Ejercicio 6.28. La cantidad de líquido contenido en botellas de bebida refrescante se distribuye normalmente con una media de 2.0 litros y una desviaci6n estándar de 0.05 litros. Las botellas que contienen menos del 95% del contenido neto listado (1.90 litros en este caso) son causa de que los productores sean penalizados por la oficina estatal de asuntos del consumidor. Las botellas que tienen un contenido neto superior a 2.10 litros, pueden –causar un exceso de derrame cuando se abren. Cuál es la proporción de botellas que contendrán: A. B. C. D. E. Entre 1.90 y 2.0 litros? Entre 1.90 y 2.10 litros? Menos de 1.90 0 más de 2.10 litros? El 99% de las botellas contienen por lo menos que cantidad de refresco? El 99% de las botellas contendrán una cantidad que esta entre cuales dos valores (simétricamente distribuidos) alrededor de la media? Solución: Para usar la tabla de distribución normal, se normaliza la variable de probabilidad. Esto se hace de la siguiente manera: z=(x-m)/s donde x es la variable no normalizada, en este caso el volumen contenido por la botella m es la media. En este caso, m = 2 s es la desviación estandar. En este caso s = 0.05 A. z1=(1.90-2)/0.05 = -2, donde z2=(2-2)/0.05 = 0; como P(z>z1 y z<z2)=P(z<z2) P(z<z1) Buscando en las tablas P(z<0) = 0.5; P(z<-2) = 0.02275 Entonces, P(z>-2 y z<0)=0.5 - 0.02275 = 0.4773. B. Normalizando de igual manera que en A z1=(1.90-2)/0.05 = -2; z2=(2.1-2)/0.05=2; P(z>z1 y z<z2)=P(z<z2) - P(z<z1) De las tablas P(z<-2)= 0.02275 P(z<2)=0.97725 P(z>-2 y z<2) = 0.97725 - 0.02275 = 0.9545 C. En este caso, la pregunta es el complemento de B, por lo tanto P(z<-2 y z>2) = 1 - P(z>-2 y z<2) = 1 - 0.9545 = 0.0455. D. En este caso hay que ir a la inversa. En la tabla se busta el valor de z1 para el cual P(z<z1) = 0.1, ya que el complemento P(z>z1) = 1 - P(z<z1) = 0.99 es la probabilidad de que el nivel esté por arriba del valor z1. en las tablas encontramos z1=-1.2816 pasando este valor a unidades NO NORMALIZADAS de volumen de liquido x = z1 s + m x = -1.2816 * 0.05 + 2 = 1.9359 litros; cada botella tiene al menos 1.9359 litros con una probabilidad del 99% E. Donde al buscar que el área bajo la distribución normal entre dos limites simetricos, digamos -z1 y z1 sea 0.99 -> z1 tal que P(z<z1) = 0.995, de las tablas z1=2.5758 Llevamos este numero a unidades NO NORMALIZADAS x1 = z1 s + m = (2.5758)(0.05) + 2 = 2.1288 para cumplir con la simetría, la cantidad que excede de la media (0.1288) se lo restamos a la media (2) x2 = 2 - 0.1288 = 1.8712; con esta resta le quitamos a la probabilidad un 0.005 de los valores más bajos de x, con lo que dejamos la probabilidad en 0.99, o sea 99%. podemos verificar que x2 corresponde a -z1 = -2.5758. Entonces, el 99% de las botellas tiene entre 1.8712 litros y 2.1288 litros. Consulta: Caracteristica de la variable Hipergeometrica. es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realicen experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial. Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características: a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados. b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás. d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante. Ejemplo de aplicación: De cada 20 piezas fabricadas por una máquina, hay 2 que son defectuosas. Para realizar un control de calidad, se observan 15 elementos y se rechaza el lote si hay alguna que sea defectuoso. Vamos a calcular la probabilidad de que el lote sea rechazado.
