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I. S. P. Nº 1 “Manuel Leiva”
PRIMER DE AÑO DE PROFESORADO DE MATEMÁTICA
GEOMETRÍA I
PROFESORA: VOIDANICH, NATALIA JORGELINA
GEOMETRÍA EUCLIDEANA: INTRODUCCIÓN
La Geometría (Geo: tierra, Metría: medir) al igual que otras ciencias, empezó como un conjunto de
reglas y conocimientos empíricos usados por los constructores y medidores de terrenos. La Geometría
nos proporciona las herramientas ideales para modelizar matemáticamente el espacio físico que nos
rodea. Cuando queremos construir una casa, su plano está constituido de segmentos que forman
polígonos, y sus medidas nos permiten obtener informaciones importantes como su perímetro o su área.
Las fórmulas geométricas nos permiten calcular el área de los campos cultivables, la distancia entre
ciudades, el volumen de líquido que contiene un determinado recipiente, etc.
La Geometría que nosotros estudiaremos es, como toda la matemática, una modelización ideal de lo
que vemos en la realidad física y se fundamenta en las siguientes normas:
a) Enunciar, sin definir, conceptos primitivos.
b) Admitir, sin demostración, ciertas propiedades que verifican dichos conceptos o que los relacionan.
c) Deducir, lógicamente las restantes propiedades.
En la Geometría encontramos:
a) Conceptos o términos primitivos: no se definen, se supone su existencia. Son elementos básicos de
trabajo. Se refieren a “ideas” o “abstracciones” y los dibujos que utilizamos para visualizarlos son sólo
representaciones físicas de tales elementos que como idea sólo existen en nuestras mentes.
b) Axiomas o postulados: Proposiciones acerca de los conceptos primitivos que se aceptan sin
demostración. Surgen ya sea de su evidencia intuitiva, ya sea de la necesidad de que se cumplan para
poder construir la cadena deductiva.
c) Definiciones: Conceptos no primitivos que se construyen a partir del sistema axiomático. Para
definir un término geométrico se deben indicar todas las características que lo distinguen como tal.
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d) Teoremas: Proposiciones cuyo valor de verdad se prueba a partir del sistema axiomático,
definiciones y teoremas anteriores. El proceso mediante el cual se justifica y deduce la validez de los
teoremas se llama demostración.
e) Un lenguaje y un método de razonamiento lógicos que permiten enunciar conceptos y
propiedades, y demostrar teoremas.
La demostración de un teorema puede considerarse como una combinación o enlace de dos o más
proposiciones para obtener nuevas proposiciones cuya validez resulte de la validez de aquéllas.
Las proposiciones nuevas se dicen demostradas, inferidas o deducidas de las anteriores. Las
proposiciones de partida incluidas en el enunciado del teorema constituyen la hipótesis del mismo.
La proposición a demostrar es la tesis.
Los métodos más usados son:
El método directo: partiendo de la veracidad de la hipótesis, se deduce, mediante la
aplicación de definiciones previas, axiomas, teoremas anteriores y razonando sobre ellos, la
veracidad de la tesis.
El método indirecto y el método por el absurdo: al suponer falsa la tesis (contradiciéndola) y
analizar las variaciones que se pueden presentar, se llaga a absurdos, a contradicciones
(falsedad de la hipótesis o falsedad de alguna definición, postulado o propiedad conocida), y
por tanto la tesis tiene que ser verdadera.
SISTEMA DE AXIOMAS
Conjunto de axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar teoremas. En todo
sistema de axiomas se deben dar las siguientes condiciones:
Los sistemas deben ser COMPATIBLES, es decir, ninguno de ellos debe estar en
contradicción con los demás o sus consecuencias. Esta es una propiedad esencial para la
validez del sistema.
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Los axiomas deben ser INDEPENDIENTES, es decir, ninguno de ellos o parte de ellos debe
poder demostrarse como consecuencias de los demás. Esta es una condición de elegancia o
perfección.
La axiomática es la rama de la matemática que se ocupa de los sistemas de axiomas, así como su
compatibilidad e independencia.
AXIOMAS DE EXISTENCIA Y ENLACE
Axioma 1-Existen infinitos entes llamados “puntos”, cuyo conjunto llamamos espacio.
Nombramos al espacio
.
Axioma 2- Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos conjuntos parciales de
infinitos puntos llamados “planos” y los de cada plano en otros conjuntos parciales llamados
“rectas”. Nombraremos al plano
Axioma 3- Dos puntos distintos determinan una única recta a la que pertenecen.
Expresión simbólica: ………………………………………
Este axioma justifica el empleo de la notación ⃡
⃡
para designar a la letra r.
De los axiomas anteriores se deduce el siguiente Teorema:
Teorema: dos rectas distintas se cortan en un único punto
Rectas secantes: dos rectas que se cortan.
Puntos colineales: son todos aquellos que pertenecen a una misma recta.
Punto exterior a una recta: es cuando no pertenece a ella.
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Axioma 4-Tres puntos no alineados determinan un plano al que pertenecen.
Expresión simbólica:……………………………………………………………………………………
Puntos coplanares: son aquellos que pertenecen a un mismo plano.
Punto exterior a un plano: es aquel que no pertenece al plano.
Rectas coplanares: son aquellas que están incluidas en un mismo plano.
Rectas alabeadas: dos rectas son alabadas cuando no están incluidas en el mismo plano.
En nuestra cadena de axiomas, teoremas y definiciones surge:
Axioma 5- Si dos puntos distintos pertenecen a un plano, la recta que determinan está incluida en dicho
plano.
Expresión simbólica:……………………………………………………………………………
A partir de los axiomas y definiciones anteriores surgen los siguientes teoremas.
Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano, tal que el punto pertenece al plano y la
recta está incluida en él.
Demostración:
H) P
T)
⁄
D)
Dos rectas secantes determinan un plano en el que están incluidas.
{ }
H)
T)
⁄
D)
Por los axiomas y teoremas enunciados, un plano queda determinado por:
Tres puntos no alineados.
Dos rectas secantes.
Una recta y un punto que no pertenece a ella.
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ACTIVIDADES
1) Grafica tres puntos no alineados A, B, C. ¿Cuántas rectas determinan?
2) Grafica cuatro puntos distintos A, B, C y D tales que no hay tres de ellos alineados. ¿Cuántas rectas
distintas determinan?
3) Coloca v (verdadero) o f (falso) junto a cada enunciado. Justifica tu respuesta.
a) 2 puntos son siempre colineales.
b) 3 puntos pueden ser colineales.
c) n puntos pueden ser colineales.
d) 2 puntos pueden ser no colineales.
e) 3 puntos pueden ser no colineales.
f) 3 puntos pueden ser no coplanares.
g) 4 puntos pueden ser no coplanares.
4) Si dos puntos A y B pertenecen a la recta r y al plano
, ¿qué puedes afirmar sobre R y ?
5) Justifica la falsedad o veracidad de cada una de las siguientes implicaciones:
a)
{
b)
{
}
}
{
{
}
}
