MODULO: NOMBRE: CURSO: PARALELO:

MODULO:
MATEMÁTICAS II
NOMBRE:
CURSO:
1er AÑO DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA
PARALELO:
“D”
SECCIÓN:
DIURNO
DOCENTE:
AÑO LECTIVO
2011 – 2012
TRIGONOMETRÍA
1. GEOMETRÍA
ANALÍTICA, rama de la geometría en la que las líneas rectas, las
curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y
numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se
puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del
punto a cada uno de los ejes.
EJEMPLO:
En la figura 1, el punto A está a 1 unidad del eje vertical (y) y a 4 unidades del horizontal
(x). Las coordenadas del punto A son por tanto 1 y 4, y el punto queda fijado dando las
expresiones x = 1, y = 4. Los valores positivos de x están situados a la derecha del eje y,
y los negativos a la izquierda; los valores positivos de y están por encima del eje x y los
negativos por debajo. Así, el punto B de la figura 1 tiene por coordenadas x = 5, y = 0. En
un espacio tridimensional, los puntos se pueden localizar de manera similar utilizando tres
ejes, el tercero de los cuales, normalmente llamado z, es perpendicular a los otros dos en
el punto de intersección, también llamado origen.
2. DELTA:
"Delta" es también la letra D en el alfabeto fonético OACI
Delta (Δ δ) En matemáticas es la variación de la variable.
d = √(∆𝑥)2 + (∆𝑦)2
d = √(𝑥2− 𝑥1 )2 + (𝑦2− 𝑦1 )2
∆x = 𝑥2 − 𝑥1
∆x = y − 𝑦1
3. RECTA:
En geometría, es un conjunto de puntos formando una línea infinita
que describe de forma idealizada la imagen real de un hilo tenso o de un rayo de
luz.
4. SEGMENTO RECTILÍNEO
o simplemente segmento, es la porción de recta
comprendida entre dos de sus puntos que se llaman extremos, o bien uno origen y
otro extremo. Los extremos de un segmento forman parte del mismo. Un segmento
de extremos A y B se designa AB, y su longitud.
5. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:
Cuando los puntos se encuentran
ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos
corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
EJEMPLO:
La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este
eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema
de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el
teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos A(2,5) y B (3,1)
𝑑 = √(3 − 2)2 + (1 − 5)2
𝑑 = √(1)2 + (−4)2
𝑑 = √17
𝑑 = 4,12
6. PERIMETRO:
El perímetro de una figura plana es igual a la suma de las
longitudes de sus lados.
PERÍMETRO DE UN TRIANGULO
Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno
ELEMENTOS DE LA ANALÍTICA
EJERCICIO EN CLASES N°1
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS
6
5
Y
P1
7
5
P2
1
-4
P3
-3
2
7, 5
4
3
-3, 2 2
1
y
0
-5
X
-1 0
5
10
-2
-3
-4
1, -4
-5
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝑫𝑷𝟏 𝑷𝟐 = √(1 − 7)2 + (−4 − 5)2
𝑫𝑷𝟐 𝑷𝟑 = √(−3 − 1)2 + (2 + 4)2
𝑫𝑷𝟏 𝑷𝟐 = √(−6)2 + (−9)2
𝑫𝑷𝟐 𝑷𝟑 = √(−4)2 + (+6)2
𝑫𝑷𝟏 𝑷𝟐 = √36 + 81
𝑫𝑷𝟐 𝑷𝟑 = √16 + 36
𝑫𝑷𝟏 𝑷𝟐 = √117
𝑫𝑷𝟏 𝑷𝟐 = 10,82
𝑫𝑷𝟐 𝑷𝟑 = √52
𝑫𝑷𝟐 𝑷𝟑 = 7,21
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝑫𝑷𝟑 𝑷𝟏 = √(−3 − 7)2 + (2 − 5)2
𝑫𝑷𝟑 𝑷𝟏 = √(10)2 + (+3)2
𝑫𝑷𝟑 𝑷𝟏 = √100 + 9
𝑫𝑷𝟑 𝑷𝟏 = √109
𝑫𝑷𝟑 𝑷𝟏 = 10,44
EJERCICIO EN CLASES N°2
X
Y
A
8
1
B
-5
-7
C
-3
-5
D
-1
4
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS
6
4 -1, 4
2
8, 1
0
-10
-5
0
5
10
Y
-2
-4
-3, -5
-6
-5, -7
-8
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝑫𝑨𝑩 = √(−5 − 8)2 + (−7 − 1)2
𝑫𝑩𝑪 = √(−3 + 5)2 + (−5 + 7)2
𝑫𝑨𝑩 = √(−13)2 + (−8)2
𝑫𝑩𝑪 = √(+2)2 + (+2)2
𝑫𝑨𝑩 = √169 + 64
𝑫𝑩𝑪 = √4 + 4
𝑫𝑨𝑩 = √233
𝑫𝑨𝑩 = 15,26
𝑫𝑩𝑪 = √8
𝑫𝑩𝑪 = 2,83
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝑫𝑪𝑫 = √(−1 + 3)2 + (+4 + 5)2
𝑫𝑪𝑨 = √(8 + 1)2 + (1 − 4)2
𝑫𝑪𝑫 = √(+2)2 + (−9)2
𝑫𝑪𝑨 = √(9)2 + (−3)2
𝑫𝑪𝑫 = √4 + 81
𝑫𝑪𝑨 = √81 + 9
𝑫𝑪𝑫 = √85
𝑫𝑪𝑫 = 9,22
𝑫𝑪𝑨 = √90
𝑫𝑪𝑨 = 9,49
𝑷 = 𝒅𝑨𝑩 + 𝒅𝑩𝑪 + 𝒅𝑪𝑫 + 𝒅𝑪𝑨
𝑷 = 15,26 + 2,83 + 9,22 + 9,49
𝑷 = 36,80
EJERCICIO EN CLASES N°3
X
Y
A
5
5
B
8
-6
8
C
-5
-5
-3, 66
D
-3
6
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS.
Si los vértices en una figura geométrica son los
5, 5
puntos:
4
2
0
-10
-5
-2
0
5
10
-4
-5, -5
-6
8, -6
-8
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝑫𝑨𝑩 = √(8 − 5)2 + (−6 − 5)2
𝑫𝑩𝑪 = √(−5 − 8)2 + (−5 + 6)2
𝑫𝑨𝑩 = √(3)2 + (11)2
𝑫𝑩𝑪 = √(−13)2 + (1)2
𝑫𝑨𝑩 = √9 + 121
𝑫𝑩𝑪 = √169 + 1
𝑫𝑨𝑩 = √130
𝑫𝑨𝑩 = 11,40
𝑫𝑩𝑪 = √170
𝑫𝑩𝑪 = 13,04
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝑫𝑪𝑫 = √(−3 + 5)2 + (6 + 5)2
𝑫𝑪𝑨 = √(5 + 3)2 + (5 − 6)2
𝑫𝑪𝑫 = √(2)2 + (11)2
𝑫𝑪𝑨 = √(8)2 + (1)2
𝑫𝑪𝑫 = √4 + 121
𝑫𝑪𝑨 = √64 + 1
𝑫𝑪𝑫 = √125
𝑫𝑪𝑫 = 11,18
𝑫𝑪𝑨 = √65
𝑫𝑪𝑨 = 8,06
𝑷 = 𝒅𝑨𝑩 + 𝒅𝑩𝑪 + 𝒅𝑪𝑫 + 𝒅𝑪𝑨
𝑷 = 11,40 + 13,04 + 11,18 + 8,06
𝑷 = 43,68
EJERCICIO EN CLASES N°4
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS.
Determine el perímetro de la figura geométrica cuyos vértices son:
4
X
Y
-1, 3
-10
2
P
4
-8
0
Q
-1
3
R
-9
-5
-5
0
5
-2
-4
-9, -5
-6
-8
4, -8
-10
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝑫𝑷𝑸 = √(−1 − 4)2 + (3 + 8)2
𝑫𝑸𝑹 = √(−9 + 1)2 + (−5 − 3)2
𝑫𝑷𝑸 = √(−5)2 + (11)2
𝑫𝑸𝑹 = √(−8)2 + (−8)2
𝑫𝑷𝑸 = √25 + 121
𝑫𝑸𝑹 = √64 + 64
𝑫𝑷𝑸 = √146
𝑫𝑷𝑸 = 12,08
𝑫𝑸𝑹 = √128
𝑫𝑸𝑹 = 11,31
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝑫𝑹𝑷 = √(4 + 9)2 + (−5 + 8)2
𝑫𝑹𝑷 = √(13)2 + (3)2
𝑫𝑹𝑷 = √169 + 9
𝑫𝑹𝑷 = √178
𝑫𝑹𝑷 = 13,34
𝑷 = 𝒅𝑷𝑸 + 𝒅𝑸𝑹 + 𝒅𝑹𝑷
𝑷 = 12,08 + 11,31 + 13,34
𝑷 = 36,73
PUNTO MEDIO
Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se encuentra a la
misma distancia de cualquiera de los extremos.
Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en
dos partes iguales.
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de las
coordenadas de de los puntos extremos.
PENDIENTE DE UNA RECTA
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la
dirección positiva del eje de abscisas.
Se denota con la letra m.
CÁLCULO DE LA PENDIENTE
Pendiente dados dos puntos
Pendiente dada la ecuación de la recta.
Ejemplos:
La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:
La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la división por
0 no está definida.
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje de
abscisas es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer
el ángulo.
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje
de abscisas es obtuso, la pendiente es negativa y decrece
al crecer el ángulo.
ÁNGULO DE DOS RECTAS
El ángulo que forman dos rectas igual al ángulo agudo determinado por los
vectores directores de las rectas.
𝑡𝑔 =
𝑚2 − 𝑚1
1 + (𝑚2 )(𝑚1 )
PUNTO MEDIO
EJERCICIO EN CLASES N°5
Dado los vértices del triángulo determine el Punto Medio de cada uno de
sus lados.
A
B
C
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝑫𝑨𝑩 = √(7 + 2)2 + (8 − 1)2
𝑫𝑨𝑩 = √(9)2 + (7)2
𝑫𝑨𝑩 = √81 + 49
𝑫𝑨𝑩 = √130
𝑫𝑨𝑩 = 11,40
PUNTO MEDIO
𝒙=
𝒚=
𝑋1 + 𝑋2 −2 + 7 5
=
= = 2,5
2
2
2
𝑌1 + 𝑌2 1 + 8 9
=
= = 4,5
2
2
2
(2,5 ; 4,5)
X
-2
7
6
Y
1
8
-5
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝑫𝑩𝑪 = √(6 − 7)2 + (8 + 5)2
𝑫𝑩𝑪 = √(−1)2 + (13)2
𝑫𝑩𝑪 = √1 + 169
𝑫𝑩𝑪 = √170
𝑫𝑩𝑪 = 13,07
PUNTO MEDIO
𝒙=
𝒚=
𝑋1 + 𝑋2 7 + 6 13
=
=
= 6,5
2
2
2
𝑌1 + 𝑌2 8 − 5 3
=
= = 1,5
2
2
2
(6,5 ; 1,5)
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝑫𝑪𝑨 = √(−2 + 6)2 + (1 + 5)2
𝑫𝑪𝑨 = √(4)2 + (6)2
𝑫𝑪𝑨 = √16 + 36
𝑫𝑪𝑨 = √52
𝑫𝑪𝑨 = 7,21
PUNTO MEDIO
𝒙=
𝒚=
𝑋1 + 𝑋2 6 − 2 4
=
= =2
2
2
2
𝑌1 + 𝑌2 −5 + 1 −4
=
=
= −2
2
2
2
(6,5 ; 1,5)
EJERCICIO EN CLASES N°5
Determinar el Perímetro de la figura geométrica que resulta de unir los
Puntos Medios consecutivos del cuadrilátero de cuyos vértices son:
y
QR
𝑋1 + 𝑋2 6 − 7 −1
𝒙=
=
=
= −0,5
2
2
2
𝑌1 + 𝑌2 −5 − 3 −8
𝒚=
=
=
=4
2
2
2
𝑦(−0,5 ; 4)
8
7
Q
6
-5
R
-7
-3
S
-4
5
RS
PQ
𝑋1 + 𝑋2 8 + 6 14
𝒙=
=
=
=7
2
2
2
𝑌1 + 𝑌2 7 − 5 2
𝒚=
=
= =1
2
2
2
𝑤(7 ; 1)
P
𝑋1 + 𝑋2 −7 − 4 −11
=
=
2
2
2
= −5,5
𝑌1 + 𝑌2 −3 + 5 2
𝒚=
=
= =1
2
2
2
𝑥(−5,5 ; 1)
𝒙=
SP
𝑋1 + 𝑋2 −4 + 8 4
=
= =2
2
2
2
𝑌1 + 𝑌2 5 + 7 12
𝒚=
=
=
=6
2
2
2
z(2; 6)
𝒙=
wx
yz
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝑫𝒘𝒙 = √(−0,5 − 7)2 + (−4 − 1)2
𝑫𝒚𝒛 = √(2 + 5,5)2 + (6 − 1)2
𝑫𝒘𝒙 = √(−7,5)2 + (−5)2
𝑫𝒚𝒛 = √(7,5)2 + (5)2
𝑫𝒘𝒙 = √56,25 + 25
𝑫𝒚𝒛 = √56,25 + 25
𝑫𝒘𝒙 = √81,25
𝑫𝒘𝒙 = 9,01
𝑫𝒚𝒛 = √81,25
𝑫𝒚𝒛 = 9,01
xy
zw
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝒅 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2
𝑫𝒙𝒚 = √(−5,5 + 0,5)2 + (1 + 4)2
𝑫𝒘𝒙 = √(7 − 2)2 + (1 − 6)2
𝑫𝒙𝒚 = √(−5)2 + (5)2
𝑫𝒘𝒙 = √(5)2 + (−5)2
𝑫𝒙𝒚 = √25 + 25
𝑫𝒘𝒙 = √25 + 25
𝑫𝒙𝒚 = √50
𝑫𝒙𝒚 = 7,07
𝑫𝒘𝒙 = √50
𝑫𝒘𝒙 = 7,07
𝑷 = 𝒅𝒘𝒙 + 𝒅𝒙𝒚 + 𝒅𝒚𝒛 + 𝒅𝒛𝒘
𝑷 = 9,01 + 7,07 + 9,01 + 7,07
𝑷 = 32,16
PENDIENTE
EJERCICIO EN CLASES N°6
DETERMINE LA PENDIENTE DEL SEGMENTO SUS EXTREMOS SON:
P (4, 1) PENDIENTE POSITIVA
Q (7, 4)
𝑌2 − 𝑌1
𝑋2 − 𝑋1
4−1
𝑚=
7−4
3
𝑚=
3
𝑚=1
⊀= 𝑡𝑎𝑛−1 1
⊀= 45°
𝑚=
EJERCICIO EN CLASES N°7
DETERMINE LA PENDIENTE DEL SEGMENTO SUS EXTREMOS SON:
A (3, 10)PENDIENTE NEGATIVA
B (6, 2)
𝑌2 − 𝑌1
𝑋2 − 𝑋1
2 − 10
𝑚=
6−3
−8
𝑚=
3
𝑚 = 2,67
⊀= 𝑡𝑎𝑛−1 𝑚
⊀= −69,47 + 180
⊀= 110,53°
𝑚=
EJERCICIO N° 8
ANGULO ENTRE 2 RECTAS
X
8
6
-4
-6
A
B
C
D
Y
5
-7
-3
7
8
-6, 7
6
8, 5
4
2
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2
-4, -3
-4
-6
6, -7
-8
AB
(8,5) (6,-7)
10
𝑌2 − 𝑌1
𝑋2 − 𝑋1
−7 − 10
𝑚=
6−8
−12
𝑚=
2
𝑚=6
𝑌2 − 𝑌1
𝑋2 − 𝑋1
−3 + 7
𝑚=
−4 − 6
4
𝑚=
−10
𝑚 = −0,4
𝑚=
𝑚=
BC
(6,-7) (-4,-3)
CD
(-4,-3) (-6,7)
𝑌2 − 𝑌1
𝑋2 − 𝑋1
7+3
𝑚=
−6 + 4
10
𝑚=
−2
𝑚 = −5
𝑚=
𝑌2 − 𝑌1
𝑋2 − 𝑋1
5−7
𝑚=
8+6
−2
𝑚=
14
𝑚 = −0,142
𝑚=
DA
(-6,7) (8,5)
A
𝑚2 − 𝑚1
𝑡𝑔 𝐴 =
1 + (𝑚2 )(𝑚1 )
6 + 0,14
𝑡𝑔 𝐴 =
1 + (6)(−0,14)
6,14
𝑡𝑔 𝐴 =
0,16
𝑡𝑔 𝐴 = 38,38
𝐴 = 𝑡𝑔−1 38,38
C
𝑚2 − 𝑚1
𝑡𝑔 𝐶 =
1 + (𝑚2 )(𝑚1 )
−5 − 0,4
𝑡𝑔 𝐶 =
1 + (−5)(−0,4)
−4,6
𝑡𝑔 𝐶 =
3
𝑡𝑔 𝐶 = −1,53
𝐶 = 𝑡𝑔−1 − 1,53
𝐴 = 88,51°
𝐶 = −56,83° + 180
𝐶 = 123,11°
B
𝑚2 − 𝑚1
1 + (𝑚2 )(𝑚1 )
−0,14 − 6
𝑡𝑔 𝐵 =
1 + (−0,4)(6)
−6,4
𝑡𝑔 𝐵 =
−1,4
𝑡𝑔 𝐵 = 4,57
𝐵 = 𝑡𝑔−1 4,57
𝑡𝑔 𝐵 =
𝐵 = 77,66°
D
𝑚2 − 𝑚1
𝑡𝑔 𝐷 =
1 + (𝑚2 )(𝑚1 )
−0,14 + 5
𝑡𝑔 𝐷 =
1 + (−0,14)(−5)
−4,86
𝑡𝑔 𝐷 =
1,7
𝑡𝑔 𝐷 = 2,86
𝐷 = 𝑡𝑔−1 2,86
𝐷 = 70,72
PARALELISMO:
m1=m2
Dos líneas son paralelas si siempre están a la misma distancia (se llaman
"equidistantes"), y no se van a encontrar nunca.
Características

Dos rectas son paralelas cuando nunca se unen en ninguna parte por lo tanto deben
tener la misma inclinación.
De igual forma si sus pendiente son iguales y sus ángulos.
Una recta va a hacer paralela cuando sean signos negativos (−)


PERPENDICULARIDAD:
m2=1/m1
En geometría, la perpendicular de una línea o plano, es la
que forma ángulo recto con la dada.
La relación de perpendicularidad se puede dar entre:
Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando,
al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada
una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección
de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de
ellas en la otra.
Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando
conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de
origen.
Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de
90º.
Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de
90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.
Características




Dos rectas son perpendiculares cuando al interceptarse forman un Angulo de 90
grados.
Intersección: es cuando se cortan dos rectas.
Intercepción: Cuando solo se tocan.
Una recta va a hacer perpendicular cuando sean signos diferentes (−,+)