CLASE4 -5 Elo Digital - Boole , universal nand nor y funciòn canònica

www.senati.edu.pe
ELECTRÓNICA DIGITAL
Instructor: Jhonny Willy De La Zota Vila
www.senati.edu.pe
Objetivo:
Con la explicación y demostración
realizadas por el facilitador, los
estudiantes serán capaces de analizar
y verificar los postulados y teoremas
del algebra de Boole con precisión y
sin error.
Motivación:
https://youtu.be/wUR716aXUak
ALGEBRA DE BOOLE
CONTENIDO
ALGEBRA DE BOOLE
• Postulados del algebra de Boole.
• Teoremas del algebra de Boole.
• Ejercicios.
• Primer teorema de Morgan
• Segundo teorema de Morgan.
• Usando el teorema de Morgan, representar una
función sólo con compuertas NAND y NOR.
Algebra de Boole
Complementario
Postulados de Algebra de Boole
Conmutativa
0+ 1 = 1
B
1.0=0
F
A
Asociativa
F
A
B
Elemento neutro
0.1 = 0
1 .1 = 1
Distributivas
Teoremas de algebra de Boole
1 +1.0 =1
Teorema 1 (Idempotencia):
x+x = x
x.x = x
1+1=1
x+xy= x
x(x+y) = x
1.1 = 1
Teorema 2 (Elemento nulo):
x+1 = 1
x.0 = 0
Teorema 3 (Absorción):
0+1 = 1
1+1 =1
1.0 = 0
0.0 = 0
0 +0.0 =0
1(1+0)=1
0(0+0) = 0
Teorema 4 (Involución):
1
Teorema 6 (Teorema DeMorgan):
Teorema:
Teorema:
a)a  b + a  b = a
b)(a + b)  (a + b ) = a
• Primer teorema de Morgan
x
x
y
y
• Segundo teorema de Morgan
x
y
x
y
Simplificación de funciones
Mediante la aplicación de los teoremas.
Para simplificar una expresión algebraica se pueden aplicar los teoremas booleanos
vistos con anterioridad.
Simplificar:
Universalidad de las
compuertas NAND
Representar
una función
solos con
compuertas
NAND y
NOR.
Homogeneización de una función con puertas NAND
A menudo es más sencillo y económico a la hora de realizar un circuito emplear sólo
un tipo de puerta lógica. En varias familias lógicas las puertas NAND son las más
simples, por lo que resulta útil poder construir circuitos usando sólo éstas.
En primer lugar hay que negar dos veces toda la expresión:
Y aplicar el 1º teorema de DeMorgan:
Homogeneización de una expresión con puertas NOR
Se niega dos veces toda la función:
_______________________
Se aplica el 2º teorema de DeMorgan:
En cambio si quiero homogeneizar con compuertas NAND partiendo de:
Se niega dos veces cada elemento del producto y dos veces toda la expresión:
Se aplica el 1º teorema de DeMorgan:
En cambio si quiero homogeneizar con compuertas NOR partiendo de:
Se niega dos veces cada sumando y dos veces toda la función:
Se aplica el 2º teorema de DeMorgan:
• Usando el teorema de Morgan. Representar una función
solos con compuertas NAND y NOR.
Aplicando el segundo teorema de Morgan
B
C
C
F
Aplicando el primer teorema de Morgan
X+0 = X
0
X
A
F
X’
Tarea Nº 5
Objetivo:
Con la explicación y demostración
realizadas por el facilitador, los
estudiantes serán capaces de
representar y verificar funciones en
forma canónica mediante tablas de
verdad con precisión y sin error.
FUNCIONES CANÓNICAS
FUNCIONES CANÓNICAS
• Funciones canónicas
• Suma de productos
• Producto de sumas
• Conversiones
• Minimización de funciones canónicas
• Obtener la tabla de verdad de una función
canónica y minimizarla
• Funciones canónicas
Se llama termino canónico de una función lógica a todo producto o
suma en el cual aparecen todas las variables de las que dependen,
ya sea en forma directa o complementada.
Hay dos formas canónicas y reciben el nombre de primera y
segunda forma canónica. La primera forma es una suma de
productos canónicos (SOP - Mintèrmino) mientras que la segunda es
un producto de sumas canónicas(POS-Maxtérmino).
Representación de una función
Formas Canónicas:
Son formas SOP y POS con características especiales. Existe una única
forma canónica para cada función de conmutación.
– Mintérmino: Es un término producto (and) para una función de n variables, en
donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar.
• Ejm:
f (a, b, c)
m = a  b  c, a  b  c, a  b  c
– Maxtérmino: Es un término suma (or) para una función de n variables, en donde
cada una aparece bien sea complementada o sin complementar.
• Ejm:
f (a, b, c)
M = (a + b + c), (a + b + c )
Primera forma canónica
Está formada por una suma de productos canónicos, esto es, productos
que contienen las variables de la función en su forma "normal" o
complementada.
Ejemplo:
Dada una función F= F(x,y,z), el termino x y z es un producto
canónico.
Formas Canónicas SOP
f (a, b, c) = a  b  c + a  b  c + a  b  c
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c
0
1
0
1
0
1
0
1
f
1
0
0
0
0
1
0
1
a b c
Relación con la tabla de verdad:
Cada mintérmino esta asociado
con la línea de la tabla, tal que:
a b c
a bc
• Las variables que tienen 1 no
están complementadas
• Las variable que tienen 0
aparecen complementadas
Segunda forma canónica
Esta formada por un producto de sumas canónicas, esto es, sumas que
contienen todas las variables de entrada de la función, ya sea en su forma
natural o complementada.
Ejemplo:
Dada una función F= F(x,y,z), el termino x + y + z es una suma canónica.
Formas Canónicas POS
f (a, b, c) = (a + b + c)  (a + b + c )  (a + b + c)
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c
0
1
0
1
0
1
0
1
f
0
1
1
0
1
1
0
1
a+b+c
Relación con la tabla de verdad:
Cada maxtérmino esta asociado
con la línea de la tabla, tal que:
a+b +c
a +b +c
• Las variables que tienen 0 no
están complementadas
• Las variable que tienen 1
aparecen complementadas
Mintérminos y Maxtérminos
X
Y
Z
0
0
0
0
1
0
0
1
2
0
1
0
3
0
1
1
4
5
1
0
0
1
0
1
6
1
1
0
7
1
1
1
Mintérminos
Maxtérminos
A B C F
0
0 0 0 0
1
0 0 1 1
2
0 1 0 0
3
0 1 1 0
4
5
1 0 0 1
6
1 1 0 1
7
1 1 1 1
1 0 1 1
A B C F
0
0 0 0 0
1
2
0 0 1 1
3
0 1 1 1
4
1 0 0 0
5
1 0 1 0
6
7
1 1 0 1
0 1 0 0
1 1 1 1
Propiedad
La primera forma canónica se representa en la segunda forma
canónica complementando el número de sus términos.
Ejemplo:
F(A, B, C)=
=
F(x, y, z) =
=
mi = M i
M i = mi
f (a, b, c) =  m(2,3,6,7) =  M (0,1,4,5)
Ejercicios
1) Dada la tabla su función en primera forma canónica es :
A
B
F
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
F(A,B)=∑(0,2,3)
2) Dado la siguiente tabla, representar en su primera y segunda forma canónica
Primera forma canónica:
N°
X
Y
F
0
0
0
0
1
0
1
1
2
1
0
1
3
1
1
0
F(X,Y) =∑ (1, 2)
F(X,Y)= X.Y + X.Y
Segunda forma canónica:
F(X,Y) =∏ (0, 3)
F(X,Y)= (X + Y)(X + Y)
3) Dada la tabla su función en la segunda forma canónica es:
N° A
B
C
F
F(A, B, C)= ∏ (0, 2, 3, 4,6)
0
0
0
0
0
F(A,B,C) =(A +B + C) (A + B + C)(A +B +C)(A + B +C)(A + B + C)
1
0
0
1
1
2
0
1
0
0
3
0
1
1
0
4
1
0
0
0
5
1
0
1
1
6
1
1
0
0
7
1
1
1
1
4) Representar en su primera y segunda forma canónica
N° A
B
C
F
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
0
1
0
0
3
0
1
1
1
4
1
0
0
1
5
1
0
1
0
6
1
1
0
1
7
1
1
1
0
Primera forma canónica:
F(A,B,C) =∑(1, 3, 4, 6)
F(A,B,C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
Segunda forma canónica:
F(A,B,C) =∏(0, 2, 5, 7)
F(A,B,C) = (A +B +C)(A+B+C )(A+B+C )( A+B+C)
5) La siguiente función en su primera forma canónica será:
F = AB + AC
F = AB(C + C) + AC(B + B)
F = ABC + ABC + ABC +A BC
F = ABC + ABC +A BC
F= ∑(5,6,7)
6) Indique la función F de la siguiente circuito de compuertas
NOR
F = A +B + A + C + B + C
F = A +B + A + C + B + C
0
F
F = A.B + A. C + B.C
7) Indique la función F de la siguiente circuito de compuertas NAND
A
A
A
B
F = A.B . A.C . A.B
F
4) La siguiente función en su primera forma canónica será:
F = AB + C
X+ X=X
F = AB.1 + C