Sesion 7 - Aplicacion de Integrales dobles(anotaciones-B3)

MATEMATICA III
INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES
Observación: En el caso que f  x, y   0 aún se puede interpretar a
 f  x, y  dA
D
como el volumen del sólido que está arriba de D y debajo de la
( la gráfica de f )
superficie z  f  x, y 
MATEMATICA III
CASO I: Regiones del tipo I
Por tanto:
MATEMATICA III
CASO II: Regiones del tipo II
MATEMATICA III
Ejemplos:
1. Evaluar
  x  2 y  dA , donde
D
y  1 x
Solución:
2
D es la región acotada por las parábolas y  2 x 2 y
MATEMATICA III
2. Calcular el volumen del sólido que yace debajo del paraboloide z  x 2  y 2 y arriba
de la región D en el plano xy acotado por la recta y  2 x y la parábola y  x 2
Solución:
MATEMATICA III
MATEMATICA III
D   x, y    2 / 0  x  2 , x 2  y  2 x
MATEMATICA III
Otra forma de resolver este ejercicio:
MATEMATICA III
3. Evaluar
 xydA , donde
D es la región acotada por la recta y  x  1 y la parábola
D
y2  2x  6
Solución:
Tomando los límites en forma horizontal tenemos:
MATEMATICA III
Si hubiéramos tomado los límites en forma vertical tendríamos:
4. Calcular el volumen del tetraedro acotado por los planos x  2 y  z  2 , x  2 y ,
x  0 , z  0.
Solución:
MATEMATICA III
MATEMATICA III
5. Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XY, el plano x  y  z  2 , y
el cilindro parabólico y  x 2
CALCULO DE AREAS DE REGIONES PLANAS POR INTEGRACION DOBLE
Sea
f : D   2   una función continua en la región cerrada D tal que
f  x, y   1 ,   x, y   D ( función constante ) ; entonces el área de la región D está
dada por:
A  D    dA
D
Es un sólido cuya base es
V ( S )  A( D ).1  A  D 
D
y cuya altura es 1 tiene un volumen
MATEMATICA III
Ejemplos:
1. Calcular el área de la región limitada por las curvas y 2  x , x  y  2
2. Calcular el área de la región acotada por las gráficas de y  x , 4 y  4 x 2  1
3. Calcular el área de la región encerrada por las líneas y 2  2 x , x 2  y 2  4 y  0 en
el IC
4. Calcular el área de la región limitada por las líneas y  4 x  x 2 , y  x
5. Calcular el área de la región acotada por las curvas x  y 2 , x  2 y  y 2
CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACIÓN
Ejemplos:
 f  x, y  dA
1. Calcular
donde
D
f  x, y  
Senx
;
4  Sen 2 y



D   x, y    2 / 0  x  ; 0  y  x 
2


2
4
0
2y
2. Calcular

3. Calcular

1 1
0
y
2
e x dxdy
Sen  x 2 dxdy
Plantee integrales iteradas para ambos órdenes de integración. Después evalúe la
integral doble usando el orden más fácil y explique por qué es más fácil:
4. a)
 ydA , D está acotada por
y  x  2 , x  y2
D
b)
 y e
2 xy
D
dA , D está acotada por y  x , y  4 , x  0