Investigación de Operaciones INDICE 1.- Introducción………………………………………………………………………………………………………… 1 2.- Desarrollo……………………………………………………………………………………………………………. 2 2.1.- Problema 1……………………………………………………………………………………………………. 2 2.2.- Problema 2……………………………………………………………………………………………………. 4 2.3.- Problema 3……………………………………………………………………………………………………. 7 3.- Conclusión……………………………………………………………………………………………………………. 9 4.- Bibliografía…………………………………………………………………………………………………………… 10 2 2.1 Problema 1 Para el problema de flujo máximo que se muestra en la siguiente red, A es el nodo origen y F el nodo destino. Las capacidades factibles corresponden a los números que se muestran sobre los arcos dirigidos. a) Formular el modelo matemático para resolver el problema Definiendo siguiente función objetivo: 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 𝑋𝐴𝐵 + 𝑋𝐴𝐶 O alternativamente 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 𝑋𝐷𝐹 + 𝑋𝐸𝐹 Definiendo restricciones 𝑅1 , 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎. → 𝑋𝐴𝐵 + 𝑋𝐴𝐶 ≤ 16 𝑅2 , 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 → 𝑋𝐴𝐵 = 𝑋𝐵𝐷 + 𝑋𝐵𝐸 𝑅3 , 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 → 𝑋𝐴𝐶 = 𝑋𝐶𝐷 + 𝑋𝐶𝐸 𝑅4 , 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 → 𝑋𝐵𝐷 + 𝑋𝐶𝐷 = 𝑋𝐷𝐸 + 𝑋𝐷𝐹 𝑅5 , 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 → 𝑋𝐵𝐸 + 𝑋𝐶𝐸 + 𝑋𝐷𝐸 = 𝑋𝐸𝐹 𝑅6 , 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 → 𝑋𝐷𝐹 + 𝑋𝐸𝐹 =≤ 15 Para todas las variables flujo ≥0. 1 b) Resolver el modelo anterior utilizando Solver de MS Excel Ingresando todo esto en Excel y aplicando herramienta “Solver” obtenemos lo siguiente: c) Interprete la solución encontrada Para el caso antes mostrado la solución encontrada se centró en maximizar la salida del nodo de entrada (𝑋𝐴𝐵 = 9 + 𝑋𝐴𝐶 = 6) pero cabe destacar que eventualmente se podría haber resuelto maximizando la entrada al nodo final ( 𝑋𝐷𝐹 = 6 + 𝑋𝐸𝐹 = 9 ). Para ambos casos la solución encontrada es válida. El flujo máximo que puede salir nodo A, es 16 (en este caso 𝑋𝐴𝐵 = 9 , 𝑋𝐴𝐶 = 6 ), o equivalentemente el flujo máximo que llega a F es 15(en este caso 𝑋𝐷𝐹 = 6, 𝑋𝐸𝐹 = 9 ).Se cumplen correctamente con las restricciones establecidas. 2 2.2 Problema 2 Para el problema del flujo de costo mínimo que se muestra a continuación, donde los valores de bi están junto a los nodos, los valores de cij están sobre a los arcos y las uij finitas están entre paréntesis junto a los arcos. a) Formule el modelo de programación lineal para resolver el problema. Primero establecemos la función objetivo. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 2𝑋𝐵𝐴 + 6𝑋𝐴𝐶 + 3𝑋𝐵𝐶 + 9𝑋𝐴𝐷 + 5𝑋𝐶𝐷 + 8𝑋𝐶𝐸 + 2𝑋𝐵𝐸 Luego definimos las restricciones: 𝑅1 , → 𝑋𝐵𝐴 + 𝑋𝐵𝐶 + 𝑋𝐵𝐸 ≤ 200 𝑅2 , → 𝑋𝐵𝐴 + 125 ≤ 𝑋𝐴𝐶 + 𝑋𝐴𝐷 𝑅3 , → 𝑋𝐴𝐶 + 𝑋𝐵𝐶 = 𝑋𝐶𝐷 + 𝑋𝐶𝐸 𝑅4 , → 𝑋𝐴𝐷 + 𝑋𝐶𝐷 = 175 𝑅5 , → 𝑋𝐶𝐸 + 𝑋𝐵𝐸 = 150 𝑅6 , → 𝑋𝐴𝐷 ≤ 100 𝑅7 , → 𝑋𝐵𝐸 ≤ 100 3 b) Resolver el modelo anterior utilizando Solver de MS Excel Ingresando todo esto en Excel y aplicando herramienta “Solver” obtenemos lo siguiente: Ingreso de parámetros Obtención de valores que satisfagan la optimización 4 c) Interprete la solución encontrada. Cabe destacar la importancia de la interpretación del diagrama para así poder alimentar de manera correcta al software. En este caso se encuentra solución optima mediante uso de herramienta “Solver ” de Excel, el flujo de costo mínimo corresponde a 2925 um, cumpliendo correctamente las restricciones del problema como se ve en el recuadro. 5 2.3 Problema 3 Se requiere encontrar una ruta de distribución que una a todos los puntos al mínimo costo desde el punto 1 (punto de distribución de un cierto fluido). Los costos de unir los nodos se indican sobre los arcos que los unen. a) Aplique el algoritmo del árbol de expansión mínima. Según los criterios establecidos en el algoritmo del árbol de expansión mínima. Obtendremos una expansión como se muestra en la figura. 6 La cual se obtuvo realizando los siguientes avances. Con los costos de cada una de las uniones tabulados se obtuvo que el costo total en este caso corresponde a 41 u.m. b) Interprete la solución encontrada. Este ejercicio permite visualizar una manera unir todos los nodos de una red utilizando un criterio simple para poder obtener el costo mínimo de esta red en particular. Cabe destacar que el algoritmo permite incluso que se obtengan los mismos resultados de manera diferente debido a la flexibilidad que ofrece. 7
