Programa de Matemática Cálculo II GUÍA Nº 04 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden Ecuación Lineal de Segundo Orden Homogénea Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, es una ecuación de la forma: ay ′′ + by ′ + cy = 0 donde a, b y c son constantes reales, cuya solución es: y = c1 y1 + c2 y2 con c1 y c2 constantes reales. Esta ecuación diferencial tiene asociada la siguiente ecuación grado (ecuación característica): de segundo am2 + bm + c = 0 cuyas soluciones vienen dada por la fórmula m = −b±√∆ 2a , con ∆= b2 − 4ac Si ∆= 0, la ecuación am2 + bm + c = 0 tendrá a m1 como única solución real, por lo tanto, y1 = em1 x e , y2 = xem1 x Si ∆> 0, la ecuación am2 + bm + c = 0 tendrá a m1 y m2 como soluciones reales, por lo tanto, y1 = em1 x e , y2 = em2 x Si ∆< 0, la ecuación am2 + bm + c = 0 tendrá soluciones complejas. La ecuación ay by cy 0 si tendrá solución, las que no serán tratadas en esta asignatura Página 1 de 4 Programa de Matemática Cálculo II 1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes: a. y ′′ − y ′ − 6y = 0 Respuesta: y(x) = c1 e3x + c2 e−2x b. y ′′ − 2y ′ + y = 0 Respuesta: y(x) = c1 ex + c2 xex c. y ′′ − 5y = 0 Respuesta: y(x) = c1 e√5x + c2 e−√5x d. y ′′ + 12y ′ + 36y = 0 Respuesta: y(x) = c1 e−6x + c2 xe−6x 2. En cada caso, determine una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, que tenga como solución a. Respuesta: y ′′ − 4y = 0 y(x) = c1 e2x + c2 e−2x b. y(x) = c1 e3x + c2 xe3x Respuesta: y ′′ − 6y ′ + 9y = 0 c. Respuesta: y ′′ − 6y ′ = 0 y(x) = c1 + c2 e6x Respuesta: y ′′ + 3y ′ + 2y = 0 d. y(x) = c1 e−x + c2 e−2x 3. Resolver el problema de valores iniciales a. y ′′ − y ′ − 2y = 0 con y(0) = 1 5 y ′ (0) = 4 2 Respuesta: y(x) = 3 e2x − 3 e−x b. y ′′ + 6y ′ − 7y = 0 con 1 y(0) = 0 y ′ (0) = 4 y(0) = 1 y ′ (0) = 10 1 Respuesta: y(x) = 2 ex − 2 e−7x c. y ′′ − 3y ′ − 10y = 0 Respuesta: y(x) = con 12 5x e 7 5 − 7 e−2x Página 2 de 4 Programa de Matemática Cálculo II d. y 6 y 7 y 0 y (0) 0 con Respuesta: y ( x) y (0) 4 1 x 1 7 x e e 2 2 VARIACIÓN DE PARÁMETROS Una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, es una ecuación de la forma: ay ′′ + by ′ + cy = h(x) Si y = c1 y1 + c2 y2 es la solución de la ecuación ′′ ′ ay + by + cy = 0, entonces la solución general de la ecuación no homogénea será: y = c1 y1 + c2 y2 + c3 y1 + c4 y2 , con c1 y c2 constantes reales, y c3 = − ∫ h(x)y2 y1 y′ 2 −y2 y′ 1 dx y c4 = ∫ h(x)y1 y1 y′ 2 −y2 y′ 1 dx 4. Utilizando el método de variación de parámetros, resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes a. y ′′ + 3y ′ + 2y = 3x 2 − x + 1 3 13 Respuesta: y(x) = c1 e−x + c2 e−2x + 2 x 2 − 5x + 2 b. y ′′ + 4y ′ + 4y = e−2x x2 Respuesta: y(x) = c1 e−2x + c2 xe−2x − lnx ∙ e−2x c. y ′′ + 4y ′ + 4y = e3x 1 Respuesta: y(x) = c1 e−2x + c2 xe−2x + 25 e3x d. y ′′ − 9y ′ = 81x 2 + 7 Respuesta: y(x) = c1 + c2 e9x − 3x 3 − x 2 − x Página 3 de 4 Programa de Matemática Cálculo II x e. 4y ′′ + 4y ′ + y = e−2 x x x 1 Respuesta: y(x) = c1 e−2 + c2 xe−2 + 8 x 2 e−2 5. La caída de un paracaidista viene descrita por la ecuación diferencial w d2 y dy −k =w 2 g dt dt Donde w es el peso del paracaidista, y su altura en el instante t, g la aceleración de la gravedad, y k la constante de amortiguamiento del paracaídas. Si el paracaídas se abre a 2.000 pies, y(0) = 2.000, y en ese instante la velocidad es y ′ (0) = −100 pies/s, para un paracaidista que pese 160 libras, usando k = 8. Determine una función para la altura y que dependa de la variable t. Respuesta: y = 1.950 + 50e−1.6t − 20t Más ejercicios puedes encontrar en Cálculo - J.Stewart. - Ecuaciones Diferenciales Thompson Learning - C.Edwards , D.Penney Ecuaciones Diferenciales con Modelado Editores - Prentice Hall Dennis G Zill – Cengage Learning Página 4 de 4
