GraInvestigaciodefVFont

Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
INICIO A LA INVESTIGACIÓN EN LA ENSEÑANZA DE LAS
MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO1
Vicenç Font y Juan D. Godino
1. ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS. UN PROCESO COMPLEJO Y
PROBLEMÁTICO
¿Cómo enseñar mejor las matemáticas? es, seguramente, la pregunta que ha dado origen
al área de investigación que, en muchos países, se conoce como Didáctica de las
Matemáticas. Para contestar a esta pregunta podemos focalizar nuestra atención sobre la
mente del sujeto que ha de aprender, lo cual nos lleva a entender la “comprensión”
como “proceso mental” y a reflexiones psicológicas que nos pueden ayudar a saber lo
que sucede en la mente de los alumnos y, como consecuencia, tener indicaciones sobre
cuándo y cómo enseñar. También podemos centrar la atención en las instituciones
donde se produce el proceso de instrucción, lo cual nos lleva a entender la
“comprensión” como “comprender las normas” y a reflexiones de tipo sociológico y
antropológico que nos pueden informar de las normas sociales que regulan los procesos
de instrucción.
SOCIOLOGÍA /
A NTROPOLOGÍA
INSTITUCIONES
¿DÓNDE?
MATEMÁ TICAS
- Problemas
- Conceptos
- Procedimentos
- Etc.
¿QU Ë?
¿Cómo
enseñar mejor
las
matemáticas?
DIDÁCTICA
DE LAS
MATEMÁTICAS
¿A QU IÉN?
SUJETOS
PSICOLOGÍA
Figura 1. Cuestiones y disciplinas implicadas en la enseñanza de las matemáticas 2
1
Trabajo realizado en el marco de los proyectos de investigación, EDU2009-08120/EDUC y SEJ200760110/EDUC. MEC-FEDER.
1
Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Por otra parte, en la formulación de la pregunta se dice claramente que lo que hay que
enseñar es matemáticas. Por tanto, es natural que para contestar a esta pregunta
dirijamos nuestra atención a las matemáticas. Hoy en día hay un amplio acuerdo en el
área de Didáctica de las Matemáticas en que la formación del profesorado que ha de
impartir matemáticas requiere situar la formación matemática en un lugar importante;
ningún tipo de formación pedagógica, psicológica ni didáctica puede suplir una débil
formación matemática del futuro profesor de matemáticas de cualquier nivel educativo.
El diseño de las actividades de enseñanza-aprendizaje requiere unos sólidos
conocimientos matemáticos además de una formación didáctica.
Si bien hay acuerdo en que el profesor debe tener un buen conocimiento de
matemáticas, las diferencias se producen cuando se pretende responder a la pregunta
¿qué tipo de matemáticas se deben enseñar? No hay, de momento, un acuerdo
suficientemente mayoritario sobre si hay que enseñar unas matemáticas formalistas o
bien unas matemáticas realistas, tampoco lo hay sobre cuál es el papel de la resolución
de problemas, ni sobre si hay que enseñar unas matemáticas acabadas, o bien hay que
enseñar a “hacer matemáticas”, etc. Las diferencias de opinión también aparecen si la
pregunta es ¿Por qué hay que enseñar matemáticas”. Preguntas como ¿Qué tipo de
matemáticas hay que enseñar? O ¿Por qué hay que enseñar matemáticas? son preguntas
cuya respuesta depende de cómo se hayan contestado otras preguntas más básicas
propias de la filosofía de las matemáticas como, por ejemplo: ¿Qué son las
matemáticas? ¿Qué es lo qué sabemos en matemáticas? ¿Cómo sabemos que lo que
sabemos en matemáticas es verdadero (cierto / válido)? etc.
El hecho de que los procesos de enseñanza y aprendizaje sean muy complejos conlleva
que los problemas a los que el profesorado de matemáticas se enfrenta en su actividad
profesional sean el origen de muchas preguntas que, además, son de categorías muy
diferentes. Son preguntas que están relacionadas con muchos aspectos (por ejemplo, el
contenido matemático, el aprendizaje de los alumnos, el entorno social, la organización
de la clase, el uso de determinados recursos materiales y temporales, la motivación de
los alumnos, etc.) y disciplinas diferentes (psicología, sociología, antropología,
matemáticas, filosofía, etc.).
Dado que la profesión de profesor de matemáticas es heterogénea en cuanto a sus
miembros, las preguntas que un profesor se puede formular pueden ser muy diferentes a
las que se formulará otro profesor. Ahora bien, puesto que la profesión de profesor de
matemáticas es bastante homogénea con relación a los problemas que debe afrontar, las
preguntas que se formule un profesor concreto, además de ser sus preguntas, serán
preguntas relacionadas con los problemas de una parte importante de la profesión de
profesor de matemáticas. Serán, por tanto, preguntas que merecen ser investigadas por
las diferentes disciplinas que se preocupan por estudiar los procesos de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas, en particular por la Didáctica de las Matemáticas.
2
Las figuras 1, 2 y 3 se han tomado de la conferencia “Epistemología y Didáctica de las Matemáticas”,
impartida en el II Coloquio Internacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas, Lima, Perú. (Font,
2007).
2
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secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Muchas de estas preguntas se pueden formular incluso ya antes de formar parte de la
profesión docente. Por ejemplo, en el periodo de prácticas del Máster de Profesor de
Secundaria de Matemáticas, el futuro profesor puede plantearse una primera
formulación de un problema de investigación y realizar una búsqueda bibliográfica
sobre dicho problema. Mientras que en la materia “Innovación docente e iniciación a la
investigación educativa” puede reformular el problema con base a dicha reflexión
bibliográfica utilizando algún marco teórico y definiendo la metodología de
investigación más adecuada (exploratoria, descriptiva, correlacional, explicativa, etc.).
Incluso puede llegar más lejos, por ejemplo en el trabajo final del máster, proponiendo
un diseño de investigación y aplicándolo para dar una respuesta a la pregunta
formulada.
Actividad: A continuación tienes una serie de preguntas relacionadas con un proceso de
enseñanza de un contenido matemático O (por ejemplo, funciones, fracciones,
polígonos, etc.) que se está planificando o bien se ha experimentado.
a) Intenta elaborar categorías para clasificarlas —algunas posibilidades son: 1) fijarse en
el aspecto por el qué preguntan (matemáticas, alumnos, interacción, recursos,
afectividad, relación con el entorno, etc.); 2) se pretende estudiar un caso concreto o se
pretende generalizar; 3) se trata de un aspecto muy concreto o muy amplio; 4) se
pretende describir y explicar o se pretende valorar, etc.

¿En qué medida son representativas las situaciones–problemas seleccionadas
para contextualizar el tema?

¿Se consideran diferentes representaciones (verbal, gráfica, simbólica...),
traducciones y conversiones entre las mismas?

¿Qué tipo de justificaciones se están enseñando? ¿El rigor es adecuado desde un
punto de vista matemático?

¿Por qué en la enseñanza secundaria los procesos de argumentación se basan en
comprobaciones empíricas y se rehúyen las argumentaciones lógicas –
deductivas?

¿Cuál es la idoneidad cognitiva del proceso de enseñanza y aprendizaje
planificado o bien implementado sobre el tema O?

¿Cuáles son los conocimientos previos de los alumnos? ¿Se han tenido en
cuenta?¿Si se tienen en cuenta podré explicar el tema en el tiempo previsto?

¿Cómo puedo determinar el conocimiento matemático que han adquirido los
alumnos?

¿Qué efecto ha tenido la realización de las actividades de ampliación y refuerzo
en el aprendizaje de los estudiantes?

¿Qué factores explican las características del aprendizaje logrado por los
alumnos (dificultades, restricciones, etc.)?
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secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.

¿Qué actividades de ampliación y refuerzo se deben realizar para tener en cuenta
la diversidad de los alumnos?

¿Cuáles son las dificultades que tienen los estudiantes en la transición entre la
aritmética y el álgebra?

¿El uso de metáforas, facilita o dificulta la comprensión de los alumnos?

¿Las dificultades que he observado en mis alumnos son las mismas que tienen
otros alumnos?

¿Por qué cuando utilizo un graficador dinámico hay determinados alumnos que
consideran que la gráfica de la función es un camino?

¿Bajo qué condiciones y circunstancias, y en qué medida, el uso de un
determinado programa informático favorece el aprendizaje del contenido O?

¿En qué medida las limitaciones de tiempo condicionan los aprendizajes?

¿Cuánto tiempo se debería asignar para lograr el aprendizaje que se ha marcado
como objetivo?

¿Qué programas informáticos se deben utilizar para la enseñanza de la
geometría?

¿Cuáles son las actitudes de los estudiantes con relación al tema O?

¿Qué actividades pueden servir para motivar a los estudiantes?

¿Por qué muchos de mis alumnos no tienen interés hacia las actividades
matemáticas que les propongo?

¿Es adecuado enseñar una matemática descontextualizada para alumnos que no
van a continuar estudiando matemáticas?

¿Cómo promover la autoestima de los estudiantes, y evitar el rechazo, la fobia o
miedo a las matemáticas?

¿Cómo lograr que los estudiantes aprecien las cualidades de estética y precisión
de las matemáticas?

¿En qué medida el material manipulativo motiva el interés de los alumnos de
secundaria al estudio de las matemáticas?

¿Qué consecuencias tiene el trabajo cooperativo entre los estudiantes en el
aprendizaje del tema O?

¿Aprenden los alumnos con una clase magistral?

¿Cómo hay que organizar el aula de matemáticas para tratar la diversidad?

¿Cómo debo gestionar los momentos de exploración, por parte de los
estudiantes, en el proceso de estudio implementado?
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secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.

¿Cómo implementar patrones de interacción que favorezcan el trabajo
colaborativo entre los alumnos?

¿Cómo conseguir que los alumnos asuman la responsabilidad del estudio?

¿Lo que se ha enseñado se corresponde con las directrices curriculares?

¿Qué experiencias de innovación didáctica podrían aplicarse en este contexto y
circunstancias?

¿En qué grado los aprendizajes logrados contribuyen a la formación socioprofesional de los estudiantes?

¿Qué conexiones intra e interdisciplinares se pueden establecer en el desarrollo
del tema de estudio?

¿Por qué los profesores muestran resistencias a una determinada innovación
didáctica?

¿Por qué la matemática de primaria y secundaria se orienta al estudio de
cuestiones puntuales aisladas?

¿Cómo puedo explicar las dificultades de los alumnos cuando estudian el
contenido O?

¿Qué aspectos del procesos de enseñanza aprendizaje del contenido O se deben
mejorar?
b) formula cinco preguntas más (a ser posible relacionadas con tu propia práctica) y
clasifícalas de acuerdo con las categorías utilizadas en el apartado a).
La gran variedad de preguntas de la actividad anterior y la dificultad para encontrar
categorías para su clasificación se explica por la diversidad de problemas a los que se
enfrenta en la actualidad la enseñanza de las matemáticas y los métodos a seguir para su
estudio sistemático. Si bien los criterios de clasificación de las preguntas de
investigación pueden ser muy diversos, las temáticas abordadas en los congresos
importantes en el área de la Didáctica de las Matemáticas nos pueden dar una idea de
cuáles son los problemas más importantes a los que se enfrenta en la actualidad la
enseñanza de las matemáticas. A continuación, como ejemplo ilustrativo, siguen los
tópicos de investigación que se tratan en el congreso PME34 (Psychology of
Mathematics Education):
1 Affect, emotion, beliefs and attitudes
2 Algebra and algebraic thinking
3 Assessment and evaluation
4 Computers and technology
5 Concept and conceptual development
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secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
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6 Curriculum development
7 Equity
8 Functions
9 Gender issues
10 Geometrical and spatial thinking
11 Imagery and visualization
12 Language and mathematics
13 Mathematical modeling
14 Mathematical thinking
15 Measurement
16 Metacognition
17 Number concepts and operations
18 Probability and statistical reasoning
19 Problem solving/problem posing
20 Proof, proving and argumentation
21 Socio-cultural
22 Teacher development
23 Teacher’s knowledge, thinking and beliefs
24 Work-place related mathematics
Actividad: Comenta la relevancia para la enseñanza de las matemáticas de los siguientes
problemas de investigación, teniendo en cuenta los tópicos del PME 34 (en la sección 4
encontrarás información más detallada sobre este congreso y la dirección de la página
web):
1) ¿Cómo se desarrolla la competencia en resolución de problemas y de modelización
en la enseñanza secundaria?
2) ¿Cuáles son las competencias profesionales que necesitan los futuros profesores de
secundaria de matemáticas?
3) ¿Cómo se puede gestionar la diversidad de los alumnos en el aula de matemáticas?
4) ¿Cómo se puede integrar los graficadores dinámicos en la enseñanza de las funciones
en secundaria? ¿Cómo se puede utilizar el Geogebra para enseñar geometría en
secundaria?
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Actividad: Formula dos problemas de investigación que consideres que deben ser
relevantes para la enseñanza de las matemáticas en secundaria.
Actividad: Busca y compara los tópicos tratados en los congresos más importantes del
área (PME, CERME, RELME, SEIEM, etc.) (en la sección 4 encontrarás información
más detallada sobre estos congresos y la dirección de su página web)
Otra manera de conocer las líneas de investigación sobre las que se está investigando en
los últimos años es analizar los “surveys” incluidos en los “handbooks” (vease anexo 1)
Actividad: Lectura del resumen de las temáticas de investigación descritas en el
“Second international handbook of mathematics education” editado por Bishop et al.
(2003) (anexo 2)
Si en lugar de preguntarnos, ¿Cuáles son los problemas más importantes a los que se
enfrenta en la actualidad la enseñanza de las matemáticas?, nos preguntamos, ¿A qué
problemas se enfrentan los profesores de matemáticas y cómo los intentan solucionar?
tendremos que cambiar nuestro foco de atención. Para la primera pregunta el foco de
atención son congresos importantes en el área de la Didáctica de las Matemáticas en los
que las personas que participan no son, mayoritariamente, docentes de escuelas o
institutos sino investigadores de universidades, y los trabajos que presentan suelen ser
investigaciones didácticas o bien desarrollos de marcos teóricos.
Si nos interesamos por la segunda pregunta, el foco de atención son otro tipo de
congresos, llamados congresos de profesores, en los que las personas que participan
presentan las llamadas “experiencias innovadoras”: se trata de presentaciones que
profesores de escuelas o institutos hacen de procesos de instrucción que han venido
realizando en sus centros educativos; dichas experiencias innovadoras destacan el uso
de nuevos materiales didácticos, métodos, estrategias, etc. Son experiencias de procesos
de instrucción cumplidos o en etapas de desarrollo que no involucran cambios
macroestructurales, sino realidades concretas de las aulas y de las instituciones
escolares. Ahora bien se trata de experiencias que implican una reflexión por parte del
profesorado, la formulación de preguntas y el uso de determinadas técnicas de recogida
de la información, es decir, tienen muchos elementos de una investigación didáctica.
Actividad: En el año 2009 se celebraron en España un congreso de la SEIEM y las XIV
JAEM. Compara la estructura de los dos congresos, los tipos de comunicaciones, etc.
(en la sección 4 encontrarás información más detallada sobre estos congresos y la
dirección de su página web)
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Estos dos tipos de comunicaciones o de congresos llevan a formularnos la siguiente
pregunta, ¿Cuál es la diferencia entre el investigador en didáctica de las matemáticas y
el profesor de enseñanza de las matemáticas que reflexiona sobre su práctica?
Un profesor interesado en la práctica profesional y en la mejora de su enseñanza tiene
muchos elementos de investigador en didáctica de las matemáticas, pero seguramente el
nivel de reflexión, el tiempo, la metodología podría ser lo que diferenciaría un poco a
uno de otro. Un profesor que se preocupa por la enseñanza de las matemáticas tiene que
reflexionar y pensar acerca de cómo mejorarla, y entonces, de alguna manera, inicia una
actividad que reúne algunas características de una investigación. Lo que sucede es que
normalmente lo que importa es dar soluciones relativamente inmediatas a una
problemática local, mientras que desde la investigación no hay tal urgencia, interesa
más “conocer”. El problema de la Didáctica de las Matemáticas es que hay dos tipos de
preocupaciones que a veces van juntas y a veces pueden ir separadas. Como área nos
interesa conocer lo que está pasando en un aula, nos interesa tener elementos teóricos
para conocer la complejidad de lo que está pasando en un proceso de enseñanza y
aprendizaje. Esto implica, por un lado, que se necesitan marcos teóricos cada vez más
complicados para conocer mejor y, por otra parte, que nos interesa mejorar lo que está
pasando, y a veces la profundización en el conocimiento no puede ir de la mano de la
mejora, porque el conocer implica más calma, más tranquilidad y la mejora muchas
veces es más urgente. Lo ideal sería poder compaginar estos dos objetivos: mejorar el
conocimiento de lo que está pasando y que éste pueda guiar una mejora del proceso de
enseñanza real.
2. LA COMPETENCIA RELACIONADA CON LA FORMULACIÓN E
INVESTIGACIÓN DE PROBLEMAS EN LA ENSEÑANZA Y EL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
Existe un acuerdo generalizado sobre la importancia de la innovación y de la
investigación producida por los profesores en los contextos de la institución escolar, así
como sobre la necesidad de desarrollar competencias para ello en la formación inicial y
permanente. Se considera que los profesores no deberían limitarse a ser meros
reproductores del conocimiento sino que deberían jugar el rol de constructor de
conocimiento y en este sentido, se sostiene que el profesor puede y debe elaborar teoría
desde su práctica. Las formas de hacerlo son variadas, por ejemplo: a) la reflexión sobre
su práctica; b) la investigación-acción; c) el profesor como usuario de los resultados de
la investigación educativa; c) el profesor como investigador individual, es decir, el
profesor-investigador, d) el profesor como participante en equipos de investigación, etc.
La competencia “Capacidad para formular problemas de investigación en educación
matemática y conocimiento de teorías, metodologías y técnicas básicas de investigación
para poder responderlos” debería ser una competencia profesional del profesor de
matemáticas. Dicha competencia admite diferentes niveles, por ejemplo, podemos
considerar los tres niveles de la tabla siguiente. Los dos primeros niveles deberían poder
ser alcanzados por los profesores en ejercicio, incluso por los estudiantes del máster de
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
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profesor de secundaria, mientras que el tercer nivel se correspondería más con una
licencia de estudios o con unos estudios de máster de investigación o de doctorado.
N1; Reflexionar sobre su
propia práctica para plantear
una primera formulación de
un problema de investigación
y realizar una búsqueda
bibliográfica sobre dicho
problema.
N2: Reformular el problema
en base a la reflexión
bibliográfica y definir el tipo
de
metodología
de
investigación
(exploratoria
descriptiva,
correlacional,
explicativa, etc.).
N3:
Proponer
un
diseño de investigación
y aplicarlo para dar una
respuesta al problema
planteado.
Esta competencia está relacionada con el desarrollo profesional de los docentes ya que
facilita que estos entiendan su profesión como un camino de perfeccionamiento
profesional en el que la innovación curricular debe basarse en una actitud investigadora
cuyo origen está en la reflexión sobre la practica.
Para desarrollar esta competencia son necesarios, entre otros aspectos, conocimientos
sobre marcos teóricos en Didáctica de las Matemáticas y sobre metodologías y técnicas
de investigación. Abordaremos estos aspectos en los siguientes apartados.
3. LA INVESTIGACIÓN EN LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS
Conviene distinguir las dos esferas a las que se refiere el nombre “Educación
Matemática” (Godino, 2000). Por un lado, Educación Matemática es el conjunto de
prácticas llevadas a cabo en distintos escenarios –instituciones formales de educación,
instancias informales de aprendizaje, espacios de planificación curricular, etc. – que
tienen que ver con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Y, por el otro lado,
Educación Matemática hace mención al estudio científico de los fenómenos de la
práctica de la educación matemática. Tenemos entonces, un campo de práctica
educativa y un campo de investigación. La identificación de estas dos componentes de
la educación matemática explica que en muchos casos se utilicen las expresiones
"Didáctica de las Matemáticas" y "Educación Matemática" como sinónimas, mientras
que en otros casos se considere que la Didáctica de las Matemáticas sería la disciplina
científica interesada principalmente por el campo de la investigación, mientras que la
Educación Matemática también incluiría el primer componente, esto es, abarcaría la
teoría, el desarrollo y la práctica.
La Didáctica de las Matemáticas, entendida como disciplina didáctica, en estos
momentos tiene una posición consolidada en la institución universitaria de muchos
países. Otros indicadores de consolidación institucional son las tesis doctorales
defendidas sobre problemas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; los
proyectos de investigación financiados con fondos públicos y las diferentes
comunidades y asociaciones de investigadores en Didáctica de las Matemáticas. Otros
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secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
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síntomas de consolidación son la existencia de institutos de investigación específicos
(CINVESTAV en México, IDM en Alemania, El instituto Freudenthal en Holanda,
etc.), la publicación de revistas periódicas de investigación, congresos internacionales
como PME (Psychology of Mathematics Education), CERME (Conference of the
European Society for Research in Mathematics Education), RELME (Reunión
Latinoamericana de Matemática Educativa), etc.
Esta consolidación convive, con una gran confusión en las agendas de investigación y
en los marcos teóricos y metodológicos disponibles, situación propia de una disciplina
emergente. En cuanto a los métodos de investigación podemos decir que se ha pasado
del predominio de un enfoque psicoestadístico en la década de los 70 y parte de los 80
del siglo pasado, a una presencia importante de los métodos cualitativos en la
actualidad. En cuanto a los marcos teóricos, si bien el enfoque psicológico no ha
perdido su importancia se están desarrollando también investigaciones dentro de otros
enfoques como el semiótico, el antropológico, el sociocultural, etc.
Por otra parte, existe un divorcio importante entre la investigación científica que se está
desarrollando en el ámbito académico y su aplicación práctica a la mejora de la
enseñanza de las matemáticas. Este divorcio se manifiesta, entre otros aspectos, en la
existencia de congresos para investigadores p.e. la SEIEM y congresos de profesores,
p. e. las JAEM (ver la sección 4 para más detalles sobre estos congresos) y en el tipo de
comunicaciones que se presentan en ellos.
Aunque la Didáctica de las Matemáticas pueda considerarse una disciplina madura en el
sentido sociológico, no ocurre igual en el sentido filosófico o metodológico. No existe
ningún marco establecido de manera universal o un consenso relativo a escuelas de
pensamiento, paradigma de investigación, métodos, estándares de verificación y
calidad. Se puede afirmar que, en la actualidad, no hay acuerdo en la Didáctica de las
Matemáticas sobre lo que es un hecho, un fenómeno o una explicación. Esto explica
porqué hay un cierto número de investigadores en esta área que durante los últimos
años han estado reflexionando sobre las características, problemas, métodos y resultados
de la Didáctica de las Matemáticas como disciplina científica intentando dar respuesta a
la pregunta ¿Qué tipo de ciencia es la Didáctica de las Matemáticas?
En su intento de responder a la pregunta anterior, la Didáctica de las Matemáticas no ha
permanecido ajena a la controversia “explicación versus comprensión” que ha sacudido
a las ciencias sociales. El dualismo explicación-comprensión se relaciona con el
problema de si la construcción teórica es intrínsecamente un mismo género de empresa
tanto en las ciencias naturales como en las ciencias humanas y sociales.
En su aplicación a las ciencias sociales, en general, se admite que el positivismo implica
dos postulados estrechamente vinculados. El primero es que los objetivos, los conceptos
y los métodos de las ciencias naturales son aplicables a las indagaciones científico
sociales. El segundo es la convicción de que el modelo de explicación utilizado en las
ciencias naturales proporciona las normas lógicas con base a las cuales pueden valorarse
las explicaciones dadas por las ciencias sociales. Los investigadores positivistas no se
limitan a describir el fenómeno y a dar explicaciones plausibles de por qué ha sucedido,
sino que, en su afán por imitar a las ciencias naturales intentan responder a la pregunta
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
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genérica siguiente: ¿De acuerdo con qué leyes generales y qué condiciones antecedentes
se produce el fenómeno?
En los enfoques antipositivistas es central la distinción entre las ciencias sociales y las
ciencias naturales. Mientras las segundas se basan en las nociones de fuerza y materia
propuestas por la física y en las matemáticas, las ciencias sociales se apoyan en el
concepto de “sentido” y en la historia. Para los antipositivistas los estudios sobre lo
humano disponen de algo que está ausente en las ciencias naturales: la posibilidad de
entender la experiencia interior de otra persona a través de un proceso de reconstrucción
de dicha experiencia en carne propia (ponerse en el lugar del otro). Ahora bien, la
comprensión del sentido no depende de una especie de empatía intuitiva misteriosa que
permita al científico social, no se sabe cómo, colocarse en la mente de las personas a
quienes observa, sino que son explicaciones que procuran dilucidar la inteligibilidad de
las acciones humanas clarificando el pensamiento que las informa y situándolo en el
contexto de las normas sociales y de las formas de vida dentro de las cuales aquéllas
ocurren.
Para muchos investigadores en Didáctica de las Matemáticas no hay más opción que
adoptar una posición u otra. Para otros, es posible construir una síntesis que logre
integrar los diversos dualismos: teoría versus práctica; micro nivel de análisis versus
macro nivel de análisis; explicación versus comprensión, etc.
EPISTEMOLOGÍA DE LAS
CIENCIA S SOCIA LES
Explicación versus
Comprensión
¿QUÉ TIPO DE CIENCIA
ES LA DIDÁ CTICA DE LAS
MATEMÁ TICAS?
DIDÁ CTICA DE LA S
MATEMÁ TICAS como
CIENCIA
¿Cómo enseñar
mejor las
matemáticas?
DIDÁCTICA
DE LAS
MATEMÁTICAS
EDUCA CIÓN
MATEMÄ TICA
Figura 2. Epistemología de la Didáctica de las Matemáticas
En estos momentos a la Didáctica de las Matemáticas, tanto si es entendida cómo
ciencia de tipo explicativo o bien de tipo comprensivo, se le pide que de respuesta a dos
demandas diferentes:
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
a) Comprender y/o explicar los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas
b) Guiar la mejora de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas
La primera demanda lleva a describir, interpretar y/o explicar los procesos de
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas (ciencia básica). La segunda lleva a su
valoración y mejora (ciencia aplicada o tecnología). La primera demanda exige
herramientas para una didáctica descriptiva y explicativa que sirva para responder “¿qué
ha ocurrido aquí cómo y por qué?”. La segunda necesita herramientas para una didáctica
valorativa que sirva para responder la pregunta “¿qué se podría mejorar?”.
Se trata de dos demandas muy diferentes pero estrechamente relacionadas ya que sin
una profunda comprensión de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas
no es posible conseguir su mejora. La existencia de estas dos demandas es el resultado
de la superación del punto de vista ingenuo que consideraba que la Didáctica de las
Matemáticas podía responder a la pregunta ¿Cómo enseñar mejor las matemáticas?
diciéndonos qué hay que hacer en clase para que los alumnos aprendan matemáticas.
3.1 La investigación destinada a favorecer la comprensión y/o explicar los procesos
de enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas
El papel de la teoría en la investigación en Didáctica de las Matemáticas
La primera demanda exige herramientas teóricas que permitan la descripción, la
interpretación y/o la explicación de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas. Una manera de satisfacer estas necesidades teóricas es entender la
Didáctica de las Matemáticas como una ciencia aplicada que importa y aplica los
saberes de otras disciplinas más generales como la psicología, la sociología, etc. Desde
esta perspectiva las investigaciones en Didáctica de las Matemáticas serán cognitivistas
(si aplica la psicología cognitiva), sistémicas (si aplica la teoría de sistemas),
constructivistas, socioculturales, antropológicas, etc.
Otra posibilidad es considerar que los saberes importados de disciplinas como la
psicología, sociología, etc. no permiten por sí mismos, sin modificaciones e
independientemente los unos de los otros, explicar los procesos de enseñanzaaprendizaje de las matemáticas. Por el contrario, es necesario, crear programas de
investigación propios del área de la Didáctica de las Matemáticas que tengan en cuentan
la especificidad del conocimiento matemático. Esta opción necesita investigaciones de
tipo teórico que permitan la creación y el desarrollo de marcos teóricos intermedios.
Después de constatar las limitaciones de las teorías psicopedagógicas generales para
explicar los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, muchos
investigadores en este campo han optado por desarrollar programas de investigación
específicos del área. Se ha pasado de tener marcos generales (cognitivismo,
constructivismo, teorías socioculturales, enfoques sistémicos, etc.) a tener marcos
específicos de investigación en didáctica de las matemáticas, que si bien están
relacionados con enfoques generales, tienen en cuenta la especificidad del contenido
matemático que se enseña. Entre otros, tenemos la Teoría de las Situaciones Didácticas
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
(Brousseau y colaboradores), el Enfoque Ontosemiótico (Godino y colaboradores),
Teoría de la Objetivación (Radford y colaboradores), la Teoría Antropológica de
Didáctico (Chevallard y colaboradores), la Socioepistemología (Cantoral
colaboradores), la Educación Matemática Crítica de (Skovmose y colaboradores),
Teoría APOE (Dubinsky y colaboradores), etc.
la
lo
y
la
Estos marcos teóricos específicos exigen, por una parte, investigaciones de tipo teórico
que permitan su creación y desarrollo y, por otra parte, la aplicación de dichos marcos
teóricos al estudio de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas (lo cual
sirve, entre otras cosas, para desarrollarlos)
De acuerdo con Font (2002) consideramos que los diversos enfoques que se han
propuesto en la Didáctica de las Matemáticas se posicionan de manera explícita o
implícita sobre los siguientes aspectos: 1) Una ontología general, 2) Una epistemología,
general, 3) Una teoría sobre la naturaleza de las matemáticas, 4) Una teoría sobre el
aprendizaje y la enseñanza en general y de las matemáticas en particular, 5) Una
definición del objeto de investigación de la didáctica de las matemáticas, y 6) Una
metodología de investigación. A partir de sus posicionamientos, explícitos o implícitos,
sobre los seis puntos anteriores, los diferentes programas de investigación han
desarrollado constructos teóricos que, por una parte, se utilizan como marco teórico para
las investigaciones en Didáctica de las Matemáticas y, por otra parte, pueden ser
utilizados en la mejora de la formación inicial y permanente del profesorado con el
objetivo de conseguir una mejora de la enseñanza de las matemáticas.
Figura 3: Programas de investigación y formación de profesores
13
Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Desde esta perspectiva se puede entender que una investigación tiene que seguir, entre
otros, los siguientes pasos:
(1) Una primera formulación de una pregunta de investigación. Para ello, el investigador
ha de pensar en cuestiones que le interesen, valorar si dispone del tiempo y los recursos
necesarios para hacer la investigación, si tiene los conocimientos previos necesarios, si
puede acceder a las fuentes de información, etc. Después ha de decidirse por uno de
estos temas, delimitar el problema que se va a estudiar y resumirlo en una pregunta.
(2) La selección de un marco teórico y la reformulación de la pregunta de investigación
en térmicos de dicho marco teórico. Este paso permite una mejor delimitación de los
objetivos de la investigación (tanto generales como específicos), los cuales a su vez nos
sugieren un tipo de investigación (explicativa, descriptiva, comparativa, etc.) y una
metodología de investigación (un camino a seguir).
(3) Aplicación del marco teórico seleccionado al estudio del problema de investigación
planteado. Este tercer punto es el “camino” que sigue la investigación, por lo que aquí le
llamaremos la “metodología de investigación”. La palabra método deriva de las raíces
griegas meta (hacia, a lo largo) y odos (camino).
(4) Selección y aplicación de técnicas de investigación. El método necesita
procedimientos y medios que lo hagan operativo. A este nivel se sitúan las técnicas de
investigación. La aplicación de un marco teórico al estudio de un problema de
investigación puede implicar utilizar técnicas de investigación de tipo general, por
ejemplo la triangulación, o bien desarrollados por otros enfoques teóricos diferentes al
marco teórico seleccionado.
Actividad: Reconocer cuáles de estos cuatro pasos anteriores observas en el siguiente
texto
Las competencias PISA 2003, están inspirando currículos por competencias. Dicho tipo de currículos
conllevan el problema de cómo conseguir que los profesores tengan la competencia profesional que les
permita la evaluación de las competencias matemáticas señaladas en el currículo.
Nuestra primera pregunta fue la siguiente, ¿Son capaces los profesores en ejercicio de evaluar las
competencias PISA 2003 con las herramientas teóricas y metodológicas que propone el informe PISA
2003? Esta pregunta nos llevó al siguiente objetivo: Determinar el nivel de competencia que manifiestan
los profesores en ejercicio en la evaluación de las competencias matemáticas del informe PISA 2003.
Nos plateamos, por tanto, una investigación de tipo descriptivo; se trata de observar un determinado
fenómeno: el nivel de competencia de los profesores para evaluar las competencias PISA con los
constructos que propone el informe PISA 20003.
Para evaluar competencias matemáticas hay que considerar dos variables que están relacionadas, por una
parte es necesario que el profesorado tenga competencia matemática y, por otra parte, tiene que tener la
competencia profesional que le permite evaluar las competencias matemáticas de sus alumnos.
Nuestra primera hipótesis es que nos podíamos encontrar con profesores que no tuviesen la competencia
matemática necesaria para resolver los problemas propuestos en las pruebas PISA 2003. Nuestra segunda
hipótesis era que, para un profesor en ejercicio que tiene competencia matemática, no es fácil realizar la
evaluación sumativa y formativa de competencias solo manejando la información que se presenta en las
pruebas PISA 2003 (y por extensión en los currículos por competencias que se inspiran en ellas), es decir
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
utilizando los constructos “grupos de competencia (niveles de complejidad)” y la lista de las
“competencias y subcompetencias” del informe PISA 2003.
La primera formulación de la pregunta la reelaboramos dentro del marco teórico del Enfoque
Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción matemática (EOS) (Godino, Batanero y Font, 2007) de la
siguiente manera:
1. ¿Son capaces los profesores en ejercicio de evaluar las competencias PISA 2003 con las herramientas
teóricas y metodológicas que propone el informe PISA 2003?
2. ¿Cuáles son las limitaciones que presentan los constructos teóricos del informa PISA 2003 para realizar
la evaluación de las competencias consideradas en dicho proyecto?
3. ¿La técnica de análisis de prácticas matemáticas y de los objetos y procesos matemáticos activados en
dichas prácticas que propone el EOS es una herramienta que permite la evaluación sumativa y formativa
de las competencias matemáticas propuestas en el informe PISA 2003, o en el curriculo oficial?
........................................
Una tercera posibilidad es huir de marcos teóricos intermedios o teorías generales,
consideradas demasiado ambiciosas, y limitarse al desarrollo a teorías de ámbito muy
local que se puedan conectar y sincronizar razonablemente con los estudios empíricos.
Esto es lo que propone La Teoría Fundamentada (Glaser y Strauss, 1967).
Se trata de una metodología general para el desarrollo de la teoría que se basa sobre una
recogida y análisis de datos sistemática. La característica definitoria de dicha teoría es
que las proposiciones teóricas no se postulan al inicio del estudio, sino que las
generalizaciones emergen de los propios datos y no de forma previa a la recolección de
los mismos. Los autores que han elaborado la teoría fundamentada consideran que,
siguiendo el procedimiento adecuado, cualquier persona puede elaborar su propia teoría,
que, lógicamente, deberá ser comprobada y validada, pero ello conduciría a su
modificación y no a su destrucción. El objetivo final de un estudio desarrollado desde
esta perspectiva es generar o descubrir una teoría, un esquema analítico abstracto de un
fenómeno que se relaciona con una situación y un contexto particulares.
El uso de marcos teóricos para la observación de fenómenos
El uso de marcos teóricos (sean generales, intermedios o locales) permite, entre otros
aspectos, la capacidad de describir los procesos de enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas, o bien algún fenómeno parcial que se haya producido en él. La
observación en este caso consiste en la descripción realizada por medio de los
constructos del marco teórico. El poder descriptivo de cada marco teórico es diferente y
uno de los motores de su desarrollo es aumentarlo.
Hay investigaciones en Didáctica de las Matemáticas que se limitan a la observación de
fenómenos. Es decir, la metodología de investigación consiste en la aplicación de un
determinado marco teórico al estudio de una determinada situación con el objetivo de
llegar a documentar un determinado fenómeno. Para ello hay que elaborar instrumentos
para recoger la información, obtener resultados, analizar los resultados utilizando el
15
Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
marco teórico, etc. En este tipo de investigaciones la estadística puede ser muy útil ya
que permite:
a) Generalizar el fenómeno a una población estudiando una muestra representativa.
b) Proporcionar una comparación de dos o más poblaciones. Por ejemplo, los resultados
del estudio PISA 2003 (INECSE, 2005) documentan el rendimiento básico de los
estudiantes en diversos estados sobre un abanico de competencias matemáticas.
c) Proporciona apoyo, a lo largo del tiempo, al estudio de fenómenos que fueron
detectados primeramente en estudios observacionales de menor escala.
Actividad: Diseña una investigación para observar algún fenómeno relacionado con la
comprensión de los alumnos de la ESO sobre la media aritmética cuando finalizan la
etapa (¿Qué tipo de pregunta de investigación formularías? ¿Crees que un marco teórico
te podría ser útil para reformular las preguntas iniciales? ¿Qué instrumentos de recogida
de la información se podrían utilizar? ¿Qué uso se podría hacer de la estadística en esta
investigación? etc.)
Explicación versus comprensión de fenómenos observados
Una vez se han observado ciertos fenómenos lo que interesa es comprenderlos y/o
explicarlos. Tal como se ha dicho antes, el desarrollo de marcos teóricos en el área de
Didáctica de las Matemáticas no ha permanecido ajeno a la controversia explicación
versus comprensión que ha sacudido a las ciencias sociales. Para la tradición positivista
los conceptos y los métodos de las ciencias naturales son aplicables a las indagaciones
científico sociales (los sujetos se consideran objetos). Desde esta perspectiva
comprender es “explicar”, es decir es poder explicar las causas que producen los
fenómenos observados.
Para la tradición interpretativa o antipositivista (los sujetos se consideran como sujetos)
los estudios sobre lo humano disponen de algo que está ausente en las ciencias
naturales: la posibilidad de entender el sentido de las acciones de los sujetos. Para esta
tradición comprender es conocer las “reglas del juego de lenguaje”, “comprender”
consiste en “saber orientarse” mediante el reconocimiento de la regla o reglas
correspondientes. De acuerdo con este punto de vista, se considera que no es posible
estudiar un proceso de instrucción sin comprender el sistema de normas que lo regulan.
Estos dos puntos de vista han dado origen a dos grandes familias de investigaciones,
cuando el criterio de clasificación es el nivel de análisis de la información obtenida3,
3
Se pueden utilizar diferentes criterios para clasificar una investigación, además de utilizar el criterio del
nivel de análisis de la información obtenida, se puede utilizar el criterio de la fuente de información
(documental, de campo,...); el de la extensión (censal, estudio de caso,...), el de las técnicas de obtención
de datos (por ejemplo, investigación participante); el temporal (longitudinal o transversal, ...); según el
objeto de estudio (investigación pura o investigación aplicada).
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
que reciben nombres diferentes (por ejemplo, investigación cualitativa versus
cuantitativa, explicativa versus comprensiva, interpretativa o descriptiva, etc.). Aquí
utilizaremos los términos de tradición explicativa y tradición comprensiva. A
continuación pasamos a comentar ambas tradiciones
La explicación de fenómenos
Los investigadores positivistas en las ciencias sociales, después de descubrir el
fenómeno, en su afán por imitar a las ciencias naturales, intentan dar una respuesta a la
pregunta genérica siguiente: ¿de acuerdo con qué leyes generales y qué condiciones
antecedentes se produce el fenómeno? Su ideal sería conseguir una explicación
científica del fenómeno de acuerdo al siguiente esquema:
Figura 4. Modelo de Explicación científica
Ahora bien, puesto que son conscientes que este ideal es un objetivo muy difícil de
conseguir en la Didáctica de las Matemáticas (por ejemplo, qué sería una ley general en
la didáctica de las matemáticas) se conformarían con sustituir este ideal por otro: la
explicación causal. La explicación causal tiene la siguiente estructura: si E describe un
hecho, puede decirse que las circunstancias antecedentes señaladas en C1, C2... Ck
"causan" en conjunto aquel hecho, en el sentido de que existen ciertas regularidades
empíricas expresadas por L1, L2... Lr, las cuales implican que toda vez que ocurran
condiciones del tipo indicado por C1, C2... Ck, tendrá lugar un hecho del tipo descrito en
E. Es decir, se señalan un conjunto de causas pero no se llega a concretar el “mecanismo
causal”4.
De hecho los partidarios de imitar, dentro de lo posible, a las ciencias experimentales se
conforman con algo menos y diluyen este esquema de modelo causal de explicación en
uno más general que se puede formular de la siguiente manera: dado un fenómeno que
se observa con cierta regularidad, (1) hay que buscar las causas y (2) estas causas han de
Para diferenciar entre “causas” y “mecanismo causal” nos puede ser útil el ejemplo de la evolución. Se
puede afirmar que la existencia de formas vivientes en la prehistoria (inferidas por el hallazgo de fósiles)
son la causa de las formas vivientes actuales. Pero, además de lo anterior, se puede explicar el mecanismo
causal, es decir se puede explicar la evolución de las especies a partir del mecanismo de la selección
natural.
4
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
producir inevitablemente (o al menos en la mayoría de los casos) el fenómeno en
cuestión.
“Experimentos de diseño”, “Investigación basada en el diseño” y “experimentos de
enseñanza y aprendizaje” son diversos nombres que adopta el intento de aplicar este
esquema. A continuación comentamos brevemente los dos primeros.
En los “Experimentos de diseño” se adopta el punto de vista de la explicación causal y
se hace el diseño de un experimento en el que el fenómeno que se quiere explicar se
considera la variable dependiente y la causa la variable independiente (que es la que se
manipula). Se estudia el efecto que tiene la manipulación de la variable independiente
en la dependiente y se considera un grupo control para descartar la influencia de
variables extrañas u ocultas. Hay dos grandes tipos de diseños experimentales, el
llamado diseño bivariado que estudia el efecto de una sola variable independiente en la
variable dependiente y el diseño multivariado en el que se manipulan varias variables
independientes. A continuación sigue un resumen del procedimiento que sigue este tipo
de investigación:
Procedimiento:
Primero: selección de variables. Segundo: diseño del experimento que se ha de realizar.
Tercero: preparación de un grupo de control para descartar la influencia de variables
extrañas en el experimento que vayamos a realizar. Las variables extrañas son las
circunstancias que pueden estar presentes en el experimento y que el científico no
considera las auténticas causas del fenómeno que quiere comprender. El grupo de
control debe tener las mismas características que el grupo experimental, pero no debe
estar presente en él la variable independiente (la supuesta causa del fenómeno a
estudiar). Sin embargo, en el grupo experimental sí debe estar presente la variable
independiente. El efecto del tratamiento se tendrá que observar en el grupo
experimental (en él podremos comprobar si se cumplen nuestras predicciones pues en él
se tendrán que manifestar los efectos de la manipulación de la variable independiente
(la causa).
Cuando la finalidad no es la simple exploración de la relación entre variables sino que
se pretende establecer la regularidad de dicha relación se recurre al uso de técnicas
estadísticas. En este caso el método experimental se debilita y queda en un simple
método correlacional
Procedimiento: con este método medimos la relación entre variables mediante el
coeficiente de correlación, que describe el grado en que dos variables varían de modo
concomitante. Si lo hacen en el mismo sentido (más de una viene acompañado de más
de otra, o menos de una menos de otra) la correlación será positiva; si lo hacen en
sentido contrario (más de una menos de otra, menos de una más de otra) la correlación
será negativa. Ahora bien, la existencia de correlación entre dos variables no implica
relación causal entre ellas.
El diseño de experimentos se basa en la metáfora ”agrícola”: La noción básica era que si
dos campos de una cosecha particular fueron tratados de manera idéntica excepto en una
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
variable, entonces las diferencias en las cosechas producidas se podrían atribuir a la
diferencia en esa variable. Si se quiere probar que un nuevo método de enseñanza del
contenido X produce mejores resultados, se podría hacer un experimento en el que dos
grupos de alumnos estudian X –un grupo recibe una enseñanza tradicional, mientras que
al otro se le enseña con el nuevo método. Si los estudiantes que recibieron la nueva
enseñanza obtienen mejores puntuaciones, se tendría evidencia de la superioridad del
nuevo método instruccional.
Los problemas de esta metodología de investigación se ilustran claramente en el
siguiente párrafo de Schoenfeld (2000, p.193):
Imaginemos que se puede construir un test equitativo para comparar estas formas de instruir. Y
supongamos que los estudiantes fueron asignados aleatoriamente a los grupos experimentales y de
control, y que se aplicaron procedimientos de experimentación tradicionales. A pesar de todo esto,
todavía podría haber problemas potencialmente graves. Si a los dos grupos de estudiantes les
enseñan diferentes profesores, cualquier diferencia en los resultados podría atribuirse a las
diferencias en la enseñanza. Pero incluso con el mismo profesor, podría haber innumerables
diferencias. Puede haber una diferencia en la energía o compromiso: enseñar el “mismo viejo
material” no es lo mismo que intentar nuevas ideas. O los estudiantes en uno de los grupos pueden
saber que están probando algo nuevo y experimental. Sólo esto puede provocar diferencias
significativas. (Hay una extensa bibliografía que muestra que si sienten que se están haciendo
cambios por su propio interés, trabajarán más duro y mejor –sin importar de hecho cómo sean los
cambios. Los efectos de estos cambios se desvanecen con el tiempo.). O bien los estudiantes se
pueden retraer si sienten que se experimenta con ellos.
A pesar de las dificultades que planea el diseño de experimentos en la educación hay
una fuerte tendencia a desarrollar una metodología de diseño de experimentos que
supere las dificultades apuntadas. En el Handbook of international research in
mathematics education editado por English et al (2002) se presenta el complejo panorama
de las cuestiones investigadas en educación matemática. Las cuestiones tratadas en los 30
capítulos en que se organiza este “Handbook” son agrupadas en seis temáticas. La sexta se
formula de la siguiente manera: ¿Cómo evaluamos y mejoramos las metodologías de
investigación en educación matemática? En este libro se destaca que el desarrollo de una
metodología de “experimentos de enseñanza” -mediante los cuales se va más allá de la
observación de entornos naturales de enseñanza, centrando la atención sobre desarrollos
inducidos en entornos cuidadosamente controlados y matemáticamente enriquecidos, y
que investigan las interacciones entre los estudiantes, profesores y restantes agentes (por
ejemplo, padres, políticos)- es uno de los elementos que permitirá el desarrollo de la
investigación en educación.
Algunos autores, siguiendo a Hoadley (2002), prefieren llamar a esta metodología
“Investigación basada en el diseño”, para evitar el error interpretativo de identificar este
enfoque con el diseño experimental clásico comentado anteriormente. Según De la
Orden (2007) se puede caracterizar este tipo de investigación con cinco rasgos:

Combina el diseño de situaciones o ambientes de aprendizaje y enseñanza, y el
desarrollo de teorías.

La investigación y el desarrollo configuran un ciclo continuo de diseño de
intervención-puesta en operación-análisis-rediseño.
19
Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.

La investigación sobre el propio diseño debe conducir a teorías participables que
ayuden a comunicar implicaciones relevantes a los profesionales de la enseñanza
y a otros diseñadores educativos.

La investigación debe dar cuenta (explicar) cómo y por qué funcionan los
diseños educativos en contextos reales. No debe limitarse a documentar su éxito
o fracaso, propio de la evaluación del producto.

El desarrollo de la investigación debe apoyarse en métodos que permitan
constatar (y dar cuenta de) las conexiones de los procesos de puesta en
operación con resultados de interés.
En la “Investigación basada en el diseño”, es esencial distinguir en las especificaciones
del diseño entre los elementos que constituyen el objetivo específico de la investigación
de aquellos que pueden ser instrumentales o asumidos como condiciones. También es
importante determinar las restricciones que pueden dificultar la consecución del
objetivo. El hecho de considerar las condiciones y restricciones posibilita un tipo de
explicación más débil que la causal, sería la siguiente: si se aseguran las condiciones y
se eliminan las restricciones es previsible que suceda el fenómeno que se investiga.
En síntesis, esta perspectiva de investigación5 supone utilizar diseños derivados y
guiados por una teoría educativa para generar intervenciones complejas que pueden ser
mejoradas a través del estudio empírico y que pueden contribuir a una comprensión más
profunda de la propia teoría subyacente. Esto supone una clara diferenciación respecto
a los estudios de tipo naturalístico. El proceso de modelar ingenierísticamente las
formas de enseñanza-aprendizaje que serán objeto de estudio proporciona una medida
de control que no existe en la investigación naturalística.
La metodología de investigación conocida con el nombre de “ingeniería didáctica”
(Artigue, 1995) se podría considerar un ejemplo clásico en Educación Matemática de
esta metodología de investigación basada en el diseño. La ingeniería didáctica puede
entenderse como una metodología propia de la investigación en didáctica que utiliza
como principal marco teórico la teoría de las situaciones didácticas (Brousseau, 1997),
basada en un esquema de experimentación de las realizaciones didácticas en clase, muy
alejada de la metodología experimental. La ingeniería didáctica se diferencia de otras
metodologías de investigación fundamentalmente por los criterios de validación que
utiliza, bien alejados de las clásicas comparaciones de resultados entre grupos
experimentales y testigo, estando por el contrario, más próxima del estudio de casos, y
fundamentando su validez de manera interna, a través de la confrontación entre el
análisis a priori y el análisis a posteriori.
5
El desarrollo de la metodología de experimentos de diseño y de una metodología de investigación
basada en el diseño se ve actualmente favorecida por las exigencias de la administración educativa
norteamericana. Según De la Orden (2007) dicha administración ha impuesto, recientemente, como
condición para aceptar y financiar proyectos, que estos tengan el carácter de investigación
“científicamente apoyada”, en el sentido de aportar evidencia empírica a sus conclusiones y que tengan
aplicaciones prácticas.
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
La comprensión de fenómenos
Para muchos investigadores situados en la tradición comprensiva, cuando se busca comprender
el comportamiento de los sujetos implicados en un proceso educativo lo que hay que hacer,
dicho en términos de Wittgenstein (1953), es conocer las reglas del juego de lenguaje en
el que se desarrolla. En esta perspectiva, “comprender” consiste en “saber orientarse”
mediante el reconocimiento de las reglas correspondientes. Lo que interesa conocer no
son leyes, son las reglas que subyacen, siguen y gobiernan los fenómenos sociales.
Para la tradición comprensiva, lo que hay que hacer es conocer el sistema de normas
que regulan el funcionamiento de los procesos de enseñanza y aprendizaje de un
contenido matemático específico en un contexto institucional determinado. Estas
normas, explícitas o implícitas, pueden ser establecidas por agentes externos al ámbito
escolar, por la propia institución escolar o bien por el profesor, y afectan a las diversas
dimensiones del proceso de estudio. Desde esta perspectiva, para realizar un análisis de
procesos de instrucción que permita su comprensión es necesario identificar y describir
las normas que regulan su desarrollo. El conocimiento de dichas normas será un aspecto
fundamental para contestar a la pregunta, “¿Qué ha ocurrido aquí, cómo y por qué?”.
En las investigaciones comprensivas se prefiere tener datos “reales”, “ricos” y
“profundos” más que datos “repetibles” o bien una gran cantidad de datos que permitan
la generalización. Por esta razón suelen ser habituales los estudios de caso naturalistas y
sin control de variables.
Si bien la triangulación es una técnica que no es exclusiva de la tradición comprensiva,
suele estar presente en mayor medida en las investigaciones de tipo comprensivo. Hay
diferentes tipos de triangulación (datos, investigadores, etc.). El origen del llamado
método de “triangulación” en ciencias sociales es una metáfora cuyo dominio de salida
es el método de triangulación de la geometría. La extensión del concepto de
triangulación a las ciencias sociales implica, en consecuencia, que cuanto mayor sea la
variedad de las metodologías, datos e investigadores empleados en el análisis de un
problema específico, mayor será la fiabilidad de los resultados finales. Se trata de una
metáfora que pretende trasladar la sensación de rigor científico y exactitud de la
geometría a la investigación en ciencias sociales.
Si bien es discutible que la triangulación nos asegure el rigor científico y la exactitud de
la geometría, lo que si puede conseguir la técnica de la triangulación es impedir que se
acepte con demasiada facilidad la validez de las impresiones iniciales (Cerdá, 2000).
Actividad: Comenta el tipo de triangulación (datos, investigadores, etc.) que se explica a
continuación y completa los puntos suspensivos:
Para el análisis ……………… se decidió seguir un proceso de triangulación. Primero dos investigadores
harían un análisis de las respuestas al primer cuestionario. Después se realizaría una entrevista con el
profesor de matemáticas para saber su opinión sobre este primer análisis. Después se pasaría un segundo
cuestionario a los alumnos de la Facultad de Matemáticas en el que se les preguntaría sobre las razones
que les llevaron a dar determinadas respuestas en el primer cuestionario.
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
3.2. La investigación relacionada con la valoración y la mejora de los procesos de
instrucción
Tal como se ha dicho anteriormente, la segunda demanda que se hace a la Didáctica de
las Matemáticas es “guiar la mejora de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas”, lo cual conlleva desarrollar “métodos para la valoración y mejora de los
procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas”.
Con relación a esta demanda hay básicamente tres posicionamientos, dos de ellos se
fundamentan en dos maneras diferentes de entender “la verdad” mientras que el tercero
se basa en una opción en el que los aspectos “ideológicos” juegan un papel importante.
El cambio como aplicación de resultados científicos
La primera manera de entender la “verdad” se conoce normalmente como “La verdad
como correspondencia” y suele estar asociada a los puntos de vista de tipo positivista.
Desde un posicionamiento positivista la pregunta ¿quién decide lo que es o no es
correcto y en base a qué?” se responde recurriendo a la ciencia Didáctica de la
Matemática, puesto que es una ciencia que es conforme con la realidad, que establece
relaciones causa-efecto, etc.
Actividad: A continuación siguen algunos párrafos de la revisión de un artículo que fue
sometido a revisión para ser publicado en una revista importante en el área de la
Didáctica de las Matemáticas. Subraya algunas de las frases que permiten considerar a
este revisor como “positivista”.
Comentarios Revisor
……………………………………………….
Al igual que ocurre en otros trabajos y publicaciones dentro de esta tendencia, el texto
es meramente descriptivo, sin que se incluyan análisis que determinen de forma precisa
las relaciones causa – efecto que se dan entre las condiciones, aspectos, factores y
fenómenos implícitos en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas,
cuáles son dichas relaciones, cuál es la intensidad de las mismas y porqué se producen o
cómo habría que intervenir para modificarlas en orden a optimizar los procesos en
estudio. Por el contrario, el manuscrito se reduce casi exclusivamente a realizar,
mediante sucesivas definiciones y clasificaciones de términos en distintas categorías,
una descripción de una interpretación particular de una parte de los fenómenos de la
Educación Matemática y de las relaciones internas que se suponen existentes entre las
diferentes facetas que intervienen. Se trata, por tanto, de la descripción de un modelo
que viene a completar a otros modelos previos más generales de los que toma la
estructura, la terminología y los principios.
Se trata de una reflexión generalista que no aporta conocimientos científicos, sino
esquemas, categorías y términos que podrían servir para el desarrollo de programas de
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
investigación, pero cuya relevancia y efectividad han de ponerse en suspenso hasta que
los datos avalen o rechacen los propios planteamientos o incluso los planteamientos
previos sobre los que se sustenta como modelos explicativos de la realidad, los cuales, a
su vez, se han construido en su mayor parte empleando interpretaciones subjetivas de
dicha realidad, creencias y teorías implícitas de dudosos fundamentos científicos.
……………………………………………………………………………………..
La utilidad de la reflexión para la enseñanza de las Matemáticas sería indudable si las
categorías, factores, definiciones y relaciones de los modelos se apoyaran, aunque sólo
fuera parcialmente, en una sólida contrastación empírica o, al menos, en indicios que
apoyen las afirmaciones. En este caso, el profesor, el diseñador curricular, la editorial o
la administración dispondrían de criterios adecuados para orientar, preparar y
desarrollar los procesos de enseñanza y aprendizaje aunque fuera de forma aproximada.
…………………………………………………………………………………………
Entre las limitaciones generales de este enfoque resaltamos especialmente que se trata
de una teoría compleja que se recrea en una espiral de análisis exclusivamente de
carácter teórico y cuya conformidad con lo real no sólo está por ser establecida, sino que
su grado de desarrollo actual hace difícil que se pueda desarrollar un programa de
investigación eficaz, que debería empezar por confirmar o rechazar cuestiones tan
elementales como la metodología adecuada para delimitar con precisión el significado
personal de los objetos matemáticos, entre otros aspectos. Dicho de otra manera, es
evidente que no se aportan evidencias empíricas sobre numerosos aspectos, categorías y
afirmaciones que sirven de base para nuevas ampliaciones teóricas y cuya bondad y
pertinencia sería deseable que fuera contrastada antes de realizar las ampliaciones
mencionadas.
………………………………………………………………………………
Desde esta perspectiva la investigación científica realizada en el área de Didáctica de las
Matemáticas nos dirá cuáles son las causas que hay que modificar para conseguir los
efectos considerados como objetivos a alcanzar, o, como mínimo, nos dirá cuáles son
las condiciones y restricciones que hay que tener en cuenta para conseguir el objetivo
deseado.
Desde este punto de vista, la estrategia para mejorar los procesos de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas deben ser de tipo arriba/abajo, a partir de la producción
de materiales curriculares realizados por expertos que aplican conocimiento científico.
La innovación es producida por expertos, luego transmitida a los profesores y, por
último, es puesta en práctica por el profesorado. Se trata de un modelo ID (investigación
y desarrollo) o su variante IDD (investigación, difusión y desarrollo) donde la
legitimidad de las innovaciones proviene de su elaboración por parte de expertos que
utilizan el conocimiento científico generado por la Didáctica de las Matemáticas. El
principal problema que presenta esta manera de entender el cambio es que los
profesores no están incluidos en el proceso, se limitan a aplicar materiales curriculares
diseñados por expertos dedicados a la investigación.
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Esta perspectiva, si bien da mucha importancia al papel de la teoría, limita el papel de
profesor al de usuario y no tiene demasiado en cuenta los factores sociopolíticos que
afectan a la Educación Matemática.
Diversos investigadores han señalado la importancia de tener en cuenta también los dos
últimos aspectos. Un ejemplo lo tenemos en los siguientes párrafos de Carr y Kemmis
(1988, p. 27):
[…] Lo que todo esto sugiere es que, para que la enseñanza llegue a ser una actividad más
genuinamente profesional, deben ocurrir tres tipos de evolución. La primera, que las actitudes y la
práctica de los enseñantes lleguen a estar más profundamente ancladas en un fundamento de
teoría y de investigación educativa. La segunda, que se amplíe la autonomía de los maestros en el
sentido de incluirlos en las decisiones que se tomen sobre el contexto educacional más amplio
dentro del cual actúan; es decir, que la autonomía profesional debe ser respetada tanto en el plano
colectivo como en el individual. La tercera, que se generalicen las responsabilidades profesionales
del maestro a fin de incluir las que tiene frente a otras partes interesadas de la comunidad en
general[…] [luego] el tipo de conocimiento demandado a la investigación no se limitaría a las
cosas que afecten a la actuación en clase y la técnica pedagógica, sino que debería incluir aquellos
conocimientos orientados a facilitar la discusión cooperativa en el seno de la profesión como
conjunto, y acerca del contexto amplio social, político y cultural dentro de la cual aquélla actúa.
Si se opta por reconocer la importancia de la autonomía de los profesores y de los
aspectos sociopolíticos es necesario replantear la relación entre la teoría y su aplicación.
El cambio basado en el consenso
Para muchos investigadores la teoría de la verdad como correspondencia resulta
problemática, cuando se aplica a la Didáctica de las Matemáticas, y prefieren lo que se
conoce como “Teoría consensual de la verdad”. Según este punto de vista, la teoría
consensual de la verdad permite, por una parte, conservar la intuición básica
(conformidad con lo real) de la teoría de la verdad por correspondencia y, por la otra,
superar las dificultades con las que se encuentra dicha teoría.
Desde esta perspectiva, lo que nos dice cómo guiar la mejora de los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas debe emanar del discurso argumentativo de
la comunidad científica, cuando éste está orientado a conseguir un consenso sobre “lo
que se puede considerar como mejor”. Desde la perspectiva de la teoría consensual de la
verdad, es necesario poner las condiciones que posibilitan una situación de acción
comunicativa, es decir situaciones de igualdad en las que prevalezca el mejor argumento
y no el que se deriva de las situaciones de poder. En una situación comunicativa, la
argumentación tiene por objeto la resolución de diferencias de opinión, el interés está en
llegar a un acuerdo con el antagonista y no en la persuasión o la dominación. Se trata de
crear una actitud proclive a la discusión a través del análisis crítico de diferentes
posturas, de cara a concordar en la toma de decisiones en base al mejor argumento.
Si se considera que la Didáctica de la Matemática debe aspirar a la mejora del
funcionamiento de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, se
necesitan criterios de “idoneidad” o adecuación que permitan valorar los procesos de
instrucción efectivamente realizados y “guiar” su mejora. Se trata de realizar una metaacción (la valoración) que recae sobre acciones (las acciones realizadas en los procesos
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
de instrucción). En consecuencia, ha de considerarse la incorporación de una
racionalidad axiológica en la educación matemática que permita el análisis, la crítica, la
justificación de la elección de los medios y de los fines, la justificación del cambio, etc.
En definitiva, son necesarios criterios de idoneidad que permitan contestar a la pregunta
genérica, “¿Sobre qué aspectos se puede incidir para la mejora de los procesos de
instrucción matemática? (Godino, Font, Wilhelmi y De Castro, 2009)
Por criterio de idoneidad se debe entender una regla de corrección que establece cómo
debería realizarse un proceso de instrucción. Ahora bien, estos criterios deben ser
entendidos como reglas de corrección emanadas del discurso argumentativo de la
comunidad científica, cuando éste está orientado a conseguir un consenso sobre “lo que
se puede considerar como mejor”. Es decir, han de ser entendidos como horizonte de
todos los criterios que la comunidad científica pueda ir formulando y consensuando
sobre la mejora de los procesos de instrucción; como un ideal al que tienden los
diferentes consensos fácticos que se pueden producir en un momento dado en la
comunidad científica. Se trata de una noción inspirada en la idea de la teoría consensual
de la verdad de Peirce y de sus desarrollos y adaptaciones posteriores realizadas por
autores como Apel (1997) y Habermas (1997).
Desde esta perspectiva la Didáctica de las Matemáticas nos puede ofrecer principios (o
criterios de idoneidad) que pueden servir primero para guiar los procesos de enseñanza
y aprendizaje de las matemáticas y, segundo, para valorara sus implementaciones. Los
principios y criterios de idoneidad son reglas de corrección útiles en dos momentos de
los procesos de estudio matemáticos. A priori, los criterios de idoneidad son principios
que orientan “cómo se deben hacer las cosas”. A posteriori, los criterios sirven para
valorar el proceso de estudio efectivamente implementado.
Desde esta perspectiva la investigación en Didáctica de las Matemáticas se ha de
interesar por, (1) caracterizar estos criterios de calidad y (2) realizar investigaciones
concretas en las que se aplique dichos criterios con el objetivo de valorar el proceso de
enseñanza y aprendizaje y poder proponer acciones encaminadas a su mejora en futuras
implementaciones.
Esta perspectiva nos lleva a experiencias de innovaciones adaptadas a los contextos
locales que, además, deben contar con la implicación del profesorado. Esto se debe a
que la aplicación concreta de estas reglas de corrección es “situada”. Es decir, la
aplicación, priorización, relegación, etc., de dichas reglas depende del contexto
institucional en el que se desarrolla el proceso de instrucción y del criterio pedagógico y
didáctico del profesor que las debe tener en cuenta. Se trata de una guía de orientación
para la mejora de los procesos de instrucción, no de unos principios o criterios que
produzcan la frustración del profesor “normal” al no poderlos alcanzar.
A continuación comentamos dos propuestas de principios y criterios para guiar la
mejora de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Nos referimos a
la propuesta de Principios y Estándares del NCTM (2000) y a la propuesta de criterios
de idoneidad formulada por el Enfoque Ontosemiótica de la Cognición e Instrucción
Matemática (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2006).
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Principios y estándares del NCTM
El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) se presenta a si mismo como
una organización profesional internacional comprometida con la excelencia de la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas para todos los estudiantes. La mayoría de
sus miembros son de Estados Unidos y del Canadá. Se trata de una asociación de
profesores que también incluye investigadores en Educación Matemática.
Actividad: Visita la página web del NCTM: http://www.nctm.org
Al reflexionar sobre las características que ha de tener un proceso de enseñanza de las
matemáticas para ser considerado de calidad es muy útil analizar algunos documentos
preparados sobre esta problemática por el NCTM. Dicha asociación elaboró en 1991 un
documento titulado Estándares profesionales para la enseñanza de las matemáticas
(NCTM, 1991) con el fin de que fuese una referencia para orientar la labor de los
profesores de matemáticas en la década de los 90 del siglo pasado. Este documento tuvo
un gran impacto en la comunidad interesada en la Educación Matemática y en el año
2000 se publicó un nuevo documento titulado Principios y Estádares para la Educación
Matemática (NCTM, 2000) cuyo objetivo también era convertirse en un referente
mundial para guiar procesos de enseñanza de las matemáticas de calidad.
Lo primero que hay que destacar en la elaboración de Principios y Estádares para la
Educación Matemática (NCTM, 2000) es que el proceso que se siguió tenía como
objetivo elaborar un documento que pudiese conseguir el máximo consenso posible en
la comunidad interesada en la Educación Matemática. El proceso seguido fue el
siguiente (Marín y Lupiáñez, 2005, pp. 106-107):
En el año 1995 el NCTM designó una comisión para el futuro de los Estándares y se le
encomendó: a) supervisar el proyecto Estándares 2000; b) recoger y sintetizar información y
asesoramiento dentro y fuera del NCTM; y c) planificar la difusión, interpretación, ejecución y
revisión posterior de los futuros Estándares.
En 1997 se constituye el equipo de redacción y el equipo del formato electrónico con
profesores, formadores de profesores de matemáticas, representantes de las
administraciones educativas, investigadores y matemáticos, todos ellos con gran experiencia
educativa.
Se invitó a todas las sociedades miembros de la Conference Board of the Mathematical
Sciences a constituir la Association Review Groups (ARGs), que podría proporcionar
asesoramiento e información sobre las matemáticas. Se constituyeron catorce Grupos de
Revisión.
El Research Advisory Committee del NCTM encargó una serie de documentos resumiendo la
investigación realizada hasta el momento en ocho áreas de la enseñanza y el aprendizaje de
las matemáticas, que sirvieran de antecedentes al Equipo de redacción.
La Conference on Fundations for School Mathematics, celebrada en Atlanta en marzo de
1999 proporcionó una preparación a los redactores sobre las perspectivas teóricas relativas a
la enseñanza y el aprendizaje.
En 1998, se hizo una amplia difusión de un borrador de los Estándares, bajo el título de
Principles and standards for school Mathematics: Discussion draft, con el fin de que se
discutiera y se remitieran al NCTM las consideraciones pertinentes. Se facilitaron cerca de
30000 copias a personas interesadas. Decenas de miles accedieron a este documento por
Internet.
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Entre 1998 y 1999 se celebraron sesiones de presentación y discusión del documento. Se
comisionó a veinticinco personas para revisar el borrador desde la perspectiva de sus áreas
particulares de interés. Se recibieron más de seiscientas cincuenta respuestas individuales, y
las opiniones de más de setenta grupos. Fueron examinados los argumentos sobre todas las
perspectivas de los distintos aspectos considerados, y a la luz de las respuestas, el equipo
decidió detenidamente la postura que Principios y Estándares debería adoptar respecto a
cada uno de los temas.
Las finalidades de los Principios y Estándares Estádares para la Educación
Matemática (NCTM, 2000) son los siguientes:

Exponer un conjunto amplio y coherente de objetivos para las matemáticas,
desde Prekindergarten (Preescolar en España) hasta el nivel 12 (Bachillerato en
España), para todos los estudiantes, a fin de que orienten los esfuerzos relativos
al currículo, a la enseñanza y a la evaluación, durante las próximas décadas.

Servir como recurso a los profesores, responsables educativos y políticos, para
analizar y mejorar la calidad de los programas de instrucción matemática.

Guiar el desarrollo de marcos curriculares, evaluaciones y materiales de
enseñanza.

Estimular ideas y conversaciones continuas en los ámbitos nacional, provincial o
estatal y local, respecto a cómo ayudar mejor a los estudiantes para que consigan
una profunda comprensión de las matemáticas.
Los principios orientan la acción educativa. Forman parte de las grandes decisiones
subyacentes a todo currículo e implican a los ámbitos políticos, sociales y económicos
Estos son los Principios curriculares que se proponen:
Igualdad: La buena educación matemática requiere igualdad, es decir, altas expectativas
y una base potente para todos los estudiantes
Curriculum: Un curriculum es más que una colección de actividades: debe ser
coherente, enfocado en matemáticas importantes, y bien articulado en grados.
El énfasis en seleccionar matemáticas importantes o relevantes para los objetivos
marcados es muy notable: Por. Ejemplo, dentro del campo numérico cita la
proporcionalidad y las razones; cita las destrezas de razonar y deducir, la capacidad de
predicción a través de las matemáticas o incrementar conocimientos en recursión,
iteración, comparación de algoritmos.
Enseñanza: Una enseñanza efectiva de las matemáticas requiere que los estudiantes
comprendan lo que conocen y lo que necesitan aprender, y por tanto se plantea el desafío
de apoyarles en un aprendizaje correcto.
Aprendizaje: Los estudiantes deben aprender matemáticas, comprendiéndolas,
construyendo activamente nuevo conocimiento desde la experiencia y el conocimiento
previo.
Evaluación: La evaluación debe apoyar el aprendizaje de unas matemáticas relevantes y
proporcionar información útil tanto a los profesores como a los estudiantes.
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Tecnología: La tecnología es esencial en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas;
influye en las matemáticas que se enseñan y estimula el aprendizaje de los estudiantes.
Los Estándares curriculares dan una respuesta en forma de propuesta a la pregunta
¿qué contenidos y procesos matemáticos deberían aprender los estudiantes a conocer y
ser capaces de usar cuando avancen en su enseñanza? Se estructuran en estándares de
contenido y de proceso. Los cinco estándares de contenidos son: Números y
Operaciones, Algebra, Geometría, Medida y Análisis de datos y Probabilidad. Hay otros
cinco estándares de procesos en los que se presentan modos destacados de adquirir y
usar el conocimiento: Resolución de Problemas, Razonamiento y Demostración,
Comunicación, Conexiones y Representación.
Actividad: Lectura y comentario del artículo Los nuevos Principios y Estándares del
NCTM en castellano (Marín y Lupiañez, 2005)
Criterios de idoneidad
Desde los diferentes programas de investigación que han emergido en el área de la
Didáctica de las Matemáticas se han elaborado propuestas de criterios que permitan la
valoración y mejora de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Un
ejmplo es el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción matemática (Godino,
Bencomo, Font y Wilhelmi, 2006; Godino, Font, Wilhelmi y De Castro, 2009). Dicho
enfoque propone los siguientes criterios de idoneidad:
Idoneidad epistémica, se refiere a que las matemáticas enseñadas sean unas “buenas
matemáticas”. Para ello, además de tomar como referencia el currículo prescrito, se trata
de tomar como referencia a las matemáticas institucionales que se han transpuesto en el
currículo.
Se puede aumentar su grado presentando a los alumnos una muestra representativa y
articulada de problemas de diversos tipos (contextualizados, con diferentes niveles de
dificultad, etc.); procurando el uso de diferentes modos de expresión (verbal, gráfico,
simbólico...), y traducciones y conversiones entre los mismos; procurando que el nivel
del lenguaje matemático utilizado sea adecuado y que las definiciones y procedimientos
estén clara y correctamente enunciados y adaptados al nivel educativo a que se dirigen;
asegurando que se presentan los enunciados y procedimientos básicos del tema y
adecuando asimismo las explicaciones, comprobaciones, demostraciones al nivel
educativo a que se dirigen; estableciendo relaciones y conexiones significativas entre las
definiciones, propiedades, problemas del tema estudiado, etc.
Idoneidad cognitiva, expresa el grado en que los aprendizajes pretendidos/
implementados están en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la
proximidad de los aprendizajes logrados a los pretendidos/implementados.
Se puede aumentar su grado asegurándonos, por una parte, que los alumnos tienen los
conocimientos previos necesarios para el estudio del tema y, por otra parte, que los
contenidos que se pretenden enseñar se pueden alcanzar (tienen una dificultad
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
manejable); procurando incluir actividades de ampliación y de refuerzo; realizando una
evaluación formativa durante el proceso de enseñanza-aprendizaje que nos asegure que
los alumnos se han apropiado de los contenidos enseñados.
Idoneidad interaccional, grado en que los modos de interacción permiten identificar y
resolver conflictos de significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje.
Se puede aumentar su grado asegurándonos que el profesor hace una presentación
adecuada del tema (presentación clara y bien organizada, ¿se le entiende cuando habla?,
haciendo un uso correcto de la pizarra, poniendo suficiente énfasis en los conceptos
clave del tema, etc.); procurando reconocer y resolver los conflictos de significado de
los alumnos (interpretando correctamente los silencios de los alumnos, sus expresiones
faciales, sus preguntas, etc.); utilizando diversos recursos retóricos argumentativos para
captar, implicar, etc. a los alumnos; procurando facilitar la inclusión de los alumnos en
la dinámica de la clase y no la exclusión; favoreciendo el diálogo y comunicación entre
los estudiantes; contemplando momentos en los que los estudiantes asumen la
responsabilidad del estudio (exploración, formulación y validación) etc.
Idoneidad mediacional, grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales
y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje.
Se puede aumentar su grado usando materiales manipulativos e informáticos;
procurando que las definiciones y propiedades sean contextualizadas y motivadas
usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones; procurando invertir el tiempo
en los contenidos más importantes o nucleares del tema e invirtiendo el tiempo en los
contenidos que presentan más dificultad de comprensión.
Idoneidad afectiva, grado de implicación (interés, motivación) del alumnado en el
proceso de estudio.
Se puede aumentar su grado seleccionando tareas de interés para los alumnos,
promoviendo la valoración de la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y
profesional; promoviendo la implicación en las actividades, la perseverancia,
responsabilidad, etc.; favoreciendo la argumentación en situaciones de igualdad de
manera que el argumento se valore en sí mismo y no por quién lo dice; promoviendo la
autoestima evitando el rechazo, fobia o miedo a las matemáticas, etc.
Idoneidad ecológica, grado de adaptación del proceso de estudio al proyecto educativo
del centro, las directrices curriculares, las condiciones del entorno social, etc.
Se puede aumentar su grado asegurando que los contenidos enseñados se corresponden
con las directrices curriculares; asegurando que dichos contenidos contribuyen a la
formación socio-profesional de los estudiantes; procurando que los contenidos que se
enseñan se relacionan con otros contenidos matemáticos y de otras disciplinas, etc.
Los profesores, en sus reuniones de trabajo, en sus conversaciones informales, etc.
cuando valoran los procesos de instrucción que realizan o bien, por ejemplo, cuando
valoran sus posibles cambios utilizan, de manera explícita o implícita, algunos de los
criterios de idoneidad descritos anteriormente. El hecho de explicitar de manera
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
sistemática estos criterios puede servir de ayuda para apoyar la reflexión de los
profesores sobre su práctica profesional y para guiar su mejora.
Actividad
Sabemos que la aplicación concreta de las matemáticas modernas en los años 70 y 80
del siglo XX, y en la educación no universitaria, fue un fracaso. Como alternativa a este
fracaso los profesores optaron básicamente por dos opciones: 1) una enseñanza
contextualizada y significativa que presentaba a los alumnos contextos concretos que
permitían dar sentido a los conceptos matemáticos y 2) una enseñanza mecanicista
apoyada en una cierta concepción conductista del aprendizaje. Mientras que los
primeros proponían una alternativa basada en: a) enseñar las matemáticas a partir de la
resolución de problemas y b) hacer ver a los alumnos que las matemáticas se podían
aplicar a situaciones de la vida real, los partidarios de la segunda opción hacían una
presentación descontextualizada de los conceptos y reglas matemáticas, las cuales se
aprendían con la práctica. Uno de los temas en los que este último tipo de enseñanza
mecanicista ha sido habitual son las ecuaciones.
A continuación siguen tres episodios de una clase de ecuaciones para alumnos de 14
años. La clase se compone de más episodios pero son casi todos del mismo tipo que los
tres seleccionados:
[78]
Profesora: [Escribe en la pizarra una nueva ecuación].
2  5  x  10 [Texto que queda registrado en la pizarra]
[Señala a un alumno y realiza una pregunta]. ¿Cómo resolverías este ejercicio?
[79]
Alumno11: No entiendo eso de pasar la equis. Sé que equis es igual a tres.
[80]
Profesora: El inverso de la suma es la resta, de la resta es suma, de la multiplicación es la
división y de la división es la multiplicación.
  
  


 :
: 
[La Profesora pretende explicar cómo se pasan de miembro los términos de una
ecuación. Para ello, realiza un esquema en la pizarra, al mismo tiempo que expresa
de manera oral el texto que se registra].
[93]
Alumno1: [Debe resolver la ecuación: 2  x  9 . Efectúa algunos procedimientos erróneos y no
logra encontrar su solución].
[94]
Profesora: Mirá ¡Es fácil! [Le expresa a Alumno1, y resuelve la ecuación]
x  9  2  7 [Texto que queda registrado en la pizarra]
[95]
Alumno1: Pero el dos no está sumando, la equis está sumando, ¿por qué pasa el 2 restando? [Le
pregunta a la docente después que efectuó la resolución de la ecuación].
[96]
Profesora: Es lo mismo tener más dos más equis igual a nueve que dos más equis igual a nueve.
[Escribe en la pizarra el mismo tiempo que habla]. El signo adelante no se coloca.
2  x  9 2  x  9 [Texto que queda registrado en la pizarra]
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
[120]
Profesora: Comprobemos si está bien [Dirigiéndose al grupo de alumnos y al mismo tiempo,
escribe en la pizarra lo que expresa en formal oral. Pretende verificar que x  3 es solución de la
ecuación 2 x  1  7 ].
2  3  1  7 [Texto que queda registrado en la pizarra]
[121]
Alumno6: ¿Cómo hace cada paso para comprobar?
[122]
Profesora: Hay muchas cosas en matemática que son mecánicas y con la práctica lo vas a lograr.
[Responde a la pregunta de Alumno6].
Haz una valoración de esta clase teniendo en cuenta el criterio de idoneidad epistémico
y el criterio de idoneidad cognitivo
El punto de vista sociocrítico y la investigación acción
Una corriente importante en la investigación en Educación Matemática es la que
considera que la mejora de los procesos de enseñanza y aprendizaje debe tener por
objetivo la emancipación de las personas y la transformación social. Para ello, se deben
potenciar estrategias de reflexión sobre la práctica por parte de los propios actores que
promuevan el cambio en esta dirección.
Si aplicamos los criterios de idoneidad comentados anteriormente, se trata de
investigaciones que ponen el acento en la idoneidad ecológica. El entorno previamente
se ha definido en términos ideológicos (p.e. conseguir ciudadanos con competencia
democrática).
Un ejemplo de programa de investigación en Educación Matemática de este tipo es la
llamada “Educación Matemática Crítica” (Skovsmose, 1999). Este enfoque propone una
agenda de investigación para el estudio de la relación entre educación matemática y
democracia. Los aspectos que preocupan a la teoría crítica son, entre otros: 1) preparar a
los estudiantes para ser ciudadanos; 2) introducir las matemáticas como una herramienta
para analizar de manera crítica los hechos socialmente relevantes; 3) tener en cuenta los
intereses de los estudiantes; 4) considerar los conflictos culturales en los que se
desarrolla el proceso de instrucción; 5) contemplar los aspectos anteriores sobre el
proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas para que el conocimiento
matemático se convierta en una herramienta crítica y 6) dar importancia a la
comunicación en el aula, entendida como el conjunto de relaciones interpersonales que
son la base de la vida democrática. Otro de los aspectos que más preocupa a la
educación matemática crítica son las relaciones entre las matemáticas y la tecnología, la
cual, al mismo tiempo que soluciona problemas, genera otros nuevos.
En la perspectiva sociocrítica el profesor debe modificar su rol, pasando de ser
reproductor a constructor de conocimiento. Se sostiene que el profesor puede y debe
elaborar teoría desde su práctica. Se considera que los docentes pueden, y deben,
dedicarse a elaborar teoría pedagógica a partir de la investigación educativa, eliminando
la disociación que tradicionalmente se ha planteado entre teoría y práctica, que deja la
primera a los investigadores y la segunda a los profesores cuando se enfrentan a las
31
Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
tareas cotidianas de su labor. El investigador es un sujeto más, comprometido con el
cambio. La metodología de investigación suele ser la investigación-acción participativa.
La investigación acción es entendida en su aplicación al ámbito escolar, como el estudio
de una situación social en la que participan maestros y estudiantes con objeto de mejorar
la calidad de la acción, a través de un proceso cíclico en espiral de diagnóstico del
problema, planificación, acción, reflexión y evaluación del resultado de la acción
(Kemmis y Mctarggart, 1992; Elliott, 1996).
Ejemplo
El diagnóstico podría ser que en la clase de un profesor no se desarrolla la competencia
de resolución de problemas contextualizados. Una vez, asumido este hecho como un
problema se planifica una serie de acciones que tienen por objetivo desarrollar dicha
competencia mediante un cambio en la práctica profesional del profesor (lo cual puede
implicar, por ejemplo, el desarrollo de un taller de capacitación y actualización docente
en la resolución de problemas y en el trabajo por proyectos, en el que se dedique tiempo
para planificar el proceso de enseñanza-aprendizaje en el aula, revisar material
bibliográfico, etc.).
Fase de ejecución; se aplican las estrategias metodológicas diseñadas por los distintos
actores que intervinieron en la investigación. Estas actividades, deben permitir observar
cambios significativos en relación a la práctica pedagógica del profesor, el trabajo
cooperativo realizado por los alumnos, el interés de éstos con respecto a las
matemáticas, etc.
En la Fase de evaluación se trata de evaluar si los alumnos han mejorado su
competencia en la resolución de problemas contextualizados y en el trabajo por
proyectos, si son capaces de (1) formular, inventar y proponer nuevos problemas
matemáticos, (2) desarrollar un pensamiento crítico, (3) desarrollar habilidades tanto
para el trabajo independiente y autónomo como para el colaborativo, (4) consolidar
valores tales como la solidaridad, el compañerismo, el cooperativismo y la convivencia.
En cuanto al profesor se trataría de ver si ha mejorado su formación, si ha modificado
sus actitudes y práctica pedagógica, si es capaz de presentar situaciones reales o
simuladas que permitan a sus alumnos asumir actitudes reflexivas, etc.
En esta fase se puede diagnosticar un nuevo problema que es el inicio de una nueva
secuencia de planificación, ejecución y evaluación.
4. LA DIFUSIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN
La mayor parte de la investigación en Educación Matemática en España se produce en
las universidades. La difusión de los resultados de dicha investigación se realiza, sobre
todo, mediante publicaciones en revistas de investigación y presentaciones en
congresos de investigadores.
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Algunos de los congresos más relevantes en el área de la Didáctica de las Matemáticas
son los siguientes:
En España:

El Simposio sobre Investigación en Educación Matemática de la Sociedad
Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM).
En Latinoamérica:

La Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (RELME), congreso del
Comité
Latinoamericano
de
Matemática
Educativa
(CLAME,
http://www.clame.org.mx/).
En Europa:

El CERME, congreso de la European Society for Research in Mathematics
Education (ERME, http://www.erme.uni-osnabrueck.de/).
En el Mundo

EL PME, congreso del International Group for the Psychology of Mathematics
Education (PME, http://igpme.org/).
Las revistas que publican artículos de investigación sobre la enseñanza y aprendizaje de
las matemáticas son de dos tipos: 1) revistas específicas de Didáctica de la Matemática
y 2) revistas de áreas afines que también publican trabajos sobre la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas. El criterio para considerar una publicación como
relativa a “Didáctica de las Matemáticas” puede ser su inclusión en la base de datos
MATHEDUC (http://www.zentralblatt-math.org/matheduc/). La lista de las revistas
incluidas se puede consultar en http://www.zentralblatt-math.org/matheduc/journals/.
A su vez las revistas se clasifican según su calidad. Para determinar la calidad se parte
del principio de que el conocimiento que no se comunica por los conductos adecuados,
determinados por la comunidad científica, es como si no existiría. Dicho de otra manera,
se parte del principio de que visibilidad internacional y calidad del conocimiento
científico son dos conceptos tan interdependientes que midiendo la visibilidad de una
publicación podremos determinar su calidad. Además se considera que la visibilidad es
medible en términos de las citas recibidas (factor de impacto).
A partir de estos principios se determina la categoría de las revistas según la base de
datos en las que están incluidas. En el área de la Didáctica de las Matemáticas la base
más valorada es la SSCI que forma parte del ISI (Institut of Scientific Information). ISI
Web of Knowledge es el nombre de una plataforma que ofrece la posibilidad de realizar
búsquedas a todo el contenido de las bases de datos multidisciplinares del ISI. El Social
Sciences Citation Index del ISI Web of Knowledge es una base de datos de “revistas
fuente” en el área de las ciencias sociales. Dichas revistas son las que se catalogan como
de mayor factor de impacto en el campo que abarcan, en tanto que proveen al resto de
las publicaciones de la mayor cantidad de referencias o fuentes. De momento sólo dos
revistas del área de la Didáctica de las Matemáticas han sido incorporadas al SSCI,
aunque hay otras de las que hemos clasificado como revistas afines:
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Revistas de Didáctica de las Matemáticas en el SSCI:

Journal for Research in Mathematics Education

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa
Algunas revistas afines en el SSCI, en lengua castellana:

Revista de Educación

Enseñanza de las Ciencias

Infancia y Aprendizaje

Revista Española de Pedagogía
Hay otro tipo de índices y bases de datos que utilizan como criterio la valoración de expertos.
La más importante es ERIH (http://www.esf.org/research-areas/humanities/erih-europeanreference-index-for-the-humanities.html)
Si la inclusión de una revista en la base de datos MATHEDUC es el criterio que nos
permite considerarla una revista de Didáctica de las Matemáticas, un criterio que nos
puede servir para determinar su calidad es considerar las revistas que están el SSCI y/o
en el ERIH.
Revistas de Didáctica de las Matemáticas listadas en el Social Sciences Citation Index
(SSCI) y/o en el European Reference Index for the Humanities (ERIH)

Educational Studies in Mathematics

For the Learning of Mathematics

International Journal of Science and Mathematics Education

Journal for Research in Mathematics Education

Journal of Mathematical Behavior

Journal of Mathematics Teacher Education

Mathematical Thinking and Learning

Nordisk Matematikk Didaktikk/Nordic Studies in Mathematics Education

Récherches en Didactiques des Mathématiques

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa
Hay otros índices y bases de datos que no se guían por el factor de impacto y utilizan
criterios diferentes de exigencia para el ingreso y permanencia. Por ejemplo, el catálogo
Latindex (http://www.latindex.unam.mx/) marca una lista de requisitos que una
publicación debe cumplir para ser considerada como de excelencia, y establece una
medida porcentual de ítems a cubrir para ser evaluada por un comité de expertos. El
hecho de que una revista sea incluida en el catálogo Latindex es un primer paso
importante para que empiece a ser reconocida como una revista de calidad.
Algunas revistas de Didáctica de las Matemáticas en el catálogo Latindex:
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.

Unión

Uno

Números

Educación Matemática (México)

Educaçao Matemática Pesquisa (Brasil)
Además de la investigación realizada por la universidad, los profesores de matemáticas
de los diferentes niveles educativos realizan innovaciones e investigaciones. La difusión
de los resultados de dicha innovación e investigación se realiza, sobre todo, mediante
publicaciones en revistas y congresos llamadas de “profesores” debido a que suelen ser
organizados o editadas por sociedades de profesores.
Algunas de las revistas de profesores en España son las siguientes:

Suma: publicación de la Federación Española de Sociedades de Profesores de
Matemáticas (FESPM).

Números: revista de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas "Isaac
Newton".

Epsilon: revista de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática “THALES”

Biax: revista de
La Federació d'Entitats per a l'Ensenyament de les
Matemàtiques a Catalunya (FEEMCAT).

Gamma: revista de la Asociación Galega de Profesores de Educación
Matemática (AGAPEMA).
Las sociedades de profesores de Latinoamérica también editan sus revistas nacionales y
conjuntamente con las sociedades de profesores de España y Portugal editan la siguiente
revista:

Unión: revista de la Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación
Matemática (FISEM).
Algunos de los congresos de profesores son los siguientes:

JAEM: Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas
organizadas por la FESPM. Las JAEM nacieron antes de crearse la Federación
Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas y tuvieron periodicidad
anual entre 1981 y 1984, pero, tras unos años en los que dejaron de realizarse
(desde 1985 hasta 1990), al constituirse la Federación en 1989, se retomaron
dándoles periodicidad bianual, y encargándose de su organización alguna de las
sociedades federadas.

CIBEM: Congreso Iberoamericano de Educación Matemática. El origen de este
congreso está ligado a la VIII Conferencia Interamericana de Educación
Matemática (VIII CIAEM), que se celebró en la República Dominicana, en el
año 1987, en donde una delegación española liderada por el entonces presidente
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
de la Federación Española de Asociaciones de Profesores de Matemática,
Gonzalo Sánchez Vázquez, propuso que se realizara el primer CIBEM en
España, con el objetivo de estrechar los lazos entre las comunidades portuguesa,
española y latinoamericana de educación matemática. Se acordó organizar estos
congresos cada cuatro años, de manera conjunta por la Asociación de Profesores
de Matemática (Portugal), la Federación Española de Educación Matemática y el
Comité Interamericano de Educación Matemática.

CIEAEM: Cada año la Comisión Internacional para el Estudio y Mejora de la
Enseñanza de las Matemáticas organiza un congreso con el objetivo de que los
colectivos de investigadores y de profesores establezcan un debate con el
objetivo de mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
La CIAEM ha tenido en su junta directiva como presidentes a personalidades tan
importantes como Jean Piaget, Gustave Choquet o Galeb Gattegno.

ICME: cada cuatro años se celebra el Congreso Internacional de Educación
Matemática [International Congress on Mathematical Education (ICME)] bajo el
auspicio de la International Commission on Mathematical Instruction (ICMI).
Estos congresos pretenden: 1) Mostrar lo que pasa en la educación matemática
en el mundo en términos de investigación así como de prácticas de enseñanza. 2)
Informar acerca de los problemas de la educación matemática en todo el planeta.
3) Aprender de los más recientes avances en las matemáticas. Tras la creación,
después de la Segunda Guerra Mundial, de la Unión Matemática Internacional,
IMU, el ICMI se reconstituyó como Comisión del IMU en 1952, y su
financiamiento depende de este organismo. El ICMI ha tenido como presidentes
personalidades tan importantes como Félix Klein.
Otras fuentes de información bibliográfica y de difusión de los resultados de
investigación son los “handbooks” y monografías de investigación (vease anexo 1
donde se incluye una selección de dichas fuentes).
5. CONSIDERACIÓN FINAL
Las diferentes maneras de entender el cambio orientado a la mejora de los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y su relación con la teoría elaborada en el
área de la Didáctica de las Matemáticas pueden ser utilizadas por el profesor en distintos
momentos y a diferentes niveles.

En un primer nivel el profesor debe reflexionar sobre su práctica, para ello puede
usar, por ejemplo, principios y criterios de idoneidad elaborados por la
comunidad científica o bien resultados teóricos obtenidos por la Didáctica de las
Matemáticas entendida como ciencia. En este primer nivel el profesor
básicamente se convierte en usuario de los resultados de la investigación
educativa. Dicha investigación le puede proporcionar, constructos teóricos
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
generados por la Didáctica de las Matemáticas que le pueden ser útiles, marcos
teóricos de diferente nivel de generalidad y diferentes métodos y técnicas de
investigación

A partir de esta reflexión sobre su práctica, basada en su conocimiento del
contexto educativo y el uso de constructos elaborados por la Didáctica de las
Matemáticas, el profesor puede realizar innovaciones con un cierto fundamento
que pueden ser relevantes para su institución escolar y posiblemente para otras.

Después puede pasar a un tercer nivel e iniciar una investigación-acción o bien
plantearse una investigación que se enmarque dentro de algunos de los enfoques
que se han desarrollado en el área de Didáctica de las Matemáticas. En este
tercer nivel la investigación puede ser individual lo cual nos lleva al rol de
profesor-investigador, o bien puede ser colectiva, lo cual nos lleva al rol del
profesor como participante en equipos de investigación.
Independientemente del tipo de metodología que se aplique, del marco teórico que
utilice, de si la investigación es individual o colectiva, de si pretende explicar o
comprender, etc., el siguiente esquema general es aplicable a la mayoría de las
investigaciones en las que participan los profesores:
1) Se elige el problema que se quiere investigar y se hace una primera formulación.
2) Se revisa la bibliografía relacionada con el problema de investigación.
3) Se reformulan las preguntas iniciales en base a la revisión bibliográfica y se
formulan unas posibles respuestas esperadas o bien hipótesis.
4) Se determina la metodología que se usará para recoger los datos.
5) Se determinan las técnicas, instrumentos de recogida de datos, etc.
6) Se realiza la recogida de datos.
7) Se analizan los datos y se elaboran conclusiones.
8) Se hace difusión de los resultados.
Hay que resaltar que, si bien hay un acuerdo en que es deseable que los profesores se
comprometan con procesos de innovación y, a ser posible, también de investigación,
hay muchas cuestiones abiertas al respecto. Dos de las más importantes son las
siguientes:
 ¿El conocimiento que producen los profesores como resultado de su innovación
e investigación debe ser del mismo tipo que el que hacen los investigadores de la
universidad (p. e. debe ser conocimiento original, se le debe exigir en la difusión
lo mismo que se les exige a las publicaciones de los investigadores de la
universidad, etc.)?
 ¿Qué condiciones se requieren para conseguir que los profesores formulen
problemas y los investiguen?
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Con relación a la segunda cuestión, es importante señalar que, si bien se considera que
en la formación inicial y permanente de profesores se debe desarrollar la competencia
para formular e investigar problemas relacionados con su profesión, el estatus que se le
asigna en la práctica profesional a las actividades que permiten desarrollar dicha
competencia es la de ser actividades marginales que no son, de hecho, reconocidas
como parte del ejercicio profesional y, por tanto, de la dedicación laboral. También hay
que señalar que dicha marginalidad no es total ya que, por ejemplo, existen
convocatorias de licencias de estudio y las actividades de innovación e investigación
son reconocidas como méritos en la carrera profesional.
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Anexo 1
Monografías y Actas de Congresos de Educación Matemática
A: Monografías y “surveys” de investigación con sistema de árbitros
1. Handbooks
Ejemplos:
Gutierrez, A. and Boero, P. (Eds). (2006). Handbook of Research on the Psychology of
Mathematics Education. Rotterdam, The Nederlands: Sense Publishers.
Bishop, A. J., Clements, K., Keitel, C., Kilpatrick, J. and Leung, F. K. S. (Eds.). (2003).
Second International handbook of mathematics education. Dordrecht: Kluwer A. P.
English, L. D., Bartolini-Busi, M., Jones, G. A., Lesh, R. and Tirosh, D. (2002).
Handbook of International research in mathematics education. London: Lawrence
Erlbaum Ass.
Bishop, A. J., Clements, K., Keitel, C., Kilpatrick, J., and Laborde, C.(Eds.). (1996).
International handbook of mathematics education. Dordrecht: Kluwer A. P.
Biehler, R., Scholz, R.W., Straesser, R and Winkelmann, B. (Eds.) (1994). Didactics of
mathematics as a scientific discipline. Dordrecht: Kluwer A. P.
Grows, D. A. (1992) (Ed.). Handbook of research on mathematics teaching and
learning. National Council of Teachers of Mathematics. New York, NY: Macmillan.
Lester, F. (Ed.) (2007). Second handbook of research on mathematics teaching and
learning. Greenwich, Connecticut: Information Age Publishing, Inc. y NCTM.
Wood, T. (Ed.) (2008). The international handbook of mathematics teacher education.
Rotterdam: Sense Publishers.
2. Serie de ICMI Studies
Ejemplos:
Graf, K., Leung, F. and Lopez-Real, F. (Eds.) (2005). Mathematics education in
different cultural traditions: A comparative study of East Asia and the West. Berlin:
Springer.
Stacey, K. , Chick, H. and Kendal, M. (Eds.) (2004). The Future of the teaching and
learning of algebra. Dordrecht: Kluwer A. P.
39
Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Holton, D. (Ed.). (2001). Teaching and learning of mathematics at university level.
Dordrecht: Kluwer, A. P.
Fauvel, J. y Maanen, J. van (Eds.) (2000). The Role of the History of Mathematics in the
teaching and Learning of Mathematics. Dordrecht: Kluwer A. P.
Mammana, C. y Villani, V. (Eds) (1998). Perspectives on the Teaching of Geometry for
the 21st Century. Dordrecht: Kluwer A. P.
Sierpinska, A. and Kilpatrick, J. (Eds.) (1998). Mathematics education as a research
domain: a search for identity. Dordrecht: Kluwer A. P.
3. Monografías sobre educación matemática
Ejemplos:
Jones, G. A. (2005). Exploring probability in school. Challenges for teaching and
learning. Berlin: Springer.
Borba, M. y Villareal, M. (2005). Humans-with-media and the reorganization of
mathematical thinking. Berlin: Springer
Anderson, M., Sáenz-Ludlow A., Zellweger, S. y Cifarelli, V.V. (Eds.) (2003).
Educational Perspectives on Mathematics as semiosis: From thinking to interpreting to
knowing. Otawa: Legas.
Leder, G. C., Pehkonen, E., and Toerner, G. (Eds). (2002). Beliefs: A hidden variable
in mathematics education? Dordrecht: Kluwer A. P.
Lin, F. L. y Cooney, T. J. (Eds.) (2001). Making sense of mathematics teacher
education. Dordrecht: Kluwer.
Atweh, B., Forgasz, H. y Nebres, B. (Eds.) (2001). Sociocultural research on
mathematics education. An international perspective. London: Lawrence Erlbaum
Bednarz, N., Kieran, C., y Lee, L.(eds.). (1996). Approaches to algebra. Perspectives
for research and teaching. Dordrecht: Kluwer A. P.
B: Actas de congresos internacionales con sistema de árbitros y trabajos originales
de investigación
Ejemplos:
40
Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Pateman, N. A., Dougherty, B. J. y Zilliox, J. (Eds.) (2003). Proceedings of the Joint
Meeting of PME and PME-NA. Honolulu, USA. Disponible en: http://onlinedb.terc.edu/
Schwank, I. (Ed.)(1999). Proceeding of the First Conference of the European Society
for Research in Mathematics Education. Osnabruek:
Forschungsinstitut fuer
Mathematikdidaktik.
Disponible
en,
http://www.fmd.uniosnabrueck.de/ebooks/erme/cerme1-proceedings/cerme1-proceedings.html
C: Monografías y actas de congresos que incluyen experiencias y reflexiones sobre
la práctica de aula
Ejemplos:
Rossman, A. y Chance, B. (2006) (Eds.), Proceedings of the Seventh International
Conference on Teaching Statistics. Salvador (Bahia), Brasil: International Association
for Statistical Education e International Statistical Institute.
Lezama, J., Sánchez, M. y Molina, G. (2005). Acta Latinoamericana de Matemática
Educativa, Vol, 18. (Actas de la 18 Reunión Latinoamérica de Matemática Educativa).
Disponible en, http://www.clame.org.mx/
41
Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
Anexo 2
En el “Second international handbook of mathematics education” editado por Bishop et
al. (2003), encontramos 24 “surveys” clasificados en 4 secciones con el siguiente
contenido:
Sección 1: Dimensiones políticas de la educación matemática
“En la actualidad se reconoce que la educación matemática tiene una fuerte dimensión
social y política. No es sólo la realidad de la escuela y la práctica del aula que tiene que
respetar unos fines políticos y afrontar diferentes entornos sociales, sino que la
investigación y el desarrollo de la educación matemática también son influenciados por
aspectos sociales y decisiones políticas” (Keitel, 2003, p. 3).
Desde el ICME IV, celebrado en 1988, se reconoció como un foco de interés para la
educación matemática el análisis de las condiciones y causas de las restringidas
oportunidades de aprendizaje de los alumnos de ciertos grupos definidos por el sexo, la
clase o las minorías étnicas en los países industrializados, así como para la mayoría de
los jóvenes de los países del “Tercer Mundo”. Distintas acciones fueron emprendidas,
en particular la celebración de diversas conferencias internacionales sobre el tema
“Matemáticas, Educación y Sociedad”.
Los temas abordados en la sección se refieren a:

Matemáticas, educación matemática y condiciones económicas

Supuestos y contextos políticos, sociales, culturales del programa “Matemáticas
para todos”; cuestiones de equidad, justicia social y restricciones sociales y
económicas que constituyen obstáculos para su logro.

Diferentes perspectivas sobre la alfabetización matemática y factores
condicionantes.

Educación matemática a lo largo de la vida (educación de adultos) en el contexto
social, cultural y económico globalizado.

Estudios comparativos internacionales en educación matemática: ¿de qué, por
quién, para qué y cómo?

Desafíos y problemas de la internacionalización y globalización en la
investigación y la práctica de la educación matemática.
Sección 2: Respuestas de la educación matemática a los desarrollos tecnológicos
Se han seleccionado cinco tópicos que proporcionan un perfil del tipo de cuestiones que
los investigadores han abordado en los últimos diez años, reconociendo el carácter
cambiante de los recursos tecnológicos disponibles y su efecto en la “corta vida” de los
resultados de investigación.

Una perspectiva multidimensional de la investigación e innovación reciente en el
uso de la tecnología en educación matemática.
42
Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.

Influencia de la tecnología en el currículo de matemáticas

Revisión de herramientas tecnológicas que arrojan luz sobre cómo la tecnología
conforma y es conformada por su incorporación en la enseñanza y el aprendizaje
de las matemáticas.

Uso de tecnología como herramienta para la enseñanza de la matemática en la
universidad.

Preparación de los profesores en el uso de la tecnología
Sección 3: Nuevas cuestiones emergentes de investigación en educación matemática
Esta sección aborda una variedad de cuestiones que han emergido cuando los
investigadores en educación matemática han adoptado una perspectiva más amplia,
planteando cuestiones como:

¿Qué es una práctica ética en nuestra investigación, y cómo se debe realizar esa
práctica en situaciones de conflicto social y político?

¿Qué influencia tiene la investigación educativa sobre la educación matemática?

¿Cómo puede nuestra investigación superar los diversos obstáculos para su
difusión?

¿Cuál es el papel de los profesores de matemáticas como investigadores?

¿Cómo se debería preparar la próxima generación de investigadores en
educación matemática
Sección 4: La práctica profesional en educación matemática
El tema general de esta sección se puede describir con la cuestión, ¿Qué deberían hacer
los profesores para hacer las matemáticas más significativas para un rango cada vez más
amplio de estudiantes?
“Muchas personas piensan que el principal desafío está en los formadores de profesores
de matemáticas, quienes necesitan revisar sus propios modos de trabajo de manera que
las personas implicadas en el diseño, implementación y evaluación de los programas de
formación inicial y de desarrollo profesional de los profesores de matemáticas a todos
los niveles sean capacitados para generar nuevos modos de operación” (Clements, 2003,
p. 637). En esta línea los seis autores de los “surveys” incluidos en la sección abordan
los siguientes temas:

Estrategias para desafiar y cambiar la práctica de la enseñanza en las clases de
matemáticas.

Diseño de la evaluación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas
para promover la comprensión.

Valores de los profesores y formadores de profesores sobre la matemática y su
enseñanza y su influencia en sus decisiones y acciones en la clase.
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Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.

Regulación de la entrada a la profesión de los profesores de matemáticas.

Papel de la matemática en la formación de profesores de matemáticas

Integración de teoría y práctica en la formación de profesores de matemáticas.

Tendencias y tareas en el desarrollo profesional de los educadores matemáticos
44
Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
secundaria y bachillerato, en J. M. Goñi (ed.), MATEMÁTICAS: Investigación, innovación y buenas
prácticas (9-55). Barcelona, España, Graó.
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Ingeniería didáctica en educación matemática. Un esquema para la investigación y
la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (pp. 33-60).
Bogotá: Una empresa Docente/ Grupo Editorial Iberoamerica.
Bishop, A. J., Clements, K., Keitel, C., Kilpatrick, J. y Leung, F. K. S. (Eds.). (2003).
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45
Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en
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46