CONICAS Y COORDENADAS POLARES 1.1 Secciones cónicas Las secciones cónicas, también llamadas cónicas, se obtienen cortando un cono circular recto doble con un plano. Al cambiar la posición del plano se tiene: 1. un círculo 2. una parábola 3. una elipse 4. una hipérbola. Las cónicas degeneradas (o degradadas) se obtienen si el plano corta al cono en un sólo punto o a lo largo de una o dos rectas situadas en el cono. La Ecuación General de una sección cónica es: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 El tipo de sección puede ser descubierta por el signo de la ecuación siguiente: B2 - 4AC Si B2 - 4AC es... <0 =0 >0 pues la curva es... una elipse, un círculo, un punto o ninguna curva. una parábola una hipérbola o dos líneas intersectadas Aplicaciones: Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas. 1.2 Sistemas de coordenadas polares Sistema de Coordenadas que permiten determinar la posición de un punto en el plano. Características: Si se elige en el plano un punto O (Polo) y una recta o eje polar, que tiene su origen en el punto O. La posición de un punto en el plano se representa por dos números: ρ y φ. El primero indica la distancia del punto M al Polo, y el segundo, el valor del ángulo formado por el segmento OM con el eje polar. Para calcular el ángulo φ se considera positiva la dirección contraria a las manecillas del reloj. Los números ρ y φ se denominan coordenadas polares del punto M. El radio vector ρ se considera siempre no negativo, si el ángulo polar φ en los límites de 0 ≤ φ≤ 2π, a cada punto del plano a acepción del Polo le corresponde un par de valores ρ y φ. En el polo ρ = 0 y φ puede tener cualquier valor. v La figura muestra: x = ρ cos φ , y = ρ sen φ e inversamente ρ = √ x²+y² , la relación entre x, y, φ es: tg φ = y/x. En la determinación de φ hay que tener en cuenta el cuadrante donde se encuentra el punto y tomar el valor correspondiente de φ. En el Sistema de Coordenadas Polares la ecuación ρ = F(φ) determina una línea. 1.3 Ecuaciones Polares Ecuación polar de una recta Ecuación polar de una circunferencia 1.4 Secciones conicas en coordenadas polares La ecuación en coordenadas polares de una cónica, cuando el polo coincide con uno de los focos y la directriz es perpendicular al eje polar, se obtendrá de la siguiente forma: Para despejar r quitamos denominadores y dejamos en un miembro, de la ecuación, los términos con r. e·(p-r·cost) =r ; e·p-r·e·cost=r ; e·p=r+r·e·cost ; e·p=r(1+e·cost) , finalmente obtenemos: Ecuación general de una cónica en coordenadas polares donde, p es la distancia del foco a la directriz y e es la excentricidad. La ecuación obtenida es válida para cualquier cónica, estas se clasifican según los valores de la excentricidad e Las cónicas se clasifican según el valor de su excentricidad Si e < 1 La cónica es una elipse (si e = 0 es una circunferencia). Si e = 1 La cónica es una parábola. Si e > 1 La cónica es una hipérbola.
