16 Probabilidad condicionada
ACTIVIDADES INICIALES
16.I.
En una determinada prueba, se han obtenido estos valores: VP = 17, FN = 3, FP = 2, VN = 78.
Halla su sensibilidad y su especificidad.
Sensibilidad:
VP
17
VN
78
= = 0,85 . Especificidad:
= = 0,975
VP+FN 20
VN+FP 80
16.II. Una determinada enfermedad es mortal si no se trata, pero el tratamiento no tiene graves
efectos secundarios para los pacientes sanos. En este caso, es importante detectar el mayor
número posible de enfermos, aunque se cuelen falsos positivos. ¿Qué tipo de prueba es
preferible, con mucha sensibilidad y poca especificidad o al contrario?
Es preferible que la prueba tenga una sensibilidad alta, ya que es fundamental identificar al mayor
número posible de enfermos.
16.III. En el caso anterior, ¿por qué no se trata directamente a todos los pacientes, para asegurar que
todos los enfermos reciben tratamiento?
Hay muchas razones. Económicamente, no es rentable dar un tratamiento a muchas personas que no
lo necesitan. Tampoco se sabría la incidencia de la enfermedad entre la población. Además, si hay
algún efecto secundario, se estaría causando molestias a un gran número de pacientes sin
necesidad.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
16.1. Actividad resuelta.
16.2. Se lanzan dos dados octaédricos de diferente color con las caras numeradas del 1 al 8. Halla
las siguientes probabilidades:
a)
Obtener un cinco.
b)
Obtener un 3 y un 7.
c)
La suma de las caras es igual a 10.
Llamamos D1 y D2 a los dados
a)
P ( Obtener un 5 ) = P ( cinco en D1)· P ( otro valor D2 ) + P ( cinco en D2 )· P ( otro valor D1) =
1 7 7 1 14
7
= · + · =
=
8 8 8 8 64 32
b)
P ( Obtener un 3 y un 7 ) = P ( 3 en D1)· P ( 7 en D2 ) + P ( 7 en D2 )· P ( 3 en D1) =
11 11
2
1
= · + · =
=
8 8 8 8 64 32
c)
18
P (La suma es 10 ) =
Unidad 16 | Probabilidad
7
64
16.3. Se lanzan un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6 y dos monedas.
a)
b)
a)
Forma el diagrama de árbol. ¿Cuántos resultados se obtienen?
Halla la probabilidad de que salgan un número primo y 2 caras.
Se obtienen 6 · 2 · 2 = 24 resultados.
b)
Los resultados “Número primo y 2 caras” son {2CC}; {3CC}; {5CC}.
3
1
=
P ( Obtener un primo y dos caras
) =
24 8
16.4. Actividad resuelta.
16.5. En un campamento de verano hay inscritos 90 jóvenes, de los cuales 70 hablan inglés con
fluidez; 25, francés, y 15, ambos idiomas. Escogido un joven al azar, halla la probabilidad de
que:
a)
Hable los dos idiomas.
b)
Hable francés, sabiendo que habla inglés.
Sean A = “habla inglés”; B = “habla francés”
a)
P (Hable los dos idiomas ) = P ( A ∩ B ) =
b)
P (A ∩ B)
=
=
P (B/A
)
P ( A)
15 1
=
90 6
15
15
3
90
= =
70 70 14
90
Probabilidad | Unidad 16
19
16.6. Si P ( A ∩ B ) = 0,11, P( A ) = 0,64 y P( B ) = 0,49, halla P(A/B) y P(B/A).
( )
P (B ) =
1− P (B ) =
1 − 0,49 =
0,51
P (A) =
1− P A =
1 − 0,64 =
0,36
P (A ∩ B)
=
P ( A)
P (A ∩ B)
P ( A/B
=
=
)
P (B )
=
P (B/A
)
0,11
= 0,305
0,36
0,11
≈ 0,2157
0,51
16.7. Sabiendo que el 24 % de una población es miope y que de ellos un 8 % tiene astigmatismo,
halla el porcentaje de los que padecen ambos defectos.
El 8 % del 24 % en tanto por uno es 0,08 · 0,24 = 0,0192, lo que hace que el 1,92 % de la población
padezca ambos defectos.
16.8. Actividad resuelta.
16.9. En un equipo de fútbol hay 18 jugadores diestros y 3 zurdos. Elegidos 5 jugadores al azar para
lanzar los penaltis, halla la probabilidad de que el primero y el tercero sean zurdos.
P (1º y 3º zurdos ) =
P (1º, 2º y 3º zurdos ) + P (1º y 3º zurdos y 2º diestro ) =
=
3 2 1
3 15 2
96
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
≈ 0,0196
18 17 16 18 17 16 4896
16.10. Dados dos sucesos, A y B, se sabe que:
P(A) = 0,6 P(B) = 0,5 P ( A ∪ B ) = 0,8
a)
Halla P ( A ∩ B ) .
b)
¿Son A y B independientes?
a)
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) ⇒ 0,8 = 0,6 + 0,5 − P ( A ∩ B ) ⇒ P ( A ∩ B ) = 0,3
b)
P ( A )·P ( =
B ) 0,6·0,5
= 0,3
= P ( A ∩ B ) luego sí son independientes.
16.11. En una carrera participan 225 hombres y 175 mujeres, distribuidos en tres categorías: júnior,
sénior y veterano. En la de veterano se han apuntado 75 hombres y 90 mujeres, y en la de
júnior, 25 chicos y 15 chicas.
Se elige un dorsal al azar. Calcula la probabilidad de que sea:
a) Mujer.
b) Corredor masculino júnior.
c) De la categoría sénior.
d) De la categoría júnior, sabiendo que es hombre.
e) Hombre, sabiendo que pertenece a la categoría júnior.
Sean H = “ser hombre”; M = “Ser mujer”; V = “ser veterano”; J = “ser junior”; S = “ser sénior”
Número de hombres sénior: 225 – 75 – 25 = 125; Número de mujeres sénior: 175 – 90 – 15 = 70
20
a)
175
7
d)
P (=
M) =
400 16
b)
25
1
P ( H ∩ J )=
=
400 16
c)
P=
(S )
Unidad 16 | Probabilidad
195 39
=
400 80
P (J ∩ H )
=
P ( J |=
H)
P (H )
e)
25
25
1
400
= =
225 225 9
400
P (J ∩ H )
=
P (H | =
J)
P (J )
25
25 5
400
= =
40
40 8
400
16.12. Actividad resuelta.
16.13. De una bolsa que contiene cinco bolas azules, seis negras y tres rojas se sacan tres de ellas.
Halla la probabilidad de que sean del mismo color.
P (Mismo color =
) P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + P ( N1 ∩ N2 ∩ N3 ) + P ( R1 ∩ R2 ∩ R3 =)
5 4 3
6 5 4
3 2 1
186
31
=· ·
+ · ·
+ · ·
= =
14 13 12 14 13 12 14 13 12 2184 364
16.14. Se lanzan tres monedas en las que la probabilidad de salir cara es 0,4. Halla la probabilidad de
obtener dos caras y una cruz.
P ( cruz ) =
1 − P ( cara ) =
1 − 0,4 =
0,6
P ( dos caras y una cruz =
) P (C1 ∩ C2 ∩ X 3 ) + P (C1 ∩ X 2 ∩ C3 ) + P ( X1 ∩ C2 ∩ C3 =)
= 0,4 · 0,4 · 0,6 + 0,4 · 0,6 · 0,4 + 0,6 · 0,4 · 0,4 = 0,288
16.15. Una empresa fabrica MP4 en tres fábricas. El 35 % en la fábrica A, el 45 % en la B y el resto en
la C. La probabilidad de que un MP4 de la fábrica A sea defectuoso es de 0,0015, de que lo sea
de la B es de 0,001, y de que lo sea de la C es de 0,0005. Escogido un MP4 al azar, halla la
probabilidad de que sea defectuoso.
A = “fabricado en A”
B = “fabricado en B” P
C = “fabricado en C”
P(A) = 0,35
P(B) = 0,45
P(C) = 0,20
P(D|A) = 0,0015
P(D|B) = 0,001
P(D|C) = 0,0005
D = “es defectuoso”
P (D )= P ( A ∩ D ) + P ( B ∩ D ) + P (C ∩ D )= P ( A)·P (D | A) + P (B )·P (D | B ) + P (C )·P (D | C )=
= 0,35 · 0,0015 + 0,45 · 0,001 + 0,2 · 0,0005 = 0,001075
Probabilidad | Unidad 16
21
EJERCICIOS
Experimentos compuestos. Probabilidad condicionada
16.16. En el armario de Luis hay seis camisetas blancas, cuatro azules, tres negras y dos rojas. Si
saca consecutivamente dos camisetas, ¿qué tipo de experimento realiza?
Dibuja el diagrama de árbol con los resultados posibles y calcula la probabilidad de los
siguientes sucesos.
a)
Sacar dos camisetas negras.
b)
Sacar la primera camiseta blanca y la segunda azul.
a)
P ( N1 ∩ N2 ) = P (N1 ) · P (N2 / N1 ) =
3 2
6
·
=
≈ 0,0286
15 14 210
b)
P ( B1 ∩ A2 ) = P (B1 ) · P ( A2 / B1 ) =
6 4
24
·
=
≈ 0,1143
15 14 210
16.17. Si al sacar tres cartas de una baraja española obtengo tres oros, ¿la probabilidad de obtener
una espada, si hacemos una cuarta extracción, es la misma si devuelvo las cartas a la baraja
que si no lo hago? ¿Por qué?
No, porque aunque el número de casos favorables es el mismo, si no devolvemos las tres primeras
cartas el número de casos posibles para la cuarta extracción es distinto en ambos casos. En
particular:
Con reposición: P ( espada
=
)
Sin reposición: P ( espada
=
)
22
Unidad 16 | Probabilidad
10
= 0,25
40
10
≈ 0,27
37
16.18. Si lanzo dos dados de seis caras, ¿qué es más probable lograr como suma, 7 o 10?
Representamos las sumas en una tabla de contingencia.
Dado 1
Dado 2
1
2
3
1
5
6
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
6
1
3
1
=
=
P ( suma 10
) =
36 12
36 6
La probabilidad de obtener como suma 7 es el doble de la probabilidad de obtener como suma 10.
P ( suma =
7)
16.19. Se extraen cuatro fichas de un dominó. Averigua la probabilidad de que ninguna sea doble.
(
)
De 28 fichas 7 son dobles, por tanto, P D1 ∩ D2 ∩ D3 ∩ D4 =
21 20 19 18
⋅
⋅
⋅
≈ 0,29
28 27 26 25
16.20. En un experimento que consiste en extraer una carta de la baraja española se consideran los
siguientes sucesos.
A = “obtener una figura”
B = “obtener un oro”
Explica razonadamente cuál de las siguientes probabilidades es mayor, P(A/B) o P(B/A).
3
P (A ∩ B) =
40
3
3
P ( A ∩ B ) 40
P ( A ∩ B ) 40
3
3
1
P ( A /=
B)
P (B / =
A)
= =
= = =
10 10
12 12 4
P (B )
P ( A)
40
40
Es mayor P(A/B).
Independencia de sucesos
16.21. Dados los sucesos A, B y C, conocemos las siguientes probabilidades:
2
2
10
P(C) =
P (B ∩ C ) =
13
9
63
12
3
5
P(B) =
P(A/B) =
P (A ∩ C) =
13
104
7
¿Qué parejas de sucesos son independientes?
P(A) =
Observación: si X e Y son independientes entonces =
P(X /Y )
P ( X ∩ Y ) P ( X )·P (Y )
=
= P( X )
P (Y )
P (Y )
12
2
≠
= P ( A) por tanto, no son independientes.
13 13
2 2
4
3
Sucesos A y C: P ( A) · P (C ) =
· =
≠
= P ( A ∩ C ) por tanto, no son independientes.
13 9 117 104
5 2 10
Sucesos B y C: P (B ) · P (C
=
)
·= = P ( A ∩ C ) por tanto, sí son independientes.
7 9 63
Sucesos A y B: P ( A / B ) =
Probabilidad | Unidad 16
23
16.22. La probabilidad de que un jugador de baloncesto enceste un tiro libre es de 0,85. Si lanza
consecutivamente dos tiros libres, ¿cuál es la probabilidad de que no acierte con ninguno de
ellos? ¿Son sucesos independientes? Razona tu respuesta.
Sean los sucesos E1 = “encestar en el primer tiro libre” y E2 = “encestar en el segundo tiro libre”.
( )
P ( E ∩ E )= P ( E ) · P ( E / E =
)
( )
0,0225
= P ( E )· P ( E )
P ( E1 ) =
P ( E2 ) =
0,85 ⇒ P E1 =
1 − P ( E1 ) =
0,15 =
P E2
1
2
1
2
1
0,15 · 0,15=
1
2
Son sucesos independientes.
16.23. Si P ( A ∩ B ) =
P ( A ) · P (B ) =
4
5
2
, P(A) =
y P(B) = , ¿son A y B independientes? Calcula P(B/A).
5
6
7
4 5 20 2 2
· =
= ≠ = P ( A ∩ B ) luego no son independientes.
5 6 30 3 7
P( A ∩ B)
P (B / A=
)
=
P ( A)
2
5
7= 10
=
4 28 14
5
16.24. Si A y B son dos sucesos independientes tales que P ( A) = 0,4 y P(B) = 0,3:
24
a)
Calcula P(A/B).
b)
Halla P ( A ∪ B ) .
a)
P (A / B)
b)
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A)·P (B ) = 0,6 + 0,3 − 0,6·0,3 = 0,72
Unidad 16 | Probabilidad
=
por ser independientes
( )
P ( A) =
1− P A =
1 − 0,4 =
0,6
Tabla de contingencia
16.25. Copia y completa la siguiente tabla de contingencia, que muestra el tipo de medio de
transporte que utilizan para llegar hasta su puesto de trabajo los 200 empleados de una
empresa situada en la periferia de una gran ciudad.
Hombres
Público
Privado
Mujeres
50
85
120
Se escoge un trabajador al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) Sea un hombre y utilice el transporte público.
b) Utilice el transporte público sabiendo que es un hombre.
c) Sea una mujer sabiendo que usa transporte privado.
d) ¿Los sucesos “ser hombre” y “utilizar el transporte público” son dependientes o
independientes? Razona tu respuesta.
a)
b)
c)
d)
Hombres
Mujeres
Público
35
50
85
Privado
85
30
115
80
200
120
35
7
P ( hombre ∩ transporte público ) =
=
200 40
35
7
=
P ( transporte público / hombre
) =
120 24
30
6
=
P ( mujer / transporte privado
) =
115 23
Son dependientes ya que:
35
7
85
= ≠
=P ( transporte público )
P ( transporte público / hombre ) =
120 24 200
16.26. En el menú del día de un restaurante hay arroz, sopa de espinacas o ensalada mixta para elegir de
primer plato, y bacalao o entrecot de segundo.
De los 45 comensales que hay en el restaurante, 18 escogieron sopa de espinacas; 13, arroz; 8
comieron entrecot y ensalada, y de los 23 que tomaron bacalao, 10 eligieron sopa de
espinacas de primero.
Escogido un comensal al azar, halla la probabilidad de que:
a) Haya comido sopa y entrecot.
b) Haya elegido bacalao si sabemos que ha tomado ensalada de primero.
c) Haya tomado sopa de primero si sabemos que ha elegido entrecot.
Se construye una tabla de contingencia:
Bacalao
Entrecot
a)
b)
c)
Arroz
7
6
13
Sopa
10
8
18
Ensalada
6
8
14
23
22
45
8
P ( sopa ∩ entrecot ) =
45
6
3
P ( bacalao / ensalada
=
) =
14 7
P ( sopa ∩ entrecot )
8
4
o bien P ( sopa / entrecot
P ( sopa / entrecot
=
=
=
) =
)
22 11
P ( entrecot )
8
8
4
45
= =
22 22 11
45
Probabilidad | Unidad 16
25
16.27. Copia y completa la tabla de contingencia referida a los sucesos A, B, C y D, de los que
conocemos las siguientes probabilidades condicionadas.
P(B/C) =
15
25
P(D/B) =
12
27
P(D/A) =
5
15
Ten en cuenta que las fracciones no han sido simplificadas.
A
10
5
15
C
D
B
15
12
27
25
17
42
Probabilidad total
16.28. Extraemos sucesivamente cuatro bolas de la urna de la figura. Calcula la
probabilidad de obtener la palabra ROMA en los siguientes casos.
a)
Devolviendo la bola a la urna después de cada extracción.
b)
Sin devolverla.
a)
A4 )
P (R1 ∩ O2 ∩ M3 ∩
=
b)
P ( R1 ∩ O2 ∩ M3 ∩=
A4 ) P ( R1 ) · P (O2 / R1 ) · P ( M3 / R1 ∩ O2 ) · P ( A4 / R1 ∩ O2 ∩=
M3 )
1 1 1 1
1
· =
· ·
4 4 4 4 256
1 1 1
1
· =
· ·1
4 3 2
24
16.29. Un examen de Historia consiste en desarrollar un tema a elegir entre dos propuestos. Alejandra se
ha preparado el 60 % de los temas. Halla la probabilidad de que apruebe el examen.
Para aprobar el examen debe elegirse al menos un tema que se sepa, por tanto, si el número de
temas es suficientemente alto tendremos:
P ( aprobar=
) P ( conocer al menos un tema=) 2·P ( conocer solo uno ) + P ( conocer los dos=)
= 2 · 0,6 · 0,4 + 0,6 · 0,6= 0,84
También se puede plantear por paso al suceso contrario:
P ( aprobar ) =
1 − P ( suspender ) =
1 − P ( desconocer los dos ) =
1 − 0,4 · 0,4 =
0,84
16.30. Se extraen dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que sean del mismo palo.
P (Dos oros ∪ Dos copas ∪ Dos espadas ∪ Dos bastos ) =
10 9
360
=
P (Dos oros ) + P (Dos copas ) + P (Dos espadas ) + P (Dos bastos ) =
≈ 0,231
· ·4 =
40 39
1560
16.31. Si se tiran tres dados de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de que en todas las caras aparezca
igual número de puntos?
P ( tres unos ∪ tres doses ∪ ..... ∪ tres
=
=
seises ) P ( tres unos ) + P ( tres doses ) + ... + P ( tres
seises )
1 1 1
1
= =
· · ·6
6 6 6
36
26
Unidad 16 | Probabilidad
16.32. Un jugador de dardos dispone de dos oportunidades de dar en el blanco de una diana.
La probabilidad de acertar cuando lanza es de 0,63.
a)
Halla la probabilidad de que atine al menos una vez.
b)
¿Cuál es la probabilidad de que falle en los dos lanzamientos?
a)
La probabilidad de fallar es 1 – 0,63 = 0,37. Como los lanzamientos son independientes:
P ( acertar al menos uno ) =
1 − P ( fallar los dos ) =
1 − 0,37· 0,37 =
0,8631
b)
P ( fallar=
los dos ) 0,37·0,37
= 0,1369
16.33. Una urna contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Si se forman todos los números posibles de
tres cifras al extraer tres bolas de dicha urna sin remplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que
el número formado sea par?
¿Y si las extracciones se efectúan con remplazamiento?
Sin remplazamiento se pueden formar 4 · 3 · 2 = 24 números. Si exigimos que las unidades sean pares
12
podremos formar 2 · 3 · 2 = 12 números. La probabilidad pedida es
= 0,5 .
24
3
Con remplazamiento se pueden formar 4 = 64 números. Si exigimos que las unidades sean pares
32
2
podremos formar 2 · 4 = 32 números. La probabilidad pedida es
= 0,5 .
64
Nótese que en realidad el problema consiste en ambos casos en elegir una bola que corresponderá a las
unidades del número y la mitad de las bolas tienen un número par.
16.34. Considera el experimento compuesto que consiste en lanzar una moneda al aire y, si sale cara, se
extrae una bola de la primera urna, y si aparece cruz, una de la segunda.
Dibuja un diagrama de árbol indicando la probabilidad de cada suceso y calcula la
probabilidad de que la bola extraída sea blanca.
1 7 1 4
11
P ( blanca ) = ·
+ ·
= =
0,55
2 10 2 10 20
Probabilidad | Unidad 16
27
