FÍSICA OSCILACIONES II ENERGÍA EN UN MAS PÉNDULO SIMPLE OBJETIVOS Analizar energéticamente el movimiento armónico simple. Emplear la conservación de la energía mecánica en los problemas relacionados con el MAS. Describir el movimiento de un péndulo simple y sus aplicaciones como un caso particular del MAS. ENERGÍA MECÁNICA EN EL MAS la energía mecánica del sistema se conserva. Consideremos el oscilador armónico formado por el bloque de masa m y el resorte de rigidez k que se mueve en un plano horizontal liso. P.E. 𝑣𝑚á𝑥 P.E. 𝑥 𝐴 𝑣 𝑣=0 𝑃 𝐴 𝑬𝑴(𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂) = 𝑬𝑪 + 𝑬𝑷𝑬 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 Si realizamos el D.C.L. 𝑭𝑬 𝑥 𝐹𝑔 R La única fuerza que realiza trabajo es la fuerza elástica en consecuencia: En el gráfico se observa que en los puntos extremos, la energía potencial es máxima, debido a que la deformación del resorte es máxima, y nula cuando está en su posición de equilibrio. A medida que el bloque se acerca a la P.E. esta energía potencial se va transformando en energía cinética. Al llegar a la P.E toda la energía ahora es energía cinética máxima puesto que allí presenta rapidez máxima. Entonces. P.E. 𝑣 𝑣𝑚á𝑥 𝐴 𝑥 𝑣=0 𝑃 𝐴 La conservación de energía plantea: 𝑬𝑴(𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂) = 𝑬𝑴(𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑷) = 𝑬𝑴(𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒙𝒕𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔) = 𝑬𝑴(𝑷.𝑬.) = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Donde: En cualquier punto P: 𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 𝐸𝐶(𝑝) + 𝐸𝑃𝐸(𝑃) Por lo tanto se cumple 1 = 𝑘𝐴² 2 En los extremos: 𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 𝐸𝑃𝐸(𝑚á𝑥) En la posición de equilibrio: 1 2 𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 𝐸𝐶(𝑚á𝑥) = 𝑚𝑣𝑚á𝑥 2 𝑬𝑴(𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂) = 𝑬𝑪(𝒎á𝒙) = 𝑬𝑷𝑬(𝒎á𝒙) = 𝒄𝒕𝒆 Aplicación 1: Aplicación 2: El bloque de 1 kg experimenta un MAS. ¿Cuál es su energía mecánica? Considere que A es la amplitud de oscilación El bloque experimenta un MAS horizontal. ¿Cuál es su energía cinética máxima? Considere que la amplitud de oscilación es 50cm. 8m/s P.E Resolución: Piden 𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) Sabemos: 𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 𝐸𝐶(𝑚á𝑥) = 𝐸𝑃𝐸(𝑚á𝑥) 𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) 1 2 = 𝑚𝑣𝑚á𝑥 2 𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 1 1 8² 2 𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 32𝐽 Resolución: Piden 𝐸𝐶(𝑚á𝑥) Como: 𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 𝐸𝐶(𝑚á𝑥) = 𝐸𝑃𝐸(𝑚á𝑥) 𝐸𝐶(𝑚á𝑥) = 𝐸𝑃𝐸(𝑚á𝑥) 1 𝐸𝐶(𝑚á𝑥) = 𝑘𝐴² 2 1 100 0,5² 𝐸𝐶(𝑚á𝑥) = 2 𝐸𝐶(𝑚á𝑥) = 12,5𝐽 Aplicación 3: Resolución: Piden la 𝐸𝐶(𝑝) El sistema mostrado realiza un M.A.S. y presenta una energía mecánica de 800J. Determine la energía cinética del bloque 𝐴 cuando pasa por la posición 𝑥 = + . 2 Considere que 𝐴 es la amplitud de oscilación. 𝑣 𝒑 −𝐴 𝐴 + 2 En la posición “𝑝”se tiene: Pero también se cumple: 1 𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 𝐾𝐴2 = 800𝐽 2 En (1) 𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 𝐸𝐶(𝑝) + 𝐸𝑃𝐸(𝑃) −𝐴 800 800 800 = 𝐸𝐶(𝑝) + = 𝐸𝐶(𝑝) + = 𝐸𝐶(𝑝) + 1 𝐴 𝐾( )² 2 2 1 800 = 𝐸𝐶(𝑝) + (800) 4 1 𝐴² 𝐾 2 4 1 1 ( 𝐾𝐴2 ) 4 2 Despejando …(1) 𝐸𝐶(𝑝) = 600𝐽 Péndulo Simple Si consideramos una pequeña esfera unida a un cable de longitud L y lo desviamos de su P.E un pequeño ángulo (𝜃 ≤ 10∘ ) Se aprecia El movimiento es oscilatorio. Aquí solo realiza trabajo la 𝐹𝑔 entonces la EM se conserva. Por lo tanto el movimiento también es periódico. Además el ángulo central debe ser pequeño con el fin de que el arco se aproxime a un segmento recto. En suma: 𝜃 El movimiento del péndulo simple es aproximadamente un M.A.S, en consecuencia se emplean las mismas ecuaciones. Su periodo (𝑇) viene dado por 2. Un péndulo bate segundo cuando su periodo es 2 s. 𝐿: Longitud de la cuerda (m) 𝐿 𝑇 = 2𝜋 𝑔 𝑔: aceleración de la gravedad (m/s²) 𝑇: en segundos (s) 3. Su frecuencia de oscilación: 1 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝑓= 𝑇 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 Observación 1. El periodo del péndulo simple no depende de la masa. Por tanto: 𝑻𝟏 𝑔 𝐿 𝑻𝟐 𝑚 𝐿 𝑔 2𝑚 𝑇1 = 𝑇2 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝐿 𝑇= = 2𝜋 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑔 Aplicación 4: El gráfico muestra un péndulo simple de longitud 1m. Si en la posición mostrada se suelta la pequeña esfera, ¿Cuántas oscilaciones realizará el péndulo en 6s? (g=π² m/s²). Resolución: Piden 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 en 6s De la relación: 𝑇= 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝐿 = 2𝜋 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑔 6 1 = 2𝜋 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝜋² 6 1 = 2𝜋( ) 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝜋 Aplicación 5: Un péndulo simple consta de una cuerda inextensible sin masa cuya longitud es 𝐿, del cual cuelga un cuerpo de masa 𝑚. El péndulo se mantiene fijo en el extremo superior. Si se lo hace oscilar de tal manera que el ángulo formado por la cuerda y la vertical sea pequeño (menor a 12°), el periodo del péndulo estará dado en función de la longitud 𝐿 y del valor de la aceleración local de la gravedad. Si el tiempo en contemplar una oscilación es 2 s y el valor local de la aceleración de la gravedad es 9,85 𝑚/𝑠 2, ¿cuál es la longitud del péndulo? UNMSM 2017-II Resolución: Datos: Piden la longitud del péndulo (𝐿) • 𝑇 =2𝑠 • 𝑔 = 9,85 𝑚/𝑠 2 ≈ 𝜋 2 Se tiene: 𝑇 = 2𝜋 𝐿 𝑔 Despejando 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 3 𝐿 2 = 2𝜋 𝜋² 𝐿 = 1𝑚 Para la tierra: Dividimos (1) ÷ (2) 𝐿 2𝜋 𝑡 𝑔 = 3𝑡 𝐿 2𝜋 𝑔𝑃 Aplicación 6: 𝐿 𝑔𝑇 𝐿 𝑇𝑇 = 𝑡 = 2𝜋 𝑔 …..(1) Para otro planeta: RESOLUCIÓN: Piden 𝑔𝑝 : magnitud de la aceleración de la gravedad en el planeta 𝐿 1 = 3 𝑔𝑃 𝑔 1 𝑔𝑃 2 ( )2 = ( ) 3 𝑔 𝑔𝑃 1 𝑔𝑃 = 9 𝑔 Sabemos: T = 2𝜋 𝐿 𝑔 𝐿 𝑇𝑝 = 3𝑡 = 2𝜋 𝑔𝑃 …..(2) 1 𝑔𝑝 = g 9 w w w. a d u n i . e d u . p e
