Función Lineal
Función y ecuación lineal
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Una función es una relación en la que a cada valor de
x, le corresponde únicamente un sólo valor de y.
También puede decirse que es como una “máquina”: Si
se tiene una ecuación con dos variables, y una de ellas
adquiere valores que entran a la ecuación o a la
“máquina”, se producirá un resultado o salida.
Entrada: Valor de x
(Dominio)
Salida: Valor de y
(Rango)
Función Lineal
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Una función f es lineal si f (x) = mx + b, donde m y b son
números reales. Otra forma de representarla es y = mx + b.
Este tipo de función tiene un grado máximo igual a 1.
La gráfica de una función lineal es una línea recta, y puede
trazarse con dos puntos, o utilizando la pendiente y un
punto.
Como f (x) existe para cada valor de x, su dominio es ℝ, al
igual que su rango.
Identificar una función lineal con una
tabla y en el plano cartesiano
x
y
+1
-2
5
-2
+1
-1
3
-2
0
1
1
-1
2
-3
+1
+1
Cuando se trazan los puntos de la
tabla en una gráfica, todos caen en
una línea recta.
-2
-2
En la tabla, un cambio constante de
+1 en x corresponde a un cambio
constante de -3 en y.
Identificar una función no lineal en
una tabla y en el plano cartesiano
x
y
+1
-2
4
-3
+1
-1
1
-1
0
0
1
1
2
4
+1
+1
Cuando se trazan los puntos de la
tabla en una gráfica, no caen en una
línea recta.
+1
+3
En la tabla, un cambio constante de
+1 en x no corresponde a un
cambio constante en y.
Identificar si un conjunto de pares
ordenados satisfacen una función lineal
{(-3, -4), (1, -2), (5, 0), (9, 2), (13, 4)}
→ Se escriben en una tabla, y se busca un patrón.
x
y
+4
-3
-4
+2
+4
1
-2
+2
5
0
9
2
13
4
+4
+4
+2
+2
En la tabla, se aprecia un cambio
constante de +4 en x que
corresponde a un cambio
constante de +2 en y.
Por lo tanto, los puntos satisfacen
a una función lineal.
Identificar si un conjunto de pares
ordenados satisfacen una función lineal
{(-3, 11), (0, 1), (3, -1), (6, 3), (9, 13)}
→ Se escriben en una tabla, y se busca un patrón.
x
y
+3
-3
11
-10
+3
0
1
-2
3
-1
6
3
9
13
+3
+3
+2
+10
En la tabla, se aprecia un cambio
constante de +3 en x que
corresponde a distintos cambios
en y.
Por lo tanto, los puntos no
satisfacen a una función lineal.
Parámetros de una función lineal
● A menudo, las funciones lineales se expresan en la
forma y = mx + b.
● Cuando se traza la gráfica de una función lineal, se
dice que m y b son los parámetros.
● Veamos cómo afectan los parámetros a la gráfica de
una función lineal.
La ecuación lineal más sencilla es y = x. En la siguiente gráfica, puedes
apreciar el efecto cuando b = 2, es
En este caso, m = 1 y b = 0.
decir, y = x + 2.
En la siguiente gráfica, puedes
apreciar el efecto cuando b = -2, es
decir, y = x - 2.
Si m se mantiene igual, pero b cambia, Cuando b es positiva, la gráfica se
la gráfica se mueve verticalmente hacia mueve verticalmente hacia arriba.
arriba o hacia abajo.
Cuando b es negativa, la gráfica se
mueve verticalmente hacia abajo.
● El parámetro b se llama intersección con el eje Y. Esto significa
que cuando x = 0, el valor de y = b.
Ahora, cambiemos el parámetro m.
Inicialmente tenemos y = x. En este
caso, m = 1 y b = 0.
En la siguiente gráfica, puedes
En la siguiente gráfica, puedes
apreciar el efecto cuando m = 2, es apreciar el efecto cuando m =½, es
decir, y = 2x.
decir, y = ½ x.
Si b se mantiene igual, pero m cambia,
la gráfica cambiará su inclinación.
Cuando m es positiva, la línea se
Cuando m es positiva pero menor
inclina hacia la derecha. Además, si a 1 en el intervalo 0 < x < 1, la
m > 1, la gráfica se acerca al eje Y. gráfica se acerca al eje X.
Si el valor de m = 0, la línea será
completamente horizontal.
En la siguiente gráfica, puedes
apreciar el efecto cuando m = -3, es
decir, y = -3x.
En la siguiente gráfica, puedes
apreciar el efecto cuando m =-¼, es
decir, y = -¼ x.
Cuando m es negativa, la línea se
inclina hacia la izquierda. Además, si
m < -1, la gráfica se acerca al eje Y.
Cuando m es negativa pero mayor a
-1 en el intervalo -1 < x < 0, la
gráfica se acerca al eje X.
● El parámetro m se llama pendiente de la recta.
Pendiente
●
●
Es una medida numérica que indica cuánto cambia
y por una unidad de cambio en x, y se representa
con la letra m.
Para dos puntos cualesquiera ( x1, y1 ), ( x2, y2 )en
una recta, la fórmula para calcular la pendiente es:
La pendiente como razón de cambio
La pendiente también es una
razón de cambio, porque es el
cociente del cambio que
ocurre en y, dividido por el
cambio que ocurre en x. Esta
razón de cambio es constante
en toda la línea.
Cambio = Δy = y2 - y1
Cambio = Δx = x2 - x1
Ejemplo
Encuentra la pendiente de una línea que pasa por los puntos
A(1, 5) y B(7, -7). Traza la gráfica la línea.
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●
Puedes etiquetar a las coordenadas del punto A como x1,
y1; y a las coordenadas del punto B como x2, y2.
Sustituye los valores en la fórmula de la pendiente con
dos puntos.
Ejemplo (cont.)
●
●
Para trazar la gráfica de una
función lineal (o línea recta),
se requieren únicamente
dos puntos.
También puede trazarse
conociendo un punto y la
pendiente, puesto que a
partir de dicho punto se
puede localizar otro punto
con el valor de la pendiente.
Ejemplo (cont.)
Observa que de un punto de
la línea al siguiente, la corrida
(o cambio) vertical es de -2 y
la corrida (o cambio)
horizontal es de +1, lo cual es
consistente con el valor de la
pendiente que en este caso
es m = -2 (recuerda que todo
número entero puede
representarse como un
cociente del número dividido
entre 1).
Es importante que sepas y recuerdes:
Línea recta con m
Línea recta con m
Línea recta con m
Línea recta con m
positiva se inclina a negativa se inclina a igual a cero, es una indefinida, es una
la derecha.
la izquierda.
línea horizontal.
línea vertical.
m>0
m<0
m=0
m = indef = ∞
Formas de la ecuación de una línea recta
● Forma general:
, con A > 0 siempre.
● Forma estándar:
● Forma simétrica:
, donde a es la abscisa al origen,
b es la ordenada al origen. El signo de en medio es siempre +.
● Forma punto-pendiente:
● Forma de dos puntos:
Formas de la ecuación de una línea recta
● Las anteriores expresiones se utilizan conforme a la información
provista o solicitada en un ejercicio.
● Toma en cuenta que en la forma general, los coeficientes A, B y
C deben ser números enteros; y A debe ser siempre positivo.
● En la forma estándar, b es la ordenada al origen y a es la abscisa
al origen (es decir, el valor de x cuando y = 0). El signo de en
medio debe ser siempre positivo.
● En las formas punto-pendiente y de dos puntos, los subíndices
en las variables indican que son valores que deben sustituirse
con valores numéricos, mientras que las variables x y y sin
subíndice, deben permanecer tal cual.
Casos especiales
● La ecuación de una línea horizontal puede expresarse como
y = n, o By + C = 0, siendo n, B y C números reales, y B y C
son enteros.
● La ecuación de una línea vertical (que no es función lineal)
puede expresarse como x = n, o Ax + C = 0
Ejemplo de aplicación
Julia es repostera y quiere contratar un servicio para entregar sus productos.
Un repartidor le informa que el costo de sus servicios es de $200 más $50
por cada entrega al día. Esta situación, ¿representa una función lineal? Si es
así, encuentra la forma estándar de tal función.
Estrategia:
●
●
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Para verificar si es una función lineal,
se puede hacer una tabla de valores
y/o una gráfica.
x es el número de entregas, y y es el
costo de los servicios del repartidor.
Se determina el cambio en los
valores de x y en los de y.
x
y
0
200
1
200 + 50(1) = 250
2
200 + 50(2) = 300
3
200 + 50(3) =350
Ejemplo de aplicación (cont.)
x
y
+1
0
200
+50
+1
1
250
+50
2
300
3
350
+1
+50
En la tabla, se aprecia un cambio
constante de +1 en x que
corresponde a un cambio constante
de +50 en y. Por lo tanto, la situación
es una función lineal.
Con la gráfica se verifica también que
es una función lineal.
Ejemplo de aplicación (cont.)
Para obtener la forma estándar de la situación, se
puede seguir distintas rutas.Sin embargo:
- Se tiene la coordenada (0, 200) → b = 200.
Además, de la diapositiva anterior se sabe que
∆x = 1, y ∆y = 50. La pendiente es:
m = ∆y /∆x = 50/1 = 50
x
y
0
200
1
250
2
300
3
350
- La forma estándar de la función lineal que representa esta situación
es:
y = 50x + 200
0
