Almacenamiento de desperdicios atómicos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE
MÉXICO
FACULTAD DE CIENCIAS
Un Problema de Almacenamiento de Desperdicios
Atómicos modelado con Ecuaciones Diferenciales
EQUIPO
Oscar Mendez Anaya
Agustin Barrera Galicia
Nicolás Hernández Trinidad
PROFESOR
José Luis Navarro Urrutia
AYUDANTE
Santiago Lara Jiménez
ASIGNATURA
Ecuaciones Diferenciales
10 de junio de 2022
Los Desperdicios Atómicos
el cuerpo, o indirectamente, como es el caso
de la fuerza de gravedad de la Tierra.
Durante varios años, la
Comisión de Energı́a
Atómica (AEC) (conocida ahora como la Comisión Reguladora de la
Energı́a Nuclear de Estados Unidos asumió el
control del concentrado
Figura 1: Logotipo
de material radiactivo de de la Nuclear Regudesperdicio colocándolo lation Comission
en recipientes herméticamente sellados, los cuales son depositados en
el mar a 50 brazas (300 ft o 90 m) de profundidad. Al ser cuestionado este procedimiento
por un grupo de ecologistas y cientı́ficos, la
AEC aseguró que en estos recipientes nunca
se presentarı́an fugas. Pruebas exhaustivas
demostraron que la AEC tenı́a razón.
La segunda ley de Newton describe el movimiento de un objeto sobre el que actúan varias
fuerzas. Denótese por y(t) la posición del centro de gravedad de un objeto (Se supone que
el cuerpo se mueve solamente en una dirección). Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
y que tienden a incrementar y se consideran
positivas, mientras que las que tienden a disminuir y se consideran negativas. La fuerza resultante F que actúa sobre un objeto se define
como la suma de todas las fuerzas positivas
menos la suma de todas las fuerzas negativas.
La segunda leydel movimiento establece que
2
la aceleración ddt2y de un objeto es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre
él es decir:
1
d2 y
= F
2
dt
m
Sin embargo, algunos ingenieros se preguntaron entonces si los recipientes se romperı́an al
sufrir el impacto contra el fondo marino. La
AEC respondió que no sucederı́a nunca tal cosa y los ingenieros trataron de investigar más
en detalle. Después de realizar numerosos experimentos, encontraron que los recipientes se
podrı́an romper si su velocidad en el momento del choque fuera de 40 f t/s (o 12m/s). El
problema consiste, por lo tanto, en calcular
la velocidad de los recipientes en el instante
que chocan contra el fondo del mar. Con este
propósito es necesario revisar brevemente algunos conceptos de la mecánica newtoniana.
La constante m es la masa del objeto. Se relaciona con el peso del mismo por medio de la
expresión W = mg, donde g es la aceleración
de la gravedad. A menos que se indique lo contrario, se supone que el peso de un objeto y
la aceleración de la gravedad son constantes.
Se utilizará aquı́ el sistema inglés de unidades, de tal forma que t se mide en segundos
(s), y en pies (f t), y F en libras (lb). La unidad de m es entonces el slug de geolibra y la
aceleración gravitacional g es igual a 32,2 sf2t .
Al descender un recipiente o envase hermético
en el agua son 3 las fuerzas que actúan sobre
él, las cuales sean: W , B y D que representan
La mecánica newtoniana es el estudio de las respectivamente:
famosas leyes del movimiento de Newton y sus
consecuencias. La primera ley del movimien- W : El peso del recipiente que lo hace caer (o
to establece que un cuerpo permanecerá en
moverse hacia abajo), su magnitud es:
reposo o en movimiento con velocidad constante si ninguna fuerza actúa sobre él. Una
W = 527,436lb
fuerza puede considerarse como de atracción
o repulsión. La acción puede ser ejercida di- B: La fuerza hidrostática de empuje del agua
que actúa sobre el recipiente (esta acción
rectamente por algo que esté en contacto con
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tiende a mover el recipiente hacia arriba y
su magnitud que es el peso del agua
desplazada por el volumen del contenedor).
Ahora bien la comisión de energı́a atómica
usó recipientes de 55 galones cuyo volumen
es de 7,35f t3 . El peso de un pie cúbico de
agua salada es de 63,99lb. Ası́ pues:
dV
cg
g
+ V =
(W − B)
dt
W
W
V (0) = 0
Y de ahı́ se deduce que:
B = (63,99)(7,35) = 470,327lb
D: Es la fuerza de resistencia hidrodinámica
que actúa sobre el recipiente, y se opone a su
movimiento a través del agua. Los
experimentos han indicado que todo fluido,
como por ejemplo: agua, aceite y aire, se
opone al movimiento de un objeto a través
de él. Esta fuerza de resistencia actúa en
dirección opuesta al movimiento y por lo
común es directamente proporcional a la
velocidad V del cuerpo. De modo que,
D = cV , para una constante positiva c.
Nótese que la fuerza de resistencia del agua
aumenta si V lo hace y disminuye si V se
reduce. Para calcular D los ingenieros
realizar muchos experimentos del remolque.
Concluyeron que la orientación del
recipiente tiene poco efecto sobre dicha
fuerza de resistencia y que:
D = 0,08V
Al inicio, cuando se suelta el contenedor en la
superficie del mar, su velocidad es cero. Ası́
pues, la velocidad del recipiente V (t) satisface el siguiente problema de valor inicial:
(lb)(s)
ft
Ahora bien, al tomar y = 0 al nivel del mar
y considerar positiva la dirección hacia abajo
se tiene que W es una fuerza positiva, y que
tanto B como D son fuerzas negativas. Por lo
tanto de la ecuación anterior se obtiene que:
d2 y
1
g
= (W − B − cV ) =
(W − B − cV )
2
dt
m
W
V (t) =
W −B
[1 − e(−cg/W )t ]
c
La última ecuación expresa la velocidad del
recipiente como una función del tiempo. Para calcular la velocidad de impacto del envase
es necesario calcular el tiempo t en el cual el
recipiente toca el fondo del océano. Sin embargo, desafortunadamente, es imposible evaluar t explı́citamente como una función de y.
Por lo tanto, no puede usarse para determinar
la velocidad del recipiente en el momento del
impacto. No obstante, la AEC usó esta ecuación para demostrar que los recipientes no se
destruyen con el golpe. De hecho, se observa
que V (t) es una función monótona creciente
del tiempo, y que tiende al valor lı́mite:
VT =
W −B
c
Cuando t tiende a infinito. La cantidad VT se
conoce como velocidad terminal del recipiente. Claramente, V (t) ≤ VT , de modo que la
velocidad de impacto del recipiente con el fondo del mar es con seguridad menor que WC−B .
Ahora bien, si esta velocidad terminal fuera
menor que 40 f t/s, entonces los recipientes
no se romperı́an con el golpe. Sin embargo, se
tiene que:
W −B
527,436 − 470,327
=
= 713,86f t/s
Esta expresión puede escribirse como una
c
0,08
ecuación diferencial lineal de primer orden en:
V = dy
, es decir:
dt
El cual es un valor sumamente grande. Por
lo cual, ahora la única manera de dimitir las
dV
cg
g
+ V =
(W − B)
diferencias entre la AEC y los ingenieros es
dt
W
W
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calcular V (y), la velocidad del recipiente co- Ya se tenı́a que v < (W − B)/c; por lo tanto
mo función de la posición. La función V (y) W − B − cv siempre es positivo y además
es muy diferente la función V (t), la velocidad
gy
v (W − B) W − B − cv
del contenedor como función del tiempo. Sin
=− −
ln
W
c
c2
W −B
embargo, si se expresa y como función de t,
ambas funciones están relacionadas por la siEn este punto parecerı́a no haber solución el
guiente ecuación
problema, pues no es posible expresar a v coV (t) = v(y(t))
mo una función explı́cita de y a partir de la
ecuación anterior. Sin embargo, esta dificulY aplicando la regla de la cadena para la di- tada aparentemente insalvable tiene solución.
ferenciación, dV /dt = (dv/dy)(dy/dt), se ob- Pero podemos evaluar v(300) a partir de la
tiene que
ecuación, haciendo uso de una computadora
digital. Solamente se requiere suministrar a la
W dv dy
·
·
= W − B − cV
máquina una buena aproximación v(300), lo
g dy dt
cual se hace de la siguiente manera. La velocidad v(y) del recipiente satisface el siguiente
Pero dy/dt = V (t) = v(y(t)). Ası́ pues, eliproblema de valor inicial:
minando la dependencia de y em t se ve que
v(y) satisface la siguiente ecuación diferencial
W dv
v
= W − B − cv
v(0) = 0
de primer orden:
g dy
W dv
v
= W − B − cv,
g dy
dv
g
v
·
=
W − B − cv dy
W
Considerando por un momento c = 0 en la
ecuación anterior se obtiene un nuevo problema de valor inicial
W du
u
=W −B
g dy
Más aún
v(0) = v(y(0)) = V (0) = 0
Por lo tanto
Z v
0
rdr
=
W − B − cr
Z
0
y
W u2
·
= (W − B)y
g 2
o
Z
0
v
(v si el reemplazó por u para evitar confusiones). Es posible integrar la ecuación anterior
con u directamente para obtener que:
g
gy
ds =
W
W
Ahora bien,
v
rdr
= ...
W − B − cr
2g
u(y) =
(W − B)y
W
=
1/2
En particular,
r−(W −B)
c
Z
W −B v
dr
... =
+
c
0 W − B − cr
0 W − B − cr
Z v
Z v
1
W −B
dr
dr +
=−
c 0
c
0 W − B − cr
Z
u(0) = 0
v (W − B) |W − B − Cv|
−
ln
c
c2
W −B
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1/2
2g
u(300) =
(W − B)300
W
1/2
2(32,2)(57,109)(300)
=
527,436
√
= 2092 ∼ 45,7 f t/s
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La afirmación ahora es que u(300) es una buena aproximación de v(300). La demostración
es como sigue: Primero obsérvese que la velocidad del recipiente siempre es mayor si no
existe la fuerza de resistencia que se opone al
movimiento. Por lo tanto,
fuerza de resistencia si el medio no es agua.
Por ejemplo, denótese por V (t) la velocidad
de un paracaidista que desciende hacia la tierra bajo la influencia de la gravedad. Entonces
se tiene que:
v(300) < u(300)
W dV
·
=W −D
g dt
Segundo, la velocidad v aumenta si y lo hace,
de modo que v(y) ≤ v(300) para y ≤ 300.
Por lo tanto,la fuerza D de resistencia del
agua que actúa sobre el recipiente es siempre menor que 0,08 × u(300) ∼
= 3,7lb. Ahora
bien, la fuerza resultante W − B que atrae el
recipiente hacia abajo es de aproximadamente 57,1lb, la cual es muy grande comparada
con D. Por lo cual, es razonable que u(y) sea
una buena aproximación de v(y). Y de hecho ası́ es, ya que numéricamente se ve que
v(300) = 45,1f t/s. Ası́ pues, los recipientes
pueden dañarse con el impacto y los ingenieros tenı́an razón
donde W es el peso de la persona y del paracaı́das, y D la fuerza de resistencia que ejerce
la atmósfera sobre el paracaidista en descenso. La fuerza de resistencia de un objeto en
el aire o en cualquier fluido de viscosidad baja es usualmente casi proporcional a V 2 . La
proporcionalidad estricta con V es más bien
el caso excepcional y ocurre sólo a velocidades muy bajas. El criterio para aplicar la ley
cuadrática o la lineal es el ”número del Reynolds”:
ρV L
R=
µ
Observación El método presentado en esta
sección puede servir para calcular la velocidad
de cualquier objeto que se mueve a través de
un medio fluido que se opone a su movimiento. Simplemente se hace por caso omiso de la
L es la dimensión de la longitud representativa del objeto; ρ y µ son la densidad y
la viscosidad del lı́quido, respectivamente. Si
R < 10 entoncesD ∼ V , y si R > 103 entonces D ∼ V 2 . Para 10 < R < 103 ninguna de
las leyes es exacta.
Bibliografı́a
M. Braun (1990).ECUACIONES DIFERENCIALES y sus aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica,
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