Interés compuesto C.P. Betsy Yamed May Román [email protected] El interés compuesto El capital aumenta por la suma de los intereses vencidos al final de cada uno de los periodos de tiempo a que se refiere la tasa. El interés se añade al capital, se dice que los intereses se capitalizan o se convierten en capital Generación del interés compuesto El interés compuesto es el interés simple aplicado sucesivamente a un capital que crece conforme se le van agregando los intereses que se van obteniendo en cada periodo de tiempo. Un capital de $1’000 a una tasa de interés simple del 20% rinde $200 por año, en tres años el interés simple es de $600. Sin embargo…. Si el interés producido no se retira, y se agrega al capital Periodo Capital al inicio del periodo Interés del periodo Operación Resultado Capital al final de periodo 1 1’000 .20(1’000) 200 1’200 2 1’200 .20(1’200) 240 1’440 3 1’440 .20(1’440) 288 1’728 El interés compuesto obtenido es de $728. La diferencia de $128 es el interés generado por el propio interés. La cantidad de $728 se le llama interés compuesto. El total de $1728 se le conoce como monto o valor futuro a interés compuesto Se puede ver que el interés compuesto es la aplicación reiterada del interés simple Nomenclatura para los conceptos C= Capital al inicio del plazo S= Monto a interés compuesto I= Interés acumulado a través de los períodos de conversión i= tasa de interés por periodo n= Número de periodos de conversión del plazo Fc= Frecuencia de conversión Valor futuro a interés compuesto Conceptos básicos En el ejemplo anterior, el interés se calculó y se agregó al capital en cada uno de los periodos anuales que duró la operación. Se dice que el interés es Capitalizable o Convertible en capital Frecuencia de conversión. El numero de veces que el interés se convierte en capital en un año Periodo de interés, o periodo de conversión. Periodo de tiempo entre dos conversiones sucesivas La tasa de interés se establece normalmente como tasa anual: “12% capitalizable semestral, 12% convertible semestral, 12% compuesto cada semestre”. Significa que el 12 % es anual y cada semestre se capitalizan los intereses Conceptos importantes para la resolución Capital original Tasa de interés por periodo Número de periodos de conversión durante el plazo de la transacción Frecuencia de conversión. Frecuencia de conversión (Fc) ú ñ Cuando el periodo de conversión es en días #!$% !"! " & !$ $ "í(& Para efectos prácticos el resultado se redondea al entero inferior más cercano. Ejemplo: semanas en 1 año: 365/7= 52.14 =52 semanas en un año Ejercicio conceptos básicos Si un capital de $X se invierte durante 8 ½ años al 7.5% convertible trimestralmente, responda: A) ¿Cuál es el periodo de conversión? B) ¿Cuál es la frecuencia de conversión C) ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de conversión? D) ¿Cuál es el número de periodos de conversión del plazo (n)? Solución A) 3 meses B) (12/3) = 4 veces C) Tasa por período .*+ , .01875 D) n= (No. De años)(Frecuencia de conversión) = (8.5)x(4)=34 Ejercicio 1 1. ¿Cuál será el monto de un capital de $75’000 invertido a la tasa del 10% capitalizable trimestralmente en un plazo de dos años? Recuerda que las tasa de interés y el tiempo debe de estar en el mismo periodo de conversión En el ejercicio se convierte cada 3 meses (periodo de conversión). Así que la n debe estar en trimestres y la i también n : ¿Cuántos trimestres hay en 2 año?= (Num. De años)*(Frecuencia de conversión)= 8 trimestres i: debe de estar trimestral = 10%/num.de trimestres al año = .10/4= .025 Solución ejercicio 1 Datos del problema: C=750,000 i= .10/4 S S n=8 3 1 754 000 1 8 S=? $ .10/4 $914 380.22 7 Ejercicio 2 2. Si se hace un deposito de $200’000 en un fondo de inversión que paga el 15% capitalizable semestralmente y a los dos años se cambia el tipo de inversión al 10% capitalizable mensualmente, ¿Cuál será el monto de la inversión en 2 años y medio? $200,000 15% anual capitalizable semestral 10% capitalizable mensual ¿Valor futuro? Solución ejercicio 2 8 2004 000 8 $2804 729.85 1 .= > , 1 .=+ => Ejercicio 3 3. El día de hoy se depositó $180’000 en una inversión que paga el 11% capitalizable trimestralmente, y 6 meses después se hace otro depósito por $100’000. Si la tasa de interés no varía, ¿Cuál será el valor de la inversión 12 meses después del último depósito? Ejercicio 3: Solución 1 Calcular el valor futuro de $180’000 a los seis meses y en ese punto se le suma los $100’000 del segundo deposito; a este total se le calcula el valor futuro por cuatro periodos. 8 8 1804 000 1 $3234 280.43 .== > , 1004 000 1 .== , , Ejercicio 3: Solución 2 Se calculan por separado los valores futuros de cada depósito, es decir, los $180’000 se llevan por seis periodos y los $100’000 se llevan por cuatro periodos, para que sus montos respectivos se sumen. 4 8 180 000 1 8 $3234 280.43 .== , 100′000 1 .== , , Inversiones bancarias 6% a inversión mensual 6% es el interés anual que es capitalizable mensualmente 4% a 7 días 4% es el interés anual capitalizable semanalmente 10% a 90 días El 10% es el interés anual capitalizable trimestralmente Para efectos prácticos… Una inversión a 28 días será considerada como inversión mensual La inversión a 7 días será una inversión semanal Una inversión a 90 días será una inversión trimestral Expresiones similares… La tasa de interés es del 12% anual capitalizable mensualmente sinónimos… 1% 12% Capitalizable mensualmente (nótese que puede omitirse el termino anual) 12% Con conversión mensual 12% Con capitalización mensual 12% Convertible mensualmente 12% A inversión mensual 12% A plazo mensual 12% A 30 días Expresiones que indican explícitamente el periodo de capitalización Mensual = 12 %anual capitalizable mensual Cuando no se especifica explícitamente el periodo de capitalización se entiende que se capitaliza en el periodo que esta la tasa Ejercicios Expresiones 1. El fondo de inversión “Horizonte Versátil” de Banamex está pagando por inversiones 7% a tres meses determine el valor de la inversión que se obtiene al invertir $80’000 en 15 meses. 2. En el banco Banfia, por cada $300’000 invertidos a inversión mensual, se obtiene un rendimiento de $2’100. ¿Qué tasa de interés a inversión mensual está pagando dicho banco? Solución: Ejercicio 1 La tasa del 7% es anual y se capitaliza cada tres meses. .+* , 8 804 000 1 8 $874 249.33 Solución: Ejercicio 2 A inversión mensual significa que la tasa de interés es anual capitalizable mensualmente, y el plazo se entiende que es un periodo de inversión, es decir, un mes. 4 302 100 300 000 1 +>@ =++ A ++@ +++ = 4 => 1 12 .084 8.4% C D C EF G H C F I Ejercicio 3 Por una inversión de 180 días (asúmase inversión semestral), aplicando una tasa de interés del 7.5% a plazo semestral, se obtiene un rendimiento de $15’000. Determine el capital mínimo que se necesita invertir para obtener el rendimiento indicado. Solución 8 3 3 154 000 $ J=C 1 3 1 154 000 3 1 .+* > 154 000 3 1 .+* > 3 3 = @ +++ .KLM⁄ N $4004 000 .+* > A3 A1 Tasas equivalentes En interés simple 6% semestral es lo mismo que el 12% anual En Interés compuesto ¿ 12% anual (que se capitaliza cada año) rinde lo mismo que 6% semestral (que se capitaliza cada semestre)? Se determinará si esto es cierto calculando el valor de una inversión de $10’000 con las tasas de interés indicadas en la lamina anterior y utilizando un año como punto de referencia o comparación Interés simple: Se calcula el valor futuro de la inversión con la tasa del 12% anual 104 000 1 104 000 1 114 200 .12 .06D2I 114 200 En interés simple 6% semestral es lo mismo que el 12% anual Se calcula el valor futuro de la inversión con la tasa del 6% semestral 104 000 1 104 000 1 .06 .12 > = 114 236 114 200 En interés compuesto no es lo mismo 12% capitalizable anual que 6% semestral capitalizable semestral Cuando el interés se capitaliza más de una vez en el año, a la tasa anual de interés se le denomina tasa nominal de interés y se simboliza con la letra j i j Cuando el interés se capitaliza sólo una vez en el año, a la tasa anual de interés se le denomina tasa efectiva de interés y se simboliza con la letra i Ejemplos 1. Tiene $100 para invertir. Determinar si la tasa del 15% capitalizable semestralmente es equivalente a la tasa del 16.25% efectiva. (Pista: si las tasas son equivalentes deben generar el mismo monto e interés en un año con la misma inversión) 2. Hallar la tasa efectiva i, que sea equivalente a la tasa nominal del 14% capitalizable trimestralmente. Pista (VF1=VF2, es decir S1=S2) Solución: ejemplo 1 Si las tasas son equivalentes, entonces deben generar el mismo interés en un año y por lo tanto el mismo monto. Sea $100 el capital invertido al 15% capitalizable semestralmente, entonces el monto es un año será: 8> 100 1 .= ⁄> > 115.56 Sea $100 el capital invertido al 16.25% efectivo, entonces el monto es un año será: 8> 100 1 .1625 116.25 Se ve claramente que 8= Q 8> , por lo tanto las tasas de interés dadas no son equivalentes Solución: ejemplo 2 Sea C el capital invertido a la tasa efectiva i, entonces el monto en un año será: 8= 3 1 Sea C el capital invertido a la tasa nominal del 14% capitalizable trimestralmente entonces el monto en un año será 8> 3 1 .=,⁄ , , Si ambas tasas son equivalentes debe suceder que 8= sustituyendo se tiene: 3 1 3 1 .=,⁄ , , 8> y y multiplicando por el factor =⁄R (=⁄R )3 1 D=⁄R I3 1 1 1 1 .=,⁄ , .1475 .=,⁄ , , .=,⁄ , , ,A1 14.75% Por lo tanto la tasa efectiva del 14.75% es equivalente a la tasa del 14% convertible trimestralmente Ejercicios 1. Hallar la tasa nominal j capitalizable mensualmente equivalente a la tasa efectiva del 14% Pista: 8= 3 1 S T=> => 8> 3 1 .14 2. Dada la tasa de interés del 15% capitalizable trimestralmente, hallar la tasa de interés nominal j capitalizable semestralmente equivalente Las tasas son equivalentes cuando generan el mismo interés y monto al terminar un año Solución: Ejercicio 1 8= 3 1 S 8> 3 1 .14 T=> => Si las tasas de interés son equivalentes debe suceder que 8= S T=> 3 1 S T=> 1 1 S T=> V => S UN T=> UN => 3 1 1 8> , así: .14 .14 1.14 1.14 A 1 .1317 V 13.17% La tasa de interés nominal del 13.17% encontrada es equivalente a la tasa efectiva del 14% Solución: Ejercicio 2 8= 8> .= 3 1 S > .= , 3 1 3 1 .= 1 V , 3 1 T> ⁄, ⁄, ⁄, , 1 S T> S T> 1 .= ⁄, , 1 S 1 .= ⁄, , A1 S .1528 V > > T> T> 15.28% La tasa de interés de 15.28% capitalizable semestralmente es equivalente a la tasa de interés de 15% capitalizable trimestralmente Formulas tasa equivalente y tasa efectiva Tasa efectiva V 1 $ A1 Tasa equivalentes V> = ( XN DD1 WU XU I$= ) -1 )nn2 n Ejercicio. Cálculo del monto con n fraccionario Se invierte $1’500 en un fondo que paga el 13% capitalizable trimestralmente, ¿Cuál será el monto de la inversión al término de 26 meses? Hay tres métodos para su cálculo... Cálculo del monto con n fraccionario Se calculará el monto o valor futuro a interés compuesto de una inversión cuando n es no entero. : 1 Método exacto : Calcular el monto con n tal y como se obtiene, es decir, n = (numero de años)(Fc) Solución: Método exacto E ú 2 > y 13% capitalizable trimestralmente 26 ñ >⁄ => 4 Fc > => ⁄ 8 1500 1 8 14 979.12 .= ⁄, Nh⁄ i 4 2 Método equivalente: consiste en hallar la tasa de interés mensual del periodo incompleto equivalente a la tasa de interés dada. 1er paso. Se calcula el monto a interés compuesto de los periodos completos 2do paso. Se calcula la tasa de interés mensual o la tasa anual capitalizable mensualmente que sea equivalente a la tasa de interés dada. 3er paso. Al valor obtenido en el paso 1 se le calcula el monto a interés compuesto con la tasa obtenida en el paso 2 utilizando los meses que faltan para completar el plazo Solución: Método equivalente Primero se calcula a interés compuesto para los períodos completos 8 1500 1 8 14 937.37 .= ⁄, 7 Ahora se calcula la tasa nominal capitalizable mensualmente que sea equivalente a la tasa de 13% capitalizable trimestralmente… T=> 1 1 V V => S S UN T=> UN 1 .= 1 .= .1286 , ⁄, 1 .= ⁄, ⁄, , A 1 12 V , 12.86% Ahora se calcula el monto por los meses faltantes del valor obtenido en el primer paso utilizando la tasa de interés obtenida en el segundo paso 8 14 937.37 1 8 14 979.12 .=>7 ⁄=> > 3 Método simple o aproximado: Usar el interés compuesto en los periodos enteros e interés simple durante el tiempo restante para completar el plazo. 1er paso. Se calcula el monto a interés compuesto de los periodos enteros o completos. 2do paso. Al valor obtenido se le calcula el monto a interés compuesto simple por el tiempo que falta para completar el plazo Consideraciones… El método exacto y el método equivalente llevan al mismo resultado. El método simple por lo general da un resultado un poco mayor. Cada vez que se maneje periodos fraccionarios, se utilizará el método exacto a menos que se especifique el tipo de método a usar. Solución: Método simple o aproximado Se aplica interés compuesto para los periodos completos 8 1500 1 8 14 937.37 .= ⁄, 7 Se aplica el interés simple por los meses restantes 8 14 937.37 1 8 14 979.35 .13 >⁄=> Cálculo de la tasa y el tiempo En el cálculo de la tasa de interés se despeja la variable buscada en la fórmula 8 3 1 V $ Los pasos a seguir son: plantear la ecuación y despejar la variable pedida. Ejercicio: ¿Qué tasa de interés j capitalizable semestralmente se necesita para acumular $5’000 si se invierte $3’500 durante tres años? Solución 5′000 4+++ 4 ++ 1 h +⁄ V D V .12249 h S T> 3′500 1 1 +⁄ S T> S T> A 1ID2I o V 12.25% Capitalizable semestralmente Ejercicios 1. ¿Cuál será la tasa de interés j capitalizable trimestralmente necesaria para obtener un rendimiento de $500 en una inversión de $6’000 en 2 años? 2. Cierta institución bancaria paga un rendimiento de $60 al mes por cada $10,000 depositados a inversión mensual. ¿Qué tasa de interés esta pagando? Solución Ejercicio 1 Ejercicio 2 8 3 1 $ 8 64 000 500 64 500 64 000 1 @ ++ @ +++ 1 + V V S T, 1 l 104 060 l + .0402 S T, 7 7 V V V S T, A 1 D4I V 4.02% 104 000 1 =+@ + + A =+@ +++ S T=> 1 D12I .072 7.2% 3 E F G H C F Calculo del tiempo (n) Calculo del tiempo (n) $ , se despeja En el cálculo de tiempo, dada la ecuación 8 3 1 la variable n para determinar el tiempo, el cual está expresada en periodos de tiempo. Para determinar el valor de n, hay que utilizar logaritmos, por lo que nos ayudaremos de las siguientes propiedades de los logaritmos m n o$ m n op m n q r m no m no m np m no Am np Ejercicio Una inversión hoy de $4’000 genera un rendimiento de $750 a la tasa del 30% convertible semestralmente. ¿En cuanto tiempo sucede esto? Determinar el tiempo en años y meses Solución 44 750 44 000 1 .30/2 $ Se pueden aplicar logaritmos a partir de este momento, pero es mas sencillo hacer los despejes necesarios hasta donde sea posible. ,@ * + ,@ +++ 1 .30/2 $ Aplicando logaritmos en ambos lados se tiene ,@ * + log @ , +++ log 1 .30/2 $ Aplicando las propiedades de los logaritmos: log ,@ * + , @ +++ log 1 .30/2 m n o$ m no Se despeja para dejar sola a la n y@ LMK vwx @ y KKK vwx =z. +/> 1.229 E 1.229 periodos* 6 meses 7.3775 F ∴ Se requieren 7.38 meses para que la inversión de $4’000 genere un rendimiento de $750 Valor presente Con interés compuesto Valor presente ¿cuál es el valor a fecha de hoy de una inversión u obligación cuyo monto o valor futuro se conoce? Ejercicios 1. ¿Cuánto se tendrá que invertir hoy a la tasa del 2.5% mensual si se desea reunir $1’500 dentro de 2 años? 2. Un salón de clase desea tener $25’000 dentro de 2.5 años para costear la graduación del grupo y decide aportar una cierta cantidad de dinero e invertirlo hoy al 18% capitalizable mensualmente. Si en el salón hay 40 estudiantes ¿Qué cantidad debe aportar cada uno? Solución: Ejercicio 1 }~~ . ~•} }~~ z.~•} •€ ••‚. ƒ •€ Solución: Ejercicio 2 254 000 3 3 1 .=7 => + > @ +++ .Ul iK UN =z 3 154 994.06 „ = @ ……,.+ ,+ 399.815 Valor presente con n fraccionario Se usa el método exacto (usar n tal y como se obtiene) Ejercicio: Un documento con vencimiento el día de hoy y por $2’300 al vencimiento , fue firmado hace 13 meses a la tasa del 14% capitalizable trimestralmente. ¿Cuál es el valor original de la deuda? Solución 1 = => = => D4I D4I = 24 300 3 3 3 1 > ++ Ui .Uy i =z y 14 981.46 .=, , Ui i Ecuaciones de valor La tarjeta de crédito es de uso cotidiano, sin embargo, en ocasiones puede causar sobreendeudamiento por parte del usuario. De tal manera que se ven en la necesidad de aplazar el pago o disminuir su valor (incrementando el numero de pagos), en ambos casos el monto de la deuda crece, haciendo una equivalencia entre la deuda original y el monto final de la tarjeta. Una ecuación de valor es la igualdad de dos conjuntos de deudas en una fecha determinada, la cual se le llama fecha focal o fecha de comparación. Ejercicio. Una persona adquiere un televisor a plazos cuyo precio de venta es de $1’900; el articulo se pagará mediante un enganche de $500, otro pago de $800 a los 6 meses y el saldo liquidarlo al termino del año. Si se carga un interés del 1.5% mensual en compras a crédito, ¿Cuál es el valor del saldo a pagar? Utilizar: A) Fecha focal: Fecha de hoy B) Fecha focal: Fecha del saldo Solución A Una vez que se conoce el punto de comparación, se iguala el primer conjunto de deudas u obligaciones con el segundo conjunto de deudas u obligaciones en la fecha indicada. 1900 500 1900 A 500 A 668.36 7++ =.+= h † =.+= UN 7++ =.+= h † =.+= UN † =.+= UN „ 668.36 ∗ 1.015 „ $799.11 => Solución B 1900 1.015 => „ 1900 1.015 „ 799.11 500 ∗ 1.015 => => A 500 1.015 => 800 ∗ 1.015 „ A 800 ∗ 1.015 Nótese que en ambos casos el valor resultante es el mismo, lo que confirma que en interés compuesto cualquier fecha focal que se utilice arrojará el mismo resultado En el ejemplo anterior vale la pena señalar que el Costo Anual Total (CAT, medida estandarizada del costo de financiamiento introducido por el Banco de México) de este crédito se reduce a calcular la tasa anual equivalente (tasa efectiva). D1 3oˆI 1.015 3oˆ .195618 3oˆ 19.56% => Ejercicios 1. Una deuda de $3’000 contratada el día de hoy, será saldada mediante 2 pagos de igual valor a los 3 y 6 meses, respectivamente. Si la tasa de interés cargada es del 2% mensual, ¿Cuál es el valor de los dos pagos? 2. Una herencia de $150’000 será repartida entre dos nietos, con la condición de que cada nieto recibirá su parte cuando cumpla la edad de 20 años y el nieto de más edad recibirá la mitad de lo que le corresponda al nieto de menos edad. En estos momentos, cada uno tiene la edad de 8 y 15 años, respectivamente. Si el dinero es invertido a la tasa del 8% anual, calcule la cantidad que recibirá cada uno. Solución: Ejercicio 1 Tomando la fecha de la deuda como fecha de comparación. 34 000 † † =.+> i =.+> h = =.+> i 34 000 „ 34 000 „ 1.8303 „ @ +++ =.7 + = =.+> h 14 639.08 Solución: Ejercicio 2 1504 000 U † N =.+7 M † =.+7 UN U N = 1504 000 „ 1504 000 „ 0.7374 „ = +@ +++ +.* *, =.+7 M =.+7 UN 2034 415.93 Nieto más chico: $203,415.93 Nieto más grande: $101’707.97 Referencias Guía practica de matemáticas financieras, José Domínguez Navarro.
