MATEMÁTICAS FINANCIERAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ARTURO ROSERO GÓMEZ
BOGOTA – COLOMBIA
2005
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2
CONTENIDO
Pág.
Presentación
6
Introducción
8
UNIDAD DIDACTICA UNO
COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO
10
Explorando conocimientos previos
11
Capítulo Uno. Interés
12
1.
13
Interés
1.1 Conceptos
13
1.1.1 Concepto de interés
13
1.1.2 Concepto de interés simple
14
1.1.3 Concepto de interés compuesto
25
1.2 Tasas de interés
34
1.2.1Tasa de interés nominal
34
1.2.2 Tasa de interés efectiva
35
1.2.3 Conversión de tasas
42
Ejercicios para profundización de las temáticas
55
Capitulo Dos. Equivalencias con cuotas fijas
58
2.
59
Equivalencias con cuotas fijas
2.1 Cuotas fijas vencidas
59
2.1.1 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas
vencidas
2.1.2 Equivalencias entre un valor presente y una serie de cuotas
fijas vencidas
2.2 Cuotas fijas anticipadas
59
2.2.1 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas
anticipadas
61
2.2.2 Equivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas
anticipadas
61
60
61
3
2.2.3 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas
vencidas con interés anticipado
62
Capitulo Tres. Equivalencias con cuotas variables
64
3.
Equivalencias con cuotas variables
3.1. Gradientes
3.1.1 Gradiente Aritmético
3.1.2 Gradiente Geométrico
3.2. Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente
3.2.1 Equivalencias entre un valor presente y un Gradiente
Aritmético
3.2.2 Gradiente Aritmético Creciente
3.2.3 Gradiente Aritmético Decreciente
3.2.4 Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente
Geométrico
3.3 Amortizaciones
3.3.1Tablas de amortización
3.3.2 Perpetuidades
Ejercicios para profundización de las temáticas
UNIDAD DIDACTICA DOS
EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION
65
65
65
69
70
70
Actividades de exploración de conocimientos previos
95
Capitulo Uno. Clases de evaluaciones y criterios de decisión
96
1. Clases o tipos de evaluaciones
72
74
76
78
78
90
92
94
97
1.1 Evaluación de proyectos sociales
97
1.1.1 Características
97
1.1.2 Relación Beneficio/Costo
98
1.1.3 Costo Capitalizado
98
1.2 Criterios para evaluar proyectos de inversión
103
1.2.1Tasa de descuento
103
1.2.2 Costo promedio Ponderado de Capital3WACC
104
1.2.3 Valor Presente Neto –VPN
105
1.2.4 Relación Valor Presente de los de los ingresos/ egresos
106
1.2.5 Tasa interna de Retorno –TIR
106
1.2.6 Costo Anual Uniforme Equivalente 3CAUE
109
4
2.
Análisis de Riesgos en los proyectos de inversión
112
2.1 Sistemas de Análisis
113
2.1.1 Distribución Beta 2
13
2.1.2 Distribución Beta
120
Capítulo Tres. Alternativas Mutuamente Excluyentes y no
Excluyentes
3.1 Alternativas Mutuamente Excluyentes
126
127
3.1.1 Comparación de alternativas
127
3.1.2 Tasa Verdadera
129
3.1.3 Tasa Ponderada
133
3.1.4 Sensibilidad de los proyectos a diferentes tasas de descuento
136
3.1.5 Proyectos con vidas diferentes
139
Ejercicios para profundización de las temáticas
141
3.2. Racionamiento de Capital
146
3.2.1 Modelo de Optimización
146
3.2.2 Planteamiento del Modelo
146
Ejercicios para la profundización de las temáticas
154
Apéndice. Sistema de financiación con UVR
155
Bibliografía y Cibergrafìa
165
5
PRESENTACION
La nueva Universidad Nacional Abierta y a Distancia3 UNAD, recorrió presurosa
toda su historia; inició un proceso de reflexión que por principio se convirtió en
permanente y con base en las realidades detectadas mediante el proceso de
“planificación estratégica, prospectiva y situacional”, estructuró un conjunto de
transformaciones que la asoman al siglo XXI como la fuente dinamizadora del
desarrollo del país y de la región. Por eso y por sus innovaciones organizacionales
la UNAD de hoy es una organización inteligente, es decir, una organización que
aprende.
Desde esta perspectiva, la nueva UNAD redefinió su misión y su accionar cada
vez es más coherente con ella y mediante su pedagogía propia de la metodología
de la educación abierta y a distancia ofrecerá oportunidades tangibles a los
colombianos mas vulnerables, para ingresar a la educación superior
contribuyendo efectivamente a la educación para todos.
La implementación de las tecnologías de la información y de la comunicación,
TIC’s, la ponen más cerca del nuevo paradigma educativo mundial, de conformar
redes interactivas con todas las comunidades y organizaciones nacionales e
internacionales interesadas en gestar procesos de crecimiento individual y
colectivo. Y los cambios e innovaciones que viene adelantando la pondrán a la
vanguardia, en el siglo XXI, de la Educación Abierta y a Distancia.
La producción de material didáctico hace parte de los cambios estructurales que
se vienen dando; es una de las actividades docentes; aquí es donde se tiene la
gran oportunidad de actualizar y contextualizar las temáticas de los cursos
académicos; planear, diseñar y actualizar los currículos y operacionalizar el
modelo planteado desde el Proyecto Académico Pedagógico3PAP3 por el cual se
orienta la institución. En consecuencia 3como lo expone el PAP3 el material
didáctico tiene como fin apoyar el trabajo académico del aprendiente, mediante
la planificación de los procesos de aprendizaje, acorde con las competencias e
intencionalidades formativas propuestas en los cursos académicos que componen
los campos de formación de un programa.
El módulo que se presenta hace parte del material didáctico correspondiente al
Curso Académico de Matemáticas Financieras en el Ciclo Tecnológico del
Programa de Administración de Empresas. Es un rediseño al texto escrito por el
Doctor Jorge S. Rosillo C. y editado por la UNAD en 2002. Se tomó esta decisión
con base en el levantamiento del estado del arte del material que se venia
trabajando hasta enero de 2005, en consecuencia se determinó que el texto del
Doctor Rosillo además de presentar las temáticas correlacionadas con el currículo
6
del programa académico, está planteado desde lo básico hasta lo más complejo,
elemento esencial en el diseño de material didáctico.
El producto resultante de esta mediación, tiene en cuenta los elementos
estructurales del material didáctico; por tanto está organizado de tal manera que,
conjuntamente con la Guía Didáctica, sirva como soporte pedagógico al curso de
Matemáticas Financieras, el cual esta estructurado por el sistema de créditos
académicos. Como material didáctico, su intencionalidad es apoyar el trabajo
académico de los aprendientes y el trabajo tutorial en función del aprendizaje y el
desarrollo cognitivo y metacognitivo de los aprendientes, en correlación con las
intencionalidades formativas del curso.
En atención a que el nuevo ordenamiento mundial está provocando nuevas
dinámicas en la economía; que la cultura, la comunicación y el mercado están en
un proceso de globalización acelerado y que las matemáticas financieras
evolucionan constantemente en la medida en que cambian los escenarios sobre
los cuales actúan, serán bien venidas las sugerencias y los aportes de
estudiantes, tutores y cualesquiera personas que quieran contribuir para el
mejoramiento de este material, tanto en lo temático como en lo pedagógico,
didáctico y metodológico.
7
INTRODUCCIÓN
El administrador de empresa puede desenvolverse profesionalmente en el nivel
operativo de la organización aplicando las cuatro funciones principales de la
administración: planeación, organización, dirección y control; en el nivel medio
como jefe de departamento o en la toma de decisiones a nivel institucional. En los
tres niveles se encarga de que los recursos sean productivos y contribuyan al
logro de las metas corporativas.
La comprensión, interpretación y aplicación de los conceptos propios de las
matemáticas financieras le permiten al aprendiente el desarrollo de habilidades
en el manejo de las herramientas financieras que le permitirán en el ejercicio
profesional proponer con argumentos sólidos alternativas de solución a las
problemáticas se presenten y que tengan que ver con la toma de decisiones sobre
evaluación de alternativas de inversión o de uso y aplicación de recursos
financieros.
Entre las posibilidades inmediatas de aplicación de las diferentes herramientas
financieras apropiadas mediante el estudio juicioso de las temáticas que
conforman el presente módulo, se encuentran: el Proyecto de Desarrollo
Empresarial (PDE) objeto del trabajo de grado y en la resolución de problemas
prácticos que se identifiquen en las actividades de proyección y apoyo a la
comunidad en que se desenvuelven los aprendientes. Este es la mayor atractivo
del estudio de esta rama del las matemáticas aplicadas.
Además de las competencias básicas, se pretenden desarrollar otras complejas y
transversales que permitan al estudiante, identificar, apropiar y transferir los
conceptos y las herramientas financieras aplicables en el análisis y evaluación de
proyectos de inversión y aplicar ese conocimiento en situaciones de toma de
decisiones en su gestión como empresario, como responsable del área financiera
de una organización o como miembro activo de su comunidad.
El presente módulo conjuntamente con la guía didáctica (protocolo académico y
guía de actividades), conforman el material didáctico que apoyará el trabajo
académico del aprendiente en el estudio del curso y con el propósito particular de
presentar la información en forma inteligible, está escrito en un lenguaje simple,
sin apartarse del léxico técnico pertinente a las cuestiones financieras.
En atención a que el curso, curricularmente responde a dos crédito académicos,
coherentemente el módulo se compone de dos unidades didácticas: 1. Costo del
dinero en el tiempo; 2. Evaluación de alternativas de inversión. La primera unidad
la constituyen tres capítulos, los cuales contienen las temáticas relacionadas con
el manejo del dinero, tratado como mercancía y de lo cual se encargan
sustancialmente las matemáticas financieras; la segunda unidad integra otros tres
capítulos que tratan los temas que permiten la toma de decisiones sobre la
8
viabilidad o no de un proyecto y la elección de la alternativa más conveniente y
rentable para el uso de los fondos de las organizaciones.
La metodología propuesta para lograr los objetivos esperados se orienta al
autoaprendizaje, a través de la lectura con propósito de las temáticas, para lo cual
se recomienda desarrollar la estrategia SQA dispuesta al inicio de cada unidad;
resolver los ejercicios propuestos para la profundización de las temáticas y la
aplicación inmediata en el PDE o en casos prácticos para la solución de
problemas en la comunidad.
Como se anotó anteriormente, este material viene acompañado de la guía
didáctica, la cual además de la información sobre las características del curso
académico contiene la guía de actividades con los elementos metodológicos de
evaluación y seguimiento del proceso de aprendizaje del curso.
9
UNIDAD UNO
COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO
Justificación
Con el estudio de esta unidad el aprendiente apropiará una serie de conceptos como:
interés, interés simple, interés compuesto, tasas de interés; asimismo comprenderá el
principio de equivalencia financiera y conocerá la manera de realizar todas las
conversiones posibles entre las diferentes tasas de interés.
Objetivo General
A partir de su reconocimiento y aplicación en casos prácticos, deducir las fórmulas
de interés simple e interés compuesto y establecer los parámetros para su
aplicación en las cuestiones financieras.
Objetivos específicos
Deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto
Encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de
Interés nominal dada o viceversa.
Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de pagos
Establecer los parámetros que permitan la liquidación de intereses sobre
saldos mínimos
Encontrar los parámetros que permitan calcular las sumas presentes
equivalentes a una serie de cuotas que crecen o decrecen en forma lineal
Determinar una expresión matemática que el cálculo del valor de la primera
cuota para con base en el sistema de amortización se pueda calcular las
restantes
Elaborar tablas y gráficas de amortización de amortización para sistemas de
amortización diferentes
10
…..?
ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN
DE CONOCIMIENTOS PREVIOS
El desarrollo de esta actividad permite indagar los conocimientos que se tiene
sobre los contenidos a estudiar, de tal forma que facilita la recepción de la nueva
información y genera mayor comprensión de las temáticas.
Después de inspeccionar ligeramente la unidad y sin adelantar la lectura contestar
las siguientes preguntas y registrarlas en la primera columna del cuadro 1. “SQA”.
¿Qué SE acerca de?
¿Interés;
Interés simple; interés compuesto; tasas de interés; tasa de interés
nominal; tasa de interés efectiva, crédito con cuotas fijas; crédito con cuotas
variables; amortización de créditos?
Una vez realizada la reflexión sobre los vacíos encontrados al tratar de responder
los interrogantes anteriores, consignar en la columna dos del cuadro 1 “SQA”, lo
que se desea conocer sobre los temas tratados. Así se resuelve la pregunta:
¿Qué Quiero Saber?
Después de abordar la lectura de los contenidos; analizar los ejemplos; resolver
las actividades de profundización y de socializar las temáticas con los demás
estudiantes del curso, se debe completar el cuadro “SQA” registrando en la
tercera columna el conocimiento nuevo, construido mediante el estudio de la
unidad. El registro de los logros, responde la pregunta:
¿Qué Aprendí?
Cuadro 1 “SQA”
¿QUÉ SÉ
Saberes previos:
QUÉ QUIERO SABER
Meas de aprendizaje:
QUÉ APRENDÍ
Logros: nuevo conocimiento
11
CAPITULO UNO
INTERÉS
Justificación
Una vez el aprendiente haya terminado el estudio de este capítulo estará en
capacidad de comprender el concepto del valor del dinero respecto del
tiempo y de manejar los diagramas de tiempo para analizar los problemas
de índole financiero y realizar los cálculos para las operaciones financieras
Objetivo General
A partir del reconocimiento y profundización de las temáticas el estudiante
debe deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto y
encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de Interés
nominal dada o viceversa.
Objetivos específicos
Establecer las diferencias precisas entre las diferentes clases de interés
Interpretar los diagramas económicos
Calcular operaciones financieras con interés simple e interés compuesto
Definir e interpretar el concepto de tasa de interés
Calcular la tasa de interés efectiva a partir de la tasa nominal y viceversa
Calcular el interés real en el año
12
1. INTERÉS
En la sociedad primitiva los seres humanos se
autoabastecían: generalmente el hombre salía a cazar o
pescar para conseguir alimento o vestido y la mujer se
dedicaba a cuidar el fuego y a recoger frutos; no se
cazaba más de lo que se consumía.
El concepto de acumulación tuvo su origen en la sociedad artesanal, la cual se
caracterizó por la división del trabajo; esta sociedad estaba formada por
carpinteros, panaderos, alfareros, herreros, albañiles, ganaderos, agricultores, etc.
Quienes no solamente producían para su consumo, sino que generaban
excedentes, lo que les permitía intercambiar otros productos para satisfacer sus
necesidades de alimentación, vivienda, vestuario y educación.
Por ejemplo, el productor de papa sólo satisfacía parte de su necesidad de
alimento y para que el producto de su trabajo le sirviera como medio de vida,
debía intercambiar sus excedentes por otros productos, debía buscar otro
individuo que estuviera interesado en adquirir su producto. Se requería la
existencia de una necesidad recíproca para poder realizar el intercambio, sin ella
era imposible realizar la transacción; una vez se encontraban los dos individuos se
debía fijar cuántas unidades del producto “A” serían necesarias para adquirir el
producto “B”, la relación entre la cantidad de un producto que se entrega para
obtener una unidad del otro, es el precio de un bien expresado en unidades del
otro bien.
1.1 CONCEPTOS
1.1.1 Concepto de Interés
El concepto de interés tiene su origen en las transacciones que realizan dos o más
actores por el intercambio de bienes y servicios.
La necesidad de intercambiar de los individuos para satisfacer sus necesidades y
las limitantes del intercambio que generaba la “necesidad recíproca”, fue haciendo
germinar el establecimiento de un bien que fuera aceptado por todos para
negociar. Inicialmente, este bien fue el ganado y servía para expresar el precio
de cualquier transacción; poco a poco fueron surgiendo otros productos, el oro y la
plata que se usaron como dinero cumpliendo funciones de unidad de valor y medio
de cambio desplazando a otros sistemas de cambio por su fácil manejo hasta
llegar a nuestro días con el papel moneda de aceptación universal, como
instrumento de intercambio.
De la misma forma que en la sociedad artesanal se producían excedentes para
poder intercambiar, en la sociedad contemporánea los excedentes de dinero de
13
los individuos que no se consumen se llaman AHORRO, los cuales pueden
invertirse o cederse a otros en el instante del tiempo que los soliciten para
satisfacer sus necesidades. El costo o el rendimiento de estas transacciones se
llama INTERÉS.
Partamos de un ejemplo para fundamentar este concepto: supongamos que
tenemos dos personas que tienen el mismo dinero para invertir y ambos son
comerciante, el dinero disponible de cada uno de ellos es de $10 millones, pero
tienen diferentes negocios; el primero de ellos se llama Linda Plata, es joyera e
importa joyas de Panamá y el segundo es don Armando Rico, quien ofrece al
mercado perfumes importados de Francia.
Mensualmente estos individuos adquieren $10.000,000 en mercancías, pero los
dos obtienen resultados diferentes. Doña Linda obtiene una ganancia de
$300.000 en el mes y don Armando $500,000 en el mismo lapso de tiempo.
Observemos que teniendo la misma inversión reciben beneficios diferentes,
podemos definir entonces el INTERÉS como la utilidad que se tiene sobre una
inversión en “X” tiempo, o sea:
Utilidad
Interés =
Inversión
Siendo el interés del comerciante en joyas = 300,000 / 10,000,000 = 3%
mensual
y el interés del comerciante en perfumes =500,000 / 10,000,000 = 5% mensual.
Dado el caso de que una tercera persona, por ejemplo Justo Sin Plata, necesite
$10,000,000 y se los solicite a don Armando, éste se los cedería solamente si le
reconoce una tasa de interés igual a la que le rinden sus inversiones, es decir, al
5% mensual; de aquí nace otro concepto conocido con el nombre de TASA DE
INTERÉS DE OPORTUNIDAD que quiere decir que cualquier inversionista está
dispuesto a ceder su dinero, si se le reconoce una tasa de interés igual o superior
a la que rinden sus inversiones.
1.1.2 Concepto de Interés Simple
Siendo el interés la utilidad sobre la inversión, se puede tomar el ejemplo anterior
en el cual el comerciante en joyas doña Linda Planta de Rico, gana mensualmente
$300,000 con $10,000,000 invertidos; si continuamos su análisis indefinidamente,
es decir, mes a mes, el resultado es el siguiente:
14
MES
1
2
3
.
.
N
Si:
DINERO
INVERTIDO
$10,000,000
$10,000,000
$10,000,000
GANANCIA
$300,000
$300,000
$300,000
$10,000,000
$300,000
DINERO
ACUMULADO
$10,300,000
$10,600,000
$10,900,000
Utilidad
Interés =
Inversión
Utilidades = 3% x $10.000,000 = $300,000 en cada período, para este caso cada
mes.
Lo anterior se puede presentar simbólicamente de la siguiente forma:
Dinero invertido = P
Tasa de Interés = i
Utilidad = Inversión x Tasa de interés
Utilidad = Pi
MES
DINERO
INVERTIDO
UTILIDADES
1
2
3
.
.
P
P
P
Pi
Pi
Pi
n
P
Pi
Lo anterior quiere decir que doña Linda Plata de Rico tiene unas utilidades (Pi)
por período y si quiere saber cuántas utilidades ha generado su inversión desde
el momento en que la realizó, simplemente deberá multiplicar las utilidades de
cada período por el número de ellos transcurridos a la fecha, desde el momento
en que realizó la inversión.
15
Generalizando a n los períodos, se tendrían en este punto unas utilidades
acumuladas Pin y el total de dinero acumulado sería igual a la inversión inicial
más las utilidades acumuladas; a esta suma se le conoce con el nombre de
MONTO o VALOR FUTURO y en términos simbólicos se representa de la
siguiente forma:
P =
F =
N=
%i=
Valor de la inversión ó valor actual
Valor futuro
Número de períodos
Tasa de interés
F = inversiones + Utilidades Acumuladas
F = P + Pin
F = p (1 + in)
Nótese que en el ejemplo doña Linda Plata, no reinvirtió las ganancias sino
siempre invirtió la misma cantidad ($10 millones); es decir, cuando no hay
reinversión de las utilidades se conoce con el nombre de inversiones a INTERÉS
SIMPLE.
Ejemplo 1
¿Cuánto dinero acumularía Juan Pérez dentro de 5 años, si invierte hoy
$4.000.000 a una tasa de interés simple del 3% mensual?
El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de
flujo de la siguiente manera:
Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos
con una flecha hacia abajo, en una escala de tiempo que pueden ser años,
semestres, meses, días. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo
período que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interés
está expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, o
sea 60 meses.
16
1 = 3% mensual
F
60 meses
P = 4.000.000
F = P (1 + in)
F= 4,000,000(1 + 0.03 (60))
F= 11,200,000
Lo anterior quiere decir que don Juan Pérez se ganó $7,200,000 en los 5 años y
adicionalmente tiene el dinero que invirtió o sea $4,000,000.
SUPUESTO: El inversionista no hace ningún retiro de dinero en el lapso de tiempo
considerado.
Ejemplo 2
Armando Rico recibió hoy $3,450,000 del Banco de Bogotá por una inversión que
realizó hace tres semestres; si la tasa de interés es del 2% mensual, ¿cuánto
dinero invirtió don Armando?
Como se explicó anteriormente, el punto de partida es realizar el gráfico o flujo
de caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:
En razón a que la tasa es mensual se deben expresar los tres semestres en
meses, para que los elementos estén en la misma base.
0
P
1=2% mensual
F = 3.450.000
18 meses = 3
Semestres
17
Reemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene:
F = P (1 + in)
F = $3.450.000
porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidades
I = 2% mensual
N = 3 semestres = 18 meses
Entonces,
3,450,000 = P (1 + 2% (18))
3,450,000 = P (1 + 0.36)
P = 3,450,000 / (1.36)
P = $2,536,764.71
Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.
Ejemplo 3
Patricia Fernández recibió un préstamo de $3,000,000, que debe paga en 18
meses; si al final del plazo debe cancelar $3,850,000, calcular tasa de interés
simple del préstamo.
P = 3.000.000
18 meses
0
F = 3,850,000
18
Nótese que se dibujaron los $3,000,000 con una flecha hacia arriba, puesto que se
está tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero del
préstamo tienen un ingreso y cuando cancela el crédito ella tiene un desembolso,
por lo cual se dibuja con una flecha hacia abajo.
Si se toma como referente el prestamista, el gráfico sería el siguiente:
F = 3.850.000
0
18 meses
P = 3.000.000
Reemplazando los datos de la ecuación se tiene:
F = P (1 + in)
3,850,000 = 3,000,000 (1 + i% (18))
3,850,000/3,000,000= (1 + i18)
1.2833 – 1 = i18
i = 0.2833/18
i = 0.015740
Expresándolo en términos porcentuales se tiene,
I = 1,5740% mensual simple.
19
Ejemplo 4
Armando Mendoza recibió un préstamo de $7,000,000 de Beatriz Pinzón
Solano, si canceló $10,500,000 y la tasa de interés fue del 2% mensual
simple, calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo?
Gráfico para Armando Mendoza
P = 7.000.000
1 = 2% mensual
0
F = 10.500.000
Gráfico para Beatriz Pinzón Solano
F = 10.5000.000
i = 2% mensual
0
P = 7,000,000
Reemplazando en la ecuación se tiene:
F = P (1 + in)
10,500,000 = 7,000,000 (1 +(2%)n)
10,500,000/7,000,000 = 1 + 2%n;
2% = 0.02
1.5 – 1 = 0.02n
20
0.5
= 0.02n
0.5/0.02 = n
n = 25 meses
Nótese que la tasa de interés se expresó en meses porque está dada en meses.
Ejemplo 5
Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la
siguiente forma: $3,000,000 dentro de 6 meses, $4,000,000 dentro de un año y
$5,000,000 en año y medio.
Si la tasa de interés es del 10% semestral simple, determinar, ¿cuánto dinero le
prestó el Banco Santander a Sofía?
Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la
tasa de interés, se tiene:
6 meses = un semestre
Un año = dos semestres
Año y medio = tres semestres
Gráfico para el Banco Santander
3.000.000
0
1
4.000.000
2
5.000.000
3
Semestre
i = 10% semestral
P
21
Gráfico para Sofía Vergara
i = 10% semestral
0
1
2
3
Semestre
P
3,000,000
4,000,000
5,000,000
Observando el gráfico y el planteamiento del problema, se tiene una concepción
diferente a la tratada en los ejemplos anteriores en los cuales se tenía un solo
ingreso y un solo pago o viceversa. Este ejemplo plantea tres desembolsos en el
futuro para el caso de Sofía. La solución de este tipo de problema se basa en el
mismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o desembolso en el futuro
de manera independiente.
Cada pago se hace Sofía, se considera dentro del toral de la cuota una parte
correspondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el Banco
Santander, los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo una
devolución de una parte de la inversión. Este concepto es congruente con la
definición de valor futuro, como el consolidado de la inversión más las utilidades
explicado al principio de este capítulo; en este caso las utilidades y la inversión se
devolverán al Banco en tres pagos y no en uno.
F = P (1 + in)
P = F/(1 + in)
Analizando cada pago independiente se tiene:
Pago 1 = P1 = 3,000,000/(1 + 0.10 (1)) = $2,727,272.73
Pago 2 = P2 = 4,000,000/(1 + 0.10 (2)) = $3,333,333.33
Pago 3 = P3 = 5,000,000/(1 + 0.10 (3)) = $3,846,153.85
22
Por lo tanto el valor del préstamo sería:
P1 = P1 + P2 + P3
P2 = 2,727,272.73 + 3,333,333.33 + 3,846,153.85
P3 = $9,9060759.91
Ejemplo 6
Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo de un año y se
propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra
$1,000,000; dentro de tres meses, ahorrará $1,000,000; dentro de un semestre,
ahorrará $1,500,000 y dentro de 10 meses, ahorrará $1,700,000.
¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le
paga el Banco es del 1% mensual simple?
Gráfico para Natalia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
F=?
meses
1,000,000
1,000,000
1,500,000
1,700,000
i = 1% mensual, 1% = 0.01
Se debe recordar que los desembolsos o ingresos deben estar expresados en el
mismo período de tiempo que la tasa de interés.
Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de manera
independiente por lo tanto se tiene:
Ahorro o inversión #1 = F1
Ahorro o inversión #2 = F2
Ahorro o inversión #3 = F3
23
Ahorro o inversión #4 = F4
La inversión o ahorro de $1,000,000 que hace en el período #1 dura exactamente
en el banco 12 meses, por lo tanto n = 12.
F1 = P1 (1 + in)
F1 = 1,000,000 (1 + 0.01(12)) = $1,120,000
La inversión o ahorro de $1,000,000 que hace en el período #3 dura exactamente
en el banco 9 meses (12 meses33meses), por tanto n = 9.
F2 = P2 (1 + in)
F2 = 1,000,000 (1 + 0.01(9)) = $1,090,000
La inversión o ahorro de $1,500,000 que hace Natalia en el período #6 dura
exactamente en el banco 6 meses (12 – 6 meses), por lo tanto n = 6.
F3 = P3 (1 + in)
F3 = 1,500,000 (1 + 0.01(6) = $1,590,000
La inversión o ahorro de $1,700,000 que hace en el período #10 dura exactamente
en el banco 2 meses (12 meses – 10 meses), por lo tanto n = 2.
F4 = P4 (1 + in)
F4 = 1,700,000 (1 + 0.01(2)) = $1,734,000
Por lo tanto, el dinero que tendría acumulado Natalia París dentro de un año será:
F = F1 + F2 + F3 + F4
F = $5,534,000
24
1.1.3
Concepto de Interés Compuesto
En el caso de interés simple se consideró que las ganancias eran iguales para
todos los períodos, puesto que la inversión permanecía constante. Cuando se
trata de interés compuesto, las utilidades no son iguales para todos los períodos
puesto que la inversión varía de un período a otro, en razón de que las utilidades
obtenidas en un período se reinvierten en el siguiente.
Tomando nuevamente el ejemplo con el que se inicio el capítulo, donde la
inversionista Linda Plata tenía $10,000,000 disponibles; si doña Linda invierte
estos dineros a una tasa del 3% mensual y reinvierte sus utilidades, se tendría el
siguiente resultado:
MES
DINERO
INVERTIDO
GANANCIA
DINERO
ACUMULADO
1
$10,000,000
10,000,000 * 0.03 = 300,000
10,000,000+300,0
00
=10,300,000
2
$10,300,000
10,300,000 * 0.03 = 309,000
3
$10,609,000
10,609,000 * 0.03 = 318,270
10,300,000+309,0
00
= 10,609,000
10,609,000+318,2
70
=10,927,270
.
.
n
Lo anterior lo podemos generalizar de la siguiente forma:
P=
Inversión
%i=
Tasa de Interés
Utilidad =
Inversión X i = Pi
F=
Valor futuro
25
MES
DINERO
INVERTIDO
1
GANANCIA
DINERO ACUMULADO
P (i)
P + Pi = P(1 +i)
P(1+i) (i)
P (1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i)2
P
P(1+i)
2
2
2
P(1+i)2+P(1+i) = P(1+i)2(1+i) = P(1+i)3
3
P(1+i)
P(1+i) (i)
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
P(1+i)n
Generalizando, se concluye que cuando se reinvierten las utilidades (interés
compuesto) el dinero acumulado a valor de futuro se puede definir como:
F = P (1+i)n
Si se aplica la anterior equivalencia al caso de doña Linda, se puede plantear el
siguiente ejercicio:
Cuánto dinero acumulará (valor futuro) doña Linda dentro de tres meses a una
tasa de interés del 3% mensual, si invierte $10,000,000 inicialmente:
F = P(1+i)n
F= $10,000,000 (1+0.03)3
F = $10,927,270
Valor que coincide con los $10,927,270 obtenidos en la primera tabla.
En conclusión, gran diferencia entre el interés compuesto radica en la reinversión
de utilidades. Si se comparan los dineros acumulados en el tercer mes para el
caso de doña Linda con una inversión de $10,000,000 al 3% mensual, se obtienen
los siguientes resultados:
26
Interés simple:
dinero acumulado al tercer mes $10,900,000
Interés compuesto:
dinero acumulado al tercer mes $10,927,270
Ejemplo 1
¿Cuánto dinero acumularía Juan Pérez dentro de 5 años, si invierte hoy
$4.000.000 a una tasa de interés compuesto del 3% mensual?
El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de
flujo de la siguiente manera:
Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos
con una flecha hacia abajo en una escala de tiempo que pueden ser años,
semestres, meses, días. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo
período que está expresada la tasa de interés; en el ejemplo la tasa de interés
está expresada en meses, por lo tanto los 5 años se deben convertir a meses, o
sea 60 meses.
I = 3% mensual
F
60 meses
P = 4,000,000
F = P (1 + i )n
F = 4,000,000 (1 + 0. 03)60 = 23,566,412.42
Este mismo ejemplo con tasa de interés simple, obtuvo un valor futuro de
$11,200,000.
Ejemplo 2
Armando Rico recibió hoy $3, 450,000 del Banco de Bogotá por una inversión que
realizó hace tres semestres: si la tasa de interés es del 2% mensual compuesto,
¿Cuánto dinero invirtió don Armando?
Como se explico anteriormente el punto de partida es realizar el gráfico o flujo de
caja correspondiente; el problema quedaría planteado así:
27
En razón d que la tasa es mensual, se deben expresar los tres semestres en
meses, para que los dos elementos estén la misma base:
0
F = 3,450,000
I = 2% mensual
P
18 meses = 3 semestres
Reemplazando en la ecuación que relaciona estas variables se tiene:
F = P ( i + i) n
F = $ 3.450,000, porque en este valor se consolidan la inversión y las utilidades
i=
mensual
n= 3 semestres = 18 meses
Entonces,
3,450.000 = P (1 + 0.02) 18
3,450,000 = P (1.42824624758)
P = 3.450.000/1.42824624758
P = $2,415,549.84
Este es el valor que invirtió don Armando hace 18 meses.
Ejemplo 3
Patricia Fernández recibió un préstamo de $3,000,000, que debe pagar en 18 meses;
si al final del plazo debe cancelar $3,850,000, calcular la tasa de interés del préstamo.
P = 3,000.000
18 meses
0
28
Nótese que se dibujaron los $3,000,000 con una flecha hacia arriba, puesto que se
está tomando como referente a Patricia Fernández; al recibir el dinero del préstamo
tiene un ingreso y cuando ella cancela el crédito tiene un desembolso, por lo cual se
dibuja con una flecha hacia abajo.
Si se toma como referente al prestamista el gráfico sería el siguiente:
F = 3,850,000
0
18 mesea
P = 3,000,000
Reemplazando los datos de la ecuación se tiene
F = P(1 + i ) n
3,850,000 = 3,000,000(1 + i)1
3,850,000/3,000,000 = (1 + i)1
18
1.283333
=
18
(1+ i)18
1.013955 = 1+l
1.01395531 = i
0.013955 = i
En términos porcentuales,i = 1.3955% mensual
Ejemplo 4
Armando Mendoza recibió un préstamo de $7,000,000 de Beatriz inzón Solano, si
canceló $10,500,000 y la tasa de interés fue del 2% mensual compuesto,
calcular, ¿cuál fue el plazo del préstamo?
29
Gráfico para Armando Mendoza
P = 7,000,000
I = 2% mensual
F = 10,500,000
0
Gráfico para Beatriz Pinzón Solano
F = 10,500,000
0
i = 2 % mensual
P = 7,000,000
Reemplazando en la ecuación se tiene:
F = P(1 + i ) n
2% = 0.02
10,500,000 = 7,000,000 (1 + 0.02) n
10,500,000/7,000,000 = (1 .02) n
1.5 =1.02 n
Aplicando logaritmos en base 10 se tiene:
log 1.5 = n l o g 1.02
0. 17609 125 =n (0.0086001 71 7)
n =0.17609125/0.0086001717
n = 20.47 meses
30
Nótese que la respuesta se expresó en meses porque la tasa de interés está dada en
meses.
Ejemplo 5
Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente
forma: $ 3,000,000 dentro de 6 meses, $ 4,000,000 dentro de un año y $ 5,000,000 en año
y medio.
Si la tasa de interés es del 10% semestral compuesto, determinar, ¿cuánto dinero le
prestó el Banco Santander a Sofía?
Recordando que los períodos del plazo deben estar en el mismo período que la tasa
de interés, se tiene:
6 meses = un semestre
un año = dos semestres
año y medio = tres semestres
:
Gráfico para el Banco Santander
5,000,000
3,000,000
0
1
3
2
semestres
i = 10% semestral
P
Gráfico para Sofía Vergara
i = 10% semestral
0
P
1
3,000,000
2
4,000,000
3
semestres
5,000,000
31
del problema, se tiene una concepción diferente a la tratada en los ejemplos anteriores
en los cuales se tenía un solo ingreso y un solo pago o viceversa. Este ejemplo
plantea tres desembolsos en el futuro para el caso de Sofía. La solución de este tipo
de problema se basa en el mismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o
desembolso en el futuro de manera independiente.
Cada pago que hace Sofía se considera dentro del total de la cuota una parte
correspondiente a intereses y otra un abono al préstamo. Para el Banco Santander,
los intereses serían las utilidades y el abono al préstamo una devolución de una parte
de la inversión. Este concepto es congruente con la definición de valor futuro, como el
consolidado de la inversión más las utilidades explicado al principio de este capítulo:
en este caso las utilidades y la inversión se devolverán al Banco en tres pagos y no en
uno.
F = P(1+i) n
P = F / (1+i) n
Analizando cada pago independientemente se tiene:
Pago 1 = P1 = 3,000,0007(1+0.10)1 = 2,727,272.73
Pago 2 = P2 =4,000,000/(1+0.10)2 =3,305,785.12
Pago 3 = P3 =5,000,0007(1+0.10)3 =3,756,574
Por lo tanto, el valor del préstamo sería:
P = P1 +P2 +P3
P = $9,789,631.86
Ejemplo 6
Natalia París desea realizar un viaje por el continente europeo dentro de un año y se
propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy, ahorra $1,000,000;
dentro de tres meses, ahorrará $ 1,000,000; dentro de un semestre, ahorrará $ 1,500,000 y
dentro de 10 meses, ahorrará $ 1,700,000.
32
¿Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le paga el
Banco es del 1% mensual compuesto?
Gráfico para Natalia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
F =?
meses
1,000,000
1,000,000
1,500,000
1,700,000
Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversión se trata de manera independiente,
por lo tanto se tiene:
Ahorro o inversión # 1 = F1
Ahorro o inversión # 2 = F2
Ahorro o inversión # 3 = F3
Ahorro o inversión # 4 = F4
La inversión o ahorro de $1,000,000 que se hace en el período # 1 dura exactamente en el
banco 12 meses, por lo tanto n = 12
F1 = P1 (1+ i)n
F1 = 1,000,000(1+0.01)
=$1,126,825.03
La inversión o ahorro de $1,000,000 que hace en el período 3 dura exactamente en el
banco 9 meses (12 meses 3 3 meses) por lo tanto n = 9
F2 = P2 (1+ i)n
33
F
= 1,000,000(1+0.01 )9 =$1,093,685.27
2
La inversión o ahorro de $ 1 ,500,000 que hace Natalia en el período 6 dura exactamente en
el banco 6 meses (12 meses 3 6 meses) por lo tanto n = 6
F3 = P3 (1+ i)n
F3
= 1,500,000(1 +0.01 )6 =$1,592,280.22
La inversión o ahorro de $1,700,000 que hace Natalia en el período 10 dura exactamente
en el banco 2 meses (12 meses 3 10 meses) por lo tanto n = 2
F4 =P3 (1+ i)n
F4 = 1,700,000(1 +0.01 )2 =$1,734,170
Por lo tanto, el dinero que tendrá acumulado Natalia París dentro de un año será:
F = F1 + F2 + F3 + F4
F = $5.546,960.53
1.2 TASAS DE INTERÉS
El concepto de tasa de interés, se aplica a la relación entre el valor a pagar como
interés y el capital recibido en préstamo por el cual se debe pagar ese interés en
un tiempo determinado. Se expresa en términos de porcentaje y su nomenclatura
es: i%.
1.2.1 Tasa de Interés Nominal
Es la tasa de interés que generalmente se aplica a todas las operaciones financieras y
que aparece estipulada en los contratos. Cuando opera este tipo de tasa, se entiende
que las utilidades por intereses no se reinvirtieron en el periodo.
34
1.2.2 Tasa de Interés Efectiva
Los usuarios del sistema financiero se enfrentan a un problema en el diario vivir en las
transacciones personales o de empresa, pues usualmente en todas las operaciones que se
realizan se habla de tasa efectiva como referencia o criterio para tomar decisiones.
La mayoría de ejecutivos en finanzas o ejecutivos comerciales de empresas del
sistema financiero, productivo o de servicios opinan que la tasa efectiva es equivalente
a la tasa real, es decir, según ellos el interés que realmente se cobra al cliente. ¿Será
esto cierto?
Con el ejemplo siguiente se deducirá el concepto de tasa de interés efectiva; supóngase;
que doña Linda Plata de Rico tiene disponibles $100 millones, los cuales no necesita sino
hasta dentro de un año, y desea invertirlos. Con este objetivo, se dirige al Banco de
Bogotá y le plantea la situación al señor Armando Bueno, gerente de la sucursal de Suba
y antiguo compañero de la universidad. El le ofrece que le pagará por los $100 millones
una tasa del 40% anual y que los intereses se liquidarán trimestre vencido, doña
Linda, administradora de empresas de gran prestigio profesional en la capital
colombiana, hace el siguiente cálculo:
Plazo:
Un año
Tasa de interés:
40% anual
Liquidación de interés:
Trimestre vencido
Inversión:
Número de liquidaciones por año:
Tasa trimestral o del período:
$100 millones
4
40% / 4 = 10%
35
TRIMESTRE
1
2
3
4
TOTAL
SALDO INICIAL
100.00
110
121
133.10
INTERESES
i = 10%
$10.00
$11.00
$12.10
$13.31
$46.41
SALDO FINAL
$ 110.00
$ 121.00
$ 133.10
$ 146.41
La inversionista recuerda que: tasa de interés se define como utilidad sobre la inversión; en
este caso las utilidades serían la suma de la columna interés que es de 46.41 en el año,
si la inversión fue de $100 millones quiere decir que se obtuvo un interés (%) o
rentabilidad de $46.41/100 = 46.41% en un año.
Si el 40% de interés se hubiera liquidado solo al final del año, doña Linda habría
obtenido $40 de intereses, es decir, que lo que establece la diferencia es el número de
liquidaciones de intereses que hay en el plazo fijado (para este caso son 4 las
liquidaciones en el año).
Para deducir el concepto de tasa nominal y efectiva se toman varios casos, los cuales se
derivan de considerar como punto de partida los $100 millones y el plazo de un año
pero con diferentes formas de liquidar los intereses por ejemplo, bimestralmente,
semestralmente, etc.
TASA
FORMA DE LIQUIDACIONES
40%
Semestre vencido
40%
Trimestre vencido
40%
Bimestre vencido
40%
Mes vencido
40%
Día vencido
Para el primer caso 40% anual semestre vencido, lo primero que se tiene que definir es la
tasa del período. En este caso es semestral, o sea que la tasa periódica (semestral) sería
igual a 0% dividido entre los dos semestres del año, lo que equivale a un 20% semestral;
si se considera el plazo de un año se puede hacer el cálculo que se realizó para el 40%
anual trimestre vencido, es decir:
36
Plazo:
Tasa de interés:
Liquidación de interés:
Inversión:
Número de liquidaciones por
año:
Tasa trimestral o del período:
Un año
40% anual
Semestre vencido
$100 millones
2
40% / 2 =20%
SEMESTRE
SALDO INICIAL
INTERESES
SALDO FINAL
1
100
20
120
2
120
24
144
Total
44
Intereses primer trimestre = Saldo inicial x Tasa de interés
Intereses primer trimestre = $100 x 20% = $20
Saldo final primer trimestre = Saldo inicial + Intereses
Saldo final primer trimestre = 100 + 20 = 120
;
El saldo final del primer semestre pasa a ser el saldo inicial del segundo semestre.
intereses segundo semestre = 120 x 20% = $24
saldo final del segundo semestre =120+ 24 = $144
Lo anterior quiere decir que los $ 100 millones invertidos, por el efecto de la reinversión de
utilidades generaron $44 millones de intereses, lo que significa una rentabilidad de ó sea
$44 millones de utilidad dividido entre los $100 millones de inversión.
En relación con lo anterior, se puede concluir que la tasa efectiva se obtiene por los efectos
de la reinversión de las utilidades ó intereses; cuando esto no se da se obtiene lo que se
llama tasa de interés nominal. Se puede deducir que existe un paralelo entre el interés
simple y la tasa nominal y el interés compuesto y la tasa efectiva. En las dos primeras, no
se tiene en cuenta la reinversión mientras que en las dos últimas sí.
37
Con base en los ejemplos se obtiene una fórmula para calcular la tasa efectiva, la cual se
expresa de la siguiente forma:
ie =
ip =
n=
Tasa de interés efectiva
Tasa periódica
Número de liquidaciones de intereses en el plazo fijado
ie
= (1+ i)n D1
Si se toman los ejemplos analizados anteriormente, se obtiene lo siguiente:
1) Si se tiene una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿cuál es la tasa efectiva anual?
Tasa periódica = ip
Tasa anual
ip = ——————————————— 0.40 / 4 = 0.1 = 10% trimestral
# de períodos en el año
ie = (1 + 0.1)
3 1 = 0.4641 ó 46.41 % efectivo anual
Si se considera el mismo ejemplo, es decir 40% anual trimestre vencido, pero en lugar
de calcular la tasa efectiva anual se calcula la tasa efectiva semestral
ip = 0.40 74 = 0.10 ó 10% semestral
n = Número de liquidaciones en el período = 2 en un semestre
ie = (1 + 0.10)2 3 1 = 0.21 = 21% efectiva semestral
2) Si se tiene una tasa anual del 40% semestre vencido, calcular la tasa efectiva anual
ip = 0.40 / 2 = 0.20 ó 20% semestral
n = número de liquidaciones = 2
ie= (1 + 0.20)2 31 = 0.44 ó 44% efectiva anual
38
Con base en la siguiente información calcular la tasa efectiva anual:
NÚMERO DE
TASA ANUAL FORMA DE LIQUIDACIÓN
LIQUIDACIONES
DE INTERESES
POR AÑO
i
PERIÓDICA
40%
Semestre vencido
2
20% semestral
40%
Trimestre vencido
4
10% trimestral
40%
Bimestre vencido
6
6.67% bimestral
40%
Mes vencido
12
3.33% mensual
40%
Día vencido
360
0.11% diario
Las dos primeras tasas fueron calculadas anteriormente, a continuación se obtienen las
restantes:
40% anual bimestre vencido
i bimestral = 0.40 / 6 = 6.67%
Número de liquidaciones en un año: 6
ie anual = (1+0.0667)6 3 1 = 0.4732
40% anual mes vencido
i mensual = 0.407 12 = 0.0333 = 3.33%
Número de liquidaciones en un año: 12
ie anual = (1+0.0333)12 31 = 0.4816
40% anual día vencido
i diario = 0.40 / 360 = 0.001111 = 0.11 %
Número de liquidaciones en un año: 360
ie anual = (1+0.001111)360 3 1 = 0.4914
39
De acuerdo con los cálculos se obtuvieron las siguientes cifras:
TASA ANUAL
FORMA DE LIQUIDACIÓN
DE INTERESES
NUMERO DE
LIQUIDACIONES
POR AÑO
TASA
EFECTIVA
40%
Semestre vencido
2
44.00%
40%
Trimestre vencido
4
46.41%
40%
Bimestre vencido
6
47.32%
40%
Mes vencido
12
48.16%
40%
Día vencido
360
49.14%
Como se observa en la tabla anterior, a medida que se aumenta el número de
liquidaciones se incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo tomando otros dos
casos, supóngase que el gerente señor Armando Bueno le ofrece a doña Linda que le
liquidará intereses 2 veces al día o sea cada 12 horas o tres veces al día o sea cada
8 horas; veamos qué tasa efectiva anual se obtiene:
40% anual liquidando intereses cada 12 horas
ip = 0.40 7720 = 0.0005555
n = 360 x 2 = 720 períodos
ie anual = (1+0.0005555)720
3 1 = 0.491659
Ahora analizando el caso del 40% anual liquidando intereses cada 8 horas
ip = 0.40 / 1080 = 0.00037037
n = 360 x 3 = 1,080 periodos
le anual = (1 +0.00037037)1080 3 1 = 0.491714
Como se observa, a medida que se aumenta el número de liquidaciones se
incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo, este valor tiende a estabilizarse,
es decir, su comportamiento es exponencial como se observa en el gráfico siguiente.
40
Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones de tasas
vencidas
60.000%
T
A
S
A
S
E
F
E
C
T
I
V
A
S
50.000%
40.000%
30.000%
20.000%
10.000%
0.000%
0
2
4
6
8
10
12
14
NUMERO DE CAPITALIZACIONES
Con lo anterior se explica lo que en matemáticas se conoce con el nombre de interés
continuo, que se expresa así:
i e = ei + 1
Que para el caso del 40% anual se obtiene:
i e = e 0.40 D1 = 2.7182810.40 D1
i e = 0.49182
Cifra que coincide cuando se liquidan 720 y 1080 veces en el año. Si se siguen
aumentando el número de liquidaciones, no se va a obtener una cifra mayor. La fórmula
anterior se conoce con el nombre de interés continuo ó capitalización continua.
41
Con base en los cálculos realizados anteriormente, se concluye que la tasa de
interés electiva está íntimamente ligada con el interés compuesto, es decir,
considera la reinversión de utilidades.
1.2.3 Conversión de tasas
El concepto de tasa efectiva permite convertir las tasas de un período a otro fácilmente;
este concepto es de gran utilidad en Matemáticas Financieras, por cuanto permite
solucionar situaciones recurrentes, donde los períodos de los flujos de caja
(ingresos y desembolsos) no coinciden con los períodos de las tasas de interés.
Ejemplo 1
Con una tasa del 40% anual trimestre vencido, ¿calcular la tasa semestral
equivalente?
Este ejercicio se puede resolver de varias formas:
Primera forma
i= 40% anual trimestre vencido
i periódica = i anual / # períodos en el año
i periódica = i trimestral =0.40 / 4 =0.10
Con base en la tasa periódica se puede calcular la tasa efectiva anual
ie = tasa de interés efectiva anual
Donde n es el número de liquidaciones en el año.
La tasa de interés está especificada inicialmente como i = 40% anual trimestre vencido, lo
que quiere decir que los intereses se van a liquidar cada trimestre, o sea que al
año e liquidan 4 veces, una al final de cada trimestre, por lo tanto:
= (1+0.10) 4 3! = 0.4641
Con base en el anterior resultado se puede calcular la tasa semestral partiendo de
calcular la efectiva anual.
iea = (1+ip) n 31
3
0.4641 = (1+i semestral) 2 1
42
n = 2, porque los intereses se liquidan 2 veces (1 año = 2 semestres)
1.4641 = (1+i semestral) 2
2
1.4641
=
2
(1+i semestral) 2
1.21 = 1 + i semestral
1.21 31 = i semestral
0.21 = 2 1 %
Segunda forma
i = 40% anual trimestre vencido
i periódica = i trimestral =0.40/4 =0.10
Obsérvese que el período toma como referencia el que está estipulado en la liquidación de
intereses, para nuestro ejemplo es trimestre vencido. La forma de liquidación siempre
aparece adyacente a la tasa de interés anual.
Con base en la tasa trimestral se puede calcular la trimestral, utilizando la ecuación de
tasa efectiva.
iea = (1+ip) n +1
i semestral = (1+ i trimestral ) 2
31
i semestral =(1 + 0.10 ) 2 3 1 = 0.21
Es el mismo resultado que se obtuvo en la primera forma.
Ejemplo 2
Con una tasa del 30% anual bimestre vencido, calcular:
a. La tasa semestral equivalente.
43
b. La tasa mensual equivalente.
a. Tasa Semestral
Primera forma
i = 30% anual bimestre vencido
Bimestre = cada 2 meses
i periódica = i bimestral = 0.30/6 =0.05, dividido entre 6 porque hay 6 bimestres en un año.
iea = (1+ ip) n +1
i semestral =(1 + 0.10 ) 2 3 1 = 0.21
ia
= (1 +0.05) 6 3! = 0.3400
Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la semestral
Iea = (1+ ip) n +1
0.34 = ( 1 + i semestral )231
1.34 = (1+ i semestral)2
2
1.34 =
2
(1+ i semestral)2
1.157625 =1 + i semestral
44
1.157625 31 = i semestral
0.157625 = i semestral
15.7625% = i semestral
Segunda forma
i = 30% anual bimestre vencido
Bimestre = cada 2 meses
i periódica = i bimestral = 0.30/6 =0.05
iea = (1+ i periódico) n +1
i semestral =(1 + 0.05 ) 3 3 1 = 0.157625 ó 15.7625%
n = 3, porque en un semestre hay 3 bimestres.
b. Tasa mensual
Primera forma
i periódica = i bimestral = 0.30/6 =0.05
ia = (1+0.05)63! = 0.3400
Combase en la tasa efectiva anual se puede calcular la tasa mensual
ia = 0.34
i
= ( 1 + i periódica)n31
0.34 = (1 +i mes )12
31
n = 12 meses, porque un año tiene 12 meses, y al ser la tasa mensual se liquidarán 12
veces en el año.
1.34 = (1 +i mes )12
12
1.34 =
12
(1 +i mes )12
45
1.02469 = 1 +i mes
1.0246931=1 +i mes
0.02469 = i mes
2.469% = i mes
Segunda forma
i = 30% anual bimestre vencido
i periódica = i bimestral 0.30 / 6 =0.05
Utilizando la fórmula de tasa efectiva se tiene:
i ea = (1 + i periódica) n3 1
= (1 + i mes)2 – 1
0.05
1.05 = (1+ i mes) 2
12
I .05 =
12
(1 + i mes) 2
1.02469 =1 + i mes
0.2469 = i mes
i mes = 2.469%
Obsérvese que se consideró la tasa del 5% bimestral como efectiva; la razón es
muy sencilla, los meses están contenidos dentro del bimestre. Lo mismo
sucedería si se tuviera una tasa del 3% mensual y se preguntara la tasa
quincenal; como la quincena está contenida dentro del mes, el 3% se tomaría
como efectiva.
Ejemplo 3
Justo Pastor Malo recibió un préstamo del Banco Popular de $7,000,000 que
debe ¡pagar en una sola cuota dentro de 2 años. Si la tasa de interés es del
24% anual semestre vencido, ¿calcular el valor de la cuota que debe pagar
Justo Pastor al Banco Popular?
P = 7,000,000
2 años
0
I = 24 % anual semestre vencido
F=?
46
Obsérvese que la tasa está estipulada en diferente período que el plazo, la primera en
semestres y la segunda en años; por lo anterior se debe efectuar la conversión:
correspondiente.
Primera forma
Se debe hallar la tasa de interés efectivo anual para que coincida con el período del
plazo que está dado en años, por lo tanto:
iea = (1+ i periódico) n +1
i periódica = i semestral = 0.24 / 2 = 0.12
iea = (1+0.12) 2 31=0.2544
F =P(1+ i ) n
F = 7,000,000 (1+0.2544)2
F = $11,014,635.52
• Segunda forma
i = 24% anual semestre vencido
i periódica = i semestral = 0.24 / 2 = 0.12
Plazo = 2 años = 4 semestres, por lo tanto el gráfico puede expresarse de la siguiente
manera:
P = 7,000,000
1
2
3
0
semestres
F =?
i = 12% semestral
F =P(1+ i ) n
F = 7,000,000(1+0.2544)2
4
= $11,014,635.52
Tasas anticipadas
Para analizar este concepto se considera el siguiente caso hipotético; supóngase que
doña Linda Reina desea invertir $100 millones y se dirige al Banco Santander. Su
gerente, el doctor Pastor Bueno le ofrece una tasa del 40% anual año anticipado.
Veamos cómo sería el comportamiento con un gráfico, doña Linda no necesita el
dinero sino hasta dentro de un año.
$ 40 millones “hoy”
Interés anticipado
$ 100 millones devolución de
la inversión Un año
$ 100 millones
inversión
En el gráfico puede observarse que el inversionista invierte $100 millones y en el mismo
momento recibe los intereses correspondientes o sea $40 millones, es decir, que solo
invirtió $60 millones, lo cual puede resumirse en el siguiente gráfico:
$100 millones
1 año
$60 millones (Inversión)
En el gráfico anterior se tiene un valor presente que son los $60 millones y un valor futuro
dentro de un año por un valor de $100 millones. Si se aplica la primera equivalencia
(ver capítulo 1) se puede hallar el interés:
F= P (1 + i) n
F = $100
P = $60
N = 1 año
100= 60(1+i) 1
100/60 = (l+i)
1.6667 = 1+ i
i = 1 .6667 3 1 = 0.6667 = 66.67% anual
Lo anterior quiere decir que para doña Linda Reina es equivalente el 40% anual año
anticipado ó el 66.67% anual año vencido. Si se hace el análisis utilizando la definición
dada en el primer capítulo, en el cual se dice que interés es igual a utilidad sobre
inversión se obtiene lo siguiente
i= Utilidad / Inversión = 407(100340)= 40/60= 0.6667 ó 66.67%
Si se expresa en términos porcentuales se tiene:
i=0.40/(l30.40)=0.40/0.60=0.6667 ó 66.67% anual
De lo anterior podemos generalizar la siguiente fórmula:
i vencido =
ia
DDDDDDDDDDDDDDDDD
(13 ia)
donde:
iv = i vencido
ia = interés anticipado
i vencido = 0.407(130.40) = 0.40/0.6 = 0.6667 = 66.67% anual
Con base en la conversión anterior, se pueden calcular las tasas efectivas cuando son
anticipadas.
Consideremos las siguientes posibilidades como una tasa única de 40% anual pero con
diferentes modalidades de liquidación de intereses y calculemos las tasas efectivas anuales
correspondientes.
TASA ANUAL
LIQUIDACIÓN DE INTERESES
40%
Semestre anticipado
40%
Trimestre anticipado
40%
Bimestre anticipado
40%
Mes anticipado
40%
Día anticipado
40%
Cada 12 horas anticipado
(1)
40% anual semestre anticipado
i periódica = i semestral anticipada = 40%/2 = 20% semestre anticipado
i semestre vencida = 0.20 / (130.20) = 0.20/0.80 = 0.25
i efectiva anual = (1+0.25) 31 = 0.5625
(2) 40% anual trimestre anticipado
i periódica = i trimestral anticipada = 40% / 4 = 10% trimestre anticipado
i trimestre vencido = 0.10 / (1 30.10) = 0.111111
i efectiva anual = (1+0.1111II) 4 31 =0.524157
(3) 40% anual bimestre anticipado
i bimestral anticipado = 40%
6.67%
i bimestral vencida = 0.0667 /(I30.0667) = 0.07143
i efectiva anual = (1+0.07143)6 31 = 0.51282484
(4) 40% anual mes anticipado
i mes anticipado = 0.40 /12 = 0.03333
i vencida = 0.033333 /(130.0333) = 0.03447919
i efectiva anual = (1+0.03447919)12 3 1 = 0.50196949
(5) 40% anual día anticipado
i día anticipado = 0.40/360 = 0.001111
i vencida = 0.001111 / (l30.001111) = 0.00111235
i efectivo anual = (1+0.00111235)360 31 =0.4921565
(6) 40% anual cada 12 horas anticipado
i cada 12 horas anticipado = 0.40/720 = 0.00055556
i vencida = 0.00055556 / (130.00055556) =0.00055586
i efectiva anual = (1+0.00055556)720 +1 = 0.49199053
Los cálculos anteriores se pueden resumir en la siguiente gráfica:
Con base en los cálculos realizados anteriormente, sobre las tasas efectivas considerando
diferentes sistemas de liquidación de intereses y las tasas efectivas vencidas y anticipadas,
se puede obtener el siguiente resumen
TASAS VENCIDAS
TASAS ANTICIPADAS
Tasa nominal
# de
liquidaciones
por año
T.E.A.
Tasa nominal
#de
liquidaciones
por año
T.E.A.
40% anual A. V.
1
40.00%
40% anual A. A.
1
66.67%
40% anual S.V.
2
44.00%
40% anual S.A.
2
56.25%
40% anual T.V.
4
46.41%
40% anual T.A.
4
52.42%
40% anual B.V.
6
47.32%
40% anual B.A.
6
51.28%
40% anual M.V.
12
48.16%
40% anual M.A.
12
50.20%
40% anual D.V.
360
49.14%
40% anual D.A.
360
49.22%
Con base en la tabla anterior se puede concluir lo siguiente: en las tasas vencidas a
medida que aumenta el número de liquidaciones aumenta la tasa efectiva anual
logrando como tasa máxima la capitalización continua (ie=ei 31). El comportamiento de
las tasas anticipadas es inverso; a medida que aumenta el número de liquidaciones
disminuye la tasa efectiva anual, es decir, se logra la tasa efectiva máxima en el caso
de las anticipadas cuando es una sola liquidación.
En el gráfico siguiente se ve el comportamiento de las dos modalidades, vencida y
anticipada.
Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas y anticipadas
Tasas efectivas con tasa de interés anticipadas
Este tipo de conversión es similar al descrito en los temas anteriores, simplemente
incluye un paso adicional que consiste en convertir las tasas periódicas anticipadas
en periódicas vencidas; en otras palabras, es hallar la tasa equivalente vencida a la
anticipada.
Ejemplo
Con una tasa del 20% anual trimestre anticipado, hallar la tasa mensual.
Primera forma
i = 20% anual trimestre anticipado
i
= i
periódica
=0.20/4 =0.05
trimestral anticipada
i vencido =
i anticipado
/ (13 i anticipado)
i trimestre vencido = I trimestre anticipado / (13 i trimestre anticipado'
i trimestre vencido = (0.05 / ( I 30.05) = 0.05/0.95
i trimestre vencido = 0.052631578
i ea = (1 + i periódica) n3 1
i ea = (1 + 0.052631578)431
i
= 0.2277 o 22.77%
Con base en la tasa efectiva anual se calcula la tasa mensual
i ea = (1 + i periódica) n3 1
i ea = 0.2277 = ( 1+ imes)1231
1.2277 = (l + imes ) 12
12
I.2277 =
12
(l + i mes )12
1.017244= 1 + imes
1.017244 – 1 = imes 0.017244 = i mes
imes
= 1.7244%
Segunda forma
i = 20% anual trimestre anticipado
i periodica = i trimestral anticipada = 0.20 / 4 = 0.05
i vencido =
i anticipado / (13i anticipado)
i trimestre vencido =
i trimestre anticipado / (13i trimestre anticipado)
i trimestre vencido =
0.05 /(I 30.05) = 0.05/0.95
i trimestre vencido =
0.052631578
Con base en la tasa trimestral vencida se puede calcular la tasa mensual y en
razón a que el mes está contenido dentro del trimestre, la tasa trimestral se puede
considerar como efectiva.
0.052631578
i trimestre vencido =
i ea = (1 + i periódica) n3 1
0.052631578 = (1+imes) 33 1
1.052631578= (1+imes) 3
3
1.052631578 =
3
(1+imes) 3
1.017244 = 1+i mes
0.017244 = i mes = 1.7244%
EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS
1. Sandra Muñoz canceló hoy $7,560,000 al Banco de Bogotá por un préstamo
que le fue otorgado hace un año. Calcular el dinero prestado a Sandra si:
a. La tasa de interés es del 3% mensual simple
b. La tasa de interés es del 3% mensual compuesto
c. La tasa de interés es del 4% mensual simple
2. Lady Noriega recibió un préstamo del Banco Santander de $10,000,000; si
canceló $13,500,000 en un solo pago, calcular el plazo del préstamo si:
a. La tasa de interés es del 2% mensual simple.
b. La tasa de interés es del 2% mensual compuesto
c. La tasa de interés es del 1.5% mensual compuesto.
3. Pastor Bueno desea tener $20, 000,000 dentro de 2 años para la cuota inicial
de un vehículo Audi, para lo cual se ha propuesto el siguiente plan de ahorros:
Hoy, ahorra $1,000,000
Dentro de 2 bimestres, 3,000,000
Dentro de 8 meses, $5,000,000 ;
Dentro de 1 año, $2,000,000
Dentro de año y medio, $7,000,000
El Banco de Bogotá le ha propuesto 3 planes:
Plan A: i = 1% mensual simple
Plan B: i = 2% mensual compuesto
Plan C: i = 2% bimestral simple (Un bimestre = 2 meses)
Nota: No olvidar que el plazo y la tasa de interés deben estar expresados en el
mismo período
a. Determinar el dinero acumulado dentro de 2 años de cada uno de los planes.
b. ¿Cuál es el mejor plan?
4. En los ejemplos 1 a 6 de interés simple y 1 a 6 de interés compuesto que se
desarrollaron anteriormente, comparar el ejemplo 1 de interés simple con el ejemplo 1
de interés compuesto y así sucesivamente hasta el 6. Sacar las conclusiones
respectivas para cada una de las 6 comparaciones y presentar un informe.
5. Con base en una tasa del 30% anual mes vencido calcular:
a. Tasa trimestral
b. Tasa semestral
c. Tasa efectiva .anual
2. Con base en una tasa del 30% anual mes anticipado, calcular:
a. Tasa trimestral;
c. Tasa efectiva anual;
b. Tasa semestral
d. Tasa trimestral vencida
3. Calcular las tasas efectivas anuales de las siguientes tasas nominales, compararlas y
sacar conclusiones:
a. 25% anual semestre vencido
b. 25% anual trimestre vencido
c. 25% anual bimestre vencido
d. 25% anual mes vencido
e. 25% anual día vencido
f. 25% anual año anticipado
g. 25%) anual semestre anticipado
h. 25%) anual trimestre anticipado
i. 25% anual bimestre anticipado
j. 25% anual mes anticipado
k.
anual día anticipado
4. Si se tiene una tasa del 24%> anual trimestre anticipado, calcular:
a. Tasa mensual
b. Tasa semestral
c. Tasa efectiva anual d. Tasa trimestral
5. Cuánto dinero tendrá acumulado dentro de 5 años Juan Pérez si invierte hoy 5
millones en el Banco Santander, que le paga una tasa de interés del 20% anual
semestre anticipado.
6. Linda Plata recibió un préstamo de su amigo Armando Rico hace 2 años y medio. Si
Linda pagó hoy a Armando $12,133,450 y la tasa pactada fue del 28% anual mes
vencido, calcular el valor el préstamo.
7. En el problema anterior ¿Cuál sería el valor del préstamo si la tasa de interés
fuera del 32% anual bimestre anticipado?
8. Linda de Bonito planea adquirir un vehículo CITROEN dentro de 2 años y se ha
propuesto el siguiente plan de ahorros para este lapso de tiempo:
Hoy, ahorra $1,500,000
Dentro de 2 bimestres, $4,000,000
Dentro de 2 trimestres, $6,000,000;
Dentro de 18 meses, $5,000,000
Dentro de un año, $3,000,000
Si la cuota inicial que se requiere para adquirir ese vehículo dentro de 2 años es de
$23,500,000 y la tasa de interés que le pagan por su dinero ahorrado es del 32% anual
trimestre vencido, ¿tendrá doña Linda el dinero suficiente para la cuota inicial del
vehículo?
CAPÍTULO DOS
EQUIVALENCIAS CON CUOTAS FIJAS
Justificación
El sistema de cuotas constantes y periódicas, conocido mas
generalmente como anualidades, es el más utilizado en el
ámbito financiero en el tratamiento de pago de cuotas o en
operaciones de ahorro y su aplicación se da en la necesidad de
encontrar el valor de sumas futuras o presentes equivalentes a
una serie de cuotas fijas iguales vencidas o anticipadas.
Objetivo General
Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de
pagos uniformes ya sea en forma vencida o anticipada.
Objetivos específicos
Establecer el valor futuro de una serie de pagos uniformes en
forma vencida
Calcular el valor presente de una serie de pagos uniformes
de manera anticipada
Encontrar el calor presente de una serie de cuotas fijas
vencidas liquidadas con intereses anticipados
2. EQUIVALENCIA CON CUOTAS FIJAS
Una de las formas más utilizadas en nuestro sistema financiero es el pago de prés3
tamos a través de cuotas fijas, en el lenguaje de las Matemáticas Financieras se les llama
anualidades o rentas. La relación que existe entre las cuotas fijas y un valor
presente o un valor futuro se conoce con el nombre de equivalencias.
2.1. CUOTAS FIJAS VENCIDAS
2.1.1 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas
Cuotas fijas = A
Valor futuro = F
N = Número de períodos
i% = Tasa de interés por período
Para poder ver la relación que existe entre una serie de cuotas fijas (iguales) y un
futuro F, considere que el señor Armando Casasbuenas tiene excedentes de
liquidez cada período y quiere invertirlos para tener dentro de un lapso de tiempo n el
suficiente dinero para adquirir una finca en la sabana de Bogotá. Estos ahorros se
harán al final de cada período a una tasa de interés del i%. Gráficamente el
comportamiento del problema sería el siguiente:
0
1
2
3
4
nD2
F
nD1
12
n
Con base en el gráfico anterior, se puede considerar cada punto del tiempo en el
cual se hace el ahorro como un valor presente en relación con el período n en el
cual se retirará el dinero para comprar la finca que en este caso sería el valor futuro.
Por ejemplo, el ahorro que se hace en el período n31 que tiene un valor de SA sí se
considera que estará invertido solo un período, su valor futuro correspondiente será
igual a A(1+i) (ver fórmulas del capítulo 1).
Si tomamos el ahorro de $A en el período n32 su valor futuro será A(1+i)2, para el
período n33 se obtendría A(1+i) 3, para el período n34 se obtendría A(1+i) 4 y así
sucesivamente hasta llegar al período 1; donde el valor futuro del ahorro A sería
A(1+i)(n31) y el ahorro que se hace en el período n, como coincide con el retiro del
dinero no genera intereses, por lo cual su valor futuro sería A(1+i) 0 o sea A porque
toda cantidad elevada a la cero es igual a uno.
Si se suman todos los valores futuros de cada uno de los ahorros de cada período se
obtiene:
F = A + A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n31)
Ecuación # 1
Si se multiplica esta ecuación por (1+ i) y se le llama Ecuación 2, se obtiene lo
siguiente:
F(1+i) = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + A(1+i)4 +......... + A(1+i)n Ecuación #
Si restamos la ecuación
de la ecuación 1 se obtiene:
F(1+i)3F = A(1+ i) n 3 A , despejando se tiene
F + Fi3F = A(1+ i) n 3 A
F+Fi3F = A(1+ i) n 3 1
F = A[(1+i)n 31]
F = A[((1+i)n D1) / i]
Fórmula 1
La anterior ecuación es la equivalencia entre un valor futuro y una cuota fija vencida o
anualidad.
2.1.2 Equivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas vencidas
La equivalencia entre un valor presente y una cuota fija se deduce de la fórmula
número 1 simplemente reemplazando F por P(1+i)n, que es la fórmula base de las
Matemáticas Financieras.
P(1+i)n = A[(1+i)n 31/i]
P = A[{ (1+i)n D1} / { (1+i)n}]
Fórmula 2
De las fórmulas 1 y 2 se puede calcular el valor de la cuota fija de la siguiente forma:
A = F [{ i} /{ (1+i)n 31}]
Fórmula 3
A = P [{i (1+i)n } / { (1+i)n 31 }]
Fórmula 4
2.2 CUOTAS FIJAS ANTICIPADAS
2.2.1 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas anticipadas
Utilizando el procedimiento anterior, se pueden calcular las equivalencias entre cuotas fijas
anticipadas y los valores presente y futuro; utilicemos el gráfico que tomamos como
referencia para calcular las equivalencias anteriores pero considerando que las cuotas se
realizan anticipadamente o sea:
F
0
1
2
3
4
n33
n32
n31
n
El paso inicial es calcular el valor futuro de cada uno de los ahorros A; nótese que en el
período n no hay ahorro y sí lo hay en el período cero. Esta es la diferencia que hay con
respecto al gráfico de las cuotas vencidas, pues las cuotas fijas se consideran
anticipadamente o a principios de cada período, por lo tanto el valor futuro obtenido con
base en el diagrama anterior sería:
F = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + A(1+i)4 +......... + A(1+i)n
Si a esta ecuación la llamamos la ecuación número 1 y la multiplicamos por (1+i)
obtenemos la ecuación número 2.
F (1+i) = A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n+1)
Si sacamos la diferencia entre las dos ecuaciones se obtiene:
F (1+i)3F = A(1+i) (n+1) 333 A(1+i)
F + Fi3F = A[(1+i) (n+1) D (1+i)]
F = A[{(1+i)(n+l) 3 (1+i)}/ i]
Fórmula 5
2.2.2 Eequivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas anticipadas
Con base en la equivalencia anterior entre un valor futuro y una cuota fija anticipada se
puede obtener la existente entre un valor presente y una cuota fija anticipada,
simplemente reemplazando F por P(l+i) n
P(l+i) n = A[{(1+i)(n+l) 3 (1+i)}/ i]
P = A[{ (1+i)(n+l) 3 (1+i) } / { i(1+i) n }]
Fórmula 6
De las fórmulas 5 y 6 podemos obtener el valor de la anualidad en función del valor
presente o del valor futuro.
A = F[{ i } / {(1+i)(n+1) 3 (1+i) ]
Fórmula 7
A= P[{ i ( 1+i)n} / { (1+i)(n+1)3(1+i)} ]
Fórmula 8
Las anteriores equivalencias permiten pactar una serie de transacciones en el mundo real.
2.2.3 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas
con intereses anticipados
Este caso se presenta cuando en un crédito se pactan cuotas uniformes vencidas
pero le cobran intereses anticipadamente, es decir en el momento de recibir el
préstamo el beneficiario no recibe la totalidad sino la diferencia entre el valor del
crédito y los intereses correspondientes al primer período.
En este caso como el usuario pago los intereses anticipadamente, en la última
cuota no se pagarían intereses, sino la totalidad del valor pagado sería abono a
capital.
La equivalencia a usar en este caso sería:
A = P[ i / ((13(13 i)n))]
A continuación se tratan
expuestas anteriormente.
Fórmula 9
casos prácticos relacionados con las equivalencias
Ejemplo 1
Doña Linda Reina recibió un préstamo del Banco de Bogotá por $10 millones para
cancelar en 12 cuotas mensuales iguales vencidas con una tasa del 3% mensual. Calcular
el valor de las cuotas.
Gráficamente se tendría la siguiente interpretación del problema:
10,000.000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 Meses
0
A= ?
I = 3%
Se debe utilizar la fórmula 4
A = P[{ ¡ ( 1+¡) n / {(1+i) n 31}]
P = Valor presente, es en este caso, el valor del préstamo o sea $ 10.000.000
i = 3%
n = 12 meses
Tenemos las tres variables, por lo cual podemos calcular la cuota fija A
A = 10.000.000 [ {3%(1+3%)12} / { (1+3%) 1231}]
Alternativamente se puede escribir de la siguiente forma reemplazando el 3% por 0.03
A=10.000.000[{0.03(1+0.03)12}/{(1+0.03)1231}] A= $1.004.620.85
CAPÍTULO TRES
EQUIVALENCIAS CON CUOTAS VARIABLES
Justificación
Una serie de pagos puede hacerse en forma uniforme en
cuanto al tiempo, pero aumentar o disminuir en una cantidad
constante denominada gradiente. Esto lo que se conoce como
cuota variable, sistema utilizado alternativamente para el manejo
de los créditos en el sistema financiero. Con el estudio del
capítulo, el aprendiente estará en condiciones de establecer la
correspondencia entre unaa serie de pagos variables y un valor
presente.
Objetivo General
Determinar la equivalencia entre una cuota variable y un
valor presente
Objetivos específicos
Establecer el valor de cada cuota en un sistema de cuotas
con incremento previamente pactados
En un sistema de cuotas crecientes o decrecientes
determinar el valor de la primera cuota.
Utilizar la hoja electrónica para el cálculo de las cuotas
variables
3. EQUIVALENCIA CON CUOTAS VARIABLES
3.1. GRADIENTES
El sistema financiero colombiano además de las cuotas fijas, utiliza métodos alternos para
sus créditos, las cuotas variables es uno de ellos, la filosofía de esta forma de pago
es realizar incrementos periódicos en los pagos de los usuarios. Desde este punto
de vista se generan dos formas de aplicarlo; la primera de ellas es incrementos en
cantidades fijas, este sistema se conoce con el nombre de
o
incremento en las cuotas mediante un porcentaje fijo, lo que se conoce con el nombre de
veamos con unos ejemplos como opera cada uno de ellos.
3.1.1. Gradiente Aritmético
Consideremos el caso de don Pastor Bueno, quién solicitó un crédito de $15 millones al
Banco Santander; para pagar en un plazo de 3 años con pagos semestrales e incrementos
de $ 100.000 a partir de la segunda cuota, si el interés es del 15% semestral, calcular el
valor de las cuotas que debe pagar don Pastor Bueno al Banco.
Gráficamente el problema se expresa así:
$I 5.000.000
0
6 semestres
A
A+100.000
A+200.000
A+300.000
A+400.000
A+500.000
El problema se puede resolver utilizando la equivalencia, base de las matemáticas
financieras explicada en el capítulo 1, o sea, F = P(l + i)N, que para el problema
planteado sería de la siguiente manera:
1. Traer a valor presente cada una de las cuotas:
A/(1+0.15)' + (A + $100.000) / (1+0.15)2 + (A + $200.000) / (1 + 0.15)3 +
(A + $300.000)/(1+0.15)4 + (A + $400.000)/(1+0.15)5 + (A+$500.000)/(1+0.15)6
2. Por el concepto de equivalencia igualar el valor del préstamo al valor presente de las
cuotas, es decir:
$15.000.000. =A/(1+0.15)' + (A + $100.000)7 (1+0.15)2 + (A + $200.000)/
(1+0.15)3+(A + $300.000) /(1+0.15)4 + (A + $400.000) / (1+0.15)5 +
(A + $500.000) / (1 + 0.15)6
3. Hallar el valor de A
4. A = $3.753.834.56
Alternativamente se puede utilizar las fórmulas de gradiente aritmético que se
derivan' de la fórmula matriz para resolver el problema planteado; sin embargo el
problema se j puede resolver fácilmente, utilizando del menú principal de Excel
herramientas de la I siguiente forma:
Hoja de Excel
A
B
C
D
E
F
G
1
2
0
3150000000
3
1
20
4
5
2
3
=B3+1 00000
=B4+1 00000
7
8
4
5
6
=B5+100000
=86+100000
=B7+100000
Valor
préstamo
Colocar
———— > cualquier valor
=VNA (0.15, B3:B8)+B2
El primer paso es colocar sobre la hoja de cálculo los ingresos y desembolso de
dinero que tiene la transacción (Flujos de Caja). Si nos colocamos en la posición de la
entidad financiera, el desembolso lo hace cuando entrega el dinero al cliente, los
ingresos cuando recibe los pagos; en el ejemplo se consideró que el préstamo era de
Si5.000.000 como es desembolso para el Banco le colocamos signo negativo, los
ingresos de dinero que corresponde a los pagos del cliente no los conocemos solo
sabemos que se incrementan en $100.000, cada uno de ellos.
Para calcular el valor de los pagos que es nuestro objetivo, se coloca primero que todo
en la columna A de las filas 2 a la 8 el encabezado semestre y luego, los períodos
de los flujos de caja los cuales son en este caso de cero a seis (O a 6); en la última
columna B con el encabezado flujos de caja se coloca en las filas 2 a la 8 los ingresos y
egresos de la transacción para la entidad financiera comenzando con el valor del
préstamo que colocamos en la celda B2, en las celdas B3 a B8 se colocan los pagos que
hace el cliente. Como éstos se desconocen, en la celda B3 se registra cualquier valor,
pero con signo contrario al valor del préstamo y se formulan los siguientes; es decir, el
pago 2 sería igual al pago 1, incrementado en $100.000 o sea = B3 +100.000 y el
pago 3 como =B4 +100.000 y así sucesivamente, hasta llegar al pago 6 que se
formularía como =B7 +100.000, como muestra la figura.
Una vez terminado de formular los ingresos y desembolsos de la transacción de la i
transacción se coloca en cualquier otra celda para nuestro caso G5 el cálculo del
valor presente neto (VNA), de los flujos de caja a la tasa dada (1% semestral), que
quedan; de la siguiente forma:
= VNA (0.15, B3:B8) + B2
TASA DE INTERÉS
0.15 Corresponde al 15% de tasa de interés.
B3 :B8 Es el rango de los pagos que hará el cliente, los cuales se traen a valor presente.
:
B2
Valor del préstamo
Seguidamente, se busca en el menú principal del Excel herramientas, y allí se
selecciona buscar objetivo y aparece el siguiente menú:
DEFINIR CELDA:
CON EL VALOR:
PARA CAMBIAR CELDA:
En definir la celda
transacción.
se coloca G5, que corresponde al valor presente neto de la
Con el valor se coloca cero (0), partiendo del concepto de equivalencia de toda la
transacción, es decir, que el valor presente de los pagos futuros debe ser igual al valor del
préstamo a la tasa de interés dada, al calcular la diferencia este valor debe ser cero. En
nuestro ejemplo, los pagos futuros que vamos a calcular traídos a valor presente a la
tasa de interés del 1 5% deben ser iguales a los $ 1 5 .000 .000 del préstamo, este concepto
debe cumplirse para cualquier transacción, por lo tanto al sacar la diferencia entre el
préstamo desembolsado hoy y el valor presente de los pagos futuros ésta debe ser CERO.
Para cambiar la celda se coloca la celda en la cual se colocó cualquier valor
en nuestro caso es la B3 que tiene un valor de 20.
En resumen, buscar objetivo debió quedar definido de la siguiente manera:
DEFINIR CELDA:
G5
CON EL VALOR:
O
PARA CAMBIAR CELDA:
B3
Se registra "aceptar" y automáticamente en las celdas que se formularon los pagos
debe aparecer el valor de cada uno de ellos y en la celda G5 que es el valor presente
neto, debe aparecer cero.
La hoja de Excel debe quedar finalmente con la siguiente presentación:
A
1
3
4
5
6
7
8
9
B
C
D
E
F
G
Semestre Flujo de Caja
0
1
3
4
5
6
315.000.000.00
3.753.834.56
3.853.834.56
3.953.834.56
4.053.834.56
4.153.834.56
4.253.834.56
0.00
3.1.2 Gradiente Geométrico
Otra forma alterna de cuota variable es el gradiente geométrico, es decir cuando una
cuota varía respecto a otra no en una cantidad específica, por ejemplo $100.000, sino en
un porcentaje ejemplo 10%.
Con base en el ejemplo de doña Linda Plata de Rico que3recibió un préstamo de su
amigo don Pastor Bueno, el cual debe pagar en un plazo de una año y medio en 3
cuotas semestrales con un interés del 20% semestral, con incrementos de la cuota en un
10%, gráficamente se expresaría para don Pastor Bueno:
A(1.10)(1.10)
= A (1.21)
A(1.10)
A
1
2
3
semestres
Tasa de interés: 20% semestral
$ 5,000,000
El ejercicio anterior se puede desarrollar utilizando la primera fórmula de equivalencia vista
en el capítulo 1, es decir, P = F/(l + i )n, de la siguiente forma:
Primero se trae a valor presente los pagos futuros que debe hacer doña Linda a don
Pastor.
P= A/ 1 I +0.20) + A ( 1 . 1 0 ) / (1 +0.20)2 + A ( 1 . 2 1 ) / (1 + 0.20)3
Luego, se iguala el valor presente de los pagos futuros al valor del préstamo, es decir:
$5.000.000 =
A/ ( 1 +0.20) +A(1.10)/ (1+0.20) 2 +A(1.21)/ (1+0.20)3
Finalmente, se calcula A haciendo el despeje respectivo de la siguiente forma:
$5.000.000= A/1.2 + 1.10 A/1.44 + 1.21 A /1.728
$5.000.000 = 0.83333 A + 0.7638 A + 0.70023 A
$ 5.000.000 = 2.2974537037 A
A = $2.176.32242
Como se observa cualquier cálculo en matemática financiera se puede hacer utilizando la
primera equivalencia utilizada en este libro, y que se definió de la siguiente manera:
F = P( 1 + i)
Y despejando P se tiene:
P = F / (I1+ i )N
3.2 EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UN GRADIENTE
3.2.1 Equivalencia entre un valor presente y un gradiente aritmético
Se define el gradiente aritmético a las cuotas variables en un plazo dado que aumenta una
cantidad g en cada período
n semestres
A+g
A+2g
A+3g
A+4g
A+(n31)g
Obsérvese en el gráfico anterior que en cada una de las cuotas permanece A como una
constante, simplemente aumenta una cantidad fija g con respecto al período anterior.
Nótese que el incremento en el período 3 es 2g en el 4 es 3g y así sucesivamente, por lo
cual se puede concluir que en el período n será (n31)g.
Para deducir la equivalencia que permite a través de una sola fórmula hacer los cálculos que
se hicieron antes, lo primero que hay que identificar es que las cuotas variables tienen 2
componentes, uno fijo y otro variable; el fijo como se anotó anteriormente es A y su valor
presente se definió de la siguiente forma:
P = A[{(1+i)n D 1} / { i (1+i)n}n]
La parte variable se presenta a partir del segundo período, cuando comienza el
incremento g, en el tercer período es 2g, en el cuarto es 3g y así sucesivamente hasta
r. donde el incremento es (n31)g. Todos estos valores representan el incremento
acumulado de la cuota, si se obtuvo el valor presente de la parte fija de la cuota
variable, también es posible calcular el valor presente del componente cambiante
utilizando para su cálculo la primera equivalencia, como se presenta a continuación:
P1 = g / (1+i) 2
P2 = 2g / (1+i)3
P3 = 3g / (1+i)4
P4 = (n—1)g / (1+i)n
P = P, + P2 + P3 + P4
P = g/(1 + i ) 2 + 2g / (1 + i) 3 + 3g / (1 +i) 4 +.................+(n31)/(1+i)n
Factorizando se tiene lo siguiente:
P = g[ 1/(1 + i ) 2 + 2/(1 + i) 3 + 3/(1 +i) 4 +.................+(n31)/(1 +i)"]
Llamando X a los términos que se encuentran entre paréntesis se tiene:
P = g(X)
X = 1/(1 + i ) 2 + 2/(l + i ) 3 + 3/(l + i ) 4 +....... ..+(n3l)/(l + i ) n
Ecuación #1
Multiplicando la ecuación anterior por (1 + i ) se tiene:
X(l + i ) =1/(1 + i )' +2/(1 + i )2 +3/(1 + i
.+(n31) / (1 + i )n 3 1
Ecuación #2
Si se resta la Ecuación #2 3 Ecuación #1 se tiene lo siguiente:
X3X(1+i) = 1/(1 + i )' +1/ (1 + i )2 +1/ (1 + i )2
+.....
3(n3l)/ (I + i )n
X 3 X + Xi =Xi
Xi = 1/(1+ i) 1 + 1/(1 +i) 2 + 1/(i+ 1) 3 +..... ........ ....3(n3l)/ (1 + i )n
El último término de la ecuación anterior se puede descomponer en:
por lo tanto:
3n / (1 + i )n +(1 + i )n
Por lo tanto:
Xi = i/(1 + i) 1 + i ( 1 + i ) 2 + 1/1+ i) 3 ... ..+1/1 + i )n 3n/(1 + i )n Ecuación #3
Todos los términos del segundo miembro de la ecuación a excepción del último
corresponden a una serie uniforme de 1 :
1 /(1 + i )1 + 1/(1 + i ) 2 + 1/(1 + i) 3 +......+1 /(1 + i )n
serie uniforme de $1
entonces, esta serie es una anualidad cuyo factor sería:
[(1+i)n 3 1] / [i(1+i)n]
Por lo tanto la Ecuación #3 quedaría expresada así:
Xi = [(1+i)n 3 1] / [ i (1+i)n ] 3 n/(1+ i )
Al comienzo de esta deducción se determinó que P = g(X)
Reemplazando el valor de X, se tiene el valor presente del gradiente aritmético, definido
de la siguiente forma:
P = (g / i) [ [ (1+i)n 3 1] / (i (1+i)n ] 3 n / ( 1 + i )n]
Fórmula # 9
En el gradiente aritmético se presentan dos situaciones, la primera es cuando la cuota
variable aumenta período a período en una cantidad fija y la segunda cuando es
decreciente, en ambos casos se emplea la misma fórmula, pero el planteamiento del
problema se hace en forma diferente, como se explica a continuación:
3.2.2 Gradiente aritmético creciente
Si se recibe un préstamo de una entidad bancaria y éste debe ser cancelado en cuotas
variables, las cuales se incrementan en la misma cantidad en cada período hasta terminar
el plazo, se tendría un caso de gradiente creciente; su ilustración mediante un
ejemplo sería de la siguiente forma:
Linda Plata de Rico recibe un préstamo del Banco Santander por $5.000.000 el cual debe
ser cancelado en 3 años en cuotas variables semestrales con una tasa de interés del 5%
semestral, e incrementos de $250.000 en cada una de las cuotas; con base en la
información anterior determinar el valor de la primera cuota.
El punto de partida de este problema sería la elaboración del gráfico correspondiente:
semestres
0
1
2
3
4
5
6
A
A +250.000
A +500.000
A+750.000
A+1.000.000
A+1.250.000
Como se había explicado anteriormente las cuotas variables tienen un componente
fijo que para el problema se llama "A"; la variable seria el gradiente de $250.000
que es el incremento semestral del pago, por lo que el valor del préstamo sería
igual al valor presente de la parte fija más el valor presente del componente
variable.
P1 = Valor presente parte fija
P2 = Valor presente parte variable
,
Valor del préstamo = P1+ P2
Tasa de interés = i = 5% semestral;
n=6
P1 = P = A[((1+i)n 3 1) /(i(1+i)n)] = A[((1+5%)6 3 1) / (5%(1+5%)6)]
P1 =A( 5.07569206721)
P2 =
(g/i [[(1+i)n – 1]/[i(1+i) n ]3n/(1+i)"]
P2 = (250.000/5%) [[( 1+5%)6 3 1] /[5%(1+5%)6] 3 6/ (1 + 5% )6]
P2 = $ 2.991.998,44
P, + P2 = $5.000.000
A( 5,07569206721) + 2.991.998,44 = 5.000.000
Despejando A se tendría:
A( 5,07569206721) = 5.000.00032.991.998.44
A( 5,07569206721 ) = 2.008.001,56
A= 2.008.001,56/5,07569206721
A =$395.611,38
El resultado anterior quiere decir que el valor de la primera cuota es de $ 395.611,38
el de la segunda es este último valor adicionado en $250.000 que es el gradiente, lo
que genera un valor de $ 645.611,38 y así sucesivamente hasta el período sexto
que es el plazo convenido; en la siguiente tabla se detalla la amortización del
préstamo, con una tasa de interés del 5% semestral
SEMES
TRE
SALDO
INICIAL
INTERESES
CUOTA
ABONO A
CAPITAL
SALDO
FINAL
1
$5,000,000.00 $250,000.00
$395,611.38
$145,611.38
$4,854,388.62
2
$4,854,388.62 $242,719.43
$645,611.38
$402,891.95
$4,451,496.66
3
$4,451,496.66 $222,574.83
$895,611.38
$673,036.55
$3,778,460.11
4
$3,778,460.11 $188,923.01
$1,145,611.38 $956,688.38
$2,821,771.74
5
$2,821,771.74 $141,088.59
$1,395,611.38 $1,254,522.80
$1,567,248.94
6
$1,567,248.94 $78,362.45
$1,645,611.38 $1,567,248.94
$0.00
3.2.3 Gradiente aritmético decreciente
En este caso el valor de la cuota variable disminuye una cantidad igual “g” con
respecto al periodo anterior.
Gráficamente se expresaría de la siguiente forma
0
1
2
3
4
5
n
A3(n31)g
A34g
A33g
A32g
A3g
A
En este caso se toma la cuota de mayor valor y se considera como constante, y se calcula
su valor presente; posteriormente se determina el valor presente del gradiente. Como se tomó la
de mayor valor como constante, se calcula la diferencia entre el valor presente de la parte
constante y la del gradiente o parte variable.
Un ejemplo que ilustra el concepto anterior se detalla a continuación: Juan Pérez recibió un
préstamo de $2.000.000 para pagar en 6 bimestres en cuotas variables, con
disminuciones de $30.000 en el valor de cada cuota. Si la tasa de interés es del 2%
bimestral, calcular el valor de la primera cuota.
El diagrama sería el siguiente:
0
1
2
3
4
5
n
A3150,00
A3120,000
A390,000
A360,000
A330,000
A
Primero, se calcula el valor presente de "A" o sea la parte constante.
P, = A[((1+i) n 3 1)/(i(1+i)")] = A[((1+0.02)6 3 1)/(0.02(1+0.02)6)]
P 1 =A( 5.6014308)
Luego, se calcula el valor presente del gradiente
P2 =
(g/i)[[(1+i)n 3 1]/[i(1+i) n ]3n/(1+i) n ]
P 2 = (30.000/0.02) [[(1+0.02)6 3 1]/[0.02(1+0.02) 6]36/(1+0.02/]
P2 = $ 410,403.90
Finalmente, se calcula el valor de A
P 1 3P 2 = 2,000,000
A[5.6014308]3410,403.90 = 2,000,000
A[5.6014308] =2,410,403.90
A = $ 430,319.31
El valor de la segunda cuota sería 430,319.31 3 30,000 = 400,319.31 y así
sucesivamente hasta el período 6.
3.2.4 Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente Geométrico
La cuota variable que se incrementa un porcentaje fijo j respecto a la anterior, recibe el nombre
de gradiente geométrico y gráficamente se expresaría de la siguiente forma:
n períodos
0
1
2
3
4
k
k (1+0,04)4
k(1+j)
2
k(1+j)
k(1+j)3
k(1+j)
La equivalencia de estas cuotas variables que se incrementan un
período, y un valor presente está dada por:
P = K[{(1+i) n3(1+j) n }/(i3j)(1+i) n ] para
P= Kn/(1 + i )
para
%j
en cada
i diferente de j, y
i =j
Los conceptos anteriores se ilustran con un ejemplo: Pedro Rodríguez recibió un préstamo
de $5 millones del Banco de Bogotá que debe pagar en 6 cuotas trimestrales con
incrementos del 4% trimestral; si la tasa de interés es del 7% trimestral, hallar: a) el valor
de la primera cuota y b) el valor de la primera cuota si i=3% y j = 3% trimestral.
Gráficamente el problema se plantearía así: n períodos
Si i es diferente de j
5,000,000
2
1
0
k
3
5
4
6 trimestres
k (1+0.04)
k (1+0,04)3
k (1+0.04)2
k (1+0,04)4
k (1+0,05)5
P = K[{(1+i)n – (1+j)n} / (i+j)(1+i)n ]
5,000,000 = K[{(1+0.07)6 3 (1+0.04)6}/(0.0730.03)(1+0.07)6]
5,000,000 = K[5.22881704586]
K = $956,239.23
Si i es igual a j; i = 3% trimestral; j = 3% trimestral
P = Kn/(l + i )
5,000,000 =K6/(1.03)
[1.03(5,000,000)]/6 =
K = $858,333.33
3.3 AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS
La amortización de un préstamo indica período a período qué cantidad de la cuota
que se paga corresponde a los intereses del préstamo y qué cantidad es el abono
a capital. La suma de estos dos componentes es el valor de la cuota.
3.3.1 Tablas de amortización
El comportamiento de estas variables puede observarse mediante las tablas de
amortización, herramienta que adicionalmente permite determinar en un momento
dado el saldo del préstamo.
Con base en la información del ejemplo anterior, se elabora la tabla de amortización y
se realiza el análisis correspondiente.
La tabla está conformada por los siguientes elementos:
Período: para el ejercicio, es en meses.
Saldo inicial: para el período 1 es el valor del préstamo, o sea $10.000.000.
Para períodos posteriores, el saldo inicial del período n será el saldo final del
período n31
Intereses = Saldo inicial x tasa de interés; para el ejemplo los intereses
para el 3primer mes serían iguales a $10.000.000 x 3% o sea $300.000
Valor de la cuota fija A: es el calculado mediante la fórmula, en este
caso $1.004.620.85
Abonos a capital = Cuota fija 3 Intereses; para el primer período (mes) del
ejemplo sería:
Abonos a capital = $1.004.620.853$300.000 = $704.620.85
Saldo final = Saldo inicial 3 Abonos a capital. Siguiendo con el ejemplo se tendría
para el primer mes
Saldo final =10.000.0003704.620.85 = $9.295.379.15
Resumiendo, los encabezados de la tabla de amortización serían:
MES
SALDO
INICIAL
INTERESES
CUOTA
FIJA
ABONOS A
CAPITAL
SALDO
FINAL
A continuación puede observarse la tabla de amortización correspondiente al ejemplo
CUOTAS
12
PRÉSTAMO
$1O.OOO.OOO
MES SALDO INICIAL INTERESES
TASA DE
INTERÉS
CUOTA
MENSUAL
3%
ABONOS
CAPITAL
SALDO FINAL
1
$10,000,000.00 $300,000.00 $1,004,620.85 $704,620.85
$9,295,379.15
2
$ 9,295,379.15
$278,861.37 $1,004,620.85 $725,759.48
$8,569,619.66
3
$ 8,569,619.66
$257,088.59 $1,004,620.85 $747,532.26
$7,822,087.40
4
$ 7,822,087.40
$234,662.62 $1,004,620.85 $769,958.23
$7,052,129.17
5
$ 7,052,129.17
$211,563.88 $1,004,620.85 $793,056,98
$6,259,072.19
6
$ 6,259,072.19
$187,772.17 $1,004,620.85 $816,848.69
$5,442,223.50
7
$ 5,442,223.50
$163,266.70 $1,004,620.85 $841,354.15
$4,600,869.35
8
$ 4,600,869.35
$138,026.08 $1,004,620.85 $866,594.77
$3,734,274.57
9
$ 3,734,274.57
$112,028.24 $1,004,620.85 $892,592.62
$2,841,681.96
10 $ 2,841,681.96
$ 85,250.46
$1,004,620.85 $919,370.40 $1,922,311.56
11 $ 1,922,311.56
$ 57,669.35
$1,004,620.85 $946,951.51 $
$ 29,260.80
$1,004,620.85 $975,360.05
1 2 $ 975,360.05
TOTALES
$2,055,450.26
$12,055,450.26
$10,000,000.0
975,360.05
($0.00)
Para comprobar si una tabla de amortización fue bien elaborada, el saldo final al terminar
plazo debe ser CERO.
Alternativamente podemos utilizar las funciones de la hoja electrónica Excel para
calcular el valor de la cuota fija. Para ello empleamos las funciones f(x) financieras de
Excel siendo el primer plazo hacer clic en f(x), señalar financieras y buscar pago (significa
cuota fija, anualidad ó renta), hacer clic y aparece la siguiente información:
Tasa =
Nper =
VP
=
VF
=
3%
12
$10.000.000
$0
TIPO = O por ser de modalidad vencida; si hubiera sido modalidad anticipada se
colocaría UNO (1)
Excel arroja el pago por $1.004.620.85
Ejemplo 2
Considere el ejemplo número 1 pero modifique la forma de pago de vencida a
anticipada, es decir, el mismo préstamo de $10.000.000 a un plazo de 12 meses y una
tasa de interés del 3%.
Para este cálculo se utilizará la fórmula número 8 y obtenemos el valor de la cuota
fija cancelada anticipadamente de la siguiente forma:
A = P[{i(1+i) n } / { ( 1+i) (n+1) 3 (1+i)}
A = 10.000.000[{0.03(1+0.03)12}/{(1+0.03)133(1+0.03)}
A = $975.360.05
Para la elaboración de la tabla de amortización de este préstamo, al suido inicial del
período número 1 ó sea el valor del préstamo se le debe restar el valor de la cuota
anticipada, es decir $10.000.000 3 975.360.05 = $9.024.639.95
A continuación se observa la correspondiente tabla.
CUOTAS
12
PRÉSTAMO
$10.000.000.00
TASA DE INTERÉS
3.00%
MES
SALDO INICIAL
INTERESES
CUOTA
MENSUAL
ANTICIPADA
ABONOS
CAPITAL
SALDO FINAL
1
$9,024,639.95
$270,739.20
$975,360.05 $704,620.85 $8,320,019,09
2
$8,320,019.09
$249,600.57
$975,360.05 $725,759.48 $7,594,259.61
3
$7,594,259.61
$227,827.79
$975,360.05 $747,532.26 $6,846,727.35
4
$6,846,727.35
$205,401.82
$975,360.05 $769,958.23 $6,076,769.11
5
$6,076,769.11
$182,303.07
$975,360.05 $793,056.98 $5,283,712.13
6
$5,283,712.13
$158,511.36
$975,360.05 $816,848.69 $4,466,863.45
7
$4,466,863.45
$134,005.90
$975,360.05 $841,354.15 $3,625,509.30
8
$3,625,509.30
$108,765.28
$975,360.05 $866,594.77 $2,758,914.52
9
$2,758,914.52
$ 82,767.44
$975,360.05 $892,592.62 $1,866,321.90
10 $1,866,321.90
$ 55,989.66
$975,360.05 $919,370.40 $ 946,951.51
11 $ 946,951.51
$ 28,408.55
$975,360.05 $946,951.51 ($0.00)
12 ($0.00)
($0.00)
$0.00
$0.00
($0.00)
Alternativamente se puede utilizar las funciones financieras de Excel para calculare valor
de la cuota fija anticipada; para eso entramos por pago y nos aparece el siguiente menú:
TASA =
3%
NPER =
12
VP =
$10.000.000
VF =
0
81
TIPO =
1
Tipo 1 por ser modalidad anticipada y nos arroja el siguiente resultado:
A = $ 975,60.05
Ejemplo 3
El señor Armando Casasbuenas recibió un préstamo de $5.000.000 del Banco Sudameris
que debe pagar en 6 cuotas mensuales iguales vencidas. Si la tasa de interés es del 2%
para los tres primeros meses y de 3% para los tres siguientes, calcular el valor de la cuota
y elaborar la tabla de amortización correspondiente.
Gráficamente el problema se representa de la siguiente forma:
1
2
3
4
5
6
Meses
0
2%
3%
El planteamiento matemático se haría de la siguiente forma: como se trata de cuotas las
vencidas la fórmula a emplear sería:
P= A[ { ( 1+i)n 3 1} / { i (1+i) n }]
Sin embargo, hay que tener en cuenta que se tienen dos tasas de interés diferentes;
para los tres primeros meses es del 2% y para los siguientes del 3%, por lo tanto hay
que dividir el problema en dos partes:
Primero, se trae a valor presente las tres primeras cuotas con una i = 2%; este valor
presente se llamará P1
P1 = A[{(1+0.02)331}/{0.02(1+0.02)3}]
Luego, se trae a valor presente las tres cuotas siguientes con un i = 3% mensual; este
valor presente se llamará P2
P2 = A[{1+0.03)331}/{0.03(1+0.03)3}]
La gráfica resume lo que pasó:
82
♣
$ 5.000.000
1
2
3
4
5
6
0
2%
3%
Al traer a valor presente con tres períodos las cuotas de los segundos tres meses, se
cae en el mes 3 (donde está situado el trébol) y se debe estar en el mes cero; como la
tasa de esos primeros períodos es del 2%, el mes 3 es un valor futuro con respecto al
cero. Para estar en el período cero simplemente se aplica la fórmula matriz de las
Matemáticas Financieras o sea:
F
P= ++++++++++
( 1+i ) n
Por lo tanto P2 = A [ { (1+0.03 )3 3 1} / {0.03 (1+0.03)3 } ] / [ (1+0.02)3 ]
Por el concepto de equivalencia la suma de los valores presentes deben ser, igual al
valor del préstamo de $5 millones.
$5.000.000 = A[{(1+0.02)331}/{0.02(1+0.02)3}] + A[{(1+ 0.03)331} / {0.03(1+0.03)3} ] / [
(1+0.02)3 ]
Resolviendo se obtiene el valor de A
$5.000.000 = A[2,88388] + A[2,6654636]
$5.000.000 = A[5,54993469]
A = $5.000.000 75,5493469 *W
A = $901.006,92
Alternativamente, el anterior ejercicio se puede desarrollar utilizando las herramientas de
Excel de la siguiente forma:
83
Representación de una HOJA DE EXCEL
1
A
PRÉSTAMO
PAGO1
B
350000000
123
2
3
PAGO 2
=$B$2
4
PAGO 3
= $ B $2
5
PAGO 4
= $ B $2
6
PAGOS
=$B$2
7
PAGO 6
=$B$2
C
Colocar
cualquier valor
Todas las cuotas son iguales,
deben quedar formulado
como aparece aquí, debe
aparecer 123 para todas
las cuotas, pero formulado.
En la celda C8 o en cualquier otra celda colocar el valor presente:
=VNA(2%,B2:B4) + VNA(3%,B5:B7)/((1+0.02)3+B1
Se hace clic en herramientas (menú principal), se señala buscar objetivo y aparece
definir celda (donde s e coloca el valor presente en este caso $ C $ 8, con e l
v al o r cero (por el concepto de equivalencia), cambiando la celda (donde se escribe
cualquier valor) en este caso B2 y se hace clic en aceptar.
El valor que aparece en los pagos es el valor a pagar por el préstamo de $5.000.000, la
cuota correspondiente a las condiciones iniciales dadas es de $901.006,92.
La tabla de amortización aparece a continuación, tener en cuenta en la columna de
intereses que en los tres primeros meses la tasa es del 2% mensual y en los siguientes .
3% mensual.
CUOTAS
6
PRÉSTAMO
$ 5,000,000.oo
3%
3 siguientes
SALDO
INICIAL
MES
INTERESES
CUOTA
MENSUAL
ABONOS
CAPITAL
SALDO FINAL
1
$5,000,000.00 $100,000.00
$901,006.92 $801,006.92
$4,198,993.0 8
2
$4,198,993.08 $ 83,979.86
$901,006.92 $817,027.06
$3,381,966.02
3
$3,381,966.02 $ 67,639.32
$901,006.92 $833,367.60
$2,548,598.41
4
$2,548,598.41 $ 76,457.95
$901,006.92 $824,548.97
$1, 724,049.44
5
$1,724,049.44 $ 51,721.48
5901,006.92 $849,285.44
$
6
$ 874,764.00 $ 26,242.92
$901,006.92 $874,764.00
TOTAL
$406,041.54
$5,406,041.54
874,764.00
$0.0
$5,000,000.00
Ejemplo 4
Utilizando la información del ejemplo 1, calcular cuánto dinero debe al Banco de
Bogotá doña Linda Reina después de cancelar la cuota # 7, y cuál es la composición
(abonos a capital e intereses) de la cuota # 5.
A través de la tabla de amortización se pueden encontrar las respuestas a
estas preguntas.
El saldo después de cancelar la cuota # 7 es de $ 4,600,869.35 y la composición la
cuota # 5 es $211,563.88 de intereses y un abono a capital de $793,056.98, para un
total de $1,004,620.85 que es el valor de la cuota.
Alternativamente se puede resolver este problema de la siguiente manera: ¿Cuánto
debe Linda Reina al Banco de Bogotá, después de cancelar la cuota # 7?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 Meses
0
A = 1, 004,620.85
Simplemente observando el gráfico se tiene que doña Linda debe 5 cuotas, por lo
tanto el valor presente de ellas en el período 7 es el saldo del préstamo.
P = A[{ (1+i)n D1} / { i (1+i)n } ]
P = 1.004.620.85 [(1+0.03)531} / {0.03 (1+0.03) 5 } ] = $4, 600,869.35
Para determinar el valor de la cuota # 5, se parte del concepto visto en las tablas de
amortización en el que los intereses de una cuota son iguales a la tasa de interés
multiplicada por el saldo inicial, el cual es igual al saldo final del período anterior. Se
deduce que si se pregunta la composición de la cuota # 5, se debe determinar cuánto
se debe después de cancelar la # 4 (saldo final del período # 4), que es simplemente el
valor presente de las 8 cuotas que quedan pendientes.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Meses
12
0
A = 1,004,620.85
P= 1,004,620.85[{(1+0.03)831}/{0.03(1+0.03)8}]
P = $7,052,129.17
Este valor sería el saldo final del período 4 que a su vez es el saldo inicial del período 5,
por lo tanto:
Intereses de la cuota # 5 = Saldo inicial * i%
Intereses de la cuota # 5 = 7,052,129.17 * 3%
Intereses de la cuota # 5 = $211,563.88
Abono a capital cuota # 5 = Cuota fija 3 Intereses cuota # 5
Abono a capital cuota # 5 = 1, 004,620.85 3 211,563.88
Abono a capital cuota # 5 = 793,056.98
Los valores anteriores coinciden con los obtenidos en la tabla de amortización.
Ejemplo 5
Completar la siguiente tabla de amortización:
BIMES
TRE
1
SALDO
INICIAL
2
INTERESES
CUOTA
MENSUAL
ABONOS SALDO FINAL
CAPITAL
$840,477.44
$14,708.36
3
4
5
6
La tabla de amortización puede ser completada con los conceptos expuestos en ejemplo 4.
Saldo final del período 1 = Saldo inicial período 2
intereses período 2 = (Saldo inicial período 2) i%
14,708.36 = 840,477.44i%
i= 14,708.36/840,477.44 = 1.75% bimestral.
Con base en el saldo final del bimestre # 1, después de pagar la cuota
correspondiente
a ese período, queda un saldo de $840,477.44 y 5 cuotas pendientes. Por lo tanto, y
de a cuerdo con lo explicado en el ejemplo #4, P = 840,477.44
P = A[{ (1+i)n D1} / { i (1+i)n } ]
840,477.44= A[{(1+0.0175)531}/{0.0175(1+0.0175)5}]
840,477.44 = A[4.74785507588]
Despejando A
A = 840,477.44 / 4.74785507588
A = 177,022.56
Con el valor de la cuota se puede hallar el valor del préstamo y de ahí en adelante se
continúa armando la tabla, de acuerdo con lo aprendido previamente.
P = A[{ (1+i)n D1} / { i (1+i)n } ]
P = 177,022.56 [{(1+0.0175)631}/{0.0175(1+0.0175)6}]
P =
$1,000,000
n = 6, porque es el plazo del préstamo de acuerdo con lo estipulado en la tabla de
amortización.
i = 1.75% bimestral
Completando la tabla se tiene:
BIMES
TRE
SALDO
INICIAL
INTERESES
CUOTA
MENSUAL
ABONOS
CAPITAL
1
$1,000,000.00 $ 17,500.00
$ 177,022.56
2
$840,477.44
$ 14,708.36
$ 77,022.56 $162,314.20 $678,163.24
3
$678,163.24 $11,867.86
$ 77,022.56 $165,154.70 $513,008.54
4
$513,008.54 $8,977.65
$ 177,022.56 $ 168,044.91 $344,963.64
5
$344,963.64 $ 6,036.86
$ 77,022.56
6
$173,977.94
$177,022.56 $173,977.94
$3,044.61
$159,526.56
SALDO
FINAL
$840,477.44
$ 170,985.69 $173,977.94
$0.00
Ejemplo 6
Justo Sin Plata recibió un préstamo de su primo Armando Rico Plata de $ 10.000.000 que
debe pagar en 3 años, cuotas semestrales iguales vencidas con una tasa de interés del
10% semestral, pero los intereses deben ser pagados anticipadamente, calcular el valor
de la cuota que debe pagar Justo Sin Plata a su primo Armando y elaborar : tabla de
amortización del préstamo.
En este caso, se debe utilizar la equivalencia correspondiente a la fórmula 9 que es la
específica para este caso.
A = P [i / ((1D(13i)n )) ]
A =$10.000.000 [0.10/((13(130.10)6))] = $ 2.134.202,95
Para la elaboración de la tabla de amortización se debe tener en cuenta lo siguiente:
En la última cuota "A" que se pague en este caso la número 6 no habrá pago de
intereses, todo corresponderá a abono a capital, puesto que los intereses han sido
calculados anticipadamente.
Simbólicamente los abonos a capital se expresarían de la siguiente forma:
Abono a capital última cuota período n = A
Abono a capital cuota período n31 = A 3 Ai = A(13i), que es simplemente la diferencia
entre el saldó que es A y los intereses anticipados de ese saldo que serían Ai, de la
misma forma se hace para los siguientes períodos.
Abono a capital cuota período n 32 = A(13 i) 3 i(A(13i)) = A(13i) 2
Y así sucesivamente hasta llegar al período #1 donde:
Abono a capital cuota # 1 = A( 1 – i ) ) n31
Para el ejemplo que se está analizando, los abonos a capital se calcularían de la siguiente
forma:
El abono a capital de la cuota #6 que es la última cuota es igual a A o sea
$2.134.202,95 puesto que los intereses fueron pagados anticipadamente en la #5
El abono a capital de la cuota #5 = A(13i) = 2.134.202,95(130.10) = $1.920.782,65
El abono a capital de la cuota #4 = A(13i)2 = 2.134.202,95(130.10)2 = $1.728.704.39
El abono a capital de la cuota #3 = A(13i)3 = 2.134.202,95(130.10)3 = $1.555.833.95
El abono a capital de la cuota #2 = A(13i)4 = 2.134.202,95(130.10)4 = $1.400.250.56
El abono a capital de la cuota #1 = A(13i)5 = 2.134.202,95(130.10)5 = $1.260.225.50
Los intereses de cada período serían la diferencia entre la cuota y el abono a capital
calculado anteriormente.
Intereses = Cuota 3 Abono a Capital
La tabla de amortización para el caso analizado sería la siguiente:
Préstamo: $10.000.000
Interés:.... 10% semestral
Plazo:...... 6 semestres
PERIO
DO
SALDO
INICIAL
INTERESES
CUOTA
ABONO A
CAPITAL
SALDO FINAL
0
$ 10,000,000.00
$ 1,000,000.00
$ 10,000,000.00
1
$ 10,000,000.00
$
873,977.45 $2,134,202.95
$ 1,260,225.50
$
$ 8,739,774.50 $
733,952.39 $2,134,202.95
$ 1,400,250.56
$ 7,339,523.94
3
$ 7,339,523.94 $
578,369.00 $2,134,202.95
$ 1,555,833.95
$ 5,783,689.99
4
$ 5,783,689:99 $
405,498.56 $2,134,202.95
$ 1,728,704.39
$ 4,054,985.60
5
$ 4,054,985.60 $
213,420.29 $2,134,202.95
$ 1,920,782.65
$ 2,134,202.95
6
$ 2,134,202.95 $
0.00 $2,134,202.95
$2,134,202.95
$
8,739,774.50
0.00
Nótese que en el período cero se pagan intereses anticipados de $ 1.000.000
Nota: Es importante distinguir entre el uso de la fórmula #8 que corresponde a la
equivalencia entre una serie de cuotas uniformes anticipadas y un valor presente y la
fórmula # 9 que es la equivalencia entre una serie de cuotas uniformes vencidas con
intereses anticipados y un valor presente. En la primera se paga el valor de una cuota
anticipadamente de manera semejante a una cuota inicial, es decir que se disminuye Ia
cantidad prestada inicialmente en una cantidad igual a la cuota (ver ejemplo 2), en la
fórmula #9 solamente los intereses son anticipados(Ver ejemplo 7).
3.3.2 Perpetuidades
Las perpetuidades se presentan cuando no existe un período final n, porque éste es muy
grande.
P = A[{ (1+i)n D1} / { i (1+i)n } ]
Separando los elementos que constituyen el numerador se tiene:
P= A[(1+i)n/ i (13fi)"31/ i (1+i)n]
Simplificando se tiene:
P = A[1/i 13/i(1+ i)n]
El último término del factor entre paréntesis es cero, cuando n es muy grande; por lo
tanto:
P = A/i
Pi
Ejemplo 7
Armando Rico Bueno desea que su esposa e hijos reciban una cantidad mensual
uniforme cuando él se muera, para lo cual ha depositado $30 millones en un fondo a una
tasa de 1.5% mensual. Determinar el valor de la mesada.
A = Pi
A = 30.000.000(1.5%) = $450.000
EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS
1. Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander de $30 millones para
cambiar de vehículo; si el plazo es de 5 años y se debe pagar en cuotas bimestrales
vencidas, determinar:
a.
El valor de las cuotas si la tasa de interés es del 25% anual, trimestre vencido.
b. ¿Cuál es el saldo de la deuda después de cancelar la cuota # 9?
c. ¿Cuál es la composición (capital e intereses) de la cuota # 13?
2. Natalia París recibió un préstamo de $50 millones del Banco Popular para adquirir
un nuevo apartamento; si el interés es del 30% anual semestre vencido y el crédito se
debe pagar en cuotas iguales mensuales anticipadas durante 7 años, determinar el
valor de cada cuota.
3. Beatriz Pinzón recibió un préstamo de $10 millones de su amiga Marcela Valencia
para pagar en 3 años, en cuotas iguales semestrales, determinar el valor de la cuota si
las tasas de interés para cada uno de los años son los siguientes:
a. Primer año: 8% semestral
b. Segundo año: 10% semestral
c. Tercer año: 22% anual trimestre vencido.
5. Sandra Muñoz recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar en 2 años en
cuotas trimestrales iguales vencidas, si la tasa de interés es del 6% trimestral. Calcular
el valor de las cuotas y elaborar la tabla de j amortización, sabiendo que los intereses se
pagan anticipadamente.
6. Natalia París recibió un préstamo de $12,000,000 de su amiga Sofía Vergara para
pagar en 5 años en cuotas semestrales variables; si el valor de la cuota se incrementa en
$40,000 por período y la tasa de interés es del 20% anual trimestre vencido, hallar el valor de
cada una de las cuotas que debe pagar Natalia a Sofía.
7. Juan Valdés recibió un préstamo de Bancafé por $30 millones que debe pagar en doce
cuotas trimestrales variables; si la tasa de interés es del 5% trimestral y los
incrementos de las cuotas son del 3%, calcular el valor de la primera cuota.
8. Armando Casas Rojas recibió un préstamo del Citibank por $35 millones que debe
pagar en 18 cuotas bimestrales variables; si la tasa de interés es del 2% bimestral y la
tasa crece el 2% trimestral, calcular el valor de la primera cuota.
9. Desarrollar el problema # 1 utilizando la metodología Excel explicada al principio
del capítulo.
10. Desarrollar el problema # 2 utilizando la metodología Excel explicada al
principio del capítulo.
11. Desarrollar el problema # 3 utilizando la metodología Excel explicada en la sección de
3.1.1 (gradiente aritmético.)
UNIDAD DIDACTICA DOS
EVALIUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN
Justificación
La toma de decisiones sobre nuevos productos, mercados, inversiones en activos
por adquisición o mejora; compra de empresas y otras estrategias que las
organizaciones deben afrontar cada día, permite la aplicación de las herramientas de
las matemáticas financieras. Las temáticas de esta unidad, no solo permiten aplicar
las herramientas apropiadas mediante el estudio de la unidad anterior sino que
además proporciona otras técnicas necesarias para la toma de decisiones en la
elección de la mejor alternativa de inversión, mediante la comparación de resultados
que se esperan obtener.
Objetivo General
Reconocer los criterios, identificar los diferentes métodos y aplicar las
herramientas financieras para la evaluación de diferentes alternativas de
inversión para establecer las condiciones inequívocas que apoyen la toma de
decisiones en la elección de la mejor alternativa en razón de la rentabilidad
financiera o de los beneficios para una comunidad específica.
Objetivos específicos
Establecer las diferencias entre las evaluaciones financiera, económica o social
Analizar la importancia de la tasa de descuento en la evaluación financiera
Definir los criterios de decisión a utilizar cuando se tienen varias alternativas de
inversión
Medir el riesgo de una inversión a través de la teoría de probabilidad
Optimizar la utilización de los recursos financieros de las organizaciones
..?
ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN
DE CONOCIMIENTOS PREVIOS
El desarrollo de esta actividad permite indagar los conocimientos que se tiene
sobre los contenidos a estudiar, de tal forma que facilita la recepción de la nueva
información y genera mayor comprensión de las temáticas.
Después de inspeccionar ligeramente la unidad y sin adelantar la lectura contestar
las siguientes preguntas y registrarlas en la primera columna del cuadro 1. “SQA”.
¿Qué SE acerca de?
¿Evaluación financiera; tasa de descuento; costo promedio; Valor presente neto;
tasa interna de retorno; tasa ponderada; ?
Una vez realizada la reflexión sobre los vacíos encontrados al tratar de responder
los interrogantes anteriores, consignar en la columna dos del cuadro 1 “SQA”, lo
que se desea conocer sobre los temas tratados. Así se resuelve la pregunta:
¿Qué Quiero Saber?
Después de abordar la lectura de los contenidos; analizar los ejemplos; resolver
las actividades de profundización y de socializar las temáticas con los demás
estudiantes del curso, se debe completar el cuadro “SQA” registrando en la
tercera columna el conocimiento nuevo, construido mediante el estudio de la
unidad. El registro de los logros, responde la pregunta:
¿Qué Aprendí?
Cuadro 1 “SQA”
¿QUÉ SÉ
Saberes previos:
QUÉ QUIERO SABER
Meas de aprendizaje:
QUÉ APRENDÍ
Logros: nuevo conocimiento
CAPITULO UNO
CLASES DE EVALUACIONES Y CRITERIOS DE DECISION
Justificación
La evaluación de un proyecto es el procedimiento mediante el cual se comparan los
resultados esperados, con los objetivos predeterminados y mediante la utilización de criterios
específicos de evaluación. El estudio del capitulo y los interactividades propuestas
desarrollarán en el aprendiente las competencias para definir si un proyecto se realiza o no.
Objetivo General
A partir del reconocimiento y profundización de las temáticas y la aplicación de
de las herramientas financieras, el estudiante estará en condiciones de
establecer las diferencias concretas entre las evaluaciones financiera,
económica y social, definir los criterios de decisión a usar e identificar el
método mas conveniente a aplicar para la toma de decisiones cuando se
tienen varias alternativas de inversión.
Objetivos específicos
Identificar las características de las evaluaciones social, económica y financiera
Definir la relación beneficio /costo como herramienta financiera
Definir e interpretar los conceptos de las demás herramientas financieras
Calcular el costo promedio ponderado de capital3WACC
Establecer el valor presente 3VP
Calcular la tasa interna de retorno –TIR
Determinar el costo anual uniforme equivalente –CAUE
Aplicar el costo capitalizado a la toma de decisiones
1. CLASES DE EVLUACIONES Y CRITERIOS DE DECISION
La evaluación de proyectos permite establecer sus bondades y determinar si es o no
conveniente su ejecución. Mediante la evaluación es como se comparan los resultados que se
desean obtener con los objetivos fijados previamente y a través de criterios de evaluación
definidos.
Esencialmente se tienen en cuenta tres tipos básicos de evaluación de proyectos: evaluación
económica; evaluación de impacto social; y evaluación financiera.
La evaluación económica tiene como finalidad medir el impacto de un proyectos obre el
bienestar de los nacionales y determinar la rentabilidad desde la óptica de la economía. Está
basada en los flujos de beneficios y costos que afectan en forma positiva o negativa a los
individuos de una localidad, región o del país en cuanto a su bienestar individual.
En cuanto a la evaluación social y financiera, se debe considerar lo siguiente:
1.1 EVALUACIÓN DE PROYECTOS SOCIALES
La evaluación social complementa la evaluación económica adicionando juicios sobre
el valor de redistribuciones del ingreso y sobre el valor de metas que son deseables
por su impacto en la totalidad de la sociedad.
1.1.1 Características
Atendiendo los objetivos de desarrollo del país, la rentabilidad del proyecto se
establece mediante la evaluación social. Para lo cual se tienen las siguientes
características.
a. Distribución geográfica de los beneficios
b. Distribución social de los beneficios entre los diversos estados y grupos de la
sociedad.
c. Distribución de los beneficios entre consumo e inversión.
d. Creación de empleo
e. Contribución de otros aspectos, como el mejoramiento en las balanzas externas
En general se puede afirmar que la evaluación de un proyecto depende en alto grado
del propietario del proyecto. Los proyectos estatales pretenden establecer
prioritariamente el impacto positivo que el proyecto tendrá en la comunidad.
La explotación de los proyectos sociales no es atractiva para el sector privado por sus
altos costos y su poca relevancia en rentabilidad financiera. Igual otros proyectos
podrán ser muy atractivos desde el punto de vista financiero, pero no pueden serlo
desde el punto de vista social o de la economía nacional. De ahí que para los
proyectos de gran envergadura es necesario realizar su evaluación conjugando
ambos aspectos: el impacto social y la rentabilidad financiera.
1.1.2 Relación beneficio/costo D R B/CD1
Si bien este método se utiliza en la evaluación financiera como se verá más
adelante, su uso es más generalizado en la evaluación de proyectos de interés
social o proyectos públicos cuando los fondos para la financiación provienen de
organismos internacionales. Para obtener la relación beneficio/costo se realiza el
cociente entre la sumatoria de los valores actualizados de los ingresos y la
sumatoria de los valores actualizados de los egresos.
B/C
R
∑ It / (1+i)t
=
∑ Et / (1+i)t
De otro modo, de lo que se trata es de calcular el valor presente de los ingresos y
de los egresos del proyecto con base en la tasa de oportunidad y hacer la
correspondiente división.
Los valores resultantes de la relación B/C deben ser interpretados como sigue:
RB/C > 1
El proyecto es viable, dado que el VP de los ingresos es mayor que
el VP de los egresos
RB/C < 1
El proyecto no es atractivo, dado que el VP de los ingresos es inferior
al VP de los egresos
RB/C =1
Teóricamente es indiferente realizar o no el proyecto. En este caso la
TIR y la tasa de oportunidad son iguales. El VP de los ingresos es
igual al VP de los egresos
1.1.3 Costo Capitalizado
Su fundamento teórico está en las perpetuidades. Se usa para evaluar proyectos
de larga vida generalmente mayores a 15 años, como por ejemplo puentes,
carreteras, parques, etc.
En perpetuidades:
A = Pi, donde,
CONTRERAS B, Marco Elías . Formulación y evaluación de proyectos. UNAD Bogotá 2004
A = Cuota uniforme
P = Valor presente
I = Tasa de descuento
Despejando P, se obtiene lo que se llama costo capitalizado:
A
P=
i
Ejemplo
El alcalde de Pereira está considerando dos alternativas en su ciudad; la primera,
es construir un puente nuevo que tendría un costo de $1,500 millones e
inversiones adicionales cada 20 años de $60 millones y costos anuales de $30
millones.
La segunda opción, es reparar un puente construido hace 50 años, con un costo
operativo de $1,300 millones e inversiones cada 5 años de $25 millones y costos
anuales de mantenimiento de $60 millones. Si la tasa dc descuento es del
anual, ¿cuál seria la opción menos costosa para la ciudad?
Opción 1:
Construir puente nuevo
El diagrama es el siguiente:
0
20
40
∞
años
30 millones
1.500 millones
30 millones
30 millones
P1 = Valor de la inversión inicial = $1 ,500,000,000
60 millones
P2 = Valor presente o costo capitalizado de las inversiones cada 20 años de $60
millones.
Los $60 millones que deben invertirse cada 20 años son un valor futuro con
respecto al año cero; por lo tanto se podrían obtener cuotas uniformes de la
siguiente manera:
A = Cuota uniforme
F Valor futuro
[
]
A= F i / (1+i)n 3 1
[
]
A = 60,000,000 0.25 / (1+0.25)20 3 1
A = $ 174,955.32
Este valor se origina para los primeros 20 años; para el año 40 se repite la
inversión y por lo tanto se obtendría la misma cuota uniforme de $ 174,995.32;
igual situación se presentaría para el año 60; es decir, las inversiones de cada 20
años, al distribuirlas en cuotas uniformes se vuelven una perpetuidad.
Por lo tanto:
P3 =Valor presente de los costos anuales de mantenimiento
Estos costos se consideran una perpetuidad porque se repiten cada año, por lo
tanto:
30.000.000
P3 =
0.25
Costo capitalizado opción # 1:
= $120.000.000
P1 = 1,500,000,000
P2 =
699,821.28
P3 = 120,000,000
P opcion1 = Costo capitalizado opcional P1= + P2 + P2
P opcion1 = 1,620,699,821
Opción 2: reparar puente
El diagrama sería el siguiente:
0
20
25 millones
1,300 millones
60 millones
40
25 millones
∞
años
60 millones
P1 = Valor de la inversión inicial = $1,3000 millones
P2= Valor presente o costo capitalizado de las inversiones cada 5 años de
$25,000,000.
El procedimiento es idéntico al empleado en la opción # 1, sino que en este caso
las inversiones son cada cinco años.
A = Cuota uniforme
F = Valor futuro
[
]
A= F i / (1+i)n 3 1
[
]
A = 25,000,000 0.25 / (1+0.25)5 3 1
A = 25,000,000 [0.12 184674]
A = $ 3,046,168.49
Este valor se origina para los primeros años, y como la operación se repite en el
año 10,15, 20, etc, se obtendrá la misma cifra anualmente, es decir que los
53,046,168.49 se convierten en una perpetuidad, por lo tanto:
P2=
P3=
3,046,168.49 = $12,184,674
0.25
Valor presente de los costos anuales de mantenimiento
Estos costos se consideran una perpetuidad porque se repiten cada año; por lo
tanto:
P3=
60,000,000 = $240 ,000,000
0.25
P opción 2
= Costo capitalizado opción2 = P1 +P2 + P2
P opción 2= 1,300,000,000 + 12,184,674 + 240,000,000
P opción 2= $1,552,184,674
Por lo tanto el Alcalde de Pereira debe seleccionar la opción # 2, por ser menos costosa
(costo capitalizado menor).
1.2
CRITERIOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE INVERSÍÓN
Las matemáticas financieras a través de su concepto de interés, que no es otra cosa
que el valor del dinero en el tiempo, proporciona los conceptos para definir los criterios
que servirán de base para tomar decisiones sobre nuevos productos, mercados, clientes,
etc., los cuales se constituyen en proyectos o estrategias que toda empresa debe
realizar para sobrevivir en una economía de mercado.
Adicional a la tasa de descuento, debe tenerse en cuenta en la evaluación de proyectos
de inversión el concepto de los "flujos de caja". Su estimación adecuada es fundamental
y depende a su vez de investigación objetiva de mercados, estimación idónea de
costos, fijación de precios, asignación de maquinaria, selección de recursos técnicos
y humanos, entre otros.
Otro aspecto importante es la estimación de la vida útil de la inversión, generalmente
depende del proyecto, por ejemplo un proyecto para cultivar rosas tiene una duración
de 10 años que es la duración de la mata y un cultivo de clavel de 2 a 3 años, que es
el tiempo productivo de la planta.
Los criterios de decisión en evaluación de proyectos tienen como fuente los flujos de caja
y la tasa de descuento. A continuación se explicará cada uno de ellos.
1 Tasa de descuento
2 Valor presente neto
3 Tasa interna de retorno
4. Costo anual uniforme equivalente
La confiabilidad de cada uno de estos criterios depende de varios factores los cuales están
íntimamente relacionados. Por ejemplo, la certeza de los flujos de caja depende de una
acertada estimación de precios, costos, demanda, etc. La estimación correcta de la tasa
de descuento puede ser fundamental a la hora de determinar la viabilidad o no de un
proyecto de inversión.
1.2.1 Tasa de Descuento
En el capítulo 1 cuando se hizo el paralelo entre 2 inversionistas para deducir a partir de
esta situación los conceptos de interés y el de tasa de interés de oportunidad, se está
planteando implícitamente el concepto de tasa de descuento. Basta recordar el ejemplo
de doña Linda Plata de Rico, cuando se planteó que sólo cedería su dinero si la tasa que
le ofrecen por su dinero era como mínimo del 3% mensual.
La determinación de la tasa de descuento es uno de los elementos fundamentales en la
evaluación de proyectos de inversión, pues de ella va a depender la viabilidad del
proyecto.
Los investigadores en finanzas han concluido que la tasa de descuento debe ser el
resultado de seleccionar entre la tasa de interés de oportunidad y el costo ponderado de
capital, escogiendo la mayor de las dos para ser más exigentes con el proyecto.
1.2.2 Costo Promedio Ponderado de Capital –WACCD
Es el costo promedio de los recursos propios y externos después de impuestos que
requiere un proyecto.
En lo que hace referencia al costo de los recursos propios, existen modelos como el
CAPM (Capital Assets Pricing Model) que permite acercarse al costo de los recursos propios.
Costo promedio ponderado de capital = Ko = WACC
Ko = KdWd + KpWp
Kd = Costo de la deuda después de impuestos
Wd = % de deuda en relación con el total de recursos
Kp = Costo de los recursos propios
Wp = % de los recursos propios en relación con el total de recursos
Por ejemplo, si el proyecto "YY" requiere $500 millones de inversión de los cuales $200
millones son recursos propios, que tienen una tasa de oportunidad para el inversionista del
23% efectivo anual y la diferencia son recursos externos, con un costo del 27% efectivo
anual y una tasa de impuestos del 35%, el costo promedio ponderado de capital será:
Wd = 300/500 = 60%
Wp = 200/500 =40%
Kd =27%(13T) = 27%(13 0.35) = 0.1755
Kd == 17.55% efectivo anual
Kp = 23%
Ko = 60%(17.55%) + 40%(23%)
Ko = Costo de capital =0.1973 ó 19.73% efectivo anual.
La tasa de descuento es el resultado de escoger la mayor de las dos tasas, la de
oportunidad del inversionista o costo de recursos propios y el costo promedio ponderado
de capital o WACC del proyecto. En el ejemplo anterior es mayor la tasa de
oportunidad, por lo tanto la tasa de descuento es el 23% efectivo anual. La razón por
la cual se escoge la mayor, es la de ser más "duro" con la evaluación del proyecto y
evitar crear falsas expectativas.
1.2.3 Valor presente neto DVPN
Es el resultado de descontar (traer a valor presente) los flujos de caja proyectados de una
inversión a la tasa de interés de oportunidad o costo de capital y sustraerle el valor de
la inversión. Si el resultado obtenido genera un remanente positivo, el proyecto es viable en
caso contrario no.
Gráficamente se expresaría así:
REMANENTE
COSTO DE CAPITAL O TASA DE OPORTUNIDAD
INVERSION
El diagrama anterior quiere decir que si el proyecto devuelve la inversión genera un interés
y adicionalmente genera un remanente, es factible.
Ejemplo
Armando Rico Plata desea incursionar en un proyecto de transporte masivo para una
importante ciudad colombiana, el cual requiere $5.000 millones de inversión. Beatriz
Pinzón lo ha asesorado en la elaboración del proyecto y ha estimado los siguientes
flujos de caja:
AÑO
FLUJO DE CAJA
AÑOO
35,000
AÑO1
1,450
AÑO 2
1,789
AÑO 3
2,345
AÑO 4
3,617
La tasa de descuento calculada para el inversionista es del 10%
1.2.4 Relación del valor presente de los ingresos y los egresos
Relaciona el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos; si el
resultado de esta relación es mayor que uno, el proyecto es viable en caso contrario, no.
En otras palabras si el cociente valor presente ingresos 7 valor presente egresos es >1, la
inversión es factible. A este criterio se conoce como Relación beneficio/costo
Para el proyecto que se está analizando se tendría:
Valor presente ingresos =
2
3
4
1,4507(1+0.10) + 1,7897(1+0.10) + 2,345/(l+0.10) + 3,617(1+0.10) =
7,028.99
Valor presente egresos = 5.000, se toma el valor absoluto de la inversión, el cual es e
único flujo de egreso o negativo que tiene el proyecto. Si existiera otro flujo negativo, se
debe traer a valor presente tal como se hizo con los ingresos, utilizando la tasa del
descuento que se utilizó para evaluar.
V P ingresos
B/C = — ———————
VP egresos
7028.99
= —————
5000
= 1.41
Como la relación B/C > 1, el proyecto es factible.
1.2.5 Tasa Interna de Retorno DTIRD
Es la tasa de interés a la cual los flujos de caja descontados y sustraída la inversión,
genera un valor presente neto igual a CERO; si esta TIR es mayor que la tasa
de oportunidad del inversionista o alternativamente mayor que el costo de
capital, el proyecto es viable.
El procedimiento para el cálculo de la tasa interna de retorno es como sigue:
10. Tomar una tasa cualquiera "i", eventualmente puede ser la del inversionista y traer
a valor presente los flujos de caja estimados. Considérese una i = 20% anual.
2
3
4
VPN = D5,000 + 1,4507(1 + 0.20)+ 1,7897(1 + 0.20) + 2,3457(1 + 0.20) + 3,6177 (1+0.20) =552.06
11. Efectuar el mismo cálculo del numeral anterior con una nueva tasa; como el VPN
obtenido con i = 20% es mayor que CERO, se debe estimar con una tasa mayor,
por ejemplo i = 25%
2
3
4
VPN = D5,000 + 1,4507(1 + 0.25)+ 1,7897(1 + 0.25) + 2,3457(1 + 0.25) + 3,6177 (1+0.25) =D12.88
3. Calcular la tasa para la cual el VPN es igual a cero, mediante el método de interpo3
lación, para lo cual se recomienda graficar los resultados de la siguiente forma:
+12.88
0
552.06
VPN
i =25%
cero
i =20%
Luego calcular la diferencia entre las tasas de interés (25% 3 20% = 5%) y entre los valo3
res presentes netos (552.06 312.88 = 564.94), tomando los valores negativos en absoluto.
Posteriormente, se toma cualquiera de los dos puntos extremos, por ejemplo tomar el
valor presente neto que corresponde a 25% o sea 3$12.88 y obtener la diferencia con
el punto focal cero. Con estos datos, se plantea la siguiente regla de tres:
Si para una diferencia en la tasa de interés de 5% corresponde una diferencia de
$564.94. ¿Qué variación de i% corresponde a una variación de $12.82?
i% =
12.82x5%
564.94
i = 0.11346 %
Como la TIR debe estar entre 20% y 25%, por cuanto fueron las tasas de descuento
con las cuales se obtuvo el valor presente positivo y negativo respectivamente, y
como se tomó el VPN de 3$12.82 que corresponde a i = 25% entonces:
TIR = 25% 3 0.11346 = 24.88% anual
Si se hubiera tomado como referencia el otro extremo, o sea
cual el VPN es $552.06, el raciocinio habría sido el siguiente:
i = 2 0% tasa con la
Si para una diferencia en la tasa de interés de 5% corresponde una diferencia de $564.94.
¿Qué variación de i% corresponde a una variación de $552.06?
552.06 x 5%
i = 33333333333333333333333333
564.94
i % = 4.88%
En tanto se tomó como referencia el 20% y la TIR no puede ser ni menor de 20% ni
mayor de 25%, entonces:
TIR = 20% + 4.88% = 24.88% anual
Valor que coincide con el anterior cuando se hizo el cálculo con el otro extremo.
En razón a que el resultado de la TIR es mayor que la tasa del inversionista (10%), el
proyecto es viable.
Como se observa en el ejemplo anterior, para poder calcular la TIR se requiere haber
calculado el VPN con dos tasas diferentes; debe tenerse presente que uno de los
resultados del VPN debe ser positivo y el otro negativo para que se pueda utilizar la
herramienta de interpolación. En otras palabras, cuando se obtienen dos VPN positivos
o dos VPN negativos es imposible calcular la TIR.
Cálculo del VPN y la TIR con Excel
Alternativamente se puede utilizar la hoja Excel para calcular el valor presente neto y
la tasa interna de retorno.
Tomando como base la información del proyecto de transporte del señor Armando Rico
Plata, completar la hoja de la siguiente forma:
1
A
B
0
35,000
C
Tasa de
D
10%
oportunidad
2
1
1,450
3
2
1,789
4
3
2.345
5
4
3.617
6
TIR
= TIR (B2:B6)
7
VPN
=VNA(D1,B3:B6)+B
2
8
Posteriormente, registrar en la celda “=TIR(B2:B6)”, incluyendo dentro del rango
el valor de la inversión, al teclear “enter” se obtiene la TIR de 24.88%.
Para el cálculo del valor presente neto se debe completar la celda con
“=VNA(D1,B3:B6)+B2”; donde D1 es la tasa de oportunidad del inversionista, es
decir la tasa de descuento. Nótese que no se dio todo el rango en el paréntesis;
en caso de señalarse completamente, el cálculo del valor presente correspondería
al periodo 31 y no al período cero.
El valor de la inversión debe ser adicionado al valor presente de los flujos, para
obtener el valor presente neto del proyecto. Siguiendo este procedimiento el VPN
es igual a $2,028.99.
1.2.6 Costo Anual Uniforme Equivalente –CAUE
Este criterio es muy utilizado cuando se tienen proyectos que solo involucran
costos; su base conceptual son las anualidades o cuotas fijas y permite comparar
proyectos con diferentes vidas útiles. El criterio de decisión es escoger la
alternativa o proyecto que genere menor CAUE.
Ejemplo
Almacenes “El Triunfo” está considerando la posibilidad de utilizar montacargas en
sus bodegas con el fin de emplearlos en la ubicación de productos en sus
estantes; actualmente esta labor se hace manualmente. El gerente general, señor
Juan Pérez ha reunido la siguiente información para evaluar las opciones:
Alternativa A: adquirir 2 montacargas.
Alternativa B: trabajar con una cuadrilla de 8 trabajadores y usar carretillas
manuales.
Los costos de cada alternativa son:
Alternativa A: el valor de los dos montacargas es de $20 millones y para su
manejo se requiere de 2 conductores y 2 ayudantes; los primeros devengarán un
salario de $500.000/mes cada uno y los otros $300.000/mes. A dichos salarios se
les debe adicionar un 5º% por concepto de prestaciones sociales.
Para el mantenimiento y los seguros de los dos equipos se requieren $2 millones
por año. La vida útil de los montacargas es de años.
Alternativa B: el salario de los trabajadores de la cuadrilla es de $3 00.000/mes y
un
anual por concepto de prestaciones sociales.
La tasa de descuento es 20% anual.
Con base en la información anterior, se calculan los costos de cada una de las
alternativas:
Alternativa A:
Costos por año:
Salarios por año conductores = (500.000 x 12 x 2)
Salarios por año ayudantes (300.000 x 12 x 2) (1
Mantenimiento por año = $ 2,000,000
= $ 18,000,000
$1 0,800,000
Total costos por año: $ 18,000,000 + 10,800,000 ± 2,000,000 = 30,800,000
Costo montacargas
Costo anual uniforme equivalente =
CAUE
P
i(1 +i)n
(1+i)n 3 1
= 20,000,000 0.20(1+0.20)5
Montacargas
(1+0.20)5 31
CAUE
= 20,000,000 [0.33437970329]
Montacargas
CAUE
=
Montacargas
Total CAUE = Total costo por año + CAUE
Montacargas
Total CAUE = 30,800,000 +
Total CAUE =
Alternativa B:
Costos por año = (30,000,000 x 12 x 8)
= 43,200,000
CAUE por año = $ 43 ,200,000
De acuerdo con los resultados previos es más económico adquirir los equipos de
carga, por lo tanto se debe escoger la alternativa “A”.
CAPITULO DOS
ANALISIS DE RIESGOS EN LOS PROYECTOS DE INVERSION
Justificación
En el medio de los negocios toda decisión involucra un riesgo que de no prever su
ocurrencia podría generar grave daño a las organizaciones llevándolas, inclusive, a su
desaparición. Mediante el estudio del capítulo se apropiará la metodología para el análisis
del riesgo en una inversión.
Objetivo General
A partir de la teoría de probabilidad determinar el riesgo de una inversión y
utilizar los resultados matemáticos como criterio para la toma de decisiones.
Objetivos específicos
Identificar los sistemas de análisis de riesgo
Identificar y aplicar la Distribución Beta 2 para medir el riesgo
Identificar y aplicar la Distribución Beta como instrumento para medir el
riesgo.
2.1 SISTEMAS DE ANALISIS
Toda decisión involucra un riesgo y los seres humanos por naturaleza sienten
aversión a él. En los negocios las decisiones se ven sujetas a la incertidumbre y al
riesgo, los cuales se toman como dos términos sinónimos pero no lo son: el
primero es un total desconocimiento del comportamiento de una variable y en el
segundo si se conoce, bien sea a través de información histórica, investigaciones
de mercado, opiniones de expertos, etc.
El análisis del riesgo se puede hacer mediante dos sistemas: distribución Beta 2 y
distribución Beta.
2.1.1 DISTRIBUCION BETA DOS
La primera es una aproximación a la distribución normal, pero achatada a los
extremos de la siguiente forma:
f(x)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
3
2
1
0
VPN Promedio
1
2
X
3 VPN
Se deben considerar tres escenarios para cada uno de los flujos de caja del
proyecto:
El optimista, el más probable y el pesimista. Con base en esta información se
calcula el promedio y la varianza de cada flujo de caja utilizando las siguientes
ecuaciones:
Flujo de caja
optimista i
+
4 Flujo de caja
más probable i
+
Flujo de
caja
pesimista i
Promedio flujo de caja período i =
6
Flujo de caja optimista i – Flujo de caja pesimista i
2
Varianza flujo de caja período i =
6
Una vez obtenidos los flujos de caja promedio y su varianza, se traen a valor
presente a la tasa de descuento.
VPN promedio
= Promedio
Caja 2/(1+i)2 +……….
Flujo Caja 0+ Promedio Flujo Caja 1/(1+i) + Promedio Flujo
+ Promedio Flujo Caja n/(1+i)n
VPN varianza = Varianza Flujo Caja O + Varianza Flujo Caja 1/((1+i))2 + Varianza Flujo
Caja 2/((1+i)2)2 +…..+ Varianza Flujo Caja n / ((1+i)n)2
Ejemplo
Con base en la información anterior de los proyectos “A” y “B” del señor Armando
Rico, y considerando tres escenarios para cada flujo de caja, determinar el riesgo
de cada inversión, asumiendo que el escenario más probable fue el empleado en
el capítulo anterior de evaluación de alternativas mutuamente excluyentes.
Proyecto A:
ESCENARIO ESCENARIO MÁS ESCENARIO
PESIMISTA
OPTIMISTA PROBABLE
Flujo caja año 0
34,000
35,000
36,500
Flujo caja año 1
2,200
1,450
1,234
Flujo caja año 2
2,400
1,789
1,456
Flujo caja año 3
2,657
2,345
2,178
Flujo caja año 4
4,300
3,617
2,969
Proyecto B:
ESCENARIO
OPTIMISTA
ESCENARIO MÁS
PROBABLE
ESCENARIO
PESIMISTA
Flujo caja año 0
Flujo caja año 1
Flujo caja año 2
Flujo caja año 3
36,500
2,845
2.845
2,845
37,000
2,345
2,345
2,345
39,000
2,156
2,156
2,156
Flujo caja año 4
5,259
4,682
4,300
Con base en la información anterior, se deben realizar los siguientes cálculos para
el proyecto A:
Promedio flujo de caja O = (34,000 + 4(35,000)36,500)/6 = 35,083.33
Promedio flujo de caja 1 = (2,200 + 4(1,450)+1,234)/6 = 1,539
Promedio flujo de caja 2 = (2,400 + 4(1,789)+1,456)/6 = 1,835.33
Promedio flujo de caja 3 = (2,657 + 4(2,345)+2,178)/6 = 2,369.17
Promedio flujo de caja 4 = (4,300 + 4(3,617)+2,969)/6 = 3,622.83
Varianza flujo de caja período O
D4000 + 6500
173.611.11
=
=
6
Varianza flujo de caja período 1
=
2.200 – 1.234
= 25.921
6
Varianza flujo de caja período 2
=
2.400 – 1.456
6
Varianza flujo de caja período 3
=
2.657 – 2.178
6
= 6.373.36
Varianza flujo de caja período 4
=
4.300 – 2.969
6
= 49.210.03
Resumiendo se tiene:
Flujo caja año 0
Flujo caja año 1
Flujo caja año 2
Flujo caja año 3
Flujo caja año 4
PROMEDIO
VARIANZA
35,083.33
1,539.00
1,835.33
2,369.17
3,622.83
173,611.11
25,921.00
24,753.78
6,373.36
49,210.03
VPN promedio A =35,08 3.33 + 1,539/(1+O. 10) + 1 ,835.33/(l +0.10)2 +
2,369.17/(1+0.10)3 + 3,622.83/(1+O.1O)4
VPNpromedio A =2,087
= 25.921
= 6.373.36
1 3 9.78x106= 0.999
o sea que P(VPN>0) = 0.999 = 99.9%
A continuación se efectúan los mismos cálculos con la información del proyecto B,
obteniendo los siguientes resultados:
Promedio flujo de caja O = (36,500 + 4(37,000)39,000)/6 = 37,250
Promedio flujo de caja 1 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 = 2,396.83
Promedio flujo de caja 2 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 2,396.83
Promedio flujo de caja 3 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 = 2,396.83
Promedio flujo de caja 4 = (5,259 + 4(4,682)+4,300)/6 = 4,7 14.50
2
+6.500 + 9.000
Varianza flujo de caja período O =
=
173.611.11
6
2
Varianza flujo de caja período 1 =
2.845 – 2.156
6
Varianza flujo de caja período 2 =
2.845 – 2.156
6
Varianza flujo de caja período 4 =
5.259 – 4.300
6
13.186.69
2
2.845 – 2.156
6
Varianza flujo de caja período 3 =
=
=
13.186.69
2
=
13.186.69
2
=
25.546.69
PROMEDIO
Flujo caja año 0
Flujo caja año 1
Flujo caja año 2
Flujo caja año 3 .
Flujo caja año 4
37,250.00
2,396.83
2,396.83
2,396.83
4,714.50
VARIANZA
173,611.11
13,186.69
13,186.69
13,186.69
25,546.69
VPN promedio B = 37,2 50+2,396.837(1+0.10) + 2,396.937(1+0.10)2 +
2,396.83/(1+O.1O)~ + 4,714.5O/(1+O.1O)~
VPN promedio B = 1,930.64
VPNVarianza B = 173,611.11 + 13,186.69/((l+O.1O))2 + 13,186.69/((1+O.1O)2)2 + 13,1
86.69/((1+O. 10)3)2 + 25,546.69/((1+O. 10)4)2
VPN varianza B
VPN desviación estándar B
=212,877.16
= 461.39
Con base en la información anterior ¿Cuál es la probabilidad de que el VPN sea
mayor que cero’?
Utilizando la distribución normal y estandarizando en unidades / se tiene:
Z=
0 – 1.930.64
461.39
Z=
+ 1.930.64
= +4.1844
461.39
El resultado anterior se puede buscar en una tabla de distribución normal o en
Excel utilizando las funciones estadísticas “f(x)” se selecciona distribución normal
estandarizada y se coloca el valor 34,1844 donde dice Z.
Como resultado se obtiene el área bajo la curva hasta el punto de la referencia
que es cero, que para el ejemplo es de 1.4305x105 . Como el área total de la curva
es 1, la probabilidad de que el VPN sea mayor que cero sería:
13 l.4305 x 105= 0 .999
O sea que P(VPN>O) 0.999 = 99.9%
Los resultados permiten concluir que los dos proyectos analizados tienen un
riesgo mínimo.
Con base en la información obtenida se pueden resolver inquietudes en relación
con el riesgo de obtener determinados valores del VPN y no solamente de cero
como se explicó anteriormente. Se puede calcular por ejemplo la probabilidad de
que el valor presente neto sea mayor a $2,500 millones en cada uno de los
proyectos.
Para el proyecto “A” se efectuaría el siguiente raciocinio:
P(VPNA>
00) =?
En primer lugar se debe encontrar el valor de “Z”, que consiste en tipificar o
estandarizar, es decir, convertir la información en unidades de desviación estándar
aplicando la siguiente ecuación:
z = VPN 3 VPN promedio
DESVEST VPN
donde, VPN = 2,500, VPNpromedio. =2,O8’7y DES VESTVPN = 488.36
2.500 3 2.08 7
Z=
=
0.85
488.36
que corresponde al área bajo la curva hasta $2,500 millones de 0.8012 y una
probabilidad.
(Probabilidad VPN>2,500) = 1—0.8012=0.1988
o sea que existe un 19.88% de probabilidad de que el VPN del proyecto “A” sea
mayor a $2,500 millones.
Para el proyecto “B” se tendrían los siguientes resultados:
VPN – VPN promedio
z=
DES VEST
VPN
donde, VPN = 2,500, VPN promedio = 1,930.64 y DESVEST VPN = 461.39
2.500 3 1.930.64
Z=
1.23
461.39
Que corresponde al área bajo la curva hasta
millones de 0.8915. Lo que
implicaría que la probabilidad mayor a $2,500 millones se expresaría de la
siguiente forma:
(ProbabilidadVPN>2,500) = 1 — 0.8915 = 0.1085
o sea que existe un 10.85% de probabilidad de que el VPN del proyecto “B” sea
mayor a $2,500 millones.
De lo anterior se concluye que la probabilidad de que los proyectos ~‘A” y “B” den
un resultado negativo es muy pequeña, es decir son poco riesgosos. No obstante,
si el inversionista señor Armando Rico tiene como meta ganar $2,500 millones en
valor presente neto, las probabilidades de obtener esta cifra son muy bajas,
19.88% para el proyecto “A” y el 10.85% para el proyecto “B”.
2.1.2 Distribución Beta
Alternativamente la distribución Beta proporciona otro instrumento adicional para
medir el riesgo; ésta ofrece varias alternativas de conformación de la población.
En el caso de la distribución Beta 2 se habla de una distribución normal achatada
hacia los extremos; en este caso la media de la población puede estar posicionada
a la derecha o a la izquierda, centrada, plana o puntiaguda, y dependiendo de su
conformación se asignan los valores de a y b como puede verse en el gráfico la
página siguiente. La combinación de estos dos parámetros da la dirección hacia la
derecha o a la izquierda de la curva. Cuando son iguales se presenta simetría y la
la
magnitud de su valor indica silos datos están concentrados; si a y b =
distribución es puntiaguda, o si a y b =1 la distribución es más plana porque existe
más dispersión. ( Ver gráfico).
En esta distribución, “A” es el límite superior del rango o sea el valor presente neto
de los flujos de caja optimista, “B” es el límite inferior del rango o sea el valor
presente neto de los flujos de caja pesimista y “X” es el punto entre el límite
superior (optimista) y el límite inferior (pesimista) en que desea estar el
inversionista.
La información requerida para medir el riesgo de los dos proyectos es el siguiente:
Proyecto A:
Flujo caja año 0
Flujo caja año 1
Flujo caja año 2
Flujo caja año 3
Flujo caja año 4
ESCENARIO
OPTIMISTA
34,000
2,200
2,400
2,657
4,300
ESCENARIO
PESIMISTA
36,500
1,234
1,456
2,178
2,969
VPN optimista = +4,000 +2,200/(1+010) + 2,4007(1+0.10) 2 +2,657/(1+0.10)3+ 4,300/(1+0.1
0) 4
VPN optimista = 4,916.67
VPN pesimista =36,500 +1,234/(1+0.10) +1,456/(1+0.10) 2 + 2,178/(l+0lo) 3+ 2,969/(1+0.1
0) 4
VPN pesimista = 35 10.65
Proyecto B:
ESCENARIO OPTIMISTA ESCENARIO PESIMISTA
Flujo caja año 0
Flujo caja año 1
Flujo caja año 2
Flujo caja año 3
Flujo caja año 4
36,500
2,845
2,845
2,845
5,259
39,000
2,156
2,156
2,156
4,300
2
3
VPN Optimista =36,500+2,845/(1+0.10)+2,845/(1+0.10) +2,845/(l+0lo) + 5,259 /(1+0.1 0)
VPN
= 4,167.06
Optimista
4
VPN pesimista =+9,000+2,156/(1+0.10)+2,156/(1+0.10)2+2,156/(1+t+0.10)3+ 4.300/(1+0.1 0)
4
VPN pesimista = D701.39
Para la medición del riesgo & y ß, son definidos por el analista de acuerdo con lo
que considere es la tendencia de la concentración o dispersión que exista en la
información. Para los proyectos del señor Armando Rico se consideran varias
alternativas.
Los límites inferior y superior fueron hallados previamente, cuando se calcularon
los valores presentes netos pesimista y optimista de los proyectos “A” y “B” que se
pueden resumir en la siguiente forma:
PROYECTO "A" PROYECTO "B"
VPNpesimista
VPN optimista
.
parámetro A +510.65
parámetro B 4,916.67
+701.39
4,167.06
X, es el punto entre el límite inferior y el límite superior en que desea estar el
inversionista, que en este caso sería cero (O), por cuanto se desea estimar la
probabilidad de que el VPN de los dos proyectos sea mayor que cero.
Los resultados obtenidos para cada proyecto, asignando diferentes valores a los
parámetros & y ß son los siguientes:
Proyecto A:
&
1
0
5
5
+510.65
4,916.67 0.067%
99.933%
2
0
3
3
+510.65
4,916.67 0.720%
99.280%
3
0
2
2
+510.65 4,916.67 2.489%
97,511%
4
0
1
1
+510.65 4,916.67 9.409%
90,591%
5
0
1.5 5
+510.65
4,916.67 20.726%
79,274%
6
0
5
+510.65
4,916.67 0.0002%
99,998%
7
0
1.5 3
+510.65
4,916.67 11.249%
88,571%
8
0
3
1.5
+510.65
4,916.67 0.176%
99,824%
9
0
1
2
+510.65 4,916.67 17,932%
82,068%
10
0
2
1
+510.65
99,115%
ß
1.5
A
B
DISTRIBUCIÓN PROBABILIDAD
BETA
(VPN>0)
OPCIÓN X
4,916.67 0.885%
Provecto B:
ß
OPCIÓN X
A
B
DISTRIBUCIÓN
BETA
PROBABILIDAD
(VPN>0)
1
0 5
5
+701.39 4,167.06 0.470%
99.530%
2
0 3
3
+701.39 4,167.06 2.381%
97.619%
3
0 2
2
+701.39 4,167.06 5.629%
94.371%
4
0 1
1
85.593%
5
0 1.5 5
+701.39 4,167.0 14.407%
6
+701.39 4,167.06 34.725%
6
0 5
+701.39 4,167.06 0.016%
99,984%
7
0 1.5 3
+701.39 4,167.06 20.001%
79.999%
8
0 3
1.5
+701.39 4,167.06 0.618%
99,382%
9
0 1
2
+701.39 4,167.06 26.738%
73.262%
10
0 2
1
+701.39 4,167.06 2.076%
97.294%
1.5
65.275%
La distribución Beta puede hallarse en Excel con funciones estadísticas “f(x)”
distribución Beta; se deben completar los parámetros X, &, ß, A y B y el resultado
es la probabilidad acumulada hasta el punto “X”; como el objetivo es que sea
mayor que cero (0); para este caso entonces, la probabilidad (VPN>O) va a ser 1
menos la probabilidad acumulada hasta “X,’.
Los resultados obtenidos en los cuadros previos con todas las opciones a y b
dadas, muestran que los dos proyectos son viables y presentan bajísimo riesgo.
La distribución con & = 1.5 y ß = fue la que presentó menor probabilidad para los
dos proyectos; este resultado es obvio puesto que presentaría los datos más
concentrados a la izquierda que corresponde al escenario pesimista.
CAPITULO TRES
ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES
Justificación
En el medio de los negocios toda decisión involucra un riesgo que de no prever
su ocurrencia podría generar grave daño a las organizaciones llevándolas,
inclusive, a su desaparición. Mediante el estudio del capítulo se apropiará la
metodología para el análisis del riesgo en una inversión.
Objetivo General
Definir los criterios de decisión a utilizar cuando se tienen
alternativas mutuamente excluyentes y aplicar el modelo de
optimización cuando se tiene varios proyectos que se pueden
realizar simultáneamente.
Objetivos específicos
Establecer y diferenciar las limitaciones de los criterios de
decisión
Apropiar los conceptos de TIR Verdadera Y TIRponderada
Conocer y aplicar el modelo de optimización para resolver
situaciones de racionamiento de capital para la inversión
3.1 ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Cuando se trate de escoger una alternativa entre varias opciones, es decir que
una excluye a las demás, lo más sensato es evaluar la decisión para cada caso: si
se trata de un proyecto de inversión social, se tendrá en cuenta el criterio de
beneficio/ costo, costo capitalizado, etc.; en lo que se refiere a proyectos de
inversión financiera debe examinarse con base en los criterios financieros vistos
también con anterioridad.
3.1.1 Comparación de alternativas
Cuando se trate de escoger entre una alternativa u otra, es decir que una excluye
a la otra, los criterios más usados son: el valor presente neto (VPN), tasa interna
de retorno (TIR) y la relación beneficio3costo.
Suponga que el señor Armando Rico opcionalmente al proyecto de transporte,
tiene la posibilidad de invertir en un proyecto turístico en la población de Tocaima
(Cundinamarca); la información de los proyectos es la siguiente:
AÑO
Flujo de caja año 0
PROYECTO “A”
TRANSPORTE
5,000
PROYECTO “B”
TURISTICO
7,000
Flujo de caja año l
1,450
2,345
Flujo de caja año2
1,789
2,345
Flujo de caja año 3
2,345
2,345
Flujo de caja año 4
3,617
4,682
Considerando una tasa de descuento de 10% resultados para cada uno de los
proyectos: anual, se obtendrían los siguientes
Proyecto A:
VPN= 35,000+ 1,4501(1 +0.10)+1,7891(1 +0.10) 2+2,3451(1 +0.10) 3+ 3,617/ (1 +0.l0) 4 = $2,028.99
Proyecto B:
VPN = 37,000 +2,345 / (1 +0.10) +2,345 / ( 1+ 0.10) 2 + 2,345/( 1 +0.1 0) 3 +4,682/ (1+0. l0) 4 = $ 2,029.54
Los proyectos anteriores también se pueden evaluar a través de la tasa interna de
retorno mediante tanteo (sistema de interpolación ya explicado) o alternativamente
utilizando Excel como se describe a continuación:
A
B
PROYECTO A
C
PROYECTO B
2
0
3500
37,000
3
1
1,450
2,345
4
2
1,789
2,345
5
3
2,.345
2,345
6
4
3,617
4,682
7
VPN
8
TIR
1
D
E
TASA
DE 10%
DESCUENTO
Valor presente neto = VNA (tasa de descuento, rango flujo de caja sin incluir el
año 0) + flujo caja año cero.
Tasa interna de retorno = TIR (rango de todos los flujos de caja). Los resultados
obtenidos fueron los siguientes:
A
2
0
B
PROYECTO
A
35000.00
3
1
1,450.00
2,345.00
4
2
1,789.00
2,345.00
5
3
2,.345.00
2,345.00
6
4
3,617.00
4,682.00
7
VPN
2,028.99
2,029.54
8
TIR
24.88%
21.32%
1
C
PROYECT
OB
37,000.00
D
E
TASA
DE 10%
DESCUENTO
Obsérvese que si se toma el criterio de valor presente neto es mejor el proyecto B
que el A, por cuanto el resultado del primero es de $2,029.54, mientras el del
segundo $2,02 8.99. Sin embargo, si tomamos el criterio de la tasa interna de
retorno, es mejor el proyecto A, por cuanto la TIR es de 24.880 o mientras el
proyecto B es de solo 21.32%.
En forma similar a lo que se explicaba en el ejemplo de doña Linda Plata de Rico
en el capítulo de interés compuesto, donde se suponía que ella reinvertía sus
beneficios en su negocio y que esa reinversión la realizaba a la misma tasa de
interés que los anteriores, igualmente pasa con los proyectos del señor Armando
Rico: la evaluación con el criterio de valor presente neto está suponiendo que se
reinvierte a la tasa de descuento, que para el ejemplo es del 10% anual, mientras
si el criterio utilizado es la tasa interna de retorno, se supone que reinvierte a esta
tasa, que para el proyecto “A” es de 24.82% anual y para el proyecto “B” es de 2
1.32% anual.
De acuerdo con los resultados anteriores se presenta una aparente contradicción
entre los dos criterios de decisión; esto lleva a un nuevo concepto el de tasa
verdadera, que se explica a continuación.
3.1.2 Tasa Verdadera
Descubierto el origen del problema entre los criterios de decisión: valor presente
neto y tasa interna de retorno, es simplemente que la inversión del dinero
generado por el proyecto no es la misma para los dos sistemas, se dispone del
criterio tasa verdadera, la cual se calcula tomando como base los fondos
generados por el proyecto a la misma tasa de descuento.
Lo anterior significa que para el caso del señor Rico, el flujo de caja de $ 1,450 del
proyecto “A” que se genera al final del año 1, serán reinvertidos en los años 2, 3 y
4 al 10% anual; el flujo de caja del año 2 será reinvertido en los años 2 y 4 y así
sucesivamente. En el’ejemplo, la situación sería la siguiente:
Proyecto A:
Reinversión del flujo de caja 1 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4
F1 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 1
Valor flujo de caja # 1: $1,450
F1 = 1,450 (1+0.10)3= $1,929.95
Reinversión del flujo de caja 2 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4
F2 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 2
Valor flujo de caja # 2: $ 1,789
F2 = 1,789(1+0.10)2 = $2,164.69
Reinversión del flujo de caja 3 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4
F3 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 3
Valor flujo de caja # 1: $2,345
F3 = 2,345 (1+0.10)= $2,579.50
Reinversión del flujo de caja 4 hasta el final de la vida del proyecto o sea período #
4
F4 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 4
Valor flujo de caja # 4: $3,6 17
F4= 3,617(1±0.10)0 = $3,617
F = Valor de todas las reinversiones de los flujos de caja hasta el año 4
F = F1+ F2 + F3+ F4
F= 1,929.95 + 2,164.69 + 2,579.50 + 3,617
F= $10,291.14
La configuración del proyecto quedaría de la siguiente forma:
0
4
10,291.14
5,000
Con base en estos dos flujos de caja se calcula la TIR verdadera del proyecto utilizando
la primera equivalencia o sea:
F = P(1+i) n
10,291.14
= 5,000 (1+i)4
10291.14
333333333333333 = (1+i)4
5000
2.058228 = (1+i) 4
0
4
2.O58228 4 (1+i) 4
I = 19.77%
Proyecto B:
Reinversión del flujo de caja 1 hasta el final de la vida del proyecto o sea periodo
4
F1 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 1
Valor flujo de caja # 1: $2,345
F1= 2,345(1+0.10)~= $3,121.20
Reinversión del flujo de caja 2 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4
F2 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 2
Valor flujo de caja # 2: $2,345
F2 = 2,345 (1+0.10)2 = $ 2,837.45
Reinversión del flujo de caja 3 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4
F3 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 3
Valor flujo de caja # 1: $2,345
F3= 2,345 (1+0.10) =
Reinversión del flujo de caja 4 hasta el final de la vida del proyecto o sea período 4
F4 = Valor futuro en el período 4 del flujo de caja 4
Valor flujo de caja # 4: $4,682
F4= 4,682 (1+0.10)0 = $4,682
F = Valor de todas las reinversiones de los flujos de caja hasta el año 4
F = F1+ F2 + F3 +F4
F = 3,121.20 ± 2,837.45 ± 2,579.50 ± 4,682
F=$13,220.15
La configuración del proyecto quedaría de la siguiente forma:
0
4
13,220.15
7,000
Con base en estos dos flujos de caja se calcula la TIR verdadera del proyecto utilizando la
primera equivalencia o sea:
n
F = P(1+i)
13,220.15 = 7,000 (1+i)4
13,220.15
= (1+i)4
7,000
1,88859 = (1+i)4
4
1.88859
4
(1+i)4
i = 17.229%
Nótese que con la tasa verdadera se obtiene una rentabilidad para el proyecto “A’
de 19.77% y de 17.229% para el proyecto “B”
En el cuadro anexo se resume la información obtenida con los diferentes criterios:
CRITERIO
PROYECTO A
PROYECTO B
VPN
2,028.99
2,029.54
TIR
24.88%
21.32%
TlR verdadera
19.78%
17.23%
Del cuadro anterior se deduce con el criterio del valor presente neto, el mejor
proyecto es el “B”, mientras que con los criterios de tasa interna de retorno y tasa
verdadera el mejor proyecto es el “A”.
3.1.3 Tasa Ponderada
La reinversión de los fondos generados por el proyecto a la tasa de descuento, no
eliminó en nuestro ejemplo, la discrepancia entre los dos criterios valor presente
neto y la tasa de retorno verdadera.
Si se observan cuidadosamente los dos proyectos, existe una diferencia en el
valor de la inversión inicial: en el “A” es de $5,000, mientras en el “B” es de
$7,000. Lo anterior quiere decir que para poder hacer comparables los criterios se
requiere:
1.Que la reinversión se realice a tasa de descuento.
2.Que las dos inversiones sean iguales.
Para obviar el problema anterior surge el concepto de tasa de retorno ponderada,
que toma como referencia el proyecto que tenga mayor inversión; esta nueva
variable se define como dinero disponible.
Para el ejemplo del señor Armando Rico, el proyecto “A” requiere de una inversión
de $5,000 millones mientras el “B” de $7,000 millones; si los dos proyectos se
están analizando como alternativas de inversión, se parte del supuesto que el
señor Rico debe tener $7,000 millones disponibles.
El cálculo de la TIR Ponderada para el proyecto “A” implica cumplir con el
supuesto de la reinversión de los fondos generados en el proyecto hasta el final de
la vida del mismo, empleando la tasa de descuento. Es decir, se sigue con el
mismo procedimiento empleado en el cálculo de la TIRverdadera:
F1 = 1,450(1+0.10)3 = $1,929.95
F2 = 1,789(1+0.10)2 = $2,164.69
F3 = 2,345 (1+0.10)1 =
F4 = 3,617(1+0.10)0 = $3,617.00
En el proyecto “A” solo se invierten $5,000 millones, pero el dinero disponible del
señor Rico es $7,000, por lo tanto los $2,000 millones restantes se deben invertir a
la tasa de descuento de la siguiente forma:
0
4
F5 =?
2,000
F5= 2,000(1+0.10)4= $2,928.20
F = F1+ F2+ F3 + F4 + F5
F = 1,929.95 +2,164.69 +2,579.50 +3,617 +2,928.20
F= 13,219.34
Por lo tanto la TIRPonderada del proyecto “A”.
0
4
13,219.34
2,000
F = P(1+i)n
13,219.34 = 7,000 (1+ i)4
13,219.34 = (1+ i)4
7,000
1,88848 = (1+ i)4
1.88848= (1+ i)4
1 = 17.227%
TlRponderada e A = 17.227% anual
En razón a que el proyecto “B” no tiene excedentes, el cálculo de su TIRpondera
equivale a la TIRverdadera que de acuerdo con lo explicado previamente equivale a
17.229%
El siguiente cuadro resume la información obtenida con los diferentes criterios:
CRITERIO
PROYECTO
A
PROYECTO
VPN
2,028.99
2,029.54
TIR
TIR verdadera
24.88%
1 9.78%
21.32%
17.23%
TIR ponderada
17.227%
17.229%
B
Obsérvese que con la TIR ponderada la decisión es idéntica a la del valor presente neto; la
razón es que ambos criterios consideran dos supuestos básicos: reinversión a la tasa de
descuento e igual valor de las inversiones.
Por lo tanto, cuando se evalúen proyectos mutuamente excluyentes se debe utilizar
como criterio de decisión el valor presente neto o la TIR ponderada
3.1.4 Sensibilidad de los proyectos a diferentes tasas de descuento
Dependiendo de la tasa de descuento que se utilice, un proyecto puede ser
factible o no; de ahí la importancia de los conceptos costo de capital (WACC) y
tasa de interés de oportunidad en la determinación de tasa de descuento.
Continuando con el ejemplo del señor Armando Rico, el cuadro anexo detalla el
cálculo del VPN para cada uno de los proyectos utilizando diferentes tasas de
descuento:
TASA DE DESCUENTO PROYECTO "A"
5%
3,0005.04
7%
2,591.33
9%
2,209.18
10%
2,028.99
12%
1,688.62
PROYECTO "B"
3,237.91
2,725.90
2,252.73
2,029.54
1,607.79
14%
1,372.87
1,216.35
20%
1,079.50
552.06
852.44
197.61
25%
312.88
3504.81
Obsérvese que para tasas de descuento inferiores o iguales a 10% anual es mejor el
proyecto “B” que el “A”, mientras que para tasas de descuento mayores al 12% es mejor
“A” que “B”. Esto quiere decir, que hay un punto de corte donde las dos alternativas son
indiferentes o sea es la tasa de descuento a la cual es indiferente invertir en “A” o en “B”.
Gráficamente se expresaría así:
Proyecto A vs. Proyecto B
El punto de indiferencia puede calcularse planteando dos ecuaciones cuyo
objetivo es que los dos valores presentes sean iguales, donde la variable a
encontrar sería la tasa de descuento i%. Matemáticamente esto se representaría
así:
4
VPNA = +5,000 + 1,450/(1+i)+ 1,789/(1+i)2+ 2,345/(1+i)3+ 3,617/(1+i)
VPNB = +7,000 + 2,345/(1+i)+ 2,345/(1+i)2± 2,345/(1+i)3+ 4,682/(1+i)4
En el punto de corte las dos alternativas son iguales, es decir:
VPNAA = VPNBB
35,000 + 1,450/(1+i)+ 1,789/(1+)2± 2,345/(1+i)3+3,617/(1+)4 = 37,000 + 2,345/(1+i) +
2,345/(1+i)2 + 2,345/(1+i)3 + 4,682/(1+i)4
El cálculo anterior se puede hacer por tanteo o alternativamente empleando Excel,
siguiendo la siguiente metodología
Considerar
6 decimales
A
B
C
1
Tasa de descuento
10%
2
3
Proyecto A
Proyecto B
4
Flujo caja 0
35,000.00
37,000.00
5
Flujo caja 1
1,450.00
2,345.00
6
Flujo caja 2
1,789.00
2,345.00
7
Flujo caja 3
2,345.00
2,345.00
8
Flujo caja 4
3,617.00
4,682.00
9
VPN
2,028.99
2,029.54
10
Diferencia VPN
=C93D9
VNA($C$1,C5:C8)+C4
D
VNA($C$1,D5:D8)+C4
Posteriormente se busca la opción “herramientas” en el menú principal de Excel y
se selecciona “buscar objetivo”, donde se requiere completar la siguiente
información:
DEFINIR CELDA:
C10
CON EL VALOR:
0
PARA CAMBIAR LA CELDA:
C1
La celda C1O es la diferencia entre los dos valores presentes y debe contener
cero (0) porque corresponde al punto de corte donde los VPN de los dos proyectos
son iguales; el resultado debe actualizar la celda donde está la tasa de descuento,
o sea C1. Es importante tener presente que el valor presente debe estar formulado
para que se pueda emplear la herramienta “buscar objetivo”.
Los resultados se detallan en el cuadro anexo, una vez realizado el procedimiento
descrito:
Considerar 6
decimales
1
A
B
C
1
Tasa de descuento
10.013052%
2
3
Proyecto A
Proyecto B
4
Flujo caja 0
35,000.00
37,000.00
5
Flujo caja 1
1,450.00
2,345.00
6
Flujo caja 2
1,789.00
2,345.00
7
Flujo caja 3
2,345.00
2,345.00
8
9
10
Flujo caja 4
VPN
Diferencia VPN
3,617.00
2,026.68
0
4,682.00
2,026.68
D
De acuerdo con la información anterior se deduce que la tasa de descuento que
hace los dos proyectos iguales es $ 10.013052%; para esta tasa el VPN de las
dos alternativas es de $2,026.68
3.1.5 Proyectos con vidas diferentes
En la evaluación de inversiones se presenta el caso de analizar proyectos con
vidas económicas diferentes, al comienzo de este capítulo se tomaron dos
ejemplos relacionados con la floricultura: rosas y claveles, las primeras tenían una
vida de 10 años, mientras los claveles de 2 años, estos casos requieren un
tratamiento especial para que su comparación tenga los mismos parámetros. La
propuesta de los investigadores en esta temática, ha sido igualar las vidas
utilizando el mínimo común múltiplo del número de años, como medio que
iguala las vidas y suponiendo que la inversión se repite periódicamente en ese
lapso de tiempo. En el caso analizado, el mínimo común múltiplo es de 10 años;
por lo tanto, la inversión de rosas se realiza una sola vez en ese período y la de
claveles veces, una cada 2 años.
Ejemplo
Juan Pérez debe decidir si realizar entre el proyecto “X” o el proyecto “Y” que
tienen los siguientes flujos de caja proyectados:
PROYECTO “X”
PROYECTO “Y”
Flujo de caja año 0
+100
+120
Flujo de caja año l
40
90
Flujo de caja año 2
100
180
Flujo de caja año 3
160
La tasa de descuento que utiliza el inversionista para evaluar sus proyectos es del
anual.
Solución
El proyecto “X” tiene una vida de 3 años y el proyecto “Y” de 2 años , el mínimo
común múltiplo de las vidas sería 6 años, por lo tanto hay que suponer que el
proyecto “X” se repite 2 veces en ese lapso de tiempo y el proyecto “Y” 3 veces.
Los flujos de caja de los proyectos quedarían de la siguiente forma:
FLUJOS DE CAJA
PROYECTO "X" PROYECTO "Y"
Flujo de caja año 0
Flujo de caja año 1
Flujo de caja año 2
Flujo de caja año 3
Flujo de caja año 4
Flujo de caja año 5
Flujo de caja año 6
+100
40
100
160+100 = 60
40
100
160
+120
90
180+120 = 60
90
180+120 = 60
90
180
Nótese que en el proyecto “X” la inversión se repite al final del año 3, por eso el —100 y en
el proyecto “Y” la inversión se repite al final de los años 2 y 4, por eso el —120.
El VPN de los 2 proyectos sería:
VPNX = + 100 + 40/(1+0.15) + 100/(1+0.15)2 + 6O/(l+O.15)3 + 40/(1+0.15)4 +
100/(1+0.15)5 + 160/(1+0.15)6 = $191,61
VPNy = +120 + 90/(1+0.15) + 60/(1+0.15)2 + 9O/(l+0.15)3 + 60/(1+0.l5)4 + 9O/(1+0.15)5 +
1801(1+0.15)6 = $219,68
Por lo tanto, es mejor el proyecto “Y” por tener mayor valor presente neto.
EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS
1. Justo Sin Plata desea evaluar la viabilidad de un proyecto agroindustrial para
invertir el dinero que le dejo un tío suyo hace unos meses, su amigo Pastor Bueno
experto financiero ha realizado los siguientes cálculos:
MILLONES DE PESOS
AÑO
VALOR
Flujo de Caja 0
32,500
Flujo de Caja 1
0
Flujo de Caja 2
1,250
Flujo de Caja 3
1,250
Flujo de Caja 4
4,500
Flujo de Caja 5
4,500
Si la tasa de descuento para don Justo es 27% anual, determinar la viabilidad del
proyecto.
a) Utilizar como criterio de evaluación el valor presente neto
b) Utilizar como criterio de decisión la TIR
e) Utilizar como criterio de decisión la relación beneficio/costo.
2. Antanas Mockus con base en su política de bienestar de la comunidad, ha
considerado la posibilidad de dotar a la capital de un nuevo parque al occidente de
la ciudad, para lo cual ha planteado al concejo dos opciones:
Opción 1: Construir un nuevo parque con una inversión de $12.000 millones, unos
costos anuales de mantenimiento de $400 millones e inversiones cada 20 años de
$1.000 millones.
Opción 2: Reparar un parque ya existente con una inversión de $ 11.000 millones,
unos costos anuales de mantenimiento de $550 millones e inversiones cada 15
años de $1.200 millones.
Si la tasa de descuento es del l2oo anual, determinar qué decisión debe tomar el
alcalde.
3. Juan Pérez debe decidir si reparar su vehículo actual o comprar uno nuevo de
la misma marca pero último modelo; la reparación le costaría $4.000.000 y le
duraría 4 años más; el nuevo le costaría $12.000.000 y tendría una vida útil de 7
años, los costos anuales de mantenimiento serían de $1.000.000 para el actual y
de $300.000 para el nuevo; si la tasa de descuento para don Juan es del 18%
anual, ¿cuál será la mejor opción?
4. Determinar la viabilidad económica del siguiente proyecto:
AÑO
FLUJO DE CAJA (MILLONES)
0
+2,000
1
300
2
3
600
1,200
4
1,500
5
7,000
Si la tasa de descuento es del 20% anual, utilizar:
VPN
TIR
5. Sofía Vergara tiene los proyectos que se resumen en la tabla anexa. Si la tasa
de descuento es del 15% anual, en qué proyecto debe invertir Sofía. Utilizar como
criterios de decisión VPN y TIRponderada. Hallar la tasa de descuento para la cual
las dos alternativas son indiferentes y hacer el gráfico correspondiente.
PROYECTO A
PROYECTO B
Flujo de caja 0
Flujo de caja 1
Flujo de caja 2
Flujo de caja 3
Flujo de caja 4
Flujo de caja 5
318,000
4,000
4,000
4,000
8,000
8,000
323,000
4,000
6,000
7,000
8,000
9,000
Flujo de caja 6
8,000
10,000
6. Evaluar los siguientes proyectos mutuamente excluyentes:
PROYECTO "R" PROYECTO"S"
Flujo de caja año 0
Flujo de caja año 1
Flujo de caja año 2
1345
0
800
Flujo de caja año 3
Flujo de caja año 4
1600
2400
1500
1000
1250
Tasa de descuento = 12% anual
1.
Determinar el riesgo del siguiente proyecto:
AÑO
FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA
PESIMISTA
OPTIMISTA
MÁS PROBABLE
0
33,500
32,000
31,800
1
2
3
4
5
200
500
800
1,350
1,650
300
600
1,200
1,500
1,700
500
700
1,350
1,600
1,900
a) Calcular el riesgo para el proyecto utilizando la distribución Beta y Beta 2, si la tasa de
descuento es del 20% anual.
b) Calcular el riesgo para el proyecto utilizando la distribución Beta y Beta 2, si la
tasa de descuento es del 12% anual.
2. Sofía Vergara tiene los siguientes proyectos:
Provecto A:
AÑO
FLUJO DE CAJA OPTIMISTA FLUJO DE CAJA MÁS PROBABLE
FLUJO DE CAJA PESIMISTA
0
1
+20,000
3,000
+18,000
4,000
+17,000
4,500
2
3
4
3,000
3,000
7,000
4,000
4,000
8,000
4,500
4,500
8,500
5
6
7.000
7.000
8,000
8,000
8,500
8,500
Provecto B:
AÑO
0
1
2
3
4
5
6
FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA
PESIMISTA
OPTIMISTA
MÁS PROBABLE
+25.000
3.000
+23,000
4,000
+21,500
4,500
5.500
6.500
7,000
6,000
7,000
8,000
6,500
7,500
8.250
9,300
9,000
10.000
9,000
10,000
11,000
Calcular el riesgo para cada uno de los proyectos, utilizando distribución Beta 2 y Beta, si la tasa
de descuento es del 15% anual.
3.2 RACIONAMIENTO DE CAPITAL
Cando se expuso la evaluación de alternativas mutuamente excluyentes, se
planteaba que si se hacia un proyecto no se podía realizar el otro; el caso de
racionamiento de capital es diferente, se pueden realizar varios proyectos
simultáneamente pero su ejecución va a depender de que se tenga el dinero
suficiente para invertir, es lo que se conoce con el nombre de cartera o portafolio
de proyectos, la pregunta es: ¿Cuáles se deben llevar a cabo, si se tienen
restricciones de capital para invertir?
3.2.1 Modelo de optimización
La solución a la pregunta que se plantea: ¿Cuáles proyectos se deben llevar a
cabo, si se tienen restricciones de capital para invertir?, es relativamente simple,
se trata de ejecutar un modelo de optimización que se puede resolver con la
programación lineal, su planteamiento es el siguiente:
Se tiene una función objetivo cuyo fin es maximizar el valor del dinero del
inversionista, lo cual se puede hacer a través del valor presente neto, se requieren
los flujos de caja proyectados de cada una de las opciones, posteriormente se
establecen las restricciones monetarias del inversionista, para los períodos que así
se requiera.
3.2.2 Planteamiento del modelo
Se tienen m proyectos con vida den años que serán evaluados a una tasa de
descuento del i% y se tienen restricciones económicas en los períodos 0 y 1.
Simbólicamente se expresarían así:
Número de proyectos: desde A hasta M
tasa de descuento =
Disponible en el período O = Disponible O
Disponible en el período 1 = Disponible 1
VPN = Valor presente neto
Se tomaron dos restricciones monetarias, no solamente considerando la inversión
inicial en el periodo cero, sino también en el período uno, puesto que no
necesariamente un proyecto genera dinero en el primer período, existen algunas
inversiones de tardío rendimiento como es el caso de la palma africana o algunos
productos de la floricultura que requieren varios períodos para generar flujos de
caja positivos.
VPNA= Valor presente neto del proyecto A
.
.
.
VPNM Valor presente neto del proyecto M
Xi= Variable de decisión, si el resultado es uno se invierte en el proyecto, en caso
contrario no
i=A..................... M
FCOA = Flujo de caja del período cero del proyecto “A”
FC1A = Flujo de caja del período uno del proyecto “A”
.
.
.
FC OB = Flujo de caja del período cero del proyecto “B”
FC IB = Flujo de caja del período uno del proyecto “B”
.
.
.
FCNM = Flujo de caja del período N del proyecto “M”
Modelo de optimización
Función objetivo: Maximizar(VPNAXA+ VPNBXB +..........+ VPNMXM)
Restricciones
sujeto a:
Periodo cero:
FCOAX A + FCOB XB +...............................+ FCOMXM
<
=
Disponible 0
Período uno:
FC 1AX A + FC1BXB +.......................+FC1MXM <= Disponible 1
XA XB...............XM >= 0
XA XB...............XM <= 1
XA XB...............XM >= Enteros
El resultado obtenido por las X que debe ser cero o uno, indica si se debe o no
realizar el proyecto, de acuerdo a las restricciones económicas.
Ejemplo
El señor Armando Plata Rico debe conformar su portafolio de proyectos y para ello
su asistente doña Linda Reina de Malo ha elaborado las respectivas proyecciones
de los flujos de caja de cada una de las inversiones, considerando como tasa de
descuento la tasa de oportunidad del señor Plata que es del 20% anual,
determinar en qué proyectos debe invertir el señor Plata, si su disponibilidad para
invertir en el momento inicial es de $1.200 millones y en el año 1 es de $125
millones.
Flujos de caja proyectados (millones de pesos)
PROVECTO A
PROYECTO B PROYECTO C PROYECTO D
Flujo de caja año 0
3350
3400
3250
3300
Flujo de caja año 1
70
0
3100
350
Flujo de caja año 2
170
0
400
300
Flujo de caja año 3
Flujo de caja año 4
270
370
400
1000
800
1200
900
1300
El paso inicial sería calcular el valor presente neto de cada proyecto que sería lo
que se va a maximizar y se plantearía de la siguiente forma:
Maximizar (VPNAXA + VPNBXB + VPNCXC+ VPNDXD)
VPN A Valor presente neto = 3350+ 70/(1+0.20) + 170/(1+0.20)2+ 270/(1+0.20)3+
370/(1+0.20)4
VPNB = Valor presente neto =3400 + 0/(1+0.20) + 0/(1+0.20) 2 + 400/(1+ 0.20) 3 1000/(1+ O.20) 4
VPNC =Valor presente neto= 3250 – 100/(1+0.20) + 400/(1+0.20) 2 + 800/(1+ 0.20)3 +1200/(1+
0.20)
4
VPND Valor presente neto =3300 3 50/(1+0.20) + 300/(1+0.20) 2 + 900/(1+ 0.20)3 +1300/(1+
0.20)
4
VPNA = 134.23
VPNB = 261.45
VPNC = 821.76
VPND = 845.36
Restricciones
En el año 0 solamente se pueden invertir $ 1.200 millones o sea que la restricción
No. 1, se plantearía así:
350XA + 400XB
+300XD <=$ 1.200
Nótese que los coeficientes tienen signo positivo a pesar de ser desembolsos,
puesto que lo que se trata es de sumarlos para determinar cuánto dinero se
requiere para todos los proyectos propuestos, en este caso son $1.300 millones y
solamente se dispone de $1.200 millones.
En el año 1 solamente el proyecto “A” genera dinero, los demás generan
desembolsos, la restricción se plantearía de la siguiente manera:
37OXA + 0XB + 100XC + 50XD <=$ 125
El proyecto “A” tiene signo negativo, puesto que es el único que genera dinero al
final del año 1 y en caso de ser elegido aliviaría esta restricción.
Y finalmente:
X A X B X C X M >=0
X A X B X C X M <= 1
X A X B X C X M enteros
La respuesta debe ser cero o uno, por eso se le incluye la restricción entero, para
que el proyecto se realice a plenitud y no parcialmente.
La solución del problema anterior se puede hacer utilizando la hoja de Excel de la
siguiente manera:
1
A
B
C
Tasa
Descuento
D
E
20%
PROYECTO A
PROYECTO B
PROYECTO C
PROYECTO D
Flujo caja 0
3350
3400
3250
3300
Flujo caja 1
70
0
3100
350
Flujo caja 2
170
0
400
300
Flujo caja 3
270
400
800
900
2
3
4
5
6
7
8
Flujo caja 4
VPN
X
9
10
370
=VNA(C1,B
4:B7)+B3
2
Función
objetivo
=B 8*B9
Restricción #1
=B3*B9
1000
=VNA(C1,C4
:C7)+C3
2
=C8*C9
1200
F
1300
=VNA(C1,D4
:D7)+D3
2
=VNA(C1,E4
:E7)+E3
2
=D8*D9
=E8*E9
TOTAL
=SUMA
(B10:E10)
11
12
13
C3*C9
=C4*C9
Restricción #2
=D3*D9
=D4*D9
=B4 * B9
=E3*E9
=E4*E9
=SUMA
(B12:E12)
=SUMA
(B13:E13)
Colocar cualquier valor:
Ej: 2,3, 25,16,...etc.
Con base en la tabla anterior, se busca en el menú principal, herramientas y se
ubica resolver, aparece cuadro de parámetros que dice:
Celda objetivo: es la suma de los valores presentes netos de cada proyecto
multiplicado por las “x” respectiva en este caso $F$10
Valor celda objetivo: máximo
Cambiando las celdas: son las “X” $B$9:$E$9
Agregar:
Referencia de la celda:
$B$9: $E$9 < =1 como se había planteado las “X” deben ser menor que 1
Agregar:
Referencia de la celda:
$B$9: $E$9 > = 0 como se había planteado las “X” deben ser mayor que 0
Agregar:
Referencia de la celda:
$B$9: $E$9 int como se había planteado las “X” deben ser enteros
Agregar:
Referencia de la celda:
$F$ 12 <= 1.200 que corresponde a la restricción monetaria de la inversión inicial
Agregar:
Referencia de la celda:
$F$ 13 <= 125 que corresponde a la restricción monetaria del primer año
Posteriormente, se pulsa resolver y el modelo nos muestra el siguiente cuadro:
A
1
B
C
Tasa
Descuento
20%
D
E
F
PROYECTO A PROVECTO B PROYECTO C PROYECTO D
2
Flujo caja 0
Flujo caja 1
Flujo caja 2
3350
70
170
3400
0
0
3250
3100
400
3300
350
300
Flujo caja 3
270
400
800
900
7 Flujo caja 4
370
1000
1200
1300
134.23
261.45
821.76
845.36
1
134.2
0
0
1
821.76
1
845.36
TOTAL
1801.34
12 Restricción #1
350
0
250
300
900
13 Restricción #2
370
0
100
50
80
3
4
5
6
8
VPN
9
X
10 Función
objetivo
11
Obsérvese en el cuadro, que la fila 9 que corresponde a las “NP variaron los
valores que se habían colocado inicialmente que eran 2 en cada celda, los valores
actuales son las respuestas que significan lo siguiente: si el resultado es 1 el
proyecto debe hacerse en caso contrario no, o sea que deben realizarse los
proyectos A,C,D y no debe llevarse a cabo el proyecto B.
EJERCICIO PARA LA PROFUNDIZACIÓN DE LAS TEMÁTICAS
Natalia París debe conformar su portafolio de proyectos y para ello su asistente
Sandra Muñoz, ha elaborado las respectivas proyecciones de los flujos de caja de
cada una de las inversiones, considerando como tasa de descuento la tasa de
oportunidad de Natalia que es del 18% anual, determinar en qué proyectos debe
invertir la señorita París, si su disponibilidad para invertir en el momento inicial es
de $1.500 millones y en el año 1 es de $143 millones.
Flujos de caja proyectado (millones de pesos)
Proyecto Proyecto Proyecto Proyecto
A
B
C
D
Proyecto
E
Flujo de caja año 0
+350
+420
+250
+300
+300
Flujo de caja año 1
Flujo de caja año 2
Flujo de caja año 3
Flujo de caja año 4
70
170
270
370
0
70
470
1000
+100
395
820
1200
+50
300
900
1300
+50
100
800
1975
APENDICE
SISTEMA DE FINANCIACIÓN CON
UNIDAD DE VALOR REAL – UVRD
La UVR (unidad de valor real) es el sistema actual de crédito de vivienda que se
usa en Colombia, en reemplazo del UPAC sistema creado en los años setenta,
con el objeto de facilitar el desarrollo de la construcción.
Según lo dispone el artículo 2, resolución externa N0 13 de 2000, de la Junta
Directiva del Banco de la República, esta entidad es la encargada del cálculo y
divulgación diaria de la UVR de acuerdo con la metodología allí prevista.
El valor de la mencionada unidad puede consultarse en la página
entidad en la dirección www.banrep.gov.co
de dicha
Con el objeto que la tasa interés efectiva cobrada durante cada período para los
créditos de UVR no sobrepase la tasa de usura, el Decreto 234 de 2000, establece
que esta unidad se reajustará con la inflación ocurrida durante el año; esto es
tomando los doce meses inmediatamente anteriores a cada período y no con
variaciones de cada mes anualizadas. La Superintendencia Bancaria, con base en
las certificaciones emitidas por el DANE, es la entidad encargada de informar
mensualmente el valor de dicho reajuste.
A manera de ilustración, a continuación se analizan a través de ejemplos dos de
los sistemas de amortización de préstamos financiados con UVR; debe aclararse
antes, que el sistema tiene dos tasas: uno para calcular el valor de las cuotas en
UVR y la otra corresponde a la inflación, la cual se usa para proyectar el valor de
la UVR.
1.
Cuota constante en UVR
Determinar la tabla de amortización con cuota constante en UVR para un crédito
de $ 1,000,000 con un plazo de 60 meses y una tasa efectiva anual sobre UVR =
13%, inflación 10% anual, UVR inicial = 111,3366.
El valor de la cuota constante en UVR se calcula con la siguiente fórmula:
(1+i)n i
A=P
=
(1+i)n + 1
i=
¡mes =
12
13% efectivo anual
1.1331 = 1.02368%
Valor UVR inicial = 111.3366
Valor crédito en pesos $1 ,000,000
Valor crédito en UVR = 1,000,000/111.3366 = 8,981.77
Cuota constante
A=
Cuota constante
En UVR
0.0102368 (1+0.0102368)60
= 8.981.77
(1+0.0102368)60 + 1
A = Cuota constante en UVR = 201.0869
La UVR se puede estimar con el valor de la inflación proyectada, que en el
ejemplo es 10% anual.
Inflación mensual =
12
1.1031 = 0.7974%
Si la UVR al momento del préstamo es 11.3366, para el mes siguiente sería:
111.3366 (1+0.7974%) = 112.2244
y para el mes siguiente:
112.2244(l+0.7974%)= 113.1193
y así sucesivamente se puede proyectar hasta el final del plazo.
La tabla de amortización se debe elaborar primero en términos de UVR; con base
en esta información y en el valor de la UVR estimada hasta el final del plazo del
préstamo, permite obtener el valor en pesos. (Ver tabla en la hoja siguiente).
UVR UVR
Mes
UVR
UVR
Abonos a
Saldo Intere Cuota
Inicial ses Constante Capital
UVR
Saldo final
Cuota $
Saldo $
UVR
1,000,000.00
111.34
1
8,981.77 91.95
201.09
109.14
8,872.63
22,566.86
995,725.75
112.22
2
8,872.63 90.83
201.09
110.26
8,762.37
22,746.82
991,193.36
113.12
3
8,762.37 89.7
201.09
111.39
8,650.98
22,928.20
986,396.68
114.02
4
8,650.98 88.56
201.09
112.53
8,538.46
23,111.03
981,329.42
114.93
5
8,538.46 87.41
201.09'
113.68
8,424.78
23,295.33.
975,985.18
115.85
6
8,424.78 86.24
201.09
114.84
8,309.93
23,481.09
970,357.41
116.77
7
8,309.93 85.07
201.09
116.02
8,193.91
23,668.33
964,439.46
117.7
8
8,193.91 83.88
201.09
117.21
8,076.70
23,857.06
958,224.52
118.64
9
8,076.70 82.68
201.09
118.41
7,958.30
24,047.30
951,705.65
119.59
10
7,958.30 81.47
201.09
119.62
7,838.68
24,239.06
944,875.78
120.54
11
7,838.68 80.24
201.09
120.84
7,717.83
24,432.34
937,727.68
121.5
12
7,717.83 79.01
201.09
122.08
7,595.75
24,627.17
930,254.00
122.47
13
7,595.75 77.76
201.09
123.33
7,472.42
24,823.55
922,447.23
123.45
14
7,472.42 76.49
201.09
124.59
7,347.83
25,021.50
914,299.70
124.43
15
7,347.83 75.22
201.09
125.87
7,221.96
25,221.02
905,803.62
125.42
16
7,221.96 73.93
201.09
127.16
7,094.81
25,422.14
896,950.99
126.42
17
7,094.81 72.63
201.09
128.46
6,966.35
25,624.86
887,733,72
127.43
18
6,966.35 71.31
201.09
129.77
6,836.57
25,829.19
878,143.49
128.45
UVR UVR
UVR
UVR
Saldo Intere Cuota
Inicial ses Constante
Abonos
a
Capital
Saldo final
19
6,836.57 69.98
201.09
131.1
6,705.47
26,035.16
868,171.87
129.47
20
6,705.47 68.64
201.09
132.44
6,573.03
26,242.77
857,810.24
130.5
21
6,573.03 67.29
201.09
133.8
6,439.23
26,452.03
847,049.80
131.55
22
6,439.23 65.92
201.09
135.17
6,304.06
26,662.96
835,881.59
132.59
23
6,304.06 64.53
201.09
136.55
6,167.50
26,875.58
824,296.48
133.65
24
6,167.50 63.14
201.09
137.95
6,029.55
27,089.89
812,285.13
134.72
25
6,029.55 61.72
201.09
139.36
5,890.19
27,305.91
799,838.04
135.79
26
5,890.19 60.3
201.09
140.79
5,749.40
27,523.65
786,945.52
136.87
27
5,749.40 58.86
201.09
142.23
5,607.17
27,743.12
773,597.69
137.97
28
5,607.17 57.4
201.09
143.69
5,463.48
27,964.35
759,784.46
139.07
29
5,463.48 55.93
201.09
145.16
5,318.32
28,187.34
745,495.56
140.17
30
5,318.32 54.44
201.09
146.64
5,171.68
28,412.11
730,720.51
141.29
31
5,171.68 52.94
201.09
148.15
5,023.53
28,638:68
715,448.63
142.42
32
5,023.53 51.43
201.09
149.66
4,873.87
28,867.04
699,669.01
143.56
33
4,873.87 49.89
201.09
151.19
4,722.68
29,097.23
683,370.55
144.7
34
4,722.68 48.35
201.09
152.74
4,569.94
29,329.26
666,541.93
145.85
35
4,569.94 46.78
201.09
154.31
4,415.63
29,563.14
649,171.59
147.02
36
4,415.63 45.2
201.09
155.88
4,259.75
29,798.88
631,247.76
148.19
37
4,259.75 43.61
201.09
157.48
4,102.27
30,036.50
612,758.43
149.37
38
4,102.27 41.99
201.09
159.09
3,943.17
30,276.01
593,691.37
150.56
Mes
UVR
Cuota $
Saldo $
UVR
UVR UVR
UVR
UVR
Saldo Intere Cuota
Inicial ses Constante
Abonos
a
Capital
Saldo final
39
3.943.17 40.37
201.09
160.72
3,782.45
30,517.44
574,034.11
151.76
40
3,782.45 38.72
201.09
162.37
3,620.09
30,760.79
553,773.90
152.97
41
3,620.09 37.06
201.09
164.03
3,456.06
31,006.08
532,897.80
154.19
42
3,456.06 35.38
201.09
165.71
3,290.35
31,253.32
511,392.57
155.42
43
3,290.35 33.68
201.09
167.4
3,122.95
31,502.54
489,244.73
156.66
44
3,122.95 31.97
201.09
169.12
2,953.83
31,753.75
466,440.55
157.91
45
2,953.83 30.24
201.09
170.85
2,782.98
32,006.96
442,966.01
159.17
46
2,782.98 28.49
201.09
172.6
2,610.38
32,262.19
418,806.83
160.44
47
2,610.38 26.72
201.09
174.36
2,436.02
32,519.45
393,948.45
161.72
48
2,436.02 24.94
201.09
176.15
2,259.87
32,778.76
368,376.04
163.01
49
2,259.87 23.13
201.09
177.95
2,081.91
33,040.15
342,074.45
164.31
50
2,081.91 21.31
201.09
179.77
1,902.14
33,303.61
315,028.28
165.62
51
1,902.14 19.47
201.09
181.62
1,720.52
33,569.18
287,221.79
166.94
52
1,720.52 17.61
201.09
183.47
1,537.05
33,836.87
258,638.96
168.27
53
1,537.05 15.73
201.09
185.35
1,351.70
34,106.69
229,263.46
169.61
54
1,351.70 13.84
201.09
187.25
1,164.45
34,378.66
199,078.63
170.96
55
1,164.45 11.92
201.09
189.17
975.28
34,652.80
168,067.50
172.33
56
975.28
9.98
201.09
191.1
784.18
34,929.12
136,212.77
173.7
57
784.18
8.03
201.09
193.06
591.12
35,207.65
103,496.80
175.09
58
591.12
6.05
201.09
195.04
396.08
35,488.40
69,901.63
176.48
59
396.08
4.05
201.09
197.03
199.05
35,771.39
35,408.92
177.89
60
199.05
2.04
201.09
199.05
0
36,056.64
0
179.31
Mes
UVR
Cuota $
Saldo $
UVR
2. Abono constante a capital en UVR
Determinar la tabla de amortización para un crédito de $1,000,000 con un plazo de
60 meses, una tasa efectiva anual sobre UVR igual al 13%, inflación = 10% anual,
UVR inicial = 111.3366
Valor crédito pesos = $1,000,000
Valor crédito UVR = 1,000,000/111.3366 = 8,981.7724
Abono constante a capital = 8,981.7724/60 = 149.6962
El detalle de las cuotas se observa en la siguiente tabla:
UVR UVR
Mes
UVR
Saldo Intere Cuota
Inicial ses Constante
UVR
UVR
Abonos a
Capital
Saldo final
Cuota $
Saldo $
UVR
1,000,000.00
111.34
1
8,981.77 91.95
241.64
149.7
8,832.08
27,118.04
991,174.57
112.22
2
8,832.08 90.41
240.11
149.7
8,682.38
27,160.94
982,144.81
113.12
3
8,682.38 88.88
238.58
149.7
8,532.68
27,202.80
972,908.00
114.02
4
8,532.68 87.35
237.04
149.7
8,382.99
27,243.59
963,461.44
114.93
5
8,382.99 85.82
235.51
149.7
8,233.29
27,283.31
953,802.36
115.85
6
8,233.29 84.28
233.98
149.7
8,083.60
27,321.93
943,927.96
116.77
7
8,083.60 82.75
232.45
149.7
7,933.90
27,359.43
933,835.44
117.7
8
7,933.90 81.22
230.91
149.7
7,784.20
27,395.79
923,521.94
118.64
9
7,784.20 79.69
229.38
149.7
7,634.51
27,431.00
912,984.57
119.59
10
7,634.51 78.15
227.85
149.7
7,484.81
27,465.02
902,220.43
120.54
11
7,484.81 76.62
226.32
149.7
7,335.11
27,497.84
891,226.57
121.5
12
7,335.11 75.09
224.78
149.7
7,185.42
27,529.43
880,000.00
122.47
13
7,185.42 73.56
223.25
149.7
7,035.72
27,559.78
868,537.72
123.45
14
7,035.72 72.02
221.72
149.7
6,886.03
27,588.87
856,836.68
124.43
15
6,886.03 70.49
220.19
149.7
6,736.33
27,616.66
844,893.79
125.42
16
6,736.33 68.96
218.65
149.7
6,586.63
27,643.15
832,705.96
126.42
17
6,586.63 67.43
217.12
149.7
6,436.94
27,668.30
820,270.03
127.43
18
6,436.94 65.89
215.59
149.7
6,287.24
27,692.10
807,582.81
128.45
19
6,287.24 64.36
214.06
149.7
6,137.54
27,714.51
794.641.10
129.47
UVR
Mes
UVR
UVR
UVR
Abonos
Saldo Intere Cuota
ses Constante a Capital
Inicial
UVR
Saldo final
Cuota $
Saldo $
UVR
20
6,137.54
62.83
212.53
149.7
5,987.85
27,735.52
781,441.64
130.5
21
5,987.85
61.3
210.99
149.7
5,838.15
27,755.11
767,981.14
131.55
22
5,838.15
59.76
209.46
149.7
5,688.46
27,773.24
754.256.28
132.59
23
5,688.46
58.23
207.93
149.7
5,538.76.
27,789.90
740,263.70
133.65
24
5,538.76
56.7
206.4
149.7
5,389.06
27,805.06
726,000.00
134.72
25
5,389.06
55.17
204.86
149.7
5,239.37
27.818.69
711.461.75
135.79
26
5,239.37
53.63
203.33
149.7
5.089.67
27.830.77
696.645.47
136.87
27
5,089.67
52.1
201.8
149.7
4.939.97
27.841.28
681.547.66
137.97
28
4,939.97
50,57
200.27
149.7
4,790.28
27,850.18
666.164.77
139.07
29
4,790.28
49.04
198.73
149.7
4,640.58
27,857.46
650,493.21
140.17
30
4,640.58
47.5
197.2
149.7
4.490.89
27,863.08
634,529.35
141.29
31
4,490.89
45.97
195.67
149.7
4,341.19
27,867.01
618,269.54
142.42
32
4,341.19
44.44
194.14
149.7
4,191.49
27,869.24
601,710.06
143.56
33
4,191.49
42.91
192.6
149.7
4,041.80
27,869.74
584,847.18
144.7
34
4,041.80
41.38
191.07
149.7
3,892.10
27,868.47
567.677.10
145.85
35
3,892.10
39.84
189.54
149.7
3,742.41
27,865.40
550,195.99
147.02
36
3,742.41
38.31
188.01
149.7
3,592.71
27,860.52
532,400.00
148.19
37
3,592.71
36.78
186.47
149.7
3,443.01
27,853.78
514,285.21
149.37
38
3,443.01
35.25
184.94
149.7
3,293.32
27,845.17
495,847.66
150.56
39
3,293.32
33.71
183.41
149.7
3.143.62
27,834.65
477.083.36
151.76
UVR UVR
Mes
UVR
Saldo Intere Cuota
Inicial ses Constante
UVR
UVR
Abonos a
Capital
Saldo final
Cuota $
Saldo $
UVR
40
3,143.62 32.18
181.88
149.7
2,993.92
27,822.19
457,988.28
152.97
41
2,993.92 30.65
180.34
149.7
2,844.23
27,807.76
438,558.32
154.19
42
2,844.23 29.12
178.81
149.7
2,694.53
27,791.33
418,789.37
155.42
43
2,694.53 27.58
177.28
149.7
2,544.84
27,772.87
398,677.26
156.66
44
2,544.84 26.05
175.75
149.7
2,395.14
27,752.35
378,217.75
157.91
45
2,395.14 24.52
174.21
149.7
2,245.44
27,729.74
357,406.61
159.17
46
2,245.44 22.99
172.68
149.7
2,095.75
27,705.00
336,239.51
160.44
47
2,095.75 21.45
171.15
149.7
1,946.05'
27,678.10
314,712.11
161.72
48
1,946:05 19.92
169.62
149.7
1,796.35
27,649.02
292,820.00
163.01
49
1,796.35 18.39
168.09
149.7
1,646.66
27,617.70
270,558.74
164.31
50
1,646.66 16.86
166.55
149.7
1,496.96
27,584.14
247,923.83
165.62
51
1,496.96 15.32
165.02
149.7
1,347.27
27,548.28
224,910.73
166.94
52
1,347.27 13.79
163.49
149.7
1,197.57
27,510.09
201,514.84
168.27
53
1,197.57 12.26
161.96
149.7
1,047.87
27,469.54
177,731.53
169.61
54
1,047.87 10.73
160.42
149.7
898.18
27,426.60
153,556.10
170.96
55
898.18
9.19
158.89
149.7
748.48
27,381.23
128,983.82
172.33
56
748.48
7.66
157.36
149.7
598.78
27,333.39
104,009.88
173.7
57
598.78
6.13
155.83
149.7
449.09
27,283.04
78,629.45
175.09
58
449.09
4.6
154.29
149.7
299.39
27,230.15
52,837.64
176.48
59
299.39
3.06
152.76
149.7
149.7
27,174.69
26,629.49
177.89
60
149.7
1.53
151.23
149.7
0
27,116.61
0
179.31
BIBLIOGRAFÍA
AYRES, Frank Jr./ Matemáticas Financleras.3 Mc Graw Hill, 1976.
CANADÁ, J.R. y WHITE, Jr JA/Capital Investment Decision Analysis for
Managment and Engineering.3 3 Prentice Hall mc, Englewood Cliffs, NJ, 1980.
CARDONA, Alberto Matemáticas financieras.
Editorial Interamericana SA., 1986.
CORREDORES ASOCIADOS Manual para el cálculo de rentabilidades.3
flash, 1998.
Semi3
CRUZ, Juan Sergio Lógicas y dialécticas en las decisiones de inversión.
3R Editores, 2001.
EVANS, James R., OLSON, David! Introduction lo Simulation and Risk Analysis.3
Prentice Hall, 1998.
FAMA, Eugene F. Short terms, interest rates as predictors of Inflation.3 American
Economic Review. Junio, 1995.
GARCÍA, Jaime Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita.3
Pearson, 2000.
GUTIÉRREZ, Luis Fernando Finanzas prácticas para países en desarrollo.3 3
Norma, 1995.
HESS, P. y BICKSLER, J./ Capital Asset Prices versus Time Series Models as
predictors of Inflation.3 3Journal of Financial Economics. December, 1975.
HILLIER, Frederick! The derivation of probabilistic information for the evaluation of
risk investments.3 Management Science. Vol. 11, N0 3, 1963.
INFANTE VILLAREAL, Arturo Evaluación financiera de alternativas de inversión.
NELSON, C. y SCHWERT G. William! Short3term Interest rates as predictors of
Inflation: on testing the hipothesis thaI the real rate is constant. 3 3American
Economic Review. Junio, 1977.
VÉLEZ P., Ignacio Decisiones de inversión enfocado a la valoración de
empresas.CEJA, 2001.
CIBERGRAFIA
www.banrep.gov.co
:
www.mincomercio.gov.co
Banco de la República
Ministerio de Comercio Industria y Turismo