Acústica Musical Guía de Trabajos Prácticos Licenciatura/Profesorado Primer cuatrimestre 2020 Titular: Adjunta: Adjunto: Ayudantes: Dr. Gustavo Basso Dra. M. Andrea Farina Federico Jaureguiberry Emiliano Alonso Martín Castelvetri Juan Manuel Cingolani Jorge Pappadopoulos Agustín Salzano Tomás Szelagowski Augusto Viera FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 Contenidos Condiciones de cursada y aprobación - Contacto - Bibliografía Pag. 2 Cronograma de Trabajos Prácticos Pag. 3 Trabajo Práctico Nro. 1 Pag. 4 Trabajo Práctico Nro. 2 Pag. 5 Trabajo Práctico Nro. 3 Pag. 6 Trabajo Práctico Nro. 4 Pag. 7 Trabajo Práctico Nro. 5. Pag. 11 Trabajo Práctico Nro. 6 Pag. 12 Trabajo Práctico Nro. 7 Pag. 13 Trabajos Prácticos Nros. 8 y 9 Pag. 14 Trabajo Práctico Nro. 10 Pag. 16 Anexo Nro. 1. Conceptos Básicos de Física Pag. 17 Anexo Nro. 2. Fragmentos del Bolero de Ravel Pag. 26 1 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 Condiciones de cursada y aprobación de las Clases Prácticas de Acústica Musical para Licenciatura y Profesorado 80% de asistencia a clases. 100% de los Trabajos Prácticos realizados y aprobados una semana antes de la primera instancia de cada uno de los parciales. En caso de ausentarse a una clase, debe entregarse el TP realizado en la misma, respondiendo por escrito las preguntas guía indicadas en el TP correspondiente. Formas de promoción Promoción Directa: dos parciales aprobados con una calificación mínima de seis (6). Promoción Indirecta: dos parciales aprobados con una calificación mínima de cuatro (4). Obtienen BTP (Boleta de Trabajos Prácticos) y deben rendir examen final. Blog de la cátedra y contacto http://acusticamusicalfdaunlp.wordpress.com Bibliografía obligatoria (bibliografía completa en el programa de la asignatura) Basso, Gustavo. Análisis Espectral. La Transformada de Fourier en la Música. Editorial de la Universidad Nacional de La Plata, 1999. Basso, Gustavo. Percepción Auditiva. Editorial de la UnQ, 2006. Roederer, Juan G. Acústica y Psicoacústica de la Música. Ricordi Americana, 1997. 2 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 Cronograma de los prácticos correspondientes al primer cuatrimestre 1 Tema Gráficos/Funciones 2 MAS 3 Suma I 4 Suma II 5 Batidos/Suma III 6 Fourier I 7 Fourier II 8 Amplitud I 9 Amplitud II 10 Oído 11 REPASO Descripción de contenidos y actividades Gráficos analógicos – Eje de coordenadas cartesianas – Clasificación de las señales acústicas – Funciones (ejercicios con gráficos resultantes) Magnitudes, valores, unidades – Parámetros del movimiento armónico simple (MAS) y su correlato perceptual – Gráficos temporal y espectral – Longitud de onda Suma de sinusoides: de =frec, =fase – Suma de =frec y diferente fase – contrafase. Ejercicios con gráficos. Suma de sinusoides con diferentes frecuencias: los 3 primeros parciales de ondas tipo diente de sierra, cuadrada y triangular. Ejercicios con gráficos. Batidos entre frecuencias cercanas – Gráficos – Audición de resultantes – Banda crítica – El fenómeno de la fundamental ausente – Series: aritméticas, geométricas y armónicas. La serie armónica en notación musical – Análisis – Síntesis – Espectros armónicos y poliarmónicos (campanas). Generación por síntesis aditiva de ondas complejas con diferentes espectros armónicos y poliarmónicos. Aplicaciones musicales: el órgano, el Bolero de Ravel – El fenómeno del batido para la reconstrucción de la fundamental – Altura tonal y altura espectral Amplitud – Decibeles – Sonoridad – Umbral de audición – Curva de fones Curva de fones, repaso – Sones – Enmascaramiento (ejemplos) Partes y funciones – Localización de la fuente – Distancia de la fuente – Sonidos diferenciales, armónicos aurales 3 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 Clase Tema 1 Gráficos/Funciones Descripción de contenidos y actividades Gráficos analógicos – Eje de coordenadas cartesianas – Clasificación de las señales acústicas – Funciones (ejercicios con gráficos resultantes) Sugerencia para la realización de los prácticos: utilizar papel cuadriculado o milimetrado. 1. Realizar gráficos analógicos de las siguientes señales acústicas (en caso de estar especificado, utilizar los parámetros solicitados) 1.1. a. b. 1.2. 1.3. 1.4. y = altura; x = tiempo y = intensidad; x = tiempo Un sonido de una campana de placa. Gotas de lluvia cayendo sobre un techo de chapa durante 10 s. a. b. y = altura; x = tiempo y= altura; x = intensidad 2. Funciones. Realizar gráficos en coordenadas cartesianas (6 valores como mínimo) 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. y= y= y= y= y= 3x 2x + 1 x2 x2 – 3 log x 3. Complete o continúe las siguientes progresiones. Indique cuáles son aritméticas1, geométricas2 o armónicas3. Indique la razón de cada una. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 2; 4; 8; 16; 32; 64 3; 6; 9; 12; 15; 18 22,5; 45; 67,5; 90; 135 2; 6; 18; 54; 162; 486 la diferencia entre cada elemento consecutivo de la progresión es una constante. cada elemento de la serie se obtiene multiplicando al anterior por una constante, denominada razón. 3 es una serie aritmética en la que el primer elemento es igual a la diferencia/constante, por ende todos los elementos son múltiplos enteros del primero. 1 2 4 FDA | UNLP Clase Tema 2 MAS Acústica Musical | 2020 Descripción de contenidos y actividades Magnitudes, valores, unidades – Parámetros del movimiento armónico simple (MAS) y su correlato perceptual – Gráficos temporal y espectral – longitud de onda Sugerencia para la realización de los prácticos: utilizar papel cuadriculado o milimetrado. Recuerde la relación entre frecuencia y periodo: f=1/P Representar en gráficos temporales: 1. Dos ciclos de una onda de 110 Hz, de amplitud 30 mm. 2. Dos ciclos de una onda cuyo período sea 0,004545 s, de amplitud 15 mm. 3. Dos ciclos de una onda cuyo período sea 0,002272 s, de amplitud 7,5 mm. 4. Dos ciclos de una onda de 880 Hz, de amplitud 35 mm. 5. Representar las cuatro señales anteriores en un mismo gráfico espectral. 6. Representar las siguientes tres señales en el mismo gráfico temporal: 6.1. Un ciclo de una onda de 50 Hz, de amplitud 60 mm. 6.2. Dos ciclos de una onda de 100 Hz, de amplitud 30 mm. 6.3. Cuatro ciclos de una onda de 200 Hz, de amplitud 15 mm. 7. Tres ciclos de dos ondas de igual período y distintas amplitudes y fases iniciales. 8. Cinco ciclos de una onda de período 3 s que decrece en amplitud (Ainicial = 25 mm). 9. Ocho ciclos de un glissando ascendente y ocho ciclos de un glissando descendente. Preguntas guía (ver Basso [2001], Cap. I, Roederer [1997], Cap. 2.1 y 2.2): I. ¿Cuáles son los tres parámetros básicos de una sinusoide? Descríbalos y nombre las magnitudes y unidades que les corresponden. II. ¿Qué relación hay entre el periodo y la frecuencia? III. ¿Cuál es el correlato perceptual de los parámetros antes mencionados? Ejemplifique. 5 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 Clase Tema 3 Suma I Descripción de contenidos y actividades Suma de sinusoides: de =frec, =fase – Suma de =frec y diferente fase – contrafase. Ejercicios con gráficos. Sugerencia para la realización de los prácticos: utilizar papel cuadriculado o milimetrado. 1. Dados los parámetros de las siguientes sinusoides, grafique dos ciclos de cada una y la suma respectiva (escala: 12 cm = 0,01 s ) Sinusoide A Frecuencia [Hz] Amplitud [mm] Sinusoide B Fase inicial [º] Frecuencia [Hz] Amplitud [mm] Resultado Fase inicial [º] 1 100 10 0 100 10 0 2 300 20 0 300 30 0 3 400 15 0 400 15 90 4 300 10 0 300 30 90 5 200 15 0 200 15 180 6 200 20 0 200 25 180 Frecuencia Amplitud Fase [Hz] [mm] inicial [º] Preguntas guía (ver Basso [2001], Cap. I): I. ¿Qué resultado produce la suma de dos sinusoides de igual f y fase (φ)? Aclarar qué sucede con la f, A, φ y forma de onda. Ejemplificar. II. ¿Qué resultado produce la suma de dos sinusoides de igual f y distinta φ? Aclarar qué sucede con la f, A, φ y forma de onda. Ejemplificar. ¿Qué puede suceder si la diferencia de fase (Δφ) es igual a 180º? 6 FDA | UNLP Clase Tema 4 Suma II Acústica Musical | 2020 Descripción de contenidos y actividades Suma de sinusoides con diferentes frecuencias: los 3 primeros parciales de ondas tipo diente de sierra, cuadrada y triangular. Ejercicios con gráficos. Realice la suma de las sinusoides y los gráficos espectrales de cada una. ¿Qué frecuencia tiene la señal resultante? Preguntas guía (ver Basso [2001], Cap. III): I. Describa (incluyendo datos cuantitativos) y compare el espectro de las señales diente de sierra, cuadrada y triangular. Realice un gráfico espectral (de los primeros 7 armónicos) para cada una de ellas, utilizando la misma f fundamental. 7 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 8 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 9 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 10 FDA | UNLP Clase 5 Tema Batidos/Suma III Acústica Musical | 2020 Descripción de contenidos y actividades Batidos entre frecuencias cercanas – Gráficos – Audición de resultantes – Banda crítica – El fenómeno de la fundamental ausente – Series: aritméticas, geométricas y armónicas Resolver: 1. Una cierta cuerda de piano y un diapason La 440 Hz producen 3 batidos por segundo cuando se los excita simultáneamente. ¿Cuáles serán los valores posibles para la frecuencia de vibración de la cuerda? 2. Determinar las frecuencias de batidos que resultan de producir con tres flautas las frecuencias: 440, 443 y 438 Hz. ¿Cuál es el valor de la frecuencia resultante? ¿Qué flauta está desafinada? 3. Dos tubos de órgano suenan a 523 y 520,6 Hz ¿cuál será la frecuencia de batido cuando se los haga sonar juntos? ¿Cuál es el valor de la frecuencia resultante? 4. Una frecuencia de 820 Hz tiene una frecuencia de batido de 2 Hz; si una de las señales que lo genera es de 819 Hz, ¿cuál es la otra? 5. Un ensamble de dos flautas, dos oboes, dos clarinetes y un clarinete bajo ejecutan al unísono un La4 y se perciben batidos. ¿Cómo explica esta situación? Preguntas guía (ver Basso [2001], Cap. I; Roederer [1997], Cap. 2.4): I. ¿Qué resultado produce la suma de dos o más sinusoides de distinta f, con Δf<20Hz? II. ¿Por qué se produce el batido perceptual, qué sucede con la fase de las señales que se suman? ¿Cómo se lo percibe cuando se produce, qué varía periódicamente en la señal? III. Defina la frecuencia de batido (fb). Ejemplifique: cuáles serían las fb entre tres señales sinusoidales (asígneles f apropiadas para que se produzca batido perceptual entre las tres). IV. Defina la frecuencia resultante (fr) que se produce entre señales con Δf<20 Hz. ¿Cuál será la fr para las tres señales mencionadas en el punto III.? V. Defina la banda crítica (BC). ¿Qué sucede a nivel perceptual si la BC de dos sonidos, cuya altura podemos distinguir individualmente, se superpone en la membrana basilar? 11 FDA | UNLP Clase Tema 6 Fourier I Acústica Musical | 2020 Descripción de contenidos y actividades La serie armónica en notación musical – Análisis – Síntesis – Espectros armónicos y poliarmónicos (campanas) – Generación por síntesis aditiva de ondas complejas con diferentes espectros armónicos y poliarmónicos 1. Completar e indicar las bases de las siguientes series armónicas 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 300, 400, 600, 900, 1000... 1002, 1004, 1006... 100, 200, 300, 450... 510, 520... 440, 880, 1320, 2200... 2. Indicar cuál es el intervalo que se percibirá entre las siguientes frecuencias: 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. f1 = 1000 Hz; f2= 2000 Hz f1 = 900 Hz; f2= 1000 Hz f1 = 2 Hz; f2 = 3 Hz f1 = 880; f2 = 1320 Hz f1 = 300; f2 = 500 Hz f1 = 700 Hz; f2 = 800 Hz f1 = 250 Hz; f2 = 750 Hz f1 = 330 Hz; f2 = 440 Hz Serie armónica (hasta el armónico 16) del La1 Serie armónica (hasta el armónico 16) del Do2 Preguntas guía (ver Basso [2001], Cap. III y IV; Basso [2006], Apéndice 1): I. Defina qué es una serie armónica. Ejemplifique. II. ¿Qué es el espectro de un sonido? III. ¿Cómo está compuesto el espectro de una señal periódica compleja? ¿Cuál es el correlato perceptual del espectro? 12 FDA | UNLP Clase Tema 7 Fourier II Acústica Musical | 2020 Descripción de contenidos y actividades Aplicaciones musicales: el órgano, Bolero de Ravel – El fenómeno del batido para la reconstrucción de la fundamental – Altura tonal y altura espectral 1. Un saxo alto y una flauta producen juntos las siguientes notas: 1. 2. 3. 4. 5. saxo alto Sol4; flauta saxo alto Sol4; flauta saxo alto Sol4; flauta saxo alto Sol4; flauta saxo alto Sol4; flauta Sol4 Si4 Re5 Re6 Sol6 ¿En qué caso se percibe al bicordio más claramente fundido como una unidad? ¿En qué caso se lo percibe más claramente como dos notas separadas? 2. Una onda diente de sierra tiene una fundamental de 440 Hz (La4). Teniendo en cuenta el rango humano de audición, ¿hasta qué número de armónico se podría percibir en dicha onda, al margen de su amplitud? ¿Y en otra cuya fundamental sea de 5000 Hz? Preguntas guía (ver Basso [2001], Cap. III y IV; Basso [2006], Apéndice 1): I. Defina altura tonal y altura espectral. ¿Qué tipo de sonidos tienen altura tonal? ¿Existen sonidos que no posean altura espectral? Ejemplifique. II. ¿Por qué podemos reconocer la altura tonal de un sonido aunque en la señal no estén presentes sus primeros armónicos? ¿Con qué nombre se conoce al fenómeno, cómo y por qué se produce? III. El teorema de Fourier dice: “Toda función periódica de periodo P puede descomponerse en una suma de sinusoides armónicas, de amplitudes y fases adecuadas, cuyo primer armónico o fundamental posea periodo P” Basso, G. [2001] ¿Qué procedimiento, además del análisis/descomposición, nos permite el teorema de Fourier? 13 FDA | UNLP Clase Tema 8 Amplitud I 9 Amplitud II Acústica Musical | 2020 Descripción de contenidos y actividades Amplitud – Decibeles – Sonoridad – Umbral de audición – Curva de fones Curva de fones, repaso – Sones – Enmascaramiento (ejemplos) 1. Si se escuchan tres sonidos con frecuencias f1= 200; f2= 1000 y f3= 3000 Hz, todos a un mismo nivel de intensidad de 60 dB, ¿cuál será más sonoro y cuál menos? 2. Si se escuchan tres sonidos de las mismas frecuencias que en el ejercicio anterior, todos con un nivel de sonoridad de 60 fones ¿cuál tendrá mayor nivel de intensidad y cuál menor? 3. Utilice las curvas de igual sonoridad de Fletcher-Munson para determinar el nivel de sonoridad, en fones, de las siguientes ondas sinusoidales: 3.1. 500 Hz a 30 dB 3.2. 4000 Hz a 80 dB 3.3. 50 Hz a 70 dB 4. Para que las siguientes frecuencias tengan la misma sonoridad que una onda de 1000 Hz a 50 dB ¿qué nivel de intensidad deberán tener? 4.1. 50 Hz 4.2. 300 Hz 4.3. 10 kHz 5. Realice una copia del diagrama de Fletcher-Munson reemplazando los niveles en fones por sus equivalentes en sones. 6. Según el gráfico siguiente, ¿cuál deberá ser el mínimo nivel de intensidad de una sinusoide de 600 Hz para poder ser percibida en presencia de una sinusoide de 400 Hz a 80 dB? 14 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 Curvas de igual sonoridad (Fletcher y Munson, 1933) en un diagrama de nivel de intensidad y frecuencia. Preguntas guía (ver Basso [2001], Cap. II; Basso [2006], Cap. II; Roederer [1997], Cap. 3.1 y 3.4): I. ¿Qué miden la amplitud, la intensidad y la presión dinámica de una señal acústica? ¿Cuál es el correlato perceptual de esos tres parámetros? II. Defina el nivel de presión sonora (NPS). Explique de qué manera se relaciona con la percepción humana (leyes de Weber y Fechner). III. ¿En cuánto se incrementará el NPS si duplicamos la cantidad de fuentes acústicas (que producen señales idénticas)? Ejemplifique. IV. ¿Qué grafican y para qué sirven las curvas de igual sonoridad? V. ¿Qué es el fenómeno del enmascaramiento? ¿Cómo y por qué se produce? Ejemplifique. 15 FDA | UNLP Clase Tema 10 Oído Acústica Musical | 2020 Descripción de contenidos y actividades Partes y funciones – Localización de la fuente – Distancia de la fuente – Sonidos diferenciales, armónicos aurales Preguntas guía (ver Basso [2006], Cap. I, II.4 y III, Roederer[ 1997], Cap. 2.3 al 2.9, 3.5 a 3.6): I. Describa el oído externo y explique sus funciones. II. Describa el oído medio y explique sus funciones. III. Describa el oído interno y explique sus funciones. 16 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 4 CONCEPTOS BASICOS DE FISICA Las leyes de física expresan relaciones entre magnitudes físicas tales como longitud, tiempo, fuerza, energía y temperatura, entendiéndose como magnitud a toda propiedad de un cuerpo o sistema que puede ser medida. Medir es comparar una cantidad de una magnitud cualquiera con otra cantidad de la misma magnitud, a la cual se toma como unidad. Para medir el valor de cualquier magnitud es necesario adoptar un valor unitario de referencia, que debe ser definido en forma precisa. Por ejemplo, la unidad de la magnitud “longitud” es el metro. La operación física de base es la medición, siendo el resultado de la medición un número acompañado del nombre de la unidad que se empleó. La afirmación de que una cierta distancia es de 25 metros significa que equivale a 25 veces la longitud de la unidad metro. Es decir, una regla métrica patrón se ajusta 25 veces en dicha distancia. Es importante indicar la unidad metro junto con el número 25 al expresar una distancia debido a que existen otras unidades de longitud de uso común. Decir que una distancia es “25” carece de significado. Toda magnitud física debe expresarse con una cifra y una unidad. Veamos algunos ejemplos: Magnitud Unidad Símbolo Longitud Masa Tiempo Presión Fuerza Trabajo / Energía Potencia Metro Kilogramo Segundo Pascal Newton Joule Watt m kg s Pa N J W Se usan en general tres magnitudes físicas fundamentales e independientes: Longitud, Masa y Tiempo, mientras que las restantes son derivadas y pueden expresarse en función de éstas. Existe una unidad patrón o estándar para cada una de las magnitudes fundamentales a partir de las que se determina un sistema de unidades. El sistema utilizado universalmente en la comunidad científica es el Sistema Internacional (SI). En este 4 Elaboración de Maximiliano Salomoni y Sergio Pousa 17 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 sistema la unidad de longitud es el metro, la de tiempo patrón es el segundo y la de masa 5 es el kilogramo. La unidad de cualquier magnitud física puede expresarse en función de estas unidades SI fundamentales. 1. Unidades de base 1.1. Longitud Podemos asociar la longitud con el concepto de distancia o separación espacial entre dos puntos. Para determinar la distancia debemos seleccionar una unidad de longitud (el metro) y comprobar cuantas veces esta unidad es contenida en la distancia dada. La unidad patrón de longitud, el metro, estuvo determinado durante un tiempo por la distancia comprendida entre dos rayas grabadas sobre una barra de una aleación de platino e iridio. Esta se guarda en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Paris. Para definir la longitud de un metro se calculó la longitud de un meridiano terrestre y se tomó la 40 millonésima parte de ella. Un meridiano terrestre mide, entonces, 40 millones de metros. Posteriormente se comprobó que los meridianos terrestres no son iguales (la tierra no es exactamente esférica), ni la distancia entre los trazos de la barra era exactamente la 40 millonésima parte de un meridiano. El metro patrón se define hoy como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299.792.458 segundos (esto supone que la velocidad de la luz es exactamente de 299.792.458 m/s). 1.2. Tiempo La Tierra gira alrededor de su eje produciendo los días y las noches. El tiempo que tarda en dar una vuelta completa se denomina día solar. Un día solar es igual a 86.400 segundos. Y un segundo es el período promedio del pulso cardíaco en el ser humano. Para mayor exactitud el segundo se define en función de la frecuencia de la luz emitida por una determinada transición de un átomo de cesio, cuya frecuencia es de 9.192.631.770 ciclos por segundo. 5 Para completar las unidades SI de base hay que agregar el ampere (intensidad de corriente eléctrica), el grado kelvin (temperatura), el mol (cantidad de materia) y la candela (intensidad luminosa). 18 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 1.3. Masa Es una de las características básicas de un cuerpo: la cantidad de materia que lo forma. La unidad de masa es el kilogramo -que equivale a 1000 gramos- y se define de modo que corresponde a la masa de un cuerpo patrón concreto. Esta unidad también se conserva en la Oficina de Pesas y Medidas en Francia. El peso de un objeto en un punto determinado de la Tierra es proporcional a su masa. Así, las masas de tamaño ordinario pueden compararse a partir de su peso. No deberemos confundir no obstante entre la magnitud “masa” y “peso”, siendo este último la fuerza con que la Tierra atrae un cuerpo. La masa de un cuerpo no varia según el lugar donde se lo mida, el peso, en cambio, sí. La confusión se origina en parte al existir una unidad de peso de uso cotidiano –el kilogramo fuerza definido en el denominado sistema técnico que empleamos para comprar pan, que tiene el mismo nombre que la unidad de masa SI, el kilogramo masa del sistema MKS. A 45º de latitud y al nivel del mar un cuerpo que tiene una masa de un kilogramo pesa un kilogramo fuerza; es decir, que el número que mide el peso de un cuerpo en kilogramos es el mismo que mide su masa en kilogramos. En los demás puntos de la Tierra (o en la Luna), como el peso cambia y la masa no, los números serán distintos. No debemos olvidar que aún en este caso estamos mezclando los sistemas. En el Sistema Internacional (SI) lo correcto es decir que el cuerpo de 1 kg de masa del ejemplo pesa 9,8 Newtons. 2. Magnitudes que emplean unidades derivadas 2.1. Velocidad Estamos familiarizados con el concepto de velocidad media de un objeto, que se define como el cociente entre la distancia total recorrida y el tiempo invertido en dicho desplazamiento: velocidad = distancia / tiempo En el Sistema Internacional la velocidad se mide en metros por segundo (m/s), pues no existe una unidad propia de la velocidad. Otra unidad de uso corriente es el kilómetro por hora (km/h). Por ejemplo si un automóvil recorre 200 km en 5 horas, su velocidad media es de (200 km) / (5 h)= 40 km/h. 19 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 La velocidad es una magnitud vectorial, es decir que para determinarla no basta con indicar su valor en una cierta unidad, sino que es necesario determinar una dirección y un sentido. La aceleración media es la variación de velocidad en un determinado intervalo de tiempo, y también emplea unidades derivadas. En este caso m/s2. 2.2. Fuerza Una fuerza es cualquier acción o influencia que al actuar sobre un objeto hace que cambie su estado de movimiento. La fuerza es un vector, lo que significa que tiene módulo, dirección y sentido. La fuerza más común en nuestra experiencia diaria es la fuerza de atracción de la Tierra sobre un cuerpo. Esta fuerza se denomina peso del cuerpo. La unidad SI de fuerza es el newton (N). Una fuerza de un newton hace que una masa de un kilogramo experimente una aceleración de un metro por segundo por segundo (1m/s2). Las dos primeras leyes de Newton pueden considerarse como una definición general del concepto de fuerza. 2.3. Presión En algunas ocasiones el efecto que produce una fuerza depende de la superficie sobre la cual se la aplica. Se llama presión ejercida por una fuerza sobre una superficie, al cociente entre la fuerza y la superficie. P=F/S Al ser la unidad SI de fuerza el newton (N) y la unidad de superficie el metro cuadrado (m²), la unidad SI de presión resulta ser newton sobre metro cuadrado (N/m²) o Pascal. El Pascal (Pa) es la unidad SI de presión. Un pascal es la presión ejercida por una fuerza de 1 N sobre una superficie de 1 metro cuadrado. 1Pa = 1 N / 1 m2 Por ejemplo, una fuerza de 200 N aplicada sobre un área de 10 m ejerce una presión de: P = F /S = 200 N / 10 m² = 20 Pa 20 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 3. Trabajo, Potencia y Energía El trabajo y la energía se encuentran entre los principales conceptos de la física y como tales desempeñan un papel importante en nuestra vida diaria. En física el trabajo tiene una definición precisa que difiere de la del uso cotidiano. Se realiza trabajo sobre un cuerpo cuando se vence una resistencia al movimiento a lo largo de una distancia. Por ejemplo para subir un mueble hasta un piso elevado, hay que vencer una resistencia (el peso P del mueble) a lo largo de un trayecto (la altura d del piso). El trabajo T realizado es el producto de la fuerza P por la distancia recorrida d. Trabajo = Fuerza / Distancia T =F/d Como el trabajo se obtiene multiplicando la fuerza por la distancia, la unidad de trabajo -el joule- se obtendrá multiplicando la unidad de fuerza por la unidad de longitud: 1 joule = 1 Newton / 1 metro Con el nombre de la unidad SI de trabajo se rinde homenaje al físico inglés James Joule (1818 – 1889) cuyos trabajos experimentales esclarecieron los conceptos de trabajo y energía. La potencia desarrollada por un hombre (o una máquina) es el ritmo al que éste produce trabajo, es decir, el cociente entre el trabajo efectuado y el tiempo empleado en realizarlo. P=T/ t Como la potencia es el cociente entre el trabajo y el tiempo, Unidad de potencia = Unidad de trabajo = joule Unidad de Tiempo = watt ( W ) segundo La unidad SI de potencia se llama así en honor a James Watt, físico escocés (1736 – 1819) que realizó importantes estudios sobre el calor y la energía. Íntimamente asociado al concepto de trabajo está el concepto de energía, que es la capacidad de realizar trabajo. Cuando un sistema realiza trabajo sobre otro se transfiere energía de un sistema al otro. Por ejemplo, cuando se empuja un trineo, el trabajo realizado se convierte parcialmente en energía de movimiento del trineo, llamada energía 21 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 cinética. Otra parte se transforma en energía térmica, que surge de la fricción entre el trineo y la nieve. 3.1. Energía cinética La energía cinética está asociada al movimiento de un cuerpo y se relaciona con su masa y velocidad. En primer término, la energía cinética que posee un cuerpo es directamente proporcional a su masa. Si tenemos dos cuerpos moviéndose a la misma velocidad pero el primero tiene una masa de 2 kg y el segundo de 8 kg, el último tiene cuatro veces más energía cinética pues su masa es cuatro veces mayor. La energía cinética de un cuerpo es, además, directamente proporcional al cuadrado de la velocidad. Si tenemos dos cuerpos de la misma masa y uno de ellos se mueve a 10 km/h y el otro a 20 km/h, el último tiene cuatro veces más energía cinética porque su velocidad es el doble (22 = 4). 3.2. Energía Potencial La energía potencial es energía asociada a la posición de un cuerpo en un campo de fuerzas, es decir, energía almacenada. Tomemos por ejemplo un cuerpo sujeto a un resorte. Cuando el resorte está comprimido se dice que posee energía potencial: aunque no se manifiesta, está en “potencia”, puede llegar a manifestarse. Al soltar el resorte el cuerpo será acelerado por la fuerza del resorte en expansión y la energía potencial será convertida en energía cinética. 3.3. Energía mecánica La suma de la energía potencial más la energía cinética de un cuerpo representa su energía mecánica total. Existen muchas otras formas de energía que aún no hemos mencionado: térmica, química, electromagnética, atómica, etc. Puesto que la energía de un cuerpo es la capacidad para producir trabajo, un cuerpo tendrá tanta energía como trabajo sea capaz de producir. La energía se medirá, pues, en las mismas unidades con que se mide el trabajo (joule). 4. Notación Científica El manejo de números muy grandes o muy pequeños se simplifica mucho utilizando potencias de 10 o notación científica (recordar que 102= 100; 103= 1000, etc.). En esta 22 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 notación el número se escribe como el producto de un número comprendido entre 1 y 10 y una potencia de diez, por ejemplo: El número 12.000.000 se escribe 1,2 x 107; La distancia entre la tierra y el sol es 150.000.000.000 m aproximadamente. Se puede escribir de la forma 1,5 x 1011 m. En el primer caso, la cifra 7 se denomina exponente. Cuando los números son menores que 1 el exponente es negativo: 0,01 se escribe 1 x 10 –2. El diámetro de un virus es aproximadamente igual a 0,00000001 m, que en notación científica se escribe 1 x 10 –8 m. Al multiplicar dos números entre sí los exponentes se suman, mientras que en la división se restan. Estas reglas pueden comprobarse fácilmente en el siguiente ejemplo: 10² x 10³ = 100 x 1.000 = 100.000 10² x 10³ = 10 (2+3) = 105 5. Concepto de función En matemáticas el término función es usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más variables. Se caracteriza, en su forma más usual, por una variable y llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente x. La expresión y = f (x) se lee “y es función de x”, e indica la interdependencia entre las variables x e y. Las funciones se dan normalmente en forma explícita, como f (x) = x2 - 3x + 5, o f (x) = sen x; mediante una regla expresada en palabras, como “f (x) es el primer entero mayor que x para todos aquellos x que sean reales”; o en forma gráfica. 23 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 6. Prefijos para los múltiplos y submúltiplos de las unidades Prefijo exa peta tera giga mega kilo hecto deca Símbolo E P T G M k h da 1018 1015 1012 109 106 103 102 10 Prefijo Símbolo deci centi mili micro nano pico femto atto d c m μ n p f a 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 7. Logaritmos 7.1. Elevando números a potencia Antes de definir logaritmos veamos ciertas relaciones matemáticas conocidas por todos. ¿Cuál es el cuadrado de tres? Rta.: 32 = 9 Elevamos un número a la segunda potencia (su cuadrado) y ha surgido un resultado. Ahora, recordemos el nombre de los números componente de esta operación: El número elevado (3) es llamado la base. El número por el cual la base es elevada (2) es el logaritmo. El valor que da como resultado (9) es el antilogaritmo 32 = 9 base log. antilog. 7.2. Logaritmos en base 10 Cualquier número puede ser usado como base, pero en los cálculos usamos para describir muchas de las magnitudes utilizadas en acústica y audio, la base 10 es la más común. Cuando escribimos “log” casi siempre queremos significar “logaritmo en base 10 ”, o “log10 ”. ¿Cuál es el antilogaritmo de 2? Si asumimos que la base es 10, la respuesta será: antilog10 2 = 100 24 FDA | UNLP Acústica Musical | 2020 Lo que realmente estamos expresando con “antilog10 2” es que el número 10 es elevado a la potencia 2, por lo tanto la respuesta, el antilogaritmo, es 100 (102 = 100). ¿Cuál es el logaritmo de 1000? Rta.: log 1000 = 3 El log en base 10 de 1000 es 3. Esto nos dice que 1000 es 10 elevado a la potencia 3 (103 = 10.10.10= 1000). 7.3. Otros logaritmos en base 10 ¿Que hay acerca en la expresión de números que no son múltiplos de 10? Los logaritmos también se encuentran aquí. Por ej. ¿Cuál es el log de 50? log 10 50 =1,698970 Esto no dice que 10 elevado a la 1,698970 es 50. En otras palabras, 10 1,698970 = 50 En estos casos, si tenemos una calculadora científica, marcando 50 y presionando la tecla “log” obtendremos directamente el resultado. A esta altura podemos generalizar y proveer una ecuación relacionando el antilogaritmo y el logaritmo. log 10 A = L , donde A es el antilogaritmo y L es el logaritmo. Los logaritmos nos permiten relacionar números relativamente grandes con números pequeños (por ejemplo, el log de 1.000.000.000 es 9). Los logaritmos, como se verá a lo largo del desarrollo temático, describen de manera aproximada la forma en la que el oído humano percibe la sonoridad y la altura de un sonido. Como el oído evalúa niveles a lo largo de una escala logarítmica, el decibel -una unidad logarítmica- nos resulta particularmente útil. PARA RECORDAR: Solo si el cociente entre las frecuencias de dos ondas a y b (a/b) tiene como resultado un número racional6, la suma de ambas señales originará una señal periódica. La forma para determinar cuál será la periodicidad de la onda resultante es a través del Máximo Común Divisor. Un número racional se puede expresar por medio del cociente entre dos números enteros a y b. La expresión decimal de un número racional tiene una cantidad finita de dígitos o una extensión decimal periódica (por ejemplo 2/3 = 0,666666666... o 0,6 periódico). Los números irracionales no se pueden expresar por medio del cociente entre dos números enteros, sus extensiones decimales son infinitas, por ejemplo o la raíz cuadrada de tres. 6 25 Bolero Partitura en Do (1er fragmento) Fl. pp 3 Cor. p sord. 1 Solo Tp. 5 Maurice Ravel 1 Solo (Tempo di Bolero moderato assai. q=76 ) mp Tamb. pizz. (pp) Vl. 1 3 Div. (pizz.) Vla. (p) (pizz.) Vc. (p) (pizz.) Cb. (p) 5 p pizz. p Vl. 1 Vla. Vc. Cb. Tamb. Cor. Tp. Fl. 2 9 Fl. Tp. Cor. Tamb. Vl. 1 Vc. Cb. 13 Fl. Vla. Cor. Tp. Tamb. Vl. 1 Vc. Cb. Vla. 6 Fl. Cor. 16 Tp. Vl. 1 Vla. Vc. Cb. Tamb. 3 Partitura en Do Flauta 1 Bolero (2do fragmento) 8 3 mp Piccolo 1 Piccolo 2 Clarinete bajo pp mf Fagotes Cornos 1 2 Tamb. Celesta Arpa mf pp mf mp mf p Violines 2 3 3 Violas mf mf (pizz.) (pizz.) (pizz.) mf mf 8 mf Violonchelos (Tempo di Bolero moderato assai. q=76 ) (pizz.) Div. Contrabajos Maurice Ravel (Tempo di Bolero moderato assai. q=76 ) (pizz.) mf 2 Fl. 4 Cl. b. Fgs. Picc. 1 Picc. 2 Cor. 1 2 Tamb. Cel. Arp. Vl. 2 Cb. Vc. Vla. 3 7 Fl. Cl. b. Fgs. Picc. 1 Picc. 2 Cor. 1 2 Tamb. Cel. Arp. Vl. 2 Vc. Vla. Cb. 4 Fl. 11 Picc. 1 Fgs. Tamb. Cel. Arp. Vl. 2 Cb. Vc. Vla. Cl. b. 2 Cor. 1 Picc. 2 5 14 Fl. Picc. 1 Cl. b. Fgs. Picc. 2 Cor. 1 2 Tamb. Cel. Arp. Vl. 2 Vla. Vc. Cb. 6 Fl. 17 Picc. 1 Picc. 2 Cl. b. Fgs. Cor. 1 2 Tamb. Cel. Arp. Vl. 2 Vla. Vc. Cb. 19 Fl. Picc. 1 Picc. 2 Cl. b. Fgs. 1 Tps. 2 3 Cor. 1 2 Tamb. Cel. Arp. Vl. 1 Vla. Vc. Cb. mf (sord.) 9 (pizz.) (sord.) mf mf mf (pizz.) (pizz.) mf 4 Vl. 2 7 9 mf 8 Ob. 21 Ob. d'A. mf mf C. i. mf Cl. 1 2 Cl. b. Fgs. 2 1 Tps. 2 3 Tamb. mf mf Arp. Vl. 1 Vl. 2 Vla. Vc. Cb. 25 Ob. Ob. d'A. C. i. Cl. 1 Cl. b. 2 1 Tps. 2 3 Tamb. 2 Fgs. Arp. Vl. 1 Vl. 2 Vla. Vc. Cb. 9 10 Ob. 29 Ob. d'A. C. i. Cl. 1 2 2 Tamb. Arp. Vl. 1 Vla. Vc. Vl. 2 Cb. 1 Tps. 2 3 Cl. b. Fgs. 33 Ob. Ob. d'A. C. i. Cl. 1 Cl. b. Fgs. 2 2 1 Tps. 2 3 Tamb. Arp. Vl. 1 Vl. 2 Vla. Vc. Cb. 10 10 11
