PROBABILIDADES

PROBABILIDAD
El concepto de Probabilidad es manejado por
mucha gente.
Frecuentemente se escuchan
preguntas como :
• ¿Cuál es la posibilidad de que apruebe el curso
de estadística?
• ¿Qué viabilidad hay de que este
disminuyan los casos del COVID 19?
año
• ¿Qué factibilidad hay de que hoy llueva?
• ¿Cuál es la probabilidad de que nuestra
selección clasifique al mundial?
Definición Subjetiva de Probabilidad
Las probabilidades subjetivas están basadas en las
creencias de las personas que efectúan la estimación de
probabilidad.
La probabilidad subjetiva se puede definir como la
probabilidad asignada a un evento por parte de un
individuo, basada en la evidencia que se tenga disponible.
 Subjetiva : grado de certeza que se posee sobre un suceso. Es
personal.
Definición Frecuencial de
Probabilidad.
La probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún
fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un
comportamiento.

Frecuentista (objetiva): probabilidad de un suceso es la frecuencia
relativa
(%)
de
veces
que
ocurriría
el
suceso
al realizar un experimento repetidas veces.
Las probabilidades constituyen una rama de las
matemáticas que se ocupa de medir o determinar
cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o
experimento produzca un determinado resultado.
Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el
lanzamiento de una moneda.
El lanzamiento de un dado.
Extracción de una carta de un mazo de naipes.
El estado del clima (lluvia)
La lotería.
Conceptos Básicos de Probabilidad
Evento Aleatorio: Es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del
azar.
Espacio Muestral: Es el conjunto formado por todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio.
Técnicas de Conteo: Para determinar el espacio muestral es necesario
desarrollar algunas técnicas de enumeración:
• Factorial de un número.
• Análisis combinatorio
Factorial de un Número. El factorial de un entero positivo n, se define en
principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1
hasta n.
¿De cuántas maneras se pueden acomodar 3 mujeres y 3 hombres
de tal forma que dos personas de mismo sexo no estén una a lado
de la otra?
(3x2x1) (3x2x1)= 36
Análisis de Combinaciones
Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los
elementos de un conjunto teniendo en cuenta que NO
influye el orden en que se colocan.
De entre 8 personas debemos formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas
diferentes posibilidades existen para formar el comité?
Propiedades Básicas de las Probabilidades
1. Cualquiera que sea el evento aleatorio A, es positiva y menor o igual 1.
3. La suma de las probabilidades de un evento y su contrario
es igual a 1, por lo cual la probabilidad del suceso es,
tal que
Definición Clásica
Esta definición clásica de probabilidad fue una de las primeras
que se dieron (1900) y se atribuye a Laplace; también se
conoce con el nombre de probabilidad a priori pues, para
calcularla, es necesario conocer, antes de realizar el
experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de
resultados o sucesos elementales que entran a formar parte
del suceso.
La aplicación de la definición clásica de probabilidad puede presentar dificultades de
aplicación cuando el espacio muestral es infinito o cuando los posibles resultados de un
experimento no son equiprobables.
Ejemplo: Una caja contienen ocho bolas rojas, tres blancas y nueve azules. Si se
sacan tres bolas al azar, determina la probabilidad de que las tres sean rojas.
P( A) 
Número de casos favorables de A
Total de casos posibles
Sea el suceso A = se extraen tres bolas rojas.
La probabilidad pedida es entonces:
n( A)
P ( A) 
A
C8,3
14
P( A) 

 0,049
C20,3 285
P( A)  0,049 x100%
P ( A)  4,9%
Sucesos


E espacio muestral
Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son
posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio
muestral (E).
Se llama suceso a un subconjunto de dichos resultados.

Se llama suceso contrario (complementario) de un suceso A, A’, al
formado por los elementos que no están en A

Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados
experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en
ambos.

E espacio muestral
A
A’
Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al
formado por los elementos que están en A y B.
E espacio muestral
E espacio muestral
UNIÓN
A
E espacio muestral
INTERS.
A
A
B
B
B
Definición de probabilidad


Se llama probabilidad a cualquier función, P, que asigna a
cada suceso A un valor numérico P(A), verificando las
siguientes reglas (axiomas).
P(E)=1
E espacio muestral
100%


0≤P(A) ≤1
P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø
E espacio muestral
A
Ø es el conjunto vacío.

Podemos imaginar la probabilidad de un subconjunto como
el tamaño relativo con respecto al total (suceso seguro).
EJEMPLOS
E espacio muestral
A
B
P(A)=3/9=1/3
P(A)=?
P(B)=?
P(B)=5/9
P(AUB)=6/9=2/
P(AUB)=?
3
P(AB)=?
P(AB)=2/9
P(A’)=?
P(A’)=6/9=2/3
P(B’)=4/9
P(B’)=?
E espacio muestral
A
B
E espacio muestral
A
B
P(A)=3/9=1/3
P(A)=?
P(B)=2/9
P(B)=?
P(AUB)=5/9
P(AUB)=?
P(AB)=0
P(AB)=?
P(A’)=6/9=2/3
P(A’)=?
P(B’)=7/9
P(B’)=?
P(A)=3/9=1/3
P(A)=?
P(B)=?
P(B)=2/9
P(AUB)=3/9=1/
P(AUB)=?
3
P(AB)=2/9
P(AB)=?
P(A’)=6/9=2/3
P(A’)=?
P(B’)=7/9
P(B’)=?
Probabilidad condicionada

Se llama probabilidad de A condicionada a B, o
probabilidad de A sabiendo que pasa B:
E espacio muestral
P(AÇ B)
P(A | B) =
P(B)

A
B
Error frecuentíiiiiiisimo:
No confundáis probabilidad condicionada con intersección.
 En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…



En P(A∩B) con respecto a P(E)=1
En P(A|B) con respecto a P(B)
EJEMPLOS
P(A)=3/9=1/3
P(B)=5/9
P(AUB)=6/9=2/
A
3
P(AB)=2/9
B
P(A’)=6/9=2/3
P(B’)=4/9
P(B|A)=?
P(A|B)=? P(B|A)=2/3
P(A|B)=2/5
E espacio muestral
P(A)=3/9=1/3
P(B)=2/9
A
P(AUB)=5/9
B
P(AB)=0
P(A’)=6/9=2/3
P(B’)=7/9
P(A|B)=? P(B|A)=0
P(B|A)=?
P(A|B)=0
E espacio muestral
P(A)=3/9=1/3
P(B)=2/9
P(AUB)=3/9=1/
3
P(AB)=2/9
B
P(A’)=6/9=2/3
P(B’)=7/9
P(A|B)=? P(B|A)=2/3
P(B|A)=?
P(A|B)=1
E espacio muestral
A
CONCEPTO
DE ESTIMACIÓN
ESTADÍSTICA
Concepto de Estimación Estadística: Es un proceso de estadística
inferencial que tiene por finalidad aproximarnos al valor del parámetro
poblacional a partir de los datos tomados de una muestra representativa
de esa población.
Ejemplo: Deseamos estimar la edad media de los estudiantes de la
Universidad Nacional Hermilio Valdizan. Utilizando una técnica de
muestreo apropiada al problema obtenemos una muestra representativa.
Calculamos la edad media de los alumnos que constituyen la muestra,
supongamos que es de 23 años.
Existen dos formas de realizar la estimación estadística:
1º Estimación puntual y 2º Estimación por intervalos.
a) Estimación Puntual: Es la estimación de un parámetro poblacional
hecha en base a un sólo número de la muestra.
Ejemplo: Estima el promedio de notas de una población estudiantil en
base a los datos de la siguiente muestra.
X: 12; 15; 19; 16; 13; 14; 17; 18; 11. Entonces:
x  15
El símbolo x significa promedio aritmético poblacional estimada.
b) Estimación por Intervalos: La idea es construir un intervalo numérico
(conjunto de números comprendidos entre dos números) de acuerdo a una
probabilidad dada para establecer que dentro de él, se halla el parámetro
poblacional que nos interesa.
En otras palabras, no decimos cuánto vale exactamente el parámetro,
sino que él está dentro de un intervalo dado.
En el gráfico adjunto, tenemos la media poblacional µ , dentro del intervalo
cuyos extremos son los números a y b.
Igualmente en el gráfico siguiente, vemos que la desviación estándar
poblacional σ, se halla dentro del intervalo cuyos extremos son los
números c y d.
Nivel de Confianza: Es la probabilidad de que el parámetro se encuentre
dentro del intervalo dado.
Los niveles de confianza usuales son del 95% y del 99%.
a) Nivel de Confianza de 95%
Significa que de 100 casos, cabe esperar que en 95 de ellos, el
parámetro se halle dentro del intervalo construido. También se espera
que en 5 de ellos, el parámetro se halle fuera del intervalo, ya sea a la
derecha,
o hacia la izquierda:
b) Nivel de Confianza de 99%
En forma análoga se interpreta el nivel de confianza 99%. De 100 casos,
se espera que en 99 de ellos, el parámetro se halle dentro del intervalo y
en 1 de ellos se halle fuera del intervalo ya sea la derecha o a la
izquierda.
Intervalo de Confianza para Estimar la Media Poblacional
a) Intervalo de Confianza de 95% Para Estimar la Media Poblacional
Hemos dicho que el nivel de confianza expresa la probabilidad de que el
parámetro
se halle dentro del intervalo; para la probabilidad de 95%, en la
distribución normal estandarizada, se tiene:
95
95% 
 0,95
100
0,95
 0,4750
2
En la tabla de probabilidades normales, para el área de 0,4750 se obtiene
el puntaje de Z = ?
TABLA DE PROBABILIDADES NORMALES Z
ÁREA  0,4750
Z  1,96
En la tabla de probabilidades normales, para el área de 0,4750 se
obtiene el puntaje de Z = 1,96.
Denominado los puntos críticos de la distribución normal.
b) Intervalo de Confianza de 99 % Para Estimar la Media Poblacional
Hemos dicho que el nivel de confianza expresa la probabilidad de que el
parámetro
se halle dentro del intervalo; para la probabilidad de 99 %, en la
distribución normal estandarizada, se tiene:
99
99% 
 0,99
100
0,99
 0,4950
2
En la tabla de probabilidades normales, para el área de 0,4950 se obtiene
el puntaje de Z = ?
TABLA DE PROBABILIDADES NORMALES Z
ÁREA  0,4950
Z  2,58
En la tabla de probabilidades normales, para el área de 0,4950 se
obtiene el puntaje de Z = 2,58.
Denominado los puntos críticos de la distribución normal.
TAREA N° 03
1. Completar la matriz de resultados de la encuesta sobre consumo de comidas rápidas.
N°
Sexo
Edad
Nivel
Consumo
01
Masculino
02
Femenino
03
23
Bachiller
Si
Pizza
70
28
Secundaria
Si
Pollo frito
100
Masculino
35
Primaria
No
04
Masculino
19
Bachiller
Si
Pollo frito
60
05
Masculino
40
Posgrado
Si
Lomito
90
06
Masculino
20
Bachiller
Si
Pizza
45
07
Masculino
34
Posgrado
No
08
Masculino
19
Primaria
Si
Pollo frito
54
09
Femenino
23
Bachiller
No
10
Masculino
25
Primaria
Si
Hamburguesa
45
11
Masculino
45
Posgrado
No
12
Masculino
34
Primaria
Si
Pizza
56
13
Femenino
23
Bachiller
Si
Lomito
78
14
Masculino
34
Primaria
Si
Pizza
79
15
Masculino
35
Bachiller
Si
Pizza
55
16
Masculino
54
Bachiller
Si
Pizza
54
17
Masculino
43
Posgrado
Si
Pizza
43
18
Masculino
45
Posgrado
Si
Pizza
20
19
Femenino
46
Primaria
Si
Pizza
100
20
Masculino
47
Primaria
No
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Cual
Gasto
2. Aplicando el programa SPSS versión 25, mediante la tabla de contingencia y el
grafico de barras, analiza el porcentaje de los hombres que consumen pollo frito
(Tabla cruzada con dos variables).
3. Aplicando el programa SPSS versión 25, mediante la tabla de contingencia y el
grafico de barras, analiza el porcentaje de los hombres universitarios que
consumen pizza (Tabla cruzada con tres variables).
4. Dos ejemplos de probabilidad subjetiva aplicadas al área de la educación.
5. Dos ejemplos de probabilidad frecuencial aplicadas al área de la educación.
6. Determina los puntos críticos de la distribución normal Z, haciendo uso de la
tabla de probabilidades para los siguientes intervalos de confianza: 90 %; 92 % y
97%.
Nota: Presentar la tarea en Word.
Dr. Andrés A. Cámara Acero
UNHEVAL-FCE