Introducción a los Sistemas de Control Introducción Si se considera que “la Ingeniería es una actividad involucrada en la comprensión y el control de los materiales y las fuerzas de la naturaleza en beneficio de la humanidad”. En tal sentido el control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingeniería y la ciencia [1]. El control por realimentación tiene una larga historia que comenzó con el deseo primordial de los seres humanos de dominar los materiales y las fuerzas de la naturaleza en su provecho. Los primeros ejemplos de dispositivos de control incluyen los sistemas de regulación de relojes y los mecanismos para mantener los molinos de viento orientados en la dirección del viento. La ingeniería de control ha tenido un enorme impacto en la sociedad. Åström cita a Wilbur Wright (1901): « Sabemos como construir aeroplanos.» «Sabemos como construir motores.» « El no saber cómo equilibrar y maniobrar aún desafía a los estudiantes del problema de vuelo.» «Cuando esta única dificultad sea resuelta, la era del vuelo habrá arribado, ya que todas las demás dificultades son de menor importancia.» ¡Los hermanos Wright resolvieron cómo equilibrar y maniobrar y volaron el Kitty Hawk el 17 de diciembre de 1903! Hoy por hoy la ingeniería de control ha tenido un enorme impacto en la sociedad. De hecho, ninguno de los sistemas modernos (aviones, trenes de alta velocidad, reproductores de CD, etc.) podrían operar sin la ayuda de sofisticados sistemas de control. Además de su extrema importancia en los sistemas de vehículos espaciales, de guiado de misiles, robóticos y similares; el control automático se ha vuelto una parte importante e integral de los procesos modernos industriales y de manufactura [1]. Por ejemplo, el control automático es esencial en las operaciones industriales como el control de presión, temperatura, humedad, viscosidad y flujo en las industrias de proceso. Debido a que los avances en la teoría y la práctica del control automático aportan los medios para obtener un desempeño óptimo de los sistemas dinámicos, mejorar la productividad, aligerar la carga de muchas operaciones manuales repetitivas y rutinarias, así como de otras actividades, casi todos los ingenieros y científicos deben tener un buen conocimiento de este campo [1]. Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007 Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados. Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. [email protected] Capítulo 1 2 Introducción a los Sistemas de Control Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados. Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. [email protected] Breve Resumen Histórico La Ingeniería, al menos desde que Newton y Leibnitz crearon el cálculo infinitesimal en 1660, usa la matemática. cuando en 1760 James Watt construyó el primer motor de vapor, la Ingeniería tuvo que comenzar a lidiar seriamente con el problema de la interacción hombre-máquina y por primera vez, se vio en la creciente necesidad de desarrollar sistemas que ayudaran al hombre a controlar éstas, es decir, a ajustar su funcionamiento continuamente de acuerdo sus cambiantes necesidades, y, lo que es más difícil, hacerlo de una forma que no implicara la presencia continua de una persona. Esta lucha de la Ingeniería por el control continúa hasta el día de hoy. En tal sentido el primer trabajo significativo en control automático fue el regulador de velocidad centrífugo de James Watt para el control de la velocidad de una máquina de vapor [1]. Velocidad Medida Esferas de metal Caldera Vapor Válvula Gobernador Salida en el Eje Motor Figura 1. Regulador centrífugo de Watt En el siglo XVIII. Minorsky, Hazen y Nyquist1, entre muchos otros, aportaron trabajos importantes en las etapas iniciales del desarrollo de la teoría de control. En 1922, Nicholas Minorsky (1885-1970)2 trabajó en los controladores automáticos para dirigir embarcaciones, y mostró que la estabilidad puede determinarse a partir de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema. Minorsky formuló la ley de control que ahora se denomina PID. Su trabajo se conoció ampliamente sólo hacia finales de los años 1930. Reconoce la no-linealidad de los sistemas y aplica la linealización mediante el desarrollo en serie de Taylor a sistemas no-lineales correspondientes al movimiento angular de un buque. Estudia la estabilidad y los efectos de los retrasos de la información sobre las salidas de los sistemas En 1932, Harry Nyquist (1889-1976) diseñó un procedimiento relativamente simple para determinar la estabilidad de sistemas en lazo cerrado, con base en la respuesta en lazo abierto en estado estable cuando la entrada aplicada es una senoidal. Nyquist publica lo que se llamaría el análisis de Nyquist, el cual no requiere de ecuaciones diferenciales sino de la respuesta frecuencial (en términos de variables complejas y que puede ser obtenida experimentalmente). La respuesta frecuencial se basa en los trabajos de Laplace, Fourier, Cauchy y otros. Se obtiene una mayor comprensión de los beneficios de la realimentación negativa en los sistemas. Antes de 1932 el enfoque basado en las ecuaciones diferenciales había sido la gran herramienta del ingeniero del control; en la década que siguió a la contribución de 1 Nyquist, H., "Regeneration Theory," Bell Syst. Tech. J., 1932. Minorsky, N., "Directional Stability and Automatically Steered Bodies," J. Am. Soc. Nav. Eng., vol. 34, p. 280, 1922. 2 Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007 3 Nyquist estas técnicas fueron casi completamente reemplazadas por métodos basados en la teoría de variable compleja los cuales fueron la consecuencia natural y directa de su nuevo planteamiento. Las primeras aplicaciones se realizaron en sistemas de comunicación En 1934, Harold Locke Hazen (1901-1980) fue quien introdujo el término servomecanismos para los sistemas de control de posición, analizó el diseño de los servomecanismos con relevadores, capaces de seguir con precisión una entrada cambiante. Hazen y sus estudiantes estudian y diseñan, por medio de un analizador diferencial (máquina análoga de cálculo, MIT) que permite la simulación de un sistema dinámico, un servomecanismo de alto desempeño. Aparte de proponer un marco conceptual, Hazen utiliza herramientas matemáticas como el cálculo operacional de Heaviside. En sus trabajos estudia el diseño de servomecanismos para posicionar ejes. Realiza el primer estudio teórico de los servomecanismos, el cual se convirtió en el punto de arranque de la siguiente generación de especialistas en sistemas de control Durante la década de los cuarenta, los métodos de la respuesta en frecuencia hicieron posible que los ingenieros diseñaran sistemas de control lineales en lazo cerrado que cumplieran con los requerimientos de desempeño. En 1940 H.W. Bode usó las gráficas de respuesta frecuencial de magnitud y fase e investigó la estabilidad en lazo cerrado usando las nociones de margen de ganancia y fase. En 1945 aparecen los detalles completos del trabajo de Bode en su libro "Network Analysis and Feedback Amplifier Design". En 1942, H. Harris del MIT realizó un paso crucial en la transferencia de las técnicas utilizadas en el análisis de los amplificadores realimentados de los sistemas de telefonía a otras clases de sistemas. En su trabajo "The analisys and design of servomechanics", introduce el uso de funciones de transferencia en el análisis de un sistema realimentado general. Esto permitió que un servomecanismo mecánico o un sistema de control de un proceso químico se representasen mediante diagramas de bloques y utilizasen las técnicas del dominio frecuencial. En 1943, Albert C. Hall mostró que tratando los bloques en un diagrama de bloques como funciones de transferencia (usó la transformada de Laplace), el centro de transferencia de un sistema podía ser dibujado y el criterio de Nyquist para la estabilidad podía ser usado. A finales de los años cuarenta y principios de los cincuenta, se desarrolló por completo el método del lugar geométrico de las raíces propuesto por Evans3. Ragazzini y Zadeh definen como transformada Z la transformada introducida por Hurewicz. La teoría de la transformada es desarrollada independientemente por Tsypkin (1949 y 1950) y Barker (1952). La transformada Z permite que los resultados obtenidos en el estudio de los sistemas continuos se puedan aplicar a los sistemas discretizados en el tiempo. Esto hace que se desarrollen los estudios que pretenden trasladar al campo discreto los resultados obtenidos para el campo continuo. La transformada Z modificada (para sistemas discretos con retardo) es desarrollada por Tsypkin (1950), Barker (1951), Linvill (1951) y Jury (1956). Linvill ve el muestreo como una modulación de la amplitud y logra describir el comportamiento intermuestreo en los sistemas de tiempo discreto. Los métodos de respuesta en frecuencia y del lugar geométrico de las raíces, que forman el núcleo de la teoría de control clásica, conducen a sistemas estables que satisfacen un conjunto más o menos arbitrario de requerimientos de desempeño. En general, estos sistemas son aceptables pero no óptimos en forma significativa. Desde el final de la década de los cincuenta, el énfasis en los problemas de diseño de control se ha movido del diseño de uno de muchos sistemas que trabajen apropiadamente al diseño de un sistema óptimo de algún modo significativo. Conforme las plantas modernas con muchas entradas y salidas se vuelven más y más complejas, la descripción de un sistema de control moderno requiere de una gran cantidad de ecuaciones. La teoría del control clásica, que trata de los sistemas con una entrada y una salida, pierde su solidez ante sistemas con entradas y salidas múltiples. Desde alrededor de 1960, debido a que la disponibilidad de las computadoras digitales hizo posible el análisis en el dominio del tiempo de sistemas complejos, la teoría de control moderna, basada en el análisis en el dominio del tiempo y la síntesis a partir de variables de estados, se ha desarrollado para 3 Evans, W.R., "Graphical Analysis of Control Systems," Trans. AIEE, vol. 67, pp. 547-551,1948. Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007 Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados. Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. [email protected] Teoría de Control 4 Introducción a los Sistemas de Control Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados. Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. [email protected] enfrentar la creciente complejidad de las plantas modernas y los requerimientos limitativos respecto de la precisión, el peso y el costo en aplicaciones militares, espaciales e industriales. Durante los años comprendidos entre 1960 y 1980, se investigaron a fondo el control óptimo tanto de sistemas deterministicos como estocásticos, y el control adaptable, mediante el aprendizaje de sistemas complejos. De 1980 a la fecha, los descubrimientos en la teoría de control moderna se centraron en el control robusto, el control de H. y temas asociados. Ahora que las computadoras digitales se han vuelto más baratas y más compactas, se usan como parte integral de los sistemas de control. Las aplicaciones recientes de la teoría de control moderna incluyen sistemas ajenos a la ingeniería, como los biológicos, biomédicos, económicos y socioeconómicos. Tabla 1: Desarrollo de los Sistemas de Control. Fecha 1769 1800 1865 1868 1880 1891 1913 1927 1932 1952 1954 1960 1980 1990 Evento Histórico James Watt desarrolla la máquina de vapor, colocándole un gobernador, o sistema basado en la fuerza centrífuga, para el control automático del paso de vapor desde la caldera, y por ende, de la potencia mecánica Producción en serie de mosquetes por Eli Whitney Ingeniero norteamericano ofrece un torpedo autónomo a Presidente J.J.Pérez, capaz, según él, de hundir a la armada española que bloqueaba Valparaíso. J.J.Pérez le contesta –“y si se chinga…?” J.C.Maxwell formula el primer modelo matemático de un sistema de control automático, precisamente el ‘gobernador’ de la máquina de Watt Whitehead en Inglaterra y Schwartzkopf en Alemania perfeccionan el sistema de control de los torpedos, corrigiéndose la inestabilidad o delfineo (porpoising) La torpedera Lynch hunde al acorazado rebelde ‘Blanco Encalada’ en el puerto de Caldera, usando torpedos Whitehead Producción en serie de autos por Henry Ford H.W.Bode analiza matemáticamente los amplificadores de retroalimentación (regenerativos) H.Nyquist desarrolla un método para analizar la estabilidad de un sistema Sistema de control numérico (NC) desarrollado en el M.I.T. para el control de los ejes de las máquinas-herramienta George Devol la transferencia programada de artículos, que se considera el primer diseño robótico Primer Robot práctico, el Unimate, usado para la manutención de equipos para el vaciado de metales en moldes Estudio a fondo del diseño de sistemas robustos de control Las empresas manufactureras transnacionales ponen énfasis en la automatización Definiciones Básicas Resulta pertinente, antes de continuar el desarrollo y explicación de los sistemas de control, que se establezcan una serie definiciones básicas. Una definición única de sistema es complicada, pero a continuación se muestran algunas: − Un sistema es un ordenamiento, conjunto o colección de cosas conectadas o relacionadas de manera que constituyan un todo. − Un sistema es un ordenamiento de componentes físicos conectados o relacionados de manera que formen una unidad completa p que puedan actuar como tal. Por simplicidad, en este curso se admite una definición más amplia y que considera aun sistema a una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Un sistema no necesariamente es físico. El concepto de sistema se aplica a fenómenos abstractos y dinámicos, tales como los que se encuentran en la economía. Por tanto, la palabra sistema debe interpretarse como una implicación de sistemas físicos, biológicos, económicos y similares [1]. La palabra control generalmente se usa para designar regulación, dirección o comando. Al combinar las definiciones anteriores se tiene: Un sistema de control es un ordenamiento de componentes físicos conectados de tal manera que el mismo pueda comandar, dirigir o regularse a sí mismo o a otro sistema. En el sentido más abstracto es posible considerar cada objeto físico como un sistema de control. Cada cosa altera su medio ambiente de alguna manera, activa o positivamente [1]. Variable controlada y variable manipulada. La variable controlada es la cantidad o condición que se mide y controla. La variable manipulada es la cantidad o condición que el controlador modifica para Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007 Teoría de Control afectar el valor de la variable controlada. Por lo común, la variable controlada es la salida (el resultado) del sistema. Controlar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir o limitar una desviación del valor medido a partir de un valor deseado. En el estudio de la ingeniería de control, se hace necesario definir términos adicionales que resultan necesarios para describir los sistemas de control. Plantas. Una planta puede ser una parte de un equipo, tal vez un conjunto de las partes de una máquina que funcionan juntas, el propósito de la cual es ejecutar una operación particular. En este curso, considerando lo que la literatura típica efectúa al respecto, se llamará planta a cualquier objeto físico que se va a controlar (tal como un dispositivo mecánico, un horno de calefacción, un reactor químico o una nave espacial). Proceso. Define un proceso como una operación o un desarrollo natural progresivamente continuo, marcado por una serie de cambios graduales que se suceden uno al otro en una forma relativamente fija y que conducen a un resultado o propósito determinados; o una operación artificial o voluntaria progresiva que consiste en una serie de acciones o movimientos controlados, sistemáticamente dirigidos hacia un resultado o propósito determinados. En este curso de denominará proceso a cualquier operación que se va a controlar. Algunos ejemplos son los procesos químicos, económicos y biológicos. Perturbaciones. Una perturbación es una señal que tiende a afectar negativamente el valor de la salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna, en tanto que una perturbación externa se produce fuera del sistema y es una entrada. Control realimentado (feedback control). El control realimentado se refiere a una operación que, en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y lo continúa haciendo con base en esta diferencia. Aquí sólo se especifican con este término las perturbaciones impredecibles, dado que las perturbaciones predecibles o conocidas siempre pueden compensarse dentro del sistema. Los componentes básicos de un sistema de control: (1) Objetivos de control, (2) Componentes del sistema de control (3) Resultados o Salidas. Figura 1. Esquema Básico de un Sistema Control de Lazo Cerrado versus Control de Lazo abierto [1] Los sistemas de control se clasifican en sistemas de lazo abierto (open loop) y a lazo cerrado (closed loop). La distinción la determina la acción de control, que es la que activa al sistema para producir la salida. − Un sistema de control de lazo abierto es aquel en el cual la acción de control es independiente de la salida. − Un sistema de control de lazo cerrado es aquel en el que la acción de control es en cierto modo dependiente de la salida. Sistemas de Control Realimentados (Feedback Control Systems) Según Ogata K. es un sistema que mantiene una relación preescrita entre la salida y la entrada de referencia, comparándolas y usando la diferencia como medio de control, se denomina sistema de control realimentado. Un ejemplo sería el sistema de control de temperatura de una habitación. Midiendo la temperatura real y comparándola con la temperatura de referencia (la temperatura deseada), el termostato activa o desactiva el equipo de calefacción o de enfriamiento para asegurar que la temperatura de la habitación se conserve en un nivel, cómodo sin considerar las condiciones externas Los sistemas de control realimentados no se limitan a la ingeniería, sino que también se encuentran en diversos campos ajenos a ella. Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007 Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados. Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. [email protected] 5 6 Introducción a los Sistemas de Control Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados. Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. [email protected] Sistemas de Control en Lazo Cerrado Los sistemas de control realimentados se denominan también sistemas de control en lazo cerrado. En la práctica, los términos control realimentado y control en lazo cerrado se usan indistintamente. En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación (que puede ser la señal de salida misma o una función de la señal de salida y sus derivadas y/o integrales), a fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor conveniente. El término control en lazo cerrado siempre implica el uso de una acción de control realimentado para reducir el error del sistema. Entrada de Referencia + r Variable Controlada y Sistema de Control - Ganancia de la Realimentación Figura 2. Sistema de Control de Lazo Cerrado D(s ) GD (s ) R(s ) Y (s ) G p (s ) C (s ) H (s ) Figura 3. Esquema de Bloques y Señales Típico de un Sistema de Control de Lazo Cerrado Sistemas de Control en Lazo Abierto Los sistemas en los cuales la salida no afecta la acción de control se denominan sistemas de control en lazo abierto. En otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Un ejemplo práctico es una lavadora. El remojo, el lavado y el enjuague en la lavadora operan con una base de tiempo. La máquina no mide la señal de salida, que es la limpie la de la ropa. Entrada de Referencia r Controlador Sistema de Control Variable Controlada y Figura 4. Sistema de Control de Lazo Abierto Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007 Teoría de Control 7 GD (s ) G p (s ) + Y (s ) + Gp(s) : Modelo de la perturbación GD(s) : Como la entrada de control afecta la salida Figura 5. Esquema de Bloques y Señales Típico de un Sistema de Control de Lazo Abierto En cualquier sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de referencia. Por tanto, a cada entrada de referencia le corresponde una condición operativa fija; como resultado, la precisión del sistema depende de la calibración. Ante la presencia de perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada. En la práctica, el control en lazo abierto sólo se usa si se conoce la relación entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas ni externas. Es evidente que estos sistemas no son de control realimentado. Observe que cualquier sistema de control que opere con una base de tiempo es en lazo abierto. Por ejemplo, el control del tránsito mediante señales operadas con una base de tiempo es otro ejemplo de control en lazo abierto. Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazo abierto. Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la realimentación vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y a las variaciones internas en los parámetros del sistema. Por tanto, es posible usar componentes relativamente precisos y baratos para obtener el control adecuado de una planta determinada, en tanto que hacer eso es imposible en el caso de un sistema en lazo abierto. Desde el punto de vista de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil de desarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra parte, la estabilidad es una función principal en el sistema de control en lazo cerrado, lo cual puede conducir a corregir en exceso errores que producen oscilaciones de amplitud constante o cambiante. Debe señalarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipación las entradas y en los cuales no hay perturbaciones, es aconsejable emplear un control en lazo abierto. Los sistemas de control en lazo cerrado sólo tienen ventajas cuando se presentan perturbaciones impredecibles y/o variaciones impredecibles en los componentes del sistema. Observe que la valoración de la energía de salida determina en forma parcial el costo, el peso y el tamaño de un sistema de control. La cantidad de componentes usados en un sistema de control en lazo cerrado es mayor que la que se emplea para un sistema de control equivalente en lazo abierto. Por tanto, el sistema de control en lazo cerrado suele tener costos y potencias más grandes. Para disminuir la energía requerida de un sistema, se emplea un control en lazo abierto cuando puede aplicarse. Por lo general, una combinación adecuada de controles en lazo abierto y en lazo cerrado es menos costosa y ofrecerá un desempeño satisfactorio del sistema general. Comparación entre sistemas en Lazo Abierto y Lazo Cerrado Lazo Abierto − − − − La estabilidad del sistema no es un problema importante en este tipo de sistemas y es más fácil de lograr. Son aplicables cuando se conoce con anticipación las entradas y no existen perturbaciones. Se usan componentes relativamente precisos y baratos para obtener el control adecuado. Lazo Cerrado − − − La estabilidad es una función principal en este tipo de sistema ya que puede conducir a corregir exceso de errores que producen oscilaciones de amplitud constante y cambiante. Son aplicables cuando se presentan perturbaciones y/o impredecibles en los componentes del sistema. Emplea mayor cantidad de componentes siendo estos más precisos y por ende más costosos. Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007 Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados. Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. [email protected] D(s ) Planta Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados. Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. [email protected] 8 Introducción a los Sistemas de Control − La realimentación vuelve la respuesta insensible a las perturbaciones externas y variaciones − internas en los parámetros del sistema Una combinación adecuada entre controles de lazo abierto y cerrado es menos costosa y ofrecerá un desempeño satisfactorio del sistema general. Ejemplo de un Sistema de Control: Control de Velocidad Máquina de vapor, dispositivo mecánico que convierte la energía del vapor de agua en energía mecánica y que tiene varias aplicaciones en propulsión y generación de electricidad. El principio básico de la máquina de vapor es la transformación de la energía calorífica del vapor de agua en energía mecánica, haciendo que el vapor se expanda y se enfríe en un cilindro equipado con un pistón móvil. El vapor utilizado en la generación de energía o para calefacción suele producirse dentro de una caldera. La caldera más simple es un depósito cerrado que contiene agua y que se calienta con una llama hasta que el agua se convierte en vapor saturado. Los sistemas domésticos de calefacción cuentan con una caldera de este tipo, pero las plantas de generación de energía utilizan sistemas de diseño más complejo que cuentan con varios dispositivos auxiliares. La eficiencia de los motores de vapor es baja por lo general, lo que hace que en la mayoría de las aplicaciones de generación de energía se utilicen turbinas de vapor en lugar de máquinas de vapor. Los gobernadores de velocidad de máquina, especialmente el gobernador de esferas volantes centrifuga, ha sido usado desde finales de la centuria de 1700. James Watt (1736-1819) fue el primero en aplicar el gobernador centrifugo a una maquina de vapor alrededor de 1788. Hay evidencia que el considero una aplicación patente de su gobernador y probablemente deducido esto debido a las patentes más antiguas para dispositivos centrífugos usados para regular la velocidad de ruedas de agua y molinos de vientos en la industria. Durante el siglo XIX el interés en los gobernadores de velocidad se intensifico y un numero bastante alto de artículos académico fueron escritos sobre esto. Los problemas dinámicos asociados con la gobernación de velocidad casi seguramente esta muy bien desarrollado por los ingenieros que estudian la teoría matemática del control automático. El principio básico del regulador de velocidad de Watt para una máquina a vapor muy general puede ser mostrado en el diagrama esquemático de la Figura 5. Cilindro de Potencia Aceite a Presión Válvula piloto Cerrar Abrir Máquina Carga Combustible Válvula de Control Figura 6. Sistema de Control de Velocidad [1] La cantidad de combustible de combustible (qfuel) que se admite para la máquina se ajusta de acuerdo con la diferencia entre la velocidad de la máquina que se pretende (ωref) y la velocidad real (ωr(t)). La secuencia de acciones puede describirse del modo siguiente: el regulador de velocidad se ajusta de modo que, a la velocidad deseada, no fluya aceite a presión en ningún lado del cilindro de potencia. Si la velocidad real cae abajo del valor deseado (ωr(t) < ωref) debido a una perturbación, la disminución de la Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007 Teoría de Control fuerza centrífuga del regulador de velocidad provoca que la válvula de control se mueva hacia abajo, aportando más combustible y la velocidad del motor aumenta hasta alcanzar el valor deseado. En cambio, si la velocidad del motor aumenta sobre el valor deseado (ωr(t) > ωref), el incremento en la fuerza centrífuga del controlador provoca que la válvula de control se mueva hacia arriba. Esto disminuye la provisión de combustible y la velocidad del motor se reduce hasta alcanzar el valor deseado [1]. En éste sistema de control de velocidad, la planta (el sistema controlado) es la máquina y la variable controlada es la velocidad de la misma. La diferencia entre la velocidad deseada y la velocidad real es la señal de error. La señal de control (la cantidad de combustible) que se va a aplicar a la planta (la máquina) es la señal de actuación. La entrada externa que se aplica para afectar la variable controlada es la perturbación. Un cambio inesperado en la carga es una perturbación [1]. Consideraciones en el Control de Velocidad En la producción de electricidad, los dispositivos de control posen una importancia capital, para lograr y asegurar un suministro de electricidad de calidad. En el caso de los sistemas de generación de electricidad es típico que las grandes centrales sean del tipo a vapor o hidráulicas, donde la fuente primaria de energía es el vapor proveniente de una caldera o la columna de agua sustraída desde un embalse. En un sistema de generación ya sea hidráulico o de vapor, el sistema de gobernación esta constituido por un trasductor de velocidad, un comparador y una o mas amplificadores de fuerza. Torque de Carga Posición de Referencia Error de Posición + - Relevador de Velocidad Relevador de Posición Gobernador de Velocidad Posición Posición de Torque la Válvula Válvula de desarrollado + Servo Vapor y Motor Turbina Torque Acelerante Inercia del rotor Velocidad Gobernador de Velocidad Figura 7. Diagrama de Bloque del Sistema de Control de una Turbina de Vapor La Figura 7 muestra el diagrama de bloque del sistema de un sistema de turbina a vapor-generador. El gobernadore de velocidad en la figura es un trasductor de velocidad, la salida del cual es típicamente la posición de una varilla que es proporcional a la velocidad. Esta posición es comparada mecánicamente con una posición de referencia (pre-ajustada) que produce un error de posición que es proporcional al error de velocidad. La fuerza de controla esta posición es pequeña y debe ser amplificada en tanto fuerza como posición. Este es el propósito de dos amplificadores denotados como relevador de velocidad y servomotor. Esta misma figura también describe el sistema de control de una turbina hidráulica si la posición de la válvula es cambiada por la posición de la compuerta (en una represa) y el bloque de la válvula es considerado la compuerta y el sistema de la turbina hidráulica. El trasductor de velocidad es el corazón del sistema de gobernación, y puede ser un dispositivo mecánico, hidráulico o eléctrico. Este debe medir la velocidad en el eje y proveer una señal de salida en una forma apropiada (posición, presión o voltaje) para comparación contra su referencia, y la subsiguiente amplificación del error. El gobernador centrífugo de bolas (centrifugal flyballs governor) ha sido históricamente usado para este propósito. La Figura 8, muestra tres ejemplos de gobernadores de bolas centrifugas como han sido concebido por los ingenieros que los diseñaron. Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007 Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados. Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. [email protected] 9 10 Introducción a los Sistemas de Control Brazos Bolas Voladoras Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados. Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. [email protected] Resorte Palanca Collar deslizante Eje Giratorio Válvula de vapor (a) Resorte Bolas Voladoras Eje de la Turbina Varilla Giratoria Palanca del Gobernador (b) Posición Velocidad (c) Figura 8. Ejemplo de gobernadores centrífugos con bolas voladoras [2] Los tres poseen el mismo tres componentes esenciales: los bolas con peso giratorias (flyballs), resorte de estricción, y un enlace mecánico que cambia una eje o collar de posición cuando la velocidad cambia. Un ejemplo de un gobernador hidráulico es mostrado en la Figura 9. En ésta figura una bomba principal de aceite provee la alta presión hidráulica que fluye a través del orificio de la bomba del gobernador. El valor de fluido de aceite del gobernador es determinado por la presión reducida desde la bomba de aceite del gobernador, la presión de salida de la cual solamente es una mitad de la principal. Sin embrago, la Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007 Teoría de Control presión de la bomba del gobernador varia con el cuadrado de la velocidad. Este controla la presión agua abajo desde el orificio, el cual es usado para controlar el ajuste de regulador a través de un sistema de control hidráulico. Bomba de aceite principal Eje de la turbina Bomba de aceite del gobernador Gobernador de aceite Orificio Reservorio de Aceite Eyector de aceite Válvula Check Figura 9. Gobernador hidráulico [2] La medición de la velocidad pude ser también hecha electromecánicamente por el acople de un pequeño generador al eje cuya salida de voltaje o frecuencia es dependiente de la velocidad. Tales dispositivos no son empleados muy ampliamente en las centrales de producción de electricidad grandes. Los más nuevos diseños de gobernadores usan lógica de electrónica de alta velocidad. Velocidad del Gobernador Velocidad de la turbina Control de la varilla de regulación Figura 10. Gobernador de Esferas Voladoras [2] Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007 Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados. Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. [email protected] 11 Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados. Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. [email protected] 12 Introducción a los Sistemas de Control Pivote Figura 11. Diagrama de Fuerzas del Gobernador de Esferas Voladoras [2] Eje de la Turbina Orifico Moto Válvula Servomotor Bomba del Gobernador Succión de aceite Cambiador de velocidad Válvula piloto Válvula de vapor Figura 12. Sistema de Regulación de Velocidad de Turbina a Vapor Diseño de Sistemas de Control [1] Los sistemas de control actuales son, por lo general, no lineales4. Sin embargo, si es posible aproximarlos mediante modelos matemáticos lineales, podemos usar uno o más métodos de diseño bien desarrollados. En un sentido práctico, las especificaciones de desempeño determinadas para el sistema particular sugieren cuál método usar. Si se presentan las especificaciones de desempeño en términos de las características de respuesta transitoria y/o las medidas de desempeño en el dominio de la frecuencia, no se tiene otra opción que usar un enfoque convencional basado en los métodos del lugar geométrico de las raíces y/o la respuesta en frecuencia. Si las especificaciones de desempeño se presentan como índices de desempeño en términos de las variables de estado, deben usarse los enfoques de control moderno. En tanto que el diseño de un sistema de control mediante los enfoques del lugar geométrico de las raíces y de la respuesta en frecuencia es una tarea de la ingeniería, el diseño del sistema en el contexto de la teoría 4 Dinámica descrita por ecuaciones diferenciales no lineales. Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007 13 de control moderna (métodos en el espacio de estados) emplea formulaciones matemáticas del problema y aplica la teoría matemática para diseñar los problemas en los que el sistema puede tener entradas y salidas múltiples y ser variantes con el tiempo. Aplicando la teoría de control moderna, el diseñador puede iniciar a partir de un índice de desempeño, junto con las restricciones impuestas en el sistema, y avanzar para diseñar un sistema estable mediante un procedimiento completamente analítico. La ventaja del diseño basado en la teoría de control moderna es que permite al diseñador producir un sistema de control óptimo en relación con el índice de desempeño considerado. Los sistemas que pueden diseñarse mediante un enfoque convencional están por lo general limitados a una entrada y una salida, y son lineales e invariantes con el tiempo. El diseñador busca satisfacer todas las especificaciones de desempeño mediante la repetición estudiada de prueba y error. Después de diseñar un sistema, el diseñador verifica si satisface todas las especificaciones de desempeño. Si no las cumple, repite el proceso de diseño ajustando los parámetros o modificando la configuración del sistema hasta que se cumplan las especificaciones determinadas. Aunque el diseño se basa en un procedimiento de prueba y error, el ingenio y los conocimientos del diseñador cumplen una función importante en un diseño exitoso. Un diseñador experimentado será capaz de diseñar un sistema aceptable sin realizar muchas pruebas. Por lo general, es conveniente que el sistema diseñado exhiba la menor cantidad posible de errores, en respuesta a la señal de entrada. A este respecto, debe ser razonable el amortiguamiento del sistema. La dinámica del sistema debe ser relativamente insensible a variaciones pequeñas en sus parámetros. Las perturbaciones no deseadas deben estar bien atenuadas. Si el diseño del sistema se reduce a unos cuantos candidatos, puede hacerse una elección óptima entre ellos a partir de consideraciones como el desempeño general proyectado, el costo, el espacio y el peso. Referencias Documentales [1] Ogata, K., Ingeniería de Control Moderna, Prentice Hall, 1980. [2] Anderson, P.M. & Fuad, A.A. Power System Control and Stability. Second Edition. IEEE Press. [3] Kundur, P. Power System Stability and Control. Mc Graw Hill, 1999. Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007 Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados. Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. [email protected] Teoría de Control
