Estática de los Fluidos 237 PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS A problemas de aplicación 1.- El área de contacto entre el bloque de 150 N de peso y el plano horizontal es 3 m2; calcular la presión que ejerce dicho peso sobre la superficie. Donde: γ = peso específico del agua ρ = densidad del agua g = aceleración de la gravedad h = profundidad P = presión hidráulica Solución: P= P= 2.- b g 100 000 = 1200 × 10 h F Peso = A Area ⇒ h = 8 , 33 m NOTA 150 N 3 m2 ⇒ No olvidar de homogenizar el sistema de unidades antes de reemplazar los datos en la fórmula. P = 50 Pascal Una gata hidráulica tiene dos pistones de diámetro 1 y 5 cm ¿Cuál es la fuerza necesaria en el pistón pequeño para que el grande levante un objeto de 10 N? 4.- Los recipientes que se muestran en el esquema contienen agua hasta el mismo nivel y tienen igual área en la base. Se pide: Solución: A) B) o En una prensa hidraúlica: ¿En cual de los casos el agua pesa más? ¿En cual de los casos la presión en el fondo es mayor? FA I GH A JK F2 = F1 2 1 o Dado: D2 5 = D1 1 F πD G 10 = F G 4 GG πD H 4 F 5I 10 = F G J H 1K 1 2 2 2 1 I JJ JJ K (2) FD I GH D JK ⇒ 10 = F1 2 (1) (3) Solución: 2 1 A) Caso general para determinar el peso de un cuerpo. 2 1 3.- ⇒ F1 = 0 , 4 N Calcular la profundidad a la que debe sumergirse un submarino para soportar una presión hidráulica igual a la presión atmosférica. Densidad del agua de mar = 1 200 kg/m3 Presión atmosférica = 100 000 N/m2 ; g = 10 m/s2 e b g P = ρg h g γ liquido Como quiera que el líquido es el mismo en todos los recipientes (agua): γ1 = γ2 = γ3 = γagua b g bV g bV g Luego se tendrá: W1 = γ agua V1 Solución: P=γ h jb Wlíquido = γ líquido volumen W2 = γ agua 2 W3 = γ agua 3 Como se verá, el peso sera mayor donde el volumen de agua también lo sea; de los gráficos se tiene: V1 > V3 > V2 Por lo tanto: W1 > W3 >W2 Jorge Mendoza Dueñas 238 o Equilibrio vertical: Etotal = peso B) Caso general: γ HgVsumergido = γ acero Vtotal jb g PA = γ líquido h e = bρ gg V dρ giV b13 600gAx = b7 800gAb0,10g Hg PA : presión hidrostatica en “A” sumergido acero total Siendo: A = Area de la sección En nuestro caso las profundidades de los recipientes son iguales, luego: x = 0 , 057 4 m ⇒ x = 5, 74 cm P1 = P2 = P3 5.- Calcular el peso específico de la esfera, sabiendo que flota entre dos líquidos no miscibles; el volumen sumergido en agua es el 60% de su volumen total. γ = 8 000 N/m3 ; γ = 10 000 N/m3 aceite B 1.- agua problemas complementarios Los émbolos A, B y C tienen un área de 5 cm2, 60 cm2 y 70 cm2 respectivamente; si F = 50 N, determine el valor total de (R + Q). Solución: D.C.L. (esfera) Solución: Analizando volúmenes o PA = PB = PC o o Equilibrio vertical: o Etotal = peso Eaceite + Eagua = peso 50 N 5 cm2 50 N 5 cm2 = = ⇒ R 60 cm2 Q 70 cm2 o Finalmente: F R Q = = AA AB AC ⇒ R = 600 N ⇒ Q = 700 N R + Q = 1 300 N γ aceite V1 + γ aguaV2 = γ esferaV γ aceite 0 , 4 V + γ agua 0 , 6 V = γ esferaV c h c h 8 000b0 , 4 Vg + 10 000b0 , 6 Vg = γ esferaV γ esfera = 9 200 N / m3 6.- 2.- Sobre la palanca AB como se muestra en la figura, el extremo “B” es conectado a un pistón que se mueve en el interior de un cilindro de 5 cm de diámetro. Qué fuerza “P” debe ejercerse sobre el pistón de mayor diámetro para prevenir el movimiento en el interior del cilindro de 25 cm de diámetro. Un cubo de acero de 10 cm de arista, flota en mercurio; calcular la altura de la arista del cubo que se sumerge (ρHg = 13 600 kg/m3, ρacero = 7 800 kg/m3). Solución: Solución: o Fuerza en el pistón chico (F): ΣMo = 0 b500 Ngb15 cmg = Fb10 cmg ⇒ F = 750 N Estática de los Fluidos 239 Donde: A1 = πD12 4 b g ; A2 = 3.- FG 25 IJ H 5K o (2) − (1): 4 b g PB − PA = 64 g = 64 10 PB − PA = 640 N / m2 2 ⇒ P = 18 750 N Los líquidos están en equilibrio dentro del tubo en U. Hallar: ρ1/ρ2. 5.- Solución: ⇒ PB − PA = 640 Pa La presión en el interior de un neumático es 168 000 Pa. Hallar el desnivel del mercurio cuando se conecta a este neumático un manómetro de tubo abierto en forma de U (ver figura), (Patmosférica = 100 000 Pa, g = 10 m/s2, ρHg = 136 000 N/m3). Solución: o PA = PB o b g b g PA = PB Patm + γ 2 0 , 01 = Patm + γ 1 0 , 02 Pgas = γ Hg x + Patm γ1 1 = γ2 2 168 000 = 136 000 x + 100 000 ⇒ ⇒ bg ρ1 g 1 = ρ2 g 2 bg ρ1 1 = ρ2 2 4.- 6.- Hallar la diferencia de presión entre los puntos B y A de la figura mostrada: x = 0, 50 m Un bloque de madera flota en el agua con las dos terceras partes de su volumen sumergido. En aceite flota sumergido los 0,9 de su volumen. Encontrar la densidad de la madera y el aceite. Solución: 1er Caso: ρ1 ρ2 ρ3 g b g PB = Patm + 84 g ............. (2) πD22 o Finalmente se tiene que: P = 750 b g PB = Patm + 500 g 0 , 06 + 300 g 0 ,10 + 200 g 0 ,12 F P = A1 A2 o Por principio de Pascal: 2do Caso: = 200 kg/m3 = 300 kg/m3 = 500 kg/m3 = 10 m/s2 o 1er Caso: Madera sumergida en agua Eagua = P Solución: o Calculando la presión en A: b g + ρ gb0 ,10g = P γ agua PA = Patm + γ 1 0 ,10 PA = Patm 1 b g atm + 200g 0 , 10 PA = Patm + 20g ............. (1) b g b g b g + ρ gb0 , 06g + ρ gb0 , 10g + ρ gb0 ,12g 2 FG 2 VIJ = P ..... (1) H3 K o 2do Caso: Madera sumergida en aceite Eaceite = P b PB = Patm + γ 3 0 , 06 + γ 2 0 ,10 + γ 1 0 ,12 3 ⇒ 10 000 g γ aceite 0 , 9 V = P ..... (2) o Calculando la presión en B: PB = Patm FG 2 VIJ = P H3 K 1 o (1) = (2) 10 000 FG 2 VIJ = γ H3 K aceite b0 , 9 Vg Jorge Mendoza Dueñas 240 o Equilibrio: ΣFv = 0 γ aceite = 7 407 , 4 N / m3 ⇒ ρaceite = 740 , 7 kg / m3 E=P+ o En (1) tenemos: 10 000 FG 2 VIJ = γ H3 K γ aguaV = mg + T madera V b g b gb g 10 000 0 ,1 = 60 10 + T γ madera = 6 666,6 N/m3 T = 400 N ρmadera = 666 , 6 kg/m3 7.- T T + 2 2 Un bloque de 10 cm3, se suelta desde la parte superior de un recipiente que contiene un líquido cuyo peso específico es de 10 000 N/m3. Calcular la aceleración del bloque de 5 N de peso (g = 10 m/s2). 9.- Un pedazo de metal pesa 1 800 N en el aire y 1 400 N cuando se le sumerge en el agua. ¿Cuál es la densidad del metal? dar su respuesta en (kg/m3) g = 10 m/s2. Solución: Solución: o Calculando la pérdida de peso (empuje) o Calculando γcuerpo: Wverdadero = 1 800 N ................... (1) 3 Vcuerpo = 10 cm × b g (11m m)3 3 Waparente en agua = 1 400 N ........ (2) (100 cm)33 100 cm b g (1) − (2) = Pérdida aparente de peso = 400 N Vcuerpo = 10 −5 m3 γ cuerpo = Pcuerpo Vcuerpo = NOTA 5N 10 −5 m3 La pérdida aparente de peso es igual al empuje ejercido por el líquido. γ cuerpo = 5 × 105 N / m3 Luego: E = 400 N o Aplicando la 2da ley de Newton: P−E= o Calculando el volumen del metal: W a g FG E IJ g ⇒ a = FG1− γ V IJ g H WK H γ VK F 10 000 V I10 ⇒ a = 9, 8 m / s a = G 1− H 5 × 10 V JK a = 1− ρagua = 1 000 kg / m3 ; g = 10 m / s2 ; E = 400 N L γ agua Vmetal = 400 cuerpo ρagua gVmetal = 400 2 5 8.- La esfera mostrada de 60 kg y 0,1 m3 está en reposo. Hallar las tensiones en las cuerdas (γagua = 10 000 N/m3, g = 10 m/s2). b1 000gb10g V metal Vmetal = 0 , 04 m3 o Nos piden la densidad del metal: Wmetal = 1 800 N ; g = 10 m / s2 Vmetal = 0 , 04 m3 ; ρmetal = ? (kg / m3 ) γ metal = Solución: D.C.L. = 400 W V ρmetal g = ρmetal = W V W 1 800 = gV 10 0 , 04 b gb g ρmetal = 4 500 kg / m3 Estática de los Fluidos 241 PROBLEMAS PROPUESTOS A 1.- problemas de aplicación Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre una loseta de 10 cm de lado colocada en el fondo de una piscina cuyo nivel de agua es de 2,8 m. Rpta. 7.- Un recipiente en forma de cubo de 2 m de arista está lleno de un líquido. El peso del recipiente lleno es de 40 000 N y el peso del recipiente vacío es de 30 000 N. Hallar la densidad del líquido. 280 N Rpta. 2.- ¿Cuánto aumenta la presión en el fondo del recipiente al colocar el pistón de masa m = 100 kg. Si el agua ya estaba en el recipiente? A = 2 m2. 8.- Un cuerpo pesa en el aire 2 N mientras que cuando se introduce en el agua pesa aparentemente 0,8 N. Determinar su densidad. (ρaire = 1,29 kg/m3). Rpta. Rpta. 3.- Un bloque de corcho reposa con la tercera parte de su volumen sumergido en un líquido cuya densidad es 1 200 kg/m3, hallar la densidad del corcho 2 (g = 10 m/s ). Rpta. 4.- 500 Pa 9.- ρcorcho = 400 kg/m3 En un tubo en U, se tiene tres líquidos no miscibles, Calcular “h”. DA = 3 000 kg/m3, DB = 2 000 kg/m3, DC = 4 000 kg/m3 Rpta. 6.- 32 000 Pa h = 1,5 m El recipiente muestra un líquido de densidad igual a 800 kg/m3. Calcular la diferencia de presión entre los puntos “A” y “B”. Rpta. 10 000 N El tubo de vidrio mostrado está cerrado en su extremo superior. ¿Qué presión existe en este extremo? Rpta. B 5.- 1 668 kg/m3 Dentro del agua, a 1 metro de profundidad, se coloca un cubo de 1 m de arista. Calcular la diferencia de las fuerzas hidrostáticas que actúan en la cara superior e inferior (g = 10 m/s2). Rpta. 10.- ρL = 125 kg/m3 23,52 kPascal 1.- problemas complementarios La relación de áreas del émbolo menor respecto al mayor es como b/a. Determinar cuál debe ser la fuerza que se debe aplicar sobre el émbolo menor para mantener en equilibrio a la prensa hidráulica (despreciar el peso de émbolos, poleas y barra). No hay rozamiento y el líquido es agua D = 1 000 kg/m3. El cuerpo mostrado de 0,2 m3 descansa sobre el fondo de un recipiente con aceite, calcular la fuerza normal sobre el cuerpo γaceite = 800 N/m3 m = 250 kg g = 10 m/s2 Rpta. 900 N Rpta. W Jorge Mendoza Dueñas 242 2.- Para el sistema mostrado se tienen las siguientes densidades: ρb = 13 600 kg/m3 ρc = 600 kg/m3 ρd = 1 000 kg/m3 ρe = 1 300 kg/m3 6.- Determinar la presión hidrostática en “M” y la presión total en “N”. 7.- Rpta. Rpta. PM = 1 300 Pa PN = 102 920 Pa Hallar el peso específico del líquido 3 en la figura: ρ1 = 800 kg/m3 ; ρ2 = 1 000 kg/m3 ; g = 10 m/s2 Rpta. γ3 = 3 000 N/m3 Calcular a partir de la figura el desnivel “h” que existirá al colocar un bloque de 800 N de peso sobre el émbolo de 0,3 m2 de superficie, y al jalar simultáneamente ha2 cia arriba el émbolo de 1,5 m con un fuerza de 400 N. El líquido es agua. (Despreciar el peso de los émbolos). Rpta. 9.- 29,33 cm Calcular la fuerza horizontal que ejerce el agua sobre una plancha de acero que se encuentra a una profundidad de 20 m (dimensiones de la plancha: 10 cm×10 cm). Rpta. 3 005 N 10.- 18 2 − 3 N d i Un tubo en “U” de sección transversal constante, que contiene un líquido, es acelerado hacia la derecha con una aceleración constante “a”, como indica la figura. ¿Cuál es la diferencia de alturas “h” entre las columnas de líquidos de las ramas verticales?. Rpta. 5.- 125 m Dos cilindros idénticos de 18 N de peso y 300 mm de radio cada uno, son colocados en un canal rectangular liso de 900 mm de ancho, de tal forma que uno de los cilindros queda 50% sumergido. Calcular el valor de la fuerza que ejerce el cilindro inferior sobre la pared lateral del canal. Rpta. 4.- 2,5 m/s2 Calcular la distancia que separa los puntos A y B sabiendo que un bloque de 50 kg de masa y 500 kg/m3 de densidad demora 5 s en ir de “A” hasta “B”. Partiendo del reposo. Rpta. 8.3.- Calcular la aceleración con que un submarino de 100 m3 y 80 toneladas de peso emerge a la superficie al expulsar toda el agua que lleva en sus tanques de inmersión. h=L a g Determinar a que altura máxima llegará la esfera al salir respecto a la superficie libre del líquido. ρ = 300 kg/m3 ; ρ = 1 200 kg/m3 cuerpo Rpta. agua 30,72 m
