Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas Departamento de Matemáticas y Estadı́stica Coordinación de Ecuaciones Diferenciales Lista #1 de ejercicios adicionales 1. Determine cuáles de las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales ordinarias y cuáles son ecuaciones en derivadas parciales: a) dy dx 00 − 6y = 5, b) y + y 0 + 2y 0 − y = 2x, c) (x2 + y)dx + 4ydy = 0, d ) ux + uy = 0, e) ∂2u ∂x2 = ∂2u ∂t2 2 − 2 ∂∂tu . 2. Determine el orden de la ecuación diferencial dada, diga también si la ecuación es lineal o no lineal. √ a) 2x2 y 00 + xy 0 + 2y = cos x, b) y 00 + sen(x + y) = sen x, c) dy dx d) d3 y dx3 0 + xy 2 = 0, dy + x dx + (cos x)y = x3 , e) y + 2xy = 0. f ) (x2 + y 2 )dx + (3ex − 2y)dy = 0, g) y (4) + (tan x)y 00 − ex y 0 − xy = e3x . 3. Verifique que la función o funciones que se dan son una solución de la ecuación diferencial correspondiente. a) y 00 + 2y 0 − 3y = 0, y1 (x) = e−3x , y2 (x) = ex , b) y 0 + y = e−x , y = (x + c)e−x , donde c es cualquier constante, c) x2 y 00 + 5xy 0 + 4y = 0, x > 0; y1 (x) = x−2 , y2 (x) = x−2 ln x, d ) xy 0 − y = x2 , y = 3x + x2 , e) y 00 + y = sec x, 0 < x < π2 , y = (cos x) ln(cos x) + x sen x, 2 Rx 2 2 f ) y 0 − 2xy = 1, y = ex 0 e−t dt + ex . 1 4. Determine los valores de r para los que la ecuación diferencial dada tiene soluciones de la forma y = erx . a) y 00 − 2y 0 + y = 0, b) y 0 − 2y = 0, c) y 00 + 5y + 6y = 0, d ) y 000 − 3y 00 + 2y 0 = 0. 5. Determine los valores de m para los que la ecuación diferencial dada tiene soluciones de la forma y = xm , para x > 0. a) x2 y 00 + 4xy 0 + 2y = 0, b) x2 y 00 − 4xy 0 + 4y = 0, c) x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 0, d ) x2 y 00 + 10xy 0 + 8y = 0. 2
