E D soluciones en series de potencias

Ecuaciones Diferenciales
Jhovanny Muñoz Posso
Departamento de Matemáticas
Universidad del Valle
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Series de potencias
Recordemos que una serie de potencias en x − a es una serie infinita de
la forma
∞
X
cn (x − a)n .
(1)
n=k
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Series de potencias
Recordemos que una serie de potencias en x − a es una serie infinita de
la forma
∞
X
cn (x − a)n .
(1)
n=k
También, se dice que esa serie es una serie de potencias centrada en a.
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Series de potencias
Recordemos que una serie de potencias en x − a es una serie infinita de
la forma
∞
X
cn (x − a)n .
(1)
n=k
También, se dice que esa serie es una serie de potencias centrada en a.
Diremos que la serie converge en x0 si al tomar x = x0 en (1) la serie
converge,
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Series de potencias
Recordemos que una serie de potencias en x − a es una serie infinita de
la forma
∞
X
cn (x − a)n .
(1)
n=k
También, se dice que esa serie es una serie de potencias centrada en a.
Diremos que la serie converge en x0 si al tomar x = x0 en (1) la serie
converge, caso contrario diremos que la serie diverge en x0 .
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Series de potencias
Recordemos que una serie de potencias en x − a es una serie infinita de
la forma
∞
X
cn (x − a)n .
(1)
n=k
También, se dice que esa serie es una serie de potencias centrada en a.
Diremos que la serie converge en x0 si al tomar x = x0 en (1) la serie
converge, caso contrario diremos que la serie diverge en x0 .
Una serie de potencias tiene asociado un intervalo maximal donde la
serie converge para los valores de este.
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Para la serie (1) sólo hay tres posibilidades:
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Para la serie (1) sólo hay tres posibilidades:
i) La serie sólo converge en a.
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Para la serie (1) sólo hay tres posibilidades:
i) La serie sólo converge en a.
ii) Existe R > 0 tal que la serie converge para toda x que satisfaga
|x − a| < R, y diverge para |x − a| > R.
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Para la serie (1) sólo hay tres posibilidades:
i) La serie sólo converge en a.
ii) Existe R > 0 tal que la serie converge para toda x que satisfaga
|x − a| < R, y diverge para |x − a| > R.
iii) La serie converge para todo x.
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Para la serie (1) sólo hay tres posibilidades:
i) La serie sólo converge en a.
ii) Existe R > 0 tal que la serie converge para toda x que satisfaga
|x − a| < R, y diverge para |x − a| > R.
iii) La serie converge para todo x.
Llamaremos radio de convergencia al número R en el caso ii), R = 0 en
el caso i) y R = ∞ para el caso iii).
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Para la serie (1) sólo hay tres posibilidades:
i) La serie sólo converge en a.
ii) Existe R > 0 tal que la serie converge para toda x que satisfaga
|x − a| < R, y diverge para |x − a| > R.
iii) La serie converge para todo x.
Llamaremos radio de convergencia al número R en el caso ii), R = 0 en
el caso i) y R = ∞ para el caso iii). También llamaremos el centro al
número a.
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Para la serie (1) sólo hay tres posibilidades:
i) La serie sólo converge en a.
ii) Existe R > 0 tal que la serie converge para toda x que satisfaga
|x − a| < R, y diverge para |x − a| > R.
iii) La serie converge para todo x.
Llamaremos radio de convergencia al número R en el caso ii), R = 0 en
el caso i) y R = ∞ para el caso iii). También llamaremos el centro al
número a.
Adicionalmente, en el caso ii), donde R > 0, la serie puede converger o
no en los extremos del intervalo a − R < x < a + R.
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La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que
verifican que |x − a| < r.
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La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que
verifican que |x − a| < r.
Se puede usar criterio de la razón o de la raı́z para calcular el radio de
convergencia.
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La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que
verifican que |x − a| < r.
Se puede usar criterio de la razón o de la raı́z para calcular el radio de
convergencia.
Además la función
f (x) =
∞
X
cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + . . .
n=0
es continua, diferenciable e integrable en el intervalo (u − R, u + R).
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La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que
verifican que |x − a| < r.
Se puede usar criterio de la razón o de la raı́z para calcular el radio de
convergencia.
Además la función
f (x) =
∞
X
cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + . . .
n=0
es continua, diferenciable e integrable en Rel intervalo (u − R, u + R).
Además, en este último intervalo f ′ (x) e f (x)dx se pueden
determinar por derivación e integración término a término:
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La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que
verifican que |x − a| < r.
Se puede usar criterio de la razón o de la raı́z para calcular el radio de
convergencia.
Además la función
f (x) =
∞
X
cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + . . .
n=0
es continua, diferenciable e integrable en Rel intervalo (u − R, u + R).
Además, en este último intervalo f ′ (x) e f (x)dx se pueden
determinar por derivación e integración término a término:
f ′ (x) =
∞
X
ncn (x − a)n−1 = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + . . .
n=1
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La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que
verifican que |x − a| < r.
Se puede usar criterio de la razón o de la raı́z para calcular el radio de
convergencia.
Además la función
f (x) =
∞
X
cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + . . .
n=0
es continua, diferenciable e integrable en Rel intervalo (u − R, u + R).
Además, en este último intervalo f ′ (x) e f (x)dx se pueden
determinar por derivación e integración término a término:
f ′ (x) =
∞
X
ncn (x − a)n−1 = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + . . .
n=1
y
Z
f (x)dx = C +
∞
X
n=0
cn
(x − a)n+1
= C + c0 (x − a) + c1 (x − a)2 + . . .
n+1
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Se dice que una función es analı́tica en el punto p si se puede
representar por una serie de potencias en x − p, con radio de
convergencia positivo.
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Se dice que una función es analı́tica en el punto p si se puede
representar por una serie de potencias en x − p, con radio de
convergencia positivo.
Las series de potencias se pueden manipular de manera formal
mediante las operaciones de suma y multiplicación Los procedimientos
son parecidos al modo en que se suman, multiplican o dividen dos
polinomios; esto es, se suman los coeficientes de las potencias iguales de
x, se aplica la propiedad distributiva y se agrupan los términos
semejantes.
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5 / 19
Se dice que una función es analı́tica en el punto p si se puede
representar por una serie de potencias en x − p, con radio de
convergencia positivo.
Las series de potencias se pueden manipular de manera formal
mediante las operaciones de suma y multiplicación Los procedimientos
son parecidos al modo en que se suman, multiplican o dividen dos
polinomios; esto es, se suman los coeficientes de las potencias iguales de
x, se aplica la propiedad distributiva y se agrupan los términos
semejantes.
Si f (x) =
P∞
n=0 cn (x
f (x) + g(x) =
− a)n y g(x) =
∞
X
P∞
n=0 dn (x
− a)n entonces
(cn + dn )(x − a)n ,
n=0
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Se dice que una función es analı́tica en el punto p si se puede
representar por una serie de potencias en x − p, con radio de
convergencia positivo.
Las series de potencias se pueden manipular de manera formal
mediante las operaciones de suma y multiplicación Los procedimientos
son parecidos al modo en que se suman, multiplican o dividen dos
polinomios; esto es, se suman los coeficientes de las potencias iguales de
x, se aplica la propiedad distributiva y se agrupan los términos
semejantes.
Si f (x) =
P∞
n=0 cn (x
f (x) + g(x) =
− a)n y g(x) =
∞
X
P∞
(cn + dn )(x − a)n ,
n=0
donde en =
n=0 dn (x
− a)n entonces
f (x)g(x) =
∞
X
en (x − a)n
n=0
P
k+l=n ak bl .
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Recordemos algunas series como la de la función exponencial
ex =
∞
X
x2 x3
x
=1+x+
+
+ ··· ,
n!
2!
3!
n=0
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Recordemos algunas series como la de la función exponencial
ex =
∞
X
x2 x3
x
=1+x+
+
+ ··· ,
n!
2!
3!
n=0
la función seno
sen(x) =
∞
X
(−1)n x2n+1
n=0
(2n + 1)!
=x−
x3 x5 x7
(−1)n x2n+1
+
−
+ ··· +
...
3!
5!
7!
(2n + 1)!
y la función coseno
cos(x) =
∞
X
(−1)n x2n
n=0
(2n)!
=1−
x2 x4 x6
x2n
+
−
+ · · · (−1)n +
+ ...
2!
4!
6!
(2n)!
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Resolver la ecuación
y′ − y = 0
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Resolver la ecuación
y ′′ + y = 0
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Dificultades
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Dificultades
Suponer que la solución es de la forma y =
siempre funciona.
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P∞
n=0 an (x
− x0 )n no
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Dificultades
P
n
Suponer que la solución es de la forma y = ∞
n=0 an (x − x0 ) no
siempre funciona. Entre otras cosas, puede ser que la solución no se
pueda escribir en serie de potencias alrededor de x0 .
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Dificultades
P
n
Suponer que la solución es de la forma y = ∞
n=0 an (x − x0 ) no
siempre funciona. Entre otras cosas, puede ser que la solución no se
pueda escribir en serie de potencias alrededor de x0 .
La expresión para el coeficiente an no siempre puede darse de forma
sencilla.
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Dificultades
P
n
Suponer que la solución es de la forma y = ∞
n=0 an (x − x0 ) no
siempre funciona. Entre otras cosas, puede ser que la solución no se
pueda escribir en serie de potencias alrededor de x0 .
La expresión para el coeficiente an no siempre puede darse de forma
sencilla.
Debemos analizar el radio de convergencia de la solución,
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Dificultades
P
n
Suponer que la solución es de la forma y = ∞
n=0 an (x − x0 ) no
siempre funciona. Entre otras cosas, puede ser que la solución no se
pueda escribir en serie de potencias alrededor de x0 .
La expresión para el coeficiente an no siempre puede darse de forma
sencilla.
Debemos analizar el radio de convergencia de la solución, puede ser que
la solución resultante tenga radio de convergencia cero y además no sea
solución.
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Dificultades
P
n
Suponer que la solución es de la forma y = ∞
n=0 an (x − x0 ) no
siempre funciona. Entre otras cosas, puede ser que la solución no se
pueda escribir en serie de potencias alrededor de x0 .
La expresión para el coeficiente an no siempre puede darse de forma
sencilla.
Debemos analizar el radio de convergencia de la solución, puede ser que
la solución resultante tenga radio de convergencia cero y además no sea
solución.
Generalmente no se obtienen soluciones elementales y por tanto
manualmente es laborioso.
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Dificultades
P
n
Suponer que la solución es de la forma y = ∞
n=0 an (x − x0 ) no
siempre funciona. Entre otras cosas, puede ser que la solución no se
pueda escribir en serie de potencias alrededor de x0 .
La expresión para el coeficiente an no siempre puede darse de forma
sencilla.
Debemos analizar el radio de convergencia de la solución, puede ser que
la solución resultante tenga radio de convergencia cero y además no sea
solución.
Generalmente no se obtienen soluciones elementales y por tanto
manualmente es laborioso. (Usando un programa de computo esto no
es una dificultad)
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Ejemplo donde el método no funciona
xy ′ + y = 0
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Ejemplo donde el método no funciona
xy ′ + y = 0
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Ejemplo donde el método no funciona
xy ′ + y = 0
Note que y = Cx es una solución que no puede escribirse en serie de
potencias alrededor de cero.
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Supongamos que la ecuación diferencial lineal de segundo orden en la
forma
y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0.
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(2)
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Supongamos que la ecuación diferencial lineal de segundo orden en la
forma
y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0.
(2)
Diremos que x0 es punto ordinario de la ecuación (2) si P y Q son
funciones analı́ticas en x0 . En caso contrario a x0 lo llamaremos punto
singular.
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Supongamos que la ecuación diferencial lineal de segundo orden en la
forma
y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0.
(2)
Diremos que x0 es punto ordinario de la ecuación (2) si P y Q son
funciones analı́ticas en x0 . En caso contrario a x0 lo llamaremos punto
singular.
Ejemplo: En la ecuación y ′′ + y = 0 tenemos que P (x) = 0 y Q(x) = 1
son funciones analı́ticas en todo punto, en particular en x = 0.
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Ejemplo: La ecuación
xy ′′ + sen xy ′ + (ex − 1)y = 0
tiene un punto ordinario cuando x = 0.
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Ejemplo: La ecuación
xy ′′ + sen xy ′ + (ex − 1)y = 0
tiene un punto ordinario cuando x = 0. En efecto, escrita en forma
normal tenemos
y ′′ +
sen x ′ (ex − 1)
y +
y=0
x
x
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Ejemplo: La ecuación
xy ′′ + sen xy ′ + (ex − 1)y = 0
tiene un punto ordinario cuando x = 0. En efecto, escrita en forma
normal tenemos
y ′′ +
sen x ′ (ex − 1)
y +
y=0
x
x
Recordemos que
ex = 1 + x +
x2 x3
+
+ ···
2!
3!
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Ejemplo: La ecuación
xy ′′ + sen xy ′ + (ex − 1)y = 0
tiene un punto ordinario cuando x = 0. En efecto, escrita en forma
normal tenemos
y ′′ +
sen x ′ (ex − 1)
y +
y=0
x
x
Recordemos que
∞
ex = 1 + x +
X xn
x2 x3
,
+
+ ··· =
n!
2!
3!
n=0
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Ejemplo: La ecuación
xy ′′ + sen xy ′ + (ex − 1)y = 0
tiene un punto ordinario cuando x = 0. En efecto, escrita en forma
normal tenemos
y ′′ +
sen x ′ (ex − 1)
y +
y=0
x
x
Recordemos que
∞
ex = 1 + x +
X xn
x2 x3
,
+
+ ··· =
n!
2!
3!
n=0
ası́ que
∞
X xn
(ex − 1)
x
x2
=1+ +
+ ··· =
.
x
2!
3!
n + 1!
n=0
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12 / 19
Por otro lado, la función seno
∞
senx = x −
X (−1)n x2n+1
(−1)n x2n+1
x3 x5 x7
+
−
+ ··· +
··· =
.
3!
5!
7!
(2n + 1)!
(2n + 1)!
n=0
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13 / 19
Por otro lado, la función seno
∞
senx = x −
X (−1)n x2n+1
(−1)n x2n+1
x3 x5 x7
+
−
+ ··· +
··· =
.
3!
5!
7!
(2n + 1)!
(2n + 1)!
n=0
Luego
∞
X (−1)n x2n
senx
x2 x4 x6
(−1)n x2n
=1−
+
−
+ ··· +
··· =
x
3!
5!
7!
(2n + 1)!
(2n + 1)!
n=0
Concluimos que 0 es un punto ordinario de la ecuación.
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Ejemplo: La ecuación de Cauchy-Euler
ax2 y ′′ + bxy ′ + cy = 0
con a ̸= 0 tiene un punto singular en x = 0.
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Ejemplo: La ecuación de Cauchy-Euler
ax2 y ′′ + bxy ′ + cy = 0
con a ̸= 0 tiene un punto singular en x = 0. En efecto, escrita en forma
normal tenemos
b ′
c
y ′′ +
y + 2 y = 0.
ax
ax
Ejemplo: La ecuación de Bessel
x2 y ′′ + xy ′ + (x2 − λ2 )y = 0
con λ ∈ R tiene un punto singular en x = 0.
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Ejemplo: La ecuación de Cauchy-Euler
ax2 y ′′ + bxy ′ + cy = 0
con a ̸= 0 tiene un punto singular en x = 0. En efecto, escrita en forma
normal tenemos
b ′
c
y ′′ +
y + 2 y = 0.
ax
ax
Ejemplo: La ecuación de Bessel
x2 y ′′ + xy ′ + (x2 − λ2 )y = 0
con λ ∈ R tiene un punto singular en x = 0.
Ejemplo: La ecuación de Legendre
(1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + λy = 0,
donde λ ∈ R tiene puntos singulares en −1 y 1.
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Teorema: Sea x0 un punto ordinario de la ecuación (2) entonces se
pueden determinar dos soluciones linealmente indpendientes en series
de potencias centradas en x0 ,
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15 / 19
Teorema: Sea x0 un punto ordinario de la ecuación (2) entonces se
pueden determinar dos soluciones linealmente indpendientes en series
de potencias centradas en x0 , adicionalmente el radio de convergencia
es la distancia desde x0 al punto singular más cercano.
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Teorema: Sea x0 un punto ordinario de la ecuación (2) entonces se
pueden determinar dos soluciones linealmente indpendientes en series
de potencias centradas en x0 , adicionalmente el radio de convergencia
es la distancia desde x0 al punto singular más cercano.
Nota: Si la ecuación (2) no tiene puntos singulares las soluciones en
series de potencias tienen radio de convergencia infinito.
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Ecuación de Hermite
La ecuación de Hermite
y ′′ − 2xy ′ + λy = 0,
donde λ ∈ R. Desde que P (x) = −2x y Q(x) = λ todos sus puntos son
ordinarios y tiene dos soluciones en serie de potencias centradas en
cero, definidas en R.
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Ecuación de Hermite
La ecuación de Hermite
y ′′ − 2xy ′ + λy = 0,
donde λ ∈ R. Desde que P (x) = −2x y Q(x) = λ todos sus puntos son
ordinarios y tiene dos soluciones en serie de potencias centradas en
cero, definidas en R.
∞
P
an xn en la ecuación obtenemos
Reemplazando y(x) =
n=0
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Ecuación de Hermite
La ecuación de Hermite
y ′′ − 2xy ′ + λy = 0,
donde λ ∈ R. Desde que P (x) = −2x y Q(x) = λ todos sus puntos son
ordinarios y tiene dos soluciones en serie de potencias centradas en
cero, definidas en R.
∞
P
an xn en la ecuación obtenemos
Reemplazando y(x) =
n=0
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Ecuación de Hermite
La ecuación de Hermite
y ′′ − 2xy ′ + λy = 0,
donde λ ∈ R. Desde que P (x) = −2x y Q(x) = λ todos sus puntos son
ordinarios y tiene dos soluciones en serie de potencias centradas en
cero, definidas en R.
∞
P
an xn en la ecuación obtenemos
Reemplazando y(x) =
n=0
′′
′
y − 2xy + λy = 2a2 + λa0 +
∞
X
((n + 2)(n + 1)an+2 − (2n − λ)) xn = 0.
n=1
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Ecuación de Hermite
La ecuación de Hermite
y ′′ − 2xy ′ + λy = 0,
donde λ ∈ R. Desde que P (x) = −2x y Q(x) = λ todos sus puntos son
ordinarios y tiene dos soluciones en serie de potencias centradas en
cero, definidas en R.
∞
P
an xn en la ecuación obtenemos
Reemplazando y(x) =
n=0
′′
′
y − 2xy + λy = 2a2 + λa0 +
∞
X
((n + 2)(n + 1)an+2 − (2n − λ)) xn = 0.
n=1
a2 = − λ2 a0
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Universidad del Valle
16 / 19
Ecuación de Hermite
La ecuación de Hermite
y ′′ − 2xy ′ + λy = 0,
donde λ ∈ R. Desde que P (x) = −2x y Q(x) = λ todos sus puntos son
ordinarios y tiene dos soluciones en serie de potencias centradas en
cero, definidas en R.
∞
P
an xn en la ecuación obtenemos
Reemplazando y(x) =
n=0
′′
′
y − 2xy + λy = 2a2 + λa0 +
∞
X
((n + 2)(n + 1)an+2 − (2n − λ)) xn = 0.
n=1
a2 = − λ2 a0 y an+2 =
2n − λ
an para n = 1, 2, . . . .
(n + 2)(n + 1)
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16 / 19
λ
a2 = − a0
2
Jhovanny Muñoz Posso (Departamento de Matemáticas)
Clase
Universidad del Valle
17 / 19
λ
a2 = − a0
2
2·1−λ
a3 =
a1
2·3
Jhovanny Muñoz Posso (Departamento de Matemáticas)
Clase
Universidad del Valle
17 / 19
λ
a2 = − a0
2
2·1−λ
a3 =
a1
2·3
a4
Jhovanny Muñoz Posso (Departamento de Matemáticas)
Clase
Universidad del Valle
17 / 19
λ
a2 = − a0
2
2·1−λ
a3 =
a1
2·3
2·2−λ
a4 =
a2
3·4
Jhovanny Muñoz Posso (Departamento de Matemáticas)
Clase
Universidad del Valle
17 / 19
λ
a2 = − a0
2
2·1−λ
a3 =
a1
2·3
2·2−λ
(2 · 2 − λ)λ
a4 =
a2 = −
a0
3·4
2·3·4
Jhovanny Muñoz Posso (Departamento de Matemáticas)
Clase
Universidad del Valle
17 / 19
λ
a2 = − a0
2
2·1−λ
a3 =
a1
2·3
2·2−λ
(2 · 2 − λ)λ
a4 =
a2 = −
a0
3·4
2·3·4
2·3−λ
a5 =
a2
4·5
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Universidad del Valle
17 / 19
λ
a2 = − a0
2
2·1−λ
a3 =
a1
2·3
2·2−λ
(2 · 2 − λ)λ
a4 =
a2 = −
a0
3·4
2·3·4
2·3−λ
(2 · 3 − λ)(2 · 1 − λ)
a5 =
a2 =
a1
4·5
2·3·4·5
Jhovanny Muñoz Posso (Departamento de Matemáticas)
Clase
Universidad del Valle
17 / 19
λ
a2 = − a0
2
2·1−λ
a3 =
a1
2·3
2·2−λ
(2 · 2 − λ)λ
a4 =
a2 = −
a0
3·4
2·3·4
2·3−λ
(2 · 3 − λ)(2 · 1 − λ)
a5 =
a2 =
a1
4·5
2·3·4·5
Definamos h0 = 1, h1 = 1,
Jhovanny Muñoz Posso (Departamento de Matemáticas)
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Universidad del Valle
17 / 19
λ
a2 = − a0
2
2·1−λ
a3 =
a1
2·3
2·2−λ
(2 · 2 − λ)λ
a4 =
a2 = −
a0
3·4
2·3·4
2·3−λ
(2 · 3 − λ)(2 · 1 − λ)
a5 =
a2 =
a1
4·5
2·3·4·5
Definamos h0 = 1, h1 = 1, para k = 1, 2, . . . tenemos que
h2k = −
(2(2k − 2) − λ) · · · (2 · 2 − λ)λ
c0
2k!
y
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λ
a2 = − a0
2
2·1−λ
a3 =
a1
2·3
2·2−λ
(2 · 2 − λ)λ
a4 =
a2 = −
a0
3·4
2·3·4
2·3−λ
(2 · 3 − λ)(2 · 1 − λ)
a5 =
a2 =
a1
4·5
2·3·4·5
Definamos h0 = 1, h1 = 1, para k = 1, 2, . . . tenemos que
h2k = −
(2(2k − 2) − λ) · · · (2 · 2 − λ)λ
c0
2k!
y
h2k+1 =
(2(2k − 1) − λ) · · · (2 · 3 − λ)(2 · 1 − λ)
c0
2k + 1!
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17 / 19
Por tanto a2k = h2k a0 y a2k+1 = h2k+1 a1 .
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18 / 19
Por tanto a2k = h2k a0 y a2k+1 = h2k+1 a1 . Luego para la solución
general tenemos
x(t) =
∞
X
n=0
2n
a2n x
+
∞
X
a2n+1 x2n+1
n=0
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18 / 19
Por tanto a2k = h2k a0 y a2k+1 = h2k+1 a1 . Luego para la solución
general tenemos
x(t) =
∞
X
n=0
2n
a2n x
+
∞
X
a2n+1 x
2n+1
= a0
n=0
Jhovanny Muñoz Posso (Departamento de Matemáticas)
Clase
∞
X
n=0
h2n x
2n
+ a1
∞
X
h2n+1 x2n+1 .
n=0
Universidad del Valle
18 / 19
Por tanto a2k = h2k a0 y a2k+1 = h2k+1 a1 . Luego para la solución
general tenemos
x(t) =
∞
X
n=0
2n
a2n x
+
∞
X
a2n+1 x
2n+1
= a0
n=0
∞
X
n=0
h2n x
2n
+ a1
∞
X
h2n+1 x2n+1 .
n=0
Donde a0 y a1 son constantes arbitrarias.
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Universidad del Valle
18 / 19
Por tanto a2k = h2k a0 y a2k+1 = h2k+1 a1 . Luego para la solución
general tenemos
x(t) =
∞
X
2n
a2n x
n=0
+
∞
X
a2n+1 x
2n+1
= a0
n=0
∞
X
h2n x
2n
+ a1
n=0
∞
X
h2n+1 x2n+1 .
n=0
Donde a0 y a1 son constantes arbitrarias. Si escribimos
∞
∞
P
P
h2n+1 x2n+1
h2n x2n y v(x) =
u(x) =
n=0
n=0
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18 / 19
Por tanto a2k = h2k a0 y a2k+1 = h2k+1 a1 . Luego para la solución
general tenemos
x(t) =
∞
X
2n
a2n x
n=0
+
∞
X
a2n+1 x
2n+1
= a0
n=0
∞
X
h2n x
n=0
2n
+ a1
∞
X
h2n+1 x2n+1 .
n=0
Donde a0 y a1 son constantes arbitrarias. Si escribimos
∞
∞
P
P
h2n+1 x2n+1 tenemos que
h2n x2n y v(x) =
u(x) =
n=0
n=0
x(t) = a0 u(x) + a1 v(x)
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Universidad del Valle
18 / 19
Por tanto a2k = h2k a0 y a2k+1 = h2k+1 a1 . Luego para la solución
general tenemos
x(t) =
∞
X
2n
a2n x
n=0
+
∞
X
a2n+1 x
2n+1
= a0
n=0
∞
X
h2n x
n=0
2n
+ a1
∞
X
h2n+1 x2n+1 .
n=0
Donde a0 y a1 son constantes arbitrarias. Si escribimos
∞
∞
P
P
h2n+1 x2n+1 tenemos que
h2n x2n y v(x) =
u(x) =
n=0
n=0
x(t) = a0 u(x) + a1 v(x)
En el caso que λ = 2p para p un entero positivo tenemos que ak = 0
para k = p + 2, p + 4, p + 6 . . . .
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18 / 19
Por tanto a2k = h2k a0 y a2k+1 = h2k+1 a1 . Luego para la solución
general tenemos
x(t) =
∞
X
2n
a2n x
n=0
+
∞
X
a2n+1 x
2n+1
= a0
n=0
∞
X
h2n x
n=0
2n
+ a1
∞
X
h2n+1 x2n+1 .
n=0
Donde a0 y a1 son constantes arbitrarias. Si escribimos
∞
∞
P
P
h2n+1 x2n+1 tenemos que
h2n x2n y v(x) =
u(x) =
n=0
n=0
x(t) = a0 u(x) + a1 v(x)
En el caso que λ = 2p para p un entero positivo tenemos que ak = 0
para k = p + 2, p + 4, p + 6 . . . .
Si además, p es par tenemos que
p
u(x) =
2
X
h2n x2n = h0 + h2 x2 + · · · + hp xp
n=0
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En el caso p es impar tenemos que
p−1
v(x) =
2
X
h2n+1 x2n+1 = h1 x + h3 x3 + · · · + hp xp
n=0
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19 / 19
En el caso p es impar tenemos que
p−1
v(x) =
2
X
h2n+1 x2n+1 = h1 x + h3 x3 + · · · + hp xp
n=0
Si los polinomios anteriores los multiplicamos por una constante de
forma tal que el termino p-esimo coincida con 2p los llamaremos
polinomios de Hermite.
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En el caso p es impar tenemos que
p−1
v(x) =
2
X
h2n+1 x2n+1 = h1 x + h3 x3 + · · · + hp xp
n=0
Si los polinomios anteriores los multiplicamos por una constante de
forma tal que el termino p-esimo coincida con 2p los llamaremos
polinomios de Hermite.
Algunos polinomios de Hermite son
H0 (x) = 1,
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19 / 19
En el caso p es impar tenemos que
p−1
v(x) =
2
X
h2n+1 x2n+1 = h1 x + h3 x3 + · · · + hp xp
n=0
Si los polinomios anteriores los multiplicamos por una constante de
forma tal que el termino p-esimo coincida con 2p los llamaremos
polinomios de Hermite.
Algunos polinomios de Hermite son
H0 (x) = 1, H1 (x) = 2x,
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19 / 19
En el caso p es impar tenemos que
p−1
v(x) =
2
X
h2n+1 x2n+1 = h1 x + h3 x3 + · · · + hp xp
n=0
Si los polinomios anteriores los multiplicamos por una constante de
forma tal que el termino p-esimo coincida con 2p los llamaremos
polinomios de Hermite.
Algunos polinomios de Hermite son
H0 (x) = 1, H1 (x) = 2x, H2 (x) = −2 + 4x2
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19 / 19
En el caso p es impar tenemos que
p−1
v(x) =
2
X
h2n+1 x2n+1 = h1 x + h3 x3 + · · · + hp xp
n=0
Si los polinomios anteriores los multiplicamos por una constante de
forma tal que el termino p-esimo coincida con 2p los llamaremos
polinomios de Hermite.
Algunos polinomios de Hermite son
H0 (x) = 1, H1 (x) = 2x, H2 (x) = −2 + 4x2 y H3 (x) = −12x + 8x2 .
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