INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA DE COMERCIO “VIRGINIA GÓMEZ”
“CAMINANDO POR SENDEROS FORMATIVOS HACIA LA EXCELENCIA”
GUÍA DE MATEMÁTICAS
Docente:MCs.Augusto Ospino M
Grados: 11A-1B-11C Jornada Mañana
TEMA: FUNCIONES
NOMBRE:_________________________________________ FECHA:07/2020
FUNCIONES
CONCEPTO DE FUNCIÓN. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN.
Una función 𝒇 es una relación que asigna a cada elemento 𝑥 de un conjunto 𝑋 un único elemento
𝑦 de un conjunto 𝑌.Se llama dominio de 𝑓(que se simboliza como 𝐷𝑜𝑚(𝑓)) al conjunto de valores
que toma la variable independiente 𝑥. El rango o recorrido de 𝑓 (que se simboliza como 𝑅𝑎𝑛(𝑓))
es el conjunto de valores que puede tomar la variable
dependiente 𝑦, esto es el conjunto de las imágenes.
Así, en la figura de la derecha podemos observar
gráficamente el comportamiento de la función
“el
doble de un número”. Del lado izquierdo observamos
el conjunto de partida (representado por los valores
que le asignemos a la variable independiente “𝑥”), del
lado derecho observamos el conjunto de llegada o
codominio (representado por los valores que toma la
variable dependiente “𝑦” una vez que se calcula el
doble del valor que se le asignó a “𝑥”) y sobre la flecha
está indicada la relación matemática (función) que transforma los valores del conjunto de partida
en los valores del conjunto de llegada (imagen).
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {1,2,3} , 𝑅𝑎𝑛(𝑓) = {2,4,6}
FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCIÓN.
Las funciones se pueden determinar de varias formas:
Mediante una tabla de valores.
Mediante su expresión analítica.
Mediante su gráfica.
Ejemplo. La función 𝑦 = 𝑥 2, es una función que está expresada de forma
analítica.
Su tabla de valores es:
representación gráfica:
Y su
CÁLCULO DEL DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES
FUNCIONES POLINÓMICAS:
Son aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio. Las funciones polinómicas,
tienen como dominio todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una
expresión polinómicas, se puede sustituir el valor de “𝑥” por cualquier número real que hayamos
elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen “𝑦”.
Son funciones polinómicas: La recta (función lineal o afín), la parábola (función de segundo grado)
y los polinomios de grado superior.
Cuando nos muestran la gráfica de una función es muy sencillo determinar su dominio y su rango.
El dominio de una función está formado por aquellos valores de “𝑥” (números reales) para los que
se puede calcular la imagen 𝑓(𝑥), y los encuentras de derecha a izquierda a lo largo del eje “X”,
mientras que el rango lo encontraras de abajo hacia arriba en el eje “Y”.
Ejemplo 1. Determinar Dominio y Rango de 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 .
Como es una función lineal el dominio será todo el
conjunto de los números reales.
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅 = (−∞, ∞)
El Rango será todo el conjunto de los números reales.
Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer
valores siempre.
𝑅𝑎𝑛(𝑓) = 𝑅 = (−∞, ∞)
Ejemplo 2. Determinar Dominio y Rango de
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 .
Como es una función polinómicas de segundo
grado el dominio será todo el conjunto de los
números reales.𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅 = (−∞, ∞)
El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo
hacia arriba) a partir de −4, por lo tanto el
rango es
𝑅𝑎𝑛(𝑓) = [−4,∞)
NOTA: Sobre dominio y rango de la parábola debes revisar los apuntes del año pasado.
FUNCIONES RACIONALES:
Las funciones racionales son de la forma f ( x)
𝑞(𝑥) ≠ 0.
p ( x)
donde 𝑝(𝑥) 𝑦 𝑞(𝑥) son polinomios y
q ( x)
Para calcular el dominio de este tipo de funciones el primer paso es igualar el denominador a cero
y resolver esa ecuación, una vez resuelta esa ecuación el dominio estará formado por todos los
reales excepto las soluciones de la ecuación, es decir,
Domf (x) R ai , donde los a i son aquellos valores tales que q(ai ) 0
Para calcular el valor del Rango, vamos ahora a despejar a "𝒙 “y averiguar si existen valores de "𝒚"
para los cuales no esté definida la función. Para ello se reemplaza 𝑓(𝑥) por 𝒚, luego realizamos las
operaciones y finalmente hacemos un análisis similar como en el caso del dominio.
Ejemplo 1.Determinar Dominio y Rango de
𝑓(𝑥) =
𝑥+2
𝑥−3
En este tipo de funciones, lo primero que hacemos es establecer si existen valores para los cuales
la función no está definida. Recordemos que la división por cero no está definida en los reales.
Para ello, igualamos el denominador a cero:
𝑥−3 = 0→𝑥 = 3
Esto significa que 𝑥 = 3 para la función no está definida.
Por tanto, el dominio estará formado por todos los reales excepto para 𝑥 = 3, lo cual se expresa
así:
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅 − {3} , o bien 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞, 3) ∪ (3, ∞)
Los valores 𝑎𝑖 que no pertenecen al dominio de una función racional definen en ella ASÍNTOTAS,
que son rectas a la que la función se acerca indefinidamente, pero nunca interseca (intersecta).
En este caso la recta 𝑥 = 3, es una asíntota vertical.
Para calcular el valor del Rango hacemos 𝑓(𝑥) = 𝑦 , y despejamos a "𝑥 “. Así:
𝑦=
𝑥+2
𝑥−3
𝑦(𝑥 − 3) = 𝑥 + 2
𝑥𝑦 − 3𝑦 = 𝑥 + 2
𝑥𝑦 − 𝑥 = 2 + 3𝑦
𝑥(𝑦 − 1) = 2 + 3𝑦 . 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
𝑥=
2 + 3𝑦
𝑦−1
Ahora como 𝑥 es racional procedemos como hicimos para hallar el dominio.
𝑦−1=0→𝑦 =1
Por lo tanto el rango es 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 𝑅 − {1} = (−∞, 1) ∪ (1, ∞)
Esto significa que habrá una asíntota horizontal (punteada) en 𝑦 = 1, lo cual implica que la
función se acercará cada vez más a este valor pero nunca lo tocará.
Esto podemos comprobarlo fácilmente en la gráfica.
Tabla de valores.
NE
Grafica.
Ejemplo 2. Determinar el dominio y el rango de 𝑦
=
𝑥 2 −1
𝑥−1
Lo primero que tenemos que determinar los valores para los cuales no está definida la función,
para ello igualamos el denominador a cero:
𝑥−1 = 0→𝑥 = 1
El dominio estará formado por todos los reales excepto en 𝑥 = 1 .
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅 − {1} , o bien 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞, 1) ∪ (1, ∞)
Antes de calcular el rango de la función vamos a simplificarla, ya que en este caso es posible
aplicando diferencia de cuadrado perfecto en el numerador.
𝑦=
𝑥2 − 1
𝑥−1
𝑦(𝑥 − 1) = 𝑥 2 − 1
𝑦𝑥 − 𝑦 = 𝑥 2 − 1
𝑥 2 − 𝑦𝑥 + 𝑦 − 1 = 0,
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥.
𝑎 = 1, 𝑏 = −1𝑦 , 𝑐 = 𝑦 − 1
Ahora sustituimos, 𝑥
=
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−1𝑦)±√(−1𝑦)2 −4(1)(𝑦−1)
2(1)
=
𝑦±√𝑦 2 −4𝑦+4
2
La condición para que esta igualdad se cumpla es que 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 > 0, solucionando esta
inecuación obtenemos.
(𝑦 − 2)(𝑦 − 2) > 0
De donde 𝑦 − 2 = 0 → 𝑦 = 2 .
(−1 − 2)(−1 − 2) = (−3)(−3) = 9 > 0
(3 − 2)(3 − 2) = (1)(1) = 1 > 0
Lo anterior significa que el rango de la función es 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 𝑅 − {2} = (−∞, 2) ∪ (2, ∞)
Grafica.
N.E
Ejemplo 3. Determinar el dominio y el rango de 𝑦
=
4𝑥 2 +4
2𝑥 2 −8
Como sabemos, el denominador no puede ser igual a cero, porque la función no tendría solución,
luego lo primero que haremos es Igualar a cero el denominador para establecer que valores
arrojan como valor cero:
2𝑥 2 − 8 = 0
2𝑥 2 = 8
𝑥2 =
8
=4
2
√𝑥 2 = ±√4 → 𝑥 = ±2
Entonces, El dominio estará formado por todos los reales excepto los números “2” y “ −2”
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅 − {−2,2} , o bien 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞, −2) ∪ (−2,2) ∪ (2, ∞)
Ahora calculemos el rango, para ello estableceremos si hay valores de 𝑦 para los cuales la función
no esté definida. Despejamos la variable 𝑥:
𝑦=
4𝑥 2 + 4
2𝑥 2 − 8
𝑦(2𝑥 2 − 8) = 4𝑥 2 + 4
2𝑥 2 𝑦 − 8𝑦 = 4𝑥 2 + 4
2𝑥 2 𝑦 − 4𝑥 2 = 8𝑦 + 4
Aplicando factor común monomio
2𝑥 2 (𝑦 − 2) = 8𝑦 + 4
𝑥2 =
8𝑦 + 4
4(2𝑦 + 1)
=
2(𝑦 − 2)
2(𝑦 − 2)
𝑥2 =
2(2𝑦 + 1)
𝑦−2
Hacemos 𝑦 − 2 = 0 y obtenemos 𝑦 = 2.
La gráfica presenta una asíntota horizontal en “𝑦 = 2”, pero además podemos notar que la curva
que está debajo del eje “X” corta al eje “Y” en el punto (0,-0.5). Luego el Rango será:
𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝑅 − {2} = (−∞, 0.5) ∪ (2, ∞)
Tabla.
N.E
N.E
Grafica.
Observa los siguientes videos para mayor claridad.
https://www.youtube.com/watch?v=ZKhRpaNmS4s
https://www.youtube.com/watch?v=3HM-sVRuzvM
FUNCIONES IRRACIONALES:
Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su
radicando la variable independiente. Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo
el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de 𝑥 siempre vamos a poder
calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando.
Pero si el radical tiene índice par, para los valores de 𝑥 que hagan el radicando negativo no existirá
la raíz y por tanto no tendrán imagen. Cuando queremos hallar el dominio de este tipo de
funciones lo primero que debemos hacer es tomar lo que hay dentro de la raíz y hacer que sea
mayor o igual que cero. A continuación se resuelve esa inecuación y la solución de dicha
inecuación conforma el dominio de la función. mayor o igual que cero. A continuación se resuelve
esa inecuación y la solución de dicha inecuación conforma el dominio de la función.
Esto es, Si f (x) es de la forma f ( x) n p ( x) y n es par, entonces el dominio se expresaría así:
Domf ( x) x / p( x) 0 x R (esto nos muestra el hecho que si el índice de la raíz es par la
cantidad sub radical no puede ser negativa)
3
Ejemplo 1. Halle el dominio y rango de 𝑓(𝑥) = √−2𝑥 + 4
Como el índice de la raíz es impar (3), el 𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = 𝑅 = (−∞, ∞)
3
Para el rango hacemos 𝑦 = √−2𝑥 + 4 y despejamos 𝑥, así
3
3
𝑦 3 = ( √−2𝑥 + 4)
𝑦 3 = −2𝑥 + 4
𝑦 3 − 4 = −2𝑥
𝑥=
𝑦3 − 4
−2
Por lo tanto, 𝑦 puede tomar cualquier valor real y así el 𝑅𝑎𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑅 = (−∞, ∞).
Tabla.
Grafica.
Ejemplo 2. Halle el dominio y rango de 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3
Calculemos el dominio.
Como el índice del radical es par, entonces hacemos 𝑥 + 3 ≥ 0, de donde 𝑥 ≥ −3 y por tanto
𝑥 ∈ [−3, ∞).
De esta manera el 𝐷𝑜𝑚𝑓 = [−3, ∞)
Calculemos el rango.
Hacemos 𝑦 = √𝑥 + 3 y despejamos 𝑥.Así.
𝑦2 = 𝑥 + 3
𝑥 = 𝑦2 − 3
De lo cual se podría decir que el 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝑅, ya que 𝑦 podría tomar cualquier valor del conjunto 𝑅.
Pero esto no es tan cierto, veamos la gráfica.
Tabla.
N.E
N.E
El análisis grafico nos muestra que los valores de 𝑥 menores que −3, no tienen imagen y los
valores de 𝑥 mayores que −3 si poseen imagen en Y y estos valores son siempre positivos,
tomando valores desde 0 y creciendo de manera indefinida, es decir el rango no toma valores
negativos en Y, por tanto el 𝑹𝒂𝒏𝒇 = [𝟎,∞).
Ejemplo 3. Hallar el dominio y el rango de 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 1
Calculemos el dominio.
Como el índice del radical es par, entonces hacemos
𝑥 2 − 1 ≥ 0, de donde
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) ≥ 0. Aplicando factorización (diferencia de cuadrados perfectos)
Solucionando esta inecuación
→𝑥+1=0𝑜𝑥−1=0
→ 𝑥 = −1 𝑜 𝑥 = 1
En la recta numérica se ve así.
Probemos con algunos valores de la recta numérica
𝑥 2 − 1 = (−2)2 − 1 = 3 > 0, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑥 2 − 1 = (2)2 − 1 = 3 > 0, 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑥 2 − 1 = (0)2 − 1 = 3 < 0, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜, y por lo tanto no cumple la condición de la
desigualdad (≥ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑜).
De esta manera el 𝐷𝑜𝑚𝑓 = (−∞, −1] ∪ [1, ∞)
Calculemos el rango.
Hacemos 𝑦 = √𝑥 2 − 1 , lo cual indica 𝑦 ≥ 0 puesto que la raíz cuadrada tiene signo positivo, esto
nos permite afirmar que 𝑦 ∈ (−∞, ∞) .
Ahora, despejamos 𝑥 así.
𝑦2 = 𝑥2 − 1
𝑥2 = 𝑦2 + 1
𝑥 = √𝑦 2 + 1
Esto nos indica que 𝑦 puede tomar cualquier valor en R, debido a que esta elevada al cuadrado en
la cantidad subradical, es decir 𝑦 ∈ (−∞, ∞).
Hemos encontrado que 𝑦 ∈ (0, ∞) y 𝑦 ∈ (−∞, ∞), entonces 𝑅𝑎𝑛𝑓 = (0, ∞) ∩ (−∞, ∞) = (0, ∞)
Finalmente concluimos que
𝑅𝑎𝑛𝑓(𝑥) = (0, ∞).
Observa los siguientes videos para mayor claridad.
https://profefily.com/funciones/funciones-algebraicas/dominio-rango-funcion-radical/
https://www.youtube.com/watch?v=zsbc9JqRPto
https://www.youtube.com/watch?v=Mk2z4E5qJWA&t=340s
https://www.youtube.com/watch?v=peOTM9EO_p8
ACTIVIDAD.
1. Se quiere construir un rectángulo de 12𝑚2 de área. El área depende de las medidas que
tengan la base "𝑥" y la altura "𝑦". Por ejemplo si la base es 6 cm, la altura será 2cm.
a. Completa la tabla de la medida de la altura 𝑦, para distintos valores de 𝑥.
Base 𝑥
Altura 𝑦
1
12
1,5
8
2
3
4
5
6
b. Ubica cada par de puntos en el plano cartesiano y construye la gráfica
correspondiente.
c. Determina la expresión analítica de esta función, su dominio y rango.
2. Determina el dominio y el rango de las funciones representadas en las figuras.
3. Halla el dominio y el rango de las siguientes funciones polinómicas.
a. 𝑦 = −2𝑥 2 − 16𝑥 + 3
b. 𝑦 = 𝑥 3 + 2
c. 𝑦 = 3𝑥 + 5
4. Halla el dominio, el rango y la ecuación de las asíntotas (si las hay) de las siguientes
funciones racionales. Luego traza la gráfica aproximada de cada una.
𝑥 2 −25
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 −50
−4
b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥−3
2𝑥−3
c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 +7𝑥−15
5. Halla el dominio, el rango y de las siguientes funciones irracionales. Luego traza la gráfica
aproximada de cada una.
a. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2
b. 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 2
c. 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 36
¡ÉXITOS!
