Funciones

Guía de Ejercicios: Funciones
Área Matemática
Resultados de aprendizaje
Determinar dominio y recorrido de una función. Analizar funciones: inyectivas, sobreyectivas y
biyectivas. Determinar la función inversa. Componer funciones.
Contenidos
1. Dominio y Recorrido de una función.
2. Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad.
3. Función inversa.
4. Composición de funciones.
Debo saber
Antes de empezar a realizar estos ejercicios es importante que recordemos algunos conceptos:
Función: Una función
es una relación en donde a cada elemento
le corresponde un único elemento del conjunto .
perteneciente al conjunto
Dominio: El dominio de una función en está formado por aquellos valores reales de
se puede calcular la imagen ( ) Se denota como
.
Recorrido (o Rango): El recorrido de una función
variable ó ( ) Se denota como
Función inyectiva (o uno a uno): La función
( )
en
.
para los que
es el conjunto de los valores reales que toma la
es inyectiva si y sólo si:
( )
Función sobreyectiva (o epiyectiva): La función
,
es sobreyectiva si y sólo si:
( )


La función
es sobreyectiva si y sólo si “todos los elementos del conjunto B son imagen
de algún elemento de A”.
( )
La función
es sobreyectiva si y sólo si
Función biyectiva: Una función
es biyectiva si es al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva.
Función inversa: Se llama función inversa de
( )
a otra función
Solo es posible determinar la función inversa
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que cumple que si ( )
, si y solo si
, entonces
es biyectiva.
1
Composición de funciones: Dadas las funciones
y
contenida en el dominio de , se define la función composición (
( ( )), para todos los elementos de .
Logaritmo: El logaritmo de un número
para obtener el número .
, donde la imagen de está
)
)( )
como (
en base se define como el número
al que hay que elevar
Ejercicio 1
2
Dada la función
3
2 3, donde ( )
determine:
a) Si la función es biyectiva.
b) La inversa de ser posible.
Solución
a) Si
es biyectiva
Recordamos que una función es biyectiva si es al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva.
La función
es inyectiva si y sólo si ( )
( )
( )
(
)(
( )
2
,
3
Por definición
)
(
)(
)
Multiplicando por inversos
Por distributividad y reduciendo términos
semejantes.
Ordenando la ecuación
Reduciendo términos semejantes
Multiplicando por (1/55)
es inyectiva
La función
2 3
es sobreyectiva si y sólo si
2
3
( )
Por definición
( )
(
)
Multiplicando por (7x + 3)
Multiplicando distributivamente
Ordenando la ecuación: (
(
)
); (
Factorzando por término común “x”
()
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Despejando “ ”
2
)
En donde,
.
2 3
Luego:
es sobreyectiva
Como
c)
es inyectiva y sobreyectiva, entonces
es biyectiva.
La inversa de ser posible.
Como
es biyectiva, entonces es posible determinar
Considerando ( )
Intercambiando variables, “ ” por
“ ”, e “ ” por “ ”
( )
Reemplazando
por
( )
( )
Ejercicio 2
Sea
( )
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(
)
Determinar el dominio de la función
Determinar si es inyectiva y si es sobreyectiva
Encontrar la inversa de la función
Verificar que (
)( )
Calcular ( )
Determinar el valor de cuando ( )
Solución
a) Dominio de la función
Como el argumento del logaritmo debe ser positivo, entonces
Organizando la inecuación: (
Multiplicando por (1/2)
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)
,
3
b) Si
es inyectiva
-
Sean
( )
, , entonces:
( )
(
(
(
(
)
)
)
)
(
(
(
(
)
)
)
)
Por definición
Ordenando la ecuación: (
Multiplicando por (-1)
Igualando los argumentos
Ordenando la ecuación: (
Multiplicando por (1/2)
)
)
es inyectiva
Si
es sobreyectiva
( )
(
)
(
)
( )
Por definición
Ordenando la ecuación: ( )
Por definición de logaritmo
Despejando “ ”
En donde,
es sobreyectiva
c) Inversa de la función
Considerando ( )
Intercambiando variables, “ ” por “ ”, e “ ” por “ ”.
(esto es un acomodo de la notación formal)
( )
Reemplazando
por
( )
( )
)( )
d) Verificar que (
(
)( )
(
( ))
.
/
.
Por definición
/
Evaluando .
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/ en la función
4
.
/
(
(
(
(
(
e) Calcular (
(
)
)
)
Simplificando
)) Eliminando paréntesis en el argumento
Reduciendo términos en el argumento
Por definición y propiedad de logaritmo
Eliminando paréntesis
Reduciendo términos semejantes
)
)
(
(
(
(
)
))
)
Reemplazando por
Ordenando en el argumento
( ) resulta 4 porque
Calculando
(
)
El valor de x cuando ( )
f)
( )
(
(
(
(
)
)
)
)
Reemplazando ( ) por
Ordenando la ecuación de tal forma que el logaritmo quede en
un lado de la igualdad y positivo: (
(
))
Por definición de logaritmo
Resolviendo la potencia
Despejando la incógnita
Ejercicio 3
Sea
dominio.
;
, donde
( )
√
y (
)( )
√ (
). Determine ( ) y su
Solución
(
)( )
Como (
( ( ))
√ ( )
)( )
√ (
( )
) ( )
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Luego, igualando ( ) y ( ) se tiene:
√
(
(
(
( )
)
)
)
√ (
(
)
)
Elevando al cuadrado en ambos lados de la igualdad.
Multiplicando distributivamente para eliminar paréntesis.
Despejando ( )
Como la función ( ) no tiene restricciones para , entonces el
Ejercicio 4
Considere la función
inversa si es que existe.
definida por ( )
. Determine su dominio, si es biyectiva y su
Solución
a) Dominio de la función
Para que la función racional ( )
no se indetermine debe cumplir que:
*
b) Si
( )
es biyectiva
*
Sean
( )
+
+ , entonces:
( )
(
)(
)
(
)(
)
Multiplicando por inversos
); ( )
Ordenando: (
Reduciendo términos semejantes
Multiplicando por
es inyectiva
Por otro lado,
( )
(
)
(
)
)
Por definición, y multiplicando por (
Multiplicando distributivamente
); (
)
Ordenando la ecuación: (
Factorizando por el término común “ ”
Despejando “ ”: multiplicando por
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( ), donde
, entonces
* + ( )
Por lo tanto,
Y como la función está definida por
no es epiyectiva.
Luego,
no es biyectiva.
c) Función inversa, si es que existe
Como
no es biyectiva, luego en estricto rigor
Si de igual forma queremos construir


Considerando ( ) y (
+
no existe.
, debemos hacer algunas aclaraciones:
) podemos redefinir la función para que ahora sea biyectiva.
Luego:
*
* +
Como ahora
es biyectiva, entonces existe la función inversa
.
Considerando ( )
Intercambiando variables, “ ” por “ ”, e “ ” por “ ”
(esto es un acomodo de la notación formal)
( )
Reemplazando
por
( )
( )
Ejercicio 5
Dada la función ( )
√
. Determine su dominio y recorrido.
Solución
a) Dominio de la función
El racional
√
se indetermina cuando el denominador es cero, por lo tanto: √
Pero, como es raíz cuadrada,
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Entonces, considerando ambas restricciones, se tiene que:
(
)(
)
Factorizando por diferencia de cuadrados (suma por diferencia)
Identificando puntos críticos, al despejar
en ambas ecuaciones:
Por lo tanto:
(
(
(
)
)
)(
)
1
0
b) Recorrido de la función
( )
Multiplicando por √
√
√
Elevando al cuadrado
( √
(
)
)
Multiplicando distributivamente
)
Ordenando: (
Multiplicando por
√
Despejando “ ”
√
Calculando la raíz cuadrada del denominador
√
√
Como
(
(
)(
Identificando puntos críticos, al despejar
)
En donde
)
en ambas ecuaciones:
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Por lo tanto:
(
(
(
)
)
)(
)
1
Según lo anterior, podríamos suponer que el
Si reemplazamos en (
, resulta:

Para

Para
Por lo que los valores de
1
) valores pertenecientes al
√
√
(
( )
)
1
0, pero:
0 , como por ejemplo
y
√
√
√
√
obtenidos solo pertenecen al intervalo 0
[
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0
0
[
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