MATERIAL DE TRIGONOMETRÍA 220804 174551 (1) (1)

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO
PLANTEL LIC. ADOLFO LÓPEZ MATEOS
DE LA ESCUELA PREPARATORIA
APUNTES DE TRIGONOMETRÍA
DR. JUAN CUENCA DÍAZ
Dr. Juan Cuenca Díaz
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ÍNDICE
TEMA
PÁGINA
Presentación
3
Módulo I. Figuras geométricas
6
Módulo II. Ángulos y triángulos
17
Módulo
III.
Triángulos
oblicuángulos
y
50
ecuaciones
76
circunferencia
Módulo
IV.
Identidades
y
trigonométricas
Bibliografía consultada
84
Dr. Juan Cuenca Díaz
3
PRESENTACIÓN
Las matemáticas constituyen una ciencia formal, que parte de axiomas y sigue un
razonamiento lógico, para estudiar las propiedades y relaciones entre entidades
abstractas, como números, figuras geométricas o símbolos.
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han
evolucionado a partir del conteo, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio
sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Desde sus comienzos,
las matemáticas han tenido un fin práctico, tratando de explicar el mundo natural.
En la actualidad, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta
esencial en muchos campos, y entre ellos se encuentran las ciencias naturales, la
ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que en apariencia
no están vinculadas con ella.
Por desgracia, en los últimos años se ha constatado una disminución en el aprendizaje
de las matemáticas por parte de los alumnos de nuestro medio, particularmente en el
nivel bachillerato, y ello se refleja, por ejemplo, en los resultados obtenidos en pruebas
de alcance nacional e internacional. Si bien es cierto que en esta situación influyen
diversos factores, es obvia la necesidad de identificar los más importantes, mediante
una evaluación objetiva entre todos los que participan en la formación matemática de
los jóvenes.
Desde luego, el docente es el responsable de crear las condiciones que producen la
apropiación del conocimiento por parte de los estudiantes, y por eso es necesario
atender factores como los siguientes:
•
Diseño de escenarios en el salón de clases, donde el alumno actúe y se generen
las condiciones de aprendizaje.
•
Acciones y actividades fuera del aula.
Por su parte, el alumno debe ser consciente de que aprender significa involucrarse en
una actividad intelectual, cuya consecuencia final es la disponibilidad de un
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conocimiento, con su doble estatus de herramienta y objeto; es decir, que dicho
conocimiento pueda ser personalizado y despersonalizado, para lo cual es
conveniente tomar en cuenta las siguientes recomendaciones, sugeridas por Richard
Manning.
•
Empezar el curso siempre con una actitud positiva.
•
Identificar las deficiencias lo más pronto posible.
•
Plantear las preguntas respectivas a la profesora o profesor.
•
Recurrir sistemáticamente al libro de texto y a los libros de consulta.
•
Propiciar el trabajo en equipo con los compañeros de clase.
•
No faltar a clases ni llegar tarde.
•
Realizar siempre la tarea.
•
Perseverar en adquirir conocimientos y en dominar los temas de la materia.
•
Superar los tropiezos que se puedan tener en el camino.
•
Reconocer que se tiene el control respecto de qué resultados se obtendrán en
el curso.
•
Aceptar que la dedicación llevará a aprender cada día con mayor rapidez y
efectividad.
•
El esfuerzo por aprender se volverá un hábito, que habrá de proporcionar
grandes satisfacciones en el logro académico.
Con el aval de los Consejos Académico y de Gobierno del plantel Lic. Adolfo López
Mateos de la Escuela Preparatoria de la UAEM, se ha elaborado este material de
apoyo para las y los alumnos que cursan la asignatura de Trigonometría, en apego al
programa oficial, el cual consta de cuatro módulos.
El primero se refiere a las figuras geométricas y sus elementos básicos, las formas de
clasificarlas y de construirlas, y su aplicación a determinadas rectas y puntos notables.
En el segundo módulo se estudian los ángulos y los triángulos, los sistemas de
medición de aquellos, los conceptos de congruencia y semejanza, el triángulo
rectángulo y las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal.
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La tercera parte corresponde a triángulos oblicuángulos y las leyes para resolverlos,
así como la circunferencia, el sector circular y las funciones trigonométricas.
El cuarto módulo trata de las identidades trigonométricas básicas y de las ecuaciones
trigonométricas, así como las formas de comprobar las primeras y resolver las
segundas.
En estas unidades se ha procurado destacar los conceptos esenciales de cada
apartado, sin omitir el rigor metodológico. Asimismo, los ejemplos y ejercicios
contenidos son ilustrativos de la teoría analizada y su grado de dificultad es elemental,
por lo que se requiere reforzar el conocimiento con la realización de ejercicios
adicionales.
Con la finalidad de mejorar futuras ediciones, mucho se agradecerán las sugerencia y
comentarios que se hagan llegar al correo [email protected].
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MÓDULO I. FIGURAS GEOMÉTRICAS
1. FIGURAS GEOMÉTRICAS
Como abstracción del mundo real, una figura geométrica es un conjunto de puntos en
una, dos o tres dimensiones, que puede tener características de finito o infinito. Aunque
se hará énfasis en el estudio de los lados y ángulos del triángulo, que es el objeto de
la Trigonometría, en esta parte del curso se hablará de otras figuras en una o en dos
dimensiones.
También, es importante mencionar que para el trazo de las figuras se habrá de recurrir
al uso de escuadras, compás, transportador y escalímetro, o bien a un programa de
computadora, como puede ser GeoGebra.
Ejemplo 1. Las siguientes son figuras geométricas finitas en dos dimensiones.
Cuadrado
Elipse
Paralelogramo
Hexágono
Triángulo
Circunferencia
2. ALGUNOS ELEMENTOS BÁSICOS Y SU DEFINICIÓN
Punto. Es una figura geométrica que no tiene dimensiones.
Recta. Es un conjunto infinito de puntos alineados en una misma dirección.
Segmento de recta. Es la porción o parte de una recta limitada por dos puntos
llamados extremos del segmento. En la siguiente figura se muestra un segmento de
recta con extremos A y B.
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Ejemplo 2. Segmento de recta.
B
A
Nota. La recta y la curva son figuras geométricas que tienen una única dimensión.
Ángulo. Es la figura geométrica determinada por dos semirrectas que se cortan en un
punto. A las semirrectas se les llama lados del ángulo y al punto de corte se le llama
vértice del ángulo.
Ejemplo 3. Composición del ángulo y sus elementos.
Signo de un ángulo. Un ángulo se considera positivo si se mide hacia la izquierda
(levógiro) y negativo si se mide en sentido contrario (dextrógiro).
3. CLASIFICACIÓN DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
Una manera de clasificar las figuras geométricas es en regulares e irregulares. Las
primeras son aquellas que tienen sus lados y ángulos iguales, en tanto que las figuras
irregulares son aquellas que tienen todos o algunos de sus lados y ángulos desiguales.
En seguida se ilustra esta clasificación, con una figura regular y una irregular.
Ejemplo 4. Pentágono regular.
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Ejemplo 5. Pentágono irregular.
Las figuras geométricas también se clasifican en cóncavas y convexas. Con respecto
a quien las mira, las figuras geométricas cóncavas tienen la forma curva más hundida
en el centro que en los bordes, en tanto que la forma convexa se mira desde la posición
opuesta, como se ilustra en siguiente figura.
Ejemplo 6. Formas cóncava y convexa.
Lado convexo
Lado cóncavo
Las figuras geométricas cóncavas son también aquellas que tienen como mínimo un
ángulo interior cóncavo (mide más de 180°) y cuando son interceptados por una
determinada recta se cortan en más de dos puntos.
Ejemplo 7. Figura geométrica cóncava.
En cambio, una figura geométrica es convexa si todos sus ángulos interiores son
menores de 180° y todas sus diagonales son interiores.
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Ejemplo 8. Figura geométrica convexa con el trazo de una diagonal.
Ejercicios.
1. Proponer una figura geométrica cóncava, medir sus ángulos interiores y calcular el
perímetro.
2. Proponer una figura geométrica convexa, medir sus ángulos interiores y calcular el
perímetro.
4. POLÍGONOS
El polígono es una figura geométrica plana que está limitada por tres o más segmentos
de recta y tiene tres o más ángulos y vértices. Los polígonos se clasifican de acuerdo
con las siguientes características:
Según su forma pueden ser cóncavos y convexos, como antes se explicó. Según su
número de lados, pueden ser triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos,
etcétera.
Según la medida de sus lados y ángulos internos, pueden ser regulares e irregulares.
Por el paralelismo de sus lados pueden ser trapezoides, cuando no tienen ningún lado
paralelo a otro, y paralelogramos, que son aquellos cuadriláteros que tienen los lados
paralelos dos a dos; es decir, los ángulos opuestos son iguales y los lados opuestos
también lo son.
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Ejemplo 9. Formas de un trapezoide y de un paralelogramo.
5. PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS REGULARES E IRREGULARES
Perímetro. El perímetro de una figura geométrica es su contorno, y su valor numérico
en unidades de longitud se determina sumando las medidas de cada uno de sus lados.
Con nuestro sistema métrico dichas unidades de longitud pueden ser centímetros,
metros, kilómetros, etcétera.
Área. El área es un concepto métrico que permite asignar una medida a la extensión
de una superficie, en unidades de longitud al cuadrado. Es importante aclarar que
“superficie” corresponde al concepto geométrico y “área” es la magnitud métrica
asociada a dicho concepto.
Las figuras geométricas pueden ser simples o compuestas. Ejemplos de las
primeras son el cuadrado, el rectángulo, el triángulo o el círculo. En tanto que las
segundas resultan de la unión de dos o más de las figuras simples.
6. CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS CON ESCUADRAS, REGLA,
TRANSPORTADOR Y COMPÁS
En este tema es importante practicar la construcción de las figuras geométricas
mediante el uso de escuadras, regla o escalímetro, transportador y compás, y tomar
en cuenta conceptos como los siguientes:
Paralelismo. Dos rectas (o segmentos de recta) en el plano son paralelas si las
inclinaciones son iguales y por lo tanto la distancia entre ambas permanece siempre
constante.
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Ejemplo 10. Rectas paralelas.
Perpendicularidad. Dos rectas (o segmentos de recta) en el plano son
perpendiculares cuando al cortarse generan un ángulo recto (mide 90°).
Ejemplo 11. Rectas perpendiculares.
Ejemplo 12. Construcción de un polígono especial.
Un procedimiento específico se describe en seguida, con la construcción de un
pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio dado.
Procedimiento:
1. Se trazan los diámetros perpendiculares de la circunferencia para obtener los puntos
1 y 6.
2. Se traza el segmento perpendicular al radio O – 1 en el punto medio (mediatriz) y
se obtiene el punto 4.
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3. Con centro en el punto 4 y radio 4 – 6 se obtiene el punto 5. De modo que 5 – 6 es
la medida del lado del pentágono.
4. A partir de 6 (o del punto que se quiera), esta medida se traslada 5 veces sobre la
circunferencia para obtener el pentágono.
Como en la construcción de cualquier otra figura, es importante la práctica para
perfeccionar la exactitud de los trazos.
Ejercicios.
1. En una circunferencia de radio igual a 6 unidades construir un hexágono y
determinar de éste su perímetro y el valor de sus ángulos internos.
2. En una circunferencia de radio igual a 8 unidades construir octágono y determinar
de éste su perímetro y el valor de sus ángulos internos.
3. Obtener el perímetro y los ángulos internos de un polígono cuyos vértices son los
siguientes: A(– 4, 2), B(– 2, 4), C(– 1, 2), D(3, 4), E(2, 1), F(4, – 1), G(– 2, – 2).
Algunas respuestas (valores aproximados).
2. Perímetro = 49 unidades de longitud (UL). Los ángulos internos miden 135°.
3. Perímetro = 26 UL. Medida de los ángulos internos en los siguientes vértices: en A,
108.4°; en D, 45°; en E, 243.4°; en G, 107°.
7. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES
Mediatriz. La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio. Una forma de trazarla es la siguiente:
Paso 1. Con el compás se hace centro en uno de los extremos del segmento, digamos
A, y se traza el semicírculo de radio mayor al segmento AM.
Paso 2. Con la misma abertura del compás, el procedimiento se repite haciendo centro
en el extremo B.
Paso 3. Los trazos curvos se cortan en dos puntos, que al unirlos generan la mediatriz,
como se muestra en la figura siguiente.
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Ejemplo 13. Trazo de la mediatriz de un segmento.
Bisectriz. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo
y que lo divide en dos ángulos de igual medida.
Una forma de trazarla es mediante el siguiente procedimiento:
Paso 1. Con cualquier abertura del compás, se hace centro en el vértice A y se traza
un arco para obtener los puntos 1 y 2.
Paso 2. Haciendo centro primero en 1 y luego en 2, se trazan dos arcos de radio igual,
que son 3 y 4, los cuales se cortan en un punto B.
Paso 3. La semirrecta que pasa por los puntos A y B es la bisectriz del ángulo.
Ejemplo 14. Trazo de la bisectriz de un ángulo.
Mediana. Las medianas de un triángulo, también llamadas transversales de gravedad,
son cada uno de los tres segmentos que unen los vértices con el punto medio (PM) de
su lado opuesto.
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Ejemplo 15. Trazo de una de las medianas de un triángulo.
Altura. La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que va desde
el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También se debe entender como
la distancia de un lado al vértice opuesto.
Ejemplo 16. Trazo de una de las alturas de un triángulo.
Circuncentro. El circuncentro de un triángulo es el punto donde se cortan las
mediatrices de los lados. Dicho punto equidista de los vértices y es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
Ejemplo 17. Construcción del circuncentro y de la circunferencia generada.
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Incentro. El incentro de un triángulo es el punto en el que se cortan las tres bisectrices
de sus ángulos internos. Dicho punto equidista de los tres lados y es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo, que por lo tanto es tangente a los tres lados.
Ejemplo 18. Construcción del incentro de un triángulo y de la circunferencia generada.
Fórmulas para calcular la longitud y el área de una circunferencia de radio “r”:
Longitud = 2πr
Área = πr2
Baricentro. El baricentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres medianas
de dicho triángulo.
Ortocentro. El ortocentro es el punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.
Este punto se encuentra en el interior del triángulo si éste es acutángulo; coincide con
el vértice del ángulo recto si es rectángulo y se halla en el exterior del triángulo si es
obtusángulo.
Recta de Euler. La Recta de Euler en un triángulo es aquella que contiene o pasa por
los puntos denominados circuncentro, baricentro y ortocentro de dicho triángulo.
Ejercicios.
1. Dado el triángulo cuyos vértices son los puntos A(– 2, 4), B(6, 6) y C(3, – 3), obtener
los siguientes elementos.
•
El circuncentro, la circunferencia generada y la longitud de ésta, así como las
áreas del círculo respectivo y del triángulo.
•
El área contenida entre el círculo y el triángulo.
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•
El incentro, la circunferencia generada y la longitud de ésta, así como el área
del círculo respectivo.
•
El área contenida entre el círculo y el triángulo.
•
El baricentro.
•
El ortocentro.
•
La recta de Euler.
2. Repetir el ejercicio anterior para el triángulo cuyos vértices son los puntos A(4, 5),
B(10, – 4), , C(– 3, – 2).
Algunas respuestas (valores aproximados).
1. Coordenadas del circuncentro (2.7, 2.1). Longitud de la circunferencia = 2𝜋r = 32.03
unidades de longitud (UL). Área del círculo = 𝜋r2 = 81.65 UL2.
Área del triángulo = 33.03 UL2. Coordenadas del incentro (2.2, 2.5). Coordenadas del
baricentro (2.3, 2.3). Coordenadas del ortocentro (1.6, 2.8).
2. Coordenadas del circuncentro (3.7, – 1.7). Longitud de la circunferencia = 42.2 UL.
Área del círculo = 141.3 UL2.
Área del triángulo = 52.5 UL2. Coordenadas del ortocentro (3.6, 2.4).
Nota importante.
Para calcular el área de un triángulo de cualquier forma, también se utiliza la siguiente
fórmula, llamada de Herón:
Área = √s(s − a)(s − b(s − c)
Ejemplo 19. Del triángulo del ejercicio 1 las medidas de los lados en unidades de
longitud, son: AB = 8.25, BC = 9.49, AC = 8.6. Por lo tanto el semiperímetro es 13.17
y al sustituir estos valores en la fórmula de Herón, se tiene:
Área = √13.17 (13.17 − 8.25)(13.17 − 9.49)(13.17 − 8.6) = 33.01
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MÓDULO II. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
1. CONCEPTO DE ÁNGULO
Como ya se vio, un ángulo es la figura geométrica generada por la rotación de una
semirrecta alrededor de un punto fijo llamado vértice. Si el giro es hacia la izquierda
(levógiro) el ángulo es positivo. Si el giro es a la derecha (dextrógiro) el ángulo es
negativo.
En estos apuntes los ángulos se denotarán con las letras mayúsculas de nuestro
alfabeto, solas o con subíndice, o también usando letras del alfabeto griego.
Ejemplo 1. Notación de ángulos: A, B, C, A1, B1, C1, 𝛼, 𝛽, 𝛾, etcétera.
2. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
Los ángulos se pueden clasificar de acuerdo con su medida o su posición. Según su
medida se clasifican en:
Ángulo agudo. Es aquél que mide más de 0° y menos de 90°.
Ángulo recto. Es el que mide 90°.
Ángulo obtuso. Es aquél que mide más de 90° y menos de 180°.
Ángulo convexo. Es el que mide más de 0° y menos de 180°.
Ángulo llano o rectilíneo. Es el que mide 180°.
Ángulo cóncavo. También llamado entrante o reflejo, es aquél que mide más de 180°
y menos de 360°.
Ángulo perigonal. Es el que mide 360°.
Según su posición se clasifican de la siguiente manera:
Ángulos consecutivos o adyacentes. Cuando tienen el vértice y un lado comunes,
como se ilustra en seguida.
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Ejemplo 2. En la siguiente figura los ángulos 𝛼 y 𝛽 son consecutivos.
Ángulos adyacentes. Cuando tienen el vértice y un lado comunes y suman 180°.
Ejemplo 3. Los ángulos 𝛼 y 𝛽 son adyacentes.
Ángulos opuestos por el vértice: Cuando tienen el vértice en común.
Ejemplo 4. Ángulos opuestos por el vértice.
Ángulos complementarios. Cuando suman 90°.
Ángulos suplementarios. Cuando su suma es un ángulo llano o de 180°.
Ejemplo 5. Los ángulos de 30° y 60° con complementarios, en tanto que los ángulos
de 45° y 135° con suplementarios.
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3. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR
UNA RECTA SECANTE
A partir de dos rectas paralelas, denotadas por “L1” y “L2”, y una transversal o secante
“L” que corta a ambas. Se identifican los siguientes tipos de ángulos.
Ángulos adyacentes o suplementarios: 1 y 2; 3 y 4; 1 y 3; 2 y 4; 5 y 6; 7 y 8; 5 y 7; 6 y
8.
Opuestos por el vértice: 1 y 4; 2 y 3; 5 y 8; 6 y 7.
Alternos internos (se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de
las rectas paralelas): 3 y 6; 4 y 5.
Alternos externos (se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona exterior de
las rectas paralelas): 1 y 8; 2 y 7.
Colaterales internos (se encuentran del mismo lado de la secante y entre las rectas, y
son suplementarios): 3 y 5; 4 y 6.
Colaterales externos (se encuentran en ambos lados de la secante y son
suplementarios): 1 y 7; 2 y 8.
Correspondientes u homólogos (se encuentran en el mismo lado de la secante, uno
en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas): 1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8.
4. SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Para medir ángulos, en estas notas se emplearán los siguientes dos sistemas:
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4.1 SISTEMA SEXAGESIMAL
Es éste un sistema con base 60, en el cual cada unidad se divide en 60 unidades de
orden inferior. Su unidad es el grado (°), que puede verse como el resultado de dividir
el ángulo recto en 90 partes iguales.
A su vez, cada grado se subdivide en 60 minutos (´), y cada minuto en 60 segundos
(´´), teniéndose entonces las siguientes equivalencias: 1° = 60´, 1´= 60´´, 1° = 3,600´´
En general, un ángulo medido en el sistema sexagesimal puede estar expresado en
grados, minutos y segundos.
Ejemplo 6. Expresar en grados el ángulo de 75°27´44´´
Solución: Los minutos se convierten en segundos al multiplicarlos por 60. El resultado
de la operación se suma a los 44´´ que se tienen y esto se divide entre 3,600. De esta
manera, 75°27´44´´ = 75.46°
Ejemplo 7. Expresar en grados, minutos y segundos el ángulo de 125.58°
Solución: Al invertir el proceso anterior, (0.58)(60) = 34.8 y (0.8)(60) = 48. En
consecuencia, 125.58° = 125°34´48´´.
4.2 SISTEMA CÍCLICO
Este sistema tiene como unidad de medida el radián, cuya definición es la siguiente:
Un radian es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo y cuyos
lados interceptan un arco de circunferencia igual al radio.
Ejemplo 7. Ilustración de la medida de un radián.
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4.3 CONVERSIÓN DE UNIDADES
Para transformar grados a radianes o radianes a grados se usará la siguiente
expresión, donde G es el número de grados, R el número de radianes, π es el número
irracional cuyo valor aproximado se tomará de 3.1416 y rad es la abreviatura de
radianes:
180°
G°
=
π rad
R rad
Ejemplo 8. Convertir a radianes 225°35´40´´.
Solución: Se convierte este valor en grados, por los cual 225°35´40´´ = 225.594°, de
modo que al sustituir en la fórmula:
180
π
=
225.594
R
.
Despejando, se obtiene R = 3.94 rad. Es decir, 225°35´40´´ = 225.594° equivalen a
3.94 radianes.
Ejemplo 9. Convertir a grados minutos y segundos 0.75 radianes.
Solución: Sustituyendo en la fórmula
180
π
=
G°
. Despejando, G° = 42.972°, que es
0.75
igual a 42°58´19´´
Ejercicios.
Convertir a radianes los siguientes valores:
1. 28°43´18´´
2. 123°27´45´´
3. 77°6´12´´
4. 324°65´12´´
Convertir a grados, minutos y segundos los siguientes valores:
5. 0.65 rad
6. 3.85 rad
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7. 9.44 rad
8. 12.22 rad.
Obtener las siguientes equivalencias.
9. Un grado en radianes.
10. Un radián en grados
Algunas respuestas.
4. 324°65´12´´ = 5.67 rad.
6. 3.85 rad = 540°52´15´´
10. Un radián es igual a 57.3°
Algunas equivalencias de uso frecuente entre grados y radianes son las que se
muestran en la tabla siguiente, en términos de 𝜋 y sin usar decimales.
Grados
Radianes
0°
90°
0
𝜋
2
180°
𝜋
270°
3𝜋
2
360°
2𝜋
Obviamente, los valores se pueden comprobar aplicando la fórmula de conversión de
unidades, según se muestra para los dos casos siguientes:
Ejemplo 10. Para 90°:
180
Ejemplo 11. Para 270°:
π
=
180
π
=
90°
R
, de donde R =
270°
R
90°(π)
180°
, de donde R =
=
270°(π)
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180°
90°π
2(90°)
=
=
π
2
(90°)(3)π
(90°)(2)
=
3π
2
23
Ejercicios.
1. Si el ángulo 6 mide 30°, obtener la medida de los demás ángulos en los sistemas
sexagesimal y cíclico, en este caso en términos de las fracciones de 𝜋, como se mostró
en la tabla anterior.
2. Indicar si son falsos o verdaderos los siguientes enunciados:
Los ángulos de 15° y 70° son complementarios.
Los ángulos de 30° y 150° son suplementarios
3. Completar la siguiente tabla con las equivalencias correspondientes.
Grados
Radianes
0°
45°
60°
120°
135°
225°
240°
315°
330°
405°
Algunas respuestas.
1. Los ángulos 2 y 3 miden 30°.
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2. Los ángulos de 30° y de 150° son suplementarios.
3. 405° =
9π
4
5. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.
Se dice que dos triángulos son congruentes cuando tienen sus tres ángulos y sus tres
lados iguales. Es decir, son aquellos que tienen las mismas dimensiones y forma.
Existen los siguientes criterios básicos que aseguran la congruencia de dos triángulos:
Criterio LLL: Dos triángulos son congruentes si sus lados respectivos son iguales
entre sí.
Criterio LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo
comprendido entre ellos respectivamente iguales.
Criterio LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente
iguales e iguales los ángulos opuestos al lado mayor.
Criterio ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un
lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado.
Ejemplo 12. Triángulos congruentes según el criterio ALA.
6. PROPIEDAD IMPORTANTE DE LOS TRIÁNGULOS.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, como se puede
apreciar en la composición descrita en seguida, donde la línea punteada que pasa por
el vértice superior es paralela al lado AB.
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En consecuencia, identificando dónde se repiten las medidas de los ángulos α y β, es
evidente que se corrobra la suma siguiente: α + β + γ = 180°.
7. RAZONES Y PROPORCIONES
En general, puede decirse que una razón es la comparación entre dos cantidades, las
cuales se expresan mediante un número real y una unidad de medida. Si a y b
representan dichas cantidades, una de las notaciones empleadas para indicar la razón
a
de “a” a “b”, o de “a” es a “b”, es .
b
Ejemplo 13. Si en un salón de clases hay 25 mujeres y 15 hombres, la razón de
mujeres a hombres se expresa como:
25
5
15
3
, o como , si se presenta en términos de su
fracción equivalente más simple. Esto significa que por cada 5 mujeres hay 3 hombres.
Por otra parte, una proporción es una expresión que indica que dos razones son
equivalentes. Si los elementos de la proporción se representan por a, b, c y d, una de
las notaciones empleadas es:
a
b
c
= , que se lee como: “a” es a “b” como “c” es a “d”.
d
Los términos a y d de la proporción se llaman extremos, en tanto b y c son los medios.
Ejemplo 12. Una proporción es
9
5
=
27
15
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26
8. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Se dice que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales (o
congruentes) y sus lados correspondientes (u homólogos) son proporcionales. Es
decir, si a1, b1 y c1 son los lados de un triángulo y a2, b2 y c2 son los lados del triángulo
semejante, se debe cumplir que:
a2
a1
=
b2
b1
=
c2
c1
=r
Donde r se denomina razón de semejanza.
Nota. Es importante mencionar que cuando dos triángulos son semejantes, se cumple
también que la relación de perímetros es r y la relación de áreas es r2.
Ejemplo 13. Dos triángulos tienen como medidas de sus lados las siguientes:
a1= 9 cm, b1 = 5 cm, c1 = 7 cm; a2 = 27 cm, b2 = 15 cm, c2 = 21 cm. Indicar si son o no
semejantes y, en caso afirmativo, calcular la razón de semejanza.
Solución: Sustituyendo en la relación
a2
a1
=
b2
b1
=
c2
c1
= r, se comprueba que son
semejantes, y la razón de semejanza es 3.
Ejercicios.
1. Los lados de un triángulo miden 4 cm, 6 cm y 7 cm. Si la relación de semejanza con
otro triángulo es 5, ¿qué valores tienen los lados del triángulo semejante?
2. Dos triángulos tienen como medidas de sus lados las siguientes:
a1= 7 cm, b1 = 12 cm, c1 = 10 cm; a2 = 28 cm, b2 = 48 cm, c2 = 40 cm. Indicar si son o
no semejantes y, en caso afirmativo, calcular la razón de semejanza.
Una respuesta.
2. Los triángulos son semejantes y la razón es 4.
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27
8.1 CRITERIOS DE SEMEJANZA
Criterio 1: Que los triángulos tengan dos ángulos iguales (el tercero en ambos
triángulos también lo será, porque deben sumar 180°).
Criterio 2: Que los triángulos tengan dos lados proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos sea igual.
Criterio 3: Que los triángulos tengan sus tres lados correspondientes proporcionales.
Ejemplo 14. Ilustración del criterio número 2.
9. TEOREMA DE TALES DE MILETO
Tales (o Thales) de Mileto fue un matemático griego cuyas aportaciones a la geometría
fueron muchas y muy valiosas. Entre ellas destaca el teorema que se ve en estas
notas, el cual establece que, si en un triángulo dado se traza una recta paralela a
cualquiera de sus lados, el nuevo triángulo obtenido será semejante al triángulo inicial,
como se muestra en la siguiente figura.
Es decir, se cumple la proporción:
DE
BD
=
AC
AB
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28
Por otra parte, también es posible enunciar que cuando dos rectas cualquiera L 1 y L2
son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos que se forman en la recta L 1
son proporcionales a los segmentos que se forman en la recta L 2, es decir, se cumple
que:
A1 B1
A2 B2
=
B1 C1
B2 C2
=
A1 C1
A2 C2
Ejemplo 15. Comprobar si las rectas a, b y c son o no paralelas.
Solución: Para comprobarlo, se establece la proporción siguiente:
1.8
1.5
=
3
2.5
=
4.8
4
, cuyo valor es el mismo, e igual a 1.2
En consecuencia, las rectas a, b y c son paralelas.
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29
Ejercicios.
1. Obtener el valor de X en la siguiente figura:
2. Obtener el valor de X en la siguiente figura.
3. Obtener los valores de X, Y de la siguiente figura.
Algunas respuestas.
2. X = 5 cm
3. Y = 2 cm
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30
10. EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Como se ha visto, los triángulos son polígonos que tienen tres lados. Cuando un
triángulo tiene un ángulo recto, se le denomina triángulo rectángulo, en el entendido
de que los otros dos ángulos de dicho triángulo son siempre agudos. Si se utiliza el
sistema sexagesimal, el ángulo recto mide 90° y los ángulos agudos menos de 90°.
Ejemplo 16. Figura de un triángulo rectángulo, donde A, B, C son los ángulos y a, b,
c son los lados.
En esta figura se aprecia que el triángulo rectángulo está formado por un lado de mayor
longitud, en este caso c, al cual se le llama hipotenusa, y otros dos lados de menor
longitud, a y b, a los que se les llama catetos.
10.1 EL TEOREMA DE PITÁGORAS
El teorema de Pitágoras se basa en las características de los triángulos rectángulos, y
establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos. Con respecto a la figura anterior, se tiene que:
a 2 + b2 = c 2
10.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
En un triángulo rectángulo las razones de los lados se llaman razones trigonométricas,
y se definen únicamente para los ángulos agudos. Estas razones son seis y se anotan
en la siguiente tabla, junto con su forma abreviada.
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31
Razón
Abreviatura
Seno
Sen
Coseno
Cos
Tangente
Tan
Cotangente
Cot
Secante
Sec
Cosecante
Csc
Con respecto a la figura del triángulo rectángulo antes mostrada, las razones
trigonométricas se expresan de la siguiente manera, considerando el ángulo A:
Seno. El seno de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la
hipotenusa, es decir:
SenA =
Cateto opuesto
Hipotenusa
=
a
c
Coseno. El coseno de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al
ángulo y la hipotenusa, esto es:
CosA =
Cateto adyacente
Hipotenusa
=
b
c
Tangente. La tangente de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el
cateto adyacente al ángulo, esto es:
TanA =
Cateto opuesto
Cateto adyacente
=
a
b
Cotangente. La cotangente de un ángulo es la razón inversa o valor recíproco de la
tangente, es decir, es el cateto adyacente al ángulo entre el cateto opuesto al ángulo:
CotA =
Cateto adyacente
Cateto opuesto
=
b
a
Secante. La secante de un ángulo es la razón inversa o valor recíproco del coseno, es
decir, es la hipotenusa entre el cateto adyacente al ángulo:
Dr. Juan Cuenca Díaz
32
SecA =
Hipotenusa
Cateto adyacente
=
c
b
Cosecante. La cosecante de un ángulo es la razón inversa o valor recíproco del seno,
es decir, es la hipotenusa entre el cateto opuesto al ángulo:
CscA =
Hipotenusa
Cateto opuesto
=
c
a
Como puede verse, hay razones trigonométricas cuyos valores son recíprocos, y por
lo tanto al multiplicarlas el resultado es uno.
Ejemplo 17. Producto de una razón trigonométrica por su recíproco:
a
c
b
c
a
b
SenACscA = ( ) ( ) = 1
c
a
CosASecA = ( ) ( ) = 1
c
b
TanACotA = ( ) ( ) = 1
b
a
Es importante observar que el valor de la tangente de un ángulo también se puede
expresar mediante la relación TanA =
Sen A
Cos A
, como se comprueba con el siguiente
procedimiento:
TanA =
Sen A
Cos A
=
Cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto adyacente
Hipotenusa
=
Cateto opuesto
Cateto adyacente
=
a
b
Ejemplo 18. Dado un triángulo rectángulo, donde A = 36°, a = 5 cm y b = 12 cm,
obtener los valores del ángulo B, la hipotenusa c y las razones trigonométricas de los
ángulos A y B. Además, calcular el perímetro y el área del triángulo.
Solución: Como se conocen los valores de los catetos, aplicando el Teorema de
Pitágoras se determina el valor de la hipotenusa: c2 = a2 + b2 = (5)2 + (12)2 = 169, de
donde, sacando raíz cuadrada, c = 13.
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33
El ángulo B se obtiene sabiendo que C = 90° y que la suma A + B + C = 180°, de donde
B = 54°.
Para facilitar la presentación, las razones trigonométricas de los ángulos A y B se
muestran en la siguiente tabla.
Razón
Valor
A
B
Seno
CO
H
CA
H
CO
CA
CA
CO
H
CA
H
CO
5
13
12
13
5
12
12
5
13
12
13
5
12
13
5
13
12
5
5
12
13
5
13
12
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
Perímetro = suma de los lados = a + b + c = 30 cm.
Área =
ab
2
=
(5)(12)
2
= 30 cm2
Por supuesto, con la teoría del triángulo rectángulo también es posible resolver
ejercicios como los mostrados en seguida:
Ejemplo 19. Obtener el ángulo que se forma entre un poste de 6.5 metros de altura y
el cable que va de la parte superior de dicho poste al piso, el cual tiene una longitud
de 14.5 metros.
Solución: De acuerdo con los datos, es elabora la siguiente figura, que corresponde
a un triángulo rectángulo:
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34
Evidentemente, el ángulo pedido se ubica en A, y para determinarlo se conocen del
triángulo la hipotenusa y el cateto adyacente a dicho ángulo, por lo cual, aplicando la
razón coseno, se tiene que CosA =
6.5
14.5
= 0.448, de donde, con el uso de la
calculadora se obtiene el valor aproximado, esto es, A = 63.4°
Nota. Si se tiene la expresión Cos B = N, para despejar el ángulo se usan las siguientes
notaciones: B = Ang cos N = Cos-1 N
Ejemplo 20. Desde un punto A sobre el piso, la visual al punto más alto de una torre
forma un ángulo de 32° con la horizontal, en tanto que desde el punto B también sobre
el piso la visual es de 50°. Si entre A y B existen 15 metros, ¿cuál es la altura h de la
torre?
Solución: Con los datos, se procede a elaborar la siguiente figura:
Para el ángulo en A, Tan 32° =
h
h
, mientras que, para el ángulo en B, Tan 50° = .
X + 15
X
Por lo tanto, se despeja de la segunda expresión el valor de X y el resultado se
sustituye en la primera, con lo cual se tiene una sola expresión donde la variable es la
altura h: Tan 32° (
h
Tan 50°
+ 15) = h
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35
Finalmente, efectuando las operaciones necesarias de esta expresión se despeja la
incógnita para obtener la altura pedida, que es:
h = 19.7 m.
Ejercicios.
1. Dado el triángulo rectángulo donde B = 48°, b = 8 cm y la hipotenusa c = 14 cm,
obtener los valores del ángulo A, el cateto a y las razones trigonométricas de los
ángulos A y B. Además, calcular el perímetro y el área del triángulo.
2. Dado el triángulo rectángulo donde A = 65° y la hipotenusa c = 20 cm, obtener los
valores del ángulo B y de los catetos, así como las razones trigonométricas de los
ángulos A y B, el perímetro y el área del triángulo.
3. Dado el triángulo rectángulo donde A = 36°, a = 20 cm, obtener los valores del
ángulo B, del cateto b y la hipotenusa c, además de las razones trigonométricas de los
ángulos A y B, el perímetro y el área del triángulo.
4. Dado el triángulo rectángulo donde a = 16 cm y b = 9 cm, obtener la hipotenusa c y
los valores de los ángulos A y B, así como las razones trigonométricas de estos dos
ángulos, el perímetro y el área del triángulo.
5. Un edificio tiene en su parte superior una antena. Si a una distancia de 220 metros
del edificio el ángulo de elevación de la parte más alta de dicho edificio es de 55°, y a
la parte superior de la antena 6° más, calcular la altura del edificio y de la antena.
6. Desde la parte superior de un edificio una persona observa un bote en el mar que
navega hacia ella. Si la persona se encuentra a 42 metros sobre el nivel del mar y el
ángulo de depresión del bote cambia de 25 a 40 grados durante el periodo de
observación, hallar la distancia aproximada que ha recorrido el bote durante ese
tiempo.
7. El cordel de una cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 54°20´ con la
horizontal. Encontrar la altura aproximada de la cometa con respecto al suelo, si la
cuerda mide 55 metros y el extremo de ésta se sostiene a 1.50 metros del suelo.
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36
Algunas respuestas.
2. B = 25°; a = 18.13 cm; b = 8.45 cm; Perímetro = 46.58 cm; Área = 76.6 cm 2.
4. A = 60.64°; B = 29.36°; c = 18.36 cm; Perímetro = 43.36 cm; Área = 72 cm2.
7. 46.18 m.
10.3 VALORES EXACTOS DE LOS ÁNGULOS DE 45°, 30° Y 60°
En muchos procesos de la trigonometría es necesario recurrir a los valores exactos de
las razones de ciertos ángulos. En seguida se muestra la manera de obtener los que
corresponden a los de 45°, 30° y 60°.
Para el ángulo de 45° se toma un cuadrado (sus ángulos internos miden 90°), sin
importar cual sea el valor de sus lados, pues los resultados siempre son los mismos.
Por lo tanto, se tomará el valor de uno y en seguida se procede a dividir el cuadrado
en dos partes iguales, como se muestra en la figura, para generar el ángulo de 45°
dentro de un triángulo rectángulo.
Evidentemente, la hipotenusa se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras, con lo
cual, considerando el valor positivo, c = √2. De esta manera, para calcular por ejemplo
la razón seno, se tiene que Sen45° =
1
√2
, y de igual manera se calculan las demás
razones, que corresponden a las mostradas en la siguiente tabla:
Ángulo
Seno
Coseno
45°
1
1
√2
√2
Tangente Cotangente
1
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1
Secante
Cosecante
√2
√2
37
Nota. En los casos de seno y coseno, si se aplica el proceso de racionalizar el
denominador, se tiene: (
1
√2
√2
)( ) =
√2
√2
,
2
que es otra forma de expresar estas razones.
De manera análoga se pueden determinar los valores exactos de los ángulos de 30° y
60°, pero ahora a partir de la construcción de un triángulo equilátero, cuya medida de
sus lados puede ser cualquiera, pues los resultados obtenidos son los mismos. En
consecuencia, esta medida se toma de 2 unidades, y los ángulos obviamente son de
60°. En seguida, se procede también a dividir el triángulo en dos partes iguales, para
generar los ángulos de 30° y 60° dentro de un triángulo rectángulo, como se muestra.
El valor de h se puede determinar aplicando nuevamente el Teorema de Pitágoras,
esto es:
h2 + 12 = 22, de donde, tomando el valor positivo, h = √3
Como se hizo anteriormente, si se calcula, por ejemplo, el coseno de 30°, se tiene:
Cos30° =
h
2
=
√3
.
2
Al aplicar las definiciones de las razones trigonométrica, se obtienen los valores
exactos para los ángulos de 30° y 60° mostrados en la siguiente tabla:
Ángulo
Seno
Coseno
30°
1
2
√3
2
1
2
60°
√3
2
Tangente Cotangente
1
√3
√3
√3
Cosecante
2
2
√3
1
√3
Dr. Juan Cuenca Díaz
Secante
2
2
√3
38
Nota 1. Como 30° y 60° son ángulos complementarios (su suma es igual a 90°), se
puede corroborar que las razones trigonométricas de uno son las co – razones del
complementario. Es decir, Sen 30° = Cos 60°, Tan 30° = Cot 60°, Sec 30° = Csc 60°;
situación que se puede generalizar para concluir que si 𝛼 y 𝛽 son dos ángulos
complementarios, entonces, Sen𝛼 = Cos𝛽; Tan𝛼 = Cot𝛽; Sec𝛼 = Csc𝛽.
Nota 2. Obviamente, no es deseable memorizar estos valores exactos, sino razonar
su obtención a partir de las dos composiciones gráficas antes mostradas, para los
ángulos de 45°, 30° y 60°.
Ejemplo 21. Obtener el valor de la expresión Cos45°Tan60°Sec30°, usando valores
exactos.
Solución: En la expresión dada se sustituyen los valores ya conocidos y se simplifica,
cuando es posible:
Cos45°Tan60°Sec30° = (
1
2
2
√3
√2
)(√3)( ) =
√2
Ejercicios. Obtener los valores de las siguientes expresiones, usando los valores
exactos.
1. Tan45°Csc60°Cos30°Sen60° =
2. Sen
3. Sen
π
6
π
4
Tan
Csc
π
3
π
3
Cos
Cot
π
3
π
3
Sec
π
4
=
=
Una respuesta.
3.
2
3√2
11. ÁNGULOS EN EL PLANO CARTESIANO.
En esta sección se estudiarán los ángulos referidos al sistema bidimensional o plano
cartesiano, el cual se genera por dos rectas perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto llamado origen del sistema. La recta horizontal se
denota por “x”, recibe el nombre de eje de abscisas y sus valores son positivos del
Dr. Juan Cuenca Díaz
39
origen a la derecha y negativos en sentido contrario. Por su parte, la recta vertical se
denota por “y”, recibe el nombre de eje de ordenadas y sus valores son positivos hacia
arriba del origen y negativos en sentido contrario.
De esta manera el plano queda dividido en cuatro cuadrantes, y la posición de un punto
P cualquiera se determina con un par de valores llamados coordenadas de P, que se
denota como P(x, y), donde el primer valor es la abscisa y el segundo la ordenada, y
cuyos signos corresponden a lo mostrado en la siguiente gráfica.
Ejemplo 22. Gráfica del plano coordenado y signos de las coordenadas en los cuatro
cuadrantes.
11.1 ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su vértice se ubica en el origen
del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x y su lado
final puede ubicarse en cualquier posición, como se muestra en la siguiente figura.
Dr. Juan Cuenca Díaz
40
11.2 ÁNGULO REDUCIDO
Para todo ángulo θ en posición normal, el ángulo reducido, denotado por θr , es el
ángulo no negativo formado por el lado final de θ y el eje x. Para ángulos en posición
normal con lado final en uno de los cuatro cuadrantes, el cálculo del ángulo reducido
correspondiente se muestra en las siguientes gráficas.
Ángulo θ en el primer cuadrante y su ángulo reducido θr .
Ángulo θ en el segundo cuadrante y su ángulo reducido θr .
Ángulo θ en el tercer cuadrante y su ángulo reducido θr .
Dr. Juan Cuenca Díaz
41
Ángulo θ en el cuarto cuadrante y su ángulo reducido θr .
Con otra presentación, estos resultados se muestran en la siguiente tabla.
Lado terminal de 𝜽 en
Ángulo reducido
Cuadrante I
θr = θ
Cuadrante II
θr = 180° – θ
Cuadrante III
θr = θ – 180°
Cuadrante IV
θr = 360° – θ
Ejemplo 23. El ángulo reducido de 60° en el primer cuadrante es el mismo ángulo.
Ejemplo 24. El ángulo reducido de 110° en el segundo cuadrante es 180° – 110° =
70°
Ejemplo 25. El ángulo reducido en el tercer cuadrante de 220° es 220° – 180° = 40°
Ejemplo 26. El ángulo reducido de 330° en el cuarto cuadrante es 360° – 330° = 30°.
11.3 ÁNGULOS COTERMINALES
Los ángulos coterminales son aquellos ángulos en posición normal que tienen los
mismos lados inicial y final.
Ejemplo 27. El ángulo positivo de 55° (giro a la izquierda) es coterminal con el ángulo
negativo (giro a la derecha) de 305°, y también es coterminal con el ángulo positivo de
415°.
Dr. Juan Cuenca Díaz
42
11.4 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal dependen de la abscisa
y la ordenada de un punto P cualquiera del lado terminal. Estos valores corresponden
a los catetos del triángulo rectángulo que se forma, en el cual la hipotenusa “r” (también
llamada radio vector) es siempre un valor positivo, que puede calcularse aplicando el
Teorema de Pitágoras, es decir: r = √x 2 + y 2
Ejemplo 28. Composición para determinar las razones trigonométricas de un ángulo
en posición normal, de donde se obtienen, por ejemplo, las razones seno, coseno y
tangente:
Senα =
Cosα =
Tanα =
y
r
x
r
y
x
11.5 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN
POSICIÓN NORMAL
Los signos de las razones trigonométricas de cualquier ángulo en posición normal
dependen de los signos de la abscisa y de la ordenada de un punto cualquiera del lado
terminal, pues “r” es siempre un valor positivo. Con base en lo visto anteriormente,
dado un punto P en cualquiera de los cuatro cuadrantes, la composición de los
respectivos triángulos rectángulos en cada uno de ellos será como se muestra en la
figura siguiente:
Dr. Juan Cuenca Díaz
43
En consecuencia, tomando en cuenta las definiciones de las razones trigonométricas,
los signos en cada uno de los cuadrantes son los que se muestran en seguida.
y
r
x
r
y
x
Cotα
Secα
Cscα
+
+
+
+
–
–
–
–
+
–
–
+
+
–
–
–
+
–
–
+
–
C
r
x
y
I
+
+
+
+
+
II
+
–
+
+
II
+
–
–
IV
+
+
–
Senα =
Cosα =
Tanα =
Ejemplo 29. Dada la razón trigonométrica Cosθ =
4
, obtener las demás y calcular el
5
valor de θ.
Solución: Como no se especifica el cuadrante en el cual se encuentra el ángulo, en
el ciclo de 0° a 360° existen dos que cumplen la condición de que el coseno sea
positivo, uno ubicado en el primer cuadrante y el otro en el cuarto cuadrante (donde x
4
es positiva). En el primer cuadrante θ = Angcos 5 = 36.87°, y en el cuarto cuadrante,
usando el concepto de ángulo reducido, θ = 323.13°.
Dado que x = 4 y r = 5, los valores de “y” se determinan mediante el Teorema de
Pitágoras, esto es (4)2 + y2 = (5)2, de donde y = ± 3. Como en el primer cuadrante “y”
es positiva y en el cuarto “y” es negativa, las razones trigonométricas para cada ángulo
son las que se muestran de manera ordenada en la siguiente tabla:
Dr. Juan Cuenca Díaz
44
Ángulo
Seno
Coseno
36.87°
3
5
4
5
4
5
323.13°
−
3
5
Tangente Cotangente
4
3
3
4
−
3
4
−
4
3
Secante
Cosecante
5
4
5
4
5
3
−
5
3
Ejercicios.
1. Dada la razón trigonométrica Sen α =
5
13
, obtener las demás y calcular los valores
de α.
2. Dada la razón trigonométrica Tan β = −
9
, obtener las demás y calcular los
12
valores de β.
3. Dada la razón trigonométrica Cos α = −
7
, obtener las demás y calcular los
25
valores de α.
Algunas respuestas.
2. Valores de β, 143.13° y 323.13°. Razones seno ±
3. Un valor de α, 106.26°. Razones seno ±
9
15
24
25
11.6 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OTROS ÁNGULOS NOTABLES
Como ya se mencionó, las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
dependen de la abscisa y de la ordenada de un punto P cualquiera del lado terminal.
Estos valores corresponden a los catetos del triángulo rectángulo que se forma, en el
cual la hipotenusa “r” (también llamado radio vector) es siempre un valor positivo, que
puede calcularse con el Teorema de Pitágoras, esto es:
r = √x 2 + y 2
Dr. Juan Cuenca Díaz
45
La composición se analiza en seguida para las distintas posiciones del lado terminal,
que permiten generar algunos de los llamados ángulos notables:
Posición 1. Se tiene el ángulo de 0° cuando el lado terminal no ha efectuado ningún
giro y por lo tanto coincide con el lado inicial. Entonces, las coordenadas de un punto
de este lado terminal son (x, 0), y por lo tanto, usando el teorema de Pitágoras, r = x.
De donde:
Sen 0° =
y
r
=
0
x
x
x
r
x
= 0, y de la misma forma Cos 0° = =
=1
Como ya se ha visto, a partir de estas razones es posible obtener las demás. Por
ejemplo, si se quieren calcular la cosecante de 0°, cuyo valor es el recíproco del seno,
se tiene que:
Csc 0° =
1
Sen 0°
=
1
0
= ∞, que es la notación para expresar que la división entre cero
no está definda. En adelante esto se expresará como ND, es decir, no definido.
Posición 2. Se tiene el ángulo de 90° cuando el lado terminal coincide con la parte
positiva del eje “y”, y entonces las coordenadas de un punto de dicho lado terminal son
(0, y). Por lo tanto, usando el teorema de Pitágoras, r = y.
Dr. Juan Cuenca Díaz
46
Y las razones trigonométicas básicas, son:
Sen 90° =
y
r
=
y
y
x
0
r
y
= 1, y Cos 90° = =
= 0, con las cuales se pueden determinar
las demás.
La forma de obtener las razones de otros ángulos notables se describe a continuación,
quedando como ejercicio trazar las gráficas.
Posición 3. Se tiene el ángulo de 180° cuando el lado terminal coincide con la parte
negativa del eje “x”, y entonces las coordenadas de un punto de dicho lado terminal
son P(– x, 0), de donde r = x.
Posición 4. Se tiene el ángulo de 270° cuando el lado terminal coincide con la parte
negativa del eje “y”, y entonces las coordenadas de un punto de dicho lado terminal
son (0, – y), de donde r = y.
Posición 5. Se tiene el ángulo de 360° cuando el lado terminal coincide con la parte
positiva del eje “x”, y entonces las coordenadas de un punto de dicho lado terminal son
(x, 0), de donde r = x. Obviamente, esto implica obtener valores iguales a los del ángulo
de 0°.
Los resultados para cada una de las razones trigonométricas de estos ángulos
notables se muestran en la tabla siguiente.
Ángulo
Seno
Coseno
Tangente Cotangente
Secante
Cosecante
0°
0
1
0
ND
1
ND
90°
1
0
ND
0
ND
1
180°
0
–1
0
ND
–1
ND
270°
–1
0
ND
0
ND
–1
360°
0
1
0
ND
1
ND
Dr. Juan Cuenca Díaz
47
11.7 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS
La determinación de las razones trigonométricas de ángulos negativos se puede lograr
atendiendo a la figura mostrada en seguida, donde se han trazado dos ángulos en
posición normal, uno positivo (α) y el otro negativo (− α), a fin de establecer la
comparación de sus razones. Desde luego, en ambos casos “r” es positivo.
De las definiciones de las razones, para α positivo se tiene que:
Sen α =
Cos α =
Tan α =
Cot α =
Sec α =
Csc α =
y
r
x
r
y
x
x
y
r
x
r
y
En tanto que para – α los valores de las razones son:
Sen(− α) =
−y
r
Dr. Juan Cuenca Díaz
48
Cos (− α) =
Tan(− α) =
Cot(− α) =
Sec (− α) =
Csc(− α) =
x
r
−y
x
x
−y
r
x
r
−y
De la simple comparación de estos valores se establecen las siguiente relaciones
fundamentales, entre las razones trigonométricas de ángulos positivos y negativos:
Sen (− α) = − Sen α
Cos (− α) = Cos α
Tan (− α) = − Tan α
Cot (− α) = − Cot α
Sec (− α) = Sec α
Csc (− α) = − Csc α
Ejemplo 30. Obtener los valores exactos de Sen (– 60°), Cos (– 45°) y Tan (– 30°).
Solución: Para el primer valor, Sen (– 60°) = – Sen 60° = −
Para el segundo valor Cos (– 45°) = Cos ( 45°) =
Para el tercer valor Tan (– 30°) = – Tan 30° = −
1
√2
(véase que el signo no cambia).
1
√3
Ejemplo 31. Obtener el valor exacto de Sen (– 330°).
Dr. Juan Cuenca Díaz
√3
.
2
49
Solución: En primer lugar, Sen (– 330°) = – Sen 330°. En seguida, debe verse que
330° es un ángulo del cuarto cuadrante, donde la razón seno es negativa, de tal
manera que al considerar el ángulo reducido, Sen 330° = – Sen 30°; es decir:
Sen (– 330°) = – Sen 330° = – (– Sen 30°) = Sen 30° =
1
2
Ejercicios. Obtener los valores exactos de las siguientes expresiones.
1. Tan (– 300°) =
2. Cos (–
13π
3
)=
π
π
2π
6
4
3
2. Sen (– ) Cos2 – Tan (
) Cos (−
2π
3
)=
3. – Sen 30° (Cos 45°)2 – Tan (120°) Cos2 (120°) =
π
3π
4
4
4. Sec ( ) Csc (−
) Sen2 (−
5π
6
) Cos (−
11π
6
)=
𝜋
𝜋
Nota importante. Para expresiones como (Cos 4 )2 se emplea la notación Cos2( ), es
4
decir: (Cos
𝜋 2
)
4
= Cos2
𝜋
4
, que obviamente se generaliza para cualquier exponente
entero.
Algunas respuestas.
1. √3
4. −
√3
4
Dr. Juan Cuenca Díaz
50
MÓDULO III. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CIRCUNFERENCIA
1. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Los triángulos oblicuángulos son aquellos que no tienen ningún ángulo recto, es decir,
ninguno de sus ángulos interiores mide 90°. Esta clase de triángulos pueden ser
acutángulos, cuando sus tres ángulos internos son agudos, u obtusángulos, si
contienen un ángulo obstuso, o mayor de 90°.
Ejemplo 1. Triángulo oblicuángulo acutángulo.
Ejemplo 2. Triángulo oblicuángulo obstusángulo.
Para resolver estos triángulos se emplean las siguientes leyes, dado que no es posible
aplicar el Teorema de Pitágoras.
2. LEY DE SENOS
Esta ley es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados del
triángulo y el valor del seno de los ángulos respectivamente opuestos. Por lo común,
se presenta de cualquiere de las siguientes formas, que obviamente son equivalentes:
Sen A
a
a
Sen A
=
=
Sen B
b
b
Sen B
=
=
Sen C
c
c
Sen C
----------- (1)
----------- (2)
Dr. Juan Cuenca Díaz
51
Donde a, b y c son los lados y A, B, C los ángulos del triángulo, como se muestra en
la siguiente figura. Obviamente, la expresión (1) anterior se puede separar en las tres
formas siguientes, o en sus recíprocos si se toma la forma (2):
Sen A
a
Sen B
b
Sen A
a
=
=
=
Sen B
b
Sen C
c
Sen C
c
Ejemplo 3. Forma de un triángulo oblicuángulo.
La aplicación de esta ley es posible solamente en los siguientes casos:
Caso 1. Se conoce un lado y dos ángulos del triángulo.
Caso 2. Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Demostración de Ley de Senos.
Para demostrar esta ley, se recurre a una composición como la mostrada en seguida,
donde el triángulo oblicuángulo se divide en dos retángulos por medio de la altura h:
Dr. Juan Cuenca Díaz
52
De las razones ya conocidas se tiene que Sen A =
h
c
, y Sen C =
h
a
, de tal manera
que despejando de la primera h = cSenA, en tanto que de la segunda h = aSenC. En
consecuencia, igualando estos valores: cSenA = aSenC, es decir:
Sen A
a
Sen C
=
c
Obviamente, bastaría con trazar de otra manera la altura del triángulo oblicuángulo,
por ejemplo, tomando como base el lado “a”, para demostrar la otra parte de la ley y
concluir que, en efecto:
Sen A
a
=
Sen B
b
=
Sen C
c
Ejemplo 4. Usando la Ley de Senos obtener los elementos desconocidos de un
triángulo oblicuángulo, dos de cuyos ángulos son A = 40° y B = 80°, y b = 18
centímetros.
Solución: Con respecto a la figura anterior, como A = 40°, B = 80° y b = 18, el tercer
ángulo se determina de la relación 40° + 80° + C = 180°, de donde C = 60°.
Por otra parte, de la expresión
Sen A
a
=
Sen B
b
, se sustituyen valores
Sen 40°
a
=
Sen 80°
18
,
y se despeja el valor de “a”, para obtener a = 11.75 cm.
Asimismo, de la expresión
Sen A
a
=
Sen C
Sen 40°
c
11.75
, se sustituyen valores
=
Sen 60°
c
, y se
obtiene c = 15.83 cm.
En complemento a lo anterior, el perímetro es P = 18 + 11.75 + 15.83 = 45.58 cm, en
tanto que el área es: Área =
bh
2
=
(18)(15.83 Sen 40°)
2
= 91.6 cm2
Finalmente, se recomienda presentar los resultados en la forma mostrada en la tabla
siguiente:
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53
Datos
Resultados
A = 40°
C = 60°
B = 80°
a = 11.75 cm
b = 18 cm
c = 15.83 cm
P = 45.58 cm
Área = 91.6 cm2
Al igual que en otros temas, con esta teoría también se pueden resolver problemas a
partir de un enunciado, como se muestra en seguida.
Ejemplo 5. La distancia entre Pachuca (P) y Querétaro (Q) es de 226 kilómetros (km)
y la distancia entre Pachuca y la Ciudad de México (CDMX) es de 94 km. Suponiendo
que las distancias se miden en línea recta y que el ángulo formado por las líneas que
unen a Querétaro con la Ciudad de México y a ésta con Pachuca es de 57°, ¿cuál es
la distancia de la CDMX a Querétaro?
Solución: Se procede a interpretar los datos en una gráfica como la siguiente.
P
226 km
94 km
Q
CDMX
57° en este vértice
Aplicando la Ley de Senos se determina el ángulo en Q, esto es:
Sen 57°
226
=
Sen Q
94
, de donde el ángulo en Q es de: 20.42°
Por lo tanto, el ángulo en P es de 180° – 20.42° – 57° = 102.58°
Aplicando nuevamente la Ley y llamando D a la incógnita, se tiene:
Sen 57°
226
=
Sen 102.58°
D
, de donde D = 263 km, que es la distancia pedida.
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54
3. LEY DE COSENOS
Esta Ley relaciona el lado de un triángulo oblicuángulo con los otros dos y con el
coseno del ángulo formado por estos últimos, y es aplicable únicamente en los
siguienres casos:
Caso 1. Se conocen dos lados y el ángulo comprendido.
Caso 2. Se conocen los tres lados.
Sus expresiones matemáticas son las siguientes, atendiendo a los elementos
mostrados en la figura:
a2 = b2 + c2 – 2bcCos A
b2 = a2 + c2 – 2acCos B
c2 = a2 + b2 – 2abCos C
Demostración de Ley de Cosenos.
De la figura angerior, si se aplica el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de la
izquierda, se tiene: m2 + h2 = c2, o bien, despejando:
h2 = c2 – m2 ----------- (1)
De la misma forma, para el triángulo rectángulo de la derecha se tiene:
n2 + h2 = a2, pero como n = b – m, entonces (b – m)2 + h2 = a2, o bien, despejando:
h2 = a2 – (b – m)2 ----------- (2)
Igualando las expresiones (1) y (2):
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55
c2 – m2 = a2 – (b – m)2
c2 – m2 = a2 – b2 + 2bm – m2
c2 + b2 – 2bm = a2 ----------- (3)
Y como del triángulo rectángulo de la izquierda Cos A =
m
c
, despejando, m = cCosA,
por lo que al sustituir este valor en (3), se tiene la primera expresión de la Ley de
Cosenos:
a2 = b2 + c2 – 2bcCos A
Naturalmente, las otras dos fórmulas de esta ley se pueden demostrar de manera
análoga.
Ejemplo 6. Obtener los demás elementos del triángulo mostrado, así como su
perímetro y área, si a = 15 cm, b = 18 cm y C = 70°.
Solución: Con los elementos conocidos, se puede aplicar la siguiente expresión de la
Ley de Cosenos: c2 = a2 + b2 – 2abCos C, de tal manera que al sustituir se tiene:
c2 = (15)2 + (18)2 – 2(15)(18)Cos 70° = 364.31, de donde, c = 19.09 cm.
De la misma ley, se aplica la expresión a2 = b2 + c2 – 2bcCos A, para obtener el ángulo
A, es decir, (15)2 = (18)2 + (19.09)2 – 2(18)(19.09)Cos A, de donde, efectuando
operaciones y despejando, se obtiene A = 47.6°. En consecuencia, B = 62.4°, que se
obtiene al restar de 180° los valores de A y C.
Asimismo, el perímetro del triángulo es P = 15 + 18 + 19.09 = 52.09 cm.
Dr. Juan Cuenca Díaz
56
Para determinar el área, es necesario calcular h, lo cual se puede hacer aplicando la
razón Sen A =
h
c
, de donde h = cSen A = (19.09)(0.74) = 14.1 cm, de modo que el
área del triángulo es Área =
bh
2
=
(18)(14.1)
2
= 126.9 cm2.
Los resultados obtenidos se presentan de manera ordenada en la siguiente tabla.
Datos
Resultados
a = 15 cm
c = 19.09 cm
b = 18 cm
A = 47.6°
C = 70°
B = 62.4°
P = 52.09 cm
Área = 126.9 cm2
Ejercicios.
1. El triángulo oblicuángulo ABC tiene los valores indicados. Calcular los elementos
restantes. A = 48°, C = 57°, b = 47 cm.
2. El triángulo oblicuángulo ABC tiene los valores indicados. Calcular los elementos
restantes. B = 36°42´, a = 12.4 cm, b = 8.7 cm.
3. Obtener los demás elementos de un triángulo oblicuángulo, así como su perímetro
y área, si B = 77°, a = 5 m, c = 8 m.
4. Obtener los demás elementos de un triángulo oblicuángulo, así como su perímetro
y área, si a = 90 cm, b = 70 cm y c = 40 cm.
5. Viendo de frente la pirámide de Keops, en Egipto, se forma un triángulo isóceles,
uno de cuyos lados iguales mide 188 metros. El ángulo superior mide 76° y el izquierdo
mide 52°. Encontrar la longitud de la base y la altura de la pirámide.
6. Dos niños se encuentran en una cabecera de una cancha de basquetbol, separados
una distancia de 10 metros, en lados opuestos a la canasta. ¿A qué altura se encuentra
ésta si los ángulos que se forman entre la posición de cada uno de los niños y la
canasta son de 30° y 45°, respectivmente?
Dr. Juan Cuenca Díaz
57
7. Un futbolista se prepara para tirar a gol. Si la portería mide 7.32 metros y el futbolista
se encuentra a 5.53 metros de un poste y a 7.85 metros del otro, ¿cuál es su ángulo
de tiro?
8. Un barco navega 600 millas hacia el Noreste y luego 1100 millas hacia el Este.
Calcular la distancia desde su punto de salida hasta el punto final.
Algunas respuestas.
1.
Datos
Resultados
A = 48°
B = 75°
C = 57°
a = 36.15 cm
b = 47 cm.
c = 40.8 cm
P = 123.95 cm
Área = 712.53 cm2
4.
Datos
Resultados
a = 90 cm
A = 106°36´
b = 70 cm
B = 48°11´
c = 40 cm
C = 25°13´
P = 200 cm
Área = 1341.65 cm2
7. Ángulo = 63.6°
8. Distancia = 1,582.21 millas
4. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado centro. A la distancia constante se le llama radio de la circunferencia.
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58
Por su parte, el círculo es la superficie plana limitada por una circunferencia.
Estos dos conceptos se muestran en la siguiente figura:
Ejemplo 7. Conceptos gráficos de circunferencia y círculo.
5. ÁNGULOS Y ARCOS EN UNA CIRCUNFERENCIA Y EN UN CÍRCULO
Ángulo central: Es aquél cuyo vértice está en el centro de una circunferencia y cuyos
lados son dos radios que corresponden a dos puntos cualquiera de la circunferencia.
Se dice entonces que el ángulo central es subtendido por el arco comprendido entre
esos dos puntos.
Ejemplo 8. Representación gráfica de un ángulo central.
Ángulo inscrito: Es el ángulo con vértice en un punto de una circunferencia y cuyos
lados son cuerdas de dicha curva. Su medida es la mitad del ángulo central que
subtiende el mismo arco de la circunferencia.
Ejemplo 9. Se muestra en seguida la representación gráfica de un ángulo inscrito,
donde β =
1
2
̂
AB
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59
Ejemplo 10. Si el ángulo central de una circunferencia mide 80°, entonces el ángulo
̂ , mide 40°.
inscrito en la misma circunferencia que subtiende el mismo arco AB
Ángulo semi inscrito: Es el ángulo con vértice en un punto de una circunferencia,
uno de sus lados es una semi recta secante y el otro es una semi recta tangente. Su
medida es la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco de la circunferencia.
Ejemplo 11. Representación gráfica de un ángulo semi inscrito, donde α =
1
2
̂
AB
Ejemplo 12. Si el ángulo central de una circunferencia mide 120°, entonces el ángulo
̂ , mide 60°.
semi inscrito en la misma circunferencia que subtiende el mismo arco AB
6. SECTOR CIRCULAR
Un sector circular es la parte del círculo limitada por un arco de circunferencia y los
lados del ángulo central medido en radianes, como se muestra en la figura siguiente:
Dr. Juan Cuenca Díaz
60
La relación entre la longitud de arco L, el radio r de la circunferencia y el ángulo θ del
sector circular expresado en radianes, está dada por la expresión siguiente:
L = θr
Por lo tanto, el perímetro del sector se calcula como P = L + 2r = θr + 2r.
Asimismo, el área del sector circular, denotada por AS, se determina mediante
cualquiera de las expresiones siguientes:
AS =
θr2
2
=
Lr
2
=
L2
2θ
Nota: La demostración de estas fórmulas queda como ejercicio.
Ejemplo 13. En un sector circular el radio es de 5 cm y el ángulo de 70°. Obtener la
longitud de arco correspondiente y la magnitud del ángulo inscrito que genera un arco
de circunferencia igual al del sector dado.
Solución 1: Longitud de arco L = θr = (70°)(
π
180°
)(5)= (1.22)(5) = 6.1 cm (observar que
la medida en grados se cambió a radianes).
Solución 2: Como el ángulo central es de 70°, entonces el ángulo que genera un arco
de circunferencia igual al del sector, es: β = (1/2)70° = 35°
Ejemplo 14. Si el minutero de un reloj de pared tiene 14 cm de longitud, determinar la
distancia que recorre su punta después de 35 minutos, así como el área de la región
generada.
Dr. Juan Cuenca Díaz
61
Solución: En primer lugar, si el minutero recorre 35 minutos, entonces el ángulo
generado es de 210°, que equivale a 3.66 radianes. Por lo tanto, la punta del minutero
recorre un arco de L = θr = (3.66) (14) = 51.24 cm. Asimismo, el área generada se
calcula como AS =
θr2
2
=
(3.66)(142 )
2
= 358.68 cm2
Ejercicios.
1. En una circunferencia de diámetro igual a 20 cm se inscribe un sector cuyo ángulo
es de 110°. Obtener la longitud del arco generado y el área del sector.
2. Un satélite describe una órbita circular alrededor de la Tierra, a una altura de 573
km. En un cierto intervalo de tiempo su radio vector (origen en el centro de la Tierra)
genera un ángulo de 100°, ¿qué distancia recorre en ese intervalo el satélite y cuál es
el área barrida por el radio vector? Suponga que el radio de la tierra es de 6376 km.
3. En un cuadrado de lado igual a 8 cm se inscribe un círculo tangente a cada uno de
los lados del cuadrado. Determinar el área comprendida entre el círculo y el cuadrado.
4. Las cadenas que sostienen un columpio tienen una longitud de 1.5 m y el ángulo
máximo de balanceo es de 140°. Obtener la longitud del arco generado por el asiento
del columpio.
Algunas respuestas.
2. Distancia recorrida = L = 12,091.26 km. Área barrida = 42,011,082.87 km2
4. Longitud del arco = L = 3.66 m.
7. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En estas notas se describe como función al conjunto de parejas ordenadas de números
reales, tales que no se repiten los primeros elementos.
Ejemplo 15. El conjunto F = {(1, 3), (5, 3), (6, 9), (4, 7)} corresponde a una función,
dado que no se repiten los primeros elementos de las parejas, en tanto que el conjunto
G = {(2, 2), (3, 5), (3, 8), (6, 6)} no es función.
Dr. Juan Cuenca Díaz
62
El conjunto formado por los primeros elementos se llama dominio y el formado por los
segundos, rango, recorrido o contradominio de la función.
Ejemplo 16. En el ejemplo anterior, donde F es una función, el dominio está formado
por DF = {1, 4, 5, 6}, y el rango por RF = {3, 7, 9}.
En general, una función se expresa de la siguiente forma: F = {(x, y)| y = f(x), x ∈ DF},
Por lo cual se dice que está formada o consta de las siguientes tres partes:
1. El conjunto dominio, formado por los primeros elementos de las parejas.
2. El conjunto rango, formado por los segundos elementos de las parejas.
3. Una regla de correspondencia, que permite asignar valores al dominio y obtener los
elementos del rango. Comúnmente, esta regla de correspondencia se expresa como
y = f(x), que se lee “y es igual a f de x”, siendo x el argumento.
Ejemplo 17. Si F = {(x, y)| y = f(x) = x2 + 1} y DF = {1, 2, 3, 4}, entonces el rango de F
se calcula sustituyendo en la regla de correspondencia los valores del dominio, con lo
cual: f(1) = 2; f(2) = 5; f(3) = 10; f(4) = 17, y las parejas que forman la función son:
F = {(1, 2), (2, 5), (3, 10), (4, 17)}
Nota importante: En el plano coordenado la gráfica de F está formada única y
exclusivamente por esos cuatro puntos. En cambio, si el dominio se hubiese expresado
como un intervalo, digamos el intervalo cerrado [1, 4], la gráfica estaría formada no por
cuatro puntos sino por un trazo continuo.
Con base en lo anterior, las funciones trigonométricas se expresan como conjuntos de
la siguiente forma, donde x es el argumento, debiendo tomarse en cuenta que éstas
son periódicas, es decir, se comportan de manera cíclica o repetitiva sobre un intervalo
especifico llamado periodo:
Sen = {(x, y)| y = Sen x}
Cos = {(x, y)| y = Cos x}
Tan = {(x, y)| y = Tan x}
Dr. Juan Cuenca Díaz
63
Cot = {(x, y)| y = Cot x}
Sec = {(x, y)| y = Sec x}
Csc = {(x, y)| y = Csc x}
8. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En este apartado se analiza la forma de graficar las funciones trigonométricas
anteriores. Aunque sólo se hace énfasis en las de seno y coseno, el procedimiento se
puede generalizar a las demás.
8.1 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
El periodo de esta función es 2π. Por lo tanto, a partir de la regla de correspondencia,
que es y = Sen x, se determinan los que se llamarán puntos significativos, asignándole
los siguientes valores en radianes (números reales) a la variable independiente o
π
3π
2
2
argumento x: 0, , π,
y 2π, para obtener los respectivos valores de la variable
dependiente y.
Este cálculo se muestra en la siguiente tabla, donde la medida de los ángulos se
expresa en grados y radianes, aunque son éstos los que se emplean al momento de
graficar.
Determinación de los puntos significativos.
Valores de x
y = Sen x
(x, y)
Puntos significativos
Intersección con el eje x
Grados
Radianes
0°
0
0
(0, 0)
90°
π
2
1
( , 1)
Punto máximo
180°
π
0
(π, 0)
Intersección con el eje x
270°
3π
2
–1
2π
0
360°
π
2
3π
(
2
, – 1)
(2π, 0)
Dr. Juan Cuenca Díaz
Punto mínimo
Intersección con el eje x
64
Uniendo estos puntos mediante un trazo continuo, y tomando en cuenta la periodicidad
de la función, en seguida se muestra una parte de la gráfica se la función seno.
Gráfica y = sen(x)
Amplitud de la función seno.
La amplitud de la función seno es la mitad de la distancia (valor positivo) que existe
entre el valor máximo y el valor mínimo. Así, en la gráfica anterior el valor máximo que
toma la función es 1 y el valor mínimo –1. La distancia entre ellos es de 2 unidades, y
entonces la amplitud es 1, que corresponde al coeficiente que aparece en la regla de
correspondencia, es decir, de y = Sen x = (1) Sen x.
Ejemplo 18. La gráfica de y = 2 Sen x es similar a la de y = Sen x, solo que ahora la
amplitud es 2, lo cual significa que el valor máximo que alcanza la función es 2 y el
valor mínimo es – 2.
Ejemplo 19. La gráfica de y = 4 Sen x es similar a la de y = Sen x, solo que ahora la
amplitud es 4, lo cual significa que el valor máximo que alcanza la función es 4 y el
valor mínimo es – 4.
Ejemplo 20. Como se muestra en seguida, la gráfica de y = – Sen x es similar a la de
y = Sen x, solo que ahora el trazo se invierte, lo cual significa que en los puntos críticos
los valores máximos de y = Sen x son los valores mínimos de y = – Sen x, y
recíprocamente.
Dr. Juan Cuenca Díaz
65
Ejemplo 21. La gráfica de y = – 3 Sen x es similar a la de y = – Sen x, solo que ahora
la amplitud es 3.
Ejemplo 22. La gráfica de y = 2 + Sen x indica que la ordenada “y” se aumenta en 2
unidades y por lo tanto tiene la forma siguiente:
Ejemplo 23. Obtener los puntos significativos de y = Sen 2x, identificar el periodo y
trazar la gráfica de correspondiente.
Solución: En este caso la amplitud es 1 y el argumento es 2x. En consecuencia, para
obtener la solución en un periodo se procede de la siguiente manera, tomado como
referencia los valores de la gráfica original.
Paso 1. Intersecciones con el eje x:
Argumento = 0, es decir, 2x = 0, de donde x = 0
Argumento = π, es decir, 2x = π, de donde x =
π
2
Argumento = 2π, es decir, 2x = 2π, de donde x = π
Dr. Juan Cuenca Díaz
66
Paso 2. Ubicación del valor máximo.
π
π
π
2
2
4
Argumento = , es decir, 2x = , de donde x =
Paso 3. Ubicación del valor mínimo.
Argumento =
3π
2
, es decir, 2x =
3π
2
, de donde x =
3π
4
Estos resultados se muestran ordenados en la siguiente tabla y con ellos se puede
trazar la gráfica pedida en un periodo, cuyo valor es π, como puede verse de la
variación de x.
x
y = Sen 2x
(x, y)
Punto significativo
0
π
4
π
2
3π
4
0
(0, 0)
Punto de intersección con el eje x
1
( , 1)
π
π
Punto máximo
4
π
0
( , 0)
Punto de intersección con el eje x
2
–1
0
3π
(
4
, −1)
(π, 0)
Punto mínimo
Punto de intersección con el eje x
Ángulo de fase.
El ángulo de fase de una función trigonométrica representa la medida del ángulo en
que la gráfica se desplaza en sentido x. Este ángulo se puede expresar en grados o
radianes, pero al graficar se debe indicar siempre en radianes.
Ejemplo 24. Dada la regla de correspondencia y = Sen (x + π), al analizar solamente
en un periodo el primero de los puntos significativos, se tiene que el argumento se
debe igualar con cero, es decir: x + π = 0, de donde x = – π. Esto significa que la gráfica
de la función dada no empieza en el valor cero, sino en el de – π, que es precisamente
el valor del ángulo de fase.
Dr. Juan Cuenca Díaz
67
Ejemplo 25. Obtener los puntos significativos, identificar el periodo y trazar la gráfica
x
de y = 3 Sen ( – π)
2
𝑥
Solución: En este caso la amplitud es 3 y el argumento es ( – 𝜋). En consecuencia,
2
para obtener la solución se procede como sigue:
Paso 1. Intersecciones con el eje x.
Argumento = 0, es decir,
Argumento = π, es decir,
x
– π = 0, de donde, x = 2𝜋
2
x
– π = π, de donde, x = 4π
2
Argumento = 2π, es decir,
x
2
– π = 2π, de donde, x = 6π
Paso 2. Ubicación del valor máximo.
Argumento =
π
x
2
2
, es decir,
𝜋
– π = , de donde, x = 3π
2
Paso 3. Ubicación del valor mínimo.
Argumento =
3π
2
, es decir,
x
2
–π=
3π
2
, de donde, x = 5𝜋
Estos resultados se muestran en la siguiente tabla.
𝐱
y = 3 Sen ( – 𝛑)
(x, y)
Punto significativo
2π
0
(2π, 0)
Punto de intersección con el eje x
3π
3
(3π, 3)
Punto máximo
4π
0
(4π, 0)
Punto de intersección con el eje x
5π
–3
(5π, −3)
Punto mínimo
6π
0
(6π, 0)
Punto de intersección con el eje x
x
𝟐
Por lo tanto, la gráfica es la siguiente, ampliándola hacia atrás de 2π y hacia delante
de 6π. El ángulo de fase es 2π y el periodo es igual a 4π.
Dr. Juan Cuenca Díaz
68
𝐱
Gráfica de y = 3 Sen ( – 𝛑)
𝟐
8.2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
El periodo de esta función es también 2π. Por lo tanto, a partir de la regla de
correspondencia, que es y = Cos x, se determinan los llamados puntos significativos,
asignándole los siguientes valores en radianes (números reales) a la variable
independiente x (o argumento en este caso): 0,
π
3π
2
2
, π,
y 2π, para obtener los
respectivos valores de la variable dependiente y.
Este cálculo se muestra en seguida, donde la medida de los ángulos se expresa en
grados y radianes, aunque son éstos los que se emplean al momento de graficar.
Determinación de los puntos significativos.
Valores de x
y = Cos x
(x, y)
Puntos significativos
Punto máximo
Grados
Radianes
0°
0
π
2
1
(0, 1)
0
( , 0)
Intersección con el eje x
180°
π
–1
(π, – 1)
Punto mínimo
270°
3π
2
0
2π
1
90°
360°
π
2
3π
(
2
, 0)
(2π, 1)
Dr. Juan Cuenca Díaz
Intersección con el eje x
Punto máximo
69
Uniendo estos puntos mediante un trazo continuo, y tomando en cuenta la periodicidad
de la función, en seguida se muestra una parte de la gráfica se la función coseno.
Gráfica y = cos(x)
Amplitud de la función coseno.
La amplitud de la función coseno es un concepto análogo al de la función seno. Es
decir, se determina como la mitad de la distancia (valor positivo) que existe entre el
valor máximo y el valor mínimo. Así, en la gráfica anterior el valor máximo que toma
la función es 1 y el valor mínimo –1. La distancia entre ellos es 2, por lo cual
la amplitud es 1, que corresponde al coeficiente de la regla de correspondencia, es
decir, de y = Cos x = (1) Cos x.
Ejemplo 26. La gráfica de y = 3 Cos x es similar a la de y = Cos x, solo que ahora la
amplitud es 3, lo cual significa que el valor máximo que alcanza la función es 3 y el
valor mínimo es – 3.
Ejemplo 27. La gráfica de y = – Cos x es similar a la de y = Cos x, solo que ahora el
trazo se invierte, lo cual significa que en los puntos críticos cambian los valores del
máximo y del mínimo, como se mostró en el caso de la función seno.
Ejemplo 28. Obtener los puntos significativos de y = Cos 4x, identificar el periodo y
trazar la gráfica de correspondiente.
Solución: En este caso la amplitud es 1 y el argumento es 4x. Entonces, para obtener
la solución en un periodo se procede de la siguiente manera, tomado como referencia
los valores de la gráfica original.
Dr. Juan Cuenca Díaz
70
Paso 1. Ubicación de los valores máximos:
Argumento = 0, es decir, 4x = 0, de donde x = 0
Argumento = 2π, es decir, 4x = 2π, de donde x =
π
2
Paso 2. Intersecciones con el eje x:
π
π
π
2
2
8
Argumento = , es decir, 4x = , de donde x =
Argumento =
3π
2
, es decir, 4x =
3π
2
, de donde x =
3π
8
Paso 3. Ubicación del valor mínimo.
Argumento = π, es decir, 4x = π, de donde x =
π
4
Estos resultados se muestran ordenados en la siguiente tabla y con ellos se puede
trazar la gráfica pedida en un periodo, cuyo valor es π, como puede verse de la
variación de x.
x
y = Cos 4x
(x, y)
Punto significativo
0
π
8
π
4
3π
8
π
2
1
(0, 1)
Punto máximo
0
( , 0)
π
Punto de intersección con el eje x
8
π
–1
( , −1)
Punto mínimo
4
3π
0
(
8
π
1
, 0)
( , 1)
Punto de intersección con el eje x
Punto máximo
2
Ejercicios.
1. Obtener los puntos significativos en un periodo y determinar éste, para trazar la
X
gráfica de y = 2 Sen .
2
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71
2. Obtener los puntos significativos en un periodo y determinar éste, para trazar la
π
gráfica de y = 4 Sen (x + )
2
3. Obtener los puntos significativos en un periodo y determinar éste, para trazar la
gráfica de y = 3 Cos
x
3
4. Obtener los puntos significativos en un periodo y determinar éste, para trazar la
𝑥
gráfica de y = 5 Cos (2 + 𝜋)
Algunas respuestas.
Ejercicio 1.
x
y = 2 Sen
X
(x, y)
Punto significativo
2
0
0
(0, 0)
Punto de intersección con el eje x
π
2
(𝜋, 2)
Punto máximo
2π
0
(2π, 0)
Punto de intersección con el eje x
3π
–2
(3π, −2)
Punto mínimo
4π
0
(4π, 0)
Punto de intersección con el eje x
Ejercicio 4.
𝑥
x
y = 5 Cos (2 + 𝜋)
(x, y)
Punto significativo
− 2𝜋
5
(− 2𝜋, 5)
Punto máximo
−𝜋
0
(− 𝜋, 0)
Punto de intersección con el eje x
0
–5
(0, −5)
Punto mínimo
𝜋
0
(𝜋, 0)
Punto de intersección con el eje x
2𝜋
5
(2𝜋, 5)
Punto máximo
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72
8.3 GRÁFICAS DE LAS DEMÁS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
De acuerdo con el programa de la asignatura, en estas notas no se analizan con detalle
las funciones restantes, que son tangente, cotangente, secante y cosecante. Sin
embargo, sí se presentan sus gráficas y conceptos más importantes, que pueden
obtenerse a partir de sus respectivas reglas de correspondencia, ya sea recurriendo a
la tabulación de valores o más fácilmente haciendo uso de un programa como
GeoGebra.
En la siguiente tabla se muestran algunas características importantes de las funciones,
incluyendo los valores que definen sus dominios y rangos. R denota los números
reales y la simbología se debe interpretar como se explica a continuación:
Ejemplo 29. Si el dominio es R, significa que la variable independiente “x” puede tomar
cualquier número real. Si el rango es el intervalo cerrado [– 1, 1], significa que los
valores que acepta “y” están comprendidos única y exclusivamente en dicho intervalo.
π
Ejemplo 30. Si el dominio es R – { + nπ}, significa que al conjunto de los números
2
π
reales se le deben restar, o no asignar a “x”, los valores del conjunto { + nπ}, para
2
cualquier número entero “n”. Es decir:
Si n = o, entonces
Si n = 1, entonces
π
2
π
2
Si n = – 1, entonces
π
+ nπ = , y este valor no se le puede asignar a “x”.
2
π
3π
2
2
+ nπ = + π =
π
2
, y este valor no se puede asignar a “x”.
π
π
2
2
+ nπ = − π = − , y este valor no se le puede asignar a “x”,
y así sucesivamente con otros valores de “n”.
Ejemplo 31. Si el dominio es R – {nπ}, significa que al conjunto de los números reales
se le debe restar, o no asignar a “x”, los valores del conjunto { nπ}, para cualquier
número entero “n”. Es decir:
Si n = 0, entonces nπ = 0, y este valor no se le puede asignar a “x”.
Dr. Juan Cuenca Díaz
73
Si n = 1, entonces nπ = π, y este valor no se le puede asignar a “x”.
Si n = – 1, entonces nπ = – π, y este valor no se le puede asignar a “x”.
En los valores no aceptados en el dominio, donde la función no existe, se tienen rectas
verticales llamadas “asíntotas” de la curva, cuyo trazo se muestra también en las
siguientes gráficas.
Características básicas de las funciones trigonométricas.
Regla de correspondencia
Dominio
Rango
Periodo
y = Sen x
R
[– 1, 1]
2π
y = Cos x
R
[– 1, 1]
2π
y = Tan x
R – { + nπ}
R
π
y = Cot x
R – {nπ}
R
π
y = Sec x
R – { + nπ}
R – (– 1, 1)
π
R – {nπ}
R – (– 1, 1)
π
π
2
π
2
y = Csc x
R es el conjunto de los números reales y “n” es un número entero.
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𝐲 = 𝐭𝐚𝐧(𝐱)
𝐲 = 𝐜𝐨𝐭(𝐱)
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75
𝐲 = 𝐬𝐞𝐜(𝐱)
𝐲 = 𝐜𝐬𝐜(𝐱)
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76
MÓDULO IV. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Definición de ecuación.
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones, donde aparecen variables y
constantes, y que se cumple solamente para determinados valores de las variables.
Ejemplo 1. La expresión 6x + 5 = 23 solamente se cumple si x = 3
Ejemplo 2. La expresión 2x – y = 2 solamente se cumple para determinados pares de
valores de las incógnitas, algunos de los cuales son (0, – 2), (1, 0), (2, 2), etcétera.
Definición de identidad.
Una identidad en matemáticas es una igualdad entre dos expresiones, donde aparecen
constantes y variables, que se cumple para cualquier valor que se les asigne a las
variables.
Ejemplo 3. La expresión (x2 – 9) = (x – 3)(x + 3) se cumple para cualquier valor de x.
Ejemplo 4. La expresión (x + 5)2 = x2 + 10x + 25 se cumple para cualquier valor de x.
Las identidades trigonométricas son también igualdades que involucran las razones
trigonométricas de ciertos ángulos.
Para comprobar si una identidad trigonométrica se cumple o no, se trabaja con uno de
los dos términos de la igualdad y se corrobora que sea igual al otro, para lo cual se
emplean las técnicas de simplificación de fracciones, la factorización, etcétera, así
como las identidades trigonométricas fundamentales, que se presentan en seguida y
se derivan del triángulo rectángulo mostrado.
Dr. Juan Cuenca Díaz
77
Identidades trigonométricas fundamentales.
SenA =
CosA =
Cateto opouesto
Hipotenusa
Cateto adyacente
SecA =
CscA =
Cateto opuesto
Cateto adyacente
=
Cateto opuesto
Hipotenusa
=
Cateto adyacente
Cateto opuesto
c
=
Cateto adyacente
Hipotenusa
a
=
Hipotenusa
TanA =
CotA =
=
=
b
c
a
b
b
a
c
b
c
a
Identidades de recíprocos.
a
c
b
c
a
b
SenACscA ≡ ( ) ( ) = 1
c
a
CosASecA ≡ ( ) ( ) = 1
c
b
TanACotA ≡ ( ) ( ) = 1
b
a
Identidades de división.
Tan A ≡
Cot A ≡
Sen A
Cos A
Cos A
Sen A
=
=
a
c
b
c
=
a
b
b
a
Identidades de cuadrados o pitagóricas.
Sen2 A + Cos2 A ≡ 1
1 + Tan2 A ≡ Sec2 A
Dr. Juan Cuenca Díaz
78
1 + Cot2 A ≡ Csc2 A
Ejemplo 5. Demostrar la identidad Sen2 A + Cos2 A ≡ 1
Solución: De los valores SenA =
a 2
b 2
c
c
Sen2 A + Cos2 A = ( ) + ( ) =
a
c
y CosA =
a2 + b2
c2
=
c2
c2
b
c
, se tiene que:
≡1
Es importante hacer notar que de esta identidad se pueden obtener las siguientes
expresiones, mediante la factorización de la diferencia de cuadrados.
Sen2A = 1 - Cos2 A = (1 – Cos A)(1 + Cos A)
Cos2A = 1 - Sen2 A = (1 – Sen A)(1 + Sen A)
Ejercicios. Demostrar las siguientes identidades cuadráticas.
1. 1 + Tan2 𝐴 ≡ Sec2 𝐴
2. 1 + Cot2 𝐴 ≡ Csc2 𝐴
Ejemplo 6. Comprobar si se cumple la expresión Csc ∝ =
Cot ∝
Cos ∝
Solución: Tomando el lado derecho de la expresión, se sustituyen las identidades
básicas o fundamentales y se procede a simplificar, para comprobar que sí se cumple:
Cot ∝
Cos ∝
=
Cos ∝
Sen ∝
Cos ∝
1
=
Cos ∝
Sen ∝Cos ∝
=
1
Sen ∝
= Csc ∝
Ejemplo 7. Comprobar si se cumple que Sen2𝜃(1 + Cot2𝜃) = 1
Solución: La identidad se cumple, ya que:
Sen2𝜃(1 + Cot2𝜃) = Sen2𝜃 + Sen2𝜃 Cot2𝜃) = Sen2𝜃 + Sen2𝜃
Ejemplo 8. Comprobar si es cierta la expresión Sec 2 ∝ =
Cos2 θ
Sen2 θ
Sec2 ∝ − 1
Sen2 ∝
Solución: Se verifica la identidad como se muestra en seguida:
Dr. Juan Cuenca Díaz
= Sen2𝜃 + Cos2𝜃 = 1
79
Sec2 ∝ −1
Sen2
∝
=
Tan2 ∝
Sen2 ∝
=
Sen2 ∝
Cos2 ∝
Sen2 ∝
=
Sen2 ∝
Sen2 ∝Cos2 ∝
=
1
Cos2 ∝
= Sec 2 ∝
1
Ejercicios. Comprobar si son identidades las siguientes expresiones.
1.
2Cos A(1 − Cos2 A)
2SenACosA
= SenA
2. Sec A – Cos A ≡ (Sen A)(Tan A)
3. Sec A ≡ Sen A(Tan A + Cot A)
4. Sen A + Cos A Cot A ≡ Csc A
5. Sec2A(1 – Sen2A) ≡ 1
6.
7.
8.
9.
Cos A
1 + Sen A
+
1
Csc B + Cot B
Cos A
1 − Sen A
=
1 − Cos B
Cot A + Csc ACos A
Cot A
= 2 Sec A
Sen B
=2
Cot U + Csc U
Sen U − Cot U − Csc U
+ Sec U = 0
Algunas respuestas.
1. Es identidad.
5. Es identidad.
6. Es identidad.
7. Es identidad.
9. Es identidad.
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80
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de
ángulos o de números reales y se cumple o se satisface únicamente para
determinados valores de la variable.
Es decir, resolver una ecuación trigonométrica es encontrar todos los ángulos que la
satisfacen, ya sea en grados o en radianes, por lo general dentro de un intervalo dado,
que puede ser el de un ciclo, esto es, el intervalo [0°, 360°], o su equivalente [0, 2π].
Algunos procedimientos de solución se muestran en los ejemplos siguientes, en los
cuales se utilizan nuevamente los conceptos de ángulo reducido y de los signos de las
razones trigonométricas en cada uno los cuatro cuadrantes, mostrados en las tablas:
Determinación del ángulo reducido.
Lado terminal de 𝛉 en
Ángulo reducido
Cuadrante I
θr = θ
Cuadrante II
θr = 180° – θ
Cuadrante III
θr = θ – 180°
Cuadrante IV
θr = 360° – θ
Signos de las razones trigonométricas en los cuatro cuadrantes.
𝑦
𝑟
𝑥
𝑟
𝑦
𝑥
𝐶𝑜𝑡𝛼
𝑆𝑒𝑐𝛼
𝐶𝑠𝑐𝛼
+
+
+
+
–
–
–
–
+
–
–
+
+
–
–
–
+
–
–
+
–
C
r
x
y
I
+
+
+
+
+
II
+
–
+
+
III
+
–
–
IV
+
+
–
𝑆𝑒𝑛𝛼 =
𝐶𝑜𝑠𝛼 =
𝑇𝑎𝑛𝛼 =
Ejemplo 9. Resolver la siguiente ecuación en el intervalo [0°, 360°]
2 Sen θ − 1 = 0
Dr. Juan Cuenca Díaz
81
Nota. La ecuación dada presenta similitud con una expresión algebraica de la forma
2x – 1 = 0, cuya solución es x =
1
2
1
Solución: Despejando, Sen θ = 2. Como puede verse de la tabla anterior, en el
intervalo de 0° a 360° esto implica dos soluciones para el ángulo θ, pues la razón seno
es positiva en los cuadrantes I y II. Por lo tanto, usando la calculadora las soluciones
de la ecuación dada son:
En el primer cuadrante: θ = 30°
En el segundo cuadrante: θ = 150° = 180° – 30°
Puede entonces decirse que la ecuación 2 Sen θ − 1 = 0 tiene el siguiente conjunto
solución: {30°, 150}. Por supuesto, la comprobación puede hacerse al sustituir estos
valores en la ecuación original.
Ejemplo 10. Resolver la ecuación 2 Cos θ + √3 = 0 en el intervalo [0°, 360°].
Nota. La ecuación dada presenta similitud con una expresión algebraica de la forma
2x + √3 = 0, cuya solución es x = −
√3
2
Solución: Para la ecuación dada, despejando, Cos θ = −
√3
2
Como el valor del coseno es negativo, los ángulos solución se encuentran en los
cuadrantes II y III. En estos casos, se usa la expresión 𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
√3
,
2
es decir, el valor
positivo, para obtener en la calculadora el valor del ángulo reducido, 𝜃 = 30°
En consecuencia, los ángulos solución son:
En el segundo cuadrante: 180° – 30° = 150°.
En el tercer cuadrante: 180° + 30° = 210°
El conjunto solución es {150°, 210°} y la comprobación se realiza al sustituir estos
valores en la ecuación original.
Dr. Juan Cuenca Díaz
82
Ejemplo 11. Resolver la ecuación Sen U + 2 Sen2 U = 0 en el intervalo [0°, 360°]
Nota. La analogía es ahora con una expresión algebraica de la forma x + 2x2 = 0, de
donde se debe factorizar e igualar con cero cada factor (x)(1 + 2x) = 0, para obtener
las soluciones, que son:
x=0yx=−
1
2
Solución: Entonces, para este ejemplo, (Sen U)(1 + 2 Sen U) = 0, de donde, igualando
con cero el primer factor, Sen U = 0, y U toma los siguientes valores: 0°, 180°, 360°.
1
Asimismo, al igualar con cero el segundo factor, Sen U = − , lo cual implica que los
2
ángulos solución están en el tercero y en el cuarto cuadrantes, precisamente donde el
valor del seno es negativo.
Como se hizo anteriormente, se ingresa a la calculadora el valor positivo para obtener
el ángulo reducido: U = 30°, y por lo tanto los ángulos solución son: 210° y 330°
En resumen, el conjunto solución es: {0°, 180°, 360°, 210°, 330°}, y la comprobación
se efectúa en la forma ya mencionada.
Ejemplo 12. Resolver la ecuación 3 Tan2 θ + 4 Tan θ − 1 = 0, en el intervalo [0°, 360°].
Nota. La analogía es con una expresión algebraica de la forma 3x2 + 4x – 1 = 0, cuya
solución puede obtenerse aplicando la fórmula general:
x=
− b ± √b2 − 4ac
2a
, donde a = 3, b = 4, c = – 1
Solución: Para la ecuación dada, sustituyendo valores, Tan θ =
− 4 ± √16 ∓ 12
6
, de
donde se obtienen los valores siguientes:
Tan θ = 0.215
Tan θ = – 1.549
Con el primer valor los ángulos solución están en los cuadrantes I y III, y son 12.15° y
192.15°.
Dr. Juan Cuenca Díaz
83
En tanto que con el segundo valor los ángulos solución están en los cuadrantes II y IV,
y son 122.85°, 302.85°.
El conjunto solución de la ecuación es: {12.15°, 192.15°, 122.85°, 302.85°}, y la
comprobación se hace como se ha indicado.
Ejercicios. Resolver las siguientes ecuaciones en el intervalo [0°, 360°] y comprobar
las soluciones.
1. Sen θ + √3 Cos θ = 0
2. 3 Sen2θ – 5 Senθ + 1 = 0
3. Cos2A – 3 Sen2A = 0
4. 2 Cos B = 3 Tan B
5. 3Tan2∝ - 1 = 0
6. Tan2𝐴 + 2Tan𝐴 = 1
7. 2Cos2θ – 3Cosθ = 2
8. Tan2 U – Tan U = 0
9. Tan B Sen B – √3 Sen B = 0
10. Cos θ Sen2θ – Cos θ = 0
Algunas respuestas.
1. {120°, 300°}
4. {30°, 150°}
5. {30°, 150°, 210°, 330°}
8. {0°, 45°, 180°, 225°, 360°}
10. {90°, 270°}
Dr. Juan Cuenca Díaz
84
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA.
1. Cuevas Vallejo, Carlos Armando y otros, 2012, Matemáticas 2. Editorial Oxford.
2. Acuña Soto, Claudia y otros, 1985, Trigonometría. SEP, Programa Nacional de
Formación de Profesores de Matemáticas.
3. Ayres Jr., Frank, 1990, Trigonometría plana y esférica. Editorial Schaum – Mc. Graw
Hill.
4. Swokowski, Earl, 1988, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Grupo
Editorial Iberoamérica.
5. De Oteyza, Elena y otros, 2015, Geometría Analítica y Trigonometría. Editorial
Pearson.
6. Barnett, Raymond, 1974, Álgebra y Trigonometría. Editorial Mc. Graw Hill
Latinoamericana, S. A.
7. Manning, S. Richard, 1999, Cómo ser un gran estudiante de matemáticas.
International Thomson Editores.
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