 3. Calcula el ángulo B para determinar el ángulo de inclinación del cable de acero. II. Resuelve el siguiente ejercicio: Determina la longitud del lado faltante y la medida del ángulo A, desarrolla el procedimiento de forma ordenada. Longitud del lado faltante Medida del ángulo A A= 149 III. Resuelve el siguiente problema, justifica tu respuesta con el procedimiento. En un hotel se necesita construir una rampa para el acceso a personas con capacidades diferentes. Los arquitectos determinan que lo más conveniente es que forme un ángulo de 8° y tenga una altura de 90 cm. Sen 8° = 0.1391 Cos 8° = 0.9902 Tan 8° = 0.1405 ¿A qué distancia de la entrada del edificio se debe iniciar la construcción? a) 6.40 m b) 6.47 m c) 9.08 m d) 12.64 m IV. Resuelve los siguientes problemas 1. Calcula la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 m cuando los rayos del sol forman un ángulo de 50º con el suelo. 2. Una escalera de 4 m está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su inclinación si su base dista 2 m de la pared? 3. La sombra de un árbol cuando los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo de 36º, mide 11 m. ¿Cuál es la altura del árbol? 4. David está haciendo volar su cometa. Ha soltado ya 47 m de hilo y el ángulo que forma la cuerda de la cometa con la horizontal es de 52º. ¿A qué altura, h, se encuentra la cometa? 150 5. Quieres calcular la anchura de un río y la altura de un árbol que está en la altura opuesta. Para ello te sitúas frente al árbol, mides el ángulo que forma con la horizontal la visual a la parte alta del árbol (41º). Te alejas del árbol, en dirección a la orilla, andando 25 m. Vuelves a medir el ángulo que forma con la horizontal la visual a la parte alta del árbol. Ahora son 23º 6. Halla la altura de una palmera que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º. 7. Un edificio de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento. Ligas de interés • • • • • • • • • • • • • https://www.youtube.com/watch?v=cZScuFgZDo8 http://math2me.com/curricula/mexico/preparatoria/semestre-ii/funcionestrigonometricas http://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/ÁNGULOS+DE+30,45+Y+60+GRADOS http://math2me.com/playlist/trigonometria/funciones-trigonometricas-para-los-ángulos30-60-y-45 http://math2me.com/curricula/mexico/preparatoria/semestre-ii/funcionestrigonometricas-truco-para-memorizar http://math2me.com/curricula/mexico/preparatoria/semestre-ii/funcionestrigonometricas-ejercicio-3a http://math2me.com/curricula/mexico/preparatoria/semestre-ii/funcionestrigonometricas-ejercicio-2 http://math2me.com/curricula/mexico/preparatoria/semestre-ii/funcionestrigonometricas-ejercicio-4 http://math2me.com/curricula/mexico/preparatoria/semestre-ii/funcionestrigonometricas-problema-3 http://math2me.com/curricula/mexico/preparatoria/semestre-ii/funcionestrigonometricas-en-un-cuadrado https://www.youtube.com/watch?v=IL8cCsfJpvI https://www.youtube.com/watch?v=sklZpuCqSe0 https://www.youtube.com/watch?v=BCJD68iPuok 151 EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Autoevaluación En el siguiente cuadro te invitamos a que registres las evidencias que fuiste desarrollando durante el momento y reflexiona sobre cómo lo lograste y lo que puedes hacer para mejorar: Aprendizajes esperados ¿Cómo lo lograste? Evidencias ¿Qué puedo hacer para mejorar? 1. Resuelve problemas de su entorno usando la circunferencia y círculo y las diferentes figuras asociadas con estas. 2. Propone de manera colaborativa diferentes estrategias de solución a problemas de áreas y perímetros para representar espacios y objetos de su entorno. 3. Propone, de manera creativa, solución a problemas que involucran triángulos rectángulos, valorando su uso en la vida cotidiana. 4. Elige razones trigonométricas para proponer alternativas en la solución de triángulos rectángulos en situaciones de su entorno. De las evidencias mencionadas en el cuadro anterior, encierra en un círculo las que forman parte de tu portafolio. A lo largo del momento trabajaste las siguientes competencias genéricas y atributos: 152 Competencias genéricas Atributos 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue Instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad. 8. Participa y elabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. A continuación, se presenta una serie de preguntas, con la intención de que reflexiones en torno a las Competencias que desarrollaste hasta el momento: 1. ¿Cómo crees que puede ayudarte que un problema matemático esté representado en un dibujo o gráfica? 2. ¿Qué tipo de buscadores utilizas comúnmente para navegar y obtener información en internet? 153 3. ¿Qué serie de pasos llevas a cabo para resolver un problema o tomar una decisión importante en tu vida? 4. ¿Cómo te organizas de forma eficaz al momento de trabajar en equipo para solucionar un problema o realizar un proyecto en específico? 5. En un foro de discusión sobre la hipótesis de que Rock es sinónimo de drogas ¿Cuáles serían tus argumentos en contra de esta postura? ¿De qué manera reconoces la postura opuesta? 6. ¿Qué es lo que regularmente aportas cuando trabajas en equipo? ¿Por qué eres identificado al trabajar en equipo? 154 Coevaluación La evaluación del trabajo entre pares, es decir, entre compañeros es formativa porque permite revisar el grado de participación, compromiso y desempeño, lo que orienta un ejercicio de mejora de los aprendizajes. La Coevaluación además fomenta la práctica de valores como el respeto, honestidad y empatía. Con al apoyo de tu profesor (a), selecciona una actividad de aprendizaje que hayas trabajado colaborativamente. En una escala de 0 a 4 otorga un puntaje a cada integrante del equipo según su desempeño: 4= Destacado, 3=Satisfactorio, 2= Regular, 1=Necesita mejorar, 0= No trabajó Actividad de aprendizaje: _____________________________________________________________ Competencia (s) que desarrollan: ______________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Criterios a evaluar Integrantes del equipo 1 2 Escribe el nombre de los integrantes del equipo: 1. 2. 3. 4. 5. 155 3 4 5 Evaluación general de la actividad Registra tu evaluación del Momento II Los docentes califican los aprendizajes adquiridos en cada momento (parcial), considerando tres aspectos: Portafolio de evidencias 40% Examen parcial 40% Actividades complementarias 20% También recuerda que para acreditar una asignatura debes cubrir el 80% de asistencia a clases, es importante que en cada parcial revises tus asistencias. Valora y registra tus resultados académicos del momento con la ayuda del docente. Aspecto de evaluación ¿En qué consiste? Portafolio de evidencias Son las evidencias que indicó tu profesor para que desarrollaras durante el momento. Deben ser mínimo 3 evidencias. Examen parcial Evalúa tus conocimientos aprendizajes del momento. ¿Qué resultado tienes? y Actividades complementarias Incluye tu participación, tareas, disciplina, responsabilidad y proactividad dentro y fuera del aula. Asistencia Registro de asistencia a clase que tiene tu profesor durante el momento. Después de registrar tus avances y resultados del momento, reflexiona sobre: ¿cómo has participado?, ¿cuál ha sido tu desempeño?, ¿Qué calificación obtienes del momento? y ¿Cómo puedes mejorar? Acércate a tu profesor, tutor de grupo u orientador educativo para compartir dudas que se te presenten. 156 MOMENTO III BLOQUES: V. Funciones Trigonométricas VI. Triángulos Oblicuángulos COMPETENCIAS GENÉRICAS Y ATRIBUTOS 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 1.4. Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. 4. Escucha interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y gráficas. 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue Instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. 8. Participa y colabora de maneraefectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. COMPETENCIAS DISCIPLINARES 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente, las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que la rodean. APRENDIZAJES ESPERADOS 1. Desarrolla estrategias de manera colaborativa para obtener los valores de las funciones trigonométricas utilizando el ángulo de referencia, tablas y/o calculadora, con la finalidad de interpretar fenómenos sociales y naturales. 2. Explica, de forma crítica, la gráfica de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, relacionándola con el comportamiento de fenómenos de su entorno. 3. Propone, de manera colaborativa, el uso de las leyes de senos y cosenos como alternativas de solución para situaciones reales. 4. Desarrolla estrategias con un pensamiento crítico y reflexivo para la solución de triángulos oblicuángulos encontrados en su contexto. Momento III. Bloque V. Funciones trigonométricas Conocimientos: Funciones trigonométricas en el plano cartesiano. Signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes. Gráficas. Círculo unitario. Identidades trigonométricas. Recíprocas. Pitagóricas. Ángulo doble. • • • • • LECTURA 1. Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Definiciones respecto de un triángulo rectángulo Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en lo sucesivo será: • • • La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo α . El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo α . Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus radianes o (180°). En consecuencia, en cualquier triángulo ángulos internos es igual a rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y /2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango: 159 1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: = El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes. 2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: = 3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente: = 4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto: = 5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente: = 6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto: = Signos de las funciones trigonométricas A continuación, se describen las funciones trigonométricas para ángulos en los diferentes cuadrantes. Para trazar los ángulos en el plano cartesiano, se coloca el lado inicial del ángulo en la parte positiva del eje “x”, vértice es el origen y el lado final es un segmento que varía dependiendo de las coordenadas del punto en el plano. 160 1. Funciones trigonométricas de un ángulo en el primer cuadrante. a: es la abscisa del punto P (cateto adyacente). b: es la ordenada del punto P (cateto opuesto). d: es la distancia del punto P al origen (hipotenusa). θ : es el ángulo del primer cuadrante. 2. Funciones trigonométricas de un ángulo en el segundo cuadrante. Las funciones trigonométricas del segundo cuadrante son equivalentes a las que se obtienen a partir de su ángulo suplementario (180° − θ) , a éste se le conoce como ángulo de referencia. −a: es el cateto adyacente al ángulo de referencia. b: es el cateto opuesto al ángulo de referencia. d: es la hipotenusa. θ : es el ángulo del segundo cuadrante. 161 3. Funciones trigonométricas de un ángulo en el tercer cuadrante. Obtener las funciones trigonométricas para ángulos en el tercer cuadrante es equivalente a obtener las funciones trigonométricas de su ángulo de referencia (θ - 180°). Ángulo de referencia BLOQUE 5 159 -a: es el cateto adyacente al ángulo de referencia. −b: es el cateto opuesto al ángulo de referencia. d: es la hipotenusa. θ : es el ángulo del tercer cuadrante. 4. Funciones trigonométricas de un ángulo en el cuarto cuadrante. Calcular las funciones trigonométricas para ángulos en el cuarto cuadrante es equivalente a obtener las funciones trigonométricas de su conjugado, el cual es el ángulo de referencia (360°θ). a: es el cateto adyacente al ángulo de referencia. −b: es el cateto opuesto al ángulo de referencia. d: es la hipotenusa. q: es el ángulo del tercer cuadrante. 162 Los signos de las funciones trigonométricas se resumen en la siguiente tabla. 163 Ejemplo 1. Calcular las funciones trigonométricas de 135º. 164 Ejemplo 2. Calcular las funciones trigonométricas de 240º. Gráficas Las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente, son conjuntos de puntos que describen el comportamiento de las reglas de correspondencia (expresiones matemáticas) y se pueden obtener partiendo del cálculo de varios valores numéricos correspondientes a cada ángulo del círculo unitario (Rascón, 2014). 165 Los elementos que constituyen a las funciones trigonométricas son: dominio, el cual se expresa en grados sexagesimales o en radianes; el codominio o rango, se expresa en el conjunto de los números reales y la regla de correspondencia, la cual representa a la expresión matemática. Algunas aplicaciones del comportamiento gráfico de la función seno, es en las señales que se obtiene de las tomas de corriente eléctrica de cualquier casa habitación, en la mayoría de las fuentes de potencia en corriente alterna y otras más. Gráfica de la función seno. Para graficar la función seno, se emplea la regla de correspondencia y = sen (x), donde los valores de x son de 00 a 3600 (o rad a 2π rad), porque debemos recordar que la función es periódica (se repite el comportamiento gráfico). Tabulación. Para encontrar los valores del rango (y) se le dan valores de ángulos (x) en cada cuadrante en el círculo unitario. Se utiliza la calculadora científica. Tabulación de y = sen (x) 3 3 7 5 2 Radianes 0 4 2 4 2 4 x 4 Grados 00 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600 y Números 0 0.7071 1.000 0.7071 0 -0.7071 -1.000 -0.7071 0 reales Graficación. Consiste en colocar en el plano cartesiano, las coordenadas de los puntos que contiene la tabulación, lo cual se muestra a continuación. (Fuente: Varela y Herrera, 2015) 166 Características de la función seno. I). La función tiene un valor de periodo igual a 2 π rad, lo cual significa que el comportamiento gráfico se repite cada 2 π rad o 3600, tal como lo ilustra la figura. II). La función es creciente en el primer y en el cuarto cuadrante, lo cual significa que al aumentar el valor del dominio (x), el valor del rango (y) también aumenta. III). La función es decreciente en el segundo y tercer cuadrante. Esto significa que al aumentar el valor del dominio (x), el valor del rango (y) disminuye. IV). Los valores de la función son positivos en el primero y segundo cuadrante y negativos en el tercero y cuarto cuadrante. V). La función corta al eje de las abscisas en los valores que son múltiplos enteros de . En la gráfica se observan los valores de: π, 2π, 3π, 4π, así sucesivamente. VI). El dominio (x) de la función es el conjunto de los números reales. VII). El codominio o rango (y), es el intervalo [-1, 1]. Gráfica de la función coseno. Para graficar la función coseno, se emplea la regla de correspondencia y = cos (x), donde los valores de x son de 00 a 3600 (O de 0 rad a 2π rad), porque debemos recordar que la función es periódica ( se repite el comportamiento). Tabulación. Para encontrar los valores del rango (y) se le dan valores de ángulos (x) en cada cuadrante en el círculo unitario. Se utiliza la calculadora científica. Tabulación de y = cos (x) 3 7 3 5 2 Radianes 0 4 2 4 2 4 4 x y Grados Números reales 00 1.000 450 0.7071 900 0.000 1350 -0.7071 1800 -1.000 2250 -0.7071 2700 0.000 3150 0.7071 3600 1.000 Graficación. Consiste en colocar en el plano cartesiano, las coordenadas de los puntos que contiene la tabulación, lo cual se muestra a continuación. 167 (Fuente: Varela y Herrera, 2015) Características de la función coseno. I). La función tiene un valor de periodo igual a 2 π rad, lo cual significa que el comportamiento gráfico se repite cada 2 π rad o 3600, tal como lo ilustra la figura. II). La función es creciente en el tercero y cuarto cuadrante, lo cual significa que al aumentar el valor del dominio (x), el valor del rango (y) también aumenta. III). La función es decreciente en el primero y segundo. Esto significa que al aumentar el valor del dominio (x), el valor del rango (y) disminuye. IV). Los valores de la función son positivos en el primero y cuarto cuadrante y negativos en el segundo y tercer cuadrante. π V). La función corta al eje de las abscisas en los valores que son múltiplos impares de 2 . En la π 3 5 7 gráfica se observan los valores de: 2 , 2 π, 2 π, 2 π, y así sucesivamente. VI). El dominio (x) de la función es el conjunto de los números reales. VII). El codominio o rango (y), es el intervalo: -1 ≤ y ≤ 1. Gráfica de la función tangente. Para graficar la función coseno, se emplea la regla de correspondencia y = tan (x), donde los valores de x son de 00 a 3600 (O de 0 rad a 2π rad), porque debemos recordar que la función es periódica ( se repite el comportamiento). Tabulación. Para encontrar los valores del rango (y) se le dan valores de ángulos (x) en cada cuadrante en el círculo unitario. Se utiliza la calculadora científica. 168 0 Radianes x 00 6 300 3 600 900 1.000 0.7071 0.7071 0.7071 Grados y Números reales 2 Tabulación de y = tan (x) 7 2 5 6 3 6 4 3 3 2 5 3 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 0.000 -0.7071 -1.000 0.000 0.000 -0.7071 0.000 11 6 2 3300 3600 0.7071 1.000 Graficación. (Varela y Herrera, 2015) Características de la función tangente. I). La función tiene un valor de periodo igual a π rad, lo cual significa que el comportamiento gráfico se repite cada π rad o 1800, tal como lo ilustra la figura. II). Los valores de la función son positivos en el primer y tercer cuadrante y negativos en el segundo y cuarto cuadrante. π III). La función corta al eje de las abscisas en los valores que son múltiplos impares de 2 . En la π 3 5 7 gráfica se observan los valores de: , π, π, π, y así sucesivamente. 2 2 2 2 IV). El dominio (x) de la función es el conjunto de los números reales, con excepción de los valores π de x cuando tienen los valores de: 2 , π 2 3 2 π, 5 2 π, 7 2 π, o todos los valores que son múltiplos impares de . Los valores que son declarados, la función se vuelve discontinua y a las rectas verticales que pasan por dichos valores, se les llaman asíntotas, aclarándoles que este concepto se estudiara con lujo de detalle en Matemáticas IV del cuarto semestre. V). El codominio o rango (y), es todo el conjunto de los números reales. 169 Círculo unitario Los puntos que graficaste en la actividad anterior tienen un comportamiento similar en la función seno y coseno, para completar su gráfica se requiere conocer la definición de círculo unitario, ya que es una herramienta muy útil en el cálculo de los valores de las funciones trigonométricas. El círculo unitario es aquel cuyo centro coincide con el origen de un sistema de coordenadas y tiene radio igual a uno. A continuación, se explicará la correspondencia que existe en el valor de las funciones trigonométricas con algunos segmentos ubicados en el círculo unitario. El triángulo que ayuda a calcular las funciones trigonométricas en cualquier cuadrante, que viste en la secuencia anterior, se puede ubicar dentro del círculo unitario, como se muestra a continuación. Al cambiar el punto P(x, y) de posición sobre el círculo unitario, varía el ángulo y la medidas de los catetos. Por ejemplo, si se desea conocer el sen 0°, el punto que genera al ángulo es P(1,0 ), en él, la abscisa 1 corresponde al cateto adyacente y la ordenada 0, corresponde al cateto opuesto; la hipotenusa siempre será 1, debido a que es el radio del círculo unitario. 170 Si se obtiene la csc 0°, ésta queda de la siguiente forma: Con el círculo unitario se puede generar la gráfica completa de cada una de las funciones trigonométricas, por ejemplo, la función seno tendrá el valor del cateto opuesto, ya que la hipotenusa es 1. En la siguiente gráfica, se observa cómo los segmentos verticales (ordenadas), corresponden al valor del seno del ángulo. En la función coseno, la longitud de los segmentos horizontales (abscisas) corresponden al valor del coseno del ángulo, por ello, en la figura se voltea el círculo unitario 90º en sentido contrario a las manecillas del reloj. 171 El comportamiento de las gráficas anteriores es periódico, es decir, conforme avanza la medida del ángulo, la función oscila entre –1 y 1. Todos estos resultados los puedes verificar con la calculadora; también puedes utilizar algún software de graficación de funciones. Identidades Trigonométricas fundamentales. La palabra identidad, en el sentido matemático, significa igualdad algebraica que siempre es verificable, cualquiera que sea el valor de sus variables. En trigonometría las identidades se refieren a las igualdades que se dan a partir de funciones trigonométricas, éstas tienen muchos usos, en particular, en la solución de problemas algebraicos más elevados y sus aplicaciones, ellos los encontrarás en asignaturas como Cálculo Diferencial e Integral, las cuales pertenecen a quinto y sexto semestre respectivamente. Para iniciar con las identidades, recordarás la reciprocidad entre algunas de las funciones, como son: Éstas se pueden demostrar utilizando las definiciones de cada una de ellas. 172 También existen otro tipo de identidades llamadas Identidades Cocientes, las cuales son: Y su demostración es la siguiente: Por último se encuentran las Identidades Pitagóricas y éstas se expresan de la siguiente forma. Ejemplo 1. A continuación se demostrará la primera Identidad, para ello se toma el triángulo rectángulo y se aplica el Teorema de Pitágoras. Se dividen ambos miembros de la ecuación entre (hipotenusa)2 y como se muestra a continuación: 173 Ejemplo 2. 2 2 Ahora se demostrará la identidad +1 = , para ello se toma como base la identidad 2 2 2 + = 1 y se divide ambos lados de la ecuación entre , como se muestra a continuación: 2 2 = , de igual forma se toma como base la primera identidad Para demostrar 1 + 2 , como sigue: pitagórica y se dividen ambos miembros de la ecuación entre Las identidades trigonométricas fundamentales se utilizan para demostrar otras identidades más complejas, como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo 3. )( ) = 1 es verdadera. Demostrar que la identidad ( Para realizar las demostraciones se utilizan las identidades trigonométricas fundamentales y procesos algebraicos básicos, como se mostrará a continuación: 174 Ejemplo 4. Demostrar que la identidad + = 1 es verdadera. 175 Ejemplo 5. Demostrar que la identidad tanx + cot x = secx csc x es verdadera. 176 Actividades de aprendizaje Actividad 1. Calcula funciones trigonométricas Calcula las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos, sigue el ejemplo para que grafiques y obtengas los resultados como fracción, además verifícalos en tu calculadora. Gráfica Funciones trigonométricas √3 2 1 120° = − 2 √3 120° = = −√3 −1 −1 120° = √3 2 120° = = −2 −1 2 120° = √3 150° = 120° = 150° = 150° = 150° = 150° = 150° = 225° = 225° = 225° = 225° = 225° = 225° = 177 315° = 315° = 315° = 315° = 315° = 315° = 330° = 330° = 330° = 330° = 330° = 330° = Completa la siguiente tabla, y desarrolla lo que se te pide posteriormente. 178 179 Actividad 2. Analiza las coordenadas Analiza las coordenadas de los puntos que generan a cada uno de los ángulos, para que calcules las funciones trigonométricas faltantes y completes el siguiente cuadro. 180 Actividad 3. Validando identidades Demostrar que son válidas las siguientes identidades trigonométricas 181 Actividad 4. Elabora la gráfica. De manera individual elabora la gráfica de la función cosecante (inversa de la función seno). Tabulación Radianes 0 Grados Números reales 00 x y 4 450 Tabulación de y = csc (x) 3 2 4 900 1350 1800 Elabora la gráfica de y = csc x Escribe al menos tres características de la función cosecante. 182 5 4 2250 3 2 2700 7 4 3150 2 3600 Actividad 5. Gráfica de secante y cotangente En equipos colaborativos, elaboren la gráficas de las funciones secante y cotangente (inversas de las funciones coseno y tangente espectivamente). 1. Función secante. Tabulación de la función secante Radianes 0 Grados Números reales 00 x y 4 450 Tabulación de y = sec (x) 3 2 4 900 1350 1800 Elaboren la gráfica de y = sec x 2. Escriban al menos tres características de la función secante. 3. Función cotangente. 183 5 4 2250 3 2 2700 7 4 3150 2 3600 Tabulación de la función cotangente x y Radianes Grados 0 00 6 300 3 600 Tabulación de y = cot (x) 7 2 5 2 6 3 6 0 0 0 0 90 120 150 180 2100 Números reales Elaboren la gráfica de y = cot x 4. Escriban al menos tres características de la función cotangente. 184 4 3 2400 3 2 2700 5 3 3000 11 6 3300 2 3600 Actividades para el desarrollo de habilidades matemáticas 1. ¿Qué gráfica corresponde a la siguiente función trigonométrica? 2. a) b) c) d) ¿Qué gráfica corresponde a la siguiente función trigonométrica? a) b) c) d) 185 Ligas de interés • • • • • https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica. http://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/prepa3/n1/m10.html http://www.ditutor.com/funciones/funcion_trigonometrica.html https://www.youtube.com/watch?v=WT5kEN-n3RI https://www.youtube.com/watch?v=t9zCHC4zsHY 186 Momento III. Bloque VI. Triángulos oblicuángulos Conocimientos: • • • Ley de senos. Ley de cosenos. Resolución de triángulos oblicuángulos. LECTURA 2. Leyes de los senos y los cosenos y solución de triángulosoblicuángulos. Leyes de los senos y los cosenos. Hasta el momento hemos podido resolver problemas donde se vean involucrados triángulos rectángulos, recordando gracias a la lectura siete del momento II, que son triángulos con un ángulo recto, pero en la realidad sabemos que no solo existen este tipo de triángulos sino que necesitamos resolver problemas donde se tengan triángulos oblicuángulos, lo cual podemos hacer por el camino largo y formar con el dos triángulos que tengan un ángulo recto compartido y despues emplear el teorema de pitagoras. Pero para evitar esto, existe otra alternativa la cual consiste en aplicar las leyes de los senos y cosenos, las cuales son dos propiedades que nos permiten ver que, en cualquier triángulo, sus lados y ángulos están relacionados entre sí. Por ejemplo, si hemos dibujado dos de ellos, el tercero está ya determinado, asi como también los dos ángulos restantes. De manera semejante, si conocemos las longitudes de cada uno de los lados del triángulo encontramos que, en realidad, sólo existe un triángulo con tales medidas; lo que significa que los ángulos interiores están determinados por las longitudes de los lados (Sánchez y Salazar, 2014). (Fuente: Sánchez y Salazar, 2014) 187 Para poder aplicar dichas leyes debemos analizarlas por separado. Ley de los senos. En cualquier triángulo las razones que se obtienen al dividir la magnitud de los lados entre el seno del ángulo opuesto correspondiente son iguales, esto aplicado al siguiente triángulo (ver figura inferior), permite obtener las siguientes expresiones basándonos en la ley de senos y en el triángulo: = = Las aplicaciones que se le pueden dar a la ley de los senos son: Resolver un triángulo cuando se conocen dos ángulos y un lado. Resolver un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. • • Para su mejor comprensión analizaremos algunos ejercicios a continuación: 1. En el ∆ ABC; b = 15 cm, B = 42°, y C = 76°. Calcula la medida de los lados a y c, y el valor del A. Primero observamos que podemos obtener fácilmente el ángulo faltante A, esto al aplicar el teorema de que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, deben sumar 180°. Por lo tanto A + B + C = 180º, despejando tenemos que: A= 180º - B - C, sustituyendo A = 180º - 42º - 76º, resolviendo el A = 62º. Ahora tenemos que encontrar el valor de las longitudes de a y c, para ello recurriremos a la fórmula: = = Si observamos, nos interesa encontrar el valor del lado a y c, lo cual será fácil porque ya tenemos a los valores de los ángulos opuestos a esos lados, por lo cual, puedes tomar la igualdad que tu desees. 188 Por lo tanto, comenzaremos encontrando el valor del lado a con la siguiente igualdad: = = ( , despejando a tenemos ) = , sustituyendo los valores tenemos que: , por lo tanto, a = 19.793 cm Ahora haremos lo mismo para encontrar el lado c, con la igualdad tenemos que: = , sustituyendo los valores tenemos restante c = 21.751 cm. = ( ) = , despejando c , por lo tanto el lado Finalmente, el triángulo con sus elementos es: 2. Ahora resolveremos un triángulo con los siguientes datos: a = 4 cm, b = 5 cm y B = 30º (ver el pictograma). Primero identificamos las incógnitas del triángulo: En el caso de este triángulo tendremos dos ángulos y un lado , por lo cual comenzaremos encontrando el ángulo A, para lo cual utilizamos: buscando quedando que es el A = A= arcsen ( (4cm ) sen 30 0 5cm )= −1 ( ( = ; despejamos lo que andamos ); sustituyendo valores tenemos que: 0.400) = 23.5780 (utilizando la calculadora científica) Seguimos obteniendo el tercer ángulo realizando una resta: C = 180º, por lo tanto el valor de C = 1800 – A - B; por lo tanto: 0 C=180 - 23.5780 - 300 ; resolviendo C = 126.422º. 189 Hasta el momento hemos encontrado los valores de los ángulos internos, como dato teniamos el valor de dos lados, por lo que para que el triángulo quede completamente resuelto = y despejando = ; sustituyendo los encontraremos el valor del lado c, aplicando valores c = (4cm ) sen 126.422 0 sen 23.578 0 = 8.05 cm. Finalmente el triángulo con sus elementos es: 3. Desde dos torres que estan separadas 1250 m, se observa un objeto volador no identificado (OVNI) y suspendido en el aire. Los ángulos de elevación del objeto, situado en el mismo plano son de 380 y 430, respectivamente. Considerando que ambas torres estan al mismo nivel horizontal. ¿Cuál será la altura a la que se encuentra el objeto a partir de la linea horizontal que une a las dos torres? Estrategia de solución: I). Se dibuja un pictograma (croquis) de la situación. II). Se aplica la ley de senos. El ángulo C, se obtiene con la aplicación del teorema sobre la suma de ángulos interires de un triángulo: A + B + C = 180º, por lo tanto el valor de C = 1800 – A - B; por lo tanto C=1800 380 - 430 ; resolviendo C = 99º. a sen 38 0 = 1250 m sen 990 a= 1250 × sen 38 0 sen 990 = 779. 17 m 190 a = 779. 17 m III). Con la longitud de a = 779.17 se forma el triángulo rectángulo siguiente: Aplicando lo aprendido, tenemos que: sen 430 = h/779.17 m; por lo tanto h = sen 430 × 779.17 m = 531. 393 m. La solución a la situación planteada corresponde al valor de la altura referida al plano horizontal de comparación, luego entonces la solución es: H = 531.393 + 10.000 = 541.393 m Ley de los cosenos. La ley de los cosenos es una propiedad que relaciona los lados de un triángulo con uno de sus ángulos, obteniendo tres ecuaciones donde se indica que el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos dos lados, multiplicado por el coseno del ángulo que forman entre sí (Sánchez y Salazar, 2014). Retomado el triángulo de la figura uno podemos obtener las siguientes ecuaciones: (Fuente: Varela y Herrera, 2015). 191 Para una mejor comprensión de esta lectura, daremos solución a dos situaciones de triángulos oblicuángulos: 1. Se tiene el siguiente triángulo ABC que: a = 13 cm, c = 19 cm, B = 55°, Por inspección se deduce que el lado que deseamos encontrar es el lado b, puesto que el ángulo que se conoce es el que esta opuesto al lado b y corresponde al B, por lo que emplearemos la , sustituyendo valores tenemos que: formula 2 = 2 + 2 − (2 ) 2 = 132 + 192 −(2(13)(19)) cos 550 , resolviendo nos queda b2 = 246.653, aplicando la raiz cuadrada obtenemos el valor del lado b = 15.705 cm Ahora tenemos los tres lados de nuestro triángulo, pero nos hace falta conocer los ángulos, para ello, considero un ángulo que deseo calcular que bien puede ser el ángulo A o el ángulo C. En este caso, elegimos el ángulo A, por lo que mi ecuación quedará: sustituyendo valores tenemos que: A = 42.69º. A = cos−1 ( 246.653+192 −13 2 2(15.71)(19) A = − ( + − ), )= 42.69º, por lo tanto tenemos que: Ahora mediante la suma de ángulos internos en un triángulo, aplicamos la propiedad para encontrar el ángulo restante: A + B + C = 180º, despejando C=180º - ( A + B) sustituyendo valores tenemos C=180.000 - 42.690 – 55. 000, por lo que C = 82.31º. 192 El triángulo oblicuángulo con todos sus elementos se muestra a continuación: 2. Mariana y Tanya, están acampando en Surutato (campamento base). Muy temprano, salen de excursión y caminan 8 km desde su campamento base, con un rumbo de 42° Noreste. Hacen un alto para desayunar y una hora después, cambian de dirección con un rumbo de 137° hacia la derecha de la dirección que originalmente llevaban y caminan otros 5 km (ver figura inferior). ¿A qué distancia están Mariana y Tanya de su campamento base? Estrategia de solución. I). Se hace un pictograma (croquis) de la situación. Se aplica lo aprendido en la lectura 1 del momento I. 193 II). Se dibuja el triángulo oblicuángulo generado. III). Se aplica la ley de los cosenos. r = 9.057 km r2 = (8 km)2 + (5 km)2 – 2(8 km) (5 km) cos 850 = 82.0275 La solución de la situación es: La distancia en que se encuentran Mariana y Tanya de su campamento base es de 9. 057 km. Hasta ahora hemos resuelto triángulos con las leyes seno o coseno por separado pero tú podras hacer combinaciones de las mismas o utilizar alternativas diferentes para darle solución a un mismo triángulo, la forma de proceder en la solución dependerá de ti, ya que como vez no existe un único método, solo debes recordar que en el caso de no tener construido el triángulo del problema tú decidiras que símbolo o literal colocarás para cada ángulo y lado cuidando la interpretación del enunciado del problema, por eso es muy importante que estés atento a aplicar la comprensión lectora. 194 Actividades de aprendizaje Actividad 1. Aplicación de leyes de senos y cosenos Instrucciones: a continuación, se dan una serie de ejercicios donde aplicarás leyes de senos y cosenos para dar solución a los mismos, al finalizar intercambien sus resultados con otros compañeros y argumenten sus respuestas. 1. Calcula el lado y los ángulos que faltan del siguiente triángulo oblicuángulo. 2. Resolver un triángulo con los datos siguientes: lado a = 1200 m, lado c= 700 m y ángulo B = 108º. 3. Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Saúl hay 25 metros, y entre Saúl y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo. 195 Actividad 2. Ejercicios (colectivos) En equipos colaborativos resuelvan las situaciones que se declaran. 1. Calculen el valor de los lados y el valos del ángulo que falta en el siguiente triángulo oblicuángulo. Observen con atención la figura que se les muestra, para que contesten correctamente lo que se te solicita. 2. Encuentren: a) El valor de los lados a, b y el valor del ángulo (gama). b) El valor de la altura que se alcanza con el carrito en el cruce de los lados b y a, con respecto a la perpendicular del lado horizontal c. 3. En equipos de tres seleccionen un lugar o espacio donde deseen aplicar la ley de los senos y cosenos para conocer datos tales como distancias o ángulos que se forman, tomen fotografias y a través del uso de los valores reales o escalas coloquen en las fotografías los valores conocidos y aplicando las leyes resuelvan los triángulos que se formen en ellos. Ligas de interés. • • • • • http://www.ditutor.com/trigonometria/ley_seno.html http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/lcos.html https://www.youtube.com/watch?v=EZXf9m-XFeU https://www.youtube.com/watch?v=CFMfWm_whIQ https://www.youtube.com/watch?v=2Af4yCzzAhk 196 EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Autoevaluación En el siguiente cuadro te invitamos a que registres las evidencias que fuiste desarrollando durante el momento y reflexiona sobre cómo lo lograste y lo que puedes hacer para mejorar: Aprendizajes esperados Evidencias ¿Cómo lo lograste? ¿Qué puedo hacer para mejorar? Desarrolla estrategias de manera colaborativa para obtener los valores de las funciones trigonométricas utilizando el ángulo de referencia, tablas y/o calculadora, con la finalidad de interpretar fenómenos sociales y naturales. Explica, de forma crítica, la gráfica de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, relacionándola con el comportamiento de fenómenos de su entorno. Propone, de manera colaborativa, el uso de las leyes de senos y cosenos como alternativas de solución para situaciones reales. Desarrolla estrategias con un pensamiento crítico y reflexivo para la solución de triángulos oblicuángulos encontrados en su contexto. De las evidencias mencionadas en el cuadro anterior, encierra en un círculo las que forman parte de tu portafolio. A lo largo del momento trabajaste las siguientes competencias genéricas y atributos: 197 Competencias genéricas Atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. 8. Participa y elabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. A continuación, se presenta una serie de preguntas, con la intención de que reflexiones en torno a las Competencias que desarrollaste hasta el momento: 198 1. ¿Actúas considerando alternativas de solución a conflictos o sólo por impulso? 2. ¿Consideras que un software educativo puede ser una herramienta útil para representar situaciones de la vida cotidiana? ¿Por qué? 3. ¿Qué tipo de buscadores utilizas comúnmente para navegar y obtener información en internet? 4. ¿Al armar algún artefacto o artículo que hayas comprado lees las instrucciones? Justifica tu respuesta. 5. ¿Qué aprendizajes que se abordaron en el desarrollo de este momento, consideras que pueden ser más aplicables para la solución de problemas de tu entorno? ¿Por qué? 6. En tu colonia se presente un fuerte problema de contaminación ¿Qué elementos tomarías en cuenta para solucionar este problema? 7. ¿Dialogas con tus compañeros cuando no estás de acuerdo en cómo elaborar una actividad o tarea? 8. ¿Cómo es tu comportamiento cuando trabajas en equipo? 199 Coevaluación La evaluación del trabajo entre pares, es decir, entre compañeros es formativa porque permite revisar el grado de participación, compromiso y desempeño, lo que orienta un ejercicio de mejora de los aprendizajes. La Coevaluación además fomenta la práctica de valores como el respeto, honestidad y empatía. Con al apoyo de tu profesor (a), selecciona una actividad de aprendizaje que hayas trabajado colaborativamente. En una escala de 0 a 4 otorga un puntaje a cada integrante del equipo según su desempeño: 4= Destacado, 3=Satisfactorio, 2= Regular, 1=Necesita mejorar, 0= No trabajó Actividad de aprendizaje: _____________________________________________________________ Competencia (s) que desarrollan: ______________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Criterios a evaluar Integrantes del equipo 1 2 Escribe el nombre de los integrantes del equipo: 1. 2. 3. 4. 5. 200 3 4 5 Evaluación general de la actividad Registra tu evaluación del Momento III Los docentes califican los aprendizajes adquiridos en cada momento (parcial), considerando tres aspectos: Portafolio de evidencias 40% Examen parcial 40% Actividades complementarias 20% También recuerda que para acreditar una asignatura debes cubrir el 80% de asistencia a clases, es importante que en cada parcial revises tus asistencias. Valora y registra tus resultados académicos del momento con la ayuda del docente. Aspecto de evaluación ¿En qué consiste? Portafolio de evidencias Son las evidencias que indicó tu profesor para que desarrollaras durante el momento. Deben ser mínimo 3 evidencias. Examen parcial Evalúa tus conocimientos y aprendizajes del momento. Actividades complementarias Incluye tu participación, tareas, disciplina, responsabilidad y proactividad dentro y fuera del aula. Asistencia Registro de asistencia a clase que tiene tu profesor durante el momento. ¿Qué resultado tienes? Después de registrar tus avances y resultados del momento, reflexiona sobre: ¿cómo has participado?, ¿cuál ha sido tu desempeño?, ¿Qué calificación obtienes del momento? y ¿Cómo puedes mejorar? 201 202 203 204 205 Evaluación de los aprendizajes La evaluación es un proceso que tiene como objetivo mejorar el desempeño del alumnado e identificar sus áreas de oportunidad. La evaluación debe ser un proceso continuo que permita recabar evidencias pertinentes sobre el logro de aprendizajes, con el fin de retroalimentar el proceso de enseñanza aprendizaje y mejorar sus resultados. Para que la evaluación sea un proceso transparente y participativo se involucra tanto el docente como el estudiante, aplicando: o La autoevaluación: en ésta el estudiante valora sus capacidades con base a criterios y aspectos definidos con claridad por el profesor, el cual debe motivarle a buscar que tome conciencia de sus propios logros, errores y aspectos a mejorar durante su aprendizaje. o La coevaluación: a través de la cual los estudiantes pertenecientes al grupo valoran, evalúan y retroalimentan a un integrante en particular respecto a la presentación de evidencias de aprendizaje, esto con base en criterios e indicadores previamente establecidos. o La heteroevaluación: la cual consiste en un juicio del docente sobre las características del aprendizaje del estudiantado, señalando las fortalezas y aspectos a mejorar, teniendo como base los aprendizajes logrados y evidencias específicas. Para facilitar la evaluación de Competencias genéricas y disciplinares, el docente promueve estrategias de aprendizaje donde se muestran elementos observables, ejemplo: o La participación (discurso y comunicación, compromiso, empeño e iniciativa, cooperación). o Las actividades generativas (trabajo de campo, investigaciones, proyectos, solución de casos y problemas, composición de textos, protocolos, arte y dramatizaciones). o Las actividades de análisis (comprensión e integración de conceptos como interpretación, síntesis y clasificación, toma de decisiones, juicio y evaluación, creación e invención y pensamiento crítico e indagación). En la evaluación de competencias se enfatiza el desarrollo que cada estudiante registra en su proceso educativo, para ello se pone en práctica la evaluación diagnóstica, la evaluación formativa y la evaluación sumativa. 206 Portafolio de evidencias El Portafolio de evidencias es un instrumento que integra todas aquellas actividades principales enfocadas al logro de los desempeños y aprendizajes esperados y que permiten darse cuenta de los avances en los aprendizajes de cada estudiante. Al inicio de la asignatura el docente establece el propósito y contenido del portafolio de acuerdo a los aprendizajes esperados y selecciona las evidencias por cada momento, así como los criterios e instrumentos a aplicar en la evaluación de las mismas. Un portafolio pueden integrarlo distintas evidencias, por citar algunas: Formularios con problemas resueltos, resúmenes, reportes de lecturas, ensayos, trabajos de investigación, proyectos, organizadores gráficos (mapas conceptuales, diagramas, líneas de tiempo, organigramas, diagramas de flujo, entre otras), reportes (de laboratorio, entrevistas, de observación), fichas de trabajo, audiovisuales, composiciones musicales, pinturas, poemas, textos narrativos, etc. En general, el portafolio de evidencias de la asignatura lo integran en cada momento: • Dos evidencias relacionadas con el logro de desempeños y aprendizajes esperados (competencias disciplinares). • Una evidencia de la actividad significativa relacionada con el Proyecto Integrador (competencias genéricas). El portafolio de evidencias en cada momento tiene un valor del 40% para la calificación final del estudiante en cada asignatura y se registra en cada uno de los parciales. Es necesario que el docente informe al estudiante desde el inicio del curso qué evidencias o productos se incluirán, cuáles son los criterios para presentarlas y evaluarlas, así como informar sobre la organización y retroalimentación de los trabajos realizados. El portafolio permite que tanto docente como estudiante estén al tanto del proceso de desarrollo de las actividades, trabajos y productos de la asignatura, significa también que el joven estudiante mida su nivel de compromiso y responsabilidad para la entrega y conformación de las evidencias de la asignatura y, al mismo tiempo esté monitoreando sus avances. 207 Referencias • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Allen R. (2010). Matemáticas I. México: Pearson. Baldor, J. (1985). Geometría plana y del espacio con una introducción a la trigonometría. México, D.F: Publicaciones cultural, S.A. de C.V. Basurto E. (2013). Matemáticas 1. México: Pearson. Colegio de Bachilleres del Estado de Sinaloa. (2007). Cuadernillo de Nivelación Matemáticas I. Culiacán: COBAES. Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora. (2009). Matemáticas II. Hermosillo, México: Colbach Sonora. CONAMAT. (2008). Matemáticas simplificadas. México: Pearson Prentice Hall. Cuéllar, J. (2012). Matemáticas II. México, D.F: McGraw Hill / Interamerica Editores S.A de C.V. Ibáñez P., y García, G. (2010). Matemáticas II. México, DF: Cengage Learning Editores S.A. de C.V. Olvera, B. (1990). Geometría y trigonometría plana Matemática II. México, D.F: Interamericana de servicios. Ortiz, F. (2009). Matemáticas 2. México, DF: Grupo Editorial Patria. Rascón, S. (2014). Matemáticas 2. México, D.F: ANGLO DIGITAL. Rivera, E. (2013). Matemáticas II. México D.F: Gafra editores. Rivera, N. (2014). Matemáticas II. Mexicali: CBCJ. Sánchez, S. y Salazar, P. (2014). Matemáticas 2. México, D.F: Compañía Editorial Nueva Imagen, S.A. de C.V. Shariguin, P. (1989). Problemas de Geometría. Planimetría. México, DF: Editorial Mir Moscú. Varela, F. y Herrera, V. (2015). Matemáticas II. México, DF: Pearson Educación. http://200.23.36.149/cnci/material/TIM210/TIM21O_materia_b.pdf http://cálculo.cc/temas/temas_trigonometria/trian_semejante/teoria/poliedros_1.html http://sauce.pntic.mec.es/rmarti9/tales1.html http://www.buscabiografias.com/biografia/verDetalle/1231/Pitagoras http://www.fisimat.com.mx/ley-de-senos/ https://www.unirioja.es/cu/luhernan/Divul/Polipdf.pdf https://www.vitutor.com/geo/esp/v_3.html 208