Universidad Internacional San Isidro Labrador Carrera
Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
DOCENTE
M.Sc Luis Rivera Ovares
CURSO
Topología Elemental – LMT 06
RESPONSABLE
César Morales Granados
Tema de Exposición:
La topología del orden
III CUATRIMESTRE 2021
Introducción
A lo largo de este curso hemos ido construyendo nociones elementales del
tema de topología que como rama de la matemática ofrece un mundo vasto de
axiomas, propiedades que indudablemente ofrecen un desafío para aquellas
personas que se adentran en la comprensión de todos estos conceptos.
Para esta exposición se abordará el tema de la Topología del Orden en el
cual se analizará situaciones como el ordenamiento en los números reales, pero
que igualmente se puede ampliar a 𝑅 , 𝑅 , … , 𝑅 el orden lexicográfico o el
denominado orden del diccionario.
Se recordará sobre relaciones de orden y algunas de sus propiedades
básicas a través de diferentes tipos de conjuntos, que permitan tener una
comprensión más amplia de los contenidos a abordar.
También se va a hacer una pequeña revisión de algunos algoritmos básicos
de programación en pseudocódigo y diagrama de flujo utilizando la herramienta
Pseint relacionados con el ordenamiento de elementos, ya sean pares ordenados
o cadenas de texto, mediante el llamado algoritmo de burbuja. Si bien existen
otros de mayor nivel de eficiencia, por cuestiones didácticas, pero especialmente
de tiempo solo se abordarán desde un solo método, que de igual manera no
hagan perder el foco de atención sobre el tema topológico
Se espera con esto realizar una contribución significativa en la comprensión
de estos temas para así poder llevar un aporte en la construcción del conocimiento
referente a la temática de este curso.
La topología del Orden
Antes de hablar sobre topología del Orden es importante hacer referencia al
siguiente concepto:
Relación Orden
Sea A un conjunto no vacío, con al menos dos elementos y sea ℛ una
relación dada sobre el conjunto A. Decimos que ℛ es una relación de orden sii
satisface las siguientes condiciones:
1. Reflexiva. ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎ℛ𝑎
2. Antisimétrica, si 𝑎ℛ𝑏 ∧ 𝑏ℛ𝑎 → 𝑎 = 𝑏
3. Transitiva, si 𝑎ℛ𝑏 ∧ 𝑏ℛ𝑐 → 𝑎ℛ𝑐
Por otra parte, si se cumple
i.
Si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥ℛ𝑦 ⊻ 𝑦ℛ𝑥 (relación comparable)
ii.
Si 𝑥ℛ𝑦 ∧ 𝑦ℛ𝑧 → 𝑥ℛ𝑧
iii.
∀𝑥 ∈ 𝐴, no se cumple 𝑥 ℛ 𝑥 (no es reflexiva)
Decimos que ℛ es una relación de orden simple o total. Si ℛ es un orden total en
𝐴 se dice que A es total o linealmente ordenado.
Ejemplo 1
Ahora bien, consideremos estos puntos anteriores, para tener una mejor
comprensión de lo que significa una relación de orden, en lugar de ℛ utilicemos el
símbolo <, para tener más claro este concepto y sea nuestro conjunto A el
conjunto de los números reales. Tendríamos que:
i.
Si 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦 ⊻ 𝑦 < 𝑥
ii.
Si 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧 → 𝑥 < 𝑧, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
iii.
∀𝑥 ∈ ℝ, no se cumple 𝑥 < 𝑥
Por tanto, en el conjunto ℝ, tenemos una relación de orden simple cuando
hablamos de la relación <.
Ejemplo 2
Otro ejemplo es la siguiente relación dada a través del siguiente grafo establecida
sobre el conjunto 𝐴 = {𝜋, $, 𝛼, 𝜃, 𝜑, #}
Donde podemos establecer el
siguiente criterio:
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 ;
𝑥 ≺A 𝑦
Si existe una ruta entre 𝑥 para
llegar a 𝑦.
Por tanto, bajo este criterio el
conjunto 𝐴 se puede expresar
de manera ordenada como:
𝐴 = {#, 𝜋, $, 𝛼, 𝜃, 𝜑}
Ejemplo 3
Sea (𝐴, ≺A ); (B, ≺B ), entonces podemos definir en 𝐴 × 𝐵 el orden lexicográfico o
denominado también orden del diccionario ≺ como:
(𝑎 , 𝑏 ) ≺
(𝑎 , 𝑏 ) si y si solo si 𝑎 ≺
𝑎2 ó si 𝑎 = 𝑎2 ∧ 𝑏 ≺B 𝑏2
Si 𝑋 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, … , 𝑍}, con 𝐴 ≺ B ≺ C … ≺ Z entonces
𝑋 × 𝑋 ={𝐴𝐵, 𝐴𝐶, … 𝐴𝑍, 𝐵𝐴, . . 𝐵𝑍, … 𝑍𝑍}
Donde tenemos, ejemplos como:
𝐴𝐵 < 𝐾𝑇
𝐶𝑀 < 𝐶𝑆
De igual manera podríamos ampliar esta relación a conjuntos 𝑋 × 𝑋 × … × 𝑋
Ejemplo 4
Orden de estreno de las películas Marvel
Orden Cronológico (secuencia de la historia)
Definición
Sea (𝑋, < ) un conjunto totalmente ordenado. Para 𝑎, 𝑏 definimos:
]𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ 𝑋 / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} – Intervalo abierto
[𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ 𝑋 / 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} – Intervalo Semiabierto
]𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑋 / 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} - Intervalo Semiabierto
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑋 / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} – Intervalo Cerrado
Si bien es cierto la notación anterior son familiares debido al conocimiento de
intervalos en la recta numérica, este concepto es más general y se extiende a todo
conjunto ordenado.
El uso de intervalos abiertos, sugiere precisamente que sobre 𝑋 podremos
establecer una topología, como en efecto ,tal como se verá a continuación:
Definición de Topología del Orden
Sea 𝑋 un conjunto, con más de un elemento, con una relación de orden simple <.
Sea B la colección de todos los conjuntos de los siguientes tipos.
1. Todos los intervalos abiertos ]𝑎, 𝑏[ 𝑒𝑛 𝑋
2. Todos los intervalos semiabiertos [𝑎 , 𝑏[ 𝑒𝑛 𝑋, donde 𝑎 es el mínimo (si lo
hubiese) de X
3. Todos los intervalos semiabiertos ]𝑎, 𝑏 ]𝑒𝑛 𝑋, donde 𝑏 es el mínimo (si lo
hubiese) de X
La colección B es una base para una topología sobre 𝑋, que se llama, topología
del orden.
Si 𝑋, no tiene mínimo, no existen conjuntos tipo 2, y si 𝑋 no tiene máximo no habrá
conjuntos tipo 3.
Para probar que B satisface los requisitos para ser una base:
1) Nótese que cada elemento 𝑥 de 𝑋 está al menos dentro de un elemento de B, el
elemento mínimo, pertenece a todos los conjuntos tipo 2, el elemento máximo
pertenece a todos los conjuntos tipo 3 y cada uno de los otros elementos
pertenece a un conjunto tipo 1.
2) En segundo lugar, la intersección de cualesquiera dos conjuntos de los tipos
anteriores da un nuevo conjunto de alguno de los tipos anteriores o en su defecto
es el conjunto vacío.
Ejemplos
1. Sea 𝐴 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} con el orden <
a. ]2,4[ = {3}
b. ]1,5] = {2,3,4,5}
2. Dado el conjunto con orden del diccionario 𝑋 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, … , 𝑍}
Elementos de la base B para el conjunto X, puede ser
]𝐴. 𝐸[ = {𝐵, 𝐶, 𝐷}
]𝐵, 𝐾] = {𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽, 𝐾}
3. Si 𝑋 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, … , 𝑍}, con 𝐴 ≺ 𝐵 ≺ ⋯ ≺ 𝑍
Consideraremos 𝑋 = 𝑋 × 𝑋, con el orden lexicográfico. Que contiene un
mínimo 𝐴𝐴 y un máximo 𝑍𝑍 Donde por simplicidad consideraremos
(A,B)=AB
a. ]𝐴𝐿, 𝐵𝐹[ = {𝐴𝑀, 𝐴𝑁, … , 𝐴𝑍, 𝐵𝐴, … 𝐵𝐸}
b. ]𝐵𝐶, 𝐷𝐴] = {𝐵𝐷, 𝐵𝐸, … , 𝐵𝑍, 𝐶𝐴, … , 𝐶𝑍, 𝐷𝐴}
4. 𝑆𝑒𝑎 𝑋 = ℕ × ℝ, con el orden lexicográfico
Podemos generar el siguiente abierto
𝐵 = ](1,2), (3, 4)[
Cuya representación es:
Gráfica 1
5. En Geogebra se elaborará la construcción del siguiente abierto en el
conjunto
𝑋 = ℕ × ℝ ,(con un mínimo (0,0)) específicamente el abierto {1,2,3,4,5,6} × ]0,5[
con el orden lexicográfico. 𝐵 = ](1,0), (6,0)[
Gráfica 2
6. En Geogebra se elaborará la construcción del siguiente abierto en el
conjunto
𝑋 = ℕ × ℕ × ℝ , con el orden lexicográfico.
{1,2,3,4,5} × {1} × ]0,1[ ∪
⎧
⎪{1,2,3,4,5} × {2} × ]1,2[ ∪
𝐵 = {1,2,3,4,5} × {3} × ]2,3[ ∪
⎨{1,2,3,4,5} × {4} × ]3,4[ ∪
⎪
⎩ {1,2,3,4,5} × {5} × ]4,5[
Tomando ](1,1,0), (5,5,5)[
Gráfica 3
Conclusión
Se espera que los conceptos aquí expuestos a lo largo de este trabajo sirvan
de contribución al conocimiento y aprendizaje de este tema denominado
Topología del orden.
Como se ha apreciado el concepto de orden numérico usual en los números
naturales y los reales, así como el lexicográfico u orden del diccionario, ha sido
parte de nuestra conceptualización temprana de conocimientos. Por lo que en ese
sentido, se puede afirmar que en muchas ocasiones hemos aplicado la topología y
en el caso particular topología del orden sin darnos cuenta de ello.
Esta situación nos hace ver, una vez más que vivimos rodeado en un mundo
regido por reglas que de una u otra manera son, por decirlo con alguna palabra,
“matematizables” y por tanto algunas de ellas programables o que se pudiesen
presentar mediante algún tipo de algoritmo. Prueba de ello son los avances que se
han alcanzado en cuanto a la representación de la realidad virtual que, si bien
muchas veces se presenta a través de una manera lúdica, como lo son videojuegos
también permite la experimentación en entornos virtuales totalmente seguros en
los que se hace simulaciones de un entorno cada vez más cercano al real, o donde
mejor aún, las variables del entorno son controlables y por tanto se pueden
modificar. Podrá leerse un poco fantasioso, pero basta con ver el desarrollo en
cuanto a representación de la realidad a nivel computacional para ponernos a
pensar: ¿Cómo será dentro de 20, 50, 100, 1000 años? Si seguimos avanzando al
ritmo que lo hacemos hasta hoy.
Pero haciendo aterrizaje en nuestro quehacer docente, es importante que
hagamos a nuestros estudiantes de manera muy clara y evidente la importancia de
tratar de tener una óptica diferente de las cosas, más analítica, porque la
matemática nos rodea, y su comprensión nos ayudará a entender mejor este
mundo y viceversa.
Bibliografía.
Munkres J.R. (2002). Topología 2da Edición, Editorial Prentice Hall
Math D. LG (31 ene 2021), Topología del Orden, [Archivo de Vídeo]. Youtube.
https://www.youtube.com/watch?v=FDolMuww6gU
