Unidad 5 - Flexión y cortante (Parte II) RMT

Unidad 5: Flexión y cortante
Resistencia de Materiales
Ingeniería Civil
Análisis a fuerza cortante
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Análisis a fuerza cortante
Análisis a fuerza cortante
Para analizar los efectos que produce la fuerza cortante, tomamos una
viga sometida a cargas transversales, y analizamos los esfuerzos que se
producen en un diferencial de área de la sección.
y (Eje de simetría)
y (Eje de simetría)
EN
xy.dA
EN
z
x
xz.dA
x.dA
y
x
M
V
z
z
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Análisis a fuerza cortante
Establecemos las ecuaciones de equivalencia de fuerzas y momentos:
Sistema II = Sistema I
y (Eje de simetría)
y (Eje de simetría)
EN
EN
xy.dA
Fx:
z
x
xz.dA
x.dA
y
x
Fy:
M
V
z
Sistema I
z
Sistema II
Fz:
x.dA = 0
A
xy.dA = - V
A
xz.dA = 0
A
Mx:
z.xy.dA = 0
y.xz.dA A
My:
A
z.x.dA = 0
A
Mz:
-y.x.dA = M
A
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Elaborado por: Danny Yong
Análisis a fuerza cortante
Fx:
Fy:
Fz:
x.dA = 0
A
xy.dA = - V
A
xz.dA = 0
A
Mx:
A
My:
y (eje de simetría)
z.xy.dA = 0
y.xz.dA -
xy.dA
A
z
z
xy.dA
xz.dA
xz.dA
z.x.dA = 0
A
Mz:
y
-y.x.dA = M
A
z
Eje neutro
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Análisis a fuerza cortante
Ahora consideramos un elemento cúbico ubicado en el plano vertical de
simetría (en donde xz es cero) y evaluamos los esfuerzos ejercidos sobre
sus caras
y (Eje de simetría)
x
x
Aparece esfuerzo cortante
longitudinal
xy
xy
x
z
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Análisis a fuerza cortante
Se concluye que cuando una viga es sometida a cargas transversales,
aparecerá un esfuerzo cortante longitudinal además del esfuerzo
cortante transversal.
y
x
xy
x
Aparece esfuerzo cortante
longitudinal
xy
xy
x
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Análisis a fuerza cortante
Para entender la presencia del esfuerzo cortante longitudinal en una viga,
se comparan las siguientes situaciones:
a) Tablones sin estar adheridos
b) Tablones adheridos entre sí
Para la situación a), en donde los tablones no están adheridos, se
observa que los tablones resbalan entre sí al aplicarse la carga P, y
existe un desplazamiento longitudinal relativo entre tablones. En
cambio, este desplazamiento longitudinal relativo no ocurre en la
situación b), cuando los tablones son adheridos entre sí, porque la viga
actuará como una unidad, y sus secciones permanecerán planas durante
la deformación.
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Análisis a fuerza cortante
Esto nos hace pensar, que en la situación b), existe un esfuerzo cortante
longitudinal que previene el desplazamiento longitudinal relativo entre
tablones.
xy
a) Tablones sin estar adheridos
b) Tablones adheridos entre sí
Universidad de Piura
Cortante en la cara horizontal de una viga
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Cortante en la cara horizontal de una viga
Cortante en la cara horizontal de una viga (ΔH)
Consideramos una viga prismática AB con un plano vertical de simetría
que soporta cargas transversales.
A una distancia x del extremo A, tomaremos un elemento CDD’C’ con
longitud Δx que se extiende a través del ancho de la viga, desde la
superficie superior de la viga hasta un plano horizontal localizado a una
distancia “y1” del eje neutro.
y
P1
A
P2
(eje de simetría)
w
B
z
Sección
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Cortante en la cara horizontal de una viga
w
P1
P2
Δx
w
B
A
y1
Δx
P2
C
D
C’
D’
EN
x
P1
a = Área de la sección
del elemento CDD’C’
y
y1
x
z
EN
x
Las fuerzas ejercidas sobre el elemento CDD’C’ son:
w
✓ Fuerzas cortantes verticales VC y VD.
A
M
V
x
✓ Fuerza cortante horizontal ΔH ejercida sobre la cara
inferior del elemento CDD’C’.
✓ Fuerzas normales horizontales C.dA y D.dA
producidas por los momentos flectores que actúan
en la viga.
✓ Carga w.Δx generada por la carga distribuida
externa.
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Cortante en la cara horizontal de una viga
w
a = Área de la sección
del elemento CDD’C’
Δx
y1
C
D
C’
D’
EN
y
y1
x
EN
z
x
Δx
w
D
C
C.dA
VD
VC
D’
C’
y1
D.dA
ΔH
EN
x
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Cortante en la cara horizontal de una viga
Δx
w
D
C
C.dA
a = Área de la sección del
elemento CDD’C’
VD
VC
D.dA
D’
C’
y1
y
y1
ΔH
x
EN
EN
z
Planteando el equilibrio de fuerzas en x:
Fx = 0:
ΔH +
(C - D).dA = 0
a
ΔH =
(D - C).dA
a
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Cortante en la cara horizontal de una viga
Usando  = M.y/I :
ΔH =
(D - C).dA
a
ΔH =
(MD – MC)
y.dA
I
a
Además,
Q = Primer momento respecto
al eje neutro de la porción “a”
de la sección transversal de la
viga que se localiza por
encima de la línea y1.
dM
dx
(MD – MC) =
ΔX
(MD – MC) = V.Δx
Al sustituir en la expresión de ΔH:
ΔH =
V.Δx.Q
I
ΔH =
V.Q
Δx
I
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Cortante en la cara horizontal de una viga
P1
P2
Δx
w
B
A
a = Área de la sección
del elemento CDD’C’
y1
Δx
C
D
C’
D’
ΔH
y1
x
EN
z
t
y
EN
x
Δx
ΔH =
V.Q
I
Δx
C’
ΔH
D’
t
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Cortante en la cara horizontal de una viga
Si se hubiera analizado el elemento inferior de la sección (C’D’D’’C’’), en lugar
del elemento CDD’C’, se obtendría el mismo resultado de ΔH pero en sentido
contrario.
a = Área de la sección y
P1
P2
del elemento CDD’C’
Δx
w
ΔH
B
A
y1
C’
Δx
t
D’
EN
C’’
x
y1
x
z
EN
D’’
a’ = Área de la sección del
elemento C’D’D’’C’’
Por consiguiente:
y.dA =
a
y.dA
a’
Qa = - Qa’
En conclusión, para obtener la
magnitud de ΔH se puede
tomar la porción de la sección
que se encuentra por encima o
por debajo del plano en donde
actúa ΔH.
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Cortante en la cara horizontal de una viga
Cortante horizontal por unidad de longitud
El cortante horizontal por unidad de longitud se denota con la letra q, que se
obtiene al dividir el ΔH / Δx.
El cortante horizontal por unidad de longitud se le conoce como flujo
cortante.
ΔH
q=
Δx
q=
como
ΔH =
V.Q
Δx
I
V.Q
Δx
I
ΔH
q
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Cortante en la cara horizontal de una viga
q=
V.Q
I
Donde:
q = Flujo cortante.
V = Fuerza cortante actuando en la sección.
Q = Primer momento respecto al eje neutro, de la porción de la sección localizada
por encima o por debajo del plano horizontal en donde se desea calcular el
flujo cortante.
I = Momento de inercia de la sección transversal calculada con respecto al eje
neutro.
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Cortante en la cara horizontal de una viga
¿Para qué sirve el flujo cortante?
El flujo cortante sirve para determinar el espaciamiento
longitudinal y la fuerza cortante en los elementos de
sujeción (clavos, pernos, tornillos, etc).
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Cortante en la cara horizontal de una viga
Por ejemplo si se tienen dos piezas de madera clavadas de la forma
mostrada en la figura, se puede determinar el cortante actuando en los
clavos “ΔH” conociendo la separación “s” entre clavos.
s
s
ΔH =?
V
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Cortante en la cara horizontal de una viga
Para encontrar la fuerza cortante “ΔH” en el clavo, se realiza un corte con
un plano horizontal que involucre las secciones transversales de los clavos.
s
s
A
y
Plano horizontal
de corte
EN
V
Luego se calcula el primer momento, Q, con respecto al eje neutro, de la
porción desprendida de la sección.
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Cortante en la cara horizontal de una viga
s
s
A
y
Plano horizontal
de corte
EN
V
Q = y.A
El flujo cortante q, actuando en el plano
horizontal de corte en la unión, es:
q=
V.Q
I
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Cortante en la cara horizontal de una viga
Para determinar la fuerza cortante en cada clavo, se toma el espaciamiento
longitudinal “s” entre clavos:
s
ΔH = q.s
ΔH
s
Plano horizontal
de corte
V
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Elaborado por: Danny Yong
Cortante en la cara horizontal de una viga
Por otra parte, si el plano horizontal de corte, corta a varias uniones con
el mismo valor de flujo cortante, el flujo cortante total debe ser dividido
entre el número de uniones para el cálculo de cortante horizontal ΔH.
Plano horizontal de corte
A1
Q1 = y1.A1
EN
+
y1
qunión =
V.Q1
I
EN
Plano horizontal de corte
A2
V
Q2 = y2.A2
+
y2
EN
q2 =
qunión =
V.Q2
I
q2
2
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Cortante en la cara horizontal de una viga
Ejercicio
La viga compuesta de madera que se muestra en la figura se somete a una
fuerza cortante vertical de 1200 lb. Si se sabe que la fuerza cortante
permisible en cada clavo es de 75 lb, determine el máximo espaciamiento
permisible “s” entre los clavos.
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Cortante en la cara horizontal de una viga
Desarrollo
V = 1200 lb
ΔHperm = 75 lb (en cada clavo)
Smax = ?
2 in
2 in
2 in
2 in
q=
3 in
EN
3 in
V.Q
I
ΔH = q.s
2 in
V = 1200 lb
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Cortante en la cara horizontal de una viga
2 in
2 in
2 in
2 in
3 in
EN
3 in
2 in
Cálculo de la inercia respecto al EN:
V = 1200 lb
I=
1
(2) (10)3 + 4 1 (2) (2)3 + (2x2) (4)2
12
12
I = 428 in4
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Cortante en la cara horizontal de una viga
Haciendo un corte en una unión con clavos:
2 in
2 in
2 in
2 in
Corte
2 in
2 in
3 in
3 in
EN
3 in
3 in
2 in
2 in
V = 1200 lb
2 in
Q
2 in
y
EN
V = 1200 lb
Cálculo del primer momento de la porción desprendida del corte:
Q = y.A
Q = 4 (2x2)
Q = 16 in3
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Elaborado por: Danny Yong
Cortante en la cara horizontal de una viga
Aplicando la formulación del flujo cortante:
q=
V.Q
I
(1200) (16)
q=
428
q = 44.86 lb/in
Flujo cortante en el plano
horizontal de corte.
Limitando la fuerza cortante en cada clavo con su cortante permisible:
ΔH ≤ ΔHperm
q.s ≤ ΔHperm
44.86 (s) ≤ 75
s ≤ 1.67 in
smax = 1.67 in
Rpta
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Esfuerzo cortante en vigas
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Esfuerzo cortante en vigas
Esfuerzo cortante en vigas
Del elemento C’D’D’’C’’ se puede determinar el esfuerzo cortante en viga.
P1
y
P2
Δx
w
ΔH
B
A
y
C’
Δx
x
t
D’
EN
C’’
y
x
z
EN
D’’
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Esfuerzo cortante en vigas
ΔA
ΔH
C’
Q
Calculando el esfuerzo cortante promedio
prom en la cara sombreada:
D’
P
t
D’’
V
Δx
prom =
prom =
ΔH
ΔA
donde:
ΔA = t.Δx
V.Q.Δx
I (t.Δx)
prom = V.Q
I.t
Ecuación del esfuerzo cortante
siendo:
t = Ancho de la sección en el corte
prom = VAQUITA
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Elaborado por: Danny Yong
Esfuerzo cortante en vigas
El prom calculado es en realidad el yx; y como xy es igual a yx se tendría lo
siguiente:
prom
Q
xy = yx = prom
V.Q
= I.t
yx
prom
D’
P
V
xy
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Elaborado por: Danny Yong
Esfuerzo cortante en vigas
Por otra parte, la distribución real del esfuerzo cortante no es uniforme, tal
como se aprecia en la figura.
max
prom
Q
yx
prom
max
D’
max
P
max
El máximo valor del esfuerzo
cortante max de la distribución
dependerá de la relación
ancho y peralte de la sección
transversal.
V
xy
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Esfuerzo cortante en vigas
Para una viga de sección rectangular, la relación max/prom sería:
max
y
h/2
h/2
b/h
0.25
0.50
1.00
2.00
max/prom
1.008
1.033
1.126
1.396
V
b
Para proporciones normales de vigas b/h ≤ 0.5, la
fórmula del prom sería aceptable para calcular el
esfuerzo cortante en cualquier fibra ubicada a una
distancia “y” al eje neutro.
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Esfuerzo cortante en vigas
Es preciso indicar que en la superficie libre de la sección, el yx es igual a
cero. Por consiguiente, en los bordes superior e inferior de la sección, el xy
sería también igual a cero.
yx = 0
xy = 0
V
xy = 0
yx = 0
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Esfuerzo cortante en vigas
Distribución de esfuerzos cortantes en secciones comunes de vigas
a) Viga de sección rectangular delgada
Para determinar la distribución del esfuerzo cortante en una viga de
sección rectangular delgada, se puede emplear la expresión:
h
V.Q
xy = prom = I.t
V
b
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Esfuerzo cortante en vigas
Tomamos una fibra de la sección, ubicada a una distancia “y” del eje
neutro, y calculamos su esfuerzo cortante xy.
y
Fibra
h/2 = c
Fibra
EN
y
xy
EN
h/2 = c
h/2 = c
h/2 = c
V
V
b
b
A
+
xy = prom
V.Q
= I.t
Donde:
y
y
Fibra
EN
h/2 = c
h/2 = c
t = Ancho de la viga
V
b
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Esfuerzo cortante en vigas
A
+
y
y
Fibra
EN
h/2 = c
V.Q
xy = prom = I.t
h/2 = c
V
xy =
b
xy =
V.(A.y)
1 b.h3 b
12
V. b.(c-y) . (c-y) + y
2
1 b.(2c)3
12
b
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Esfuerzo cortante en vigas
xy =
xy =
xy =
xy =
V. b.(c-y) . (c-y) + y
2
1 b.(2c)3 b
12
V. b.(c-y) . (c+y)
2
1 b.(8c3)
12
b
V. b. (c2-y2)
2
2
3
3
4
b.c3 b
V.(c2-y2)
b.c3
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Esfuerzo cortante en vigas
xy =
3
4
V.(c2-y2)
xy =
3
2
y2
V
1- 2
c
A
Pero
b.c3
A = b.(2c)
Distribución parabólica
de esfuerzo cortante
y
c
EN
y
xy
c
Sección
max
Elevación
Para y = c
xy = 0
Para y = 0
xy = max =
3
2
V
A
Universidad de Piura
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Esfuerzo cortante en vigas
y2
V
1- 2
c
A
3
2
xy =
y
c
EN
y
V
A
xy
c
Sección
3
2
max =
Elevación
max es 50% mayor al valor V/A que
se hubiera obtenido suponiendo
erróneamente
una distribución
uniforme de esfuerzo cortante en
toda la sección.
Universidad de Piura
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Esfuerzo cortante en vigas
b) Perfiles estandarizados
Para las vigas con perfiles estandarizados, también se puede emplear
la fórmula del prom para calcular los esfuerzos cortantes en la sección.
V.Q
xy = prom = I.t
y
max
xy
V
Análisis en las alas
V
Análisis en el alma
Distribución del xy
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Esfuerzo cortante en vigas
Ejercicio
200 mm
20 mm
15 mm
50 mm
Una viga de ala ancha tiene las
dimensiones mostradas en la figura.
Si está sometida a un cortante V =
100 kN, se pide:
EN
50 mm
20 mm
a) Trazar el diagrama de esfuerzo
cortante actuando en la sección.
b) Determinar la fuerza cortante
que soporta el alma
V = 100 kN
IEN = 3.032x10-5 m4
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Esfuerzo cortante en vigas
Desarrollo
IEN = 3.032x10-5 m4
Distribución 
Valma = ?
200 mm
20 mm
15 mm
EN
A
A’
50 mm
B
50 mm
20 mm
Distribución del 
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Esfuerzo cortante en vigas
V.Q
xy = prom = I.t
Cálculo del A
Fibra
QA = (0.2x0.02).(0.05+0.02/2)
A =
(100x103).(2.4x10-4)
(3.032x10-5).(0.2)
QA = 2.4x10-4 m3
A = 3.96 MPa
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Esfuerzo cortante en vigas
3.96 MPa
Cálculo del A’
Fibra
QA’ = QA = 2.4x10-4 m3
3
-4)
A’ = (100x10 ).(2.4x10
-5
(3.032x10 ).(0.015)
A’ = 52.77 MPa
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Esfuerzo cortante en vigas
3.96 MPa
52.77 MPa
Cálculo del B
QB = QA + (0.05x0.015).(0.05/2)
QB = 2.4x10-4 + (0.05x0.015).(0.05/2)
QB = 2.59x10-4 m3
Fibra
3
-4)
B = max = (100x10 ).(2.59x10
-5
(3.032x10 ).(0.015)
B = max = 56.89 MPa
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Esfuerzo cortante en vigas
3.96 MPa
52.77 MPa
56.89 MPa
52.77 MPa
3.96 MPa
Distribución del 
Rpta a)
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Esfuerzo cortante en vigas
Cálculo de la fuerza cortante en el alma
Tomamos una fibra en el ala superior, a una distancia
“y” del eje neutro, y calculamos su esfuerzo cortante.
Posteriormente, determinamos la fuerza que soporta
cada ala, para obtener la fuerza que soporta el alma.
Vala
Vala + Valma + Vala = V
Valma
Valma = 100 – 2 Vala
Vala
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Esfuerzo cortante en vigas
dy
Fibra

y
Q = (0.2).(0.07 – y)
(0.07 – y)
+y
2
Vala =
.dA
0.07
(0.07 + y)
Q = (0.2).(0.07 – y)
2
.(0.2 dy)
Vala =
0.05
0.07
Q = 0.1 (0.072 – y2)
Vala =
V. 0.1(0.072 – y2)
0.05
(0.2 dy)
I (0.2)
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Esfuerzo cortante en vigas
0.07
Vala =
V. 0.1(0.072 – y2)
(0.2 dy)
I (0.2)
0.05
0.07
Vala =
Vala =
v
I
v
I
0.1(0.072 – y2) dy
0.05
(0.1) 0.072 y -
y3
3
Siendo : V = 100 kN y
0.07
0.05
I = 3.032x10-5 m4
Vala = 8.36 kN
Valma = 100 – 2 Vala
Valma = 83.29 kN
Rpta b)
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Flujo cortante en elementos de pared delgada
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Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
Flujo cortante en elementos de pared delgada
Hasta el momento sabemos como determinar xy. Sin embargo en un
elemento de pared delgada, el esfuerzo cortante se calcula en la dirección
de la línea media de la sección.
xy
xz
xy
xy
xy
xz
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Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
Para calcular el xz consideramos un segmento de un elemento de pared
delgada con longitud Δx, y sometida a una fuerza cortante V en su sección
transversal. De este segmento se tomará el elemento ABB’A’, y se
calculará el esfuerzo cortante en su cara cortada.
y
A
A’
A
B
B’
B
t
A’
ΔH
Δx
B’
t
prom =
prom =
ΔH
ΔA
V.Q.Δx
I (t.Δx)
prom = V.Q
x
I.t
z
V
Δx
Donde:
t = Espesor de pared delgada
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Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
A
B
A’
t
B’
ΔH
En este caso, el prom corresponde al zx.
V.Q
Δx
xz =zx = prom = I.t
A
B
A’
zx
Δx
B’
xz
t
Recordar que el xy se obtiene también
con la fórmula del prom.
Fibra
En conclusión, se puede aplicar la
fórmula del prom para determinar el
esfuerzo cortante en cualquier fibra
perpendicular a la línea media de la
sección transversal del elemento de
pared delgada.
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
A
B
A’
zx
B’
t
xz
Fibra
Δx
Para calcular el flujo cortante q en la
sección transversal, se multiplica el
esfuerzo cortante  por el espesor t de
pared delgada.
A
B
A’
q
Δx
B’
t
xz = zx =
q
Fibra
xz = zx =
V.Q
I.t
q
t
q = xz.t = zx.t
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
Por otra parte, se puede obtener directamente el flujo cortante con la
fórmula:
q=
V.Q
I
Pero como “V” e “I” son constantes para una sección de análisis, se
aprecia que “q” es directamente proporcional a “Q”.
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Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
q=
q=0
q1
V.Q
I
q1
Q
q=0
2q1
Fibra
Q
Fibra
qmax
EN
2q1
q=0
q1
q1
V
q=0
Análisis
en las alas
Análisis en
el alma
Flujo cortante
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
q=
V.Q
I
q1
q=0
q1
q1
2q1
q=0
2q1
qmax
qmax
EN
2q1
q=0
q1
q1
V
Flujo cortante
q=0
2q1
q1
Distribución del
flujo cortante
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
1 = q1/t
q1
21 =2q1/t
2q1
max =qmax/t
qmax
2q1
q1
Distribución del
flujo cortante
21 =2q1/t
1 = q1/t
Distribución del
esfuerzo cortante
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
Cálculo del flujo cortante en las alas:
q=
V.Q
I
b/2
z
t
V.
Q
d/2
b -z t.d
2
2
qala =
I
Fibra
EN
t
d/2
V
qala =
V. t.d
2I
b -z
2
Variación lineal con z
b
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Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
V. t.d
qala = 2I
b -z
2
Cuando z = b/2, qala = 0
Cuando z = 0,
qala = q1 =
1 =
V.t.d.b
4I
V.d.b
4I
EN
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Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
Cálculo del flujo cortante en el alma:
q=
V.Q
I
t
Q
d/2
qalma
V
=
I
d -y
b.t. d +
t
2
2
V
=
I
b.t.d
+
2
Fibra
y
d -y
2
2
+y
EN
t
d/2
qalma
d -y
t
2
V
b
qalma
V.t
=
2I
b.d +
d +y
2
2
d2 - y2
4
Variación parabólica con y
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Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
qalma
V.t
=
2I
b.d +
Cuando y = d/2,
Cuando y = 0,
d2 - y2
4
qalma =
V.t.b.d
2I
qalma = qmax
= 2q1
V.t
=
2I
d2
b.d +
4
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
EN
EN
Distribución de
flujo cortante
EN
Distribución de
esfuerzo cortante
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Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
Cálculo de la inercia de la sección
t
0
I=2
d/2
1
12
b.t3 + (d/2)2.(b.t) +
1
12
t.d3
EN
t
d/2
V
I = 2 (d/2)2.(b.t) +
1
12
t.d3
t.d2 (6b + d)
I=
12
b
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Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
¿Si se desea calcular la fuerza que actúa en el alma?
d/2
qalma.dy
Valma = 2
0
d/2
dy
qalma
Valma = 2
0
V
Valma
V.t
=2
2I
V.t
2I
b.d +
d2 - y2 .dy
4
d2 y
y3
b.d.y +
4
3
d/2
0
V.t.d2 (6b + d)
Valma =
12 I
Valma = V
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Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
Distribución del flujo cortante en otras secciones
q1
V
O
s
q1
EN
q=0
qmax
EN
EN
q1
O = Centro cortante
q1
Diagrama de flujo
cortante
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Flujo cortante en elementos de pared delgada
q=0
V
q1
q=0
q1
q1
EN
q1
qmax
qmax
EN
q1
q=0
q1
q=0
q1
q1
Diagrama de flujo
cortante
Universidad de Piura
Centro cortante
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Centro cortante
Centro cortante
Hasta ahora, se ha visto que si se tiene un elemento con un plano
vertical de simetría, y con cargas aplicadas en ese plano, el elemento se
flexionará en dicho plano.
V
Plano de corte
M
P
Sección
Eje simetría
V.Q
 = I.t
=
-M.y
I
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Centro cortante
Si las cargas están aplicadas en un plano que no es el plano de simetría,
se produciría torsión en la sección.
Plano de corte
V
M
P
Sección
V.Q
 = I.t
=
-M.y
I
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Centro cortante
Se genera flexión.
Carga P aplicada en el plano de simetría
Universidad de Piura
Elaborado por: Danny Yong
Centro cortante
Se genera torsión,
además de la flexión.
Carga P aplicada en un plano que no es el plano de simetría
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Elaborado por: Danny Yong
Centro cortante
Para entender por qué se tuerce la sección, verificamos el equilibrio de
momento torsor en la sección
B
s
F
A
B
q
EN
c
h
V =P
q.ds
F=
ds
d
A
EN
C
c
q.ds
V=
B
C
Mc:
F
D
F.h +V.d  0
No hay equilibrio de
momento torsor.
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Elaborado por: Danny Yong
Centro cortante
¿Es posible aplicar la carga vertical P en un plano que no es el plano
de simetría, de tal manera que el elemento se flexione sin torsión?
Sí es posible, siempre que la carga P esté aplicada en el centro
cortante de la sección.
P
O
EN
V.Q
 = I.t
=
-M.y
I
O = Centro cortante
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Elaborado por: Danny Yong
Centro cortante
La ubicación del centro cortante se determina haciendo equilibrio de
momento torsor en la sección
F
P
O
EN
V =P
h
EN
c
O
e
F
O = Centro cortante
Mo = 0:
-V.e + F.h = 0
e=
F.h
V
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