EJERCICIOS DE VECTORES

EJERCICIOS DE
VECTORES
DOCENTE: Efracio Mamani Flores
ALUMNA: Priscila Pérez Paz
Problema 1: Demuestre la proposición: 𝐴. 𝐵 = 𝐵. 𝐴
Solución:
A.B=B . A
A = (A1, A2, A3)
B = (B1, B2, B3)
A . B = (A1, A2, A3) . (B1, B2, B3) = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3
B . A = (B1, B2, B3) . (A1, A2, A3) = B1 A1 + B2 A2 + B3 A3
EJEMPLO:
A . B=B . A
A = (31, 22, 53)
B = (41, 12, 63)
A . B=B . A
A . B = (31, 22, 53) . (41, 12, 63) = 31 . 41 + 22 . 12 + 53 . 63
B . A = (41, 12, 63) . (31, 22, 53) = 41 . 31 + 12 . 22 + 63 . 53
Problema 2: Demuestre que la proyección de 𝐴 sobre 𝐵 es igual a 𝐴. 𝑏 donde 𝑏 es un vector unitario
en la dirección de 𝐵
Solución:
Demuestre que la proyección de A sobre B es igual a A · b donde b es un vector unitario en la dirección de B
𝐴Ԧ
𝐵
Se Sabe la Magnitud de proyección de A sobre B
𝑃𝑟𝑜𝑦 𝐵 𝐴Ԧ =
𝐵 × 𝐴Ԧ
𝐵
Para calcular el vector unitario del vector B entonces dividimos el vector B entre su magnitud del vector
Vector unitario 𝐵 =
𝐵
𝐵
Al dividir un vector entre su módulo, el módulo del vector
que nos queda es igual a 1. y por eso se dice que es un
vector unitario.
𝑃 𝐴.𝐵 =
𝐵 × 𝐴Ԧ
𝐵
2
×𝐵
Problema 2: Demuestre que la proyección de 𝐴 sobre 𝐵 es igual a 𝐴. 𝑏 donde 𝑏 es un vector unitario
en la dirección de 𝐵
Solución:
EJEMPLO:
𝐴Ԧ = (2,0)
𝐵 =( 3,-4)
Por tanto, el vector proyección de A sobre B, será:
2,0 .(3,−4)
𝑃 𝐴.𝐵 =
[
𝑃 𝐴.𝐵 =
6
× (3, −4)
52
32 +(−4)2 ]2
6.3 6(−4)
×𝐵
𝑃 𝐴.𝐵 = (25 , 25 )
18 24
= ( , − ) Obteniendo las coordenadas de la proyección de A sobre B.
25 25
Problema 3: Evaluar 𝑎 𝑖. 𝑖 𝑏 𝑖. 𝑘, 𝑐 𝑘. 𝑗, 𝑑 𝑗. 2𝑗 − 3𝑗 + 𝑘 , 𝑒 2𝑖 − 𝑗 . 3𝑖 + 𝑘
Solución:
(𝒅) 𝒋 · (𝟐𝒋 − 𝟑𝒋 + 𝒌)
(𝒂) 𝒊. 𝒊
𝑗.Ƹ 2𝑗Ƹ − 3𝑗Ƹ + 𝑘෠
𝑖. 𝑖 = 1cos0 = 1
෠
𝑗.Ƹ (−𝑗Ƹ + 𝑘)
(𝒃) 𝒊 · 𝒌
− 1.1 𝑗.Ƹ 𝑗Ƹ + 1.1 𝑗.Ƹ 𝑘෠
𝑖 · 𝑘 = (1)(1) cos90 = 0
− 1 0 + 1 1 =1
(𝒄) 𝒌 · 𝒋
𝑘 · 𝑗 = (1)(1) cos90 = 0
(𝒆) (𝟐𝒊 − 𝒋) · (𝟑𝒊 + 𝒌)
2.3 𝑖.Ƹ 𝑖Ƹ − 2.1 𝑗.Ƹ 𝑘෠ − 1.3 𝑗.Ƹ 𝑖Ƹ
+ 1.1 𝑗.Ƹ 𝑘෠
6 0 − 2 1 − 3 1 + 1 1
−2 − 3 + 1 = 4
Problema 4: Suponga 𝐴 = 𝐴1 𝑖 + 𝐴2 𝑗 + 𝐴3 𝑘 𝑦 𝐵 = 𝐵1 𝑗 + 𝐵2 𝑗 + 𝐵3 𝑘. Demuestre que
𝐴. 𝐵 = 𝐴1 𝐵1 + 𝐴2 𝐵2 + 𝐴3 𝐵3
Solución:
𝐴Ԧ . 𝐵 = 𝐴1 𝑖Ƹ + 𝐴2 𝑗Ƹ +𝐴3 𝑘෠ . 𝐵1 𝑖Ƹ + 𝐵2 𝑗Ƹ +𝐵3 𝑘෠
𝐴Ԧ . 𝐵 = 𝐴1 𝐵1 𝑖.Ƹ 𝑖Ƹ + 𝐴1 𝐵2 𝑖.Ƹ 𝑗Ƹ + 𝐴1 𝐵3 𝑖.Ƹ 𝑘෠ +
𝐴2 𝐵1 𝑖.Ƹ 𝑗Ƹ + 𝐴2 𝐵2 𝑗.Ƹ 𝑗Ƹ + 𝐴2 𝐵3 𝑗.Ƹ 𝑘෠ +
෠ 𝑖Ƹ + 𝐴3 𝐵2 𝑘.
෠ 𝑗Ƹ + 𝐴3 𝐵3 𝑘.
෠ 𝑘෠
𝐴3 𝐵1 𝑘.
෠ 𝑘෠
𝐴Ԧ . 𝐵 = 𝐴1 𝐵1 𝑖.Ƹ 𝑖Ƹ + 𝐴2 𝐵2 𝑗.Ƹ 𝑗Ƹ + +𝐴3 𝐵3 𝑘.
Problema 5: Suponga que 𝐴. 𝐵 = 0 y que 𝐴 y 𝐵 no son ceros, mostrar que 𝐴 es perpendicular a 𝐵
Solución:
Para la demostración de que A y B
sonangulos ortogonales el angulo entre
ellos nos resulta 90 grados y podemos
calcularlo a travez del producto punto de
A.B.
𝐴Ԧ = (2.1)
𝐵 = (-1,2)
Ԧ 𝐵 =(2)(-1)+(1)(2) = -2+2
𝐴.
Ԧ 𝐵=0
𝐴.
Siempre que dos vectores sean
perpendiculares el producto punto va a
ser 0
𝐴Ԧ ⋅ 𝐵
cos 𝜃 =
𝐴Ԧ 𝐵
0 ≤ 𝜃 ≤ 1800
Ԧ 𝐵 son perpendiculars, entonces 𝜃 = 90
Si 𝐴,
𝐴Ԧ ⋅ 𝐵
cos 90 =
𝐴Ԧ 𝐵
𝐴Ԧ ⋅ 𝐵
0=
𝐴Ԧ 𝐵
0 = 𝐴Ԧ ⋅ 𝐵
Problema 6: Encuentre el ángulo entre el A = 2𝑖 + 2𝑗 − 𝑘 y 𝐵 = 7𝑖 + 24𝑘
Solución:
𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 2 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
𝐴 = 2𝑖 + 2𝑗 − 𝑘
𝐵 = 7𝑖 + 24𝑘
𝐴×𝐵
cos 𝜃 =
𝐴 × 𝐵
cos 𝜃 =
𝜃=
−10
3 × 25
𝑐𝑜𝑠 −1
−2
15
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 −1 −0.1333
𝜃 = 97.66°
cos 𝜃 =
𝑣1 × 𝑣2
𝑣1 × 𝑣2
𝐴 × 𝐵 = 2 7 + 2 0 + (−1)(24)
𝐴 × 𝐵 = 14 + 0 − 24 = −10
𝐴 =
22 + 22 + (−1)2
𝐴 = 9=3
𝐵 =
72 + 02 + 242
𝐵 = 625 = 25
Problema 7: Determinar el valor de 𝛼 de modo que A = 2𝑖 + 𝛼𝑗 + 𝑘 y 𝐵 = 𝑖 + 3𝑗 − 8𝑘
son perpendiculares
Comprobación
Solución:
𝐴 = 2𝑖 + 𝑎𝑗 + 𝑘
𝐴×𝐵
cos 𝜃 =
𝐴 × 𝐵
cos 90 =
0=
𝐴 × 𝐵 = 2 1 + a 3 + 1(−8)
𝐴 × 𝐵 = 2 + 3𝑎 − 8 = −6 + 3𝑎
−6 + 3𝑎
5 + 𝑎2 × −54
−6 + 3𝑎
𝐴 =
22 + 𝑎 2 + 12
𝐴 =
5 + 𝑎2
𝐵 =
12
−270 − 54𝑎2
0 = −6 + 3𝑎
6 = 3𝑎
2=𝑎
cos 𝜃 =
𝐵 = 𝑖 + 3𝑗 − 8𝑘
+
𝐵 = −54
32
cos 𝜃 =
cos 𝜃 =
−6 + 3𝑎
5 + 𝑎2 × −54
−6 + 3(2)
5 + 22 × −54
−6 + 6
5 + 22 × −54
cos 𝜃 = 0
+
(−8)2
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (0)
𝜃 = 90°
Problema 8: Mostrar que los vectores A = −𝑖 + 𝑗, 𝐵 = −𝑖 − 𝑗 − 2𝑘, 𝐶 = 2𝑗 + 2𝑘
forman un triángulo rectángulo
Solución:
d P1, P2 =
A = −i + j
d A, B =
x 2 − x1
2
+ y2 − y1
B = −i − j − 2k
−1 + 1
2
2
+ z2 − z1
C = 2j + 2k
+ −1 − 1
2
+ −2 − 0
d A, B = 0 + 4 + 4
2
d B, C = 0 + 1 2 + 2 + 1
d B, C = 1 + 9 + 16
2
+ 2+2
d B, C = 26
2
6
2
=
8
2
+
26
2
6 = 8 + 26
d A, B = 8
6 ≠ 34
𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
d A, C =
0+1
2
+ 2−1
d A, C = 1 + 1 + 4
d A, C = 6
2
+ 2−0
2
2
Problema 9: Encuentre los angulos que forma el vector A = 4𝑖 − 8𝑗 + 𝑘 con los ejes
coordenados
Solución:
՜
𝑢
A = 4i − 8j + k
𝑢
՜
𝐴
𝐴
= 4i − 8j + k
𝐴 =
42 + −8
= (cosα, cosβ, 𝑐𝑜𝑠𝜃)
4
9
= 0,4444
−8
cosβ = =-0,8888
cosα =
2
+ 12
9
𝐴
= 16 + 64 + 1
𝐴 = 81
1
𝑐𝑜𝑠𝜃 = = 0,111
9
𝐴 =9
՜
4 −8 1
𝐴
=
,
,
𝐴
9 9 9
α = 63,61°
β = 152,72°
𝜃 =83,62°
Problema 10: Encuentre la proyección del vector A = 𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘 sobre el vector 𝐵 = 𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘
Solución:
𝑃𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙
𝐴 = 𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘
𝑝𝑟𝑜𝑦𝐵
𝐴Ԧ =
𝐵 = 𝑖 + 2𝐽 + 2𝑘
𝐵 × 𝐴Ԧ
𝐵
2
𝑝𝑟𝑜𝑦𝐵
𝐴Ԧ =
𝐵 × 𝐴Ԧ
×𝐵
𝑝𝑟𝑜𝑦𝐵 𝐴Ԧ =
3
× 1, 2, 2
9
𝑝𝑟𝑜𝑦𝐵 𝐴Ԧ =
1
× (1, 2, 2)
3
1 2 2
Ԧ
𝑝𝑟𝑜𝑦𝐵 𝐴 =
, ,
3 3 3
𝐵
2
×𝐵
𝐵 × 𝐴Ԧ = 1 1 + (−2) 2 + 3(2)
𝐵 × 𝐴Ԧ = 1 − 4 + 6 = 3
𝐵
𝐵
2
2
= 12 + (−2)2 +22
=1+4+4=9
Problema 11: Demuestre la ley de los cosenos para los triángulos planos
Solución:
El teorema del coseno relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos, y con el coseno del ángulo
formado por estos últimos:
Dado un triángulo cualquiera, siendo “A”, “B”, “C” sus ángulos y a, b, c sus lados (opuestos a dichos ángulos),
entonces:
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶
𝑩
𝑩
𝒂
𝒂
𝒄
𝒄
𝑨
𝒃
Veamos que la línea que los
divide es “h” y “u” es el lado
que se forma entre c y h.
𝑪
𝑨
𝒖
𝒉
𝒃
𝑪
Problema 11: Demuestre la ley de los cosenos para los triángulos planos
Solución:
Recordando que (a – b)² = a² – 2ab + b²:
𝒂
𝒖
𝑨
𝒉
Del triángulo izquierdo tenemos que:
𝑪
𝒃
Si aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo de la
izquierda, tenemos
𝑐 2 = 𝑢2 + ℎ2 (1)
Repitiendo el procedimiento en el de la derecha:
𝑎 2 = ℎ2 + 𝑏 − 𝑢
2
(2)
Despejamos h² de la ecuación (1) y el resultado lo sustituimos
en (2), tenemos:
𝑎2 = 𝑐 2 − 𝑢2 + 𝑏 − 𝑢 𝑏 − 𝑢
𝑎2 = 𝑐 2 − 𝑢2 + (𝑏 − 𝑢)2
Dependiendo de los lados y ángulo que tengamos, podemos
repetir el procedimiento y demostrar de igual forma la fórmula
de la ley del coseno:
Problema 12: Demuestre que 𝐴𝑥𝐵 = −(𝐴𝑥𝐵)
Solución:
DE ACUERDO A LA PROPIEDAD DE PRODUCTO CRUZ
NO ES CONMUTATIVA SE LE DEBE MULTIPLICAR al resultado
de B x A POR EL SIGNO – y se ordenan las posiciones del
resultado de este producto CRUZ obteniendo así AXB= -(B-A)
la igualdad en sus resultados.
A X B = - ( B X A)
A = (a1𝑖,Ƹ a2𝑗Ƹ a3𝑘෡ )
B = (b1𝑖,Ƹ b2𝑗Ƹ b3𝑘෡ )
𝑖෡ 𝑗Ƹ
AXB =
𝑘෡
AXB
= 𝑖෡ (a2b3 – a3b2) - 𝑗(a
Ƹ 1b3 – a3b1) + 𝑘෡ (a1b2 – a2b1)
AXB
= (a2b3 – a3b2) 𝑖෡ - (a1b3 – a3b1) - 𝑗Ƹ + (a1b2 – a2b1) 𝑘෡
a1 a2 a3
b1 b2 b3
𝑖෡ 𝑗Ƹ 𝑘෡
b1 b2 b3
BXA =
a1 a2 a3
∴
A X B = - ( B X A)
= 𝑖෡ (a3b2 – a2b3) - 𝑗(a
Ƹ 3b1 – a1b3) + 𝑘෡ (a2b1 – a1b2)
B X A = (a3b2 – a2b3) 𝑖෡ - (a3b1 – a1b3) 𝑗Ƹ + (a2b1 – a1b2) 𝑘෡
- ( B X A) = - [(a3b2 – a2b3) 𝑖෡ - (a3b1 – a1b3) 𝑗Ƹ + (a2b1 – a1b2) 𝑘෢]
BXA
- ( B X A) = (a2b3 – a3b2) 𝑖෡ - (a1b3 – a3b1) - 𝑗Ƹ + (a1b2 – a2b1) 𝑘෡
Problema 12: Demuestre que 𝐴𝑥𝐵 = −(𝐴𝑥𝐵)
Solución:
PROPIEDAD DE PRODUCTO CRUZ
NO ES CONMUTATIVA SE LE DEBE MULTIPLICAR al resultado del
vector ( A x B) POR EL SIGNO – y se ordenan las posiciones del
resultado de este producto Y COMO este ejercicio no es como la
propiedad AXB=-(B-A) sino AXB = -(AXB) no habrá la igualdad en sus
resultados.
A X B = - ( A X B)
A = (a1𝑖,Ƹ a2𝑗Ƹ a3𝑘෡ )
B = (b1𝑖,Ƹ b2𝑗Ƹ b3𝑘෡ )
AXB =
𝑖෡ 𝑗Ƹ
𝑘෡
a 1 a2 a3
b 1 b2 b3
AXB =
𝑖෡ 𝑗Ƹ
𝑘෡
a1 a2 a3
b1 b2 b3
Ƹ 1b3 – a3b1) + 𝑘෡ (a1b2 – a2b1)
A X B = 𝑖෡ (a2b3 – a3b2) - 𝑗(a
A X B = (a2b3 – a3b2) 𝑖෡ - (a1b3 – a3b1) - 𝑗Ƹ + (a1b2 – a2b1) 𝑘෡
Ƹ 1b3 – a3b1) + 𝑘෡ (a1b2 – a2b1)
A X B = 𝑖෡ (a2b3 – a3b2) - 𝑗(a
A X B = (a2b3 – a3b2) 𝑖෡ - (a1b3 – a3b1) - 𝑗Ƹ + (a1b2 – a2b1) 𝑘෡
- ( A X B) = -[(a2b3 – a3b2) 𝑖෡ - (a1b3 – a3b1) - 𝑗Ƹ + (a1b2 – a2b1) 𝑘෢]
- ( A X B) = (a3b2 -a2b3 ) 𝑖෡ - (a3b1
- a1b3) - 𝑗Ƹ + (a2b1 - a1b2 ) 𝑘෡
Problema 13: Suponga que 𝐴x𝐵 = 0 y 𝐴 y 𝐵 no son ceros. De modo que 𝐴 es paralelo a 𝐵
Solución:
𝐴𝑥𝐵 = 0
𝐴≠0
𝐵≠0
𝐴 = 𝑎1Ԧ𝑖 + 𝑎2Ԧ𝑗
𝐴Ԧ = 𝑘𝐵
𝐵 = 𝑏1Ԧ𝑖 + 𝑏2Ԧ𝑗
Tener mismas pendientes:
𝐴Ԧ // 𝐵 ՜ 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵
𝑎2
𝑚𝐴 =
𝑎1
𝑏2
𝑚𝐵 =
𝑏1
o demostrar si son proporcionales:
𝑎2 𝑏2
=
𝑎1 𝑏1
(𝑎1Ԧ𝑖 + 𝑎2Ԧ𝑗) = 𝑘(𝑏1Ԧ𝑖 + 𝑏2Ԧ𝑗)
(𝑎1Ԧ𝑖 + 𝑎2Ԧ𝑗) = 𝑘𝑏1Ԧ𝑖 + 𝑘𝑏2Ԧ𝑗
Problema 14: Mostrar que 𝐴 𝑥 𝐵
2
+ 𝐴. 𝐵
2
= 𝐴
2
𝐵
2
Solución:
𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )
𝐴
2
= 𝑎1 2 , 𝑎2 2 , 𝑎3 2
𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 )
𝐵
2
= 𝑏1 2 , 𝑏2 2 , 𝑏3 2
𝐴 𝑋 𝐵 = (𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 , 𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 , 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )
𝐴𝑋𝐵
2
= (𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 )2 +(𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 )2 +(𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )2
𝐴𝑋𝐵
𝐴𝑋𝐵
𝐴𝑋𝐵
2
= 𝐴
2
𝐵
2
𝐴𝑋𝐵
2
= 𝐴
2
𝐵 2 (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 )
− 𝐴
2
2
2
= 𝐴
= 𝐴
2
2
𝐵
𝐵
2
2
− (𝐴 . 𝐵)2
− ( 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃)2
𝐵 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
𝐴𝑋𝐵
2
= 𝐴
2
𝐵 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
Problema 15: Evaluar a 2𝑗 x 3𝑘 𝑏 2𝑗 x −𝑘 𝑐 − 3𝑖 x −2𝑘, 2𝑗 x 3𝑖 − 𝑘
Solución:
Evaluar:
Evaluar:
(b) 2j × −k
(a) 2j x 3k
𝑖 𝑗
0 2
0 0
𝑘
0
3
𝑖 𝑗
0 2
0 0
𝑘
0
−1
= 𝑖(2 ∗ 3 – 0 ∗ 0) − 𝑗(0 ∗ 3 − 0 ∗ 0) + 𝑘(0 ∗ 0 – 2 ∗ 0)
= 𝑖(2 ∗ −1 – 0 ∗ 0) − 𝑗(0 ∗ −1 − 0 ∗ 0) + 𝑘(0 ∗ 0 – 2 ∗ 0)
= 6𝑖
= −2𝑖
Problema 15: Evaluar a 2𝑗 x 3𝑘 𝑏 2𝑗 x −𝑘 𝑐 − 3𝑖 x −2𝑘, 2𝑗 x 3𝑖 − 𝑘
Solución:
Evaluar:
Evaluar:
(d) 2j × 3i – k
(c) − 3i × −2k
𝑖
−3
0
𝑗 𝑘
0 0
0 −2
= 𝑖(0 ∗ −2 – 0 ∗ 0) − 𝑗(−3 ∗ −2 − 0 ∗ 0) + 𝑘(−3
∗ 0 – 0 ∗ 0)
= − −6𝑗 = 6𝑗
𝑖 𝑗
0 2
3 0
= 𝑖(2 ∗ −1 – 0 ∗ 0) − 𝑗(0 ∗ −1
𝑘
0
−1
− 0 ∗ 3) + 𝑘(0 ∗ 0 – 2 ∗ 3)
= −2𝑖 − 6𝑘
Problema 16: Suponga que 𝐴 = 𝑗 + 2𝑘 y 𝐵 = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘. Encontrar:
𝑎 𝐴 𝑥 𝐵, 𝑏 𝐵 𝑥 𝐴, 𝑐 𝐴 + 𝐵 𝑥 (𝐴 − 𝐵)
Solución:
𝐴 = 𝐽 + 2𝐾
𝐵 = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘
Ordenamos la información:
𝐴 = 𝑂𝑖 + 𝑗 + 2𝐾 ՜ (0,1,2)
𝐵 = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 ՜ (1,2,3)
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝑎) 𝐴 x 𝐵
𝑖 𝑗 𝑘
1 2
0 2
0 1
𝐴𝑥𝐵 = 0 1 2 =
𝑖−
𝑗+
𝑘
2 3
1 3
1 2
1 2 3
𝐴𝑥𝐵 =
1 3 − (2)(2) 𝑖 − 0 3 − 1 2 𝑗 + 0 2 − 1 1 𝑘
= 3−4 𝑖− 0−2 𝑗+ 0−1 𝑘
= −1𝑖 + 2𝑗 − 1𝑘
= −𝑖 + 2𝑗 − 𝑘
Problema 16: Suponga que 𝐴 = 𝑗 + 2𝑘 y 𝐵 = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘. Encontrar:
𝑎 𝐴 𝑥 𝐵, 𝑏 𝐵 𝑥 𝐴, 𝑐 𝐴 + 𝐵 𝑥 (𝐴 − 𝐵)
Solución:
𝐴 = 𝐽 + 2𝐾
𝐵 = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘
Ordenamos la información:
𝐴 = 𝑂𝑖 + 𝑗 + 2𝐾 ՜ (0,1,2)
𝐵 = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 ՜ (1,2,3)
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜:
b) 𝐵 x 𝐴
𝑖 𝑗
𝐵𝑥𝐴= 1 2
0 1
𝐵𝑥𝐴=
𝑘
1 3
1 2
2 3
𝑖−
𝑗+
𝑘
3 =
0 2
0 1
1 2
2
2 2 − (1)(3) 𝑖 − 1 2 − 3 0 𝑗 + 1 1 − 0 2 𝑘
= 4−3 𝑖− 2−0 𝑗+ 1−0 𝑘
= 1𝑖 − 2𝑗 + 1𝑘
= 𝑖 − 2𝑗 + 𝑘
Problema 16: Suponga que 𝐴 = 𝑗 + 2𝑘 y 𝐵 = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘. Encontrar:
𝑎 𝐴 𝑥 𝐵, 𝑏 𝐵 𝑥 𝐴, 𝑐 𝐴 + 𝐵 𝑥 (𝐴 − 𝐵)
Solución:
(𝑐) (𝐴 + 𝐵) 𝑥 (𝐴 − 𝐵)
𝐴 + 𝐵 = 0𝑖 + 𝑗 + 2𝑘 + 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘
𝐴 + 𝐵 = 𝑖 + 3𝑗 + 5𝑘
𝐴 − 𝐵 = 0𝑖 + 𝑗 + 2𝑘 − 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘
𝐴 − 𝐵 = 𝑜𝑖 + 𝑗 + 2𝑘 − 𝑖 − 2𝑗 − 3𝑘
𝐴 − 𝐵 = −𝑖 − 𝑗 − 𝑘
Hallando y reemplazando valores
𝑖
𝑗
𝑘
1
3
3
5
1
5
𝐴+𝐵 𝑥 𝐴−𝐵 1
𝑖−
𝑗+
𝑘
3
5 =
−1 −1
−1 −1
−1 −1
−1 −1 −1
𝐴+𝐵 𝑥 𝐴−𝐵 =
3 −1 − (5)(−1) 𝑖 − 1 −1 − 5 −1 𝑗 + 1 −1 − 3 −1 𝑘
= −3 + 5 𝑖 − −1 + 5 𝑗 + −1 + 3 𝑘
= 2𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘
𝐴 + 𝐵 𝑥 𝐴 − 𝐵 = 2𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘
Problema 17: Suponga que 𝐴 = −𝑖 + 𝑗 + 𝑘, 𝐵 = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘, 𝐶 = 𝑖 + 𝑗 − 𝑘. Encontrar:
𝑎 𝐴 + 𝐵 𝑥 𝐶, 𝑏 𝐴 𝑥 (𝐵 𝑥 𝐶)
Solución:
AxB=
i j k
-1 1 1
1 -1 1
b) Entonces A x (B + C) = (-i + j + k)
= 2i +2j
2j + 2k =
a) Entonces (A x B) x C = (2i + 2j) + (i + j - k )
i j
2 2
1 1
k
0
-1
= -2i + 2j
i j k
-1 1 1
0 2 2
= 2j – 2k
Problema 18: Demuestre la ley de los senos para los triángulos planos
Se cumple :
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
= 2𝑅
𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶
Donde:
ABC : triángulo inscrito en la
Circunferencia
R : circunradio del triangulo ABC
a,b,c : lados de triangulo ABC
Problema 18: Demuestre la ley de los senos para los triángulos planos
𝑎
𝑠𝑖𝑛𝐴 =
2𝑅
𝑎
= 2𝑅
𝑠𝑖𝑛𝐴
Problema 18: Demuestre la ley de los senos para los triángulos planos
𝑏
𝑠𝑖𝑛𝐵 =
2𝑅
𝑏
= 2𝑅
𝑠𝑖𝑛𝐵
Problema 18: Demuestre la ley de los senos para los triángulos planos
𝑐
𝑠𝑖𝑛𝐶 =
2𝑅
𝑐
= 2𝑅
𝑠𝑖𝑛𝐶
Problema 19: Determine un vector unitario perpendicular al plano de 𝐴 = 2𝑖 − 6𝑗 − 3𝑘 𝑦 𝐵 = 4𝑖 + 3𝑗 − 𝑘
Solución:
𝐴 = 2𝑖 − 6𝑗 − 3𝑘 ՜ 𝐴 = 2, −6, −3
𝐵 = 4𝑖 + 3𝑗 − 𝑘 ՜ 𝐵 = (4; 3; −1)
𝑖
𝑗
𝑘
−6 −3
2
𝐴 𝑥 𝐵 = 2 −6 −3 =
𝑖−
3 −1
4
4 3 −1
2
−3
𝑗+
−1
4
−6
𝑘
3
𝐴 𝑥 𝐵 = −6 −1 − (−3)(3) 𝑖 − 2 −1 − 4 −3 𝑗 + 2 3 − 4 −6 𝑘
𝐴 𝑥 𝐵 = 6 + 9 𝑖 − −2 + 12 𝑗 + 6 + 24 𝑘
𝐴 𝑥 𝐵 = −15𝑖 − 10𝑗 + 30𝑘
𝐴 𝑥 𝐵 = (15, −10,30)
Calculando el vector unitario en dirección 𝑉 = (15, −10,30)
𝑣Ԧ =
(15)2 +(−10)2 +(30)2 = 1225 = 35
՜
∴
𝑉
𝑉
=
15 −10 30
3 −2 6
,
,
=
,
,
35 35 35
7 7 7
Problema 20: Suponga que se aplica una fuerza 𝐹 = 3´ + 2𝑗 − 4𝑘 en el punto 1, −1,2 . Calcule
el momento de F con respecto del punto: 𝑎 2, −1,3 , 𝑏 (4, −6,3)
Solución:
F= 3i + 2j + 4k
Punto eje = (-1, -1, 2)
a) P1 = (2, -1, 3) → Pc = {(2-1); (-1-1); (3-2)} = (1, -2, 1)
-6k 2i -4j
MF1 =
i j k i j
1 -2 1 1 -2
3 2 -4 3 2
MF1= (8i + 3j + 2k) – (2i + (-4j) + (-6k))
MF1 = 8i + 3j + 2k – 2i + 4j + 6k
MF1 = 6i + 7j +8k
8i 3j 2k
b) P2 = (4, -6, 3) → Pc = {(4-1); (-6-1); (3-2)} = (3, -7, 1)
-21k 2i -12j
MF2 =
i j k i j
3 -7 1 3 -7
3 2 -4 3 2
28i 3j 6k
MF2= (28i + 3j + 6k) – (2i + (-12j) + (-21k))
MF2 = 28i + 3j + 6k – 2i + 12j + 21k
MF2 = 26i + 15j +27k