Tipos de Homomorfismo

Tipos de homomorfismos
Definición
Un homomorfismo 𝜑: 𝐴 → 𝐴′ se llama monomorfismo si 𝜑 es inyectivo
Observación
La inyectividad de una función puede entenderse de varias maneras.
1. A cada elemento del dominio le corresponden elementos distintos del conjunto de
llegada.
2. Cada elemento del conjunto de llegada es a lo sumo imagen de un elemento del dominio.
3. A elementos diferentes del dominio le corresponden imágenes distintas.
Gráficamente se corresponde con las siguientes imágenes
En general, para demostrar que 𝜑 es un monomorfismo se debe probar:
1) 𝜑 es homomorfimo
2) 𝜑 es inyectiva
Para probar que 𝜑 es inyectiva se debe suponer (partir) que las imágenes son iguales y
obtener que los elemento del dominio que le corresponden a esas imágenes, son iguales.
Esto es:
𝝋(𝒂) = 𝝋(𝒃) →. . . →. . . → 𝒂 = 𝒃
Un homomorfismo sobreyectivo 𝜑cumple evidentemente las condiciones:
1) 𝜑 es homomorfismo
2) 𝜑 es sobreyectivo
𝜑 es sobreyectivo si cada elemento del conjunto de llegada es imagen de un elemento del
dominio.
La función es sobreyectiva. No es inyectiva
Para demostrar que 𝜑 es sobreyectiva debemos probar que todo elemento del conjunto de
llegada es imagen de un elemento del conjunto de partida.
Supongamos que 𝜑: 𝐴 → 𝐴′ . Para demostrar que 𝜑 es sobreyectiva debo seguir la secuencia:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝒂′ ∈ 𝑨′ →. . . →. . . → ∃𝒂 ∈ 𝑨 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝝋(𝒂) = 𝒂′
Definición
Un anillo 𝐴 es isomorfo a un anillo 𝐴′ ( 𝐴 ≅ 𝐴′) si existe una aplicación 𝜑: 𝐴 → 𝐴′ tal que:
1) 𝜑 es inyectiva
2) 𝜑 es sobreyectiva
3) 𝜑 es homomorfismo
En este caso 𝜑 es llamado isomorfismo.
Ejemplo 1
Consideremos el anillo 𝐴 = {0, 6, 2, 4, 8} ⊂ ℤ10 con la suma y el producto de los enteros
módulo 10. Sea el anillo ℤ5 con la suma y producto de clases.
Confeccionamos una tabla para las operaciones en A
+
0
6
2
8
4
0
0
6
2
8
4
6
6
2
8
4
0
2
2
8
4
0
6
8
8
4
0
6
2
4
4
0
6
2
8
×
0
6
2
8
4
0
0
0
0
0
0
6
0
6
2
8
4
Los elementos de ℤ5 los distinguimos ( para evitar la confusión):
↔ ↔ ↔ ↔ ↔
ℤ5 = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 }
2
0
2
4
6
8
8
0
8
6
4
2
4
0
4
8
2
6
Definimos 𝜑: ℤ5 → 𝐴 𝑒𝑥𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎
↔
↔
↔
𝜑(0 ) = 0, 𝜑(1 ) = 6, 𝜑(2 ) = 2,
↔
↔
𝜑(3 ) = 8,
𝜑(4 ) = 4
Evidentemente 𝜑 es una biyección (sobreyectiva e inyectiva). Verifiquemos si 𝜑 cumple las
condiciones de homomorfismo para la suma, en algunos casos
↔
↔
↔
↔
↔
↔
𝜑(2 ⊕ 4 ) = 𝜑(6 ) = 𝜑(1 ) = 6 = 2 + 4 = 𝜑(2 ) + 𝜑(4 )
↔
↔
↔
↔
↔
𝜑(3 ⊕ 1 ) = 𝜑(4 ) = 4 = 8 + 6 = 𝜑(3 ) + 𝜑(1 )
Y para el producto
↔
↔
↔
↔
↔
↔
𝜑(4 ⊗ 3 ) = 𝜑(12) = 𝜑(2 ) = 2 = 4 × 8 = 𝜑(4 ) × 𝜑(3 )
La aplicación es un homomorfismo biyectivo o isomorfismo de ℤ5 𝑒𝑛 𝐴. Lo cual significa que
ℤ5 ≅ 𝐴.
Ejemplo 2
Para dos anillos 𝐴 𝑦 𝐴′. La función 𝜙: 𝐴 → 𝐴′ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝜙(𝑎) = 0′ 𝑒𝑠 𝑢𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑚𝑜𝑟𝑓𝑖𝑠𝑚𝑜.
𝑆𝑖 𝐴 ≠ {0}, 𝐴′ ≠ {0′} entonces 𝜙 no es inyectiva ni sobreyectiva.
Ejemplo 3
Sea 𝜙: ℝ → ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 (𝑎) = 𝑎 + 2. Determine si 𝜙 es un monomorfismo
Verificación
Para 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝜙(𝑎 + 𝑏) = 𝑎 + 𝑏 + 2 ≠ (𝑎 + 2) + (𝑏 + 2)= 𝜙(𝑎) + 𝜙(𝑏)
Esta función no es homomorfismo. (se deben cumplir todas las condiciones)
Ejemplo 4
Determine si ℤ6 y ℤ12 son isomorfos.
Es imposible construir una aplicación sobreyectiva de un conjunto a otro conjunto de llegada
con una cantidad diferente de elementos (uno tiene 6 elementos y el otro 12). Si la aplicación
no puede ser sobreyectiva tampoco existirá un isomorfismo entre los conjuntos. De manera
que ℤ6 y ℤ12 no son isomorfos.