FA C U LTA D D E I N G E N I E R Í A U.N.I.C.E.N. GEOTECNIA APLICADA EMPUJE DE LOS SUELOS 2012 Empuje de los suelos 1 EMPUJE DE LOS SUELOS 1. DEFINICIONES Denominamos "empuje de los suelos" a las presiones laterales que se desarrollan en el contacto entre el suelo y las estructuras. Cuando el suelo ejerce presión contra la estructura, como en el caso de los muros de retención construidos para dar soporte a taludes verticales en cortes del terreno natural o en rellenos, la presión lateral se denomina "empuje activo" ya que es el suelo el actúa contra la estructura. Cuando se trata de elementos estructurales que son forzados a moverse contra el suelo, como los estribos de un puente en arco, el empuje se denomina "empuje pasivo" y es la reacción del suelo frente al esfuerzo externo. En la Figura 1 vemos algunos ejemplos del empuje de los suelos. (a) (b) E a = empuje activo E p = empuje pasivo (c) (d) Figura 1 : Empuje del suelo 2. ESTADOS DE EQUILIBRIO PLÁSTICO Consideremos una masa semi-infinita de suelo con superficie horizontal y el nivel freático a gran profundidad de manera que las presiones neutras sean nulas y tomemos un elemento a una profundidad z respecto del nivel del terreno tal como se muestra en la Figura 2. La presión efectiva vertical sobre el elemento será σ' v = γ.z donde γ es el peso específico que tiene el suelo en el estado de saturación que se encuentre. Empuje de los suelos Para la presión efectiva horizontal se asume que existe proporcionalidad con la presión vertical, siendo entonces σ' h = K 0 .σ' v = K 0 . γ.z (1) z 2 σ' v = γ. z σ' v σ' h = K 0 . γ. z σ' h K 0 = σ' h /σ' v donde la constante de proporcionalidad K0 se denomina coeficiente de empuje en reposo, el cual depende de la densidad del suelo y del Figura 2 : Presiones efectivas en reposo proceso de formación del depósito. Se han obtenido valores experimentales en laboratorio e "in situ" del valor de K 0 . En la Tabla Nº 1 se presentan algunos valores característicos. Tipo de suelo K0 Arena suelta seca 0,65 Arena suelta saturada 0,45 Arena densa seca 0,50 Arena densa saturada 0,35 Arcilla normalmente consolidada 0,5 – 0,7 Arcilla preconsolidada ( relación de preconsolidación: 2 - 4 ) 0,7 – 1,0 Arcilla fuertemente preconsolidada (rel. de prec. > 4) 1,0 – 4,0 Tabla Nº 1 : Valores característicos de K 0 También se han propuesto algunas expresiones empíricas para la determinación de K 0 , algunas de las cuales se presentan a continuación : Fórmulas empíricas para la determinación de K o K 0 = 1 − senφ ' Jaky (1944) Arenas con superficie horizontal del relleno. φ ' = ángulo de fricción interna efectivo K 0 = 0,95 − senφ ' Brooker & Ireland (1965) Arcillas normalmente consolidadas con superficie horizontal del relleno. φ ' = ángulo de fricción drenado K 0 = 0, 44 + 0,0042.IP K 0 = (1 − senφ ' ).OCR senφ ' Massarsch (1979) Arcillas normalmente consolidadas IP = índice de plasticidad Mayne & Kulhawy (1981) Arcillas preconsolidadas OCR : over consolidation ratio ( relación de preconsolidación = σ' p /σ' vo ) K 0 β = K 0 × (1 + senβ ) Danish Code (Danish Geotechnical Institute 1978) para casos de relleno inclinado un ángulo β con la horizontal Empuje de los suelos 3 En la Figura 3 el círculo identificado con el número 1 es el círculo de Mohr correspondiente al estado tensional del elemento ubicado a la profundidad z. Éste representa las condiciones en reposo de un suelo normalmente consolidado en el cual la tensión principal mayor es la presión vertical debida al peso del suelo, σ 1 = σ' v = γ.z, y la tensión principal menor es la presión horizontal σ 3 = σ' h . τ Envolvente de falla φ 3 2 1 c σ Ka.γ.z K0.γ.z γ.z Kp.γ.z Figura 3 : Estados de equilibrio plástico en el diagrama de Mohr Para pasar del estado de reposo a un estado activo o a uno pasivo, la masa del suelo deberá experimentar, respectivamente, una expansión o una contracción en el sentido horizontal. En la Figura 4 se ha trazado un plano vertical que define la sección a-b. Si la masa del suelo se expande hacia la izquierda, la sección a-b se desplaza a la posición a'-b' como se ve en la parte a) de la figura. Mientras que la presión vertical se mantiene constante, la presión horizontal disminuye y se llega a la condición de falla en toda la masa del suelo cuando el circulo de Mohr se hace tangente a la envolvente de falla. En esta situación se dice que toda la masa del suelo se encuentra en estado de equilibrio plástico y cada punto estaría al borde de la rotura. Este estado tensional límite esta representada por el círculo número 2 de la Figura 3. En este caso límite la relación entre la presión horizontal y la presión vertical se denomina coeficiente de empuje activo, K a . Dado que fue Rankine (1857) quien estudió los estados de tensión en condiciones de equilibrio plástico en masas semiinfinitas de suelo sujetas solamente a su propio peso, en este caso se dice que el suelo está en el estado activo de Rankine. Del círculo de Mohr surge que el plano de falla forma un ángulo α = 45º + φ/2 con un plano normal a la dirección de la tensión principal mayor σ 1 , por lo tanto en la condición de falla se tendrán dos conjuntos de potenciales planos de deslizamiento inclinados 45º+φ/2 respecto de la horizontal, como se observa en la Figura 4 a). Si se produce una compresión horizontal, la sección a-b pasa a la posición a'-b' indicada en la Figura 4 b). Las presiones horizontales crecen hasta que se llega al estado tensional de falla representado por el círculo número 3 de la Figura 3, alcanzando el estado pasivo de Rankine. La relación entre la presión horizontal y la Empuje de los suelos 4 presión vertical será el coeficiente de empuje pasivo, K p . Como la tensión principal mayor será la presión horizontal, los potenciales planos de deslizamiento estarán inclinados 45º - φ/2 respecto de la horizontal como se observa en la Figura 4 b). d a' 45º+φ/2 a σ1= σ'v a). Estado activo σ3= σ'h 45º+φ/2 b b d a 45º-φ/2 a' σ3= σ'v σ1= σ'h a). Estado pasivo b 45º-φ/2 b Figura 4 : Estados de equilibrio plástico 3. TEORÍA DE RANKINE DEL EMPUJE DE LOS SUELOS 3.1 Estados locales de equilibrio plástico Los estados generales de equilibrio plástico que afecten a toda la masa del suelo pueden producirse únicamente por efecto de fenómenos geológicos. Pero el desplazamiento de un muro de contención puede generar un estado local de equilibrio plástico en la zona inmediatamente en contacto con el mismo, permaneciendo el resto de la masa del suelo en estado elástico. Si el muro es rígido, el desplazamiento puede ser una traslación o una rotación alrededor de su arista inferior, situaciones que se pueden observar en la Figura 5. En los estados de equilibrio plástico de Rankine las tensiones de corte en los planos verticales y en los horizontales son nulas por lo tanto, para que se satisfaga esta condición en la masa del suelo por detrás del muro, la cara interior del muro deberá ser perfectamente lisa. A su vez, la resistencia al corte que se desarrolla en el plano b-c impide el desplazamiento y por lo tanto la modificación del estado tensional en la masa del suelo fuera de la cuña abe. De esta manera, el desplazamiento del muro genera un estado activo o pasivo de Rankine sólo dentro de la cuña abe. Empuje de los suelos 5 d a e d 45º+φ/2 Empuje activo b c d a 45º- φ /2 e d Empuje pasivo b c Figura 5 : Estados locales de equilibrio plástico El valor final del empuje dependerá no sólo del tipo de suelo y de la altura del muro, sino también de la magnitud del desplazamiento. En el caso del empuje activo, si el muro está impedido de desplazarse, se mantendría la condición de reposo y por lo tanto las presiones horizontales serán : σ' h = K 0 . γ.z . En la medida que el muro pueda sufrir un desplazamiento, y que el mismo sea compatible con su estabilidad, el suelo pasará del estado de reposo al de equilibrio plástico. Como Ka<K 0 <K p , el desplazamiento del muro será favorable para su estabilidad pues disminuye el empuje activo y aumenta la resistencia pasiva. Si un muro de retención no sufre desplazamientos, el empuje sobre el mismo tomará un valor cercano al de reposo (condición K 0 ). Esta situación puede darse en estructuras cuyos movimientos están en cierta forma restringidos, como los muros de sótanos, estribos de puentes y estructuras en forma de U como las esclusas y diques secos. También puede ocurrir en muros estructuralmente rígidos fundados en roca pues en estos casos los desplazamientos por la base o el giro por hundimiento de la arista delantera de la misma, están prácticamente impedidos. 3.2 Desplazamientos necesarios Para alcanzar el estado activo de equilibrio plástico se requiere muy poco desplazamiento del muro, mientras que para alcanzar el estado pasivo los desplazamientos necesarios son relativamente altos, condición que puede resultar incompatible para la estabilidad o la funcionalidad de la estructura. En la Figura 6 se puede observar la gráfica resultante del análisis realizado por Clough y Duncan (1971) sobre el efecto del desplazamiento de un muro quedando claramente en evidencia el relativamente elevado desplazamiento requerido para alcanzar el estado pasivo y los bajos desplazamientos para alcanzar el estado activo. En la Tabla Nº 2 se consignan algunos valores característicos. Empuje de los suelos 6 Figura 6 : Variación de la presión horizontal del suelo con el movimiento del muro calculada por el método de los elementos finitos. (Clough y Duncan, 1971) TIPO DE SUELO Desplazamiento necesario Empuje activo Empuje pasivo No cohesivo, denso 0,001.H - 0,010.H 0,05.H - 0,10.H No cohesivo, suelto 0,001.H - 0,020.H hasta 0,20 H Cohesivos, preconsolidados y firmes 0,001.H - 0,010.H ∼ 0,02.H Cohesivos, blandos y medianos 0,001.H - 0,020.H ∼ 0,05.H Tabla Nº 2 : Desplazamientos necesarios para alcanzar los estados de equilibrio plástico 3.3 Relaciones generales para las presiones horizontales Consideremos un suelo cuya resistencia al corte derive simultáneamente de la cohesión y de la fricción según la definición de estos parámetros dados por la ecuación de Coulomb ( τ = σ + tgφ ). En la Figura τ 7 se muestra el circulo de Mohr en φ condición de rotura para una envolvente de falla representada por una recta. Del análisis de la figura surge que la relación de las tensiones 2α principales al momento de la rotura φ c será : σ3 σ 1 = σ 3 .N φ + 2.c. N φ donde N φ = tg 2 (45º + φ/2) (2) σ1 σ Figura 7 : Diagrama de Mohr en condición de rotura Empuje de los suelos 7 En la condición de empuje activo, las presiones verticales permanecen constantes mientras las presiones horizontales disminuyen hasta un mínimo, por lo tanto será : σ 1 = σ v = γ.z y σ3 = σh σ ha = ⇒ γ .z Nφ .− 2.c (3) Nφ En el empuje pasivo, la presión horizontal aumenta hasta llegar a un máximo, por lo tanto : σ 1 = σ h y σ 3 = σ v = γ.z ⇒ (4) σ hp = γ .z.N φ + 2.c. N φ 3.4 Empuje en suelos sin cohesión 3.4.1 Empuje activo en arena Consideremos un muro de paramento interno vertical y liso, que contiene a una masa semiinfinita de arena con superficie horizontal y nivel freático a gran profundidad (u=0). Como se trata de un suelo no cohesivo será c = 0 y por lo tanto la ecuación (3), expresada en términos de presiones efectivas, quedará : σ ' ha = Como σ' v = γ.z ⇒ γ .z (5) Nφ K a = σ' h /σ' v = 1/ N φ (6) La distribución de las presiones horizontales efectivas contra un muro liso de altura H variará linealmente como se muestra en la Figura 8 y el valor del empuje activo total contra el muro será : 1 1 E a = .γ .H 2 . Nφ 2 (7) H Ea con N φ = tg (45º + φ´/2) 2 H/3 γ. H / N φ Figura 8 : Empuje activo de Rankine en arena Si consideramos una situación en la que el nivel freático se encuentre presente dentro de la masa del suelo que genera el empuje y que, a su vez, actúa una sobrecarga uniformemente distribuida sobre la superficie, como se muestra en la Figura 9, los diagramas de presiones horizontales efectivas contra el muro son las que se muestran en esa figura. La sobrecarga incrementa las tensiones verticales en toda la masa del suelo en la cantidad q, por lo tanto las presiones horizontales en toda la altura del muro se incrementaran en la cantidad q/N φ . Por otra q H1 H H2 q/Nφ γH1/Nφ γwH2 γ'H2/Nφ Figura 9 : Empuje activo de Rankine en arena con sobrecarga y parcialmente sumergida Empuje de los suelos 8 parte, por debajo del nivel freático el suelo verá reducido su peso específico efectivo del valor γ al γ' correspondiente al suelo sumergido (γ' = γ sat - γ w ), por lo tanto a partir de la profundidad donde se ubique el nivel freático las presiones horizontales efectivas se deberán calcular en función de γ'. Si suponemos que el ángulo de fricción interna efectivo φ´ es el mismo para la arena por sobre el nivel freático que en condición sumergida, N φ será constante en toda la altura. Al empuje del suelo debemos adicionar el del agua, el cual está representado en la figura con el diagrama de peso específico γ w . 3.4.2 Empuje pasivo en arena En este caso la ecuación (4) nos dará : σ hp = γ .z.N φ H (8) Ep H/3 y el empuje pasivo total será : Ea = 1 .γ .H 2 .N φ 2 γ. H . N φ Figura 10 : Empuje pasivo de Rankine en arena (9) q Para el caso en que actúa sobrecarga y la arena está parcialmente sumergida, los diagramas de presiones efectivas horizontales en la condición pasiva están representados en la Figura 11. H1 H H2 q.Nφ γH1.Nφ γ'H2.Nφ γwH2 Figura 11 : Empuje pasivo de Rankine en arena con sobrecarga y parcialmente sumergida 3.4.3 Empujes en arena con terreno de superficie inclinada Si la superficie del terreno por detrás del muro es un plano inclinado en un ángulo β respecto de la horizontal, las expresiones para los empujes serán : β H Ea β H/3 ⎡ cos β − cos 2 β − cos 2 φ ⎤ 1 E a = .γ .H 2 .⎢cos β . ⎥ 2 ⎢⎣ cos β + cos 2 β − cos 2 φ ⎥⎦ (10) ⎡ cos β + cos 2 β − cos 2 φ ⎤ 1 E p = .γ .H 2 .⎢cos β . ⎥ 2 ⎢⎣ cos β − cos 2 β − cos 2 φ ⎥⎦ (11) Figura 12 : Empuje activo de Rankine en arena con superficie del terreno inclinada Para el caso de empuje activo sobre un muro de paramento vertical, la Figura 12 ilustra respecto de la inclinación y posición que toma la resultante del empuje. Situación similar se deduce para el caso de empuje pasivo. Empuje de los suelos 9 La condición básica del método de Rankine es considerar liso al paramento interior del muro. Pero en realidad siempre existe rozamiento entre el suelo y el muro. Si el ángulo de inclinación es menor que el ángulo de roce entre suelo y muro, β < δ, aunque inexacto, el estado es posible y, como en el caso de superficie horizontal, nos pone del lado de la seguridad. Pero si β > δ ese estado es imposible y a su vez nos pone del lado de la inseguridad. La inclinación máxima estará dada por β = φ y en este caso el empuje activo y el pasivo alcanzan el mismo valor : Ea = 1 .γ .H 2 . cos β 2 Ep = 1 .γ .H 2 . cos β 2 (12) Nótese entonces que el empuje activo crece al aumentar β, en cambio el pasivo decrece al aumentar el ángulo de inclinación. Ambas situaciones nos ponen del lado de la seguridad. 3.5 Empuje en suelos cohesivos 3.5.1 Empuje activo en un suelo cohesivo no saturado Para el caso de un muro de paramento vertical liso y superficie del terreno horizontal, con un suelo cohesivo seco o húmedo por 2c N φ encima del nivel freático, las tensiones horizontales en empuje activo están dadas por la z0 2.c γ .z ecuación (3): .− σ ha = H Nφ Nφ En el diagrama de tensiones de la Figura 13 vemos que en la parte superior, hasta una γ H /N φ - 2c N φ profundidad z 0 , las tensiones teóricas son de Figura 13 : Empuje activo de Rankine en un tracción y por lo tanto el empuje sería negativo suelo cohesivo no saturado hasta esa profundidad. Como los suelos, en general, no pueden soportar tensiones de tracción, podrán desarrollarse fisuras de tracción hasta la profundidad z 0 y por lo tanto el suelo se despegará del muro hasta esa profundidad, por lo tanto para el cálculo de la resultante del empuje activo contra el muro sólo se deberá tener en cuenta la parte del diagrama positivo de tensiones de compresión que se desarrolla a partir de la profundidad z 0 . 2c El valor de z 0 se calcula igualando a cero la ecuación (3), siendo : z 0 = . N φ (13) γ Según la teoría, si el muro tiene una altura H = 2.z 0 la resultante del empuje sería nula. Esto significaría que, teóricamente, se podría realizar un corte vertical en un suelo cohesivo sin soporte alguno hasta una profundidad crítica H c dada por : Hc = 4c γ . Nφ (14) Esto sería posible si hubiera un muro y si el suelo pudiera adherirse al mismo hasta la profundidad z0. Pero en la cara de un corte libre las tensiones horizontales son nulas y la altura que se puede dar al corte sin soporte es sensiblemente menor que el valor teórico Hc. Empuje de los suelos 10 Si actúa una sobrecarga q uniformemente distribuida sobre la superficie del terreno las tensiones horizontales se incrementan en q/Nφ . Si q ≥ 2.c. N φ , no se generarían fisuras de tracción. 3.5.2 Empuje pasivo en un suelo cohesivo no saturado 2c N φ En este caso las tensiones horizontales están dadas por la ecuación (4) σ hp = γ .z.N φ + 2.c. N φ y el diagrama H de tensiones es el representado en la Figura 14. γ H .N φ +2c N φ Figura 14 : Empuje pasivo de Rankine en un suelo cohesivo no saturado 3.5.3 Empujes en arcilla saturada En una arcilla saturada, el estado de tensiones en el momento de la rotura depende del grado de disipación del incremento de las presiones neutras que se genere antes de la falla. Si la masa de arcilla se extiende o se comprime rápidamente, la falla se produce sin disipación del incremento de las presiones neutras y por lo tanto la arcilla falla en condiciones no drenadas y el cálculo del empuje se realiza en términos de tensiones totales con parámetros no drenados. Si la deformación que experimenta la arcilla es extremadamente lenta, podrán disiparse los incrementos de las presiones neutras y la arcilla fallará en condiciones drenadas y el análisis se deberá realizar en términos de tensiones efectivas. a) Falla en condición no drenada Los parámetros de resistencia al corte de una arcilla saturada ensayada en condición no drenada, son los correspondientes a una envolvente de falla horizontal : c = cu φ = φ u = 0º Será entonces N φ = 1 , y las ecuaciones (3) y (4) para el empuje activo y pasivo respectivamente quedarán de la siguiente manera : Empuje activo σ ha = γ sat .z − 2.cu (15) Empuje pasivo σ hp = γ sat .z + 2.cu (16) Los diagramas de tensiones horizontales se muestran las figuras 15 y 16. 2c u 2c u z0 H H γ sat .H - 2.c u Figura 15 : Empuje activo de Rankine en una arcilla saturada γ sat .H+2c u Figura 16 : Empuje pasivo de Rankine en una arcilla saturada Empuje de los suelos 11 Para el caso del empuje activo valen las mismas consideraciones hechas para los suelos cohesivos en general respecto de las grietas de fisuración y la parte del diagrama teórico a tener en cuenta en el cálculo del empuje. a) Falla en condición drenada En este caso deberán considerarse los parámetros de resistencia al corte efectivos : φ = φ' c = c' siendo N φ' = tg 2 (45º + φ'/2) Las ecuaciones (3) y (4) quedarán de la siguiente forma : γ '.z 2.c' Empuje activo σ ha = Empuje pasivo σ hp = γ '.z.N φ ' + 2.c'. N φ ' Nφ ' .− Nφ ' (17) (18) 4. INFLUENCIA DE LA RUGOSIDAD DEL MURO Hemos visto que una de las hipótesis básicas del método de Rankine para un muro de paramento vertical es el considerar lisa la superficie de la cara interior del muro de manera de no contemplar esfuerzos de corte en la superficie de contacto con lo cual las presiones horizontales son tensiones principales. Pero también hemos dicho que esta condición de lisura difícilmente se cumpla. Hay un caso de bastante utilidad práctica en el que esta condición de Rankine se cumple desde el punto de vista teórico. Es el caso de los muros en voladizo ( muros en "L" o en "T" ), situación que se ilustra en la Figura 17 para un relleno de arena. Si por efecto del empuje de la arena el muro se desplaza o se deforma su paramento, la falla ocurre según dos planos que arrancan del pie de la solera del muro y que tienen una inclinación de 45º + φ/2 . La arena que se encuentra en la cuña limitada por estos dos planos estará en estado activo de Rankine y por lo tanto en el plano vertical A-B que pasa por el pie del muro no habrá tensiones de corte y el empuje en ese plano se desarrollará de igual manera que sobre una superficie lisa. Este tipo de muro resulta muy conveniente pues el equilibrio del mismo se logra con el peso del suelo comprendido entre el plano A-B y el paramento. A Ea 45º+φ/2 45º+φ/2 B Figura 17 : Estado local de equilibrio plástico en una arena contenida por un muro en voladizo Empuje de los suelos 12 Fuera del caso anterior, si el muro es rugoso se desarrollarán esfuerzos de corte sobre la cara de contacto con el suelo que influirán en la forma de las líneas o superficies de falla. Consideremos un muro rugoso de paramento vertical con un relleno de arena de superficie horizontal como se muestra en la Figura 18. Si el muro se desplaza por traslación o por giro debido al empuje del suelo, la masa de arena contenida en la cuña de falla tiende a descender y genera esfuerzos de corte contra el muro. Esta nueva componente inclina al empuje en un ángulo δ respecto de la normal al plano de contacto, siendo δ el ángulo de fricción entre el suelo y el muro. El ángulo de roce se considera positivo cuando la reacción del muro respecto del relleno es vertical y hacia arriba. En estos casos la superficie de deslizamiento tiene un tramo inferior curvo seguido luego de un tramo recto, tal como se lo ha representado en la Figura 18 (a). Dentro de la cuña adc la arena se encuentra en el estado activo de Rankine, mientras que en la cuña abd se tienen dos familias de superficies de fluencia curvas. Si una carga actuante sobre el coronamiento del muro provoca el descenso del mismo respecto del relleno, el ángulo δ se invertirá y la componente vertical de la reacción del muro sobre el relleno será hacia abajo. En este caso se invierte la curvatura de la superficie de deslizamiento y la cuña deslizante resulta mucho menor, tal como se lo ha representado en la Figura 18 (b). Valen las mismas consideraciones para el empuje pasivo pero en este caso el ángulo δ se toma positivo cuando la acción del muro contra el relleno tiene componente vertical hacia abajo, tal como se puede ver en la Figura 18 (c) y (d). Figura 18 : Esquemas de deslizamientos para muro rugoso con relleno de arena Empuje de los suelos 13 5. TEORÍA DE COULOMB DEL EMPUJE DE LOS SUELOS 5.1 Consideraciones generales La teoría de Coulomb (1776) se basa en considerar que al desplazarse el muro por acción del empuje del suelo, se produce el deslizamiento de una cuña de suelo limitada por la superficie del terreno, la cara interior del muro y una superficie plana de falla que pasa por el pie del muro, como se puede ver en la Figura 19. El método puede adaptarse a cualquier condición de borde. Se supone, como en la teoría de Rankine, que el agua de los vacíos del suelo no produce presiones de filtración y que las presiones neutras son nulas. En los casos reales, la superficie de deslizamiento de la cuña no es plana, y tampoco lo es en un análisis teórico de equilibrio límite, tal como se ha mostrado en la Figura 18. Pero esta simplificación del método de Coulomb introduce errores de poca significación, salvo en la determinación del empuje pasivo para el cual puede dar valores muy elevados. El método supone a la cuña de deslizamiento como un cuerpo rígido y no considera estados tensionales en el interior ni en el exterior de la cuña. A pesar de sus simplificaciones y errores conceptuales, los resultados obtenidos con el método de Coulomb son muy próximos a los obtenidos con procedimientos más precisos, siendo un método de gran aceptación para el caso de empuje activo. Para el caso del empuje pasivo, veremos que es más recomendable utilizar teorías que consideran superficies de falla curvas. 5.2 Método de Coulomb para empuje en suelos sin cohesión La cuña OAB de la Figura 19 tiende a deslizar bajo el efecto de su propio peso, entonces se producen esfuerzos de fricción a lo largo del plano OB y contra la cara interior del muro. La cuña estará en equilibrio bajo la acción del peso W de la misma, la reacción de la masa del suelo F φ en el plano de deslizamiento y de la fuerza de reacción al empuje que se ejerza sobre el muro, a la cual hemos identificado como E ar , utilizando el subfijo "r" para indicar que se trata de una reacción al empuje activo E a del suelo. En condición de equilibrio límite, las fuerzas E a y F φ se inclinaran respecto de las normales a los planos sobre las que actúan en los ángulos δ y φ de fricción entre suelo y muro y de fricción interna del suelo, respectivamente. Como W es conocida en magnitud y en dirección, y también son conocidas las direcciones de F φ y E ar , podemos obtener las magnitudes de estas dos últimas cerrando el polígono de fuerzas como se muestra en la Figura 19 (b). El método consiste en determinar el empuje para varios potenciales planos de deslizamiento OB y hallar el máximo valor del empuje como se muestra en la Figura 19 (c). Queda determinada también la posición de la cuña crítica. Si actúa una sobrecarga sobre el terreno, se adiciona su magnitud al peso de la cuña. A su vez, si el relleno se encuentra sumergido hasta cierta altura, el método para hallar el Empuje de los suelos 14 empuje efectivo es el mismo pero considerando el peso sumergido del suelo por debajo del nivel del agua, y agregando el diagrama de empuje hidrostático del agua contra el muro. B Ea β W Fφ A Ea H Superficie de falla W α Ea δ Fφ φ δ Ear (b) E amáx θ Ο θ (c) (a) Figura 19 : Método de Coulomb para empuje activo en suelos sin cohesión Para superficie del terreno plana, aunque inclinada, y superficie también plana de la cara interior del muro, se cuenta con la siguiente expresión derivada del análisis de equilibrio límite de la cuña de la Figura 19 (a) : 1 E a = γ .H 2 . 2 cos 2 (φ − α ) ⎡ sen(φ + δ ).sen(φ − β ) ⎤ cos 2 α . cos(δ + α ).⎢1 + ⎥ cos(α + δ ). cos(α − β ) ⎦ ⎣ = 2 1 γ .H 2 .K a 2 (19) Si el relleno es horizontal y el paramento del muro es vertical, y se considera que el mismo es liso, δ = 0, el coeficiente de empuje activo que se obtiene con la ecuación (19) es el mismo que para el método de Rankine. Para el caso de muro vertical si tomamos δ = β , la ecuación (19) nos dará el mismo valor que la ecuación (10) que expresa el valor del empuje activo de Rankine para un suelo no cohesivo con superficie inclinada. Para el caso de empuje pasivo , la resolución gráfica se muestra en la Figura 20 y la expresión analítica es la siguiente : Ep = 1 γ .H 2 . 2 cos 2 (φ + α ) 1 = γ .H 2 .K p 2 ⎡ sen(φ + δ ).sen(φ + β ) ⎤ cos 2 α . cos(α − δ ).⎢1 + ⎥ cos(α − δ ). cos(α − β ) ⎦ ⎣ 2 (20) En empuje pasivo, si δ es muy grande la superficie de falla se aparta bastante de una superficie plana y el error nos pone muy del lado de la inseguridad. Empuje de los suelos 15 Figura 20 : Método de Coulomb para empuje pasivo en suelos sin cohesión Punto de aplicación del empuje La Teoría de Coulomb considera que la cuña de suelo es un cuerpo rígido sobre el que actúan las resultantes de los esfuerzos como fuerzas concentradas, sin conocerse su distribución. Esto hace que no pueda determinarse teóricamente el punto de aplicación de la resultante del empuje. Para salvar esta dificultad, Coulomb supuso que todo punto del paramento interno del muro es el pie de una potencial superficie de falla. Se puede entonces ir calculando el empuje para cuñas con pie a profundidades z crecientes hasta la máxima correspondiente a la altura total muro. De este modo se puede hallar la resultante del empuje en función de z. El empuje unitario por unidad de longitud medida según la vertical, será : e = dE/dz Conocida la distribución del empuje se puede hallar el punto de aplicación de la resultante por un método gráfico o analítico, teniendo en cuenta que en todos los puntos el empuje unitario forma un ángulo δ con la normal al paramento interno del muro. En muros que contienen suelos no cohesivos, con paramento interior plano y superficie del terreno también plana, pudiendo estar inclinadas en ambos casos, la distribución del empuje es de tipo hidrostática, con la resultante del empuje a la altura H/3. Para los casos en que no se cumplan estas condiciones el método descrito resulta trabajoso, pudiéndose aplicar un procedimiento aproximado, ilustrado en la Figura 21, consistente en trazar por el centro de gravedad de la cuña crítica una paralela a la superficie de deslizamiento hasta intersectar el paramento interior. Figura 21 : Método de Coulomb - Punto de aplicación del empuje Empuje de los suelos 16 Construcción gráfica de Culmann para el cálculo de empujes activos en suelos no cohesivos Culmann (1875) ideó un método expeditivo para determinar los empujes en suelos no cohesivos empleando la teoría de Coulomb. Como primer paso ( Figura 22), se traza una recta bS por el pie del paramento interno del muro, que forme un ángulo φ con la horizontal. Esta recta se conoce como línea de pendiente, ya que representa la pendiente natural del suelo. Se traza luego la línea a de los empujes bL, colocada por debajo de la línea de pendiente y formando con la misma el ángulo θ igual al que forma la vertical con la línea con la línea de acción del empuje Ea . El ángulo θ depende del ángulo δ de fricción entresuelo y muro y de la inclinación α del paramento interno del muro. Figura 22 : Método gráfico de Culmann Empuje de los suelos 17 Empuje de los suelos 18 Empuje de los suelos 19 5.3 Método de Coulomb para empuje en suelos cohesivos Si el suelo es cohesivo, se podrá tener una zona superior con fisuración por efecto de las tensiones de tracción que se desarrollan de acuerdoa lo visto en la presentación de la teoría de Rankine. Por lo tanto la cuña se limitará de acuerdo a lo que se puede ver en la Figura 24. Sobre el muro se desarrollará una fuerza de adherencia dada por C a = c a .A'O y en el plano de deslizamiento una fuerza de cohesión C = c. OB', donde c a es la adherencia entre suelo y muro y c el parámetro de cohesión del suelo. B z0 B' A Ea W A' Fφ C Ca Ea H δ W Fφ H/3 θ φ Ca C Ο Figura 24 : Método de Coulomb para empuje activo en suelos cohesivos Al igual que lo explicado para suelos sin cohesión, se debe proceder a aplicar el procedimiento para varias curvas y determinar el valor máximo del empuje activo. El método es también aplicable para el caso de empuje pasivo. Empuje de los suelos 20 MÉTODO DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA DE TERZAGHI PARA EL CÁLCULO DEL EMPUJE PASIVO EN SUELOS COHESIVOS (Mecánica de Suelos en la Ingeniería Práctica - K. Terzaghi - R. Peck, Ed. El Ateneo) Empuje de los suelos 21 Empuje de los suelos 22 Empuje de los suelos 23
