GEOMETRÍA PUNTOS NOTABLES III: RECTA DE EULER TRIÁNGULOS ESPECIALES SEMANA 16 MARCO TEÓRICO OBJETIVOS Definir a la Recta de Euler y mostrar algunos triángulos especiales. Reconocer los teoremas asociados a la Recta de Euler y los triángulos especiales. Aplicar correctamente los teoremas en problemas tipo examen de admisión UNI. CURSO DE GEOMETRÍA Leonhard Euler PUNTOS NOTABLES III • RECTA DE EULER • TEOREMAS • TRIÁNGULOS ESPECIALES (1707 - 1783) Matemático y físico Suizo, uno de los más destacados de la historia. 𝑅𝐸𝐶𝑇𝐴 𝐷𝐸 𝐸𝑈𝐿𝐸𝑅 TEOREMA TEOREMA La altura y el circunradio trazados del mismo vértice determinan ángulos de igual medida con los lados adyacentes. El simétrico del ortocentro de un triángulo en relación a uno de sus lados pertenece a la circunferencia circunscrita a ese triángulo 𝐵 B TEOREMA La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro hacia el lado opuesto a dicho vértice. 𝐵 C θ α 𝑎 R 𝐻 H 𝑂 A 𝑂 𝐻 𝑥 C 𝐴 𝑦 Donde: 𝑏 𝐶 𝑄 𝐴 𝐶 𝑃 H: ortocentro O: circuncentro 𝜃 = 𝛼 Si 𝐻 es ortocentro: 𝑥 =𝑦 𝑃 es el simétrico de H respecto de 𝐴𝐶 Si 𝐻 es ortocentro y 𝑂 circuncentro: 𝑎 = 2𝑏 𝟐𝟎𝟏𝟒 − 𝟐 APLICACIÓN RESOLUCIÓN De la figura , 𝐻 y 𝑂 son ortocentro y circuncentro respectivamente, calcular 𝑥 B • B Del teorema: 𝑚∡𝐴𝐵𝑀 = 𝑚∡𝑂𝐵𝐶 = 𝛽 𝑥 𝛽 𝑥 H 𝛽 𝑎 H 𝑏 Se observa: • 𝑎 𝐵 𝛽 𝐻 𝐴 • ⊿𝐵𝑀𝐶: 𝑥 + 𝛽 + 𝑏 = 90° … (𝐼𝐼) 𝑂 C A H: ortocentro O: circuncentro Se traza la altura 𝐵𝑀 ⊿𝐴𝑀𝐵: 𝑎 + 𝛽 = 90° … (𝐼) 𝑂 TEOREMA • 𝛼 𝛼=𝛽 A 𝑏 M (𝐼𝐼) = (𝐼) 𝑥+𝛽+𝑏 =𝑎+𝛽 C ∴𝑥 =𝑎−𝑏 𝑂 𝐶 CURSO DE GEOMETRIA RESOLUCIÓN APLICACIÓN 𝟐𝟎𝟏𝟒 − 𝟐 De la figura , 𝐻 y 𝑂 son ortocentro y circuncentro respectivamente. Si 𝐵𝐻 = 𝐵𝑂 , calcular 𝑥 • Piden: 𝑥 Sea: 𝐵𝐻 = 𝐵𝑂 = 2𝑘 B B 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 • Se traza 𝑂𝐿 𝐴𝐶 • Del teorema 1: → 𝐵𝐻 = 2 𝑂𝐿 = 2𝑘 2𝑘 H • 𝑂 H 𝛽 A TEOREMA 1 2𝑘 C circuncentro: 𝑂 60° 𝑘 TEOREMA 2 A Además por teorema de 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = 2𝑘 2𝑘 • 𝐿 C ∆𝑂𝐿𝐶: Notable de 60° 𝑦 30° • Luego por teorema 2: 3𝑥 = 60° ∴ 𝑥 = 20° 𝟐𝟎𝟏𝟒 − 𝟐 PROBLEMA RESOLUCIÓN Piden: m𝐵𝐷 = 𝑥 𝑥 𝐵 • Si 𝑃 es ortocentro del Δ𝐴𝐵𝐶 y 𝑄 es ortocentro del Δ𝐴𝐷𝐶 𝑃𝑄 = 𝑅 • las alturas desde B y D intersecan a la circunferencia en M y N 𝐷 𝑅 Del teorema se cumple A)60° B)30° C)40° D)120° E)90° 𝑃𝐸 = 𝐸𝑀 𝑦 𝑄𝐹 = 𝐹𝑁 TEOREMA 𝑄 • 𝑅 𝑃 𝑎 𝑏 → 𝑀𝑁 = 𝑃𝑄 = 𝑅 𝐹 𝐸 𝐴 → m𝑀𝑁 = 60° 𝐶 𝑏 𝑀 Se observa que MPQN es un trapecio isósceles • 𝑎 𝑅 60° Como 𝑀𝐵 ∥ 𝑁𝐷 →m𝐵𝐷=m𝑀𝑁 𝑁 ∴ 𝒙 = 𝟔𝟎° CURSO DE GEOMETRÍA TEOREMA DEMOSTRACIÓN En todo triángulo no equilátero el Ortocentro , el Baricentro y el Circuncentro son colineales • B • Será suficiente mostrar que 𝐻𝑂 corta a la mediana 𝐵𝑀 en un punto 𝐺 • tal que : 𝐵𝐺 = 2(𝐺𝑀) 𝑙 S B 2h ℎ 𝑙 • por teorema: 𝐵𝐻 = 2(𝑂𝑀) • Sea 𝑆𝑇 la base media del G H G H T O Para probar que 𝐻 , 𝐺 𝑦 𝑂 son colineales 𝑂 ∆𝐵𝐻𝐺 𝑙 h 𝑆𝑇 = ℎ → 𝐵𝑆 = 𝑆𝐺 = 𝑙 A C A m M H, G y O son colineales C • Se observa: ∆𝑆𝐺𝑇 ≅ 𝑀𝐺𝑂 (𝐴 − 𝐿 − 𝐴) → 𝑆𝐺 = 𝐺𝑀 = 𝑙 H: ortocentro G: baricentro O: circuncentro m • H: Ortocentro O: Cicuncentro Con ello: 𝐵𝐺 = 2(𝐺𝑀) Entonces: G es baricentro ∴ 𝐻, 𝐺 𝑦 𝑂 son colineales DEFINICIÓN Es la recta que pasa por el Ortocentro, Baricentro y Circuncentro de un triángulo no equilátero. B CIRCUNFERENCIA DE EULER En un triángulo, los pies de las alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro son 9 puntos que están situados en una misma circunferencia B Recta de Euler 𝑚 K F C A 𝑚 𝐻𝐺 = 2(𝐺𝑂) O: circuncentro 𝐻 𝑏 𝑏 M A D 𝑎 T H: ortocentro G: baricentro TEOREMA S • 𝒞 :circunferencia G 𝑂 H R 𝑛 𝑎 H: ortocentro G: baricentro O: circuncentro J 𝑐 L TEOREMA C E 𝑙 circunferencia de Euler 𝒞 𝑐 r • 𝑁:centro de la 𝑛 𝑂 𝑁 𝐺 de Euler 𝑙 𝑅 = 2𝑟 OBSERVACIÓN Triángulo obtusángulo (𝑚∡𝐵 > 90°) Triángulo rectángulo Triángulo isósceles H H Recta de Euler Recta de Euler Recta de Euler B 𝑚 O 𝑚 G O G G 𝑚 C A En el triángulo rectángulo, la recta de Euler contiene a la mediana relativa a la hipotenusa 𝑚 O NOTA En el triangulo en el triángulo equilátero, el circuncentro, baricentro incentro y circuncentro coinciden. H 𝑎 𝑎 En el triángulo isósceles, la recta de Euler es la recta mediatriz relativa a la base. PROBLEMA 𝟐𝟎𝟏𝟒 − 𝟐 En un triángulo ABC, la recta de Euler interseca a 𝐵𝐶 y 𝐴𝐵 en los puntos 𝑀 y 𝑁 respectivamente tal que 𝐵𝑀 = 𝐵𝑁. Calcule la medida del ángulo 𝐵𝑁𝑀 A)36° B)37° C)45 D)53° E)60° 𝐵 Piden: 𝑥 H: ortocentro 60° 𝜃 𝛽 𝛽 O: circuncentro 𝜃 L (Recta de Euler) 𝑀 𝑥 𝑂 𝐿 60° 𝐻 𝐴 • Se traza 𝐵𝐿 ( Altura y bisectriz del ∆𝑁𝐵𝑀 isósceles ) → m∡𝑁𝐵𝐻= m∡𝑀𝐵𝑂= 𝜃 (Teorema) • Luego ∆𝐻𝐵𝑂 es isósceles • Se traza 𝑂𝐶 • Luego: se traza 𝑂𝑄 𝐴𝐶 • Luego ∆𝑂𝑄𝐶 Notable de 30° y 60° • Luego: m∡𝑁𝐵𝑀= 60° • Finalmente, ∆𝑁𝐵𝑀 : equilátero → 𝐻𝐵 = 𝐵𝑂 = 2𝑙 2𝑙 2𝑙 𝑁 Se traza 𝐵𝐻 y 𝐵𝑂 → m∡𝐻𝐵𝐿= m∡𝑂𝐵𝐿 = 𝛽 (Teorema) 𝑎 𝑎 • 2𝑙 𝑙 𝑄 𝐶 → 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = 2𝑙 → 𝑂𝑄 = 𝑙 ( Teorema) ∴ 𝑥 = 60° → m∡𝑄𝑂𝐶=60° TEOREMA I TEOREMA III TEOREMA II B B 60° B 60° Q 60° Q ℒ P P 𝑥 ℒ P 𝑏 C Si 𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 60° y ℒ es la recta de Euler del ∆𝐴𝐵𝐶. Se cumple: ∆𝑃𝐵𝑄 ∶ Equilátero 𝑦 O ℒ 𝑏 𝑎 𝑎 A H Q C A Si 𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 60° y ℒ es la recta de Euler del ∆𝐴𝐵𝐶. C A Si 𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 60° y ℒ es la recta de Euler del ∆𝐴𝐵𝐶. H: ortocentro O: circuncentro Se cumple: 𝑥=𝑎+𝑏 Se cumple: 𝑦=𝑏−𝑎 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA (I) Si 𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 60° y ℒ es la recta de Euler del ∆𝐴𝐵𝐶 → ∆𝑃𝐵𝑄 ∶ Equilátero B 60° 𝛼 𝛼 𝑎 2𝑙 𝑎 2𝑙 • Ubicamos el ortcentro y circuncentro • Por teorema: • Se traza 𝑂𝑀 ⊥ 𝐴𝐶 • Por teorema: 𝐵𝐻 = 2 𝑂𝑀 = 2𝑙 • Como 𝑂 es circuncentro: Q 𝛽 𝛽 P → 𝑚∡𝑀𝑂𝐶 = 𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 60° ℒ • O 60° H M ⊿𝑀𝑂𝐶: Notable de 30° y 60° → 𝑂𝐶 = 2𝑙 Por teorema de circuncentro : 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 2𝑙 𝑙 A 𝑚∡𝑃𝐵𝐻 = 𝑚∡𝑂𝐵𝑄 = 𝛼 C • ∆𝐵𝐻𝑂:Isósceles • ⊿𝑃𝐻𝐵 ≅ ⊿𝑄𝑂𝐵 (𝐴 − 𝐿 − 𝐴) → 𝑚∡𝑃𝐻𝐵 = 𝑚∡𝐵𝑂𝑄 = 𝛽 → 𝐵𝑃 = 𝐵𝑄 = 𝑎 ∴ ∆𝑃𝐵𝑄 ∶ es equilátero RECTA DE SIMSON M DEMOSTRACIÓN Probemos que las proyecciones de un punto, de una circunferencia circunscrita a un triángulo, sobre los lados de dicho triángulo son colineales. P B C C: circunscrita P∈C M S B P 𝜃 𝑃𝑀 ⊥ 𝐴𝐵 𝑃𝑆 ⊥ 𝐵𝐶 𝑃𝐻 ⊥ 𝐴𝐶 𝜃 C A H S 𝐵𝑀𝑃𝑆: Inscriptible C trazamos BP 𝑚∡𝑀𝐵𝑃 = 𝑚∡𝑀𝑆𝑃 = 𝜃 C: circunscrita P∈C 𝑃𝑀 ⊥ 𝐴𝐵 𝑃𝑆 ⊥ 𝐵𝐶 𝑃𝐻 ⊥ 𝐴𝐶 M, S y H son Colineales 𝐴𝐵𝑃𝐶: Inscrito 𝜃 A H C 𝑚∡𝑃𝐶𝐴 = 𝑚∡𝑃𝐵𝑀 = 𝜃 ●𝑚∡𝑃𝐶𝐻 = 𝑚∡𝑀𝑆𝑃 = 𝜃 Luego ●𝑚∡𝑃𝑆𝐶 = 𝑚∡𝑃𝐻𝐶 = 90° 𝑃𝑆𝐻𝐶: Inscriptible M, S y H son Colineales APLICACIÓN 𝟐𝟎𝟏𝟒 − 𝟐 RESOLUCIÓN Piden: 𝑥 Del grafico, ℒ es la recta de Simson respecto al punto M, H es ortocentro del ∆𝐴𝐵𝐶. Si 𝑇𝑄 = 6 , calcule 𝑃𝑀 • B → 𝑀𝑇 ⊥ 𝐴𝐵 B 𝑀𝐿 ⊥ 𝐵𝐶 𝛼 • N N 𝛼 • 𝐻 𝜃 𝑃 𝐿 𝐿 𝜃 A C 𝑄 𝜃 𝑇 𝑀 6 A 𝑇 𝑀𝐸 ⊥ 𝐴𝐶 Se traza 𝐵𝑀 y con ello: → 𝑚∡𝑀𝐵𝐶 = 𝑀𝑁𝐶 = 𝛼 𝐻 𝑃 ℒ :Recta de Simson 6 𝛼 𝑥 ℒ E C 𝑄 Se observa 𝑇𝐵𝐿𝑀 es cuadrilátero inscriptible → 𝑚∡𝑀𝐵𝐶 = 𝑀𝑇𝐿 = 𝛼 • Completando angulos en P y T: • Se ∆𝑃𝑇𝑄: isosceles 6 → 𝑃𝑄 = 𝑄𝑇 = 6 𝑦 𝛼 𝑀 𝑇𝑄 = 𝑄𝑀 = 6 ∴ 𝑥 = 12 TRIÁNGULO MEDIANO OBSERVACIÓN B Es el triángulo que tiene por vértices los puntos medios de los lados de un triángulo dado. a B c a R L M c H 𝑁 a N M c r A c a b P b C Se cumple: A b P b El Δ𝑀𝑁𝑃 es el triángulo mediano del Δ𝐴𝐵𝐶 C • El ortocentro 𝐻 del triángulo mediano 𝑀𝐿𝑃 es el circuncentro del triángulo 𝐴𝐵𝐶 • 𝑅 = 2𝑟 RESOLUCIÓN APLICACIÓN 𝟐𝟎𝟏𝟒 − 𝟐 Piden: 𝑥 En un triángulo ABC, sobre los lados 𝐴𝐵 𝐵𝐶 y 𝐴𝐶 se ubican los puntos D, E y F respectivamente, tal que 𝐷𝐸𝐹 es el triángulo mediano. Se traza la altura 𝐵𝐻 . Si 𝑚∡𝐷𝐻𝐸 = 35° , calcular 𝑚∡𝐷𝐸𝐹 B • ∆𝐷𝐸𝐹: Triángulo mediano del ∆𝐴𝐵𝐶 • En ⊿𝐴𝐻𝐵 (𝐻𝐷: mediana relativa a la hipotenusa) → 𝐷𝐻 = 𝐴𝐷 = 𝐷𝐵 = 𝑎 c a • OBSERVACIÓN E D el trapecio isósceles es inscriptible Se observa 𝐸𝐹 es base media del ∆𝐷𝐸𝐹: → 𝐸𝐹 = 𝑎 • Se sabe 𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐶 → 𝐻𝐷𝐸𝐹 es un trapecio isósceles 𝐶 𝐵 𝒞 𝑙 𝑦 𝑥 • c 𝑙 a 𝑥= 𝑦 a 35° 𝐷 𝐴 a A H b De la observación: ∴ 𝑥 = 35° 𝑥 F C b TRIÁNGULO ÓRTICO OBSERVACIÓN Es el triángulo que tiene por vértices los pies de las alturas de un triángulo. B B Q Q 𝛽 𝛽 P P 𝜃 𝜃 I 𝛼𝛼 A H C r C A H Se cumple: • El ortocentro I del triángulo 𝐴𝐵𝐶 es el incentro del triángulo Órtico 𝑃𝑄𝐻 El Δ𝑃𝑄𝐻 es el Órtico del Δ𝐴𝐵𝐶) R • R = 2r CURSO DE GEOMETRIA RESOLUCIÓN APLICACIÓN 𝟐𝟎𝟏𝟒 − 𝟐 Piden: 𝑥 Dado un triángulo acutángulo ABC, calcular la medida del ángulo determinado por un lado de su triángulo órtico y el circunradio del triángulo 𝐴𝐵𝐶. • B • 90° − 𝛼 𝛼 𝑥 TEOREMA Q T O 2𝛼 H 𝐴𝐵𝐶𝐷 es inscriptible 𝛽=𝜃 Nota: → 𝑚∡𝐵𝑂𝐶 = 2𝛼 ∆𝐵𝑂𝐶: isósceles → 𝑚∡𝑂𝐵𝐶 = 𝑚∡𝑂𝐶𝐵 = 90° − 𝛼 • Del teorema: 𝐴𝑃𝑄𝐶: cuadrilátero inscriptible • 𝛼 A 𝑂: circuncentro del ∆𝐴𝐵𝐶 (𝑂𝐵: circunradio) • Sea: 𝑚∡𝐵𝐴𝐶 = 𝛼 • Por teorema de circuncentro : → 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 • P 𝜃 𝛽 ∆𝑃𝑄𝐻: Triángulo Órtico del ∆𝐴𝐵𝐶 Nota este resultado es conocido como el teorema de Nagel C → 𝑚∡𝐵𝐴𝐶 = 𝑚∡𝐵𝑄𝑃 = 𝛼 • En ∆𝐵𝑇𝑄 𝑥 = 𝛼 + 90° − 𝛼 ∴ 𝑥 = 90° TRIÁNGULO TANGENCIAL OBSERVACIÓN Es aquel triángulo que tiene por vértices los puntos de tangencia determinados por la circunferencia inscrita de un triángulo dado. B 𝜃𝜃 B 𝑎 P Q Q 𝑎 I 𝑐 𝑏 P A 𝛼 𝛼 𝑐 𝑏 𝛽 𝛽 H C Se cumple: A H El Δ𝑃𝑄𝐻 es el triángulo tangencial del Δ𝐴𝐵𝐶) C • El circuncentro del triángulo tangencial 𝑃𝑄𝑅 es el incentro del triángulo inicial 𝐴𝐵𝐶 Sea ∆𝐴𝐵𝐶 obtusángulo (𝑚∡𝐵 > 90°) B 𝛼 En todo triángulo , la altura y el circunradio trazadas del mismo vértice determinan ángulos de igual medida con los lados adyacentes de dicho triángulo. 𝛽 Sea ∆𝐴𝐵𝐶 obtusángulo (𝑚∡𝐵 > 90°) B 𝜃 α A C O C 𝛾 A O O: circuncentro del ∆𝐴𝐵𝐶 O: circuncentro del ∆𝐴𝐵𝐶 𝛽 = 𝛼 𝜃=𝛾 Sea ∆𝐴𝐵𝐶 obtusángulo (𝑚∡𝐵 > 90°) Sea ∆𝐴𝐵𝐶 obtusángulo (𝑚∡𝐵 > 90°) 𝐻 𝐻 La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro hacia el lado opuesto a dicho vértice 𝑎 𝑚 𝐵 𝐵 α 𝑁 𝑁 𝐴 𝐶 𝑏 𝑂 𝐻: 𝑂𝑟𝑡𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑂: 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑎 = 2𝑏 Recta de Euler 𝐴 𝐶 𝑛 𝐻: 𝑂𝑟𝑡𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑂 𝑂: 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑚 = 2𝑛 Recta de Euler B H: ortocentro 𝑚 K F α 𝐻 𝑏 𝑏 M A S J 𝒞 𝑐 𝐻𝑁 3 𝑐 L = 𝐺𝑂 2 = C E 𝑙 𝐻, N, G y O pertenecen a la recta de Euler del ∆𝐴𝐵𝐶 𝑛 𝑂 r • 𝑁:centro de la Se cumple: D 𝑁 𝐺 de Euler circunferencia de Euler 𝑎 T 𝑚 R 𝑛 𝑎 G: baricentro O: circuncentro • 𝒞 :circunferencia 𝑙 𝐻𝑁 = 𝑁𝑂 𝑟= 𝑅 2 𝑁𝐺 1 Los vértices de todo triángulo acutángulo son excentros de su triángulo Órtico. El baricentro de todo triángulo es baricentro de su triángulo mediano. B B B N Q c a Q L M M G c a A P P A b P b • Si ∆𝑀𝐿𝑃: triángulo mediano del ∆𝐴𝐵𝐶 y • 𝐺: Baricentro del ∆𝐴𝐵𝐶 C A H • Para el ∆𝑃𝑄𝐻 , se cumple: • 𝐴: es excentro relativo a 𝑃𝐻 • 𝐵: es excentro relativo a 𝑃𝑄 𝐺 ∶ Baricentro del Δ𝑀𝑃𝐿 C H • 𝐶: es excentro relativo a 𝐻𝑄 C • Se cumple: 𝐵𝑀 = 𝐵𝑁 En la figura 𝑀𝑁 ∥ 𝑂𝐵, donde O y H son circuncentro y ortocentro respectivamente del triangulo ABC. Calcular la medida del ∡𝐴𝐶𝐵 Ahora inténtalo, te planteamos el RETO DEL TEMA A)45° B)60° C)53° D)37° E)30° w w w. academ iacesar val lej o.edu .pe
